Неопределен интеграл integral.pdfНепосредствено...
31
Неопределен интеграл
Transcript of Неопределен интеграл integral.pdfНепосредствено...
Неопределен интеграл
k = const
Правила за интегриране
1.
2.
3. a = const
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫
( ) ( )kf x dx k f x dx=∫ ∫( ) ( ) ( )f x d x f x d x a= ±∫ ∫
4. a0, a = const( ) ( ) ( )1f x dx f x d axa
=∫ ∫
5. ( ) ( )d Fx F x C= +∫
Таблица на основните интеграли
1.
2.
3.
4.
5.
dx x C= +∫1
1
pp xx dx C
p
+
= ++∫
lndx x Cx= +∫
x xe dx e C= +∫
( )ln
xx aa dx C
a= +∫
p -1
7.
6. sin cosxdx x C= − +∫cos sinxdx x C= +∫
Таблица на основните интеграли
8.
9.
10.
11.
12.
2
1 tgcos
dx x Cx
= +∫
2
1 cotgsin
dx x Cx
= − +∫
2 2
1 1 arctg xdx Cx a a a
= + + ∫
2 2
1 arcsin xdx Caa x
= + −
∫
2 2
1 1 ln2
x adx Cx a a x a
−= +
− +∫
13.2 2
2 2
1 lndx x x a Cx a
= + ± +±
∫
a > 0
32
3xx dx C= +∫
Да се пресметне интеграла:
Задача 12
33 2
1 12 2
xdx x dx C Cx x
−−= = + = − +
−∫ ∫Задача 2
Задача 3
Непосредствено пресмятане на интеграл
от (2)1
1
pp xx dx C
p
+
= ++∫
7 32 3 2
2 35 4x x dxx x
− + − =
∫
7 3223
1 15 4 2 3x dx x dx dx dxx x
= − + − =∫ ∫ ∫ ∫2 1 18 4 1 83
4 35 25 4 2 3 918 4 1 83
x x x x xC x x Cx
− +−
= − + − + = − − − +−
Задача 4
Задача 5
2
1 arcsin55
xdx Cx
= +−
∫ от (11)2 2
1 arcsin xdx Caa x
= + −
∫
( )22 2 22
2
1 1 1 13 3 33
1 arctg ln 33 3
dx dx dxx x xx
x x x C
+ = + = + + + +
= + + + +
∫ ∫ ∫
Задача 6
97 22 1 2 32 3 2ln
9 ln 3
xx xx dx dx dx x C
x= + − = + − +∫ ∫ ∫
7 2 3xx dxx
+ − = ∫
Задача 72 2 2
2 2 2 2
1 1 1 11 1 1 1
x x xdx dx dx dxx x x x
− + −= = − + =
− − − −∫ ∫ ∫ ∫
2
1 1 1 1 1ln ln1 2 1 2 1
x xdx dx x C x Cx x x
− += − − = − − + = − + +
− + −∫ ∫
Задача 82 2
2 2 2
2 2 122 2 2
x xdx dx dx dxx x x
+ −= = − =
+ + +∫ ∫ ∫ ∫
12 arctg2 2
xx C= − +
Задача 9
( )( )2 24 2
2 2
2 3 12 5 31 1
x xx x dx dxx x
− −− += =
− −∫ ∫
2 322 3 33
x dx dx x x C= − = − +∫ ∫
Задача 103 5 3 5
2 2 2
2 21 1 1
x x x xdx dx dxx x x
+ − −= + =
− − −∫ ∫ ∫
33 22
2
12arcsin 2arcsin1
x xx C dx x C x dxx−
= + + = + + =−
∫ ∫5222arcsin
5x x C= + +
Задача 112 2
22 2
sin 1 costgcos cos
x xxdx dx dxx x
−= = =∫ ∫ ∫
2 2
1 11 tgcos cos
dx dx dx x x Cx x
= − = − = − + ∫ ∫ ∫
Задача 12
( ) ( )2 2
4 2 2 2 2 2
2 3 2 31 1
x xdx dx dxx x x x x x+
= + =+ + +∫ ∫ ∫
( ) ( )2 2 2
2 131 1
dx dxx x x
= + =+ +∫ ∫
2 22arctg 3arctg arctgx x C x Cx x
= − − + + = − + +
2 2
2 2 3arctg1
dx dx x Cx x
= − + + =+∫ ∫
( )2 2 2
2 2 131 1
dx dxx x x
= − + = + + ∫ ∫
Интегриране чрез внасяне на константа под знака на диференциала
( )1 1 3 ln 33 3
dx d x x Cx x
= − = − +− −∫ ∫
Задача 13
( ) ( ) ( ) ( )17 17 1817 7 7 718
x d xx d x x C+ = + + = + +∫ ∫Задача 14
( ) ( ) ( )1f ax b dx f ax b d ax ba
+ = + +∫ ∫
Задача 15
( )( )
2 2
1 1 1 15 arcsin 55 51 25 1 5
dx d x x Cx x
= = +− −
∫ ∫
Задача 16
( ) ( )( )2 22 2 2
1 1 1 1 29 4 23 2 3 2
dx dx d xx x x
= = =+ + +∫ ∫ ∫
1 1 2arctg2 3 3
x C= +
Задача 17
( )3 2 3 23 2
1 1 13 23 3
x xx dx e d x e C
e− + − +
− = − + = − +−∫ ∫
Задача 18
( )1 cos5sin 5 sin 5 55 5
xxdx xd x C= = − +∫ ∫
( ) ( )2 2 22 2
2
1 1 1 1 555 4 5 2 5 2
1 ln 5 5 45
dx dx d xx x x
x x C
= = =− − −
= + − +
∫ ∫ ∫
Задача 19
Задача 20
( )2 1 cos 2 1 1 1cos cos 2 22 2 2 2
1 1 sin 22 4
xxdx dx dx xd x
x x C
+= = + =
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Задача 21
2 22 2
1 1 1 1cos 5 cos 54 4
dx dx dxx xx x
+ = + =
− − ∫ ∫ ∫
( ) 22
1 1 5 ln 45 cos 5
d x x x Cx
= + + − + =∫21 tg5 ln 4
5x x x C= + + − +
Задача 22
( )
2 1 cos 2 1 cos 2sin2 2 2
1 cos 2 1 1 1 cos 2 22 2 2 2 2
1 1 sin 22 4
x xxdx dx dx
xdx dx x C xd x
x x C
− = = − =
= − = + − =
= − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Задача 24 ( ) ( )7 72 23 5 3 5x xx e dx x dx e dx + + = + + = ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )8 27 2 3 51 1 13 5 3 5 2
3 2 3 8 2
xx x ex d x e d x C
+= + + + = + +∫ ∫
1 1 2 32 3 2 3 2 3
x xdx dxx x x x x x
+ + −= =
+ − − + − − + + −∫ ∫
Задача 23
( ) ( )3 32 2
2 2 315
x x C = + + − +
( ) ( ) ( )1 12 3 2 2 3 35 5
x x d x x d x x d x = + + − = + + + − − = ∫ ∫ ∫
Задача 25
( )2 12 3
333 2
sincos sin sin 3 sin2sin 13
xx dx xd x C x Cx
− +−
= = + = +− +
∫ ∫
Интегриране чрез внасяне на функция под знака на диференциала
( ) ( ) ( ) ( )( )f x g x d x g x d f x d x=∫ ∫ ∫
Задача 26
( )2
2 2ln 1ln ln lnx dx x dx xd xx x
= = =∫ ∫ ∫
Задача 27
( )12
2 222 2
1 1 12 21 1
x xdx d x dxx x
− = = − =
− − ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )1 12 21
2 2 2211 11 1 112 2 1
2
xx d x x C
− +− −
= − − − + = − = − − +− +
∫
( ) ( ) ( )32 ln
ln ln3x
x d x C= = +∫
Задача 28
( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1. arctgarctg arctg1 arctg 1
ln arctg
dx dx d xx xx x x
x C
= = =+ +
= +
∫ ∫ ∫
Задача 29
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 22 2
2 22
2
2
5 3 15 37 2 7 2 7 2
1 3 15 7 27 2 2 7 2
5 3 2ln 7 2 arctg4 14
2
7
1 212
x
x
x dx dx dxx x x
d d xx x
xx C
−= − =
+ + +
= + − =+ +
= + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Задача 30
2 2 2
2 3 12 33 4 3 4 3 4
x xdx dx dxx x x+
= + =+ + +∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
22 2
1 12 33 4 2 3 2
xd dxx x
= + =+ +
∫ ∫
( )( ) ( )
( )222 2
2 1 1 3 14 3 22 4 3 4 2 3 2
d x d xx x
= + + =+ +
∫ ∫
21 3 2ln 3 4 arctg4 2 3
xx C= + + +
21 3 1 2ln 3 4 arctg4 2 3 3
xx C= + + + =
Задача 31
( )( )
( )
( ) ( )
2 2 22
2
2
2
2
12 22
2
3 4 13 45 5 5
3 1 4arcsin2 55
3 1 5 4arcsin2 553 5 5 4arcsin2 5
3 5 4arcsin5
x xdx dx dxx x x
xd x Cx
xd x Cx
xx d x C
xx C
−
+= + =
− − −
= + + =−
= − − + + + =−
= − − − + + =
= − − + +
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
Задача 32
( )sin 1tg cos ln coscos cos
xxdx dx d x x Cx x
= = − = − +∫ ∫ ∫
Задача 33
2
1 1 1 1sin 2 2cos2sin cos sin cos 2sin cos2 2 2 2 2 2 cos 2
1 1 tg ln tg2 2 2tgtg cos 22 2
x xdx dx d dx x x x xx x xx
x x xd d Cxx x
= = = =
= = = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Задача 34
( )( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )
2
2
2
1 tg1 1 4 2cos 2 2sin 2 tg2 4 2
sin 14 21coscos 4 24 2
4 2 4 2tg tg4 2 4 21 tg ln tg
4 2 4 2tg 4 2
xd x d x d x
xx x
x
xxx xd d
x x
x xd Cx
ππ π
π π
π
πππ π
π π
π ππ
+ − = − − = − − = − −
− + −− = − − == − − =
− −
= − − = − − + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ( )2
2 tg 2sin1 tg 2
xx
x=
+
Интегриране по части
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )u x d v x u x v x v x d u x= −∫ ∫
2
2
2 2
2 2
2
2 2
arcsin1
arcsin 1
1 arcsin 1 arcsin
11 arcsin 11
1 arcsin 1 arcsin
x x dxx
xd x
x x x d x
x x x dxx
x x d x x x x C
=−
= − − =
= − − + − =
= − − + − =−
= − − + = − − + +
∫
∫∫
∫
∫
Задача 35Внасямe под знака d.
21x
x−
( )2 2 2
2 2
1 1 11 2 1 12 21 1
x d x d x x C x Cx x
= − − + = − − + = − − +− −
∫ ∫
Интегрираме по части.
Задача 37
2arctg arctg arctg arctg1
xxdx x x xd x x x dxx
= − = − =+∫ ∫ ∫
( ) ( )2 22
1 1 1arctg 1 arctg ln 12 1 2
x x d x x x x Cx
= − + = − + ++∫
( )2 2 2 2 21 1 122 2 2 2
x x x x xxxe dx xe d x xd e e e dx= = = − =∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2 4 2 4
x x x x xx x xe e C e e C e C = − + = − + = − +
Задача 36
( )( )
( )
3 4 4 4
4 44 4
2 2
2 24
2 2
4 2
4 2
1 1 1arctg arctg arctg arctg4 4 4
1 1 1 1 1 1arctg arctg4 4 1 4 4 1
1 11 1 1 1arctg4 4 1 4 11 1 1arctg 1 arctg4 4 41 1 1 1arctg4 4 4
x xdx xdx x x x d x
x xx x dx x x dxx x
x xx x dx dx
x x
x x x dx x C
x x x dx dx
= = − =
− += − = − =
+ +− +
= − − =+ +
= − − − + =
= − + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫4 3
arctg4
1 1 1 1arctg arctg4 12 4 4
x C
x x x x x C
+ =
= − + − +
∫
Задача 38
2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2
2 2
2 22
2 2
1 1 1arctg arctg arctg arctg2 2 2
1 2 1 1 1arctg arctg arctg arctg2 2 1 2 11 1arctg arctg arctg2 11 arctg arctg arctg arctg arctg2
x xdx xdx x x x d x
x xx x xdx x x xdxx x
x x xdx xdxx
x x x x xd x xd x
= = − =
+ −= − = − =
+ +
= − + =+
= − + + =
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
( )
2 2 22
2 2 2 22
2 2 2 2
1 1arctg arctg arctg2 1 21 1 1 1arctg arctg 1 arctg2 2 1 21 1 1arctg arctg ln 1 arctg2 2 2
xx x x x dx x Cx
x x x x d x x Cx
x x x x x x C
− + + + =+
= − + + + + =+
= − + + + +
∫
∫
Задача 39
( )
2
2 22
2
22
2
2
arccos 1 1 1arccos arccos arccos
1 1 1 1arccos arccos1 1
1 1 1 1 1arccos arccos1 11 1
1 1 1arccos ln 1
x dx xd x d xx x x x
x dx x dxx xx x xx x
x
x dx x dx x x
xx x
x Cx x x
= − = = − − =
= − − = − − =−
−
− − = − + = − −
= − + + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Задача 40
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
ln 1 1
1 ln 1 1 ln 1
1 1 11 ln 1 1 1 221 1
x x d x
x x x x d x x
x x x x x dxx x x
+ + + =
= + + + − + + + =
= + + + − + + =
+ + +
∫
∫
∫
Задача 41
Внасямe под знака d.
( )2
2
ln 1
1
x x xdx
x
+ +
+∫
21x
x+
( )2 2 2
2 2
1 1 11 2 1 12 21 1
x d x d x x C x Cx x
= + = + + = + ++ +
∫ ∫
( )
( )
22 2
2 2
22 2
2 2
11 ln 1 11 1
11 ln 11 1
x xx x x dxx x x
x xx x x dx dxx x x x
+= + + + − + =
+ + +
+= + + + − − =
+ + + +
∫
∫ ∫
( )
2 2 2 2 2
2 22 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 111 1 1
1 1 1
x x x x x x xdx dx dxx xx x x x x x
x x x dx x x dx dx x dx
+ + − + + − −− = − = − =
− −+ + + + − +
= + − − = + − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 2 2
2 22 2 2
2 2 2 2
1 111 1 1
1 1
x x x x x x xdx dx dxx xx x x x x x
x x x dx x dx x x dx
− + − +− = − = − =
− −+ + + + − +
= − + = − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 ln 1
1 1
1 ln 1
1 ln 1
x x x
x x dx dx x dx x dx x x dx
x x x dx
x x x x C
= + + + +
+ − − + − + =
= + + + − =
= + + + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
Изчисление с Mathematica
7 32 3 2
2 35 4x x dxx x
− + −
∫
Да се пресметне интеграла:Задача:
