第二讲 MATLAB 的数值计算

—— matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位

数值运算的功能创建矩阵矩阵运算多项式运算线性方程组数值统计线性插值函数优化微分方程的数值解

一、命令行的基本操作

1. 创建矩阵的方法直接输入法

规则： 矩阵元素必须用 [ ] 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔

在 [ ] 内矩阵的行与行之间必须

用分号分隔

》 a=1; b=2; c=3;

》 x=[5 b c; a*b a+c c/b]

x=

5.000 2.000 3.000

2.000 4.000 1.500

》 y=[2, 4, 5;

3 6 8]

y=

2 4 5

3 6 8

矩阵元素可以是任何 matlab 表达式 ，可以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊函数 I ， j 输入。大的矩阵可以用分行输入，回车键代表分号。

a=[1 2 3;4 5 6]

x=[2 pi/2; sqrt(3) 3+5i]

矩阵元素

符号的作用

逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的

分隔符， matlab 允许多条语句在同一行出现。

分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。

注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。

当一个指令或矩阵太长时，可用•••续行

冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认

间隔为 1 。 用于选出矩阵指定行、列及元

素。 循环语句

2. 用 matlab 函数创建矩阵空阵 [ ] — matlab 允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand —— 随机矩阵eye —— 单位矩阵zeros —— 全部元素都为 0 的矩阵ones —— 全部元素都为 1 的矩阵diag —— 产生对角矩阵

例 》 eye(2 ， 3) 》 zeros(2 ， 3) ans= ans= 　 1 　 0 　 0 0 　 0 　 0 0 　 1 　 0 0 　 0 　 0 》 ones(2 ， 3) ans= 1 　 1 　 1 1 　 1 　 1 》 V=[5 7 2] ； A=diag(V) A= 5 　 0 　 0 0 　 7 　 0 0 　 0 　 2

例 》 eye(2)　　 ans= 　　　 1 　 0 　　　 0 　 1

》 zeros(2)　　 ans=　　 0 　 0 　　 0 　 0

》 ones(2)　　 ans=　　 1 　 1　　 1 　 1

例 在区间 [20,50] 内均匀分布的 5 阶随机矩阵。

命令如下： x=20+(50-20)*rand(5)

此外，常用的函数还有 reshape(A,m,n) ，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵 A 重新排成 m×n 的二维矩阵。

也可用 linspace 函数产生行向量。其调用格式为： linspace(a, b, n)

其中 a 和 b 是生成向量的第一个和最后一个元素， n 是元素总数。例 》 a=linspace(1 , 10 , 10)

a=

　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵(magic) 、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。

注意： matlab 严格区分大小写字母，因此 a 与 A 是两个不同的变量。

matlab 函数名必须小写。

3. 用 m 文件创建矩阵

对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个 M 文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M 文件创建矩阵。 例 利用 M 文件建立 MYMAT 矩阵。

(1) 启动有关编辑程序或 Matlab 文本编辑器，并输入待建矩阵。

(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘 ( 设文件名为 mymatrix.m) 。

(3) 在 Matlab 命令窗口中输入 mymatrix ，即运行该 M 文件，就会自动建立一个名为 MYMAT 的矩阵，可供以后使用。

4. 用冒号表达式创建矩阵利用冒号表达式可以线性等间距地建立一个向量来创建矩阵 一般格式是： e1:e2:e3其中 e1 为初始值， e2 为步长， e3 为终止值。

　 或者为：（ start: step: end ）例 》 a=[1:2:10]

a=

1 3 5 7 9

5. 矩阵的修改

直接修改

可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改

可以用 A(,)= 来修改。

例如a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9]

a =1 2 0

3 0 5

7 8 9

a(3,3)=0

a =1 2 0

3 0 5

7 8 0

还可以用函数 subs

修改， matlab6.0

还可用 find 函数修

改。

把 Matlab 工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成 mat数据文件。

save —— 将工作空间中所有的变量存到matlab.mat 文件中。

二、数据的保存与获取

默认文件名

save data—— 将工作空间中所有的变量存到 data.mat 文件中。

save data a b —— 将工作空间中a 和 b 变量存到 data.mat 文件中。

下次运行 Matlab 时即可用 load

指令调用已生成的 mat 文件。

load ——

load data ——

load data a b ——

mat 文件是标准的二进制文件，还可以 ASCII码形式保存。

即可恢复保存过的所有变量

1. 矩阵加、减（＋ ,－）运算规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行

和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。

三、矩阵运算

2. 矩阵乘（）运算规则：

A 矩阵的列数必须等于 B 矩阵的行数

标量可与任何矩阵相乘

a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b

c =14

32

23

d=[-1;0;2]; f=pi*d

f = -3.1416

0

6.2832

矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在 matlab 中有两种矩阵除运算。

两种除法： \ 和 / ，分别表示左除和右除。如果 A 矩阵是非奇异方阵，则 A\B 和 B/

A 运算可以实现。A\B 等效于 A 的逆左乘 B 矩阵，而 B/A

等效于 A 矩阵的逆右乘 B 矩阵。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般 A\B≠B/A 。

a ^ p —— a 自乘 p次幂

方阵 >1 的整数

3. 矩阵乘方—— a^n,a^p,p^a

对于 p 的其它值 , 计算将涉及特征值和特征向量，如果 p 是矩阵， a 是标量a^p 使用特征值和特征向量自乘到 p次幂；如 a,p 都是矩阵， a^p 则无意义。

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2

ans =30 36 42

66 81 96

102 126 150

※当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。

a^0.5

ans =

0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i

1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i

1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i

inv —— 矩阵求逆

det —— 行列式的值

eig —— 矩阵的特征值

diag —— 对角矩阵

’ —— 矩阵转置sqrt —— 矩阵开方

4. 矩阵的其它运算

5. 矩阵的范数

矩阵范数的函数为：(1) norm(V) 或 norm(V,2) ：计算矩阵 V 的

2— 范数。(2) norm(V,1) ：计算矩阵 V 的 1— 范数。(3) norm(V,inf) ：计算矩阵 V 的∞—范数。

6. 矩阵的一些特殊操作矩阵的变维

a=[1:12];b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:)

矩阵的变向 rot90:旋转 ; fliplr:左右翻 ; flipud: 上下翻

矩阵的抽取 diag:抽取主对角线 ;( 对于非方阵的情况 ?) tril: 抽取主下三角 ; triu:抽取主上三角，然后其余补零元素

矩阵的扩展

关系运算 关系符号 意义

<

<=

>

>=

==

~=

小于小于或等于

大于大于或等于

等于不等于

关系运算符的运算法则(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的

大小。若关系成立，关系表达式结果为 1 ，否则为 0 。

(2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0 或 1 组成。

(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0 或 1 组成。

注意：其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。

数组运算指元素对元素的算术运算，

与通常意义上的由符号表示的线性代数

矩阵运算不同。

1. 数组加减 (.+,.-)

a.+b

a.- b

7. 矩阵的数组运算

对应元素相加减（与矩阵加减等效）

2. 数组乘除 ( ， ./ ， .\）ab —— a ， b 两数组必须有相同的

行 和列两数组相应元素相乘。a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];

a.*b

ans =

2 8 18

4 15 30

49 72 90

a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];

a*b

ans =

25 37 46

55 85 109

85 133 172

a./b=b.\a

a.\b=b./a

a./b=b.\a — 都是 a 的元素被 b 的对应元

素除， “ /” 是斜杠a.\b=b./a — 都是 b 的元素被 a 的对应

元 素除， “ \” 是反斜杠例 : a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a

c1 = 4.0000 2.5000 2.0000

c2 = 4.0000 2.5000 2.0000

—— 给出 a,b 对应元素间的商 .

3. 数组乘方 (.^) — 元素对元素的幂例 :

a=[1 2 3];b=[4 5 6];

z=a.^2

z =

1.00 4.00 9.00

z=a.^b

z =

1.00 32.00 729.00

(1 .^4 2 .^5 3 .^6)

matlab 语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。

f(x)=a0xn+a1xn-1+……an-1x+an

可用行向量 p=[a0 a1 …… an-1 an ] 表示

1. poly —— 产生特征多项式系数向量

特征多项式一定是 n+1维的

特征多项式第一个元素一定是 1

四、 多项式运算

例 :a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];

p=poly(a)

p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00

p 是多项式 p(x)=x3-6x2-72x-27 的系数matlab描述方法，我们可用：p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示数学多项式的形式p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x – 27

注意：多项式中缺少的幂次用‘ 0’补齐。

2.roots —— 求多项式的根

a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a)

p =

1.00 -6.00 -72.00 -27.00

r=roots(p)---------求由 p构成的多项式的根r = 12.12

-5.73 —— 显然 r 是矩阵 a 的特征值 -0.39

当然我们可用 poly 令其返回多项式形式 (这是 poly 的第二个功能 )

p2=poly(r)

p2 =

1.00 -6.00 -72.00 -27.00

matlab 规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。

P=poly(r), 输入 r 是多项式所有根，返回值为代表多项式的行向量形式。P=poly(A) ，输入是 N*N 的方阵，返回值 p 是长度为 N+1 的行向量多项式，它是矩阵 A 的特征多项式，也就是说多项式 p 的根是矩阵 A 的特征值。

求根的另一种方法str1='x^3-6x^2-72x-27';

p1=str2poly(str1);

r=roots(p1);

注： str2poly 实现把一个字符串表示的多项式转换为一个行向量表示的多项式。

poly2str 同理。

3.conv多项式乘运算 (向量卷积 )

例 :a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;

c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)

a=[1 2 3];b=[4 5 6];

c=conv(a,b) 或 c=conv([1 2 3],[4 5 6])

c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00

p=poly2str(c,‘x’) 其中 x 表示自变量 p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18

4.deconv多项式除运算 (解卷积 )a=[1 2 3];

c = [4.00 13.00 28.00 27.00 18.00]

d=deconv(c,a)d =4.00 5.00 6.00[d,r]=deconv(c,a)

余数c 除 a 后的整数

它们之间的关系为 : c = conv(a,d)+r

5. 多项式导数或微分

matlab提供 polyder 函数计算多项式的导数。命令格式：polyder(p): 求 p 的导数polyder(a,b): 求多项式 a,b乘积的导数[p,q]=polyder(a,b): 求多项式 a除以 b 的商

的导数，并以 p/q 的格式表示。

例： a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x')ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5b=polyder(a)b = 4 6 6 4poly2str(b,'x')ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4

6. 多项式的积分matlab提供 polyint 函数计算多项式的积分。命令格式：polyint(p,k): 求多项式 p 的积分，设积分

的常数项为 k ， polyint(p) 默认 k=0 例： a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x')ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5b=polyint(a,8)b = 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 8.0poly2str(b,'x')ans =0.2 x^5 + 0.5 x^4 + x^3 + 2 x^2 + 5 x + 8

五、代数方程组求解matlab 中有两种除运算左除和右除。对于方程 ax=b ， a 为 an×m 矩阵，有三种情况： 当 n=m 时，此方程成为“恰定”方程 当 n>m 时，此方程成为“超定”方程 当 n<m 时，此方程成为“欠定”方程 matlab 定义的除运算可以很方便地解上述三种方程

1.恰定方程组的解方程 ax=b (a 为非奇异 ) x=a-1 b 矩阵逆两种解 :

x=inv(a)b — 采用求逆运算解方程 x=a\b — 采用左除运算解方程

注：若 a 为奇异的，则 Matlab适当给出警告信息或者给出结果为 inf 。

方程 ax=b

a=[1 2;2 3];b=[8;13];x=inv(a)*b x=a\b x = x = 2.00 2.00 3.00 3.00

32

21

2

1

x

x

13

8

=

a x = b

例 : x1+2x2=8

2x1+3x2=13

2.超定方程组的解

方程的个数大于未知量个数时，方程一般无解。

方程解 (a ' a)x=a ' b

x=(a‘ a)-1 a ’ b —— 求逆法 ( 也用到了最小二乘解的原理 )

x=a\b —— matlab 用最小二乘法找一

个准确地基本解。

例 : x1+2x2=1

2x1+3x2=2

3x1+4x2=3

a=[1 2;2 3;3 4];b=[1;2;3];

解 1 x=a\b 解 2 x=inv(a'a) a' b

x = x =

1.00 1.00

0 0.00

2

1

x

x

3

2

1

=43

32

21

a x = b

3.欠定方程组的解

当方程数少于未知量个数时 , 即不定情况 , 有无穷多个解存在。matlab 可求出两个解：

用除法求的解 x 是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆 pinv求得的。

x1+2x2+3x3=1

2x1+3x2+4x3=2

a=[1 2 3;2 3 4];b=[1;2];

x=a\b x=pinv(a)b

x = x =

1.00 0.83

0 0.33

0 -0.17

432

321

3

2

1

x

x

x

2

1=

a x = b

六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有 Euler（欧拉法）、 Runge Kutta

(龙 格 -库塔法。

Euler 法称一步法，用于一阶微分方程

00 )(),,( yxyyxfdx

dy

当给定仿真步长时：

所以

yn+1 = yn + h·f (xn,yn) n=0,1,2…

y(x0)=y0

h

yy

xx

yy

dx

dy nn

nn

nn

1

1

1

Runge Kutta 法

龙格 -库塔法：实际上取两点斜率的平均 斜率来计算的，其精度高于欧拉算法 。龙格 -库塔法： ode23 ode45

211 2

1

2

1kkyy nn

k1=hf(xn,yn)

k2=hf(xn+h,yn+k1)

例： x+(x2-1)x+x=0

为方便令 x1=x ， x2=x 分别对 x1,x2求一

阶导数，整理后写成一阶微分方程组形式 x1=x2

x2=x2(1-x12)-x1

1. 建立 m 文件2. 解微分方程

·· ·

·

·

·

建立 m 文件function xdot=wf(t,x)

xdot=zeros(2,1)

xdot(1)=x(2)

xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)

给定区间、初始值 ;求解微分方程t0=0; tf=20; x0=[0 0.25]';

[t,x]=ode23('wf', t0, tf, x0)

plot(t,x), figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))

命令格式 :

[T,Y] = ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)

建立 m 文件function dxdt=wf(t,x)

dxdt=[x(2);x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)];

求解微分方程[t,x]=ode23(@wf,[0 30],[0 0.25]);

plot(t,x);

figure(2)

plot(x(:,1),x(:,2))

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30-3

-2

-1

0

1

2

3

七、函数优化

寻优函数：

fmin —— 单变量函数

fmins —— 多变量函数

constr —— 有约束条件

无约束条件

例 1 ： f(x)=‘x2+3x+2’ 在 [-5 5] 区间的最小值

f=fmin('x^2+3*x+2',-5,5)

例 2 ： f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2 在 x1=

a, x2=a2处有最小值

function f=xun(x,a)

f=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(a-x(1)).^2;

x=fmins('xun',[0,0],[ ],[ ],sqrt(2))

八、数据分析数据分析相关的函数位于目录：toolboxs\matlab\datafun 下Matlab 对矩阵操作的规定：如果是向量，则对数据整体操作；如果是矩阵，则对矩阵的列操作。max —— 各列最大值 mean —— 各列平均值sum —— 各列求和std —— 各列标准差var —— 各列方差sort —— 各列递增排序cumsum —— 元素累计和cumprod —— 元素累计积

八、数据分析数据分析相关的函数位于目录： toolboxs\matlab\datafun 下。Matlab 对矩阵操作的规定：如果是向量，则对数据整体操作；如果是矩阵，则对矩阵的列操作。max —— 各列最大值 mean —— 各列平均值sum —— 各列求和std —— 各列标准差var —— 各列方差sort —— 各列递增排序cumsum —— 元素累计和cumprod —— 元素累计积

例： x=[1 3 2 4],y=[1 2 3 8;5 6 7 4]

sort(x),sort(y),max(y)

>>1 2 3 4

>>1 2 3 4

5 6 7 8

>>5 6 7 8

九、拟合与插值1. 多项式拟合 采用最小二乘法对给定的数据进行多项式拟合，最后给出多项式的系数。

p=polyfit(x,y,n) ，采用 n次多项式 p 来拟合数据 x 和 y ，从而使得 y 与 p(x)最小均方差最小。

x0=0:0.1:1;

y0=[-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22];

p=polyfit(x0,y0,3)

p = 56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043

xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);

plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')

曲线拟合图形用户接口Matlab7.0提供了支持曲线拟合的图形用户接口。

在“ Figure” 窗口“ Tools\Basic Fitting”菜单中。为了使用该工具，先用待拟合的数据画图。x=0:0.2:10;

y=0.25*x+20*sin(x);

plot(x,y,'ro');

在复选框“ Plot fits” 中选择“ cubic” 。

2. 插值插值的定义——是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具，它可以在已知数据之间寻找估计值，常用到信号处理和图像处理中。Matlab提供了一维、二维、 三次样条等许多插值选择。

interp1—— 一维插值 interp2—— 二维插值interp3——三维插值spline——三次样条插值griddata ——栅格数据插值 利用已知点确定未知点 粗糙—— 精确 集合大的—— 简化的

一维插值就是对一维函数 y=f(x)进行插值。yi=interp1(x,y,xi,method),x 必须是向量， y 可以

是向量也可以是矩阵。 (x,y) 代表的是已知数据。这时， xi 代表需要估计值的位置， yi 表示插值后的估计值。 method 用于指定插值的方法：

1.method='nearest' ，在已知数据的最临近点设置插值点，对插值点的数进行四舍五入。对超出范围的点返回一个 NaN 。此方法是最快的插值方法，但数据平滑方面最差，其得到的数据是不连续的。

2.method='linear' ，采用直线连接相邻的两点，即线性插值，是此函数的缺省默认方法。执行速度比最临近插值稍慢，数据平滑要由于临近插值，且数据是连续的。

3. method='spline' ，采用三次样条函数来获得插值点。处理速度最慢，可以产生最光滑的结果。 Matlab提供了一个样条插值工具箱，位于 toolbox\splines 下。

4. method='pchip' ，采用分段三次埃尔米特多项式插值。

例： x=0:2*pi;y=sin(x);xi=0:0.1:8;

yi1=interp1(x,y,xi, 'linear')

yi2=interp1(x,y,xi, 'nearest')

yi3=interp1(x,y,xi, 'spline')

yi4=interp1(x,y,xi, 'cubic')

p=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p,xi);

subplot(3,2,1);plot(x,y,'o');

subplot(3,2,2);plot(x,y,'o',xi,yy);

subplot(3,2,3);plot(x,y,'o',xi,yi1);

subplot(3,2,4);plot(x,y,'o',xi,yi2);

subplot(3,2,5);plot(x,y,'o',xi,yi3);

subplot(3,2,6);plot(x,y,'o',xi,yi4);

二维插值二维插值主要应用于图像处理和数据的可视化，对双变量的函数 z=f(x,y)进行插值。zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method),原始数据 x,y,z决定插值函数 z=f(x,y), 返回值 zi 是 (xi,yi)在函数 f(x,y) 上的值。method 同样可以采用最临近插值、双线性插值、三次样条插值。

小 结 本节介绍了 matlab 语言的数值运

算功能，通过学习应该掌握： 如何创建矩阵、修改矩阵 符号的用法 矩阵及数组运算 多项式运算 线性方程组与微分运算