физика - ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Afanasyeva_1.pdf · № 1, включающая...

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)»

Ф И З И КА

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Часть 1

Ульяновск 2013

УДК 53 ББК В3я7

Ф50 Физика : сборник контрольных заданий. В 2 ч. Ч. 1 / сост. Е. Н. Афана-

сьева. – Ульяновск : УВАУ ГА(И), 2013. – 98 с.

Изложены общие методические указания по самостоятельному изуче-нию курса физики, решению задач и выполнению контрольных работ, приведены содержание разделов учебной дисциплины, изучаемых во 2 се-местре, список рекомендуемой литературы, а также контрольная работа 1, включающая основные формулы, примеры решения задач и кон-трольные задания по изученным разделам курса. В приложении содержат-ся необходимые справочные материалы.

Предназначены для студентов заочной формы обучения специализаций 162001.65.01 – Организация летной работы, 162001.65.02 – Организация использования воздушного пространства.

Печатается по решению Редсовета института.

УДК 53 ББК В3я7

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................................................................................. 3 1. Содержание разделов учебной дисциплины .................................................. 4 2. Общие методические указания ........................................................................ 7 Контрольная работа 1 ..................................................................................... 12 Рекомендуемая литература ................................................................................. 93 Библиографический список................................................................................ 94 Приложение ......................................................................................................... 95

ФГБОУ ВПО «Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)», 2013

ВВЕДЕНИЕ

Цель настоящего сборника контрольных заданий – оказать помощь сту-дентам заочной формы обучения в изучении курса физики, без освоения ко-торого невозможна успешная теоретическая подготовка инженера любого профиля. Физика как общенаучная дисциплина наряду с высшей математи-кой и теоретической механикой способствует более глубокому усвоению специальных технических дисциплин, формированию у обучаемых научного мировоззрения и современного физического мышления.

Овладеть курсом физики – это значит не только понять физические яв-ления и закономерности, но и научиться их практически применять. Всякое применение общих положений физики для разрешения конкретного, част-ного вопроса есть решение физической задачи. Умение решать задачи дела-ет знания действенными, практически применимыми. Поэтому решение за-дач особенно важно при совершенствовании различных форм самостоя-тельной работы студентов заочной формы обучения.

Предлагаемый сборник контрольных заданий предназначен для практи-ческого применения материала, изложенного в типовых программах по фи-зике Государственного образовательного стандарта высшего профессио-нального образования по специализациям 162001.65.01 – Организация лет-ной работы и 162001.65.02 – Организация использования воздушного про-странства. Курс дисциплины «Физика» для инженерно-технических специ-альностей рассчитан на 288 часов занятий (аудиторных и самостоятельных) продолжительностью в два семестра. Сборник контрольных заданий со-ставлен с учетом сокращенного объема часов курса физики, особенно в от-ношении студентов заочной формы обучения. Особенности подготовки ин-женеров вышеуказанных специальностей учтены в рассматриваемых при-мерах и задачах практического приложения физики и физических методов в соответствующих областях техники.

Сборник контрольных заданий состоит из 2-х частей и содержит две контрольные работы, выполняемые студентами заочной формы обучения согласно программе учебной дисциплины во втором и третьем семестрах во время самостоятельной работы (на каждый семестр на нее отводится 121 ч). В части 1 данного сборника контрольных заданий рассматриваются три раздела курса физики: «Механика», «Электродинамика» и «Колебания и

Е. Н. АфанасьеваФизика. Сборник контрольных заданий. В 2 частях. Часть 1.

© УВАУ ГА(и), 2014 г 3

волны», изучаемые во втором семестре, и приведена контрольная работа 1. Для более успешной работы в начале каждого раздела контрольной работы дан перечень основных законов и формул, на основе которых ре-шаются задачи данного и последующих разделов, приведены примеры ре-шения задач. В конце сборника в приложении предлагаются необходимые справочные материалы. Для подготовки к экзамену в пособии имеется со-держание разделов учебной дисциплины.

1. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Механика

Предмет физики. Физические величины. Прямолинейное движение те-ла. Уравнение движения, перемещение, скорость, ускорение прямолиней-ного движения. Кинематическое уравнение движения, скорость и ускоре-ние для равномерного, равнопеременного, неравномерного прямолинейно-го движения тела.

Криволинейное поступательное движение. Перемещение, скорость, уско-рение криволинейного поступательного движения. Вращательное движение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Угловая скорость, угловое ускоре-ние и кинематическое уравнение поступательного движения тела по окруж-ности. Соотношение между линейными и угловыми характеристиками.

Основные понятия динамики поступательного движения: масса, сила, импульс. Законы Ньютона. Закон всемирного тяготения. Силы в природе. Сила тяжести. Сила упругости. Сила трения. Импульс. Теорема об измене-нии импульса. Реактивное движение. Закон сохранения импульса. Центр масс механической системы. Теорема о движении центра масс механиче-ской системы.

Механическая работа. Мощность. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Полная механическая энергия системы. Консервативные силы. Закон сохранения механической энергии. Центральный удар. Движение тел пере-менной массы. Уравнение Мещерского, формула Циолковского.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 4

Модель твердого тела. Вращательное движение твердого тела. Угол пово-рота. Угловая скорость. Угловое ускорение. Момент силы относительно точ-ки. Момент силы относительно оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса–Штейнера. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент импульса. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Теорема об изменении момента импульса. Закон сохранения момента импульса механиче-ской системы. Сложное движение. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Сила Кориолиса. Механический гироскоп. Свойства гироскопа.

Виды механических деформаций твердого тела. Закон Гука. Модуль Юнга. Модель несжимаемой жидкости. Течение идеальной жидкости (газа). Линии тока, трубка тока. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли. Вязкое течение несжимаемой жидкости. Ламинарное и турбулентное тече-ния жидкости (газа). Число Рейнольдса. Вязкость. Формула Стокса. Аэро-динамическая сила крыла (подъемная сила, сила лобового сопротивления).

Гравитационное взаимодействие. Законы Кеплера. Напряженность гравита-ционного поля. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия. По-тенциал гравитационного взаимодействия. Понятие о космических скоростях.

Границы применимости классической механики. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Прин-цип относительности Эйнштейна. Постулаты специальной теории относи-тельности. Относительность одновременности. Преобразования Лоренца. От-носительность промежутков времени. Относительность длины. Теорема сло-жения скоростей. Релятивистский закон взаимосвязи массы и энергии.

Раздел 2. Электродинамика

Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Электростатическое поле. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Графическое изображение электро-статических полей. Напряженность электрического поля. Индукция элек-трического поля. Поток вектора напряженности (индукции) электрического поля. Теорема Остроградского–Гаусса и ее применение. Работа по переме-щению зарядов в электростатическом поле. Потенциальная энергия системы электрических зарядов. Потенциал. Разность потенциалов. Связь между


© УВАУ ГА(и), 2014 г 5

напряженностью и потенциалом. Теорема о циркуляции вектора напряжен-ности электрического поля.

Проводники в электростатическом поле. Явление электростатической индукции. Диэлектрики в электростатическом поле. Явление поляризации диэлектриков. Электроемкость. Конденсаторы. Соединение конденсаторов. Энергия конденсатора. Энергия электрического поля. Объемная плотность энергии электрического поля.

Электрический ток. Сила тока. Плотность тока. Сопротивление провод-ников. Зависимость сопротивления металлов от температуры. Понятие о сверхпроводимости. Соединение сопротивлений. Источник тока. Электро-движущая сила источника тока. Закон Ома в интегральной форме. Закон Ома в дифференциальной форме.

Тепловое действие тока. Закон Джоуля–Ленца (в интегральной и диффе-ренциальной форме). Мощность тока. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа и их применение.

Магнитное поле. Графическое изображение магнитных полей. Поток маг-нитной индукции. Действие магнитного поля на проводник с током. Индукция магнитного поля. Напряженность магнитного поля. Контур с током в магнит-ном поле. Магнитный момент контура с током. Взаимодействие токов. Закон Ампера. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле.

Закон Био–Савара–Лапласа и его применение. Магнитное поле прямого тока. Магнитное поле кругового тока. Магнитное поле соленоида. Магнит-ное поле движущегося заряда. Эффект Холла. Поток магнитной индукции. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

Магнитное поле в веществе. Магнетики. Гипотеза Ампера. Магнитный момент электрона и атома. Намагниченность. Диамагнетизм. Парамагне-тизм. Ферромагнетизм. Магнитный гистерезис.

Явление электромагнитной индукции. Опыты Фарадея. Закон электро-магнитной индукции. Правило Ленца. ЭДС индукции в движущихся про-водниках. Явление самоиндукции. Индуктивность проводников. Взаимная индукция. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 6

Раздел 3. Колебания и волны

Колебательное движение. Свободные колебания. Гармонические коле-бания. Гармонический осциллятор. Уравнение гармонических колебаний. Амплитуда, частота, период, фаза гармонических колебаний. Векторная диаграмма гармонических колебаний (графическое представление гармони-ческих колебаний). Сложение гармонических колебаний одного направле-ния. Биения. Физический смысл спектрального разложения. Сложение вза-имно перпендикулярных колебаний.

Свободные затухающие колебания. Вынужденные колебания. Перемен-ный электрический ток. Резонанс. Резонанс напряжений. Резонанс токов.

Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны. Амплитуда, фаза, волновой вектор волны, волновое уравнение. Сто-ячие волны. Упругие волны в сплошной среде. Основы акустики. Эффект Доплера. Электромагнитные волны. Энергия волны, объемная плотность энергии, вектор Умова–Пойнтинга. Интенсивность волны.

2. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

2.1. Самостоятельная работа по учебным пособиям

Студенту заочной формы обучения на самостоятельную работу отводит-ся 84 % учебного времени, т. е. она является главным видом работы. Чтобы качественно освоить курс физики и успешно сдать экзамены по этой дисци-плине, необходимо следовать рекомендациям:

1. Изучать курс физики систематически в течение всего учебного про-цесса, т. к. освоение материала в сжатые сроки перед экзаменом не даст глубоких и прочных знаний.

2. Выбрать учебное пособие, содержащее весь курс физики или ее раз-дел, таким образом, чтобы разнообразие учебной литературы не нарушило целостности восприятия курса или раздела. Замена одного пособия другим может привести к утрате логической связи между отдельными вопросами.

3. Составлять конспект по мере изучения учебной литературы, записы-вать в нем суть физических явлений, законы и формулы, выражающие эти


© УВАУ ГА(и), 2014 г 7

законы, определения физических величин и единиц их измерения, делать чертежи и решать типовые задачи. Ознакомиться с Международной систе-мой единиц (СИ) и пользоваться ею при решении преимущественного большинства задач.

4. Использовать рабочую программу (с. 4–7 данного сборника) при осво-ении материала. Самостоятельную работу по изучению физики подвергать систематическому самоконтролю. Для этого после изучения очередного раздела физики следует ставить вопросы и отвечать на них.

5. Использовать аудиторные занятия и очные консультации преподава-телей, а также вести переписку с ними.

2.2. Решение задач

Систематическое решение задач – необходимое условие изучения курса физики. Решение задач помогает уяснить физический смысл явлений, при-вивает навыки практического применения теоретических знаний.

При решении и оформлении задач необходимо учитывать следующие аспекты:

1. Указать основные законы и формулы, разъяснить буквенные обозна-чения. Если применяется формула, полученная для частного случая, то ее следует вывести.

2. Сделать чертеж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно).

3. Решение задачи сопровождать пояснениями. 4. Решить задачу в общем виде, т. е. выразить искомую величину в бук-

венных обозначениях величин, заданных в условии задачи. За редким ис-ключением, не производятся вычисления промежуточных величин: число-вые значения подставляются только в окончательную (рабочую) формулу.

5. Подставить в рабочую формулу размерности или сокращенные обозна-чения единиц и убедиться в правильности размерности искомой величины.

6. Выразить все величины, входящие в рабочую формулу, в единицах СИ и выписать их для наглядности столбиком.

7. Подставить в окончательную формулу числовые значения.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 8

8. Оценить правдоподобность численного ответа, в ряде случаев такая оценка поможет обнаружить ошибочность полученного результата. Напри-мер, коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы, электрический заряд не может быть меньше элементарно-

го заряда 191,60 10e −= ⋅ Кл, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме и т. д.

Следует помнить, что умение решать задачи приобретается системати-ческими упражнениями. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольной работы, нужно после изучения очередного разде-ла учебника внимательно разобрать примеры решения типовых задач из за-дачников по физике.

2.3. Выполнение контрольных работ

К выполнению контрольных работ следует приступать только после изу-чения теоретического материала, соответствующего данному разделу про-граммы, внимательного ознакомления с примерами.

При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться сле-дующим:

1. Контрольные работы выполняются только по условиям задач данного пособия. Замена на другое пособие другого года издания не допускается.

2. Контрольные работы выполняются в обычной школьной тетради, на лицевой стороне которой (на обложке) приводятся сведения по следующе-му образцу:

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

ФАКУЛЬТЕТ БЕЗОТРЫВНЫХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, д. 8/8, (8422)39-82-17

Контрольная работа ____ по физике студента____курса, шифр_______ специализации__________________ Ф.И.О._________________________


© УВАУ ГА(и), 2014 г 9

3. Контрольная работа выполняется пастой синего или черного цвета. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставляются поля. Каждая следующая задача должна начинаться с новой страницы. Условия задачи переписываются полностью, без сокращений.

4. В конце контрольной работы необходимо указать, каким учебным по-собием студент пользовался при изучении физики (название учебника, ав-тор, год издания), чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

5. Если контрольная работа возвращена на доработку, студент обязан представить ее на повторную проверку, включив в нее те задачи, решения которых оказались неверными. Повторная работа представляется вместе с незачтенной работой.

6. Зачет контрольных домашних заданий проводится преподавателем путем проведения аудиторной работы или в форме собеседования препода-вателя со студентами.

2.4. Таблицы вариантов и номеров задач

Таблица 1

Варианты контрольных работ (последние цифры шифра / номер варианта)

01/1 02/2 03/3 04/4 05/5 06/6 07/7 08/8 09/9 10/10 11/11 12/12 13/13 14/14 15/15 16/16 17/17 18/18 19/19 20/20 21/21 22/22 23/23 24/24 25/25 26/1 27/2 28/3 29/4 30/5 31/6 32/7 33/8 34/9 35/10 36/11 37/12 38/13 39/14 40/15 41/16 42/17 43/18 44/19 45/20 46/21 47/22 48/23 49/24 50/25 51/1 52/2 53/3 54/4 55/5 56/6 57/7 58/8 59/9 60/10 61/11 62/12 63/13 64/14 65/15 66/16 67/17 68/18 69/19 70/20 71/21 72/22 73/23 74/24 75/25 76/1 77/2 78/3 79/4 80/5 81/6 82/7 83/8 84/9 85/10 86/11 87/12 88/13 89/14 90/15 91/16 92/17 93/18 94/19 95/20 96/21 97/22 98/23 99/24 00/25

Вариант контрольной работы определяется двумя последними цифрами учебного шифра (от 00 до 99) по табл. 1. Всего 25 вариантов. Например, если две последние цифры 47, по табл. 1 им соответствует вариант 22.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 10

Таблица 2

Номера задач контрольной работы 1

Вариант Номера задач

1 101 126 151 176 201 301 326 351 401 426 2 102 127 152 177 202 302 327 352 402 427 3 103 128 153 178 203 303 328 353 403 428 4 104 129 154 179 204 304 329 354 404 429 5 105 130 155 180 205 305 330 355 405 430 6 106 131 156 181 206 306 331 356 406 431 7 107 132 157 182 207 307 332 357 407 432 8 108 133 158 183 208 308 333 358 408 433 9 109 134 159 184 209 309 334 359 409 434

10 110 135 160 185 210 310 335 360 410 435 11 111 136 161 186 211 311 336 361 411 436 12 112 137 162 187 212 312 337 362 412 437 13 113 138 163 188 213 313 338 363 413 438 14 114 139 164 189 214 314 339 364 414 439 15 115 140 165 190 215 315 340 365 415 440 16 116 141 166 191 216 316 341 366 416 441 17 117 142 167 192 217 317 342 367 417 442 18 118 143 168 193 218 318 343 368 418 443 19 119 144 169 194 219 319 344 369 419 444 20 120 145 170 195 220 320 345 370 420 445 21 121 146 171 196 221 321 346 371 421 446 22 122 147 172 197 222 322 347 372 422 447 23 123 148 173 198 223 323 348 373 423 448 24 124 149 174 199 224 324 349 374 424 449 25 125 150 175 200 225 325 350 375 425 450

Контрольная работа 1 включает 10 задач, номера которых выбирают-ся согласно варианту по табл. 2. Представленные в сборнике контрольные задания 101–225 относятся к разделу «Механика», 301–375 – к разделу «Электродинамика» и 401–450 – к разделу «Колебания и волны».

Согласно табл. 1 и 2 варианту 22 в контрольной работе 1 соответ-ствуют задачи: 122, 147, 172, 197, 222, 322, 347, 372, 422, 447.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 11

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

Раздел 1. Механика

Основные формулы

Радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в про-странстве,

= + + r xi yj zk ,

где x , y , z – координаты точки, i ,

j ,

k – единичные векторы направле-

ний (орты). Кинематические уравнения движения в координатной форме:

1( )=x f t ; 2 ( )=y f t ; 3( )=z f t ,

где t – время. Средняя скорость

v ∆=∆

r

t,

где ∆r – перемещение материальной точки за интервал времени ∆t . Средняя путевая скорость

v ∆=∆St

,

где ∆S – путь, пройденный точкой за интервал времени ∆t . Мгновенная скорость

v v v v= = + +

x y zdr i j kdt

,

где v =xdxdt

, v =ydydt

, v =zdzdt

– проекции скорости v на оси координат.

Модуль скорости 2 2 2v v v v= + +x y z .

Ускорение v

= = + +

x y zda a i a j a kdt

,

где v= x

xdadt

, v

= yy

da

dt, v

= zz

dadt

– проекции ускорения a на оси координат.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 12

Модуль ускорения 2 2 2= + +x y za a a a .

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной na и тангенци-

альной τa составляющих (рис. 1):

τ= +

na a a .

Модули этих ускорений

Rvan

2= ;

dtdva =τ ; 2 2

τ= +na a a ,

где R – радиус кривизны в данной точке траектории. Кинематические уравнения прямолинейного равномерного (v = const)

движения: а) в векторной форме

0( )r t r= +vt ,

где ( )r t – радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в момент времени t ; 0r

– радиус-вектор, определяющий положение матери-

альной точки в начальный момент времени (t = 0); б) в координатной форме (в проекции на координатные оси Ox, Oy, Oz)

0( )x t x t= + xv ; 0( )y t y t= + yv ; 0( )z t z t= + zv ,

где 0x , 0y , 0z – начальные координаты; xv , yv , zv – проекции скорости на

координатные оси. Кинематические уравнения прямолинейного равноускоренного (a = const)

движения: а) в векторной форме

2

0 0( )2

atr t r t= + +v

,

где 0v

– начальная скорость (скорость материальной точки в момент време-

ни t = 0); б) в координатной форме

2

0 0( )2x

xa tx t x t= + +v ;

2

0 0( )2y

ya t

y t y t= + +v ; 2

0 0( )2z

za tz t z t= + +v ,

Рис. 1


© УВАУ ГА(и), 2014 г 13

где 0xv , 0 yv , 0zv – проекции начальной скорости на координатные оси; xa ,

ya , za – проекции ускорения.

Скорость точки при равноускоренном движении: а) в векторной форме

0( )t at= +v v ;

б) в координатной форме

0( ) x xt a t= +xv v ; 0( ) y yt a t= +yv v ; 0( ) z zt a t= +zv v .

Положение твердого тела (или материальной точки) при заданной оси вращения определяется угловым перемещением (углом поворота)

SR

ϕ =

,

где S

– путь, пройденный точкой по дуге окружности радиуса R . При дифференциально малом угловом перемещении его можно рассматривать как вектор dϕ , направление которого совпадает с осью вращения и опреде-ляется правилом правого винта.

Средняя угловая скорость

t∆ϕ

ω =∆

,

где ∆ϕ – угловое перемещение за время t∆ . Мгновенная угловая скорость

ddtϕ

ω =

,

в проекции на ось вращения ddtϕ

ω = .

Угловое ускорение ddtω

ε =

,

в проекции на ось вращения ddtω

ε = .

Кинематическое уравнение равномерного (ω = const) вращения в проек-ции на ось вращения

0( )t tϕ = ϕ + ω ,

где 0ϕ – начальное угловое перемещение.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 14

Частота вращения Nnt

= или 1nT

= ,

где N – число оборотов, совершаемое телом за время t ; T – период враще-ния (время одного полного оборота).

Угловое перемещение ϕ и угловая скорость ω связаны с числом оборо-тов, частотой вращения и периодом вращения соотношениями

2 Nϕ = π ; 2 nω = π ; 2Tπ

ω = .

Кинематическое уравнение равноускоренного вращения в проекции на ось вращения

2

0 0( )2tt t ε

ϕ = ϕ + ω + ,

где 0ω – начальная угловая скорость. Угловая скорость при равноускоренном вращении

0( )t tω = ω + ε . Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими

вращение материальной точки, выражается следующими формулами: – путь, пройденный точкой по дуге окружности радиуса R ,

S R= ϕ , где ϕ – угол поворота тела;

– скорость точки (линейная)

R= ωv , R = ω v ;

– ускорение точки

a Rτ = ε ; a Rτ = ε (тангенциальное);

2na R= ω ; 2

na R= −ω (нормальное).

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона): а) в векторной форме

1

N

ii

dp Fdt =

= ∑

или 1

N

ii

ma F=

= ∑ ,

где 1

N

ii

F=∑

– геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;


© УВАУ ГА(и), 2014 г 15

m – масса точки; a – ускорение; p m= v – импульс; N – число сил, дей-

ствующих на точку; б) в координатной форме (скалярной)

x xima F= ∑ ; y yima F= ∑ ; z zima F= ∑

или 2

2 xid xm Fdt

= ∑ ; 2

2 yid ym Fdt

= ∑ ; 2

2 zid zm Fdt

= ∑ ,

где под знаком суммы стоят проекции сил iF

на соответствующие оси ко-

ординат. Сила упругости

kxF −=упр ,

где k – коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); x – абсо-лютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия

1 22

m mF Gr

= ,

где G – гравитационная постоянная, 1m и 2m – массы взаимодействующих

тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояние между ними. Сила трения скольжения

NF µ=тр ,

где µ – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления. Закон сохранения импульса замкнутой системы

const1

=∑=

N

iip или const

1=∑

=

N

iii vm ,

где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему. Работа, совершаемая постоянной силой,

A F r∆ = ∆ или cosA F r∆ = ∆ α .

Работа, совершаемая переменной силой,

( )cosL

A F r dr= α∫ ,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L .


© УВАУ ГА(и), 2014 г 16

Средняя мощность за интервал времени t∆ ANt

∆=∆

.

Мгновенная мощность dANdt

= или cosN F= αv ,

где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt . Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся по-

ступательно, 2

2kmE =

v или 2

2ppEm

= .

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или рас-тянутой пружины)

2

2pkxE = .

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух матери-альных точек (или тел) массами 1m и 2m , находящихся на расстоянии r

друг от друга,

1 2p

m mE Gr

= − .

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тя-жести,

pE mgh= ,

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потен-циальной энергии. Эта формула справедлива при условии h << R , где R – радиус Земли.

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

const=+ pk EE .

Работа, совершаемая внешними силами, определяется как мера измене-ния энергии системы

2 1A E E E= ∆ = − ,

где 1E и 2E – соответственно, начальная и конечная энергии системы.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 17

Момент силы F

, действующей на тело, относительно оси вращения M F l⊥= ,

где F⊥ – проекция силы F

на плоскость, перпендикулярную оси вращения;

l – плечо силы F

(кратчайшее расстояние от оси вращения до линии дей-ствия силы).

Момент инерции относительно оси Oz: а) материальной точки

2zI mr= ,

где m – масса материальной точки; r – расстояние от нее до оси вращения; б) системы материальных точек

2

1

n

z i ii

I m r=

= ∑ ,

где im – масса i -й материальной точки; ir – расстояние от этой точки до

оси Oz; в) твердого тела

2z

m

I r dm= ∫ ,

где знак «m » у интеграла означает, что интегрирование ведется по всем элементам твердого тела, обладающим массой.

Моменты инерции некоторых тел массой m правильной геометрической формы:

а) стержня длиной l относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню

20

112

I ml= ;

б) стержня длиной l относительно оси, проходящей через конец стерж-ня перпендикулярно стержню

20

13

I ml= ;

в) тонкого кольца, обруча, трубы радиусом R и массой m , маховика радиусом R и массой m , распределенной по ободу относительно оси, про-ходящей через центр перпендикулярно плоскости основания


© УВАУ ГА(и), 2014 г 18

20I mR= ;

г) круглого однородного диска (цилиндра) радиусом R и массой m от-носительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости основания,

20

12

I mR= ;

д) однородного шара массой m и радиусом R относительно оси, про-ходящей через центр шара,

20

25

I mR= .

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

20I I ma= + ,

где 0I – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через

центр масс тела параллельно заданной оси; a – расстояние между осями; m – масса тела.

Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно оси Oz ,

z zL I= ω .

Основной закон динамики вращательного движения относительно непо-движной оси Oz:

zz

dLMdt

= ,

где zM и zL – главный момент внешних сил и момент импульса системы от-

носительно оси Oz или для твердого тела с неизменным моментом инерции

z zM I= ε ,

где zI – момент инерции твердого тела, ε – угловое ускорение.

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы относи-тельно оси Oz ( zM = 0):

const=zL

или const=ωzL ,

где ω – угловая скорость тела.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 19

Работа постоянного момента силы zM , действующего на вращающееся вокруг оси Oz тело,

zA M= ϕ , где ϕ – угол поворота тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси Oz ,

2

2z

kIE ω

= .

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости, 2 2

2 2c z

km IE ω

= +v ,

где cv – скорость центра масс тела, zI – момент инерции тела относительно мгновенной оси Oz , проходящей через его центр масс.

Первая и вторая космические скорости

0gR=1v , 2 1 2=v v ,

где 0R – радиус планеты, g – ускорение свободного падения у поверхности планеты.

Уравнение Мещерского для движения тела переменной массы: d dmm F ud dt

= +vt

,

где F

– геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на тело (ракету), u – относительная скорость отделения или присоединения массы (например, скорость истечения газов относительно ракеты).

Формула Циолковского:

ln c

c

mum t

=−µ

v ,

где v – скорость ракеты в момент времени t , u – относительная скорость истечения продуктов сгорания (газов), cm – стартовая масса ракеты, µ – массовый расход топлива.

Уравнение неразрывности струи:

1 1 2 2S S=v v , где 1S и 2S – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; 1v и

2v – соответствующие скорости течений.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 20

Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае:

2 21 2

1 1 2 22 2p gh p ghρ ρ+ +ρ = + +ρ

v v ,

где 1p , 2p – статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока;

1v , 2v – скорости жидкости в этих сечениях; 21

2ρv и

22

2ρv – динамические

давления жидкости в этих же сечениях; 1h , 2h – высоты их над некоторым

уровнем; 1ghρ и 2ghρ – гидростатические давления.

Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

Re dρ=

ηv ,

где v – средняя по сечению скорость течения жидкости; d – диаметр труб-ки; ρ – плотность жидкости; η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критиче-ского значения Reкр, движение жидкости является ламинарным. При значе-ниях Re > Reкр движение жидкости переходит в турбулентное.

Для движения шарика в жидкости Reкр = 0,5; для потока жидкости в длинных трубках Reкр = 2300.

Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны пото-ка жидкости на медленно движущийся в ней шарик,

6F r= πη v , где r – радиус шарика; v – скорость шарика.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы ( Re << 1).

Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающий за время t че-рез длинную трубку,

4

8t prVl

π ∆=

η,

где p∆ – разность давлений на концах трубки; r – радиус трубки; l – длина трубки.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 21

В специальной теории относительности рассматриваются только инер-циальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси y , y′ и z , z′

сонаправлены, а относительная скорость

0v системы координат K ′ относительно

системы K направлена вдоль общей оси xx′ (рис. 2). Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

2

0 1l lc

= − v ,

где 0l – длина стержня в системе координат K ′ , относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси x′ ; l – длина стержня, измеренная в системе K , относительно которой он движет-ся со скоростью v ; c – скорость распространения электромагнитного излу-чения в вакууме.

Релятивистское замедление хода часов

( )0

21

ttc

∆∆ =

− v,

где 0t∆ – интервал времени между двумя событиями, происходящими в од-ной точке системы K ′ , измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); t∆ – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

Релятивистское сложение скоростей

02

01 c′ +

=′+

v vvv v

,

где ′v – относительная скорость (скорость тела относительно системы K ′ );

0v – переносная скорость (скорость системы K ′ относительно K); v – абсо-лютная скорость (скорость тела относительно системы K).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

Релятивистская масса

( )0

21

mm =− v c

или 021

mm =−β

,

Рис. 2


© УВАУ ГА(и), 2014 г 22

где 0m – масса покоя; β – скорость частицы, выраженная в долях скорости

света ( cβ =v ).

Релятивистский импульс

( )0

21

mp mc

= =−

vvv

или 0 21p m c β=

−β.

Полная энергия релятивистской частицы 2 2

0E mc m c T= = + ,

где T – кинетическая энергия частицы; 20 0m c E= – ее энергия покоя.

Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если v << c .

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы: 2 2 2 2

0p c E E= − .

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы:

2 20( 2 )p c T T E= + или 2

01 ( 2 )p T T m cc

= + .

Примеры решения задач

Пример 1. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему ра-диус кривизны R = 50 м. Уравнение движения автомобиля, определяющее криволинейную координату ξ , отсчитываемую по дуге окружности, имеет

вид 2( )t A Bt Ctξ = + + , где А = 10 м, В = 10 м/с, С = –0,5 м/с2. Найти: 1) ско-рость v автомобиля, его тангенциальное aτ , нормальное na и полное a

ускорения в момент времени t = 5 с; 2) длину пути S и модуль перемещения r∆ автомобиля за интервал времени τ = 10 с, отсчитанный с момента нача-

ла движения. Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую

производную от координаты по времени:

2d B Ctdtξ

= = +v .

Подставим в это выражение значения B , C , t и произведем вычисления: v = 5 м/с.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 23

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скоро-сти по времени:

2da Cdtτ = =v .

Подставив значение C , получим aτ= – 1 м/с2.

Нормальное ускорение определяется по формуле 2

naR

=v .

Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение ра-диуса кривизны траектории и произведем вычисления:

na = 0,5 м/с2.

Полное ускорение, как это видно из рис. 3, является геометрической суммой ускорений aτ

и na : na a aτ= + . Модуль ускорения

2 2na a aτ= + .

Подставив в это выражение найденные зна-чения aτ

и na , получим

a = 1,12 м/с2. 2. Чтобы определить путь S , пройденный автомобилем, заметим, что в слу-

чае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути S равна изменению криволинейной координаты ξ , т. е.

( ) (0)S = ξ τ − ξ или

2 2S A B C A B C= + τ + τ − = τ + τ . Подставим в полученное выражение значения B , C , τ и произведем

вычисления: S = 50 м.

Модуль перемещения, как это видно из рис. 3, равен

2 sin2

r R α∆ = ,

где α – угол между радиус-векторами, определяющими начальное ξ(0) и конечное ξ( τ ) положения автомобиля на траектории.

Рис. 3


© УВАУ ГА(и), 2014 г 24

Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути S к радиусу кривизны R траектории, т. е. S Rα = . Таким образом,

2 sin2Sr RR

∆ = .

Подставим сюда значения R , S и произведем вычисления: r∆ = 47,9 м.

Пример 2. Два шара массами 1m = 2,5 кг и 2m = 1,5 кг движутся навстре-

чу друг другу со скоростями 1v = 6 м/с и 2v = 2 м/с. Определить: 1) скорость

u шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров 1kE до и 2kE после

удара; 3) долю кинетической энергии w шаров, превратившейся во внут-реннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкиваю-щие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью u . Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары движутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:

1 1 2 2 1 2( )m m m m u+ = +v v ,

откуда

1 1 2 2

1 2

m mum m

+=

+v v .

Направление скорости первого шара примем за положительное, тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу пер-вому, следует взять со знаком минус:

2,5 6 1,5 2 32,5 1,5

u ⋅ − ⋅= =

+ м/с.

2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам 2 2

1 1 2 21 2 2k

m mE = +v v ;

21 2

2( )

2km m uE +

= .

Произведя вычисления по этим формулам, получим 2 2

12,5 6 1,5 2 48

2 2kE ⋅ ⋅= + = Дж;


© УВАУ ГА(и), 2014 г 25

2

2(2,5 1,5) 3 18

2kE + ⋅= = Дж.

3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кине-тической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энер-гии, определим из соотношения

1 2

1

k k

k

E EwE−

= ;

w = 0,62. Пример 3. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к кон-

цу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определить момент инерции I маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрел угловую скорость ω = 9 рад/с.

Решение. Момент силы тяжести, действующей на маховик, равен M Fl= ,

где F mg= – сила тяжести, l – плечо силы (в данном случае l R= ). Так как маховик вращается равномерно из положения покоя ( 0ω = 0), то

0 tω = ω + ε ,

tω

ε = .

Ускорение, развиваемое маховиком, равно M mgRI I

ε = = .

Из последних двух выражений следует mgR

I tω

= ,

откуда mgRtI =ω

.

Произведя вычисления, получим 2 9,8 0,3 3 1,96

9I ⋅ ⋅ ⋅= = кг ⋅м2.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 26

Пример 4. На краю платформы в виде диска, вращающегося по инерции вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 1ω = 0,84 рад/с, стоит человек

массой 1m = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вра-

щаться с угловой скоростью 2ω = 0,11 рад/с. Определить массу 2m платфор-

мы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно

оси вращения Oz , совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция zL момента импульса

системы «человек – платформа» остается постоянной: const=ω= zz LL .

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии 1 2zI I I= + , в конечном

1 2zI I I′ ′ ′= + . С учетом этого равенства закон сохранения момента импульса

системы примет вид

1 2 1 1 2 2( ) ( )I I I I′ ′+ ω = + ω .

Момент инерции платформы относительно оси Oz при переходе челове-ка не изменяется:

22 2 2

12

I I m R′= = .

Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции 1I в начальном состоянии

21 1I m R= ,

а в конечном 1I ′= 0. После подстановки получим

1 12

2 1

2mm ω=ω −ω

,

2m = 560 кг.

Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вер-тикальном направлении. При какой минимальной скорости 1v , сообщенной

ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное ра-диусу Земли ( R = 6,37 ⋅106 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 27

Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являю-щаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

1 1 2 2k p k pE E E E+ = + ,

где 1kE , 1pE и 2kE , 2pE – кинетическая и потенциальная энергии ракеты

после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конеч-ном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии, 21

1 2kmE =

v .

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

1pmME G

R= − .

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энер-гия возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетиче-ская энергия 2kE станет равной нулю, а потенциальная – достигнет макси-

мального значения:

2 2pmME G

R= − .

После подстановки выражений 1kE , 1pE , 2kE и 2pE в закон сохранения

механической энергии, получаем 21

2 2m mM mMG G

R R− = −

v ,

откуда 1MGR

=v .

Заметив, что 2GM R g= ( g – ускорение свободного падения у поверх-

ности Земли), перепишем эту формулу в виде

1 gR=v ,

что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведем вычисления:

61 9,8 6,37 10= ⋅ ⋅v м/с = 7,9 км/с.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 28

Пример 6. Из сопла ракеты вылетают продукты сгорания (газы) со ско-ростью u = 2 км/с (относительно ракеты). Массовый расход горючего, т. е. масса ежесекундно выбрасываемых газов, µ = 5 кг/с. Определить реактив-ную силу R , возникающую при выбрасывании газов.

Решение. Реактивная сила R

, действующая на ракету, согласно третьему закону Ньютона, равна по модулю и направлена противоположно силе F

,

действующей со стороны ракеты на выбрасываемые газы: R F= −

.

Рис. 4

Эту силу найдем, используя второй закон Ньютона, и запишем в виде dpFdt

=

,

где dp – импульс, получаемый порцией газа массой dm за время dt (рис. 4): dp udm= .

Тогда udmFdt

=

,

где dmdt

– массовый расход µ , т. е. F u= µ .

Следовательно, реактивная сила

R u= −µ .

Знак минус указывает на то, что реактивная сила R

направлена проти-воположно скорости u выбрасываемых из сопла газов.

Модуль реактивной силы

R R u= = µ .

Проверим единицы измерения:

[ ] [ ][ ]R u= µ Нс

мкгсм

скг

2 =⋅

=⋅= .


© УВАУ ГА(и), 2014 г 29

Подставим числовые значения в СИ и произведем вычисления: 35 2 10R = ⋅ ⋅ = 104 Н = 10 кН.

Пример 7. Определите наибольшую величину диаметра трубы, при ко-тором на достаточном удалении от входа будет иметь место ламинарное те-чение, если через поперечное сечение трубы протекает 2 л/с керосина кине-матической вязкости 5 ⋅10–6 м2/с. Какова при этом средняя скорость течения керосина?

Решение. Характер движения среды определяется безразмерным числом Рейнольдса

Re dρ=

ηv , (1)

где d – диаметр трубы, v – средняя скорость жидкости по сечению, ρ – плотность жидкости, η – динамическая вязкость жидкости.

Если число Re > 2300, то движение жидкости в трубе из ламинарного становится турбулентным. При нахождении наибольшего диаметра трубы, при котором движение жидкости остается ламинарным, следует считать Re = 2300.

Кинематическая вязкость жидкости – величина, численно равная отно-шению вязкости η к плотности ρ :

ην =

ρ. (2)

Объем керосина, протекающий через любое поперечное сечение трубы в 1 с, равен

4

2dvSvV π⋅== . (3)

Решив совместно уравнения (1), (2), (3), получим 4

ReVd =

πν;

2 2Re4Vν π

=v .

Проверим размерность и произведем расчет:

мсмсм][ 2

3=

⋅⋅

=d ;


© УВАУ ГА(и), 2014 г 30

[v ]см

мcсм32

4=

⋅⋅

= ;

3

64 2 10

3,14 5 10 2300d

−

−⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅

= 0,222 м;

2 12

32300 25 10 3,14

4 2 10

−

−⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

v = 5,19 ⋅10–2 м/с.

Пример 8. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростями

1 234

c= =v v относительно неподвижного наблюдателя. Определить ско-

рость сближения ракет по классической и релятивистской формулам сло-жения скоростей.

Решение. Найдем относительную скорость ракет: 1) по классической формуле сложения скоростей

uкл 1 23 3 1,54 4

c c c= + = + =v v ;

2) по релятивистской формуле сложения скоростей

uрел ( )1 2

2 21 2

3 34 4 0,96

3 31 1 4 4

c cc

c c c c

++= = =

+ + ⋅

v vv v

.

Пример 9. Электрон движется со скоростью 0,8c . Масса покоя электро-на равна приблизительно 9,1 ⋅10–31 кг. Определить энергию покоя электрона (в джоулях и электронвольтах), массу электрона, его полную и кинетиче-скую энергию.

Решение. Энергию покоя электрона найдем по формуле 2

0 0E m c= ; 31 16 140 9,1 10 9 10 8,2 10E − −≈ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ Дж.

Выразим энергию электрона в электронвольтах, учитывая, что 1 эВ = 1,6 ⋅10–19 Дж:

145

0 198,2 10 5,12 101,6 10

E−

−⋅

= ≈ ⋅⋅

эВ 0,51≈ МэВ.

Массу движущегося электрона определим из соотношения

02 21

emm

c=

−v;

( )

3130

2

9,1 10 1,52 101 0,8

emc c

−−⋅

= ≈ ⋅−

кг.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 31

Полную энергию электрона получим по формуле 2E mc= ; 30 16 141,52 10 9 10 13,7 10E − −≈ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ Дж.

Из соотношения 0E E T= + найдем кинетическую энергию электрона:

0T E E= − ; 14 1413,7 10 8,2 10T − −≈ ⋅ − ⋅ ≈ 145,5 10−⋅ Дж.

Контрольные задания

101. Тело падает с высоты h = 1 км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какой путь пройдет те-ло: 1) за первую секунду падения; 2) за последнюю секунду падения.

102. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением a = 5 м/с2. Определить, насколько путь, пройденный точкой в п-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять 0v = 0.

103. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 0v = 4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью 0v вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

104. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоро-стью 0v = 10 м/с и постоянным ускорением a = –5 м/с2. Определить, во сколько раз путь ∆s , пройденный материальной точкой, будет превышать модуль ее перемещения ∆r спустя t = 4 с после начала отсчета времени.

105. При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доно-сится через t = 5 с. Принимая скорость звука v = 330 м/с, определите глу-бину колодца.

106. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью 1v = 18 км/ч. Половину оставшегося времени он

ехал со скоростью 2v = 22 км/ч, после чего до конечного пункта он шел

пешком со скоростью 3v = 5 км/ч. Определить среднюю путевую скорость

v велосипедиста.

107. В течение времени τ скорость тела задается уравнением вида 2v = + +A Bt Ct (0≤ t ≤ τ ). Определите среднюю скорость за промежуток

времени τ .


© УВАУ ГА(и), 2014 г 32

108. Материальная точка движется в плоскости xy согласно уравнениям 2

1 1 1= + +x A B t C t и 22 2 2= + +y A B t C t , где В1 = 7 м/с, С1 = –2 м/с2, В2 = –1 м/с,

С2 = 0,2 м/с2. Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5 с.

109. Две материальные точки движутся согласно следующим уравнениям: 2 3

1 1 1 1= + +x A t B t C t и 2 32 2 2 2= + +x A t B t C t , где А1 = 4 м/с, В1 = 8 м/с2,

С1 = –16 м/с3, А2 = 2 м/с, В2 = –4 м/с2, С2 = 1 м/с3. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости 1v и 2v точек в

этот момент. 110. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным

угловым ускорением ε . Определить тангенциальное ускорение τa точки,

если известно, что за время t = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение na = 2,7 м/с2.

111. Самолет летит относительно воздуха со скоростью 1v = 800 км/ч. С

запада на восток дует ветер со скоростью 2v = 15 м/с. С какой скоростью

самолет будет двигаться относительно земли и под каким углом к меридиа-ну надо держать курс, чтобы перемещение было: 1) на юг; 2) на север; 3) на запад; 4) на восток?

112. С какой скоростью должен двигаться самолет на экваторе с востока на запад, чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижно стоящим на небе?

113. Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность S полета тела в четыре раза больше максимальной высоты H траектории.

114. Самолет, летевший на высоте h = 2940 м со скоростью v = 360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком рас-стоянии S от нее самолет должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.

115. Определить полное ускорение a в момент t = 3 с точки, находя-щейся на ободе колеса радиусом R = 0,5 м, вращающегося согласно урав-

нению 3At Btϕ = + , где A = 2 рад/с; B = 0,2 рад/с3.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 33

116. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон тормо-зит, и его скорость равномерно изменяется за время t∆ = 3 с от 1v = 18 км/ч

до 2v = 6 км/ч. На какой угол α отклонится при этом нить с шаром?

117. Точка движется по окружности радиусом R = 8 м. В некоторый мо-мент времени нормальное ускорение точки an = 4 м/с2, вектор полного ускорения a образует в этот момент с вектором нормального ускорения an

угол α = o60 . Найти скорость v и тангенциальное ускорение aτ точки.

118. Вертолет массой m = 3,5 т с ротором, диаметр d которого равен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью v ротор отбрасывает вертикаль-но вниз струю воздуха? Диаметр струи считать равным диаметру ротора.

119. Тело брошено под углом α = o30 к горизонту. Найти тангенциаль-ное aτ и нормальное na ускорения в начальный момент движения.

120. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением а = 20 м/с2. Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? (Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на пассажира, к силе тяжести P).

121. Винт самолета радиусом 1,5 м вращается со скоростью 2000 об/мин, причем посадочная скорость самолета относительно Земли равна 161 км/ч. Какова скорость точки на конце винта? Каков характер пути, описываемого этой точкой?

122. Самолет массой 6000 кг совершает разбег от скорости, равной ну-лю, до скорости 200 км/ч (при которой он отрывается от земли). Сила тяги двигателя 4,9 ⋅109 Н, сила лобового сопротивления и сила трения вместе равны 1,47 ⋅104 Н. Определить длину и время разбега самолета.

123. Винт самолета, делая 1500 об/мин, при торможении стал вращаться равномернозамедленно и остановился через 30 с. Найти угловое ускорение и число оборотов, сделанных винтом, с начала торможения до полной остановки.

124. Посадочная скорость самолета равна 100 км/ч. Лобовое сопротив-ление и трение составляют 25 % от веса самолета. Найти время и длину пробега самолета при посадке.

125. Наклонная плоскость, образующая угол α = o25 с плоскостью го-ризонта, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло


© УВАУ ГА(и), 2014 г 34

с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения µ тела о плоскость.

126. Шар массой m1 = 2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40 % кинетической энергии. Определить массу m2 большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

127. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m1 = 10 г со скоростью v = 300 м/с. Затвор пистолета массой 2m = 200 г прижимается

к стволу пружиной, жесткость которой k = 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

128. Вагон массой m = 35 т движется на упор со скоростью v = 0,2 м/с. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на ∆l = 12 см. Определить максимальную силу maxF сжатия буферных пружин и продол-

жительность t∆ торможения. 129. Шар массой 1m = 4 кг движется со скоростью 1v = 5 м/с и сталкива-

ется с шаром массой 2m = 6 кг, который движется ему навстречу со скоро-

стью 2v = 2 м/с. Определить скорости 1u и 2u шаров после удара. Удар счи-

тать абсолютно упругим, прямым, центральным. 130. С высоты h = 2 м на стальную плиту свободно падает шарик мас-

сой m = 200 г и подпрыгивает на высоту 1h = 0,5 м. Определить импульс p ,

полученный шариком при ударе. 131. В подвешенный на нити длиной l = 1,8 м деревянный шар массой

1m = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой 2m = 4 г. С какой

скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей откло-

нилась от вертикали на угол α = o3 ? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

132. Лодка длиной l = 3 м и массой m = 120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами m1 = 60 кг и m2 = 90 кг. На сколь-ко сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?

133. Шар массой m1 = 1 кг движется со скоростью 1v = 4 м/с и сталкива-

ется с шаром массой m2 = 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью

2v = 3 м/с. Каковы скорости 1u и 2u шаров после удара? Удар считать абсо-

лютно упругим, прямым, центральным.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 35

134. Снаряд, летевший со скоростью v = 400 м/с, в верхней точке траекто-рии разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40 % от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоро-стью 1u = 150 м/с. Определить скорость 2u большего осколка.

135. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой

1m = 2,5 кг под углом α = o30 к горизонту со скоростью v = 10 м/с. Какова

начальная скорость 0v движения конькобежца, если его масса m2 = 60 кг?

Перемещением конькобежца во время броска пренебречь. 136. Человек массой m1 = 70 кг, бегущий со скоростью 1v = 9 км/ч, дого-

няет тележку массой m2 = 190 кг, движущуюся со скоростью 2v = 3,6 км/ч, и

вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с челове-ком? С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке?

137. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, про-

изводит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом α = o30 к линии горизонта. Определить скорость 2u отката платформы, если снаряд вылетает

со скоростью 1u = 480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами m2 = 18 т,

масса снаряда 1m = 60 кг.

138. Плот массой 1m = 150 кг и длиной l = 2 м плавает на воде. На плоту

находится человек, масса которого 2m = 80 кг. С какой наименьшей скоро-

стью v и под каким углом α к плоскости горизонта должен прыгнуть чело-век вдоль плота, чтобы попасть на его противоположный край?

139. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со ско-ростью 1v = 3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыга-

ет человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной

1u = 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости 2 Xu чело-

века при прыжке относительно тележки. Масса тележки 1m = 210 кг, масса

человека 2m = 70 кг.

140. При горизонтальном полете со скоростью v = 250 м/с снаряд массой m = 8 кг разорвался на две части. Большая часть массой 1m = 6 кг получила


© УВАУ ГА(и), 2014 г 36

скорость 1u = 400 м/с в направлении полета снаряда. Определить модуль и

направление скорости 2u меньшей части снаряда.

141. Конькобежец весом 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в гори-зонтальном направлении камень массой в 3 кг со скоростью 8 м/с. Найти, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если известно, что ко-эффициент трения коньков о лед равен 0,02.

142. Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k = 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m = 8 г. Определить скорость v пули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата на x∆ = 4 см.

143. Атом вещества распадается на две части массами m1 = 1,6 ⋅10–25 кг и m2 = 2,3 ⋅10–25 кг. Определить кинетические энергии 1T и 2T частей атома, если их общая кинетическая энергия T = 2,2 ⋅10–11 Дж. Кинетической энер-гией и импульсом атома до распада пренебречь.

144. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на ∆l = 3 мм. На сколько со-жмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h = 8 см?

145. Определить максимальную часть кинетической энергии, которую может передать частица массой 1m = 2 ⋅10–22 г, сталкиваясь упруго с части-

цей массой 2m = 6 ⋅10–22 г, которая до столкновения покоилась. 146. Какую нужно совершить работу А, чтобы пружину жесткостью

k = 800 Н/м, сжатую на x = 6 см, дополнительно сжать на x∆ = 8 см? 147. Два груза массами 1m = 10 кг и 2m = 15 кг подвешены на нитях дли-

ной l = 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был

отклонен на угол ϕ = o60 и отпущен. Определить высоту h , на которую поднимутся оба груза после неупругого удара.

148. Две пружины жесткостью 1k = 0,5 кН/м и 2k = 1 кН/м скреплены па-раллельно. Определить потенциальную энергию П данной системы при аб-солютной деформации l∆ = 4 см.

149. Частица массой m1 = 10–24 г имеет кинетическую энергию 1T = 9 нДж. В результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m2, равной 4 ⋅10–24 г, она сообщает ей кинетическую энергию 2T = 5 нДж. Определить угол α , на который отклонится частица от своего первона-чального направления.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 37

150. Шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью 1v = 3 м/с и сталкива-ется с шаром массой m2 = 1 кг, движущимся ему навстречу со скоростью

2v = 4 м/с. Определить скорости шаров после прямого центрального удара. Удар считать абсолютно упругим.

151. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра m1 = 12 кг. На ци-линдр намотали шнур, к которому привязали гирю массой m2 = 1 кг. С ка-ким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гири?

152. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили оди-наковую угловую скорость ω = 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 360 оборотов. У какого маховика тормо-зящий момент был больше и во сколько раз?

153. К концам легкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массами m1 = 0,2 кг и m2 = 0,3 кг. Во сколько раз отлича-ются силы, действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блока m = 0,4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением a = 2 м/с2? Силами трения и проскальзывания нити по блоку пренебречь.

154. Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под дей-ствием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения T1 и T2 нити по обе стороны блока.

155. Определить момент силы M , который необходимо приложить к бло-ку, вращающемуся с частотой n = 12 с –1 , чтобы он остановился в течение времени ∆t = 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блока m = 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.

156. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью v = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставлен-ным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.

157. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой m = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение


© УВАУ ГА(и), 2014 г 38

ε и частоту вращения n маховика через время t = 10 с после начала дей-ствия силы, если радиус r шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.

158. К ободу колеса, имеющего форму диска радиусом R = 0,5 м и мас-сой m = 50 кг, приложена касательная сила F = 98 Н. Определить: 1) угловое ускорение ε колеса; 2) через сколько времени после начала действия силы колесо будет иметь скорость, соответствующую частоте n = 100 об/с.

159. Нить с привязанными к ее концам грузами массами m1 = 50 г и m2 = 60 г перекинута через блок диаметром D = 4 см. Определить момент инерции I блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускоре-ние ε = 1,5 рад/с2. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

160. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину,

согласно уравнению 3ϕ = +At Bt , где A = 2 рад/с, B = 0,2 рад/с3. Опреде-лить вращающий момент M , действующий на стержень через время t = 2 с после начала вращения, если момент инерции стержня I = 0,048 кг ⋅м2.

161. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 около оси, проходящей перпен-дикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент M.

162. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R = 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m, рав-ной 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь S = 1,8 м за время t = 3 с. Определить момент инерции I маховика. Массу шкива считать пре-небрежимо малой.

163. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шну-ра привязали грузики массой m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением a будут двигаться грузики, если масса блока равна 400 г? Трение при враще-нии блока ничтожно мало.

164. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения имеет вид ϕ = A + Bt2 + Ct3, где B = 4 рад/с2, C = –1 рад/с3. Найти закон изменения момента сил, дей-ствующих на шар. Определить момент сил M в момент времени t = 2 с.

165. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 1n = 14 мин –1. На краю платформы стоит человек. Когда че-

ловек перешел в центр платформы, частота возросла до 2n = 25 мин –1. Мас-


© УВАУ ГА(и), 2014 г 39

са человека m = 70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции че-ловека рассчитывать как для материальной точки.

166. На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой m = 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи l1 = 70 см. Скамья вращается с частотой n1 = 1 с–1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу A произведет человек, если он сожмет ру-ки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси I = 2,5 кг ⋅м2.

167. Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой m1 = 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью 1ω

будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m2 = 70 кг со скоростью v = 1,8 м/с относительно платформы?

168. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоро-стью 1ω = 4 рад/с. С какой угловой скоростью 2ω будет вращаться скамья с

человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 5 кг ⋅м2. Длина стержня l = 1,8 м, масса m = 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

169. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около верти-кальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол ϕ повернет-ся платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку? Масса платформы m1 = 280 кг, масса человека m2 = 80 кг.

170. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось вело-сипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью

1ω = 25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью ска-

мьи Жуковского. С какой скоростью ω2 станет вращаться скамья, если по-

вернуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол α = o90 ? Момент инер-ции человека и скамьи I = 2,5 кг ⋅м2, момент инерции колеса 0I = 0,5 кг ⋅м2.

171. На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n1 = 8 мин

–1, стоит человек массой m1 = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой


© УВАУ ГА(и), 2014 г 40

n2 = 10 мин –1. Определить массу 2m платформы. Момент инерции человека

рассчитывать как для материальной точки. 172. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и

массой m1 = 6 кг стоит человек массой m2 = 60 кг. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m = 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоя-нии r = 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v = 5 м/с.

173. Горизонтальная платформа массой m1 = 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n =8 мин

–1. Человек массой m2 = 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой уг-ловой скоростью ω начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым, однородным диском, а человека – материальной точкой.

174. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платфор-мы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость ω вра-щения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

175. Определить момент инерции I тонкого однородного стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

176. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободно-го падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

177. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обра-щающегося по круговой орбите на высоте h = 1000 км. Ускорение свобод-ного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

178. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совер-шает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84 ⋅108 м?


© УВАУ ГА(и), 2014 г 41

179. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного? Принять, что радиус RЗ Земли в 390 раз боль-ше радиуса RЛ Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

180. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

181. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом T = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

182. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоро-стью v = 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

183. Какая работа A будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бес-конечности?

184. Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h, равной 1000 км над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R .

185. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по круговой ор-бите на высоте H = 3200 км над поверхностью Земли. Определить линей-ную скорость v спутника.

186. Ракета массой m = 1 т, запущенная с поверхности Земли вертикаль-но вверх, поднимается с ускорением a = 2g. Скорость v струи газов, выры-вающихся из сопла, равна 1200 м/с. Найти расход Q горючего.

187. Ракета, масса которой в начальный момент времени m = 2 кг, запу-щена вертикально вверх. Относительная скорость выхода продуктов сгора-ния u = 150 м/с, расход горючего µ = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить ускорение a ракеты через t = 3 с после начала движе-ния. Поле силы тяжести считать однородным.

188. Ракета, масса которой в начальный момент времени m = 300 г, начина-ет выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью u = 200 м/с. Расход горючего µ = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внеш-ним силовым полем, определить: 1) за какой промежуток времени скорость


© УВАУ ГА(и), 2014 г 42

ракеты станет равной 1v = 50 м/с; 2) скорость 2v , которую достигнет ракета,

если масса заряда 0m = 0,2 кг.

189. Ракета с начальной массой m0 = 1,5 кг, начиная движение из состоя-ния покоя вертикально вверх, выбрасывает струю газов с постоянной отно-сительно нее скоростью u = 800 м/с. Расход газа µ = 0,3 кг/с. Определить, какую скорость приобретает ракета через время t = 1 с после начала дви-жения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в однородном поле силы тяжести.

190. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного се-чения. Скорость 1v воды в широкой части трубы равна 20 см/с. Определить

скорость 2v в узкой части трубы, диаметр d2 которой в 1,5 раза меньше

диаметра d1 широкой части. 191. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет

со скоростью 1v = 2 м/с. Определить скорость 2v нефти в узкой части тру-

бы, если разность p∆ давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа. 192. В горизонтально расположенной трубе с площадью S1 поперечного

сечения, равной 20 см2, течет жидкость. В одном месте труба имеет суже-ние, в котором площадь S2 сечения равна 12 см2. Разность h∆ уровней в двух манометрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход Q жидкости.

193. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр d1 = 20 см. В нем движется со скоростью 1v = 1 м/с поршень, выталкивая воду через отверстие

диаметром d2 = 2 см. С какой скоростью 2v будет вытекать вода из отвер-

стия? Каково будет избыточное давление p воды в цилиндре? 194. Бак высотой h = 1,5 м наполнен до краев водой. На расстоянии

d = 1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком расстоянии l от бака падает на пол струя, вытекающая из отверстия?

195. Смесь свинцовых дробинок диаметром 4 и 2 мм одновременно опус-кают в широкий сосуд глубиной h = 1,5 м с глицерином. Определить, на сколько больше времени потребуется дробинкам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 43

196. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d = 5 см со средней по сечению скоростью v = 10 см/с. Определить число Рейнольдса Re для

потока жидкости в трубе и указать характер течения жидкости. 197. В трубе с внутренним диаметром d = 3 см течет вода. Определить

максимальный массовый расход MAXmQ воды при ламинарном течении.

198. Медный шарик диаметром d = 1 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением в нем шарика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса Reкр = 0,5.

199. Латунный шарик диаметром d = 0,5 мм падает в глицерине. Опре-делить: 1) скорость v установившегося движения шарика; 2) является ли при этой скорости обтекание шарика ламинарным?

200. При движении шарика радиусом r1 = 2,4 мм в касторовом масле ла-минарное обтекание наблюдается при скорости 1v шарика, не превышаю-

щей 10 см/с. При какой минимальной скорости 2v шарика радиусом r1 = 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?

201. Частица движется со скоростью v = 0,5c . Во сколько раз реляти-вистская масса частицы больше массы покоя?

202. С какой скоростью v движется частица, если ее релятивистская масса в три раза больше массы покоя?

203. Электрон движется со скоростью v = 0,6c . Определить релятивист-ский импульс p электрона.

204. Отношение заряда движущегося электрона к его массе qm

, опреде-

ленное из опыта, равно 0,88 ⋅1011 Кл/кг. Определить релятивистскую массу m электрона и его скорость v .

205. Импульс p релятивистской частицы равен 0m c (m0 – масса покоя). Определить скорость v частицы (в долях скорости света).

206. Полная энергия тела возросла на E∆ = 1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела?

207. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на m∆ = 1 г?


© УВАУ ГА(и), 2014 г 44

208. Кинетическая энергия T электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

209. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивист-ской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию T = 1 ГэВ?

210. Электрон летит со скоростью v = 0,8 c . Определить кинетическую энергию T электрона (в мегаэлектронвольтах).

211. При какой скорости v кинетическая энергия любой частицы веще-ства равна ее энергии покоя?

212. Определить скорость v электрона, если его кинетическая энергия: 1) T = 4 МэВ; 2) T = 1 кэВ.

213. Определить скорость v протона, если его кинетическая энергия: 1) T = 1 эВ; 2) T = 1 ГэВ.

214. Показать, что релятивистское выражение кинетической энергии T = (m – m0)c2, при v << c переходит в соответствующее выражение клас-сической механики.

215. Показать, что выражение релятивистского импульса через кинети-

ческую энергию 01 ( 2 )p T T Ec

= + при v << c переходит в соответствую-

щее выражение классической механики. 216. Каким импульсом обладает электрон, движущийся со скоростью 4/5c ? 217. Определить импульс p частицы (в единицах m0c), если ее кинетиче-

ская энергия равна энергии покоя. 218. Определить кинетическую энергию T релятивистской частицы (в

единицах m0c2), если ее импульс 0p m c= .

219. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n = 4 раза?

220. Импульс p релятивистской частицы равен m0c. Под действием внеш-ней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая; 2) полная?


© УВАУ ГА(и), 2014 г 45

221. На какую часть от собственной длины изменяется длина стержня для неподвижного наблюдателя, относительно которого стержень движется со скоростью 4/5c , направленной вдоль стержня?

222. Какое время пройдет по часам в ракете, движущейся равномерно и прямолинейно со скоростью v , если на часах, покоящихся в инерциальной системе отсчета, относительно которой движется ракета, прошел один час? Скорость ракеты считать равной 1) 3000 км/с; 2) 100 000 км/с; 3) 250 000 км/с.

223. Какое время пройдет на Земле, если в ракете, движущейся со скоро-стью 0,99c относительно Земли, пройдет 10 лет?

224. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две ча-стицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость в той же системе отсчета равна 0,5c. Определить скорости частиц.

225. Два тела движутся навстречу друг другу со скоростью 2 ⋅105 км/с относительно неподвижного наблюдателя. На сколько отличаются скорости их движения относительно друг друга, вычисленные по классической и ре-лятивистской формулам сложения скоростей?

Раздел 2. Электродинамика


Закон Кулона:

1 22

04q qF

r=

πε ε,

где F – сила взаимодействия точечных зарядов 1q и 2q ; r – расстояние

между зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость; 0ε – электрическая

постоянная. Закон сохранения заряда:

const1

=∑=

N

iiq ,

где 1

N

ii

q=∑ – алгебраическая сумма зарядов, входящих в электрически изоли-

рованную систему; N – число зарядов.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 46

Напряженность электрического поля и потенциал

FEq

=

, W

qϕ = ,

где W – потенциальная энергия точечного положительного заряда q, нахо-дящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия за-ряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

F qE=

, W q= ϕ . Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных за-

рядов (принцип суперпозиции электрических полей),

1

N

ii

E E=

= ∑

, 1

N

ii=

ϕ = ϕ∑ ,

где iE

, iϕ – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом.

В случае наложения двух электрических полей с напряженностями 1E

и

2E

модуль вектора напряженности определяется по теореме косинусов: 2 21 2 1 22 cosE E E E E= + + α ,

где α – угол между векторами 1E

и 2E

. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,

204qE

r=

πε ε,

04q

rϕ =

πε ε,

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряжен-ность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы (q – заряд сферы):

а) 0E = ; 04

qR

ϕ =πε ε

(при r < R );

б) 204qE

R=

πε ε;

04q

Rϕ =

πε ε (при r = R );


© УВАУ ГА(и), 2014 г 47

в) 204qE

r=

πε ε;

04q

rϕ =

πε ε (при r > R ).

Линейная плотность заряда dqdl

τ = .

Поверхностная плотность заряда dqdS

σ = .

Объемная плотность заряда dqdV

ρ = .

Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными заря-дами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотно-стью τ, то на линии выделится малый участок длиной dl с зарядом dq dl= τ . Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы

204dl rdE

rrτ

=πε ε

;

04dld

rτ

ϕ =πε ε

,

где r – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

При использовании принципа суперпозиции электрических полей напря-женность E

и потенциал ϕ поля, создаваемого распределенным зарядом,

находят интегрированием:

204 l

dl rErr

τ=

πε ε ∫

; 04 l

dlr

τϕ =

πε ε ∫ .

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии. Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно за-

ряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

02E

rτ

=πε ε

,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряжен-ной плоскостью,


© УВАУ ГА(и), 2014 г 48

02E σ=

ε ε.

Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечны-ми равномерно и разноименно заряженными плоскостями с одинаковой по модулю поверхностной плотностью σ заряда (поле плоского конденсатора),

0E σ=ε ε

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Связь потенциала с напряженностью:

а) E

ϕ−= grad или E i j kx y z

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ= − + + ∂ ∂ ∂

в общем случае;

б) 1 2Ed

ϕ −ϕ= в случае однородного поля;

в) dEdrϕ

= − в случае поля, обладающего центральной или осевой сим-

метрией. Поток вектора напряженности E

электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

ФЕ cosS

E dS= α∫ или ФЕ nS

E dS= ∫ ,

где α – угол между вектором напряженности E

и нормалью n к элементу поверхности; dS – площадь элемента поверхности; nE – проекция вектора

напряженности на нормаль; б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электриче-

ское поле, ФЕ cosES= α .

Электрический момент диполя

p q l= ,


© УВАУ ГА(и), 2014 г 49

где q – заряд; l

– плечо диполя (векторная величина, направленная от от-рицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом

1ϕ в точку с потенциалом 2ϕ

12 1 2( )A q= ϕ −ϕ .

Электроемкость qC =ϕ

или qCU

= ,

где ϕ – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U – разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора

0SCd

εε= ,

где S – площадь пластины (одной) конденсатора; d – расстояние между пла-стинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а) 1

1 1N

iiC C=

= ∑ при последовательном соединении;

б) 1

N

ii

C C=

= ∑ при параллельном соединении,

где N – число конденсаторов в батарее. Энергия заряженного конденсатора

2qUW = ,

2

2CUW = ,

2

2qWC

= .

Сила постоянного тока qIt

= ,

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t. Плотность тока

IjS

= ,


© УВАУ ГА(и), 2014 г 50

где S – площадь поперечного сечения проводника. Связь плотности тока со средней скоростью v направленного движения

заряженных частиц j qn= v ,

где q – заряд частицы; n – концентрация заряженных частиц. Закон Ома:

а) 1 2 UIR R

ϕ −ϕ= = для участка цепи, не содержащее ЭДС, где ϕ1 – ϕ2 = U –

разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротив-ление участка;

б) ( )1 2IR

ϕ −ϕ ±=

ε для участка цепи, содержащего ЭДС, где ε – ЭДС

источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внут-ренних сопротивлений);

в) i

IR R

=+ε для замкнутой (полной) цепи, где R – внешнее сопротив-

ление цепи; iR – внутреннее сопротивление цепи. Законы Кирхгофа:

а) 0iI =∑ – первый закон;

б) i i iI R = ε∑ ∑ – второй закон,

где iI∑ – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; i iI R∑ – ал-

гебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков в кон-туре цепи; iε∑ – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре.

Сопротивление R и проводимость G проводника lRS

= ρ , SGl

= σ , 1GR

= ,

где 1ρ = σ – удельное сопротивление; σ– удельная проводимость; l – дли-на проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление системы проводников: а) iR R= ∑ при последовательном соединении;

б) 1 1

iR R= ∑ при параллельном соединении, где iR – сопротивление i-го

проводника.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 51

Закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме: j E= σ

,

где j

– плотность тока; σ – удельная проводимость; E

– напряженность электрического поля.

Работа тока

A IUt= , 2A I Rt= , 2UA t

R= .

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержаще-го ЭДС.

Мощность тока

P IU= , 2P I R= , 2UP

R= .

Закон Джоуля–Ленца в интегральной форме: 2Q I Rt IUt= = .

Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме: 2w jE E= = σ ,

где w – удельная тепловая мощность тока; E – напряженность электриче-ского поля.

Энергия заряженного конденсатора 2

21 1 12 2 2

qW CU qUC

= = = ,

где C – электроемкость конденсатора; U – разность потенциалов на его пла-стинах.

Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходяща-яся на единицу объема)

22

00

1 1 12 2 2

dW Dw E EDdV

= = εε = =εε

,

где E – напряженность электрического поля в среде с диэлектрической

проницаемостью ε ; 0D E= εε

– вектор электрической индукции.

Связь магнитной индукции B

с напряженностью H

магнитного поля


© УВАУ ГА(и), 2014 г 52

0B H= µµ

,

где µ – магнитная проницаемость изотропной среды; µ0 – магнитная по-стоянная.

В вакууме µ = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме

0B H= µ

.

Закон Био–Савара–Лапласа:

034

I dl rdB

r

µµ =π

или 02

sin4

IdB dlr

µµ α=

π

,

где dB

– магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током I ; r – радиус-вектор, направленный от элемента про-водника к точке, в которой определяется магнитная индукция; α – угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе проводника.

Магнитная индукция в центре кругового тока

0

2IB

Rµµ

= ,

где R – радиус кругового витка. Магнитная индукция на оси кругового тока

( )2

03 22 2

24

R IBR a

µµ π=

π +,

где a – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется маг-нитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока

0

2IBr

µµ=

π,

где r – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется маг-нитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника с током (рис. 5, а)

( )01 2

0cos cos

4IBr

µµ= ϕ − ϕ

π.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 53

Рис. 5

Обозначения ясны из рис. 5. Направление вектора магнитной индукции B

обозначено точкой – это значит, что B

направлен перпендикулярно плос-кости чертежа к нам.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 5, б),

2 1cos cos cos− ϕ = ϕ = ϕ ,

тогда

0

0cos

2IBr

µµ= ϕ

π.

Магнитная индукция поля внутри бесконечного соленоида (D << l, D – диаметр витка)

0B nI= µµ ,

где Nnl

= – отношение числа витков N соленоида к его длине l .

Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция B

ре-зультирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций iB

скла-

дываемых магнитных полей:

1

N

ii

B B=

= ∑

.

В частном случае наложения двух полей

1 2B B B= +

, 2 21 2 1 22 cosB B B B B= + + α ,

где α – угол между векторами 1B

и 2B

.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 54

Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током I в магнитном поле

F I l B =

или sinF IBl= α ,

где l – длина проводника; α – угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции B

.

Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямо-го отрезка проводника. Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу проводни-

ка dl

в отдельности:

dF I dl B =

.

Сила взаимодействия двух параллельных проводников с током длиной l каждый

0 1 2

2I I lF

dµµ

=π

,

где d – расстояние между проводами. Магнитный момент плоского контура с током

mp ISn= или mp IS= ,

где n – единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с то-ком, помещенный в однородное магнитное поле,

mM p B = или sinmM p B= α ,

где α – угол между векторами mp и B

.

Потенциальная энергия (механическая) контура с током в магнитном поле Wмех mp B= −

или Wмех cosmp B= − α .

Сила Лоренца

F q B = v

или sinF q B= αv ,

где v

– скорость заряженной частицы; α – угол между векторами v

и B

. Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном

полях, то под силой Лоренца понимают выражение


© УВАУ ГА(и), 2014 г 55

F qE q B = + v

.

Магнитный поток: а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф cosBS= α или Ф nB S= ,

где S – площадь контура; α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

Ф nS

B dS= ∫

(интегрирование ведется по всей поверхности). Потокосцепление (полный поток)

Φ=Ψ N . Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой

плотно прилегающих друг к другу N витков. Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле

∆Φ= IA . ЭДС индукции

iddtΨ

= −ε .

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью v

в магнитном поле, sinU Bl= αv ,

где l – длина проводника; α – угол между векторами v

и B

. Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного

потока, пронизывающего этот контур,

Rq ∆Φ= или

RRNq ∆Ψ

=∆Φ

= ,

где R – сопротивление контура. Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,

LI=Φ . Индуктивность контура

IL Φ= или L

IΨ

= .


© УВАУ ГА(и), 2014 г 56

ЭДС самоиндукции

SdILdt

= −ε .

Индуктивность бесконечного соленоида (D << l) 2

0L n V= µµ ,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине; V lS= – объем со-леноида, l – его длина, S – площадь его поперечного сечения.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) при замыкании цепи 1RtLI

Re−

= −

ε ,

где ε – ЭДС источника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

б) при размыкании цепи 0

RtLI I e−

= ,

где 0I – сила тока в цепи при 0t = ; t – время, прошедшее с момента раз-

мыкания цепи. ЭДС взаимоиндукции

1 2 12i idILdt

= = −ε ε ,

где 1 212 1 2 0

N NL L L Sl

= = µ µ ; 1N и 2N – число витков первой и второй ка-

тушек соответственно; l – длина сердечника по средней линии; S – площадь сердечника.

Энергия магнитного поля 2

2LIW = .

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии маг-нитного поля соленоида к его объему)

2BHw = или

2

02Bw =µµ

или 2

0

2Hw µµ

= ,

где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 57


Пример 1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: q1 = 30 нКл и q2 = –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1 = 15 см от первого и на расстоянии r2 = 10 см от второго заря-дов.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каж-дый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других

зарядов. Поэтому напряженность E

элек-трического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напря-

женностей 1E

и 2E

полей, создаваемых

каждым зарядом в отдельности:

1 2E E E= +

.

Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны

11 2

0 14q

Er

=πε

; 22 2

0 24q

Er

=πε

. (1)

Вектор 1E

(рис. 6) направлен по силовой линии от заряда q1, т. к. заряд

q1 > 0; вектор 2E

направлен также по силовой линии, но к заряду q2, т. к. q2 < 0. Модуль вектора E найдем по теореме косинусов:

2 21 2 1 22 cosE E E E E= + + α , (2)

где угол α может быть найден из треугольника со сторонами 1r , 2r и d : 2 2 2

1 2

1 2cos

2d r r

r r− −

α = .

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosα . По этой формуле найдем

cos 0,25α = . Подставляя выражения 1E и 2E по формулам (1) в равенство (2) и выно-

ся общий множитель 01 (4 )πε за знак корня, получаем

Рис. 6


© УВАУ ГА(и), 2014 г 58

2 21 21 2

4 4 2 20 1 2 1 2

1 2 cos4

q qq qEr r r r

= + + απε

.

Проверим единицы измерения и произведем вычисления, подставив зна-чения величин π , 0ε , 1q , 2q , 1r , 2r и α в последнюю формулу:

КлН

мКл

КлмH][ 4

2

2

2=

⋅=E ;

9 2 9 2 9 99

2 4 2 2 2 2 2 2(30 10 ) (10 10 ) (30 10 )(10 10 )9 10 2 0,25(15 10 ) (10 10 ) (15 10 ) (10 10 )

E− − − −

− − − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

= 1,67 ⋅104 КлН .

Пример 2. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пла-стинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 7)

1F QE= , (1)

где 1E – напряженность поля, создаваемого за-рядом одной пластины.

Но 10 02 2

QES

σ= =

ε ε, где σ – поверхностная

плотность заряда пластины. Тогда формула (1) примет вид

2

02QF

S=

ε.

Подставив значения величин Q, ε0 и S в эту формулу и произведя вычис-ления, получим

F = 565 мкН. Пример 3. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом

R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20 нКл/м.

Рис. 7


© УВАУ ГА(и), 2014 г 59

Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на рас-стояниях а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотно-шением между напряженностью поля и изменением потенциала E

ϕ−= grad .

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотноше-ние можно записать в виде

dEdrϕ

= − или d Edrϕ = − .

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на 1r и 2r от оси цилиндра:

2

1

2 1

r

r

Edrϕ −ϕ = −∫ . (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для

выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой 02

Er

τ=

πε.

Подставив это выражение E в равенство (1), получим 2

1

22 1

0 0 1ln

2 2

r

r

dr rr r

τ τϕ − ϕ = − = −

πε πε∫ или 21 2

0 1ln

2rr

τϕ − ϕ =

πε. (2)

Так как величины 2r и 1r входят в формулу в виде отношения, то их мож-но выразить в любых, но только одинаковых единицах:

1 1r R a= + = 1,5 см; 2 2r R a= + = 3 см.

Подставив значения величин τ, ε0, r1 и r2 в формулу (2) и произведя вы-числения, найдем

ϕ1 – ϕ2 = 250 В. Пример 4. Электрон со скоростью v = 1,83 ⋅106 м/с влетел в однородное

электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженно-сти поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы обладать энергией iE = 13,6 эВ? (Обладая такой энергией, электрон при

столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода).

Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, что-бы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией


© УВАУ ГА(и), 2014 г 60

kE , которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энер-

гию, равную энергии ионизации iE , т. е. k iW E E+ = . Выразив в этой фор-

муле W eU= и 2

2kmE =

v , получим 2

2 imeU E+ =

v . Отсюда

222

iE mUe−

=v .

Учитывая, что 1 эВ = 1,6⋅10–19 Дж, произведем вычисления в единицах СИ: U = 4,15 В.

Пример 5. Металлический шар радиусом R = 3 см несет заряд Q = 20 нКл.

Шар окружен слоем парафина толщиной d = 2 см. Определить энергию W

электрического поля, заключенную в слое диэлектрика.

Решение. Так как поле, созданное заряженным шаром, является неодно-родным, то энергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако объемная плотность энергии будет оди-накова во всех точках, отстоящих на равных рас-стояниях от центра сферы, т. к. поле заряженного шара обладает сферической симметрией.

Выразим энергию в элементарном сфериче-ском слое диэлектрика объемом dV :

dW wdV= ,

где w – объемная плотность энергии (рис. 8).

Полная энергия выразится интегралом 24R d

R

W wdV wr dr+

= = π∫ ∫ , где r –

радиус элементарного сферического слоя; dr – его толщина.

Объемная плотность энергии определяется по формуле 20 2w E= εε , где

E – напряженность поля. В нашем случае 204

QEr

=πε ε

и, следовательно,

2

2 4032

Qwr

=π ε ε

.

Подставив это выражение плотности в формулу для полной энергии и вынеся за знак интеграла постоянные величины, получим

Рис. 8


© УВАУ ГА(и), 2014 г 61

( )2 2 2

20 0 0

1 18 8 8

R d

R

Q dr Q Q dWR R d R R dr

+ = = − = πε ε πε ε + πε ε + ∫ .

Произведя вычисления по этой формуле, найдем W = 12 мкДж.

Пример 6. Источники тока с электродвижущими силами 1ε и 2ε включе-

ны в цепь, как показано на рис. 9. Определить силы токов, текущих в сопро-тивлениях R2 и R3, если 1ε = 10 В и 2ε = 4 В, а R1 = R4= 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом.

Сопротивлениями источников тока пренебречь. Решение. Силы тока в разветвленной цепи определяют с помощью зако-

нов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Указание. Перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необхо-димо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второ-му закону Кирхгофа).

Выберем направления токов, как они по-казаны на рис. 9, и условимся обходить кон-туры по часовой стрелке.

Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Но составлять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, т. к. уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла, – со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа для узла B имеем

1 2 3 4 0I I I I+ + − = .

Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров

Рис. 9


© УВАУ ГА(и), 2014 г 62

шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти необходимое число не-зависимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением об-хода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус;

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источ-ника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в про-тивном случае – со знаком минус.

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров AR1BR2A,

1 3AR BR A , 3 4AR BR A :

1 1 2 2 1 2I R I R− = −ε ε , (1)

1 1 3 3 1I R I R− = ε , (2)

3 3 4 4 0I R I R+ = . (3)

Подставив в равенства (1)–(3) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

1 2 3 4 0I I I I+ + − = ,

1 22 4 6I I− = ,

1 32 4 10I I− = ,

3 44 2 0I I+ = .

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться ме-тодом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнение еще раз в следующем виде:

1 2 3 4 0I I I I+ + − = ,

1 22 4 0 0 6I I− + + = ,

1 32 0 4 0 10I I+ − + = ,


© УВАУ ГА(и), 2014 г 63

3 40 0 4 2 0I I+ + + = .

Искомые значения токов найдем из выражений

22

II∆

=∆

и 33

II∆

=∆

,

где ∆ – определитель системы уравнений; 2I∆ и

3I∆ – определители, полу-

ченные заменой соответствующих столбцов определителя ∆ столбцами, со-ставленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений. Находим:

1 1 1 12 4 0 0

962 0 4 00 0 4 2

− − ∆ = =

−

;

2

1 0 1 12 6 0 0

02 10 4 00 0 4 2

I

− ∆ = =

−

; 3

1 1 0 12 4 6 0

962 0 10 00 0 0 2

I

− − ∆ = = −

.

Отсюда получаем 2 0I = , 3 1I = − А.

Знак минус у значения силы тока 3I свидетельствует о том, что при про-

извольном выборе направлений токов, указанных на рис. 9, направление то-ка 3I было указано противоположно истинному. На самом деле ток 3I течет

от узла B к узлу A . Пример 7. По двум длинным прямолинейным проводникам, находя-

щимся на расстоянии r = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи I = 10 А каждый. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводами, для случаев: 1) провода па-раллельны, токи текут в одном направлении (рис. 10, а); 2) провода парал-лельны, токи текут в противоположных направлениях (рис. 10, б); 3) прово-да перпендикулярны, направления токов указаны на рис. 10, в.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 64

а б в

Рис. 10

Решение. Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: 1 2B B B= +

, где 1B

– индукция поля, создаваемого током 1I ; 2B

–

индукция поля, создаваемого током 2I .

Если 1B

и 2B

направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

1 2B B B= + . (1) При этом слагаемые B1 и B2 должны быть взяты с соответствующими

знаками. В данной задаче во всех трех случаях модули индукций B1 и B2 одинако-

вы, т. к. точки выбраны на равных расстояниях от проводов, по которым те-кут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле

0

2IBr

µ=

π. (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули B1 и B2: B1 = B2 = 80 мкТл.

Случай 1. Векторы 1B

и 2B

направлены по одной прямой (рис. 10, а),

следовательно, результирующая индукция B

определяется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, запи-шем: B1 = –80 мкТл, B2 = 80 мкТл. Подставив в формулу (1) эти значения B1 и B2, получим

B = B1 + B2 = 0.

Случай 2. Векторы 1B

и 2B

направлены по одной прямой в одну сторону

(рис. 10, б). Поэтому можем записать B1 = B2 = –80 мкТл.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 65

Подставив в формулу (1) значения 1B и 2B , получим

B = B1 + B2 = –160 мкТл. Случай 3. Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами в

точке, лежащей посередине между проводниками, взаимно перпендикуляр-ны (рис. 10, в). Результирующая индукция по модулю и направлению явля-

ется диагональю квадрата, построенного на векторах 1B

и 2B

. По теореме

Пифагора найдем 2 21 2B B B= + . (3)

Подставив в формулу (3) значения B1 и B2 и произведя вычисления, получим В = 113 мкТл.


301. Два заряда, один из которых в три раза больше другого, находясь в вакууме на расстоянии r = 0,3 м, взаимодействуют с силой F = 30 Н. Опре-делить эти заряды. На каком расстоянии в воде заряды будут взаимодей-ствовать с силой, в три раза большей?

302. Определить абсолютную диэлектрическую проницаемость транс-форматорного масла, если два одинаковых заряда в вакууме на расстоянии

1r = 20 см взаимодействуют с той же силой, что и в масле на расстоянии

2r = 0,14 м. Считая силу взаимодействия в вакууме равной F = 90 Н, опреде-

лить заряды. 303. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды q = 3 ⋅10–10 Кл

каждый. Какой отрицательный заряд 1q нужно поместить в центре квадра-

та, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была урав-новешена силой притяжения отрицательного заряда?

304. Расстояние d между двумя точечными зарядами q1 = 8 нКл и q2 = –5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность E поля в точке, ле-жащей посередине между зарядами. Чему будет равна напряженность, если второй заряд будет положительным?

305. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1 = 10 нКл и q2 = –20 нКл, находящимися на расстоянии d = 20 см друг от друга. Опреде-


© УВАУ ГА(и), 2014 г 66

лить напряженность E поля в точке, удаленной от первого заряда на r1 = 30 см и от второго на r2 = 50 см.

306. Определить заряд, если в вакууме на расстоянии r = 9 см от него напряженность E создаваемого им поля составляет 4 ⋅105 Н/Кл. На сколько ближе к заряду будет находиться точка, в которой напряженность поля окажется прежней, если заряд поместить в среду с диэлектрической прони-цаемостью ε = 2? Заряд точечный.

307. Определить напряженность поля E, создаваемого тонким, длинным стержнем, равномерно заряженным, с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/см в точке, находящейся на расстоянии r = 2 см от стержня, вблизи его середи-ны. Определить также силу F, действующую на точечный заряд 2q = 5 нКл,

помещенный в этой точке. 308. Две длинные прямые параллельные нити находятся на расстоянии

d = 10 см друг от друга. На нитях равномерно распределены два заряда с линейными плотностями 1τ = – 2 нКл/см, 2τ = 4 нКл/см. Определить напря-

женность электрического поля E в точке, удаленной от первой нити на рас-стояние 1r = 6 см и от второй на расстояние 2r = 8 см.

309. Поверхностная плотность заряда на проводящем шаре σ, равна 3,2 ⋅10–7 Кл/м2. Определить напряженность E электрического поля в точке, удаленной от поверхности шара на расстояние, равное утроенному радиусу.

310. Поле равномерно заряженной плоскости действует в вакууме на за-ряд q = 0,2 нКл с силой F = 2,26 ⋅10–5 Н. Определить напряженность E элек-трического поля и поверхностную плотность σ заряда на пластине.

311. Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно рас-пределенные по поверхности заряды. Определить напряженность электри-ческого поля между пластинами и вне пластин. Поверхностная плотность заряда на пластинах равна соответственно σ1 = 40 и σ2 = –10 нКл/м2.

312. Параллельно бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной плотностью заряда σ = 1 мкКл/м2, расположена бесконечно длинная прямая нить, заряженная с линейной плотностью τ = 10 мКл/м. Определить силу, дей-ствующую со стороны плоскости на единицу длины нити.

313. Определить напряженность поля E , создаваемого заряженной сфе-рой радиусом R = 32 см, зарядом q = 1,865 ⋅10–9 Кл, погруженной в воду, на


© УВАУ ГА(и), 2014 г 67

расстоянии r = 10 см от поверхности сферы. Относительная диэлектриче-ская проницаемость воды ε = 81.

314. Напряженность E электрического поля у поверхности Земли состав-ляет приблизительно 130 В/м. Определить заряд Земли, допустив, что она имеет форму шара, радиус которого равен R = 6400 км.

315. Определить потенциал ϕ электрического поля в точке, удаленной от зарядов q1 = –0,2 мкКл и q2 = 0,5 мкКл соответственно на r1 = 15 см и r2 = 25 см.

316. Определить электрический заряд q проводящего заряженного шара, радиус которого равен R = 5 см, если разность потенциалов ∆ϕ двух точек, удаленных от его поверхности на 1r = 10 см и 2r = 15 см, равна 3 В.

317. Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью σ = 1 мкКл/м2. На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом r = 10 см. Вычислить поток ФЕ вектора напряженности через этот круг.

318. Расстояние l между зарядами q = ± 3,2 нКл диполя равно 12 см. Найти напряженность E и потенциал ϕ поля, созданного диполем в точке, удаленной на r = 8 см как от первого, так и от второго заряда.

319. Летящий с некоторой скоростью электрон попадает в электрическое поле и, двигаясь вдоль линий напряженности этого поля, полностью теряет свою скорость между точками с разностью потенциалов ∆ϕ = 400 В. Движение электрона происходит в вакууме. Определить начальную скорость электрона. При какой разности потенциалов скорость электрона уменьшится в два раза?

320. Пылинка массой m = 5 нг, несущая на себе N = 10 электронов, про-шла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 1 МВ. Какова кине-тическая энергия kW пылинки? Какую скорость v приобрела пылинка?

321. Определить заряд и разность потенциалов на каждом из двух по-следовательно соединенных конденсаторов, если они подключены к батарее с напряжением U = 100 В. Емкости конденсаторов равны соответственно C1 = 2 мкФ и C2 = 0,1 мкФ.

322. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора емкостью C = 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько из-менится емкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 68

323. Конденсатор электроемкостью C1 = 0,2 мкФ был заряжен до разно-сти потенциалов U1 = 320 В. После того как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов U2 = 450 В, напряжение U на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость C2 второго конденсатора.

324. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 см, разность потенциалов U = 6 кВ. Заряд q каждой пластины равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин.

325. Определить объемную плотность энергии w электрического поля внутри плоского воздушного конденсатора, погруженного в керосин.

Напряженность поля между пластинами 65 10E ⋅= Н/Кл. 326. ЭДС батареи ε = 80 В, внутреннее сопротивление r = 5 Ом. Внеш-

няя цепь потребляет мощность P = 100 Вт. Определить силу тока I в цепи, напряжение U, под которым находится внешняя цепь, и ее сопротивление R.

327. Батарея для карманного фонаря состоит из трех последовательно со-единенных элементов, каждый из которых имеет ЭДС ε = 1,5 В и внутрен-нее сопротивление r = 0,2 Ом. Она питает лампу, сопротивление которой равно R = 11,4 Ом. Определить силу тока I в цепи и напряжение U на лампе.

328. Амперметр с сопротивлением RA = 0,16 Ом зашунтирован сопротив-лением R = 0,04 Ом. Амперметр показывает ток I0 = 8 А. Найти ток I в цепи.

329. В цепь включены последовательно медная и стальная проволоки оди-наковых длины l и диаметра d. Найти отношение количеств теплоты 1 2Q Q ,

выделяющихся в этих проволоках. 330. Элемент с ЭДС ε = 6 В дает максимальный ток I = 3 А. Найти

наибольшее количество теплоты mQ , которое может быть выделено во

внешнем сопротивлении в единицу времени. 331. Аккумулятор с внутренним сопротивлением r, равным 0,2 Ом, и ЭДС

ε = 2 В замкнут проволокой. Определить площадь поперечного сечения проволоки, если сила тока в цепи I = 5 А, удельное сопротивление прово-локи ρ = 0,10 ⋅10–6 Ом ⋅м, а ее длина l = 5 м.

332. Внутреннее сопротивление генератора тока r = 0,2 Ом, напряжение на его зажимах составляет U = 110 В. Цепь состоит из ста параллельно вклю-


© УВАУ ГА(и), 2014 г 69

ченных ламп с сопротивлением R = 400 Ом каждая. Определить ЭДС ε ге-нератора. Сопротивление подводящих проводов не учитывать.

333. Вольтметр, подключенный к зажимам источника тока с ЭДС ε = 24 В, показал U = 18 В. Определить силу тока I в цепи и сопротивление r источ-ника тока, если сопротивление внешней цепи равно R = 9 Ом.

334. Сколько меди потребуется для изготовления электропровода дли-ной l = 5 км, чтобы его сопротивление было R = 5 Ом?

335. При внешнем сопротивлении 1R = 8 Ом сила тока в цепи 1I = 0,8 А,

при сопротивлении R2 = 15 Ом сила тока I2 = 0,5 А. Определить силу тока Iкз короткого замыкания источника ЭДС.

336. Определить силу тока I3 в резисторе сопро-тивлением R3 (рис. 11) и напряжение U3 на кон-цах резистора, если 1ε = 4 В, 2ε = 3 В, R1 = 2 Ом,

R2 = 6 Ом, R3 = 1 Ом. Внутренними сопротивления-ми источников тока пренебречь.

337. Три источника тока с ЭДС 1ε = 11 В, 2ε = 4 В

и 3ε = 6 В и три реостата с сопротивлениями R1 = 5 Ом,

R2 = 10 Ом и R3 = 2 Ом соединены, как показано на рис. 12. Определить силы токов I в реостатах. Внут-ренние сопротивления источников тока пренебре-жимо малы.

338. Три сопротивления 1R = 5 Ом, 2R = 1 Ом и

3R = 3 Ом, а также источник тока с ЭДС 1ε = 1,4 В

соединены, как показано на рис. 13. Определить ЭДС ε источника тока, который надо подключить в цепь между точками A и B, чтобы в сопротивлении R3 шел ток силой I = 1 А в направлении, указанном стрелкой. Сопротивлением источника тока пренебречь.

339. К источнику тока с ЭДС ε = 1,5 В присоединили катушку с сопро-тивлением R = 0,1 Ом. Амперметр показал силу тока, равную I1 = 0,5 А. Ко-гда к источнику тока присоединили последовательно еще один источник тока с такой же ЭДС, то сила тока I в той же катушке оказалась равной

Рис. 13

Рис. 11

Рис.12


© УВАУ ГА(и), 2014 г 70

0,4 А. Определить внутренние сопротивления r1 и r2 первого и второго ис-точников тока.

340. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 100 Ом равномерно нарастает от I0 = 0 до Imax = 10 А в течение времени τ = 30 с. Определить ко-личество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.

341. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 12 Ом равномерно убы-вает от I0 = 5 А до I = 0 в течение времени t = 10 с. Какое количество теплоты Q выделяется в этом проводнике за указанный промежуток времени?

342. По проводнику сопротивлением R = 3 Ом течет ток, сила которого возрастает. Количество теплоты Q, выделившееся в проводнике за время τ = 8 с, равно 200 Дж. Определить электрический заряд q, протекший за это время по проводнику. В момент времени, принятый за начальный, сила тока в проводнике равна нулю.

343. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 15 Ом равномерно возрастает от I0 = 0 до некоторого максимального значения в течение вре-мени τ = 5 с. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q = 10 кДж. Найти среднюю силу тока I в проводнике за этот промежу-

ток времени. 344. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от I0 = 0 до не-

которого максимального значения в течение времени τ = 10 с. За это вре-мя в проводнике выделилось количество теплоты Q = 1 кДж. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если сопротивление R его равно 3 Ом.

345. Сила тока I в металлическом проводнике равна 0,8 А, сечение S проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом кубическом сантиметре металла содержится n = 2,5 ⋅1022 свободных электронов, определить среднюю ско-рость v их упорядоченного движения.

346. Определить среднюю скорость v упорядоченного движения элек-тронов в медном проводнике при силе тока I = 10 А и сечении S проводни-ка, равном 1 мм2. Принять, что на каждый атом меди приходится два элек-трона проводимости.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 71

347. Плотность тока j в алюминиевом проводе равна 1 А/мм2. Найти среднюю скорость v упорядоченного движения электронов, предполагая, что число свободных электронов в 1 см3 алюминия равно числу атомов.

348. Плотность тока j в медном проводнике равна 3 А/мм2. Найти напряженность E электрического поля в проводнике.

349. В медном проводнике длиной l = 2 м и площадью S поперечного се-чения, равной 0,4 мм2, идет ток. При этом ежесекундно выделяется количе-ство теплоты Q = 0,35 Дж. Сколько электронов N проходит за 1 с через по-перечное сечение этого проводника?

350. В медном проводнике объемом V = 6 см3 при прохождении по нему постоянного тока за время t, равное 1 мин, выделилось количество теплоты Q = 216 Дж. Вычислить напряженность E электрического поля в проводнике.

351. По двум длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи I1 = 10 А и I2 = 15 А. Расстояние между проводами а = 10 см. Определить напряженность H магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на 1r = 8 см и от второго на 2r = 6 см.

352. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитную индук-цию B на оси соленоида, если по проводу идет ток I = 0,5 А.

353. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,01 Тл помещен прямой проводник длиной l = 20 см (подводящие провода находятся вне поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течет ток I = 50 А, а угол ϕ между направлением тока и вектором магнитной ин-дукции равен 30°.

354. Рамка с током I = 5 А содержит N = 20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент mp рамки с током, если ее площадь

S = 10 см2. 355. Короткая катушка площадью поперечного сечения S = 250 см2, со-

держащая N = 500 витков провода, по которому течет ток I = 5 А, помещена в однородное магнитное поле напряженностью H, равной 1000 А/м. Найти: 1) магнитный момент pm катушки; 2) вращающий момент M, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол ϕ = 30° с линиями поля.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 72

356. По витку радиусом R = 10 см течет ток I = 50 А. Виток помещен в однородное магнитное поле (B = 0,2 Тл). Определить момент силы M, дей-ствующей на виток, если плоскость витка составляет угол ϕ = 60° с линия-ми индукции.

357. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индук-ции и описал дугу радиусом R = 10 см. Определить скорость v протона, ес-ли магнитная индукция B = 1 Тл.

358. Определить частоту n обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле (B = 1 Тл).

359. Кольцо радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном по-ле (B = 0,318 Тл). Плоскость кольца составляет с линиями индукции угол ϕ = 30°. Вычислить магнитный поток Ф, пронизывающий кольцо.

360. Плоский контур площадью S = 20 см2 находится в однородном маг-нитном поле (B = 0,03 Тл). Определить магнитный поток Ф, пронизываю-щий контур, если плоскость его составляет угол ϕ = 60° с направлением ли-ний индукции.

361. Плоский контур с током силой I = 10 А свободно установился в од-нородном магнитном поле в индукцией B = 0,1 Тл, площадь контура S = 100 см2. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули отно-сительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол α = 60°. Определить совершенную при этом работу.

362. Плоский контур с током I = 50 А расположен в однородном магнит-ном поле (B = 0,6 Тл) так, что нормаль к контуру перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить работу, совершаемую силами поля при медленном повороте контура около оси, лежащей в плоскости контура, на угол α = 30°.

363. Проводник длиной l = 1 м движется со скоростью v = 5 м/с перпен-дикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Определить магнитную индукцию B, если на концах проводника возникает разность по-тенциалов U = 0,02 В.

364. Скорость v самолета с реактивным двигателем равна 950 км/ч. Найти ЭДС индукции iε , если вертикальная составляющая напряженности

земного магнитного поля равна H⊥= 39,8 А/м и размах l крыльев самолета равен 12,5 м.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 73

365. Рамка площадью S = 50 см2, содержащая N = 100 витков, равномер-но вращается в однородном магнитном поле (B = 40 мТл). Определить мак-симальную ЭДС индукции maxε , если ось вращения лежит в плоскости

рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой n = 960 об/мин.

366. Рамка, содержащая N = 200 витков тонкого провода, может свобод-но вращаться относительно оси, лежащей в плоскости рамки. Площадь рам-ки S = 50 см2. Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля (B = 0,05 Тл). Определить максимальную ЭДС maxε , кото-

рая индуцируется в рамке при ее вращении с частотой n = 40 с –1.

367. Кольцо из проволоки сопротивлением R = 1 мОм находится в одно-родном магнитном поле (B = 0,4 Тл). Плоскость кольца составляет с линия-ми индукции угол α = 90°. Определить заряд q, который протечет по коль-цу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца S = 10 см2.

368. Соленоид содержит N = 4000 витков провода, по которому течет ток I = 20 А. Определить магнитный поток Ф и потокосцепление ψ, если индук-тивность L = 0,4 Гн.

369. На картонный каркас длиной l = 50 см и площадью сечения S = 4 см2 намотан в один слой провод диаметром d = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Определить ин-дуктивность L получившегося соленоида.

370. На картонный каркас длиной l = 0,8 м и диаметром D = 4 см намо-тан в один слой провод диаметром d = 0,25 мм так, что витки плотно приле-гают друг к другу. Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.

371. Определить, за какое время t в катушке с индуктивностью L = 240 мГн происходит нарастание силы тока I от нуля до 11,4 А, если при этом возни-кает средняя ЭДС самоиндукции Sε , равная 30 В.

372. По катушке индуктивностью L = 8 мкГн течет ток силой I = 6 А. При выключении тока его сила изменяется практически до нуля за время

t∆ = 5 мс. Определить среднее значение ЭДС Sε самоиндукции, возни-

кающей в контуре. 373. Через катушку, индуктивность которой L = 20 мГн, течет ток, из-

меняющийся по закону 0 sinI I t= ω , где I0 = 5 А, 2 Tω = π и T = 0,02 с.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 74

Найти зависимость от времени t: 1) ЭДС самоиндукции Sε , возникающей

катушке; 2) энергии W магнитного поля катушки. 374. Две катушки имеют взаимную индуктивность L12 = 5 мГн. В первой

катушке ток изменяется по закону 0 sinI I t= ω , где I0 = 10 А, 2 Tω = π и

T = 0,02 с. Найти зависимость от времени t ЭДС 2ε , индуцируемой во вто-

рой катушке, и наибольшее значение 2 maxε этой ЭДС.

375. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток I = 10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида.

Раздел 3. Колебания и волны


Уравнение гармонических колебаний: cos( )x A t= ω + ϕ ,

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t – время; A, ω, ϕ – соответственно амплитуда, циклическая частота, начальная фаза колебаний; (ωt + ϕ) – фаза колебаний в момент t.

Циклическая частота колебаний

2ω = πν или 2Tπ

ω = ,

где ν и T – частота и период колебаний. Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

sin( )dx x A tdt

= = = − ω ω + ϕv .

Ускорение при гармоническом колебании 2

22 cos( )d xa x A t

dt= = = − ω ω + ϕ .

Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m 2 2 2

2sin ( )2 2k

m mAE tω= = ω + ϕ

v .

Потенциальная энергия


© УВАУ ГА(и), 2014 г 75

2 22cos ( )

2pmAE tω

= ω + ϕ .

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические ко-лебания,

2 2

2mAE ω

= .

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой m:

mx kx= − или 2 0x x+ ω = , где k – коэффициент квазиупругой силы (k = mω2).

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

2 mTk

= π ,

где m – масса пружинного маятника; k – жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых вы-

полняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела). Период колебаний математического маятника

2 lTg

= π ,

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

2 2I LTmgl g

= π = π ,

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний; l – расстоя-

ние между точкой подвеса и центром масс маятника; IL ml= – приведен-

ная длина физического маятника. Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом T собствен-

ных колебаний в колебательном контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и емкостью C,

2T LC= π . Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний за-

ряда q в контуре и его решение:


© УВАУ ГА(и), 2014 г 76

1 0q qLC

+ = ; cos( )mq q t= ω + ϕ ,

где qm – амплитуда колебаний заряда; 1LC

ω = – собственная частота

контура. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой

частоты: а) амплитуда результирующего колебания

2 21 2 1 2 2 12 cos( )A A A A A= + + ϕ −ϕ ,

где A1, A2 – амплитуды складываемых колебаний; 1ϕ , 2ϕ – начальные фазы; б) начальная фаза результирующего колебания

ϕ = arctg 1 1 2 2

1 1 2 2

sin sincos cos

A AA A

ϕ + ϕϕ + ϕ

.

Период биений (при сложении колебаний, отличающихся по частоте на малую величину ∆ω)

Тб2π

=∆ω

.

Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,

( ) ( )2 2

22 1 2 12 2

2 cos sinx y xyABA B

+ − ϕ −ϕ = ϕ −ϕ ,

где A и B – амплитуды складываемых колебаний; 2 1ϕ −ϕ – разность фаз обо-их колебаний.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний ли-нейной системы и его решение:

202 0x x x+ δ + ω = ; ( )cos( )x A t t= ω + ϕ ,

где x – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; δ – коэф-

фициент затухания ( 2r

mδ = в случае механических колебаний и 2R

Lδ = в

случае электромагнитных колебаний, где r – коэффициент сопротивления; R – активное сопротивление контура; L – его индуктивность); ( )A t – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t; ω – их циклическая частота; ω0 – циклическая частота гармонических колебаний системы без учета затухания,


© УВАУ ГА(и), 2014 г 77

называемая собственной частотой ( 0 k mω = в случае механических коле-

баний и 0 1 LCω = в случае электромагнитных колебаний). Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени:

0( ) tA t A e−δ= ,

где A0 – амплитуда колебаний в момент t = 0. Циклическая частота затухающих колебаний

2 20ω = ω − δ .

В приведенных ранее формулах гармонических колебаний величина 0ω

обозначалась просто ω (без индекса 0). Логарифмический декремент затухания

( ) 1ln( )A t TT

A t T Nλ = = δ = =

+ τ.

где A(t) и A(t + T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоя-щих по времени друг от друга на период; 1τ = δ – время релаксации; N –

число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Добротность колебательной системы

0

2Q ωπ= =λ δ

.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний:

20 02 cosx x x f t+ δ + ω = ω ; cos( )x A t= ω −ϕ ,

где x – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; ω0 – собственная циклическая частота колебаний системы; ω – частота внешней периодической силы 0 cosF F t= ω , действующей на систему и вызывающей

вынужденные колебания; F0 – амплитудное значение внешней силы ( 0 0f F m= в случае механических колебаний; 0 mf U L= в случае электро-

магнитных колебаний). Амплитуда вынужденных колебаний

02 2 2 2 20( ) 4

fA =ω −ω + δ ω

.

Сдвиг фаз между вынуждающей силой и вынужденными колебаниями


© УВАУ ГА(и), 2014 г 78

ϕ = arctg 2 20

2δωω −ω

.

Резонансная частота и резонансная амплитуда

ωрез2 20 2= ω − δ и Aрез

02 202

f=

δ ω − δ.

Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последо-вательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивно-стью L и конденсатор емкостью C, на концы которой подается переменное напряжение cosmU U t= ω ,

( )2

22 21L CZ R L R R R

C = + ω − = + − ω

,

где LR L= ω – реактивное индуктивное сопротивление; ( )1CR C= ω – реак-

тивное емкостное сопротивление. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока

ϕ = arctg ( )1L CR

ω − ω.

Действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения

2mII = ;

2mUU = ,

где mI и mU – амплитудные значения силы тока и напряжения.

Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока, 1 cos2 m mP I U= ϕ ,

где 2

2

cos1

R

R LC

ϕ = + ω − ω

.

Связь длины волны λ , периода T колебаний и частоты ν : Tλ =v ,

= λνv , где v – скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).


© УВАУ ГА(и), 2014 г 79

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox:

0( , ) cos( )x t A t kxξ = ω − + ϕ , где ( , )x tξ – смещение точек среды с координатой x в момент времени t; A – амплитуда волны; ω – циклическая (круговая) частота; k – волновое число

( )2 2k T= π λ = π = ωv v ; λ – длина волны; v – фазовая скорость; T – пе-

риод колебаний; 0ϕ – начальная фаза колебаний. Связь между разностью фаз ∆ϕ колебаний и разностью хода ∆

2π∆ϕ = ∆

λ.

Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн:

max 22

m λ∆ = ± ; min (2 1)

2m λ

∆ = ± + ,

где m = 0, 1, 2, … . Фазовая v и групповая u скорости, а также связь между ними:

kω

=v ; dudkω

= ; dud

= − λλvv .

Уравнение стоячей волны: 2( , ) 2 cos cos 2 cos cosx t A x t A kx tπ

ξ = ω = ⋅ ωλ

.

Координаты пучностей и узлов стоячей волны:

2nx m λ= ± ; 1

2 2yx m λ = ± +

,

где m = 0, 1, 2, … . Скорость распространения акустических колебаний в упругой среде

E=

ρv ,

где E – модуль Юнга среды; ρ – плотность среды. Связь уровня звукового давления Lp (в децибелах) с амплитудой звуко-

вого давления p:

020lgp

pLp

= ,

где p0 – амплитуда звукового давления при нулевом уровне громкости. Условно принимается, что p0 = 2 ⋅10 –5 Па.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 80

Связь уровня громкости LI (в фонах) с интенсивностью звука:

010lgI

ILI

= ,

где I0 – порог слышимости (нулевой уровень громкости) звука. Условно принимается, что I0 = 10 – 12 Вт/м2.

Скорость распространения звуковых волн в газах

RTγ=

µv ,

где T – термодинамическая температура; µ – молярная масса газа; R – мо-лярная газовая постоянная; p Vc cγ = – отношение молярных теплоемко-

стей газа при постоянных давлении и объеме. Эффект Доплера в акустике:

0np

ucт

±ν = ν

v vv v

,

где ν – частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; 0ν – ча-

стота звука, посылаемая источником; npv – скорость движения приемника;

ucтv – скорость движения источника; v – скорость распространения звука.

Верхний знак в числителе и знаменателе берется, если при движении ис-точника или приемника происходит их сближение, нижний знак – в случае их взаимного удаления.

Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде

0 0

1 1 c= =

ε µ εµ εµv ,

где 0 01c = ε µ – скорость распространения света в вакууме; 0ε и 0µ – со-

ответственно, электрическая и магнитная постоянные; ε и µ – соответ-ственно, диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического и магнитного полей волны:

0 0E Hε ε = µ µ ,

где E и H – соответственно, мгновенные значения напряженностей элек-трического и магнитного полей волны.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 81

Уравнения плоской электромагнитной волны:

0cos( )mE E t kx= ω − + ϕ

; 0cos( )mH H t kx= ω − + ϕ

,

где mE

и mH

– соответственно, амплитуды напряженностей электрического

и магнитного полей волны; ω – циклическая частота; k = ω v – волновое

число; 0ϕ – начальные фазы колебаний в точках с координатой x = 0.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля 2 2

0 0

2 2E Hw ε ε µ µ

= + .

Плотность потока электромагнитной энергии (вектор Умова–Пойнтинга)

U EH =

.

Интенсивность электромагнитной волны (среднее значение вектора Умова–Пойнтинга)

[ ]12 m mI U E H= = .


Пример 1. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колеба-ния с периодом T = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы E = 0,1 мДж. Определить амплитуду A колебаний и наибольшее значение силы maxF , дей-

ствующей на частицу. Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выра-

жением полной энергии частицы: 2 2

2mAE ω

= ,

где 2Tπ

ω = .

Отсюда амплитуда 2

2T EA

m=

π.

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действу-ющая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выраже-на соотношением F kx= − , где k – коэффициент квазиупругой силы, x –


© УВАУ ГА(и), 2014 г 82

смещение колеблющейся точки. Максимальная сила будет при максималь-ном смещении maxx , равном амплитуде:

max22 mEFT

= π .

Произведя вычисления, получим A = 0,045 м; maxF = 4,44 ⋅10–3 Н.

Пример 2. Груз массой m = 50 г, подвешенный на нити длиной l = 20 см, совершает колебания в жидкости. Коэффициент сопротивления r равен 0,02 Н ⋅с/м. На груз действует вынуждающая сила 0,1cosF t= ω , Н. Опреде-лить: 1) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 2) резонансную амплитуду.

Решение. Очевидно, что частота вынуждающей силы, при которой ампли-туда вынужденных колебаний максимальна, является резонансной частотой:

ωрез 2 20 2= ω − δ , (1)

где ω0 – собственная частота колебаний системы; 2rm

δ = – коэффициент

затухания. Груз, подвешенный на нити, можно принять за математический маятник,

тогда 0 g lω = . Подставив значения 0ω и δ в формулу (1), найдем иско-

мую резонансную частоту:

ωрез

2

22g rl m

= − .

Выражение для амплитуды вынужденных колебаний:

02 2 2 2 20( ) 4

FAm

=ω −ω + δ ω

,

где F0 – амплитудное значение вынуждающей силы (F0 = 0,1 Н). Подставив значение F0 и ωрез в формулу (1), найдем искомую резонанс-

ную амплитуду:

Aрез 0 02 2 20

22

4

F F

m g rrl m

= =δ ω − δ −

.

Вычисляя, получим: 1) ωрез = 7 рад/с; 2) Aрез = 71,4 см.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 83

Пример 3. В колебательном контуре, содержащем конденсатор емко-стью С = 5 пФ и катушку индуктивностью L = 10 мкГн и активным сопро-тивлением R = 0,2 Ом, поддерживаются незатухающие гармонические ко-лебания. Определить амплитудное значение напряжения CmU на конденса-торе, если средняя мощность, потребляемая колебательным контуром, со-ставляет 5 мВт.

Решение. Средняя мощность, потребляемая контуром, 2

2mRIP = , (1)

где m CmI U C= ω – амплитуда силы тока. Так как в контуре поддерживаются незатухающие колебания, то

01LC

ω = ω = .

Подставив эти выражения в формулу (1), получим 2 2

2 2Cm CmRU C RU CP

Lω

= = ,

откуда найдем искомое амплитудное значение напряжения на конденсаторе:

2Cm

L PU

RC= .

Вычисляя, получим CmU = 10 В. Пример 4. Один конец упругого стержня соединен с источником гармо-

нических колебаний, подчиняющихся закону sinA tξ = ω , а другой конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, определить: 1) уравнение стоячей вол-ны; 2) координаты узлов; 3) координаты пучностей.

Решение. Уравнение падающей волны:

1( , ) sin xx t A t ξ = ω − v

, (1)

а уравнение отраженной:

2 ( , ) sin sinx xx t A t A t ξ = ω + + π = − ω + v v (2)

(учли изменение фазы на π , т. к. отражение происходит от более плотной среды). Сложив уравнения (1) и (2), получим уравнение стоячей волны:


© УВАУ ГА(и), 2014 г 84

1 2( , ) ( , ) ( , ) sin sinx xx t x t x t A t A t ξ = ξ + ξ = ω − − ω + v v

,

откуда 2( , ) 2 sin cos 2 sin cosxx t A t A x tπ ξ = ω ω = ω λ v

.

В точках среды, где 2 x mπ= ± π

λ (m = 0, 1, 2, …), амплитуда колебаний об-

ращается в нуль (наблюдаются узлы), в точках среды, где 2 12

x mπ = ± + π λ

(m = 0, 1, 2, …), амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2A (наблюдаются пучности).

Таким образом, координаты узлов 2yx m λ

= ± (m = 0, 1, 2, …); координа-

ты пучностей 12 2nx m λ = ± +

(m = 0, 1, 2, …).

Ответ: 1) 2( , ) 2 sin cosx t A x tπ ξ = ω λ ;

2) 2yx m λ

= ± (m = 0, 1, 2, …);

3) 12 2nx m λ = ± +

(m = 0, 1, 2, …).

Пример 5. Движущийся приемник воспринимает звук от неподвижного источника звука, с частотой 400 Гц. Принимая температуру воздуха T = 290 К, его молярную массу µ = 0,029 кг/моль, а 0ν = 300 Гц, определить скорость

приемника звука. Решение. Запишем формулу эффекта Доплера для звуковых волн:

0np

ucт

±ν = ν

v vv v

,

где 0ν – частота звуковых колебаний источника, nv пр, uvист– скорости движе-

ния приемника и источника звука соответственно. В нашем случае uvист = 0.

0np+

ν = νv v

v.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 85

nv пр0

1 ν

= − ν v . (1)

Скорость звука определяется как

RTγ=

µv ,

где для воздуха γ = 1,4, R = 8,31 Дж/(моль⋅К). Тогда v = 341 м/с. Подставив значение скорости звука в (1), получим

nv пр400 1 341 112,5300

= − ⋅ =

м/с.

Пример 6. Определить энергию, которую переносит за время t = 1 мин плоская синусоидальная электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S = 10 см2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электри-ческого поля волны E0 = 1 мВ/м. Период волны T << t.

Решение. Энергия, переносимая волной через единицу поверхности, пер-пендикулярной направлению распространения волны, оценивается векто-ром Умова–Пойнтинга:

U EH =

,

но т. к. E⊥ H

в электромагнитной волне, то

U = EH. По условию задачи E и H изменяются по закону синуса, следовательно,

20 0 0 0sin sin sinU E t H t E H t= ω ⋅ ω = ω .

Согласно определению вектора Умова–Пойнтинга 1 dWUS dt

= ,

тогда

dW PS dt= ⋅ = 20 0 sinE H S t dtω ⋅ .

Так как 2 2

0 0

2 2E Hε ε µ µ

= , то при 1ε = µ = получим 00 0

0H E ε

=µ

, тогда

2 200

0sindW E S t dtε

= ω ⋅µ

. (1)


© УВАУ ГА(и), 2014 г 86

Интегрируя (1), получим

2 2 20 00 0

0 00

sin 2sin2 4

t t tW E S t dt E Sε ε ω = ω ⋅ = − µ µ ω ∫ . (2)

При условии T << t (для оценки значения дроби sin 24

tωω

) имеем

sin 2 1 4sin4 8 8

t t TTT

ω π= ≤

ω π π,

т. е. членом sin 24

tωω

в формуле (2) можно пренебречь. Тогда получим

200

0

12

W E Stε=

µ.

Подставив числовые значения, получим W = 8 ⋅10– 11 Дж.


401. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение x0 составляет 4 см, а скорость

0v = 10 см/с. Определить амплитуду A и начальную фазу 0ϕ колебаний, ес-ли их период T = 2 с.

402. Записать уравнение гармонических колебаний при следующих па-раметрах: A = 5⋅10–2 м, 0ϕ = 0, T = 0,01 с. Определить частоту колебаний ν ,

циклическую частоту ω, амплитуды скорости vm и ускорения ma , полную энергию E гармонических колебаний для тела массой m = 0,1 кг.

403. Тело массой m = 0,1 кг совершает гармонические колебания по за-кону x = 0,1sin (314 t +π /2), м. Определить амплитуду смещения mx , началь-

ную фазу 0ϕ , частоту колебаний ν , период колебаний T, амплитуды скоро-

сти vm и ускорения ma , максимальную кинетическую энергию MAXkE .

404. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с ча-стотой ν = 10 Гц, проходит положение равновесия со скоростью v = 6,28 м/с. Определить максимальные смещение mx и ускорение ma ; за-

писать уравнение гармонических колебаний с начальной фазой 0ϕ , равной нулю.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 87

405. Скорость тела, совершающего гармонические колебания, изменяется по закону v = 0,06sin 100 t , м/с. Записать уравнение гармонических колебаний. Определить максимальные значения скорости vm и ускорения am колеблюще-гося тела, энергию E гармонических колебаний для тела массой m = 0,2 кг.

406. Скорость материальной точки изменяется по закону v = 2π⋅0,1cos2πt, м/с. Определить максимальное ускорение ma , смещение точки x через вре-

мя t = 5/12 с от начала колебаний, путь S, пройденный ею за это время. 407. По уравнению движения x = 0,2sinπt (м) определить смещение ма-

териальной точки через 1,5 с от начала колебаний, путь S, пройденный ею за это время, возвращающую силу F, действующую в этот момент времени. Масса материальной точки m = 0,2 кг.

408. Висящий на пружине груз массой m = 0,1 кг совершает вертикаль-ные колебания с амплитудой A = 4 см. Определить период T гармонических колебаний груза, если для упругого удлинения пружины на ∆x = 1 см тре-буется сила F = 0,1 Н. Найти энергию E гармонических колебаний маятни-ка. Массой пружины пренебречь.

409. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: 1 1 1sin= ωx A t и 2 2 2sin ( )= ω + τx A t , где A1 = A2 = 3 см, ω1 = ω2 = πс

–1,

τ = 0,5 с. Определить амплитуду A и начальную фазу 0ϕ результирующего

колебания. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

410. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колеба-

ний одинакового периода T = 4 с и одинаковой амплитуды A = 5 см состав-

ляет 4π . Написать уравнение движения, получающегося в результате сложе-

ния этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

411. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых 1 1sin= ωx A t и 2 2cos= ωy A t , где A1 = 8 см,

A2 = 4 см, 1 2ω = ω = 2с–1. Написать уравнение траектории и построить ее.

Показать направление движения точки. 412. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,

происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых


© УВАУ ГА(и), 2014 г 88

уравнениями 3cos2x t= ω (см) и 4cos(2 )y t= ω + π (см). Определить урав-нение траектории точки.

413. В результате сложения двух колебаний, период одного из которых T1 = 0,02 с, получают биения с периодом Tб = 0,2 с. Определить период T2 второго складываемого колебания.

414. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.

415. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника A0 = 3 см. По истечении t1 = 10 с A1 = 1 см. Определить, через сколько времени ампли-туда колебаний станет равной A2 = 0,3 см.

416. За время, в течение которого система совершает N = 50 полных коле-баний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определить добротность Q системы.

417. Собственная частота 0ν колебаний некоторой системы составляет

500 Гц. Определить частоту ν затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота рνрез = 499 Гц.

418. Груз, масса m которого равна 0,3 кг, подвешен на спиральной пру-жине жесткостью k = 40 Н/м и совершает колебания в вязкой среде. На верх-ний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по зако-ну F = 0,2cosωt Н. Резонансная амплитуда Aрез колебаний равна 70 см. Определить для данной колебательной системы: 1) коэффициент сопротив-ления r вязкой среды; 2) коэффициент затухания δ .

419. Чему равна циклическая частота ω свободных колебаний в конту-ре, имеющем емкость C = 2,2 мкФ, индуктивность L = 0,12 мГн и активное сопротивление R = 15 Ом?

420. Частота ν свободных колебаний в контуре равна 250 кГц. Опреде-лить емкость C в контуре, если индуктивность L в нем равна 0,024 мГн и активное сопротивление R = 34 Ом.

421. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью C = 5 нФ и катушку индуктивностью L = 5 мкГн и активным сопротивлением R = 0,1 Ом. Определить среднюю мощность P , потребляемую колебательным конту-

ром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с ам-плитудным значением напряжения на конденсаторе CmU = 10 В.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 89

422. При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина моря, если промежуток времени между возникновением звука и его приемом оказался равным t = 2,5 с? Сжимаемость воды β = 4,6 ⋅10–10 Па–1, плотность

морской воды 31,03 10⋅ρ = кг/м3 ( 1E = β ).

423. Два звука отличаются по уровню звукового давления на pL∆ = 1 дБ.

Найти отношение p2/p1 амплитуд их звукового давления. 424. Шум на улице с уровнем громкости 1IL = 70 фон слышен в комнате

так, как шум с уровнем громкости 2IL = 40 фон. Найти отношение 1 2I I ин-

тенсивностей звуков на улице и в комнате. 425. Интенсивность звука I = 10 мВт/м2. Найти уровень громкости IL и

амплитуду p звукового давления. 426. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 1v = 72 км/ч и

2v = 54 км/ч. Первый поезд дает свисток с частотой ν = 600 Гц. Найти ча-

стоту ′ν колебаний звука, который слышит пассажир второго поезда: 1) пе-ред встречей поездов; 2) после встречи поездов. Скорость распространения звука в воздухе v = 340 м/с.

427. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой 0ν = 400 Гц.

Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой ν = 395 Гц. Принимая скорость звука v = 340 м/с, определить: 1) скорость движения теплохода; 2) приближается или удаляется теплоход по отноше-нию к наблюдателю.

428. Определить длину волны λ при частоте ν = 200 Гц, если скорость v распространения волн равна 340 м/с.

429. Определить скорость v распространения волны, если источник, ко-леблющийся с периодом T = 2 мс, возбуждает в воде волны длиной λ = 2,9 м.

430. Определить расстояние ∆x между двумя ближайшими точками бе-гущей волны, лежащими на одном луче, которые колеблются в одинаковых фазах, если скорость v распространения волн равна 5 ⋅103 м/с, а частота ν составляет 100 Гц.

431. Точки, находящиеся на одном луче и удаленные от источника коле-баний на расстояния l1 = 12 м и l2 = 14 м, колеблются с разностью фаз


© УВАУ ГА(и), 2014 г 90

∆ϕ = 3π /2. Определить скорость v распространения колебаний в данной среде, если период колебаний источника T = 1 мс.

432. Мимо неподвижного наблюдателя, стоящего на берегу озера, за t = 6 с прошло N = 4 гребня волн. Расстояние l между первым и третьим гребнями равно 12 м. Определить период колебания T частиц воды, ско-рость v распространения и длину волны λ .

433. Определить длину λ стоячей волны, если расстояния между точка-ми, колеблющимися с одинаковыми амплитудами, равны 5 и 15 см. Точки расположены на одном луче.

434. Расстояние ∆x между соседними узлами стоячей волны, создавае-мой камертоном в воздухе, равно 38,6 см. Определить частоту ν колебаний камертона. Скорость звука vЗзв = 340 м/с.

435. Уравнение колебаний вибратора x = 3sin20πt, где x выражено в сан-тиметрах. Считая волну плоской, определить смещение точки, расположен-ной на расстоянии l = 5 м от источника колебаний, через t = 0,1 с после начала колебаний при скорости распространения волны v = 200 м/с.

436. Чему равна разность фаз ∆ϕ в точках стоячей волны, колеблющих-ся между соседними узлами? В каких фазах колеблются точки стоячей вол-ны по обе стороны одного и того же узла (не далее λ /2 от него)?

437. Определить длину λ стоячей волны, если расстояние l между пер-вым и третьим узлами равно 0,2 м.

438. Электромагнитная волна с частотой ν = 5 МГц переходит из немаг-нитной среды с диэлектрической проницаемостью ε = 2 в вакуум. Опреде-лить приращение ее длины волны ∆λ .

439. Входной контур радиоприемника состоит из катушки, индуктив-ность L которой равна 2 мГн, и плоского конденсатора с площадью пластин S = 10 см2 и расстоянием d между ними 2 мм. Пространство между пла-стинами заполнено слюдой с диэлектрической проницаемостью ε = 7,5. На какую длину волны λ настроен радиоприемник?

440. Колебательный контур радиоприемника имеет индуктивность L, равную 0,32 мГн, и переменную емкость. Радиоприемник может принимать волны длиной λ от 188 до 545 м. В каких пределах изменяется емкость кон-тура в приемнике? Активным сопротивлением пренебречь.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 91

441. На какой диапазон длин волн λ рассчитан приемник, если индук-тивность L приемного контура равна 1,5 мГн, а его емкость C может изме-няться от 75 до 650 пФ? Активным сопротивлением контура пренебречь.

442. Волны какой длины λ будет излучать в вакууме контур с емкостью C = 2400 пФ, индуктивностью L = 0,054 мГн и активным сопротивлением R = 76 Ом, совершающий свободные колебания?

443. Какой длины λ электромагнитные волны излучает в вакууме коле-бательный контур с емкостью С = 2,6 пФ и с индуктивностью L = 0,012 мГн, когда в нем происходят колебания с собственной частотой?

444. Колебательный контур излучает в воздухе электромагнитные волны длиной λ = 150 м. Какая емкость включена в контур, если его индуктив-ность L равна 0,25 мГн? Активным сопротивлением пренебречь.

445. Определить период T и частоту 0ω собственных колебаний в кон-

туре, емкость C которого составляет 2,2 мкФ и индуктивность L = 0,65 мГн. 446. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью C = 0,5 нФ

и катушку индуктивностью L = 0,4 мГн. Определить длину волны излуче-ния, генерируемого контуром.

447. Определить длину λ электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конденсатора qm = 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре Im = 1,5 А. Активным сопротивлением контура пренебречь.

448. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности Em электрического поля волны равна 10 В/м. Определить амплитуду напряженности Hm магнитного поля волны.

449. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности Em электрического поля волны составляет 50 мВ/м. Определить интенсивность I волны, т. е. среднюю энергию, про-ходящую через единицу поверхности в единицу времени.

450. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности Hm магнитного поля волны составляет 5 мА/м. Определить интенсивность I волны, т. е. среднюю энергию, прохо-дящую через единицу поверхности в единицу времени.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 92

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Трофимова, Т. И. Курс физики : учеб. пособие для вузов / Т. И. Тро-фимова. – М. : Академия, 2010. – 560 с.

2. Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики / В. С. Волькенштейн. – СПб. : Книжный мир, 2006. – 328 с.

3. Чертов, А. Г. Задачник по физике : учеб. пособие для втузов / А. Г. Чер-тов, А. А. Воробьев. – 8-е изд., перераб. и доп. – М. : Физматлит, 2009. – 640 с.

4. Трофимова, Т. И. Сборник задач по курсу физики для втузов : учеб. пособие для инж.-техн. спец. вузов / Т. И. Трофимова. – 3-е изд. – М. : ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005 – 384 с.

5. Трофимова, Т. И. Сборник задач по курсу физики с решениями : учеб. пособие для втузов / Т. И. Трофимова, З. Г. Павлова. – М. : Высшая школа, 1999. – 591 с.

6. Сборник задач по физике. Квантовая оптика. Физика атома и атомного ядра : учеб.-метод. пособие / сост. К. Е. Никитин, Ю. Ф. Пугачев, Т. Н. Кон-дратова, А. В. Кипчарский. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2000. – 50 с.

7. Пугачев, Ю. Ф. Физика : учеб. пособие в 3 ч. / Ю. Ф. Пугачев, В. В. Ефи-мов. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2007.

Ч. 1: Классическая и релятивисткая механика. – 116 с. Ч. 2: Электричество и магнетизм. – 135 с. Ч. 3: Задачи. Тесты. – 73 с. 8. Сборник задач по физике. Электричество / сост. К. Е. Никитин, Ю. Ф. Пу-

гачев, А. В. Кипчарский. – Ульяновск: УВАУ ГА, 1998 – 68 с. 9. Пугачев, Ю. Ф. Физика: Колебания и волны. Оптика : курс лекций /

Ю. Ф. Пугачев. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2004. – 176 с. 10. Яворский, Б. М. Справочник по физике для инженеров и студ. вузов /

Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. – 7-е изд., испр. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. – 942 с.

11. Физика : метод. указания по решению задач и контрольные задания для студентов заочной формы обучения / сост. Ю. Ф.Пугачев. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2007. – 164 с.

12. Физика : метод. указания по изучению дисциплины / сост. Ю. Ф. Пу-гачев, С. С. Леонов, В. В. Ефимов, С. С. Самохина, П. Г. Шульпин. – Улья-новск : УВАУ ГА(И), 2009. – 45 с.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 93

13. Обработка результатов физических измерений : метод. указания к лабораторным работам по физике / сост. Ю. Ф. Пугачев, К. Е. Никитин, Г. В. Макарова. – Ульяновск : УВАУ ГА, 1997 – 36 с.

14. Общая физика. Механика : лаб. практикум / сост. К. Е. Никитин, Ю. Ф. Пугачев и др. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2006. – 67 с.

15. Электричество и магнетизм. Лабораторный практикум по физике : учеб.-метод. пособие / сост. К. Е. Никитин, Ю. Ф. Пугачев, Д. В. Айдаркин. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2001. – 50 с.

16. Статистическая физика и термодинамика : лаб. практикум по физике / сост. Ю. Ф. Пугачев, Т. Н. Кодратова, В. В. Канонистов. – 2-е изд., стер. – Ульяновск : УВАУ ГА(И), 2009. – 58 с.

17. Физика: Оптика, основы атомной физики : лаб. практикум /сост. Ю. Ф. Пугачев, С. С. Леонов, С. С. Самохина. – Ульяновск : УВАУ ГА(И), 2010. – 70 с.

18. Компьютерное моделирование физических явлений : лаб. практикум по физике / сост. К. Е. Никитин, Ю. Ф. Пугачев, Д. В. Айдаркин. – Улья-новск : УВАУ ГА, 2003. – 69 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики / В. С. Волькенштейн. – СПб. : Книжный мир, 2006. – 328 с.

2. Чертов, А. Г. Задачник по физике : учеб. пособие для втузов / А. Г. Чер-тов, А. А. Воробьев. – 8-е изд., перераб. и доп. – М. : Физматлит, 2009. – 640 с.

3. Трофимова, Т. И. Сборник задач по курсу физики для втузов : учеб. пособие для инж.-техн. спец. вузов / Т. И. Трофимова. – 3-е изд. – М. : ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005 – 384 с.

4. Физика : метод. указания по решению задач и контрольные задания для студентов заочной формы обучения / сост. Ю. Ф.Пугачев. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2007. – 164 с.

5. Российское образование. Федеральный портал. – Режим доступа: www.edu.ru. – Загл. с экрана.

6. Википедия. Свободная энциклопедия. – Режим доступа: http://ru. wikipedia.org/wiki/. – Загл. с экрана.


© УВАУ ГА(и), 2014 г 94

Приложение

Греческий алфавит

Обозначения букв Название букв Обозначения букв Название букв

A, α альфа N, ν ню

B, β бета ,Ξ ξ кси

Г, γ гамма O, ο омикрон

,∆ δ дельта П, π пи

E, ε эпсилон P, ρ ро

Z, ς дзета ,Σ σ сигма

H, η эта T, τ тау

,Θ ϑ тэта Y, υ ипсилон

J, i иота Ф, ϕ фи

K,æ каппа X, χ хи

,Λ λ ламбда ,Ψ ψ пси

M, µ мю ,Ω ω омега

Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц

Множитель Приставка

Множитель Приставка

Наименование Обозначение Наименование Обозначение 1810 экса Э 110− деци д

1510 пэта П 210− санти с

1210 тера Т 310− милли м

910 гига Г 610− микро мк

610 мега М 910− нано н

310 кило к 1210− пико п

210 гекто г 1510− фемто ф

110 дека да 1810− атто а


© УВАУ ГА(и), 2014 г 95

Основные физические постоянные

Скорость света в вакууме 83,00 10c = ⋅ м/с Нормальное ускорение свободного падения 9,81g = м/с2 Гравитационная постоянная 116,67 10G −= ⋅ м3/(кг ⋅с2)

Постоянная Авогадро 236,02 10AN = ⋅ моль –1

Молярная газовая постоянная 8,31R = Дж/(моль ⋅К) Постоянная Больцмана 231,38 10k −= ⋅ Дж/К Элементарный заряд 191,60 10e −= ⋅ Кл

Масса покоя электрона 319,11 10em −= ⋅ кг

Масса покоя протона 271,672 10pm −= ⋅ кг

Масса покоя нейтрона 271,675 10nm −= ⋅ кг

Удельный заряд электрона 111,67 10ee m = ⋅ Кл/кг

Постоянная Стефана–Больцмана 85,67 10−σ = ⋅ Вт/(м2 ⋅К4) Постоянная Вина 32,90 10b −= ⋅ м ⋅К Постоянная Планка 346,63 10h −= ⋅ Дж ⋅с

Постоянная Ридберга 153,29 10R = ⋅ с

–1 71,10 10R′ = ⋅ м–1

Первый боровский радиус 110 5,28 10a −= ⋅ м

Комптоновская длина волны электрона 122,43 10C−λ = ⋅ м

Магнетон Бора 24Б 9,27 10−µ = ⋅ Дж/Т

Электрическая постоянная 12

0 8,85 10−ε = ⋅ Ф/м 9

01 (4 ) 9 10πε = ⋅ м/Ф

Магнитная постоянная 70 4 10−µ = π ⋅ Гн/м

Атомная единица массы 1 а.е.м. 271,6606 10−= ⋅ кг

Масса изотопа 11H 27

H 1,6736 10m −= ⋅ кг

Внесистемные величины

1 сут. 86400= с 41 2,91 10−′ = ⋅ рад

1 год 365,25= сут. 73,16 10= ⋅ с 1 мм рт. ст. = 133,3 Па 21 1,75 10−= ⋅ рад 1 эВ 191,6 10−= ⋅ Дж 61 4,85 10−′′ = ⋅ рад


© УВАУ ГА(и), 2014 г 96

Астрономические величины

Радиус Земли 66,37 10⋅ м

Масса Земли 245,98 10⋅ кг

Радиус Солнца 86,95 10⋅ м

Масса Солнца 301,98 10⋅ кг

Радиус Луны 61,74 10⋅ м

Масса Луны 227,33 10⋅ кг

Расстояние от центра Земли до центра Солнца 111,49 10⋅ м

Расстояние от центра Земли до центра Луны 83,84 10⋅ м

Плотность веществ, кг/м3

Твердые тела Жидкости

Алюминий 32,70 10⋅ Вода (при 4°С) 31,00 10⋅

Барий 33,50 10⋅ Глицерин 31,26 10⋅

Ванадий 36,02 10⋅ Ртуть 313,6 10⋅

Висмут 39,80 10⋅ Сероуглерод 31,26 10⋅

Железо 37,88 10⋅ Спирт 30,80 10⋅

Литий 30,53 10⋅ Масло касторовое 30,96 10⋅

Медь 38,93 10⋅ Масло машинное 30,90 10⋅

Никель 38,90 10⋅ Газы

Свинец 311,3 10⋅ Водород 0,09

Серебро 310,5 10⋅ Воздух 1,29

Цезий 31,90 10⋅ Гелий 0,18

Цинк 37,15 10⋅ Кислород 1,43

Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ

Вода 81 Парафин 2,0 Масло (трансформаторное) 2,2 Стекло, слюда 7,0


© УВАУ ГА(и), 2014 г 97

Удельное сопротивление металлов, Ом ⋅м

Железо 89,8 10−⋅ Нихром 61,1 10−⋅ Медь 81,7 10−⋅ Серебро 81,6 10−⋅

Математические формулы

sin( ) sin cos cos sinα±β = α β ± α β ; cos( ) cos cos sin sinα±β = α β ± α β ;

sin 2 2sin cosα = α α ; 2 2cos2 cos sinα = α − α ;

2 1sin (1 cos2 )2

α = − α ; 2 1cos (1 cos2 )2

α = + α ;

1( )n nd x nxdx

−= ; 21 1d

dx x x = −

;

11n n

d ndx x x +

= −

; ( )x xddx

e e= ;

1(ln )d xdx x

= ; (sin ) cosd x xdx

= ;

(cos ) sind x xdx

= − ; 21(tg )

cosd xdx x

= ;

1

1

nndx

nxx

+

=+∫ ( 1)n ≠ ; lndx x

x=∫ ;

21dxxx

= −∫ ; sin cosxdx x= −∫ ;

cos sinxdx x=∫ ; x xdxe e=∫ ;

0

!n xdx nx e∞

− =∫ ; 10

!n axnndx

ax e

∞−

+=∫ ;

2

0

12

ax dxa

xe∞

− =∫ ; 23 2

0

12

ax dx ax e∞

− −=∫ ;

2

0 61xxdx

e

∞ π=

−∫ ; 3 2

0 151xdxx

e

∞ π=

−∫ ;

ud u du= −∫ ∫v v v .


© УВАУ ГА(и), 2014 г 98

Сборник контрольных заданий

ФИЗИКА

Часть 1

Составитель АФАНАСЬЕВА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА

Редактор Л. В. Макушкина Компьютерная верстка И. А. Ерёмина

Подписано в печать 11.12.2013. Формат 60×90/16. Бумага офсетная.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 6,13. Уч.-изд. л. 5,81. Тираж 100 экз. Заказ 459.

РИО и типография УВАУ ГА(И). 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8

физика - ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Afanasyeva_1.pdf · № 1, включающая...

Documents

Transcript of физика - ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Afanasyeva_1.pdf · № 1, включающая...