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Soluzioni di Adriana Lanza
QUESITO1 Si determini il campo di esistenza della funzione:
y=√2 sen (2 x )−√3logcos x ,
con 0 ≤ x ≤ 2π .
L’argomento della radice quadrata deve essere positivo o nullo, l’argomento del logaritmo deve essere positivo, il denominatore deve essere diverso da zero.
{ 2sin 2 x−√3≥0cos x>0∩cos x≠1
→
Nel risolvere le disequazioni dobbiamo tener conto del fatto che l’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π corrisponde ad un periodo della funzione cos (x) , ma a due periodi della funzione sin(2x)
{π3 ≤2 x≤ 23 π →
0<x< π2∪ 3
2π<x<2π
π6≤ x≤ π
3∪ 76π ≤ x≤ 4
3π
Le soluzioni comuni corrispondono all’arco NE →
π6≤x ≤ π
3∪ 76π ≤x ≤ 4
3π
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QUESITO2 Si calcoli il limite della funzione
√x+√ x−1−1√x2−1
, quando x tende a 1
+.
limx→ 1+¿ √x−1
√x2−1+ limx →1+¿ √x−1
√x2−1
¿¿ ¿
¿ =
limx→ 1+¿ 1
√x+1+ limx→1+¿ √ x−1
√ x2−1
¿¿¿
¿*√x+1
√x+1=
1√2 +
lim
x→1+¿
x−1√x−1∗1
√x+1¿
¿* 1
√x+1 = 1√2
+0= 1√2
QUESITO 3 Si provi che le due funzioni f ( x )=cos2 x e g( x )=−sen2 x hanno le derivate
uguali e se ne dia una giustificazione.
D ¿D ¿
Le due funzioni hanno la stessa derivata perché differiscono solo per una costante additiva.
Infatti cos2 x=1−sin2 x
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QUESITO 4. Un rettangolo ABCD è tale che risulta AB=4 e
BC=1 .
Si determini il triangolo isoscele di area minima circoscritto al rettangolo e tale che la base contenga il segmento AB.
Dalla similitudine dei triangoli EFG e EDC si deduce
GFEH
=CDEK
→GF=¿x 4x−1
Area EFG =S(x)= 2 x2
x−1 x>1
S' (x )=2 x (x−2)(x−1)2
S(x) decresce nell’intervallo ]1;2[ e cresce per x>2
Il valore x=2 corrisponde al triangolo di area minima →S(2)=8,
pari al doppio dell’area del rettangolo ABCD.
I quattro triangoli rettangoli EDK ECK,ADF,BCG sono tra loro congruenti e ciascuno di essi è equivalente alla quarta parte del rettangolo ABCD
Si poteva anche giungere al risultato mediante il ragionamento seguente
Data la simmetria rispetto alla retta EH , possiamo limitarci a considerare metà figura Osserviamo che il triangolo EFH equivale alla somma dei seguenti poligoni
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rettangolo AHKD di area 2
triangolo rettangolo EKD di area x-1
triangolo rettangolo FAD. di area 1x−1
S(x) pertanto è minima quando è minima la somma
x−1+ 1x−1
Poiché la somma di due grandezze inversamente proporzionali è minima quando esse assumono valori, uguali, x deve assumere il valore 2.
QUESITO 5 Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x
della porzione di piano limitata dalla curva y=x2−x3 e dall’asse delle x.
Studio (veloce) della funzione f(x)=x2−x3
limx→∓∞
f (x )=±∞
f(0)=f(1)=0
Segno della derivata prima e crescenza o decrescenza del grafico
f ' ( x )=2 x−3 x2
------------0++++++++++++ 3/2 ---------------------------------
V=π∫0
1
(x2−x3)2dx=π105
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