תונורתפו םיליגרת תרבוח -...

חוברת תרגילים ופתרונות אנליזת פורייה - 88235קורס מס'

וסמסטר קיץ, תשע" ד"ר מיכאל מיכאלי

המחלקה למתימטיקה, אוניברסיטת בר אילן

אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה

.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:

.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,

22מתוך 1עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות

1שאלה Vvuמרחב מכפלה פנימית. הוכח שלכל Vא. יהי , קבילית" מתקיים "חוק המ

222222 vuvuvu

Vvu. הוכח שלכל ממשימרחב מכפלה פנימית Vב. יהי , מתקיים

22

4

1

4

1, vuvuvu

פתרון:

א. ראשית נפצל את המרכיבים שבאגף שמאל:

22

3

43

2

,,,,,,

,,,,,.

vuvvuuvvvuuvuu

vvuuvuvuvvuuvuvuvuI

תכונה

תכונהתכונה

22

3

43

2

,,,,,,

,,,,,.

vuvvuuvvvuuvuu

vvuuvuvuvvuuvuvuvuII

תכונה

תכונהתכונה

:II-ו Iת נחבר את כע

222222 vuvuvuIII

ב. בסעיף א' מצאנו כי:

222,, vuvvuuvu

222,, vuvvuuvu

נחסיר את הביטוי השני מהביטוי הראשון:

vuuvvuvuvuuvvuבממשיים

,4,2,2,,

22

vuvuvu ,4

1

4

1 22





2שאלה

וג פונקציות לכל ז .א baCgf ,, את הפעולה הבא:נגדיר

b

a

dxxgxfgf ,

האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית במרחב baC ,?

ב. baC הוא מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות בקטע 1, ba,. לכל baCgf ,, 1 נגדיר פעולה

הבאה:

dxxgxfgf

b

a

,

האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית?

לכל ג. ,, 2 Cgf :נגדיר פעולה הבאה dxxgxfgfgf

,

האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית במרחב ,2 C?

פתרון: את סעיפי ההגדרה. יש לבדוקחיובית. התשובה .א :1fנתבונן למשל ב .ב

baCf ,1

0f

ובכל זאת 00, dxdxxfxfff

b

a

b

a

מכפלה פנימית. איננהלכן זו

התשובה שלילית. ג.

בהגדרה אינו מתקיים )לכל 2נראה כי תנאי מס' ,2 Cf, 0, ff0 אם ורק אםf.)

dxxffff

22

,

0.2

0.10,

xf

fff

:2נתבונן בדרישה מס'

BCxxfCxfxf 0

מהווה מכפלה לאפונקציה ליניארית השווה לאפס בנקודה אחת לא בהכרח מתאפסת זהותית, לכן הפעולה פנימית.





3ה שאל

יהי 1,1R מרחב הפונקציות הרציפות Rf עם המכפלה הפנימית :1,1

1

1

, dxxgxfgf

יהיו .א 10 xP , xxP 1 ו- 2

2 31 xxP ב תאורתוגונאלי. הוכח כי קבוצה זו של פולינומים היא-

1,1R.

כך שהפונקציה c-, וa ,bמצא קבועים .ב 32

3 xcxbxaxP תהיה ניצבת לכל אחת מן

הפונקציות מסעיף א'.

פתרון: נבדוק את המכפלה הפנימית במקרים הבאים: .א

02

1

2

1

2,

1

1

21

1

10

x

xdxPP

011113

331,

1

1

31

1

2

20

x

xdxxPP

04

3

23,

1

1

421

1

3

21

xx

dxxxPP

במקרה זה מכפלה פנימית של .ב3P ,עם כל אחד מהפולינומים מסעיף א' צריכה להיות שווה לאפס

כלומר:

03

220,

1

1

32

30

cadxxcxbxaPP

5

30,

1

1

432

31

bdxxcxbxaxPP

0031,

1

1

322

32

cdxxcxbxaxPP

לסיכום נקבל כי 3

35

3xxxP .





4שאלה

נתון מרחב מ"פ 1,1C עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית dxxgxfgf

1

1

מרחב -הוא תת W-, ו,

של 1,1C הנפרש על ידי , xx sin,cos,1י את קרוב הטוב ביותר ל/. מצא- 2

sinx

xf

ב-W.

פתרון

ניתן לבדוק כי מערכת xx sin,cos,1 אך אינה אורתונורמלית במרחב הינה אורתוגונאלית 1,1C ביחס

-למכפלה פנימית הנתונה, ולכן, על מנת למצוא את הקירוב הטוב ביותר ל 2

sinx

xf

ב-W והוא ההיטל(

האורתוגונאלי xf~

של xfמקדמים (, נמצא cba -כך ש ,,

xcxbaxf sincos1~

2

2

2sin2

2sin

1,1

1,

1

0

1

1

1

1

dxx

dx

dxx

fa

3

4

cos

cos2

sin

cos,cos

cos,1

1

2

1

1

dxx

dxxx

xx

xfb

0sin,sin

sin,

xx

xfc

לסיכום, נקבל כי

xxf

cos3

42~





5שאלה

,2. לכל 2-מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה קטנה או שווה ל 2יהי gf נגדיר

0

, dxexgxfgf x.

.2הוכח כי זוהי מכפלה פנימית על .א

הראה שהקבוצה .ב

2

2

121,1,1 xxx .היא מערכת אורתונורמלית ביחס למכפלה פנימית זו

פתרון:

יש לבדוק את סעיפי ההגדרה. .א יש לבדוק כי: .ב

02

121,1

2

121,11,1.1 22 xxxxxx

12

121,

2

1211,11,1.2 22 xxxxxx

6שאלה

את טור פורייה של מצא/י .א xxf cos בקטע ,.

.0a ,4a ,9a ,5b ,10bהמקדמים הבאים: יאת ערכ /ימצא .ב

פתרון:

פונקציה א. xxf cos היא זוגית בקטע , 0ולכןnb.

4sin

4cos

4cos

2cos

120

0

2

0

0

xxdxdxxdxxa

120

214

14

1

21sin

1

21sin

2

1

1sin

1

1sin21cos1cos

2

coscos4

coscos2

coscos1

1

2

1

2

0

2

0

2

0

0

2

0

kn

knk

n

n

n

n

n

xn

n

xndxxnxn

nxdxxnxdxxnxdxxan

k

n





kxk

xk

k

2cos14

142~cos

12

1

.ב

40 a ,

15

44

a ,09 a ,0105 bb

7שאלה י את טורי פורייה של הפונקציות הבאות:/מצא

.א xxf בקטע ,.

פתרון:

xk

kx

k

12cos12

4

2~

12

.ב 2xxf בקטע ,.

פתרון:

nx

nx

n

n

cos14

3~

12

22

8שאלה

את טור פורייה של /ימצא .א ixexg בקטע 1,1.

?1cמהו ערכו של המקדם .ב

פתרון:

נחשב תחילה את מקדמי טור פורייה המרוכב: .א

n

n

i

ee

nni

edxeec

ninixnixinix

n

1

1sin

21

1

12

1

2

1 111

1

11

1 xin

n

ix en

ne

1

1sin~

ב.

1

1sin1c





9שאלה

את טור פורייה של מצא/י .ג xxf cos בקטע ,.

את ערכם של המקדמים הבאים: /ימצא .ד0a ,4a ,

9a ,5b ,

10b.

את סכום הטור /יחשב .ה

1

1n

n

na.

פתרון:

.6א+ב. ראה שאלה

ג. נשתמש במשפט דיריכלה עבור הפונקציה xxf cos בנקודה2

21cos

20

2

22

11

k

k

k

k

k aka

ff

10שאלה

ורייה של את טור פ /ימצא .א xxf sin בקטע ,.

את סכום הטור הבא: /יחשב .ב

122 14

1

n n נמק את תשובתך(.).

פתרון:

הפונקציה .א xxf sin זוגית בקטע , 0ולכןnb 1לכלn .

נחשב את 0a :

411

2cos

2sin

2sin

1

0

00 xxdxdxxa

בנפרד: 1aכעת נחשב את

0112

12cos

2

12sin

1cossin

2cossin

1

00 0

1

xxdxxdxxxdxxa

: 1nנחשב לכל naוכעת נחשב את

120

241

4

1

112

1

11

1

111

1

1cos

1

1cos1

1sin1sin1

cossin2

cossin1

2

2

0

0 0

kn

knk

nnnn

xn

n

xn

dxxnxnnxdxxnxdxxa

nnn

n





12

2cos41

42~sin

n

nxn

x

לפי משפט פרסבל עבור .ב xf :נקבל כי

1

2222

2

41

1168sin

1

n ndxx

0 0

2 12cos11

sin2

dxxxdx

12222

14

11681

n n

1

2

22 16

8

14

1

n n

11שאלה

נתונה פונקציה הבאה:

x

xx

xf

20

20

21

,

כאשר

1

0 sincos2 k

kk kxbkxaa

ורייה שלה בקטע הינו הטור פ ,.

מצא טור פורייה של .א xf בקטע ,.

את סכום הטור /ימצא .ב

12

12

1

k k.

פתרון:

.א xf:זוגית ולכן

2

2

2

0

2

0

2

02

1

42

2221

221

1

xxdx

xdx

xa





22

2

0

22

2

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

2

0

2cos14

cos4

sinsin42sin2

cos4sin2

cos2

12

cos2

11

1

n

n

n

nx

dxn

nx

n

nxx

n

n

dxnxxn

nx

dxnxx

dxnxx

an n

קבל כי: לסיכום נ

1

22cos

2cos14

4

1~

n

nxn

n

xf

שמצאנו הינו: fטור פורייה של .ב

1

22cos

2cos14

4

1~

n

nxn

n

xf

,

:4נרשום במפורש את המקדמים במחזוריות

...3,2,1

34;34

4

24;24

8

14;14

4

4;0

2cos14

22

22

22

22k

knk

knk

knk

kn

n

n

an

ובסה"כ נקבל את הטור פורייה במפורש:

122

122

122

))34cos(()34(

4

24cos24

814cos

)14(

4

4

1~)(

k

kk

xkk

xkk

xkk

xf

או בצורה :





))12cos(()12(

2))12cos((

)12(

4

4

1~)(

122

122

xkk

xkk

xfkk

ונקבל: 0xוהנקודה fכעת נשתמש במשפט דיריכלה עבור

84

3

6)12(

1

)12(

2

)12(

4

4

1

2

)0()0(

22

12

122

122

k

kk

k

kk

ff

:12שאלה

חשב טור פורייה של .א xxf sin בקטע 2,0

-ו

,0.

חשב טור סינוסים וטור קוסינוסים של .ב xxf sin בקטע ,0.

נגדיר פונקציה .ג

1

0 cos2 n

n nxaa

xG.חשב את , כאשר הטור הינו טור קוסינוסים שחושב בסעיף הקודם

האינטגרלים הבאים:

dttG

2

dttG

9

2

dttG

2

2

2

פתרון:

טור פורייה של .א xxf sin בקטע ,0 הינו מהצורה הבא:

1

0 2sin2cos2

~n

nn nxbnxaa

xf

141

42cossin

2

04

sin2

0

2

0

nn

nxdxx

nxdx

an

,0,2cos

41

42~sin

12

xnxn

xn

שלר פורייה טו xxf sin בקטע 2,0 הינוxsin .בעצמו מקטע xsinזוגית של -זהה להרחבה האי xsinטור סינוסים של .ב ,0 לקטע , שהינה בדיוקxsin .

מקטע xsinזהה להרחבה הזוגית של xsinים של טור קוסינוס ,0 לקטע , שהינהxsin והוא זהה

לטור שחושב בסעיף א':

,0,2cos

41

42sin

12

xnxn

xn





לפי סעיף קודם .ג xxG sin Rx

dttdttdttdttG00

222 2cos1sin2sin

9

7

27

5

25

3

23

29

29

2 4sinsinsinsinsin dttdttdttdttdttdttG

2

2cos1sin2sin2

0

2

0

22

2

22

2

2

dttdttdttdttG

:13שאלה

נתונה פונקציה xix

xgsincos2

2

בקטע ,. חשב את

dxxg2

.

רמז: הצג את xg

בשוויון פרסבל. כטור מתכנס במידה שווה והשתמש פתרון:

ניתן להציג את xg:באופן הבא

00 2

1

2

22

1

2

2

sincos2

2)(

n

inx

nn

nix

ixixe

e

eexixxg

טור זה מתכנס בהחלט ובמ"ש בקטע ,. נשתמש בשוויון פרסבל:

00

22

4

1

2

1)(

2

1

n

n

n

n

dxxg

3

8

4

11

12

4

12)(

0

2

n

n

dxxg





14שאלה

פונקציה xf רציפה בקטע , ו- xF .הינה הפונקציה הקדומה שלה

ידוע כי 0

dxxf

-ו 1

dxxF

. הבע את האינטגרל dxxFx

באמצעות המקדמים 2nn ba של טור ,

של הפוריי xf בקטע ,.

:פתרון

נשים לב, כי מהתנאי הראשון נובעת התוצאה הבאה: 01

0

dxxfa

.

ולכן,

1

sincos~n

nn nxbnxaxf

לפי משפט האינטגרציה,

Cnxn

anx

n

bxF

n

nn

1

sincos

כאשר

2

1

2

1

1

dxxFC.

כלומר

1

sincos2

1

n

nn nxn

anx

n

bxF

כעת נשתמש בטור פורייה של

12

22 cos

14

3 n

n

nxn

xxf

ובמשפט פרסבל מוכלל ונקבל כי

1 1

3

1

2

2

2 14

3

14

2

3

211

n n

n

n

n

n

n

b

n

b

ndxxFx

ולסיכום נקבל את התוצאה הדרושה:

13

122 14

3 n

n

n

n

bdxxFx





u

x l 0 l/2

h

O

A

B

51שאלה מצא/י פתרון של משוואת גלים הבאה באמצעות הפרדת משתנים:

2

2

2

2

x

u

t

u

lx -ו 0xמתארת את תנודת המיתר, כאשר המיתר מקובע בקצוות המשוואה וצורתו ההתחלתית של

)באיור(. הנח/י כי אין מהירות התחלתית למיתר: OABהמיתר מתוארת על ידי העקומה

פתרון: :OABראשית נמצא את משוואת העקומה

xהיא OAמשוואת הישר l

h2היא ABואילו משוואת הישר xl

l

h

2 , כלומר נקבל כי

lxl

xll

h

lxx

l

h

x

2;

22

0;2

בנוסף לכך, נתון כי 0x.

במקרה שלנו, הפתרון הכללי של המשוואה נתון באופן הבא:

xl

nt

l

nbt

l

natxu

n

nn

sinsincos,

1

כאשר

l

n xdxl

nx

la

0

sin2

ו-

l

n xdxl

nx

nb

0

sin2

במקרה שלנו

l

l

l

l

n xdxl

nxl

l

hxdx

l

nx

l

hxdx

l

nx

la

2

2

2

0

2

0

sin4

sin4

sin2

נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי

2sin

822

n

n

han

.0nbבנוסף לכך נקבל כי

נקבל את הפתרון הסופי: ולסיכום

1

22sincos

2sin

18,

n

xl

n

l

tnn

n

htxu





61שאלה

א טור סינוסים וטור קוסינוסים של מצ .א tf :המוגדרת באופן הבא

.את תשובתך נמק? 0tלאיזה ערך מתכנס טור סינוסים מסעיף א' בנקודה .ב

פתרון:

כפי שניתן לראות, הפונקציה tf :מוגדרת באופן הבא

21,2

10,1

tt

ttf

א.

לקטע זוגי-אם נמשיך את הפונקציה באופן אי 0,2נקבל כי:

2

1

2

2

1

22

2

1

2

1

1

0

1

0

2

1

12

142

2coscos2

2

2coscos

41

2cos

2

2sin

4

2cos

2

2

22

2cos

2

2sin2

2sin1

2

2

nn

nn

n

nn

n

n

n

tn

nt

n

n

tt

nosc

nt

n

n

tdtn

ttdtn

b

n

n

טור סינוסים:

21 12

2

12sin1

22sin

2

n

tn

n

tn

tf

n

n





באותו אופן נקבל טור קוסינוסים:

2

3

2

33

2

12

2

441

222

2

1

21

0

1

0

2

1

0

tttdttdta

22

1

22

2

1

22

2

1

2

1

1

0

1

0

2

1

14

2coscos

4

2sin0

2

2sin0

40

2sin

2

2cos

4

2sin

2

2sin

4

2sin

2

2cos2

2cos

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

tn

nt

n

n

tt

n

nt

n

n

tdtn

ttdtn

a

n

n

:טור קוסינוסים

122

2cos1

4

4

3

n

n

n

tn

tf

ממוצע של הגבולות החד צדדיים. – 0הטור מתכנס לערך .ב





71שאלה

נתון:

אחרת

xxf

0

101 , 2xxg .

ת הקונבולוציה חשב א xgf .

פתרון:

1 32 3 3 2

1

00

1 1( * )( ) ( ) ( 1) 1/ 3

3 3f g x x t dt x t x x x x

81שאלה :נתונה הפונקציה הבאה

00

a

ax

axxaxfa

את התמרת פורייה של י/מצא א. xfa.

י את /ב. חשב

d

4

2cos1cos1

פתרון:

על פי ההגדרה נקבל: א.

2

0

cos1...

1

2

1

2

1

a

dxexadxexadxexffF

a

xi

a

a

xixi

aa

על פי שוויון פלנשראל המוכלל נקבל כי: ב.

6

53221

2

12cos1cos11

0

2

1

1

2

4

dxxxdxxxd

91שאלה

ציהפונקהנתונה 22

1

axxha

,המוגדרת לכל x 0 ממשי ולכלa .)פרמטר ממשי(

חשב את התמרת פורייה של .א xha)רמז: העזר בהתמרה של .

xe

).

בתוצאה של סעיף א' והוכח כי העזר .ב

120259

122

dxxx

פתרון:

ראינו בהרצאה כי .א

21

11

Fxe





ע"פ עיקרון הדואליות נקבל כי

ae

ax

axF

2

1122

ע"פ משפט פלנשראל נקבל כי .ב

dGFdxxgxf2

1

d

ae

aedx

bxax

axax

2

1

2

111

2

12222

babade

badx

bxax

ba

4

2112222

12053535

1

3

12222

dxxx

20שאלה :מצא פתרון למשוואה הבאה

0,coscos0

tttdyt

t

פתרון את התמרת לפלס על שני האגפים: נפעיל

הקונבולוציה נקבל כי מהגדרת

sttLstytL coscos

22

22

221

21

11

s

ss

s

ssY

s

s

נבודד את sY:

ss

ssY

1

1

22

ההתמרה ההפוכה מובילה לפתרון הבא:

1cos2 tty





12שאלה

תהי xf פונקציה רציפה במרחב(ℝ)G בעלת התמרת פורייה

,0

,ˆ22

f

מצא את הפונקציה .א xf

חשב את ערך האינטגרל .ב

dxxf2

פתרון:

x לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי לכל .א R

2 2 2 2

0

ˆ 2 cosi x i xf x f e d e d xd

0x -ל מכאן,

2 2

3

0 0

sin 2 cos sin2 2 sin 4 , 0

x x x xf x xd x

x x x

-מצד שני, היות ו xf :פונקציה רציפה, נקבל

3

30 0

cos sin 40 lim lim 4

3x x

x x xf f x

x

ולסיכום נקבל:

3

3

cos sin4 , 0

4, 0

3

x x xx

xf x

x

לפי משפט פלנשראל, ב.

2

22 2 51 16ˆ

2 15f x f d d

632

15f x





22שאלה

מצא/י פתרון של בעיית התחלה

00,00

23

yy

tfyyy , כאשר

t

t

t

t

tf

3,0

32,1

21,0

10,1

.

:פתרוןעל מנת לפתור משוואה דיפרנציאלית זו ניעזר בהתמרת לפלס. נחשב את התמרת לפלס של שני האגפים

המשוואה. נשים לב כי ונתחיל מהאגף הימני של tf ניתנת להצגה בעזרת פונקציתHeaviside באופן

הבא:

tHtHtHtHtf 3210

כלומר

s

e

s

e

s

e

sstfL

s

estHL

ssscs

c

321

כעת נחשב את ההתמרה של אגף שמאל:

2320330023 22 ssyLyLyysLysyyLsyyyL

ולסיכום נקבל כי

s

e

s

e

s

e

sstfLssyL

sss 322 1

23

21

11

23

1 32

2

32

ssseee

sss

eeeyL sss

sss

נפרק את הביטוי האחרון לשברים חלקיים:

2121

1

s

C

s

B

s

A

sss

2

1,1,

2

1 CBA

ידוע כי asas

seL at

,1

, כלומר

tt eesss

L 21

2

1

2

1

2

1

2

1

1

11

2

1

:Heavisideכעת נשתמש בתכונה הבאה שקשורה להתמרה של פונקצית

stgLesctgtHL cs

c

או

stgLeLctgtH cs

c

1

במקרה שלנו tt eetg 2

2

1

2

1:ולכן נקבל את פתרון המשוואה הדיפרנציאלית באופן הבא





tgeLtgeLtgeLtgL

ssseeeLty

sss

sss

312111

321

21

11

או בצורה מפורשת:

323

3

222

2

121

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

tttt

tttt

eetHeetH

eetHeety

23שאלה .6מסדר DFTכתוב מטריצת .א .[9 6 2 2]של הסדרה הבאה: FFT חשב .ב .[9 6 2 2 9 6 2 2]של הסדרה הבאה: FFT חשב .ג

פתרון:

מוגדרת באופן הבא: 6מסדר DFTמטריצת .א

252015105

20161284

1512963

108642

5432

1

1

1

1

1

111111

N כאשר

i

e

2

6 -וN .:בהתאם לכך נקבל את התוצאות הבאות

ie

i

2

3

2

132519137

ie

i

2

3

2

13

2

201482

13

3

211593

i

e

ie

i

2

3

2

13

4

2216104

ie

i

2

3

2

13

5

2317115

13

6

2418126

i

e





.ב

ג.

נקבל כיולפי התוצאה בסעיף הקודם, FFTבהתאם לתכונת המחזוריות של

FFT([2 2 6 9 2 2 6 9])=[38 0 -8+14i 0 -6 0 -8-14i 0]

תונורתפו םיליגרת תרבוח -...

Documents

Transcript of תונורתפו םיליגרת תרבוח -...