Βιομαθηματικά - University of Crete ·...
Transcript of Βιομαθηματικά - University of Crete ·...
![Page 2: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/2.jpg)
Ορισμός αντιπαραγώγου(ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης)
Μια συνάρτηση F ονομάζεταιαντιπαράγωγος της f σε ένα διάστημαΙ, αν F'(x)=f(x) για x� I.
Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει μίαπαράγωγο, αλλά μια συνάρτηση έχει ένασύνολο αντιπαραγώγων.
Αν η F(x) είναι μια αντιπαράγωγος της f(x) τότε όλες οι συναρτήσεις G(x)=F(x)+c, cσταθερά, είναι αντιπαράγωγοι (γενικήαντιπαράγωγος) της f(x).
![Page 3: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/3.jpg)
Αόριστο ολοκλήρωμα
Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων τηςσυνάρτησης f ονομάζεται αόριστοολοκλήρωμα της f ως προς x καισυμβολίζεται
cxFdxxf +=∫ )()(
![Page 4: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/4.jpg)
Αντιπαράγωγοι βασικών συναρτήσεων
![Page 5: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/5.jpg)
Γραμμικότητα του ολοκληρώματος
Έστω και
Τότε
1.
2.
3.
cxFdxxf +=∫ )()(
cxGdxxg +=∫ )()(
cxaFdxxfadxxaf +=∫=∫ )()()(
( )cxGxF
dxxgdxxfdxxgxf
++=
∫+∫=∫ +
)()(
)()()()(
( )cxGxF
dxxgdxxfdxxgxaf
++=
∫+∫=∫ +
)()(
)()()()(
βα
βαβ
![Page 6: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/6.jpg)
Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων
μέθοδος ολοκλήρωσης μεαντικατάσταση ή αλλαγήςμεταβλητής
μέθοδος ολοκλήρωσης κατά μέρηή κατά παράγοντες
ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεωνή ολοκλήρωση με μερικάκλάσματα.
![Page 7: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/7.jpg)
Μέθοδος με αντικατάσταση ήαλλαγής μεταβλητής- βασίζεται στην παραγώγιση σύνθεσης
συναρτήσεων
Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων τηςμορφήςανάγεται στον υπολογισμόολοκληρωμάτων της μορφής
όπου u=g(x) και du=g΄(x)dx
∫ ′ dxxgxgf )()]([
∫ duuf )(
![Page 8: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/8.jpg)
Παραδείγματα
cxcu
duuduudxx
++=+=
==+ ∫∫∫
2/3
2/3
)32(31
2/321
21
232 .1
Θέτουμε u=2x+3 με du=2dx
ce
cu
du
uee
t
t
t
dt
++
−=
+−+
== ∫∫
)1(2
1
2
1
2
1
)1(
2
222
2
.2
Θέτουμε u=1+e2t με du=2e2tdt
![Page 9: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/9.jpg)
Μέθοδος ολοκλήρωσης κατάμέρη ή κατά παράγοντες
- βασίζεται στον κανόνα παραγώγισης τουγινομένου
Αν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναιπαραγωγίσιμες, τότε
∫∫ ′−=′ dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(
![Page 10: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/10.jpg)
Παραδείγματα (1)
cxecexedxexedxxexedxexdxxe
x
xxxx
xxxx
+−=+−=−=
′−=′=
∫
∫∫∫
)1(
)()( .1
cxxxdxxx
dxxxxx
dxxxdxxxdx
+−=−=
′−=
′⋅=⋅=
∫
∫
∫∫∫
lnln
)(lnln
)(ln1lnln .2
![Page 11: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/11.jpg)
Παραδείγματα (2)
cxxecexeex
dxxeexdxxeexdxxeexdxexdxex
x
xxx
xxxx
xxxx
++−=+−−=
−=−=
′−=′=
∫∫
∫∫∫
)22( )(2
22 )()( .3
2
2
22
2222
( )( ) ceex
ceue
duuedxe
xx
uu
uxdxxdu
xu
+−=
+−=
∫=∫==
2 2
2 .42
1
![Page 12: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/12.jpg)
Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων
Για να ολοκληρώσουμε ρητέςσυναρτήσεις είναι συνήθως αναγκαίονα γράψουμε τη συνάρτηση σανάθροισμα ενός πολυωνύμου και πιοαπλών ρητών συναρτήσεων τηςμορφής
ή
όπου A,B,C,a,b, και c είναι σταθερές και k θετικός ακέραιος. Ο παρανομαστής τουδευτέρου κλάσματος δεν αναλύεται σε γινόμενοπρωτοβάθμιων όρων, δηλαδή δεν έχειπραγματικές ρίζες.
kaxA
)( − kcbxxCBx
)( 2 +++
![Page 13: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/13.jpg)
Η διαδικασία ανάλυσης σε μερικάκλάσματαΒήμα 1 Αν στον παρανομαστή υπάρχει
πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσουαπό το βαθμό του πολυωνύμου τουαριθμητή τότε πριν κάνουμε την ανάλυσησε μερικά κλάσματα πρέπει πρώτα ναεκτελέσουμε τη διαίρεση του αριθμητήδια τον παρανομαστή.
Βήμα 2 Αναλύουμε τον παρανομαστή σεγινόμενο πρωτοβάθμιων (x-a)k καιδευτεροβάθμιων (x2+bx+c)k (με b2-4c<0) παραγόντων.
![Page 14: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/14.jpg)
Βήμα 3. γραμμικοί παράγοντες
Σε κάθε απλό γραμμικό παράγοντα τουπαρονομαστή x-α, αντιστοιχεί στηνανάλυση του κλάσματος ένας όρος τηςμορφής
Αν ο γραμμικός παράγοντας x-a εμφανίζεται k φορές στηνπαραγοντοποίηση του παρονομαστή,τότε η ανάλυση σε μερικά κλάσματαπεριέχει όρους της μορφής
axA−
k
k
axA
axA
axA
)()( 2
21
−+
−+
−L
![Page 15: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/15.jpg)
Υπολογισμός του ολοκληρώματος
Αν k =1, τότε
Αν k≥2, τότε
∫−
dxax k)(
1
caxk
dxax kk
+−−
−=− −∫ 1)(
11
1)(
1
caxdxax
+−=−
∫ ln1
![Page 16: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/16.jpg)
Παράδειγμα 1Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Αναλύουμε σε μερικά κλάσματα
Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε
Οπότε A+C =15A+B+4C=06A+3B+4C=0
∫ ++dx
xxx
)3()2( 2
2
3)2(2)3()2( 22
2
++
++
+=
++ xC
xB
xA
xxx
)436()45()( )2()3()3)(2(
2
22
CBAxCBAxCAxCxBxxAx
+++++++=++++++=
A=-8B=4C=9
cxxx
xdx
xdx
xdxdx
xxx
++++−+−=
++
++
+−=
++
−
∫∫∫∫
3ln9)2(42ln8
39
)2(4
28
)3()2(
1
22
2
![Page 17: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/17.jpg)
Παράδειγμα 2Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου στοναριθμητή = το βαθμό του πολυωνύμουστον παρανομαστή
∫ −−dx
xxx
)2)(1(
2
.2
41
11)2)(1(
231)2)(1(
2
−+
−−=
−−−
+=−− xxxx
xxx
x
διαίρεση Ανάλυσησε μερικά κλάσματα
cxxxxdx
xdxdxdx
xxx
+−+−−=
−+
−−=
−−∫∫∫∫
2ln41ln 2
41)2)(1(
2
![Page 18: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/18.jpg)
Βήμα 3. δευτεροβάθμιοι παράγοντες
Αν ο δευτεροβάθμιος παράγοντας x2+bx+c (με b2 -4c<0) εμφανίζεται k φορές στηνπαραγοντοποίηση του παρονομαστή, τότε ηανάλυση σε μερικά κλάσματα περιέχειόρους της μορφής
όπου Bi και Ci είναι σταθερές
Γράφουμε τον δευτεροβάθμιο παράγονταστη μορφή (x-μ)2 +ν με συμπλήρωσητετραγώνου
k
kk
cbxxCxB
cbxxCxB
cbxxCxB
)()( 222
22
2
11
+++
+++
++
+++
L
![Page 19: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/19.jpg)
Παράδειγμα 3
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Ανάλυση σε μερικά κλάσματα
Ολοκληρώνοντας
∫+++ dx
xxx
22
2
)1(1
22222
2
)1(11
)1(1
++
+=
+++
xx
xxxx
cx
x
cu
x
udux
dxx
xdxx
dxx
xx
xu
++
−=
+−=
+=
++
+=
+++
−
−
−
+=∫
∫∫∫
)1(21tan
21tan
tan
)1(11
)1(1
2
1
1
2
1
1
22222
2
2
12
![Page 20: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/20.jpg)
Ολοκληρώματα και ΑθροίσματαΠαράδειγμα
Ρυθμός μεταβολής του όγκου νερού σε ένα δοχείο
V(t) : όγκος νερού (cm3) t : χρόνος (s)
Ζητάμε τη συνολική μεταβολή του όγκου από t=0 μέχρι t=1
2tdtdV
=
Συνολική μεταβολή
dtdV
t t
dtdV
![Page 21: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/21.jpg)
Ολοκληρώματα και Αθροίσματα
Έστω ότι ο ρυθμός μεταβολής της Μ στοδιάστημα [α,β] είναιΖητάμε τη συνολική μεταβολή της Μ στο
διάστημα [α,β].
Pn μια διαμέριση του διαστήματος [α,β]
Η διαμέριση αυτή χωρίζει το διάστημα[a,β] σε n υποδιαστήματα
[t0, t1], [t1, t2], ..., [tn-1, tn]Δtj= tj - tj-1 μήκος του υποδιαστήματος [tj-1, tj]
Πλάτος της διαμέρισης :||P|| = max{Δt1, Δt2,…, Δtn}
)(tfdt
dM=
β=<<<= nn tttaP L10 :
![Page 22: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/22.jpg)
Ολοκληρώματα και Αθροίσματα
Σε κάθε υποδιάστημα [tj-1, tj] παίρνουμε ένα σημείο ξj καισχηματίζουμε το άθροισμα
Άθροισμα Riemann της f στο [α,β].
β=<<<= nn tttaP L10 :
nn
n
jjjP
tftftfSn
Δ++Δ=Δ= ∑=
)()()(11
1ξξξ L
α βtj-1 tjξj t
y
f(ξj)
![Page 23: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/23.jpg)
Ορισμός: Ορισμένο ολοκλήρωμα
Έστω , n=1,2,…μια ακολουθία διαμερίσεων του [α,β] με||P|| 0. Το ορισμένο ολοκλήρωμα της fαπό το α στο β είναι
αν το όριο υπάρχει. Τότε λέμε ότι ηf(x) είναι ολοκληρώσιμη στο [α,β].
Θεώρημα: Αν η f(x) είναι συνεχής στο[α,β], τότε είναι ολοκληρώσιμη στο
[α,β].
β=<<<= nn tttaP L10 :
∫ ∑ Δ==→
β
ξa
jjPtfdttf )(lim)(
n
1j0||||
![Page 24: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/24.jpg)
Παραδείγματα - ΟρισμένοολοκλήρωμαΓια μια συνεχή συνάρτηση f(t) το είναιανεξάρτητο από τη διαμέριση και την επιλογήτων σημείων ξj
Για χάρη απλότητας υποθέτουμε ότι τομήκος κάθε διαστήματος είναι το ίδιοκαι επιλέγουμε ως ξj τα δεξιά άκρα τωνυποδιαστημάτων [tj-1, tj]
Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το ∫1
0tdt
nPPS
0||||lim
→
nat −
=Δβ
njn
ajatjaj ,,2,1 , L=−
+=Δ+=βξ
21
2)1(111
)1
1
0
21
21
11
limlim(lim
lim)(lim
=+
∞→=
∞→=
∞→
=∞→
=∞→
===
==
∑∑
∑∑∫nn
nnn n
n
jn
n
jn
n
jjn
n
jjn
jn
j
ΔtΔtftdt ξξ
![Page 25: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/25.jpg)
Θεμελιώδες θεώρημα τουαπειροστικού λογισμού
Έστω f (x) μια συνεχής συνάρτηση στοδιάστημα [α,β], τότε
όπου F(x) είναι μια αντιπαράγωγοςτης f (x), δηλαδή F’ (x) = f (x).
ββ
β aaxFaFFdxxf )()()()( =−=∫
![Page 26: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/26.jpg)
Τεχνικές ολοκλήρωσης
- με αντικατάσταση ή αλλαγή μεταβλητής
- κατά παράγοντες
∫∫==′
)(
)()()()]([
)(
ββ g
agaduufdxxgxgf
xgu
∫
∫
′−−=
=′
β
β
ααββa
a
dxxgxfgfgf
dxxgxf
)()()()()()(
)()(
![Page 27: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/27.jpg)
Ιδιότητες των ορισμένωνολοκληρωμάτωνΈστω ότι f(x) και g(x) είναι ολοκληρώσιμεςστο [α, β]. Τότε
0)( =∫a
adxxf
∫∫ −=α
β
β
dxxfdxxfa
)()(
∫∫∫ +=ββ
γ
γ
dxxfdxxfdxxfaa
)()()(5. Αν α<γ<β, τότε
1.
2.
,0)(είναι ],[ Αν ≥∈∀ tfat β
4.
0)( ≥∫β
adttf
),()(είναι ],[ Αν tgtfat ≤∈∀ β
3.
∫∫ ≤ββ
aadttgdttf )()(
σταθερά ,)()( kdxxfkdxxkfaa∫∫ =ββ
6.
7.
( ) ∫∫∫ +=+β
α
β
α
β
αdxxgdxxfdxxgxf )()()()(
![Page 28: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/28.jpg)
Εφαρμογές της ολοκλήρωσης
Υπολογισμός εμβαδούa) Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο
[α, β] και f(x) ≥ 0 στο [α, β], τότε
όπου Α το εμβαδόν της περιοχήςμεταξύ του x-άξονα και τουγραφήματος της f στο [α, β].
Adxxfa
=∫β
)(
y
α βΔx
A f(x)
x
y=f(x)
∑∫ Δ=→Δ
xxfdxxfxa
)(lim)(0
β
![Page 29: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/29.jpg)
Υπολογισμός εμβαδού
Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β]και f(x) < 0 στο [α, β], τότε
όπου Α το εμβαδόν της περιοχήςμεταξύ του x-άξονα και τουγραφήματος της f στο [α, β].
Adxxfa
−=∫β
)(
y
α β
Ax
y=f(x)
y= -f(x)
B
Επειδή εμβαδόν του A= εμβαδόν του B, και
∫ −=β
adxxfB )]([
![Page 30: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/30.jpg)
Υπολογισμός εμβαδού
c) Εμβαδόν χωρίου μεταξύγραφημάτων
∫ −β
adxxgxf )()(
f(x)
g(x)
α βx
y
![Page 31: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/31.jpg)
Μέση τιμή
Έστω f μια συνεχή συνάρτηση στο[a,β]. Η μέση τιμή της f στο διάστημα[a,β] είναι
∫−
=β
β adxxf
af )(1
![Page 32: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/32.jpg)
Υπολογισμός της μάζας αντικειμένου(μια διάσταση)
μάζα αντικειμένου =
όπου ρ(x) η πυκνότητα στη θέση x.
βα
∫βρ
adxx)(
![Page 33: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/33.jpg)
Αφθονία ενός είδους στη στήλητου νερού
A(x) : αριθμός ατόμων (π.χ. φυτοπλαγκτού, ψαριών) από την επιφάνεια στο βάθος x ( ή συνολικήποσότητα αλατιού, νιτρικών κ.α.)
ρ(x) : πυκνότητα ή συγκέντρωση στο βάθος x
Δx
1m1m
x
x +Δx
∫=x
dyyxA0
)()( ρ
![Page 34: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/34.jpg)
Όγκος στερεού
Όγκος στερεού από περιστροφή μιαςπεριοχής Α(x) μεταξύ α και β
A
α β x
r=f(x)Δx
y
α β
[ ]∫∑ ⎯⎯ →⎯Δ →Δ
βππ
adxxfxxf x
20
2 )()]([
[ ]∫=βπ
adxxfV 2)(
![Page 35: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/35.jpg)
Καταχρηστικά ή γενικευμέναολοκληρώματα (improper integrals)
Χαρακτηριστικά των καταχρηστικώνολοκληρωμάτων
1. Το ένα ή και τα δύο όρια τηςολοκλήρωσης είναι το άπειρο, δηλαδή το διάστημα ολοκλήρωσηςδεν είναι φραγμένο
2. Η συνάρτηση που ολοκληρώνεταιδεν είναι φραγμένη, δηλαδήαπειρίζεται σε ένα ή περισσότερασημεία στο διάστημα ολοκλήρωσης
![Page 36: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/36.jpg)
α) Πρώτου είδους- μη φραγμένοδιάστημα ολοκλήρωσης
ή ή
Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο[α, ∞), ορίζουμε
Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο(-∞, β], ορίζουμε
∫∞
adxxf )( ∫
∞−
βdxxf )( ∫
∞
∞−dxxf )(
∫∫ ∞→=
∞ z
aadxxfdxxf
z)()( lim
∫∫ →−∞=
∞−
ββ
zdxxfdxxf
z)()( lim
![Page 37: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/37.jpg)
Παράδειγμα
Έστω ότι ο ρυθμός παραγωγής ενόςχημικού μειώνεται εκθετικά με τοχρόνο σύμφωνα με την εξίσωση
Η ποσότητα της ουσίας που παράγεταιμεταξύ t=0 και t=T είναι
Πόση ποσότητα της ουσίας θαπαραγόταν αν το πείραμα διαρκούσεάπειρο χρόνο;
)(moles/sec te
dtdP −=
Tt eT
dte −− −=∫ 10
( ) (mole) 11limlim00
=−== −
∞→
−
∞→
− ∫∫∞
T
T
t
T
t eT
dtedte
![Page 38: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/38.jpg)
Παράδειγμα
Παραγωγή χημικού με ρυθμό
Πόσο χημικό παράγεται μετά από πολύχρόνο;
)(moles/sec 1
1tdt
dQ+
=
( ) !!!! )1ln(limlim00 1
11
1∞=+===
∞→∞→∞ ∫∫ ++
∞TQ
TT
Tdtdt
tt
![Page 39: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/39.jpg)
Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο[α, ∞). Αν
υπάρχει και έχει πεπερασμένη τιμή, λέμε ότι το ολοκλήρωμα
συγκλίνει. ∆ιαφορετικά, λέμε ότι τοολοκλήρωμα αποκλίνει
∫∞→
z
adxxf
z)(lim
∫∞
adxxf )(
![Page 40: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/40.jpg)
Παραδείγματα
Η συνάρτηση είναι συνεχήςστο [1,∞) και η g(x)=e-ax είναι συνεχής στο[0,∞)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<∞=∫
∞
1 ,1-p
11p0 ,
1
1px
dxp
0 ,1
)( >= px
xfp
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤∞+
>=∫
∞−
0 ,
0 ,1
0
a
aadxe ax
![Page 41: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/41.jpg)
∆ιάστημα ολοκλήρωσης (-∞, ∞)
Έστω f(x) μια συνεχής συνάρτηση στοδιάστημα (-∞, ∞). Τότε
όπου α πραγματικός αριθμός. Αν καιτα δύο καταχρηστικά ολοκληρώματαστο δεξιό μέλος συγκλίνουν, τότε ητιμή του καταχρηστικού ολοκληρώματοςστο αριστερό μέλος ισούται με τοάθροισμα των δύο οριακών τιμών στοδεξιό μέλος.
∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
+=a
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
![Page 42: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/42.jpg)
β) ∆ευτέρου είδους- μη φραγμένησυνάρτηση
Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε έναδιάστημα (α,β] και , τότε τοΟλοκλήρωμα
αν το όριο υπάρχει (πεπερασμένο) τότε τοκαταχρηστικό ολοκλήρωμα λέμε ότισυγκλίνει. Αν το όριο είναι ±∞ τότε λέμεότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει.
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Η συνάρτηση f(x) =1/√x είναι συνεχής στο (0,1], αλλάγια x 0+, f(x) ∞. Για c � (0,1) υπολογίζουμε
±∞=+→)(lim xf
ax
),()(lim)( , βββ
α
acdxxfdxxfca
c
∈= ∫∫+
→
1
0
1∫ dx
x
cc
xdxxc
221
211
−==∫
2)22(lim1
lim1
0
11
0 0
=−=++
→→
=∫∫ cdxx
dxx cc
c
![Page 43: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/43.jpg)
Παράδειγμα
Η συνάρτηση είναι συνεχήςστο (0, 1]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥∞=∫ 1 ,
p-11
1p , 11
0px
dxp
pxxf
1)( =
![Page 44: Βιομαθηματικά - University of Crete · ΠροτεινόμενηΒιβλιογραφία C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022041811/5e57a82d81029742f43a66b3/html5/thumbnails/44.jpg)
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία
C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004Chapter 6: όλοChapter 7: 7.1, 7.2, 7.3 και 7.4
F. R. Adler. “Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists”. Brooks/Cole, 1998. Chapter 4: 4.3- 4.8
M. R. Cullen “Mathematics for the biosciences”. Techbooks, 1983Sections: 18-25