松尾 孝美 年 月 年 月 日 - onsen-mula.org
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�� 制御��
松尾 孝美�
����年�月 �����
����年��月 �����
���年月 ����
����年�月 ��日 ����
�研究室ゼミ資料�大分大学工学部福祉環境工学科
������� �
まえがき
現代制御理論は状態フィードバックをベースの考え方としている.このため一部の状態しか観測できない場合には疑似的な状態フィードバックを実現するために状態推定機構が必要になってくる.確定系の状態推定機構の一つがオブザーバであり,確率系のそれがカルマンフィルタである.本資料では,オブザーバおよびカルマンフィルタの持つ性質を,状態推定機構としての観点のみでなく,補償器としての面も含めて説明する.また,確定系および確率系の制御系設計と最近話題の�� 制御系設計との関連についても述べる.
�� 制御はロバスト制御の�手法と見られることが多いが,理論の創始者たちは,もっと制御理論の根本的な考え方の転換をねらっている.これまでのブロック線図に基づくフィードバック構造をもっと一般化して,理論体系の統一をはかり,新しい制御構造構築を行っているのである.ここでは,従来の制御系の構造と��制御に見られる新しい構造とはなにかについて探っていきたい.なお,本書は数式の導出に主眼をおいて書かれているので,物理的な意味については他書を参
照すること.
�
�������
一般化プラントによる新しい制御理論
前節までの制御理論においては,入力,出力,状態の�つの変数から構成されるプラントが基本となっており,それが伝達関数や状態方程式として記述され,制御問題が定式化されていた.本節では,これら�変数に加えて,外乱や制御量をもプラント構造の中に取り込んだ一般化プラントについて述べる.この一般化プラントに対して信号ノルムおよびシステムノルムを導入することにより,これまでの最適制御理論を一般化することが可能になる.こうして登場したのが,��制御,��制御,��制御である.
��� 一般化プラントと���� �����
����� 一般化プラント表現
システム外乱と測定雑音の存在する一般的な制御問題は次のように定式化される.前章までにでてきた状態方程式は,物理システムそのままの状態方程式か,あるいは,サーボ系の場合には物理システムと内部モデル �追従信号生成のための状態方程式�を結合した拡大系から成っている.ところが,次の状態方程式はそれだけにとどまらず,制御系の周波数に依存した設計仕様までもを含む一般的な表現となっている.どれくらい一般的なものかというのは参考文献 ����を参考にしてほしい.
�����
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� � ����������
������ �����
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����
���� �����
��� ������ ����� ����
� � ����������
������
ただし, ���� ���� ������ ������ ���は,それぞれ観測量,制御量,外乱�,外乱�,操作量 �入力�
とする.上式において,
��� �����
���� �����
�
の場合,外乱�と外乱 �が分離できて�外乱�がシステム外乱(システムに混入する外乱),外乱�
が検出雑音(観測値に混入する雑音)となる.上式は,このような外乱が分離できる場合以外の一般的な場合も取り扱うことができるようになっている.ここで,外乱を �つにまとめて,
����
������
�����
������
�� ���� ���
������
��
����
���
������
���
�����
����
������
��� ����� ����
����� �
とおくと,�����������������は次のようにかける.
�����
�� ����� ������ ����� ������
��� ������ ������ ������
��� ������ ������� ������
また,上式よりも一般的な場合として,制御量に外乱をいれる場合あるいは観測量に操作量が入る場合は次のように表現することができる.
�����
�� ����� ������ ����� ������
��� ������ ������� ������ ������
��� ������ ������� ������ ������
このようなシステムを一般化プラントと呼ぶ.ここで,一般化プラントの意味について考えてみよう.このフォーミュレーションは,外乱と
いうものをシステムの入力の�つとみなし,さらに,観測量と制御量を明確に区別したところに意義がある.つまり,上式は,入力が����と���の �つで,出力も ���と ���の �つの �信号入力 �
信号出力システム �回路網理論における�端子回路の散乱表現に相当する�と考えるのである.入力����� ���から出力 ���� ���への伝達関数は次式のようになる.
����
���
� ����
�����
���
�������
���� ���
��� ���
� �����
���
�������
��� ����� ������� ������
��� ����� ������� ���� �
��� ����� ������� ������
��� ����� ������� ������
�
また,上式の伝達関数を,�����の記法を用いて略記すると,次式のようになる.
����
����� �� ��
�� ��� ���
�� ��� ���
� ������
ここで,�����の記法とは,伝達関数を,状態方程式と出力方程式の行列を併記して表現したもので,入出力表現と状態空間表現を同時に表すのに便利がよい.
���� ������ �
�� �
� �
�������
さらに,システム外乱および検出雑音はつぎのような関数空間��内の信号とする.
�� ����� � ���� ���� � � ��
� �
������ ������ ��� ������
��に属する信号は,たとえば,�������� ��� ���������などである.ただし,����は単位ステップ関数とする.システムを安定化するような入力を加えると,システム内信号はすべて��に属する.そこで,外乱や雑音������ �����の制御量���への影響を小さくするようなコントローラを求めるのが一般の��および��制御問題である.
����� フィードバック構造と���� �����
前節でのべた一般化プラントを,��制御や��制御では,標準の制御対象とみなすのであるが,これはフィードバック構造を弾力化をねらったものである.従来の �信号入力�信号出力システムでは,出力とフィードバック信号が同一のために,フィードバック構造が限定されてしまうからである.入力側の�信号は外部入力信号 ������とフィードバック入力信号 �����を,出力側の�信号は外部出力信号 �����とフィードバック用観測信号 � ����を意味しているのである.従来の�信号入力�信号出力システムは,一般化プラントにおいてフィードバック用観測信号とフィードバック入力信号のループを切断したものであることに注意する.また,一般化プラント同士の基本的なフィードバック構造は,システム �のフィードバック用観測信号をシステム�の外部入力信号に,システム �の外部出力信号をシステム�のフィードバック入力信号に接続することにより得られ,構成された閉ループ系もやはり一般化プラントで表現される.このようなフィードバック構造を��� ! �"#$�とよぶ �参考文献 �����.一方,同じ一般化プラントでも,入力信号,出力信号同士をまとめて伝達関数表現�
���
���
� ����
�����
���
�������
���� ���
��� ���
� �����
���
�������
とするかわりに,次のように,外部入出力信号���� ����とフィードバック信号 ���� ���との伝達関数表現することもできる.�
���
����
� %����
����
���
�������
�%���
%���
%���%���
� ����
���
�������
�
うえの表現を,鎖散乱 �&'��� �$���� ��(�表現という.これに対して,������式の表現を散乱表現とよんだことを思いだそう.鎖散乱表現の利点は,フィードバック構造が単なるかけ算表現になることである.鎖散乱表現に基づいて,��制御器を構成する手法を&��)#(�����法というが,本資料では理論の一貫性のため,散乱表現と��� ! �"#$�によりフィードバック構造の解析をおこなうのでこの点については触れないが,斬新な理論であるので一読されたい �参考文献 ����������.次に,�つの一般化プラントの��� ! �"#$�を状態空間で表現しよう.�
����
����
� �����
������
����
����� �
�����
����
� �����
������
����
�������
ただし,次のようにおく.
�����
������ ��
� ���
��� ��
�� ����
��� ��
�� ����
� ������
�����
������ ��
� ���
��� ��
�� ����
��� ��
�� ����
� ������
信号 �を��に,信号 �を�に接続した場合を考える.これは制御系では,次のように解釈される.システム�����をプラント,�����を補償器 �コントローラ�とみなし,信号 ����� ����� ������ ����をそれぞれ制御量,観測量 �プラント出力信号�,外乱 �外部信号�,操作量 �プラント入力信号�と,また信号 ����� ����� ������ ����をそれぞれ補償器により生成されるプラントの操作量,補償器の観測量,補償器にとりこまれるプラントの観測量,補償器の操作量とみなすことができる.�����
と�����の��� ! �"#$�を�������� ���とおくと,これは次にように計算される.�����
����
� �������� ���
������
����
�������
ここで,
�������� ������
����������� ����� ����� ���������� ����� ����� ���������� ����� ����� ���������� ����� ����� �����
� ������
である.ただし,
� �� ������
����
��
� �� ������
����
��
����� �� �����
����
��
����� �����
��
����� �����
��
����� �� �����
����
��
�
����� ��� ��
�������
���
����� �����
���
����� �����
���
����� ��� ��
�������
���
����� ��� ��
��������
��
����� ������
��
����� ������
��
����� ��� ��
��������
��
����� ���� ��
��������
���
����� ������
���
����� ������
���
����� ���� ��
��������
���
とする.特に,���� � ��
�� としたときには,次式のようになる.
����� �� ����
����
��
����� ����
��
����� ����
��
����� ��
����� ��� ��
������
���
����� ����
���
����� ����
���
����� ���
����� ��� ��
�������
��
����� �����
��
����� �����
��
����� ���
����� ���� ��
�������
���
����� �����
���
����� �����
���
�����
��� ���記号による伝達関数演算則
本節では,これからもっともよく用いる�����の記法の性質をあげる.具体的には,伝達関数の和,積,逆の演算を�����の記法を用いて状態空間表現する.また,状態変数の変数変換 �相似変換�や不可制御,不可観測モード消去の�����の記法による表現を与える.
�
�つの伝達関数������ �����を次のように定義する.
�����
��� ��
�� ��
�� �����
��� ��
�� ��
�������
このとき,和�� ��,積����は次のように与えられる.
�� ��
������ ��
�� ��
�� �� �� ��
� ������
����
������ ���� ����
�� ��
�� ���� ����
� ������
����
�� ��
���� �� ����
���� �� ����
� ������
���� �
また,転置�� ���,共役�����,右逆(左逆)�����はつぎのようになる.
��� ���
���� ������ ���
�������
��� ���
����� ������� ���
�������
������
��� ����
���� ����
��
����� ���
�������
等価変換,不可制御モードおよび不可観測モードの消去は次のように表される.�����
�� ���
����� ��
�
��� ��
�� ��
�������
������ ��� ��
��
�� �� ��
�
��� ��
�� ��
�������
������
��� �� ��
�� �� ��
�
��� ��
�� ��
�������
������ ��
��� �� ��
�� ��
�
��� ��
�� ��
�������
������ ��� ��
�� ��
�� ��
�
��� ��
�� ��
�������
�
��� 一般化プラントの動的補償器による安定化とパラメータ化
前節の一般化プラント ��������������������を安定化するために,次のような動的補償器によるフィードバックを考える.これは,��� ! �"#$� において,補償器の操作量をゼロとし,補償器の観測量を全く利用しない場合に相当する.
����
�� ����� �� ��� ������
��� ����� �� ��� ���� �
ここで,��� � ��とする.上式は,観測量 ���を用いて操作量���を動的補償器により算出して,閉ループ系の特性改善をおこなうことを意味している.オブザーバやカルマンフィルタと補償器との違いは,前者が状態推定と状態フィードバックを基本にしているのに対して,後者は観測量から操作量を生成する一般の線形システムを表現しており,後者の方が前者を含んだ一般的なものになっているということである.なお,����������� �の ���から���の伝達関数を����とおき,�����の記法を用いてかくと次のようになる.
����
��� ��
�� ��
�������
�������������より����より���までの閉ループ伝達関数������は次式のようになる.
��� ������ ������
���� ������ ���������������� ������
ここで,������を����と����の線形分数変換 � *���� + �$������ , ���-� .������ *+,�とよび,次のように表す.
������ ��� ����� ������
一方,閉ループ系の���� ���は次のように表せる.
��� �������� ������� ��������� ������
��� � ������ �������� ���������� ������
ただし,���は
� �� ��������� ������
� �� ��������� ������
とする.これを用いると,*+,の状態空間表現は次のようになる.��������������
�
��������� �����
����� �� ��������
� �����
���
�
��� ��������
������
����� ������
��� ��� �������� ������
� � �������
� ���� �������������� ���� �
�
��� �����は,�����の記法を用いると,次のようにかける.
������
������������ ����� �� ��������
����� �� �������� ������
�� �������� ������ ��� ���������
� ������
���が内部安定であるための必要十分条件は次の行列���が安定であることである.
���
��������� �����
����� �� ��������
�������
���節と同じように等価変換
�
���
���
�������
��� ������
を用いると,���は次のようになる.
������
����
%���%���
%��
%���%���
%��
%�� %�� %�
� ������
ただし,
%��� �������� �����
%��� ������
%��� ����������� ��� ��������� ����� ������
%��� �� �������� � �����
%�� �� ��������
%�� ��� ����������������
%�� �� ���� ����� �� �
%�� �������
%� ��� ���������
とする.特に,��� ������
の場合にはつぎのように簡単になる.
%��� ����� ������
%��� �����
%��� ������������ ���� �����
%��� �� � ����
%�� �� �������
%�� ��� ��������������
%�� �� ������ �����
%�� ������
�
������の場合の内部安定性の十分条件は,���節と同様に次の一般化/�$$���方程式
%��� ������������ ���� ����� ������
の解が存在し,かつ行列 %���および %���が安定であることである.������にくわえて,! "� �� の場合には,一般化/�$$���方程式の�つの解として,つ
ぎのようなものが存在する.
�� ������
�� ����� ����� ������
これにより補償器の��行列の構造が決定される.さらに,内部安定であるためには,�����および������が安定であるように��� ��を選ばなければならないことから,��� ��行列の構造が決定される.この補償器はオブザーバと同じ構造をもっていることは明らかである.さらに,��� � " # !の場合の補償器の構造を求めてみよう.補償器を次のように分解
する.
����
������� ��� ��
��� ��� ��
�� �� �
� ���� �
ただし,��� � ����� ��� � ������������とする.等価変換もつぎのように分割する.
�
�����
� ���
� �����
� ������
��� ������
このとき,一般化/�$$���方程式は次のように分解される.
������������� � ��� � ������ � ���� ������� ������
������������� � ��� � ������ � ���� ������� ������
ここで,
��� ������ ����� ���� ������
��� ����� ������
とすると, � ��� � ������
が一般化/�$$���方程式の解となる.このとき,���は次のようになる.
������
������
%���%����
%����%��
%�����%�����
%���
%�����%�����
%���
%�� %���%���
%�
� ������
�
ただし,
%��� ������� ���
%���� �����
%���� �����
%����� � ���� ������
%����� ��� �����
%����� �����
%����� ���
%�� �� ������
%��� �� ���� �������
%��� ������
%�� �� ������� ���
%��� ������
%��� ������
%� ��� �������
���が内部安定性を満足するために,���� ��� ��� ���に次の条件をつけ加える.
��� ���� �$��� %����� � ������
������� ��� � ��%&'� ���� �
� ���� ������ � ��%&'� ������
��� � ��%&'� ������
したがって,���を内部安定にする補償器は次式のようになる.
����
����� ���� ������ ���� ���� ��
����� ��� ��
�� �� �
� ������
ただし,��� ��は,それぞれ� ���� � ������ ������� ���が安定であるように選定し,また,���も任意の安定行列とする.��� ��� �は任意でよいことになるが,�の値は,��� ��の選択に依存してくることに注意する必要がある.そこで,この依存性を除去するために,コントローラを一般化プラントと自由パラメータによるフィードバックの形に変形しよう.いま,次の記号を定義する.
�� � ��� ������
�� ���� ��� ������
�� ���� �� ������
この記号を用いて,������を変形すると,次式のようになる.
����
����� ���� ���� ������� ���� ��� ����
����� ��� ��
�� ����� �� �� ��
� ������
��
ただし,� �������とする.上式は,次のような一般化プラントとそのフィードバックによる表現が可能である. �
���
(���
� 0����
� ���
���
�������
��� )���(��� ������
ただし,次のようにおく.
0����
����� ���� ���� ��� ��
�� �� �
��� �
� ���� �
)���
���� ��
�� ��
�������
ここで,補償器は次の条件を満足しなければならない.
��� � ��%&'� ������
� ���� � ��%&'� ������
� ���� � ��%&'� ������
)���は安定であればなんでもよく,�������������を安定化補償器のパラメータ化と呼ぶ.これは,伝達関数表現の1�#�� 2� �.�� �3�����に相当する.)��� にしたときの補償器を&��� �� &�.4
2������ と呼ぶことにする.上式の&��� �� &�.2������ は同一次元オブザーバと同じ構造をしていることに注意しよう.逆に,�������������式を満たすような��� �����を �つ固定し,したときに,)���をうまく選
定することにより,任意の動的補償器が �������������なる形で表されることを証明する.)���として,
)
����
5� 5��� 5�
��5� ���
5��� ��� ��� 5� ����5� ��� � 5� ������ 5� ���
� ������
と選ぶと,全体の補償器は��� � 0��)�であり,これは次のように計算される.
��� � 0��)�
�� �
� �
�������
ただし,
�
���� ���� ���� ���� 5� ������ ��
5� ����� ��� 5� ������
� 5��� 5� 5���
���� ���� 5� ������ ��5� ���
5���
�
�
������ ��� 5� ����
5�
��� ��� 5� ����
�
� ��� � � 5� ������ 5� ��� � 5� ������
�� 5�
��
である.行列
�
���� ��
�
�
�
を用いて,補償器を等価変換すると次式のようになる.
�����
���
� ����
� 5��� 5�
���� ���� 5� ������ ��5� � ����
�
��
���
5�
��� ��� 5� ����
�
����
��� � � 5� ������ 5�
�これと� ����� � ����が安定であることから,補償器��� � 0��)�の不可観測あるいは不可制御部分を取り除くと,次式が成立することがわかる.
��� � 0��)�
������
� ����
� 5��� 5� 5�
���� ���� 5� ������ ��5� � ���� ��� ��� 5� ����
�� � � 5� ����� 5� 5�
�
�5� 5�5� 5�
�
このことは,)���をうまく選ぶと,補償器の実現が
����
�5� 5�5� 5�
�������
で与えられることを意味している.ここで,この補償器による閉ループ系の��行列���は
���
�5� 5��
� 5� �� 5��
�
であることから,この補償器による閉ループ系が内部安定であるためには���が安定でなければならない.���は)���の��行列に一致することから,すべての安定化補償器を表現する)���はプロパー安定なもののなかから見つけることができることがわかる.特に,静的出力フィードバックにより安定化が可能である場合,つまり� を安定にするよう
な��が存在する場合には,�� � �� と選べるので,このように��� ��を選定すると,補償器は次式のようになる.
0������
����� ��
�� �
��� �
� ������
)���
���� ��
�� ��
�������
��
上式の*+,を伝達関数表現すると,次式のようになる.
������ ��� � 0����)� �� )����� ����� �� �����)������ ���� �
逆に,この形の補償器がすべての補償器を表していることはつぎのように自由パラメータを選ぶことにより示すことができる.
)�����
����
5� 5��� 5�
��5� ���
5��� ��� 5� ����5� � 5� ������ 5� ���
� ���� ��
このとき,��� � 0����)���は�� � � �� � の一般の場合と同様に次のようになる.
��� � 0����)���
�5� 5�5� 5�
����� ��
上式は,�� �とおくと,状態フィードバックコントローラのパラメータ化になっている.一方,�行列による内部安定条件は,伝達関数���が可安定かつ可検出のとき,��� � ���
であることと等価である.ここで,���とは,安定でプロパーな伝達関数の集合を意味する �くわしくは後述�.なぜならば,������は伝達関数であり,右辺には'�""�� .�"�を含む可能性があり,これは安定である必要があるからである.またこの条件は次の条件と等価であることが証明されている �参考文献 �����.
定理 ����� ��
�� ���
��
�� ��
�� ���
�が不安定な伝達零点をもたないとする.このとき,閉ループ系が内部
安定であるための必要十分条件は,��� � ���であることである.
��� ���� �����の安定性
��� ! �"#$�とは,�つの �信号入力 �信号出力システム ��つはプラント,もう�つは動的補償器を意味する�の信号をフィードバックしてできた�信号入力�信号出力システム �閉ループ系であるが,動的補償器の入力端子と出力端子が �つずつ開放されている�であり,次のようにかける.
�����
����
� �������� ������
������
����
����� ��
��� ���
������
����
����� ��
������ ���������� �����
� ������
����
����� ��
ここで,��は外乱,�は制御量,�は補償器の操作量, �は補償器の観測量を表している.
��
��� ! �"#$�の安定性を次のように定義しよう.��� ! �"#$����� ��において,��� ��� � ���であり,かつ補償器に次のような閉ループ構造
���� )��� ����� ��� %'' )��� � ��� ���� ��
をいれたときに,内部安定性が保たれているとき,��� ! �"#$�は安定であるという.��� ! �"#$�が安定であるとは,�信号入力 �信号システムを �信号入力 �信号出力補償器に
より任意の安定なフィードバックを行っても安定性が保存されるという強い意味で安定化することを表している.また,これは前節で述べたパラメータ化された安定化補償器により�信号入力 �
信号システムを安定化していることに相当する.さて,���� のとき,��� ! �"#$�を安定にす
る補償器の �つを求めてみよう.前節で述べたパラメータ化された安定化補償器をひな型として,補償器を次式のような形で与えるとする.
�����
������ ��
� ���
��� ��
�� ����
��� ��
��
� ���� ��
ただし,��と��の次元は等しいとする.このとき,��� ���は ���節より次のようになる.
��� ���
�������� ��
������
�� ��
���� ��
� ����
����
��� ��
�����
����
�� �� ��
����� ��
�
��� ��
�������
�� ��
����� ��
�� �����
����
��� ��
������
�����
�� ��
� �����
���
� ���� ��
等価変換
�
��
� ��
����� ��
��� ����� �
により,上式の右辺の各要素は次のように変形できる.
����� �� �����
����
�� ��
��
����� �����
��
����� �� ��� �����
����
�� ��
� ������
��
����� �� �����
��
����� ��� ��
������
���
����� ����
���
����� ��� ��
������
��� ��
���
���
����� ����
��� ��
��
����� ��� ��
�������
�� ��
�����
����� ������
��
����� ��� ��
�����
����� ����
��
����� ���� ��
�������
���
����� �����
���
����� �����
���
�����
ここで,��� ! �"#$�が安定であるためには,��� ���がつぎのような形をしていなければならない. �
����
����
� ��� ���
������
����
��������
������ ����������
� ������
����
��������
なぜならば,上式において,���� )��� ���� �������
とすると,�����から����までの伝達関数��������は,
�������� �������� ��������)����������� �������
となり,任意の)��� � ���に対して閉ループ系は安定となる.�������が不成立,つまり����� �
の場合には,��������は次式のようになる.
�������� �������� ��������)����� ���������)�������������� �������
このとき,��� ! �"#$�が安定であることは,次と等価になる.
�������� � ���
�������� � ���
�������� � ���
�������� � ���
)����� ���������)������ � ���
上式より0)��� )����� ���������)������ �������
とおくと,��������は
�������� �������� �������� 0)����������� �������
となり,これは �������と同じ形になり,�����は,)���のなかに封じ込めることができることがわかる.したがって,�������が ��� ! �"#$�が安定となる一般形となるわけである.���の�����
記法から,����� は次の場合に達成できることがわかる.
�� �� ����
����
�� ��
���� ��
���
�� �$��� ����� � �������
��� ��
����� �$��� ����� � �������
��� ���
����� �$��� ����� � ����� �
��
さらに安定条件として,次が付加される.
�� ����
����
�� ��
���� � ��%&'� �������
�� ����
����
�� ��
���
�� � ��%&'� �������
��� ! �"#$�の安定性は前節の議論と密接な関係をもっていることがわかる.なぜならば,*+,
は,�信号入力 �信号出力プラントと&��� �� &�.2������ のフィードバック表現になっているからである.
��� �� 信号と �� 信号の性質
��制御で登場する関数空間について,簡単にのべる.詳細は,関数解析および+�# �� 変換の本を参照のこと.
�� �� 時間領域における �� 関数
�のスカラー値関数����が,区間 ������で絶対積分可能 �積分は本来は*�6��(#�積分を考えており,*�6��(#�積分できるために����は可測関数という条件がつくが,制御ではせいぜい区分的に連続な関数しか考えないので,*�6��(#�積分より狭い/��.���積分でよい,ついでに*�6��(#�
積分と/��.���積分の違いをひとことで説明すると,/��.���積分は関数����をその定義域 �で分割し,この分割を加算無限個にしてその和として積分を定義するが,*�6��(#�積分は値域の方で分割し,この加算無限和で積分を定義する�,つまり� �
���������� �� �������
のとき,関数 ����は関数空間��に属するといい,これを記号で
���� � �������� �������
と記す.ここで,関数空間とよんでいるのは,��������はベクトル空間 �線形空間�になるからである.つまり,関数の�つ �つをベクトルの矢印と同等に考えて,足し算やスカラー倍などの演算がこの空間の中で閉じているわけである.ただし,ふつうの��と異なり,この空間では無限次元となる.さらに,この空間の要素には,ノルムとよばれる一種の大きさが次式のように定義できる.
�����������
� �
���������� �������
さらに,この空間においては任意の列は収束する部分列をもち7���$'空間となるが,細かいところは,関数解析の本を読むこと.�のスカラー値関数 ����が,区間 ������で �乗積分可能,つまり� �
����������� �� �������
のとき,関数 ����は関数空間��に属するといい,これを記号で
���� � �������� �������
��
ノルムは次式で定義される.
������������
� �
����������� �������
さらに,��空間には次式で内積が定義できる.
� �� * #
� �
��
5����*����� �������
関数同士の内積がゼロのとき,直交するという.��������のうち,� � でゼロである関数の集合は��������の閉部分空間となり,これを��� ���と記す.同様に � # でゼロである関数の集合も��������の閉部分空間となり,これを������ �と記す.これは�つの部分空間は直交することは明らかである.どちらの関数にしても無限区間で積分するので,すくなくとも
��.����
���� ����� �
でなければならないが,積分できるためにはもうすこし強い条件が必要である.次のような例がある.
�
� ���+� ��� � �� �������
�����
� ����� � ��� +� �� �������
����� � ��� � �� �������
また,ベクトル値関数 ����の��ノルムは,スカラーの場合を容易に次のように拡張できる.
������������
� �
������������ �������
ただし,�は複素共役転置を表す.
�� �� ������� 関数の�����変換と ��� �� 空間
��������関数����の+�# ��変換は次式のように定義される.
%����
� �
������������� �������
また,逆変換は次式で与えられる.
���� �
�,
� �
��
%���������� �������
この関係から,次式も成立することがわかる.
�
�,
� �
�������� ��� �������
ただし,Æ���はデルタ関数である.この式を用いると,次式が成立する.
�
�,
� �
��
%����%*����� �
�,
� �
��
� �
��
� �
������*�-������������-��
� �
��
� �
������*�-��� � -��-�� �������
� �
������*����� �������
��
このことから,��������関数����の+�# ��変換 %����は,次式のようにノルムをとることができる.
� %�������� �
�,
� �
��
%���� %������ ����� �
このようにノルムをとった関数の全体を��とかくと,これは��������と同一視できる.当然ながら��も7���$'空間となる.また,内積は次式で定義される.
� %����� %*��� #�
�,
� �
��
%����%*����� �������
また,��� ���関数.���の右側*�2��$�変換0.���は次式で与えられる.
0.���
� �
�.��������� �������
��� ���関数の右側*�2��$�変換の収束域は/�� � にあること,つまり0.���は複素平面の右側で正則であることは明らかである.したがって,上式において � /�とおいたもの,つまり.���の+�# ��変換が存在する.関数%.���を
%.��� � 0.�/��
� �
�.���������� �������
と定義する.このとき,次式が成立する.
�
�,
� �
��
%.���%.�����
� �
�.���.����� �������
また逆に,複素平面の右側で正則な関数を逆変換すると,� � で信号の値は零になる.例として,次のような複素平面の右側で正則な関数を考えてみよう.
%.���� �
� %� % #
逆変換.����は次式のようになる.
.���� �
�,
� �
��
%.��/��������
�
�,
� �
��
�
% /�������
�
�,/
� �����
�
% ������
ここで,つぎのような複素平面上の軌跡を考えよう.
8 � ��� �
8� � ��� �� /�� �
8� � � /�� �� � �
8� � ��� �� /�� #
��
ただし,� # %とする.� # と � � に場合分けして逆変換の計算を行う.� # の場合:
�
�,/
��
���
� %��
�
�,/
������
���
� %��
�
�,/
���
���
� %��
�
�,/
� �����
���
� %��
ここで,� # の場合には
��.���
�
�,/
���
���
� %��
であることから,次式がえられる.
�
�,/
� �����
���
� %�� ����
� � の場合:%.����は複素右平面上で正則であるので,コーシーの定理から次式が成り立つ.
�
�,/
������
���
� %��
また,� � の場合には
��.���
�
�,/
���
���
� %��
であることから,次式がえられる.
�
�,/
� �����
���
� %��
そこで,このような複素関数%.���のつくる空間を��と記す.��空間のノルムは明らかに次式で与えられる.
�%.�������
�
�,
� �
��
%.���%.����� �������
同様に,������ �関数*���の+�# ��変換を%*��� とおくと,次式が成立する.
�
�,
� �
��%*���%*�����
� �
��*���*����� �������
%*���は複素平面の左側で正則である.%*���のつくる空間は��での内積をとると直交することは上の関係からわかる.このことから,この空間を�
� と記す.さらに,��空間は��空間と�� に直
交直和分解されることがわかる.�� �� �
� �������
ここでは,��� ���時間関数の+�# ��変換信号として��空間を定義したが,逆に,複素右平面で解析的な関数の集合として,��空間を定義すると,ノルムは複素右平面内での �#2 �.#.をとる必要があるが,��関数が虚軸上にまで延長できるときには,うえで述べたようにノルムは虚軸上で計算できるわけである.制御理論では普通,有理関数しか登場しないので,�����を有理関数に限定した部分空間をそ
れぞれ���� ���とかく.この場合,���� ���はそれぞれ,虚軸に極をもたない �� �$��� 2 �2�
な有理関数の集合,右半平面に極をもたないもたない �� �$��� 2 �2� な有理関数の集合となる.
�
�� �� 有界線形作用素とそのノルム
定義 ���
を体��普通は実数体�や複素数体��上の線形空間 �ベクトル空間�とする. 上のノルムとは,�� � � 0 � �に対して,次の公理を満たす関数 � � �� �をいう.
��� � �������
��� � �������
�� � ��� � � ����� �
�0�� �0���� �������
また,上式で �������以外が成立するが,�������が成立しないものを,準ノルムとよぶ.さらに,ノルムを定義できる線形空間をノルム空間という.
定義 ���
体�上の線形空間 �1に対して,写像� � � 1が次の条件を満たすとき,線形であるという.また,このような写像を から1への線形作用素という.
� �2�� 3��� 2� ���� 3� ���� ��� ��� �� � %!� 2� 3 � � �������
定義 ���
から1への線形作用素�が次の条件を満足するとき,�は�� � で連続であるという.
��.���
�� �� � ��.���
��� ��� �������
さらに,�が の各点で連続であるとき,�を連続作用素という.
定義 ���
から1への線形作用素�において,ある定数 4�� �が存在して,次式が成立するとき,�は有界�有界作用素�であるという.
���� 4���� �� � � �������
連続作用素と有界作用素は等価であることを示すのが,次の定理である.証明は関数解析の本ならどれにでも出ているので,参照すること.
定理 ���
��
から1への線形作用素�について,次の�条件は等価である.�� �はある点��で連続である.�� �は連続作用素である.�� �は有界である.
から1への線形作用素�の全体は線形空間をつくり,次式のようなノルムが定義できる.
��� ��-�49 ���� ���� � � � �������
�#2�����
���9� � � � � � �������
�#2�����9 ��� �� � � � �������
�#2�����9 ��� �� � � � �������
このノルムを作用素ノルム,あるいはノルム空間 �1から誘導されるノルム ���"#$�" �� .�という.簡単な例として,��から��への有界線形作用素を考える.これは,!�5次の行列に他なら
ない.この行列に対して作用素ノルムを定義しよう.作用素ノルムを定義するためには,ベクトル空間��のノルムを定義する必要がある.次の�つのノルムを定義する.
�� �� !��5 � ���� � ���� � � � ����
�� �� !��5 � ���� � ������ � � � ����
���
�
�� �� !��5 � ���� � .�:� ����
このとき,��� ��のそれぞれ�4�� .��4�� .��4�� .が定義されているとき,ベクトルノルムにより誘導される!�5行列�の作用素ノルムをそれぞれ ����� ����� ����とすると,次式のようになる.
���� .�:�
� ��
�%�� � �������
���� �6�������
�
� ����� �
���� .�:�
� ��
�%�� � �������
ただし,6������はエルミート行列��の最大固有値を意味し,これの正の平方根を,特に�の最大特異値といい,5(���とかく.
�� �� ����� 空間
時間関数を+�# ��変換して得られた有界な複素数値可測関数 �測度の定義できる関数���/��の集合を考える.測度零の集合を除いて等しい関数は同一であるとみなすと,この関数の集合は線
��
形空間をつくる.さらに,次式で定義されるノルムをもつ7���$'空間 �完備なノルム空間�になることが証明できる.この空間を��空間という.詳細は関数解析の本を参照のこと.
���/���� ��� �#2����/��� �������
ただし,��� �#2は測度ゼロの集合を除いて �#2 �.#.をとることを意味している.これからの�#2 �.#.はすべてこの意味でとることにし,あえて ���とは書かないことにする.同様に,有界な!�5行列複素数値関数� �/��の集合は次式のノルムをもつ��空間となる.
�� �/���� �#2�
5(�� �/��� �������
つぎに,複素右半面 ��� � # �で正則かつ有界な複素数値関数 ����の集合は次式で定義されるノルムをもつ7���$'空間となる.これを��空間とよぶ.
������� �#2���
������ �������
����が虚軸上まで延長できるとき,上のノルムは,最大値定理よりつぎのようにかくことができる.
������� �#2����/��� �������
行列の場合にも��と同様のことがいえる.また,有理関数の限定した部分空間を���� ���とかく.この場合,���� ���は,それぞれ虚軸に極のない2 �2� な有理関数,右半平面に極のない2 �2� な有理関数となる.��コントローラを求める際に重要な概念として,次のようなものがある.
定義 ���
���� � ���において,��������� �が成り立つとき,����は ���� であるという.また,すべての/���� # に対して,���� � ���がフル列ランクをもつとき,����は �#�� であるという.
定義 ���
次のような性質をもつ正方行列��/�� � ���を考える.ただし,
����� � ���� �� ����/�� #
このような��/��を次式のように分解することを,�2�$� �� -�$�� �3�����という.
� ������� � ��� � ����� � ���
また,���を �2�$� �� -�$�� という.
��
�� � 有界線形作用素の ����� 空間
前節で�����空間の一般的な定義を与えたが,本節では,��および��空間上の有界線形作用素が�����空間をなすことを述べる.
定理 ���
��空間から��空間への有界線形作用素�のすべてはつぎのノルムをもつ7���$'空間となる.
���� �#2������� � � � ��� ����� �� �������
�#2������� � � � ��� ����� �� �������
�#2�
5(�� �/��� �������
�証明�
������
� �
����/��� �/��� �/����/���� �������
�#2�
5(�� �/����� �
����/����/���� ����� �
よりわかる.
定理 ���
��空間から��空間への有界線形作用素�のすべてはつぎのノルムをもつ7���$'空間となる.
���� �#2�������� � � ��� �����
��
�#2���
5(�� ����
このことから,有界線形作用素の ��"#$�" �� .が��ノルムおよび��ノルムに一致し,��空間および��空間をなすことがわかる.このような有界線形作用素のつくる空間を一般的には7���$'環という.
��� 共役作用素と共役空間と���������
��� 制御工学で登場する各関数空間の要素
制御工学においては,これまで述べてきた信号空間は,状態変数,入力変数,出力変数,外部入力変数に,また有界線形作用素は伝達関数に相当する.また,信号のノルムとは,信号の大きさをあらわし,有界線形作用素の ��"#$�" �� .は,伝達関数のゲインを一般化したものになっている.具体的な例をあげよう.
��
��に属する信号は,
�� ����� � ���� ���� � � ��
� �
������ ������ ��� �������
たとえば,��������� ���� ���������� �% # �などである.ただし,����は単位ステップ関数とする.����� ��������� ����� �
���の��ノルムは次のように �とおりの方法で計算できる.時間領域積分による計算�
������
� �
��������
�
�%
複素領域周回積分による計算�
������
�
�,
� �
������/�����/����
�
�,/
� �����
�
�� %
�
� %��
�
�,/
��
�
�� %
�
� %��
�
�%
ただし,�は左半平面の極を含む単純閉曲線とする.����� ��� &�������は次のようになる.
����� ��� &��������
� �
������ ���� &���
� �
������
�
���� $�� �&����
�%� &�
�%�%� &��
�つの��関数 ���� � �
� と
����������� � ��の内積を計算すると,次のようになる.
��
�� ��
�
�� ���� ��#
�
�,
� �
���
�
/� � ���
�
�/� ���/� ����
�
�,/
� �����
�
��� �
�
�� ���� ����
�
�,/
��
�
��� �
�
�� ���� ����
���� 関数の例としては,次のようなものがある.
���� �� ���� �� �
� �����
�� � � �
�� � ��������
��
ここで,
�� �/����/�� ���/����/�� �
�� �/����/�� ���/����/�� �
となることから,���� 関数は全周波数域で,おなじ�なるゲインをもつことがわかる.一方,��に属する伝達関数は,たとえば����� �
��� � ����� ����� � ����� ��
����������� �%� & #
�などである.��������は次のようになる.ただし,4 # % # とする.
�������� �#2�
�/� 4�
�/� %��������
4
%�������
ついで,次式の状態方程式の��ノルムを計算しよう.
�����
�� ����� ���� �������
�� � �������
��� ����� �������
ただし,�は安定行列とする.���がスカラーでデルタ関数のとき,出力は次式のようになる �インパルス応答�.
��� ����� �������
この ���は��に属する信号であるので,この��ノルムを計算すると次のようになる.
� ������
� �
��� ��
� ����������
�����
� �$��
� �
�������� ��
� ������
� �$�������
ただし,�� ��は可制御性( �.���,可観測性( �.���といい,次のような*��2#��;方程式の解として定義される ����節参照�.
���� ��� ��� �������
�� ��� ��� ����� �
同様に���がベクトルで各要素がデルタ関数のときの ���の��ノルムは,伝達関数����������
の��ノルムと考えられるが,これは次のようになる.
� ������ ����� ���������
�
�,
� �����
� �$������ ������������ ��������
� �
�� �$���� ��
� �����������
� �$��������
� �$�������
��
一方,伝達関数
����
�� �
�
��������
の��ノルムを直接計算する手法はまだ得られていない.通常は,次の定理を利用して繰り返し計算により��ノルムを求める.ただし,�は安定とする.
定理 ���
������� � 7であるための必要十分条件は��.�����行列�
�
�� 7�����
���� ���
��������
が虚軸上に極をもたないことである.
�証明�伝達関数 �� � 7�����������の�����記法は���節を用いると,次のようになる.
�� � 7�����������
����
� 7����� 7���
���� ���
7���� �
� �������
さらに,�は安定行列であるので,次式が成り立つ.
��<
�/�� �� �7����� 7���
���� /�� ��
� ��<
�/�� ��
���� /�� ��
�
�!
��<
���/�� �� �7�����
���� /�� ��
7����
� �!
このことは,���
�7���
��が虚軸上に不可制御モードをもたず,また,�
� 7����
����が虚
軸上に不可観測モードをもたないことを意味している.したがって,行列�は虚軸上に極をもたないことから,次式が成り立つ.
�� � 7�������� � ��� �������
次に,�7����� � � �� � 7�������� � ��� �������
を示そう.�7����� � � � � 7����/����/�� # ��� %'' � �������
より,���� � 7ならば ���7�������� � ���がいえる.逆に,���� � 7ならば,��/�� であることから,ある�に対して,5(���/��� 7でなければならない.このことは ���7�������� +�
��
���を意味している.
さらに,伝達関数が ���� である場合と,�2�$� �� -�$�� �3�����できる場合はどういう場合か述べる.伝達関数����が ���� である場合は,
���������
�� �
� �
��������
とおいたとき,�=�7�&�に可制御,可観測部分がなく,��� �であるときである.つまり,���������が次のように等価変換される場合である.
������
���������
��� ���
��� ��� ��� ��� ��
���
��� ���
�� �
�
�������
��� � �������
伝達関数����を
����
�� �
� �
������ �
とし,
� � ��� �������
�� � �������
���� # �������
が成立するとき,����の �2�$� �� -�$�� �3�����を求めよう.明らかに,
� # �������
でなければならない.さらに,����は���の要素なので,次のように安定部分と反安定部分に分割できる.
����
������ ��
�� ��
�� �� �
� �������
� ����� ����� �������
ただし,���反安定,���安定で,����� ����� ��������� ����� ����� ����
����とする.このとき,�� �より次式が成立しなければならない.
����� ��� ��� �������
��
したがって,����は次式のようになる.
����
�������� ����
�� ��
��� �� �
� �������
いま,行列8を次式の解とする.
��� ���������
�8 8 ��� ��������� 8���
����� 8 ��� ����� �������
この式は,
��� ���������
�8 8 ��� ��������� ������� ���� �
���
��������� 8
�������
����� ��
と変形できる.もし,解8 � が存在するならば,��は安定であるので,����� �� � ��������
は可検出となり,�� ��������は安定行列になる.さて,��� ���を,
��� ���
���� ���
��� ���
����� ��
とおいて,���� ���� ������ ��� ���� ��
となる��� ���の表現を求めよう.ただし,��� �安定とする.���� ������ ���は次式のようになる.
���� ������ ���
��������� �������� ��������
��� ���
���� ������� �������
� ���� ��
等価変換
�
�� �8
�
����� ��
を用いて,上式を変形すると次のようになる.ただし,8は �������で与えられるとする.
���� ������ ���
��������� �����8 � 8��� � �
������ �������� � 8���
��� ���
���� ������� ����8 �������
� ���� ��
上式と �������が同じになるためには次式が成立しなければならない.
��� �� ���� ��
��� �� ���� ��
��� �������� ���� 8 � ���� ��
��� ���� ����� �
����8 8��� ������� �������
��
上式の最後の式は �������と等価になる.このようにして,����は次のように分解できる.
����
����� ���� ���8 ������
��� ����
� ��� ��
�������� ���8 � ����
��������
上式が,�2�$� �� -�$�� �3�����であるためには,����� ��� � ���が成立していなければならない.これは次式と等価である.
�� ��������� ��
�� 8 � � ��%&'� �������
この行列の安定性は次のような意味ももつ.������は次式のように書ける.
������
�������� ���
����� ��� ����� ��� �
��
��������� �� ����
���� ������
������ ����� ���
� �������
等価変換を次式のようにおく.
�
�� 8
�
��������
等価変換�により,������を変形すると次のようになる.
������
�������� ��� �
����� � 8�������� ��� �
�� � 8�����
�� �������� ���
����� 8 ������
������ ������� 8 ����� ���
�
�������
これより,������ � ���であることがわかる.最後に,この結果を定理の形でまとめると次のようになる.
定理 ���
伝達関数����を
����
�� �
� �
��������
とし,
� � ��� �������
�� � �������
���� # ����� �
が成立するとする.このとき,もし
��� ���������
�8 8 ��� ��������� 8���
����� 8 ��� ����� �������
�� ��������� ��
�� 8 � � ��%&'� �������
を満足する準正定解8が存在するならば,����の �2�$� �� -�$�� �3�����は次式で与えられる.
����
����� ���� ���8 ������
��� ����
� ��� ��
�������� ���8 � ����
��������
�
��� 準ノルムとしてのパワー
��� ��制御
��制御は,前章までにのべた最適レギュレータ,*>?制御の��標準問題による再定式化である.どのように一般化されているのか,とらえてほしい.
����� ��制御系の問題設定
次式のような��標準システムを対象とする.
�����
�� ����� ������ ����� �������
��� ������ ������� ������ �������
��� ������ ������� ������ �������
定義 ���
上式の標準システムに対して,外乱����から制御量���までの伝達関数������の��ノルム ������
を最小にするようなフィードバック補償器��� ���� ���を求める問題を��最適化問題という.また,求められた補償器を��最適コントローラという.さらに,指定された7 # に対して,������ � 7なるフィードバック補償器����を求める問題を��準最適化問題といい,補償器を��
準最適コントローラという.
ここで,��ノルムを最小化することの意味を考えてみよう.フィードバック補償器により達成される閉ループ伝達関数である���の状態空間実現が次式のように書けるとする.
������
���� ���
��� ���
� �������
ここで,��� � の場合には,��ノルムは発散してしまう �伝達関数が �� �$��� 2 �2� でないと発散する�ので,��� でなければならない.このためには,標準システムにおいて,��� でなければならないことがわかる.���節より,������は����にインパルス外乱をいれたときの応答の�乗積分値となることから,結局,最適レギュレータと同じ問題設定であることがわかる.���
がはいると式表現が複雑になるので,以後は,次のようなシステムに対する��最適化問題を考察する.
�����
�� ����� ������ ����� �������
��� ������ ������ �������
��� ������ ������� ����� �
��
����� 状態フィードバック��制御とそのパラメータ化
状態変数がすべて観測できる場合,つまり次のような標準システムを対象として,��最適コントローラを設計し,そのパラメータ化を行う.詳細は,参考文献 ����を参照のこと.
����
����� �� ��
�� ���
�
� �������
ただし,���� ��可検出,������可安定とする.この条件は/�$$���方程式による安定化解がもとまるための条件である.また,制御量は,���節と同じものを考えるために,次の条件を入れる.
��� �� ��)� �������
��� ��� �������
������� � �������
ここで,) # � � # とする.状態フィードバックの場合の安定化補償器のパラメータ化は,���
節より次式のように与えられる.
0����
������ ��
� �
�� �
� �������
ただし,�� � ��� � ��%&'�とする.このとき,標準システムと安定化補償器の*+,構造は,���節より次式のようになる.
���� ���
�������� �� ��
�� ��
��� ���
� ��
� �������
�������� �� ��
�� ��
��� ���
�
� �������
����� ����
9 ���
��������
ただし,
��� �� ���� �������
����
��� ��
���
������ �
����
��� ��
��� ���
��������
9 ���
��� ��
�
��������
��
この式から,�からまでの閉ループ伝達関数は次式のようになる.
��� ���� ����)���9 ��� �������
まず,自由パラメータ)��� の場合のコントローラ��� �����で,�������を最小にする��最適コントローラを求めよう.���節より,次式が成立する.
������� �������� �������
� �
�� �$����� �
����������� �
�� ������ �������
� �$������� 8� �������
ただし,8は次の*��2#��;方程式の解である.
���8 8�� ������� �������
ここで,
������� ��� ���� �� ��� ���� � �������
��� �� � ��� �������
��)� � ��� ����� �
であるので,��最適コントローラは,���節と全く同様の議論より,
� ������� 8 �������
��8 8�� 8�������� 8 ��)� �������
で与えられる.したがって,状態フィードバック��制御は最適レギュレータを含むことがわかる.次に,)��� � の場合を考えよう.まず,�を上式のように選定したとき,
��������� � �������
であることを示す.�����の記号を用いると,次式が成立する.
����� �������� ����
� ��� ��
��� ���
�
������� �������� ��������
�� ��
��� ������� �������
� �������
ここで,等価変換
�
�� �8
�
��������
を用いると,�������は次式のようになる.
���������
�������
�� ��
��� �
� �������
� �������
��
ついで,��������� � ��
� �������
を示す.これも,上と同じようにすると次式のようになることからわかる.
���������
����� �������� ����
� ��� ��
���
��������
������� ��������
�� ��
��� ������
� ����� �
������� �8��
�� ��
���
� �������
���� �8��
���
�� ��
� �������
この結果を用いると,�������は次式のようになる.
�������
�
�,/
� �����
� �$������� ����)���9 ���������� ����)���9 ������� �������
�
�,/
� �����
� �$������ 9 �)��)9 9 �)���� ���)9 ���� �������
����� �����)9 ��� � )9���� # � ����)9 # �������
����� �����)9 ��� �������
ただし, � ��� 1 � ��に対して,� �1 # を次のように定義する.
� �1 # �
�,
� �
��� �$� ��/��� 1 �/���� �������
�
�,/
� �����
� �$� ����1 ����� �������
� ��� � 1 � ���の場合には,� �1 # になることに注意する.
したがって,自由パラメータ)���は次の条件を満たすとき,��最適コントローラとなることがわかる.
)���9 ��� �������
上式は,�����の記法で書くと,次式のようになる.
���� ��
�� ��
� ��� ��
�
�
������� ��
�� ��
�� ��
� ����� �
等価変換
�
��
�
��������
��
を用いると,この式はつぎのようになる.������� ��
�� ��
�� ��
�
������� ���� �� �� ��
�� ��
�� ��� ��
� �������
この式が成立するためには,上のシステムが不可制御,不可観測,つまり,次式が成立しなければならない.
�� �������
�� ��� � �� �������
�� �� �������
�������より, は次式のように与えられる.
�!@ �������
@ � ������ �������
ただし,�!は任意の行列で,���は��の左逆行列とする �@�� であることに注意する�.この
ようにして,自由パラメータ)���を,
)���
���� ����!@��!@��
�� ���!@
��������
とすると,������の最小性を保持できることがわかる.ただし,���は任意の安定行列,��� �!は任意行列とする.したがって,)���を含めた��最適コントローラ����の閉ループ伝達関数は次式のようになる.
����
����
�� ������!@ ���� �����!@
������!@��!@�� � ��� ����!@��!@��
����!@ �� � ���!@
� �������
等価変換
���
��
�!@ �
������ �
を用いると,上式は次のようになる.
����
������ ���� �����!@
��� ��!@���� ���� ��!@������!@��!@��
�� � ���!@
� �������
�� � �!@��!@��
�� � ���!@
��������
ただし,� ��� ��!@����とする.
��
����� ��フィルタとそのパラメータ化
標準システム
����
����� �� ��
�� ���
�� ���
� �������
を対象として,観測量 ���と操作量���から制御量���の推定値%���を計算するフィルタを構成する問題を考える.ただし,���� ��可検出,������可安定とする.この条件は/�$$���方程式による安定化解が存在するための条件である.
カルマンフィルタの��最適性
フィルタ方程式をカルマンフィルタと同じ構造で次式のように与えた場合を考える.
�%����
�� �%���� ����������%����� ���� �������
%��� ��%���� ������ �������
ここで,%����� %���は,各々,状態量,制御量の推定値である.各々の推定誤差を,
���� ����� 0���� �������
0��� ���� %��� �������
とおくと,次のような誤差方程式が成立する.
�����
�� ����������� ��� ���������� �������
0��� ������ �������
����から0���までの伝達関数を� ��とおくと,次のようになる.
� ��
������ �� �����
��
������ �
� ��の��ノルムは次式となる.
�� �����
� �
�� �$����� ������
� ����"���� ���� ���
���"������� ��������� �������
� �$����� ��A� �������
ただし,�������A A�������
� ��� ��������� ������� �������
とする.このとき,
����� �)�� �������
������� � �������
������ �������
とすると,カルマンフィルタと全く同じ議論になることがわかる.
��
��フィルタのパラメータ化
フィルタを標準システムの構造を加味した上で,次式のような形で与える.
�%���
:���
� �! ���
��� ���
���
;���
� �������
;��� �#���:��� �������
ただし,
�! ���
����� �� �
�� ��� ���
��� �
� �������
とする.�! ���の状態方程式は次式のようになる.
�%����
�� �%���� ����� ;��� ���� �
%��� ��%���� ������ ���;��� ���� ��
:��� ���%���� ��� ���� ��
ここで,%����� %���は各々,状態量����,制御量 ���の推定値である�
このとき,状態量の推定誤差����と制御量の推定誤差0���を,
���� ����� %���� ���� ��
0��� ���� %��� ���� ��
とおくと,次式が成立する.
�����
�� ����� ������ � ;��� ���� ��
0��� ����������;��� ���� ��
:��� ������ ������� ���� ��
����� ;���から0���� :���までの伝達関数を,�0���
:���
� �$���
�����
;���
����� ��
とおくと,�$���は次式のように表せる.
�$���
����� �� ��
�� ����
�� ���
� ���� ��
このことから,��最適フィルタの設計問題は標準システム ���� �� を安定化し,かつ,����から0���までの閉ループ伝達関数� ��の��ノルムを最小化する�#���を求める問題に帰着されることがわかる.���節の結果から,�$���を安定化する�#���は次のように与えられる.
�#���
�����" ��
� �
��� �
� ����� �
��
このとき,�$���と�#���の*+,構造は次式のように与えられる.
���� ���
������
�" �� ����� ��
�" ��
�� ������� �������� ����
�� ��� ���
� �������
������
�" �� ����� ��
�" ���� ������
�� ������� �������� ����
��� ���
� �������
�0���� 0����09 ���
��������
ただし,
�" ����� �������
0����
��" �� �����
�� ������� ��������
��������
0����
��" ��
�� ������� ����
��������
09 ���
��" �� �����
�� ���
��������
とする.ここで,��� と設定し,�#���を自由パラメータ)���でフィードバックすると,����
から0���までの閉ループ伝達関数は次式のようになる.
� �� %���� %����)��� %9 ��� �������
ただし,
%����
��" �� �����
��
��������
%����
��" ��
��
������ �
%9 ���
��" �� �����
�� ���
��������
この式は状態フィードバック��制御の閉ループ伝達関数の転置をとったものに等しいので,前節と全く同様にして,��フィルタのパラメータ化が可能になる.
����� 出力フィードバック��制御とそのパラメータ化
次のような標準システムを対象として,��最適コントローラを設計し,そのパラメータ化を行う.
����
����� �� ��
�� ���
�� ���
� �������
��
ただし,次の直交条件を仮定する.
����� �B�� �������
������� 8 �������
������ �������
��� �� ��)� �������
��� ��� �������
������� � �������
安定化補償器のパラメータ化は,���節の議論より次のように与えられる.
0����
������"� �� ��
� � �
��� �
� �������
ただし,��"� � ����� ��� ���とする.このとき,標準システムと安定化補償器の*+,構造は,���節より次式のようになる.
����
������������� �� ���� �� ������ ��
� ���� ���� �� ���� �����
�� ������� �� ����� ������� ���
�� ���
������ �
�5���� 5����59 ���
��������
ただし,
5����
����������� �� ���� �� ������
� ���� ���� �� ���� �����
�� ������� �� ����� �������
� �������
5����
�������� �� ��
�� ������� �� ���
��������
59 ���
�� ���� ���� �� ���� �����
�� ���
��������
ここで, 5� � ���を保証するために,� �������
とすると,上式は次のようになる.
5����
��� ��
��
��������
5����
��� ��%
�� ���
��������
��
��� ��
��� ���
��������
59 ���
��� ��
��& ���
��������
��" ��"
�� ���
������ �
ただし,
�� ����
�" ����
��� �� ����
��" �� ����
��
��� ����
�"
�
��
���
��"
�
�� ���� �����
�
��%
���
�
��& �
���
この式から�から までの閉ループ伝達関数は次式のようになる.
��� 5���� 5����)��� 59 ��� �������
状態フィードバックの場合と同様に,まず,)��� の場合の補償器��� ���� ���で,�����
��を最小にするものを求めよう.ここで,
����
��"� ��
�
��������
である.ただし,�"� ���� ���とする.�������は次のようになる.
������� �������� �������
� �
�� �$����� �
����������
�������� �������
� �$�������8�� �������
ただし,8�は次式の解とする.
���8� 8��� ����� �������
ここで,
8�
�8��� 8���
8��� 8���
��������
�
とおくと,
�����
���)� ���� �����
����� ����
��������
であることから,�������は次のように分解できる.
���8��� 8����� ���)� � ���� �������
���8��� 8����" � 8������ ���� ����� �
��"8��� 8����" � ����� 8��� � 8
������� ����� �������
ここで,�������より,� �$��8����を最小にする�が次のように求められる.
� ������� 8��� �������
8������8��� � 8����������� 8��� ��)� �������
この�を ����� �に代入すると,���8��� 8����" �������
となることから,8�� �������
となる.このとき,�������は,
�����
��B�� �B��
�B�� �B�� �8��
��������
であることから,
������� � �$���B��8���� � �$����B�� �8�� �8��� �������
� �$���B��8���� � �$������8� � �������
となる.ただし,8�は�"8� 8��
�" �B�� �8�� �������
とする.そこで,� �$�8�を最小にする�は次のようになる.
� �8���8�� ����� �
�8� 8 �� � 8���� 8����8� �B�� �������
これは全く*>?制御と同等になることがわかる.次に,)��� � の場合を考える.���は上のように選んだとき,同じ��ノルムをもつ)���が
存在するかどうか探すことにする.状態フィードバック��制御と同様にして,
5����� 5���� � �������
5����� 5����
���� �8���
��&
�� ��
� �������
が成立する.したがって,状態フィードバック��制御と同様にして,�������は次のようになる.
������� � 5���� �����) 59 ��� �������
��
このことから,自由パラメータ)���は次の条件を満たすとき,��最適コントローラとなる.
)��� 59 ��� �������
)���を
)���
���� ��
�� ��
��������
とすると,上式は次のようになる.
���� ��
�� ��
� ��" ��"
�� ���
�
������� ���� �����
�" ��"
�� ���� �����
� �������
等価変換
�
��
�
��������
を用いると,この式はつぎのようになる.������� ���� �����
�" ��"
�� ���� �����
�
������� ���� �" ���� ����� ��"
�" ��"
�� ��� ���� �����
�
�������
この式が成立するためには,上のシステムが不可制御,不可観測,つまり,次式が成立しなければならない.
�� ������ ����� �
���� ��� � �" �������
���� �� �������
����� �������
��は横長で行フルランクであるので,上式を満たす)���は
)��� �������
以外に存在しない.これは,��最適コントローラの構造は唯一であることを意味している.出力フィードバックの場合には,��準最適コントローラのパラメータ化が可能である.これ
を次に述べる.�������より,������� � 7�を実現するためには,次式のような)���を見つける必
要がある.�����) 59 ��� � 7
� � � 5���� �������
上式の左辺を計算すると,次のようになる.
�����) 59 ��� �
�,/
� �����
� �$�� 59 �)��) 59 ��� �������
�
�,/
� �����
� �$��)��) 59 59 ���� �������
��
ここで,
59 59 �
��" ��"
�� ���
� ����" �������" ����
��������
�����" ��"�
��" ��"�
���
���" ������ ����
��" ����
���
� �������
�����" �)�� ��8� �8
���" ������ 8�� 8
� ����� �
�����"
��" ������ 8
� �������
8 �������
であることから,次式が成り立つ.
�����) 59 ��� �
�,/
� �����
� �$��)��) 59 59 ���� �������
�
�,/
� �����
� �$��)��)8��� �������
�
�,/
� �����
� �$��7���)���������)8������ �������
�����)���8������ �������
このことから,��準最適コントローラの自由パラメータ)���は���の要素で,次の条件を満たすように選べば良いことがわかる.
�����)���8������ � 7� � � 5������� �������
�����)���8������を状態空間表現で書くと,次式のようになる.
�����)���8������ � �$����8������ �������
� �$���������� �������
ただし,
������ ����� ����� ����� �
���� ����� ���
�� �������
とする.
���� ��制御
��制御の問題設定とコントローラの導出について述べる.前節の��制御との比較を行い,��制御の構造を探る.
��
������ ��制御系の問題設定
前節と同じ,次式のような��標準システムを対象とする.
�����
�� ����� ������ ����� �������
��� ������ ������� ������ �������
��� ������ ������� ������ �������
定義 ���
上式の標準システムに対して,外乱����から制御量���までの伝達関数������の��ノルム������を最小にするようなフィードバック補償器��� ���� ���を求める問題を��最適化問題という.また,求められた補償器を��最適コントローラという.さらに,指定された7 # に対して,������ � 7なるフィードバック補償器����を求める問題を��準最適化問題といい,補償器を��準最適コントローラという.
��最適コントローラは,スカラー系の場合には,C�'� �定理を用いることによって,得ることができるが,多変数系の場合には,純粋なC�'� �問題に帰着できず,準最適コントローラしか得られない.しかし,準最適なコントローラを繰り返し計算することにより,近似的に最適コントローラを得ることができる.ここらあたりの議論は,参考文献 ����を参照されたい.そこで,本節でも準最適���制御の場合のみを考察する.また,���が入ると式表現が複雑
になるので,次のようなシステムに対する��最適化問題を考察する.
�����
�� ����� ������ ����� �������
��� ������ ������� ������ �������
��� ������ ������� �������
ただし,次の仮定をおく.
������� ������ � ��%&$'$%&'� �������
���� ��� ���� �� � ����4�%&'� �������
������� � ���� �
������� 8 ���� ��
������ ���� ��
��� ��� ���� ��
������ 状態フィードバック��制御とそのパラメータ化
状態変数がすべて観測できる場合,つまり次のような標準システムを対象として,��最適コントローラを設計し,そのパラメータ化を行う.
����
����� �� ��
�� ���
�
� ���� ��
��
���は��制御の場合と全く同じで,次のようになる.状態フィードバックの場合の安定化補償器のパラメータ化は,���節より次式のように与えら
れる.
0����
������ ��
� �
�� �
� ���� ��
ただし,�� � ��� � ��%&'�とする.このとき,標準システムと安定化補償器の*+,構造は,���節より次式のようになる.
���� ���
�������� �� ��
�� ��
��� ���
� ��
� ���� ��
�������� �� ��
�� ��
��� ���
�
� ���� ��
����� ����
9 ���
����� ��
ただし,
��� �� ���� ���� ��
����
��� ��
���
������ �
����
��� ��
��� ���
��������
9 ���
��� ��
�
��������
この式から,�からまでの閉ループ伝達関数は次式のようになる.
��� ���� ����)���9 ��� �������
まず,自由パラメータ)��� の場合のコントローラ��� �����で,������を7未満にする��準最適コントローラを求めよう.詳細は,参考文献 ���������を参照のこと.)���のとき,������ ����であるので,����� � 7
�なる�を求めればよい.この式は次式と等価である.
7�� � ���/����/�� # � ��� %'' � �������
このことは,7�� � ���������が �2�$� �� -�$�� �3�����できることを意味している.そこで,7�� � ���������の �2�$� �� -�$�� �3�����を求めることにする.7�� � ���������を
�����の記法で表すと次式のようになる.
7�� � ���������
�������� ��������
�� ���
��� 7��
� �������
��
7�� � ���������の �2�$� �� -�$�� ��� ���を,
��� ���
���� ���
��� ���
��������
とおく.ただし,��� �安定でなければならない.���� ������ ���は次式のようになる.
���� ������ ���
��������� �������� ��������
��� ���
���� ������� �������
� �������
等価変換
�
�� �8
��
��������
を用いて,�������を変形して �������と一致するような8を求める.
7�� � ���������
�������� ������� 8�� ���8 8��
�� ��
��� ���� 8 7��
� �������
�������と �������が一致するためには次式が成立すればよい.
��� �� ����� �
�������� ������� 8�� ���8 �������
��� �� �������
������ ���� 8 �������
��� 7� �������
上式をまとめると次式のようになる.
��� �� �������
��� �� �������
��� �7����� 8 �������
��� 7� �������
ただし,
� ������� 8 �������
8���8 � 8�������� 8 7��8���
�� 8 ��� �� ����� �
とする.次に,安定性を考える.����� ��� � ���でなければならない.これは次式で表される.
�� 7������� 8 �������� 8 7�����
�� 8 � ��%&'� �������
��
また,��の安定性は,�������を満たす ����� �の準正定解が存在するとき保証される.なぜならば,����� �を変形すると,
8�� ���8 ���� � ����� 7��8��
� �����
�����
7����� 8
� �������
となる.ここで,
�� �
7����
� �����
�����
7����� 8
� � ��%&'� �������
より,�� �
���
��
�����
7����� 8
�は可検出となるので,���節の結果より��は安定となる.このようにし
て,次のような �2�$� �� -�$�� �3�����が成立する.
7�� � ��������� ���� ������ ��� �������
ただし,
��� ���
��������8 ��
�7����� 8 7�
��������
ここで,��� ���� ����� ��� � ���より,次式が成立する.
��� �/�� � � ��� %'' � �������
このことから,7�� # ���/����/��� ��� %'' � �������
がいえることになる.このようにして,
8���8 � 8�������� 8 7��8���
�� 8 ��� �� �������
�������� 8 7������� 8 � ��%&'� �������
なる準正定解が存在するとき,コントローラが
� ������� 8 ����� �
で与えられることがわかる.ここでは,準正定解が存在するとき,��� � 7であることを示したが,逆に,��� � 7ならば準正定解が存在することも証明できる.
DDパラメータ化についてはこれから加筆します.EE
������ ��フィルタリング
DD記述が未完成,状態フィードバックを同じ記述になおし,パラメータ化をつけ加える予定ですEE
��
次の推定器����を考え,これが外部信号�から制御量の推定誤差までの伝達関数の��ノルムを �未満にする��フィルタであることを示そう.
�%����
�� �%���� ����� ����%����� ���� �������
%��� ��%���� ������� �������
� �1 ��� �������
�1 1 �� ����� 1 ���� �� � �
�� ���1 �������
ここで,%���は外部信号�が既知の場合制御量の推定値である.状態の推定誤差を,
���� ����� %���� �������
とおくと,次のような誤差方程式が成立する.
�����
�� �� �������� ��� ��������� �������
0��� ���� %��� �������
������ �������� ��%������������ �������
������ �������
����から0���までの伝達関数を� ��とおくと,次式が成立する.
� �� ����� ��� ��������� ����� ����� �
このとき,�� ���� � �であることを示そう.
�1 1 �� 1 ���� �� � ��� ���1 ���
�� �������
を,記号�'を�' � �� 1 ��� �� � ��� �������
とおくと,/�$$���方程式は次のようにかきかえられる.
�' 1 1 ��' 1 ��� ��1 ��'�' �������
ただし,�' � ��� �����
� �������
とする.� 1 ���� �� � ��� ���であるので,状態フィードバックの類似より次式が成立する.
�':安定 �������
��' ��/�� ��' ������
��' �/�� ��' ������ � � �������
��
������ 出力フィードバック��制御の中心解
DD記述が未完成,状態フィードバックを同じ記述になおし,パラメータ化をつけ加える予定ですEE
F��'�#� ���� �- (��� ������ ��� 7 �� システム方程式
����
����� �� ��
�� ���
�� ���
� �������
�本の/�$$���方程式
�� � ������ ����
�� � ��� �� �������
� �������
� ������ ����
�� �8 � %� 5"���$4%'' ��%&'� ����� �
�1 1 �� 1 ���� �� � ��� ���1 ���
�� �������
1 # �������
� 1 ���� �� � ��� ��� � %� 5"���$4%'' ��%&'� �������
コントローラ
G ������� � �� 5���� � � �������
� �������
ただし,
5� � �� � 1 ���1 �������
� � ���� �������
上式のコントローラを��� ���� ���の形で書き直すと次式のようになる.
����
�����
�� ����
�� 5��� �5�
����
��������
このとき,閉ループ系の�から までの伝達関数���の��ノルムは �未満になる.�証明�
�� � ������ ����
�� � ��� �� �������
の解に対して����� ����の時間微分を計算すると次のようになる.
�
�������� ����� �� ���� ��� ������ � ����� � ����� �
������ ��� ��� ���� �� ����� � ������ � ���� ��������
�� �� ���� �� ��� ��� � �� ���� ��� �� ���� ���������
��
ここで,上式を � ���まで積分して,�� � ���� とおくと,
���� � ����� �� ����� � �� ��
�� ��
�� �������
が成立することから,信号 0�� <を
0� � � ���� � �������
< � � �� �������
とおくと, 0�から <までの伝達関数 ��( ��を �未満にすることにより,����� � �が達成されることがわかる.そこで,システムを信号 0�� <についてかきなおすと,次のようになる.
�����
�� �����
�� ����� �� 0� ����� �������
������ ���� 0� ��� ����� �������
������ ��� 0� �������
< � ����� �������
このシステムに対して,次式のような推定器����を考える.
�%����
�� �����
�� �%���� ����� 5����%����� ���� ����� �
������� ��� 5����%����� 5� ��� �������
��� � %���� �������
このとき,����と同様に,誤差方程式を求めると次のようになる.
�����
�� �����
�� 5�������� ��� 5����� 5���� �������
<��� ������ �������
この式から�( �は次のようにかける.
�( � �� ��� �������� � 5����
����� 5����� �������
��( �� � �となる推定器����のゲイン5�は����の場合と同様に考えると,次式のように与えられる.
5� �=��� �������
������� �= =�����
�� �� ���
�� =�� �� � ��� ���= �������
上式の/�$$���方程式には,もう�つの/�$$���方程式の解 を含んでいる.最後に,この=が
= �1 �� � ��� �������
で表せることを示す.�本の/�$$���方程式は次のようにかける.
�� � ������ ����
�� � ��� �� �������
��1 �� 1 ��� ���� �� � ��� ��� 1 �����
�� 1
�� ����� �
�
この式を変形すると次のようになる.
��� ����� � �����
�� �� ����
�� ���
�� � ��� �� �������
��� ����� �1 �� 1 �������
�� � ���� �� � �
�� ��� �������
1 ������� 1
�� � ����� 1
�� � 1 ������� �������
上式の差をとると次式のようになる.
��� ����� ��1 ��� ��1 ��� ������
�� ����� ���
���1 ��� ������ �1 ��� �
�������
これより明らか.このように十分条件については,わりと簡単に導出できるが,逆については,めんどうな証明が必要�
��
�������
プラントの不確かさの表現
��� 構造的不確かさと非構造的不確かさ
��� ���による不確かさを含む一般標準システム表現
��
������� �
不確かさをもつシステムのロバスト制御
��� ロバスト安定性
��� ノミナルパフォーマンスとロバストパフォーマンス
��� ロバスト指標と構造化特異値
��� �� 制御系設計によるノミナルパフォーマンスとロバスト安定性の
保証
��� � 解析 設計によるロバストパフォーマンスの保証
��
����������
��� 有本 卓:線形システム理論 産業図書 ������
��� 木村英紀:動的システムの理論 産業図書 ������
��� 伊藤,木村,細江:線形制御系の設計理論 計測自動制御学会 ������
��� 木村:多変数制御系の理論と応用 H�システムと制御�;�����������22����4� � ������
��� 小郷,美多:システム制御理論入門 実教出版 ������
��� 椹木,添田,中溝:確率システム制御の基礎 日新出版 ������
��� 岩井,井上,川路:オブザーバ コロナ社 ������
��� ��IJ�<� ���< ��" /���;�� � *���� K2��.�� &��� �� �����.�� F����������
��� L�M�"����(� �&��� �� �����. ����'�����LH, ! ���������
�� � 保田 豊:システム制御理論 昭晃堂 ������
���� 前田,杉江:アドバンスト制御のためのシステム制御理論 朝倉書店 ���� �
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���� 木村英紀:*>?から��へ�計測と制御� ;�����4�� 22����4��� ���� �
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���� 木村英紀:N4*������� +�$�� �3����� にもとづく��� 第 ��回システム制御情報講習会テキスト ������
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