11

Вопросы по второй лекции :

I. Модель с плоскими ED, компактифицированными на окружность. 4D скаляр – «хиггсовский бозон», присутствующий после КК-декомпозиции в эффективном 4D действии, получается из 5D калибровочного поля как вклад от:

A) нулевой моды B) высших КК-мод C) нулевой моды D) высших КК-мод

)()0( xA

)()( xA n

)()0(5 xA

)()(5 xA n

II. Объединение юкавской и калибровочной констант эффективного 4D взаим. (Yukawa-Gauge Unification), после КК-декомпозиции из 5D калибровочных теориий,получается вследствие A) единой природы 4D фермионов и 4D калибровочных полей, которые возникают из единого многомерного объекта – 5D калибровочного поля B) единой природы 4D хиггсовского скаляра и 4D калибровочных полей, которые возникают из единого многомерного объекта – 5D калибровочного поля C) подгонки параметров изначальной многомерной теории D) подгонки параметров 4D эффективной теории

22

III. Орбифолдинг в многомерных моделях с плоскими ED позволяет : A) решить проблему иерархий B) решить проблему киральности фермионов C) локализовать калибровочные поля на бране (границе) D) локализовать высшие КК-моды фермионов на бране

33

Большие дополнительные пространственные измерения:многомерная ТП и гравитация на масштабе ТэВ

Савина МарияЛФЧ, ОИЯИ

Лекция 3: гравитация в сценариях с плоскими и стянутыми ED

Краткий план:

• Плоские дополнительные измерения : симметрии, КК-декомпозиция полей многомерной гравитации, спектр эффективной 4D теории

• Гравискаляр – модуль, и проблема его стабилизации

• Эффективная 4D модель с плоскими ED – ADD, иерархия масштабов

• Модификация гравитационного потенциала на малых расстояниях, разрешенный размер ED • «Стянутые» дополнительные измерения (RS) – учет натяжения браны, иерархия • Хиггс и иерархия в моделях со стянутыми измерениями

44

4 4d dE M K

2 ( ) ( ) ( , )M N m nMN mnds G X dX dX g x dx dx x y dy dy

''

''

'

'

'

'

'''

'

'

'

'

2

)(

))'((

)(

NM

NM

N

N

NM

M

M

MN

NMMN

dXdXXG

dXX

XdX

X

XXXG

dXdXXGds

''''''

' ))'(()(N

N

M

M

MNNM X

X

X

XXXGXG

1,...0, DNM

4Dd

Многомерная гравитация, плоские ED

Факторизуемая метрика:

4D Минковcкийкомпактноемногообразие

В произвольных координатах

Из требования инв-ти отн. 5Dобщекоординатных преобразований

55

)()()()(' XXXhXh MNNMMNMN

)(' XXX MMM

)()( XhXG MNMNMN

Простейший случай – 5D. Одно компактное дополнительное измерение

Ограничимся случаем малых флуктуаций метрики :

Для малых координатных преобразований

Выбираем калибровку (almost axial) КК-декомпозиция поля метрики

1

)()0(

)0(5555

)0(55

..)()(),(

)(),(

)(),(

n

inn ccexhxhxh

xhxh

xhxh

),( xX

5D гравитация, плоские ED

66

][16

)5(5

55 MND

NDEinstein GR

G

GXdS

esKKhRG

gXdS

DN

D mod][16

)0()4(4

44

5D гравитация – одно дополнительное измерение

55'

5 )()( MXhXh

)()0( xhMN

)()( xh nMN

)()0(5 xh

5D действие - только производные от полей

все нулевые моды – безмассовые 4D поля, без потенциалов (в приближении малости флуктуаций)

массивные КК-поля

безмассовое калибровочное поле, защищенное остаточной калибровочной симметрией:

оригинальная идея Калуцы-Клейна пообъединению гравитациии электромагнетизма

Эффективное 4D действие

остаточные симметрии :

4D калибровочная 4D общекоординатная

77

Результат КК-декомпозиции для 5D метрики

hAB , А,В=1,…5 – многомерное поле. После декомпозиции получаем набор полей в эффективном 4D действии:

4D тензоры (массивные КК-моды)

4D вектор(калибр. бозон)гравискаляр

(модуль)

)0(55h

h

)0(5h стандартный

4D гравитон

R1

)0(55h

Скаляр вводится как поле без потенциала и не зависит от доп. координат (по выборукалибровки) Ненулевое произвольное ваккумное среднее

88

Radion and stabilization of aRadion and stabilization of a modulusmodulus

R1

2255

2 )1()1(

dRdxdxdxdxdxdxds

0)0( h 0)0(5 h )0(

55h

VEV в 5D:

Пятимерный гиперцилиндр – флуктуации радиуса ! РадионРазные радиусы соответствуют физически неэквивалентным ситуациям.пространство модулей теории.

Как выбрать одно значение – стабилизировать модуль?

Много разных способов – эфф. потенциал, добавка скаляров на границы и пр.

99

Многомерная (4+d) гравитация: многомерные гравитон и поля материи

Эффективная 4D теория, после КК-декомпозиции : ( , )

1. нулевая безмассовая мода гравитона (4D, спин 2) 2. высшие массивные KK моды гравитона (4D, спин 2)

3. калибровочные бозоны (4D, спин 1) – оригинальное КК-объединение взаимодействий

4. KK-моды скалярных полей (нулевая мода - радион), спин 0

Состав полей в эффективной 4D теории – общий случай

1. (d2-d-2)/2 наборов КК-мод вещественных скалярных полей (не взаимодействуют с материей на бране), спин 0 :

2. (d-1) наборов КК-мод со спином 1 (калибровочные поля в объеме, не взаимодействуют с материей на бране – отвязаны от 4D полей), :

Поля, не взаимодействующие с 4D полями:

)0(h

)(nh

3,2,1,0, dki ,...4,

)(nikh )2( d

Плюс к этим

)(niih

)0(ih

)(nih

1010

ADD: flat large extra dimensions

Multidimensional gravity action with multidimensional constant G(D)

effective

4D-action

Planck mass becomes effective derived from the “true” multidimensional mass scale:

where

A size of extra dimensions depends on a number of ED and a multidimensional scale

The hierarchy problem solution!

22

11

16

1

dDD

DDD

D

MMG

RgXdG

S

444

16RgXd

G

VS

D

deff

22 d

dPl MVM d

d RV

sm 1010~~ 17322

1

d

d

Pl

M

MMR

dNd

N GV

G 44

1

24

1

PlN M

G

4Dd

N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali ’98

(for М about a few ТэВ )

1111

Модификация гравитационного потенциала в ED

1212

Насколько большими могут быть дополнительные измерения?

sm 1010~~ 17322

1

n

n

Pl

M

MMR

1313

2

22

}{11,... ,,...y i

inNN R

nmRRy

d

d RV 22 d

dPl MVM

Зависимость масштаба от геометрии полного объема

N дополнительных измерений разного радиуса (простейший случай)

Объем фиксирован:

i

iR

Можно подобрать такой (такие) Ri , что, допустим, для d=3,4… один из радиусов окажется больше, чем для d=2

Возможность наблюдать отклонения в поведении гравитационного потенциаладаже для большого числа d

1414

• from measurements of the gravitational potential d = 1 excluded by solar system (verification of the Newton’s law up to R < 0.19 mm) d = 2 too large value of the fundamental scale MC ~ 30 TeV

• from supernova SN1987 (graviton emission speeds up the supernova cooling)

MS > 30 TeV (d = 2) , 4 TeV (d = 3)

• from energy spectrum of the diffuse gamma-ray background (CDG) due to GKK γγ

MS > 110 TeV (d = 2) , 5 TeV (d = 3)

The most favourable case: n = 3, MS ~ TeV , RED ~ 10-4-4 mm

ADD: Astrophysics and Cosmology Limits

1515

m-i n /( ) 1ˆ ( , ) ( ) e my Rn

MN MNn d

h x y h xV

( )4 4int

1ˆˆ ˆˆ ( , ) ( )nd MNMN

n Pl

S d x GT h x y d x T h xM

/ 21 1

1 10 0

2( )

( 1)

ER dERd d d d

d dn

E S n S n dn R Ed

ER

nm

i

in 2

22

}{ N(E) число точек с целыми значениями ni

внутри (d-1)-мерной сферы радиуса (RE)

2

2

2

2 1 к. т ,)(

M

M

MR

M

M

M

EEN Pl

ddPl

d

1 / 2

2 ˆ ( , ) MN MN MNdG h x y

M

Множественное рождение легких КК-мод гравитона в ADD

Процессы с обменами или рождением КК-мод гравитонанаблюдаемы на эксперименте,из-за огромной множественности мод, участвующих в процессах !

Взаимодействие с 4D материей:

Любой процесс взаимодействия гравитона и 4D материи подавлен планковским масштабом (как и для обычной 4D гравитации)

НО

Надо учесть множественность рождающихся КК-мод (очень легких):

1616

Стянутые дополнительные измерения – модель RS

1717

Cosmological Constant problemCosmological Constant problem

gVVvac 4

: 4

0min

0

0

vac

vaceffQFT QFT

vac

2

422

03 16

)(2

1

)2(

42

12

mkdkkQFT

vac

0

7110 Plvac22

0 )( gVV0,2 g

QFT vacuum modes

usual CP introduced byEinstein

Effective cosmological constant consist from two contributions:

The presence of the QFT vacuum modes causes the same problem like the hierarchyproblem and required fine-tuning for solution:

Λ is a characteristic scale of a given QFT, for example, it is about higgs VEV in the SM

47exp 10 eff

1818

Ненулевая космологическая постоянная (RS1)

5D гравитация, (5) не равна нулю:

dxdxxGds )0,(2

)1(

0d

22)(22

dRdxdxeds

),()(

)0,()()2(

)1(

xGxg

xGxg

5555

55

)(

)(

)(

GGP

GGP

GGP

Пр-я четности на орбифолде для метрики (калибровочное 4D поле уходит из спектра по четности)

5D действие в объеме действие на границах

Т.к. вдоль браны

Анзац для метрики, сохраняющий 4D Пуанкаре-инвариантность:

ConstT i

«стягивающий фактор»

нефакторизуемаяметрика

1919

DNG

M5

35 2

1

35

)2()1( 24 MTT

E.o.M.

Единственный вариант согласования двух уравнений:

Подстройка значений 4D и 5D CС !

фундаментальная(многомерная)Планковская масса

Решение для метрики:

«AdS slice»

2020

например, Goldberger-Wiseмеханизм стабилизации

Флуктуации метрики и радион – безмассовые поля без потенциала

Эффективное 4D действие для нулевой моды

Действие обладаетостаточной 4D инв-тьюотн. общекоорд. пр-й

Эффективная 4D CC зануляется – ищем 4D Пуанкаре-инвариантное решение

Только нулевая 4D мода метрики

2121

R

DNeffD

N e

GG

2

5 4

1

216

2)1(

2

352

352

4

Me

MM

RR

Pl

135

3

M

E

1 1)(

5

53

35

235

35

53

MM

M

M

GeV 101845 PlMM

Настройка 5D и 4D константы:

Хорошо определенный предел при разворачивании дополнительного измерения :

Нулевая мода локализована в окрестностях браны 0

(планковская брана)

Оценки в неперенормируемой теории с параметром:

все параметры модели –одного порядка !в отличие от ситуации ADD

2222

Иерархия масштабов в модели со стянутыми ED

)(),()( )0(2 xgexGxg Rind

HHe R 2

02 vev R

планковскаябрана

ТэВ-ная брана

Введем хиггс в рассмотрение (строго на 4D):

только нулевая мода гравитона учитывается!

Решение проблемы иерархийза счет стягивающего фактора !

Переопределим поле: