Геометрија

Некада давно...

Египћани

Сумерани

Вавилонци

Индијци

Кинези

Индуктиван начин закључивањаИндукција

од појединачног ка општем

А онда у 6. веку п.н.едошли су Грци....

општа тврђења

појединачна сазнања

дедукцијаиндукција

• Последица увођења дедукције су докази геометријских тврђења

Талес из Милета (624–547. пре н. е.).

•доказ 2. става подударности троуглова

•став о једнакости углова на основици једнакокраког троугла

•сличност троуглова је искористио на измери висину Кеопсове пирамиде

•подударност троуглова је искористио да измери растојање брода од обале

Питагораоко 580– око 500. пре н. е.

• геометрија

• теорија бројева

став о збиру унутрашњих

углова троугла

први, трећи и четврти став о подударности

троуглова

започео учење о паралелним

правама, пропорцијама

открио је 3 од 5 постојећих правилних полиедара

Хипократсредина 5. века пре н. е.

“Елементи”

дело није сачувано

Демокритоко 480 – око 370. пре н. е.

“ О геометрији”

дело није сачувано

Платон427–347. пре н. е.

уводи основне (општепризнате) принципе:аксиоме (дескриптиван карактер) и постулате (конструктиван карактер)

Аристотел384–322. пре н. е.

Платонов ученик

заслужан за теоријске основе дедуктивне методе

“нов појам се дефинише помоћу ближег њему сродног појма и

специфичне разлике””Definitio fit per genus proximum

et differentiam specificam“

аксиоме – тврђења која се прихватају без доказивања (тврђења општег карактера)

постулати - аксиоме које важе у одређеној научној теорији (тврђења специфичног су

карактера)

Еуклидоко 365 – 270. пре н. е.

“Елементи” састоји се из 13 књига

првих 6 књига - планиметрија

наредне 4 књиге – геометријска теорија бројева

последње 3 књиге - стереометрија

Недостаци Еуклидове збирке геометријских знања

нејасне дефиниције

“ Тачка је оно чији је део ништа”

“ Линија је дужина без ширине”

систем аксиома и постулата је непотпун - не могу се сва геометријска тврђења извести на основу њихАрхимед је увођењем 5 нових постулата употпунио систем основних тврђења

Неки недостаци Еуклиидове геометрије су отклоњени тек у 19. веку увођењем аксиоме непрекидности, аксиоме распореда тачака и аксиоме поретка

Највећи значај у развој геометрије је ипак имао Еуклидов 5. постулат:

„Ako jedna prava presecajući druge dve komplanarne prave obrazuje sa njima s iste strane dva unutrašnja ugla kojima je zbirmanji od zbira dva prava ugla, tada se te dve prave, neograničeno produžene, seku sa one strane sečice sa koje je tajzbir uglova manji od zbira dva prava ugla.”

Нееуклидска геометрија:

Геометрија Лобачевског - Бољаја

Николај Иванович Лобачевски(1792–1856.)

Јанош Бољај(1802–1860.))

Најсистематичнији приступ у геометрији

Хилберт Давид(1862–1943.)

“Основи геометрије”

”Zamišljamo tri različita sistemaobjekata: objekte prvog sistema kojenazivamo tačkama i označavamo sa A,B, C, . . . ; objekte drugog sistema kojenazivamo pravama i označavamo sa a,b, c, . . . ; objekte trećeg sistema kojenazivamo ravnima i označavamo sa α,β, ɣ, . . . . Tačke, prave i ravni nalaze seu izvesnim međusobnim odnosimakoje izražavamo rečima: leži na,između, podudarno, paralelnoi neprekidno“.

6 Питагора

12 Сократ

14 Платон

15 Аристотел 18 Еуклид

Рафаело “Атинска школа”

Основни појмови и ставови у геометрији

геометријски појмови

основни изведени

геометријска тврђења

основнаАКСИОМЕ

изведенаТЕОРЕМЕ

• тачка

• права

• раван

Основни геометријски појмови:

Скуп свих тачака назива се ПРОСТОР

Сваки непразан скуп тачака називамо ГЕОМЕТРИЈСКА ФИГУРА (објекат, лик)

Ако тачка А припада правој b или равни α, пишемо

Ако права b припада равни α, пишемо

Ако је пресек праве b и равни α тачка А, пишемо

AbA

b

Ab = Ab =

b

• Колинеарне тачке

тачке које припадају једној правој

• Компланарне тачке

тачке које припадају једној равни

• Аксиоме припадања (инциденције) 9

• Аксиоме поретка 6

• Аксиоме подударности 7

• Аксиоме непрекидности 2

• Аксиома паралелности

Основна тврђења – АКСИОМЕ:

Аксиоме припадања

А1: Свака права садржи најмање две различите тачке. Постоје три неколинеарне тачке

А2: Сваке две различите тачке одређују једну праву

А3: Сваке три неколинеарне тачке одређују једну раван

А4: Свака раван садржи најмање три неколинеарне тачке. Постоје четири некомпланарне тачке

А5: Свака права која са неком равни има заједничке две различите тачке, припада тој равни.

• А6: Ако две различите равни имају једну заједничку тачку, онда оне имају тачно једну заједничку праву

Међусобни положај тачке, праве и равни

• Две праве се секу ако имају тачно једну заједничку тачку

• Две праве су паралелне ако се поклапају (једнаке су) или ако некају заједничких тачака и припадају истој равни

• Две праве су мимоилазне ако немају заједнучких тачака и не постоји раван која их садржи.

• Права продире раван ако имају тачно једну заједничку тачку

• Права је паралелна равни ако се налази у њој или ако нема заједничких тачака са њом

• Две равни се секу ако им све заједничке тачке припадају једној правој

• Две равни су паралелне ако су једнаке или ако немају заједничких тачака

Теорема 1.

• Права и тачка ван ње одређују тачно једну раван.

аА ˳

α

Теорема 2.

• Две праве које се секу одређују тачно једну раван.

α

а

b

Аксиома паралелности

• За сваку праву p и сваку тачку А постоји тачно једна права која садржи тачку А и паралелна је правој p

α

pА ˳

А ˳

Теорема 3.

• Две различите паралелне праве одређују тачно једну раван.

α

аb