ª∂∆∞§§∞ ∫∞∆∂ƒ°∞™π∞ – ™À°∫√§§∏™∏ · 3 ¢π√π∫∏∆π∫√ ™Àªµ√À§π√ ∂§.π¡.À.∞.∂. ¶Úfi‰ÚÔ˜: ñ µ·Û›ÏÂÈÔ˜
- WordPress.comα r π n β ÁNGULO FORMADO POR DOS PLANOS. Dos planos . Ax π≡ + + + = By Cz D 0...
Transcript of - WordPress.comα r π n β ÁNGULO FORMADO POR DOS PLANOS. Dos planos . Ax π≡ + + + = By Cz D 0...
DISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL ESPACIO
VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO Dado un plano π definido por su ecuación general, 0DCzByAx =+++ , el vector
),,( CBAn = es perpendicular al plano.
Dados dos puntos cualesquiera del plano )z,y,x(P 1111 y )z,y,x(P 2222 , probaremos
que el producto escalar de los vectores
)zz,yy,xx(PP 12121221 −−−= y n es nulo.
)zz(C)yy(B)xx(A(PP.n 12121221 −+−+−=
Como π∈1P , se cumple que 0DCzByAx 111 =+++
Como π∈2P , se verifica que 0DCzByAx 222 =+++
Restando, 0)zz(C)yy(B)xx(A( 121212 =−+−+− , es decir, 0PP.n 21 = Ejemplo: Ecuación del plano que pasa por P(2, 1, 3) y es perpendicular al vector
)23,1( −−=v El plano buscado será 0Dz2y3x1 =+−+− Como pasa por el punto P(2, 1, 3), ,0D3).2(1.32).1( =+−++− es decir, D = 5. luego la ecuación del plano será : 05z2y3x =+−+−
ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
Ángulo de dos rectas es el menor de los ángulos formados por sus respectivos vecto-res de dirección.
De la definición de producto escalar, se obtiene:
23
22
21
23
22
21
332211
vvvuuu
|vuvuvu|
||v||.||u||
|v.u|cos
++++
++==α .
Tomamos el valor absoluto a fin de obtener el menor de los ángulos que forman las
rectas.
:r
:s
α3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx −=
−=
−
3
1
2
1
1
1
v
zz
v
yy
v
xx −=
−=
−
),,( CBAn =
π• •1P 2P
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α
r
π
n
β
ÁNGULO FORMADO POR DOS PLANOS Dos planos 0DCzByAx =+++≡π y 0DzCyBxA =′+′+′+′≡π′ , determinan al
cortarse cuatro ángulos diedros que son iguales dos a dos. Se llama ángulo de los dos planos al más pequeño de los ángulos diedros. Dicho
ángulo es igual o suplementario al que forman los vectores perpendiculares de cada pla-no
)C,B,A(n =
)C,B,A(n ′′′=′ También hemos de tomar el valor absoluto a fin de obtener el menor de los ángulos.
222222 CBACBA
|C.CB.BA.A|
||n||.||n||
|n.n|cos
′+′+′++
′+′+′=
′′
=α
Ejemplos:
1. Calcula el ángulo que formado por las rectas r y s siendo:
5
4z
1
3y
1
2x:r
−=
−−
=−
; 1
2z
1
1y
2
1x:s
−−
=−
=−
Los vectores de dirección de las respectivas rectas son )5,1,1(u −= y )1,1,2(v −= ,por tanto,
29
4
627
|512|
)1(12.5)1(1
|)1.(51).1(2.1|cos
222222=
−−=
−+++−+
−+−+=α ⇒ α = 71,68º
2. Calcula el ángulo que forman los planos 03yx2:1 =−−π ; 0zyx:2 =−+π
Los vectores perpendiculares a cada uno de los planos son: )0,1,2(n1 −= y
)1,1,1(n2 −= .
15
1
35
|012|
||n||.||n||
|n.n|cos
21
21 =+−
==α , º03,75=α
ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UN PLANO Es el ángulo formado por la recta y la proyección de dicha recta sobre el plano. Teniendo en cuenta que α y β son complementarios, β=α cossen Además,
)C,B,A(n =
)v,v,v(v 321=
α
απ
π′n
n′
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23
22
21
222
321
vvvCBA
|CvBvAv|
||v||.||n||
|v.n|cossen
++++
++==β=α
Ejemplo:
Calcula el ángulo que forma la recta 1
1z
2
5y
1
1x
−+
=−
=−
con el plano de ecuación
05zy3x =−++ Vector perpendicular al plano: n = (1, 3, 1) Vector director de la recta v = (1, 2, -1)
66
6
611
|161|
141191
|)1.(12.31.1|sen =
−+=
++++−++
=α ; α = 47,6º
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Distancia entre dos puntos A y B es el módulo del vector que une dichos puntos. Si las coordenadas de los puntos son )z,y,x( A 000 y )z,y,x( B 111
)zz,yy,xx(AB 010101 −−−=
y entonces, 201
201
201 )zz()yy()xx()B,A(d −+−+−=
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos A(1, 3, 0) y B(−1, 2, 3)
14914)03()32()11(),( 222 =++=−+−+−−=BAd
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA A es un punto de la recta v es un vector director.
A
B
•
r
),,( 111 zyxP
d
),,( 000 zyxA•
),,( 321 vvvv =
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El área del triángulo viene definida por las siguientes fórmulas:
2||vAP||
2alturabase
Area×
=×
= , es decir,
||vAP||d.||v|| ×= y, por tanto, ||v||
||vAP||d
×=
Ejemplo: Halla la distancia del punto P(1, −2, 2) a la recta dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:
λ−−=λ+=λ−=
1z
21y
2x
Un punto de la recta es A(2, 1, −1)
)3 ,3 ,1(AP −−= v = (−1, 2, −1), vector director de la recta.
)5,4,3(2 1
31,
11
13 ,
12
3 3vAP −−−=
−
−−−−−
−−
=× ; 6||v|| =
3
25
6
50
6
50
6
)5()4()3()r,P(d
222
===−+−+−
=
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO El triángulo RQP es rectángulo. Dado el plano 0DCzByAx : =+++π , el vector )C,B,A(n = es perpendicular al
plano. Observando la figura, α==π cos.||RP||||QP||),P(d .
pero teniendo en cuenta la definición de producto escalar, ||RP||.||n||
|RP.n|cos =α , luego,
||n||
|RP.n|
||RP||.||n||
|RP.n|.||RP||),P(d ==π
),,( CBAn =
),,( 000 zyxP
Q
),,( 111 zyxRπ
dα
α 90º
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Si utilizamos las coordenadas de R, P y n resulta:
)C,B,A(n = ; )zz,yy,xx(RP 101010 −−−= y entonces,
222
111000
222
101010
CBA
|CzByAxCzByAx|
CBA
|)zz(C)yy(B)xx(A|),P(d
++
−−−++=
−+
−+−+−=π
es decir, 222
000
CBA
|DCzByAx|),P(d
++
+++=π
ya que como π∈R , 0DCzByAx 111 =+++ ⇒ 111 CzByAxD −−−=
Ejemplo:
Calcula la distancia del punto P(1, 2, −1) al plano 03z2yx2 =++−
3
1
9
1
2)1(2
|3)1(22.11.2|
CBA
|DCzByAx|d
222222
000 ==+−+
+−+−=
++
+++=
DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN Siendo
r: 3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx −=
−=
−; s:
3
1
2
1
1
1
v
zz
v
yy
v
xx −=
−=
−
Para hallar la distancia entre dichas rectas procedemos de la forma siguiente: a. Hallamos la ecuación del plano π. Dicho plano contiene a la recta s y es paralelo a
la recta r por lo que utilizaremos el punto Q y los vectores de las dos rectas:
0
vvv
uuu
zzyyxx
321
321
111
=−−−
b. Después hallamos la distancia del punto )z,y,x(P 000 de r al plano π
r
s
dπ
P•
•Q
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Ejemplo:
Dadas la rectas
λ+=−=
λ+=
28z
1y
5x
:r y
λ+−=λ−=λ+=
41z
2y
32x
:s
a. Estudia su posición relativa comprobando que se cruzan. b. Halla la mínima distancia entre ellas. Un punto de r es P(5, −1, 8) y un vector u = (1, 0, 2) Un punto de s es Q(2, 2, −1) y un vector v = (3, −1, 4)
Vector )9,3,3(PQ −−=
09126189
93 3
4 13
2 0 1
≠=−−+=−−
− , por tanto, las rectas se cruzan.
Plano que contiene a la recta s y es paralelo a r:
0
413
20 1
1z2y2x
=−
+−−; 0)2y(4)2x(2)1z()2y(6 =−−−++−−
2x + 2y −z + 9 = 0 Ahora hallamos la distancia del punto (5, −1, 8) al plano hallado:
33
9
)1(22
|98)1(25.2|d
222==
−++
+−−+=
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EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Halla la distancia del punto P(12,-1,1) a la recta r que pasa por A(1,1,1) y tiene como vector de dirección al vector v = (3,4,0) SOLUCIÓN: Ecuación de la recta r:
=λ+=λ+=
1z
41y
31x
G es un punto genérico de la recta.
PG es un vector variable y nos interesa el que sea perpendicular a la recta. Entonces se
ha de cumplir que 0v.PG = ⇒ 0)0,4,3).(1,41,31( =λ+λ+ (producto escalar nulo) y se obtiene λ = 1
El vector perpendicular a la recta será, por tanto, )0,6,8(PG −= y la distancia buscada
es el módulo del vector PG :
1006)8(d 222 =++−= Otra manera: Se aplica la fórmula:
||v||
||vAP||d
×=
donde A(1,1,1), P(12,-1,1) y v = (3,4,0)
2.- Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(2,-1,2) y C(5,-1,1). Halla la distancia del punto P(2,7,3) al plano hallado. SOLUCIÓN:
Elegimos, por ejemplo, el punto A(1,0,0) y formamos los vectores )2,1,1(AB −= y
)1,1,4(AC −= Ecuación vectorial: )1,1,4()2,1,1()0,0,1()z,y,x( −µ+−λ+=
Ecuaciones paramétricas:
µ+λ=µ−λ−=
µ+λ+=π
2z
y
41x
:
Ecuación general: 0
114
211
zy 1x
=−−
−
•v=(3,4,0)A(1,1,1)
•G(1+3λ,1+4λ,1)
P(12,-1,1)•
d
•
r
),,( 111 zyxP
d
),,( 000 zyxA•
),,( 321 vvvv =
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Desarrollando el determinante se obtiene 01z3y7x: =−++π La distancia del punto P(2,7,3) al plano hallado, se obtiene aplicando la fórmula
59
60
371
|3.37.72.1|
CBA
|DCzByAx|),P(d
222222
000 =++
++=
++
+++=π
3.- Determina un punto P de la recta 2
z
1
1y
2
1x:r =
+=
− que equidiste de los planos
03zyx:1 =+++π y
µ+−=µ+λ−=λ+−=
π6z
y
3x
:2
SOLUCIÓN: Expresamos el plano 2π en forma cartesiana:
0
11 0
011
6zy 3x
=−++
⇒ 2π : 03zyx =−−+
Pasando a paramétricas la recta, obtenemos un punto genérico: )3,1,21(P λλ+−λ+
Como ),,P(d),P(d 21 π=π resulta:
222222 )1(11
|33.1)1.(1)21.(1|
111
|33.1)1.(1)21.(1|
−++
−λ−λ+−+λ+=
++
+λ+λ+−+λ+ con lo que se
obtiene 3
|3|
3
|36| −=
+λ, es decir, 3|36| =+λ ⇒
=−λ−=+λ
336
336
De la primera ecuación obtenemos 0=λ y de la segunda 1−=λ Llevando los valores de λ al punto genérico obtenemos dos puntos que equidistan de los planos dados: )3,2,1(P −−− y )0,1,1(P −′
4.- dado el plano π de ecuación ,01z3y2x =−++ la recta r de ecuación
+=−=4zy
3z2x:r
y el punto P(2,1,1), calcula: a) Ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a π b) Ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r SOLUCIÓN: a) El vector característico del plano es un vector director de la recta, es decir, )3,2,1(v = Y teniendo en cuenta que la recta pasa por P(2,1,1),
3
1z
2
1y
1
2x −=
−=
−
b) En la recta r, hacemos λ=z y queda de la siguiente forma:
λ=λ+=λ+−=
z
4y
23x
:r
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El vector director de la recta es un vector característico del plano buscado. 0Dzyx2 =+++
Como el plano contiene al punto P(2,1,1), 0D112.2 =+++ ⇒ D = -6 Ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r: 06zyx2 =−++ 5.- Halla el simétrico del punto A(0,1,-2) respecto al plano de ecuación
05zyx2: =+−−π
Solución: Si la ecuación del plano es
05zyx2: =+−−π , el vector característico del plano )1,1,2(n −−= será vector director de la recta que pasa por A y A ′ , por tanto,
λ=−+
=−−
=1
2z
1
1y
2
x
Y en paramétricas:
λ−−=λ−=
λ=
2z
1y
2x
La intersección de la recta y el plano nos da las coordenadas del punto M:
05)2()1(2.2 =+λ−−−λ−−λ ⇒ 1−=λ
Sustituyendo λ en la ecuación de la recta obtenemos el punto )1,2,2(M −− El punto M es el punto medio del segmento :AA ′
22
x0−=
′+⇒ 4x −=′
22
y1=
′+⇒ 3y =′
12
z2−=
′+−⇒ 0z =′
Coordenadas del punto simétrico de A: )0,3,4(A −′
6.- Halla el simétrico de A(2,0,1) respecto de la recta 1
2z
1
3y
2
x −=
−−
=
Solución: Plano perpendicular a la recta que pasa por A:
0Dzyx2 =++− Como dicho plano contiene al punto A,
0D12.2 =++ ⇒ D = -5 El plano tiene de ecuación
05zyx2: =−+−π
A(0,1,-2)•
•),,( zyxA ′′′′
M
•
•
•
)1,0,2(A
)z,y,x(A ′′′′
M v = (2,-1,1)
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α
r
π
n
β
Ecuación de la recta dada en paramétricas:
λ=−
=−−
=1
2z
1
3y
2
x ⇒
λ+=λ−=
λ=
2z
3y
2x
La intersección de la recta y el plano nos da el punto M:
05234 =−λ++λ+−λ ⇒ 1=λ Llevando λ a la recta obtenemos )3,2,4(M Como M es el punto medio de A y A′ , si aplicamos las fórmulas del punto medio, re-sulta:
42
x2=
′+⇒ 6x =′
22
y0=
′+ ⇒ 4y =′
32
z1=
′+⇒ 5z =′
Las coordenadas del simétrico de A son: )5,4,6(A′ 7.- Determina el ángulo que forman el plano 04z3y2x: =+−+π y la recta
=+=−
12z2x3
0yx2:r
Solución:
Aplicamos la fórmula ||v||.||n||
|v.n|sen =α donde )C,B,A(n = y )v,v,v(v 321=
En primer lugar ponemos la recta en paramétricas:
=+=−
12z2x3
0yx2:r ⇒ ,x2y = haciendo ,x λ= λ= 2y
En la 2ª ecuación: 12z26 =+λ ⇒ λ−= 36z
La recta r queda de la siguiente forma:
λ−=λ=λ=
36z
2y
x
:r donde )3,2,1(v −=
Y como )3,2,1(n −=
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1941.941
|941|
||v||.||n||
|v.n|sen =
++++++
==α ⇒ º901arcsen ==α
8.- Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide: a) Las coordenadas de los otros dos vértices. b) Ecuación del plano que contiene al paralelogramo c) Área del paralelogramo. Solución: a) Aplicando las fórmulas de las coordenadas del punto medio de un segmento,
02
x1 1 =+
⇒ ;1x1 −= 02
y1 1 =+
⇒ ;1y1 −= 12
z1 1 =+
⇒ 1z1 =
Las coordenadas de C son: )1 ,1,1(C −− Del mismo modo obtenemos )2 ,2,0(D − b) Ecuación del plano:
);0,1,1(OA = )1,2 ,0(OB −=
Con el punto O y los vectores OA y OB podemos escribir su ecuación:
0
120
0 11
1zyx
=−
−⇒ 02z2yx =+−−
d) El área del paralelogramo podemos calcularla de la forma siguiente:
||ABAD||Área ×=
)1 ,3,1(AD −−=
)1,1 ,1(AB −−=
)4,2,2(1 1
31,
11
11 ,
11
1 3 ABAD −−=
−
−−−−−
−−
=×
222 u 24)4()2(2Área =−+−+=
O(0,0,1)
A(1,1,1) B(0,2,0)
)z,y,x(C 111)z,y,x(D 222
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9.- Halla la ecuación del plano π que es perpendicular a 0zy6x:1 =+−π y contiene a
la recta intersección de 2zy2x4:2 =+−π y
µ+λ+=µ+λ+=
λ+=π
21z
2y
2x
:3
Solución: Ecuación general de :3π
0
210
111
1z2y2x
=−−−
⇒ 01zy2x =++−
=++−=−+−
π∩π01zy2x
02zy2x4:32 que pasamos a paramétricas resolviendo el sistema:
=−−+−=−+−
01zy2x
02zy2x4 Sumando se obtiene 1x =
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones resulta 2y2z −= y haciendo ,y λ=
λ+−=λ=
=π∩π
22z
y
1x
:32
• Un punto del plano buscado puede ser el de la recta intersección: (1,0,-2) Los dos vectores que necesitamos serán: • El vector director de la recta intersección: )2,1,0(v =
• El vector característico del plano :1π )1,6,1(w −= Ecuación del plano π :
0
161
21 0
2zy 1x
=−
+−⇒ 015zy2x13 =−−+
(Después de desarrollar el determinante y simplificar el resultado) 10.- Halla la ecuación del plano π que es perpendicular a los planos ,1zy3z2:1 =++π
y 3z2y3x6:2 =++π sabiendo que pasa por el punto A(4,1,2).
Solución: Para determinar un plano necesitamos: Un punto Dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre sí.
El punto lo tenemos. Los vectores característicos de 1π y ,2π )1,3,2(v = y ),2,3,6(w = son paralelos al pla-no y no paralelos entre sí. Por tanto,
0
236
132
2z1y4x
=−−−
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Desarrollando el determinante, ,0)1y(4)4x(3)2z(18)2z(6)1y(6)4x(6 =−−−−−−−+−+− es decir,
010z12y2x3: =+−+π
11.- Determina una constante a, para que el plano de ecuación 2zyax =++ forme un
ángulo de 3π radianes con el plano z = 0
Solución:
Un vector característico del plano
2zyax =++ es )1,1,a(n =
Un vector característico del plano
z = 0, es )1,0,0(n =′
Aplicando la fórmula ||n||.||n||
|n.n|cos
′′
=α resulta:
222222 10011a
|0.10.10.a|
3cos
++++
++=
π⇒
2a
1
2
12 +
= ⇒ 22a 2 =+
Elevando al cuadrado, 42a 2 =+ ⇒ 2a ±=
12.- dadas las rectas ;1
z
2
1y
3
2x:r =
−−
=−
2
1z
1
2y
2
1x:s
−=
−+
=+
a) Halla la distancia entre las dos rectas b) Determina la ecuación de la perpendicular común a las dos rectas. Solución: a) Plano que contiene a la recta s y es paralelo a r: (zona sombreada)
0
212
123
1z2y1x
=−−
−++⇒ 012zy4x3 =+−+
Un punto de la recta r es P(2,1,0) Ahora calculamos la distancia del punto P
al plano hallado: 26
22
)1(43
|1246|d
222=
−++
++=
b) la perpendicular común podemos expresarla por la intersección de los dos planos que contienen a cada una de las dos caras sombreadas:
α
απ
π′n
n′
d
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)1,2,3v −= es un vector director de r
)2,1,2(w −= es un vector director de s El vector wv× es perpendicular a cada uno de los vectores dados:
)1,4,3(kj4i3
212
123
kji
−−=+−−=−−
Plano 0
142
123
z2y2x
:1 =−−−−−
π ; Plano 0
143
212
1z2y1x
:2 =−−−
−++π
1π2π
s
r
t
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Ejercicios propuestos
1.- Estudia si las rectas
=−=−=
2z
t1y
t1x
:r
−=+=
=
t2z
t1y
tx
:s
se cruzan en el espacio. Encuentra la distancia entre ellas. Solución: Escogemos un punto y un vector de cada recta. Como el determinante formado por el vector que uno los puntos de ambas rectas y los vectores directores es distinto de cero, las rectas se cruzan.
Distancia entre r y s: 2
2.- Se dan las rectas
=−−=−
1zy
1y2x:r
=−−=−
1zyx
5z2x:s
a) Investiga si son paralelas. b) En caso afirmativo, halla la ecuación del plano que las contiene Solución: Hacemos λ=z y las expresamos en paramétricas. a) Las rectas son paralelas porque los vectores directores son proporcionales. b) Escogemos un punto de cada recta y formamos el vector que une ambos puntos. Con dicho vector, un vector director de una de ellas y uno de los dos puntos que conocemos, escribimos la ecuación del plano: 01z2y4x3 =+−−
3.- Determina las coordenadas del punto simétrico de A(-3,1,-7), respecto de la recta
2
1z
2
3y
1
1x +=
−=
+
Solución: Hallamos un plano perpendicular a la recta que pasa por A. A continuación buscamos la intersección de la recta y el plano. El punto de intersección es el punto me-dio de A y su simétrico A′
)3,3,3(A −−−′
4.- Las rectas 0
z
4
y
1
x=
−=
− y ,
1
1z
1
1y
1
2x −=
−−
=+
se cruzan en el espacio. Calcula la
distancia entre ellas y la ecuación de la recta perpendicular común a ambas rectas.
Solución: 3
14d =
Recta perpendicular común:
λ=λ=λ−=
5z
y
4x
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5.- Halla la distancia entre las rectas ;1
1z
3
1y
2
1x:r
−=
−=
−
2
1z
3
2y
1
5x:s
−=
−=
−
Solución: 3
6.- Comprueba que la recta 1
7z
1
2y
1
3x
−−
=−
=−
es paralela al plano 0z3y2x =++
y halla la distancia de la recta al plano. Solución: El producto escalar del vector director de la recta y del vector característico del plano ha de ser nulo. (Condición de paralelismo de recta y plano)
3
14d =
7.- Halla la recta que pasa por A(1,0,2) y es paralela a los planos 01z3y2x =++− y 06zy3x2 =++− Solución:
1
2z
5
y
7
1x −==
−
8.- Las rectas
=+=−+7y2x
4zyx:r
−==
4y
2x:s se cruzan en el espacio.
Escribe las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. Halla un punto de r y otro punto de s tales que el vector con origen en uno y extremo en el otro, sea perpendicular a ambas rectas. Solución:
a)
λ−=λ=
λ−=
3z
y
27x
:r
µ=−=
=
z
5y
2x
:
a) Tomamos un punto genérico de r y un punto genérico de s:
);3,,27(P λ−λλ− ),5,2(Q µ−
El vector PQ ha de ser perpendicular a cada uno de los vectores directores de las rectas dadas. (Pro-ducto escalar nulo) Resolviendo el sistema se obtiene ,1=λ 2=µ valores que llevados a P y Q nos dan los puntos
)2,1,5(P y )2,5,2(Q −
9.- Considera el punto P(5,-2,9) y la recta 6
z
3
1y
2
1x:r =
−+
=−−
a) Calcula la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P. b) Halla el punto de corte de las dos rectas. Solución: a) Expresamos r en paramétricas y tomamos un punto genérico de la misma:
)6,31,21(G λλ−−λ−
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Como el producto escalar de PG y v ha de ser nulo, obtenemos λ = 1
Obtenido ,PG la ecuación de la recta s
será: 3
9z
2
2y
6
5x
−−
=−+
=−−
b) Punto de corte: )6,4,1(G −− 10.- Sea el plano 12z4y2x: =+−π y el punto P(2,-1,1) a) Calcula la distancia d entre el plano π y el punto P. b) Halla la ecuación de un plano paralelo a π y distinto del mismo, que también diste de P la misma distancia d. c) Calcula el volumen de la figura limitada por el plano π y los tres planos coordenados. Solución:
a) 21
4
b) 04z4y2x: =−+−π′ c) La coordenadas de los vértices A(12,0,0), B(0,-6,0) y C(0,0,3)
2u 36Volumen =
r
s
• P(5,-2,9)
)6,3,2(v −−=G•
A
B
C
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