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O N Êtes-vous citoyen canadien ou résident permanent du Canada (quelle que soit votre ĂĚƌĞƐƐĞĂĐƚƵĞůůĞͿ O N

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Les telephones cellulaires et les

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Martin Muñoz

Martin Muñoz

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COMC 2012: Final Version 1

COMC 2012 : Version Finale

Part A

A1 Trouver l’entier positif n tel que 84 = 4n.

A2 Soit x la valeurmoyenne des six nombres suivants: 12, 412, 812, 1212, 1612, 2012. Determinerla valeur de x.

A3 Soit ABCDEF un hexagone dont les cotes sont de meme longueur et dont tous les anglessont egaux. L’aire de l’hexagone ABCDEF est exactement r fois l’aire du triangle ACD.Determiner la valeur de r.

F

A B

C

DE

A4 Douze droites di!erentes sont tracees dans le plan cartesien de sorte que chaque droite estparallele a exactement deux autres droites. En outre, trois droites ne se coupent jamais enun point. Determiner le nombre total de points d’intersection entre les douze droites.

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1



Part A




F

A B

C

DE


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1


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Part A




F

A B

C

DE


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1



Part A




F

A B

C

DE


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1


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Part B

B1 Alice et Bob courent autour d’une piste circulaire dans le sens des aiguilles d’une montre,chacun a une vitesse constante. Alice peut completer un tour en t secondes, et Bob peutcompleter un tour en 60 secondes. Ils commencent a des points diametralement opposes.

Alice Bob

Quand ils se rencontrent pour la premiere fois, Alice a deja complete 30 tours. Determinertoutes les valeurs possibles de t.

B2 Pour chaque entier positif n, on definit !(n) comme etant le nombre de diviseurs positifs den. Par exemple, !(10) = 4 car 10 admet 4 diviseurs positifs: 1, 2, 5, 10.

Si n est un entier positif tel que !(2n) = 6, determiner la valeur minimale possible de !(6n).

B3 Pour la grille carree des points 4 par 4 suivante, determiner le nombre de facons d’etiqueterdix points di!erents A,B,C,D,E, F,G,H, I, J afin que les longueurs des neuf segments

AB,BC,CD,DE,EF,FG,GH,HI, IJ

soient en ordre strictement croissant.

2

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Part B


Alice Bob







2


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Part B


Alice Bob







2

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B4 Dans le diagramme suivant, deux droites qui se coupent en un point A sont tangentes a uncercle aux points B et C. La droite parallele a AC et qui passe par B coupe le cercle anouveau au point D. Rejoignez les segments de droites CD et AD. Supposons que AB = 49et CD = 28. La longueur de AD est un nombre entier positif n. Determiner la valeur de n.

B D

CA

3


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Part C

C1 Soit f(x) = x2 et g(x) = 3x! 8.

(a) (2 points) Determiner les valeurs de f(2) et g(f(2)).

(b) (4 points) Determiner toutes les valeurs de x telles que f(g(x)) = g(f(x)).

(c) (4 points) Soit h(x) = 3x ! r. Determiner toutes les valeurs de r telles que f(h(2)) =h(f(2)).

C2 On remplit une grille 3 " 3 avec des 0s et des 1s. On marque un point pour chaque ligne,colonne et diagonale dont la somme des entrees est impaire.

0 1 1

1 0 1

1 1 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Par exemple, la grille a gauche a 0 points et celle a droite a 3 points.

(a) (2 points) Remplir la grille suivante de sorte qu’elle a exactement 1 point. Aucun travailsupplementaire n’est requis. Plusieurs reponses sont possibles. Vous devez seulementfournir une reponse.

(b) (4 points) Determiner toutes les grilles avec exactement 8 points.

(c) (4 points) Soit E le nombre des grilles avec un nombre impair de points et O le nombredes grilles avec un nombre pair de points. Demontrer que E = O.

4


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Part C

C1 Soit f(x) = x2 et g(x) = 3x! 8.

(a) (2 points) Determiner les valeurs de f(2) et g(f(2)).

(b) (4 points) Determiner toutes les valeurs de x telles que f(g(x)) = g(f(x)).

(c) (4 points) Soit h(x) = 3x ! r. Determiner toutes les valeurs de r telles que f(h(2)) =h(f(2)).

C2 On remplit une grille 3 " 3 avec des 0s et des 1s. On marque un point pour chaque ligne,colonne et diagonale dont la somme des entrees est impaire.

0 1 1

1 0 1

1 1 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Par exemple, la grille a gauche a 0 points et celle a droite a 3 points.

(a) (2 points) Remplir la grille suivante de sorte qu’elle a exactement 1 point. Aucun travailsupplementaire n’est requis. Plusieurs reponses sont possibles. Vous devez seulementfournir une reponse.

(b) (4 points) Determiner toutes les grilles avec exactement 8 points.

(c) (4 points) Soit E le nombre des grilles avec un nombre impair de points et O le nombredes grilles avec un nombre pair de points. Demontrer que E = O.

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C3 Soit ABCD un parallelogramme. On trace la diagonale AC. Un cercle est inscrit a l’interieurdu !ABC tangent aux trois cotes et touchant le cote AC en un point P .

A B

CD

P

(a) (2 points) Demontrer que DA+AP = DC + CP .

(b) (4 points) Tracer le segment de droite DP . Un cercle de rayon r1 est inscrit a l’interieurdu !DAP tangent aux trois cotes. Un cercle de rayon r2 est inscrit a l’interieur du!DCP tangent aux trois cotes. Demontrer que

r1r2

=AP

PC.

(c) (4 points) Supposons que DA +DC = 3AC et DA = DP . Soit r1, r2 les deux rayonsdefinis en (b). Determiner le rapport r1/r2.

C4 Si n est un entier positif, on dit que le n-uplet (x1, x2, · · · , xn) ou chaque xi est un entierpositif est un super-carre si les deux conditions suivantes sont satisfaites:

(1) x1 > x2 > x3 > · · · > xn.

(2) La somme x21 + x22 + · · · + x2kest un carre parfait pour chaque k.

Par exemple, (12, 9, 8) est super-carre car 12 > 9 > 8, et chacune des sommes 122, 122 + 92,et 122 + 92 + 82 est un carre parfait.

(a) (2 points) Determiner toutes les valeurs de t telles que (32, t, 9) est un super-carre.

(b) (2 points) Trouver un 4-uplet super-carre (x1, x2, x3, x4) avec x1 < 200.

(c) (6 points) Determiner s’il existe un 2012-uplet super-carre.

5


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(a) (2 points) Demontrer que DA+AP = DC + CP .

(b) (4 points) Tracer le segment de droite DP . Un cercle de rayon r1 est inscrit a l’interieurdu !DAP tangent aux trois cotes. Un cercle de rayon r2 est inscrit a l’interieur du!DCP tangent aux trois cotes. Demontrer que

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(c) (4 points) Supposons que DA +DC = 3AC et DA = DP . Soit r1, r2 les deux rayonsdefinis en (b). Determiner le rapport r1/r2.

C4 Si n est un entier positif, on dit que le n-uplet (x1, x2, · · · , xn) ou chaque xi est un entierpositif est un super-carre si les deux conditions suivantes sont satisfaites:

(1) x1 > x2 > x3 > · · · > xn.

(2) La somme x21 + x22 + · · · + x2kest un carre parfait pour chaque k.

Par exemple, (12, 9, 8) est super-carre car 12 > 9 > 8, et chacune des sommes 122, 122 + 92,et 122 + 92 + 82 est un carre parfait.

(a) (2 points) Determiner toutes les valeurs de t telles que (32, t, 9) est un super-carre.

(b) (2 points) Trouver un 4-uplet super-carre (x1, x2, x3, x4) avec x1 < 200.

(c) (6 points) Determiner s’il existe un 2012-uplet super-carre.

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Canadian Mathematical SocietySociété mathématique du Canada

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