博士学位論文 - 工学院大学...博士学位論文 氏名(本籍) ( 学位の種類 学位記番号 学位授与年月日 学位授与の要件 学位論文題目 Daniel Shipwiisho
単位名 学部 : 天体輻射論 I 大学院:恒星物理学特論 IV 教官名...
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単位名 学部 : 天体輻射論 I 大学院:恒星物理学特論 IV
教官名 中田 好一授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。成績は「レポート+出欠」でつけます。レポート出題は今日が最終回です。授業の内容は下の HP に掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
I :線吸収 2006年12月11日
休講:1月15日、1月29日
固有振動数 νo の双極子モーメント p=‐qz が密度 N で散らばる媒質を考える。
この媒質の誘電率を ε とすると、 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E である。
この媒質を振動数 ν の電磁波 E が伝わる時、電磁波に起こる変化を求めよう。
p p
p
I.1.古典的双極子による吸収
媒質(屈折率 m=n- iκ )中で
E=Eo exp[ 2πi(νt – mkx)]
= Eo exp[2πi(νt – n kx+iκkx)]
電荷qの運動は、
γ=g/m, ( 2 πνo) 2=K/m, と置き、
入射電磁は真空中
(屈折率m=1)で
E=Eo exp[ 2πi(νt – kx)]
tieEqzKdt
dzg
dt
zdm 2
02
2
tiem
Eqz
dt
dz
dt
zd 20202
2
2
z=A exp(i2πνt) とおいて、 ( - (2πν)2 + i2πγν + (2πν0) 2 ) A= - (qEo/m)
z
- q
q
ν = νo で共振がおき、振幅が大きくなる。
双極子モーメント p= - qzは
24
222
1
220
2
20
220
0
i
e
m
Eqz
im
qEA
ti
24 22
0
2
20
2
i
e
m
Eqp
ti
従って、p= αE, (α= 感受率 susceptibility) とおくと、
2
1
4 220
2
2
im
q
ε=誘電率( dielectric constant )
複素屈折率 m=n - iκ 複素誘電率 ε =m2=(n - iκ)2
( refractivity ) ( dielectric constant )
次に、双極子モーメントpが密度 N で存在する媒質の誘電率 ε を求める。 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E
2
2220
2202
220
2
220
2
2
2
21
2
11
2
1
44141
i
m
Nq
im
Nq
im
qNN
星間空間では、誘電率 ε =1+ Δε とすると、 Δε <<1である。
したがって、m=1+( Δε/ 2)と近似できる。
mを実部と虚部に分けて、
2
00
2
22
00
2
2222
0
2
41
1
4
44
2
22
m
Nq
m
Nq
m
Nq
真空中 (m=1) で E=E0 exp[ 2πi(νt – kx)] の電磁波が
屈折率 m=nー i κ の空間に入ると、
E=E0 exp[ 2πi(νt – m kx)] = E0 exp[ -2πκkx)]exp[ 2πi(νt – n kx)]
となる。これは減衰する電磁波を表している
2
0
0
0
2
22
0
0
0
2
2222
0
220
2
41
41
4
41
2
21
m
Nq
m
Nq
m
Nqn
上では ν = ν 0付近のみを考えて、 (νo 2 –ν2)=2ν 0 (νo –ν) と近似している。
(Nq2/mνoγ)
0
κ
n-1
- 2(γ/4π)
02(γ/4π)
(νo –ν)
媒体の
複素屈折率
m=n-iκ
E=Eo exp[ 2πi(νt – ikx)] E=Eo ・ exp( - 2πκkx )・ exp[ 2πi(νt – nkx)]
X| E|2=Eo2 | E|2=Eo2exp( -4πκkx)
σ(ν) =双極子1個の吸収断面積 、
N=双極子の数密度とすると、
| E| 2= Eo2 exp( -Nσ x) である。
前ページの| E|2=Eo2exp( -4πκkx)
と比べると、
4πκ(ν)k(ν) = 4πκ(ν)(ν/c)=Nσ(ν)
D S
N=nSD = S×D の筒内粒子数透かして見ると、Sの内不透明部分の面積X=N σ = nSDσ入射光線F=ISが距離Dを通過する間に X/Sが失われるから、
dI= - I(X/S)= - I(nSDσ) /S= - I nσD= - IκD
σ =吸収断面積 ( m2 )n=粒子数密度 (m-3)
[ 復習 ] κ と σ の関係
2
0
2
2
00
2
41
1
)4(
1
41
14
cm
q
Nm
Nq
c
σ(ν)=(q2/mc) (4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2} の双極子が数密度nで
分布する媒質を考える。厚みLの媒質を通過した光は、
I(λ )
I ´ ( λ )=I( λ )exp(-nL σ(ν) )
I( λ )-I ´ ( λ )=I( λ ) [ 1-exp(-nL σ(ν) ) ]
弱吸収では、 [ I( λ )-I ´ ( λ ) ] / I( λ ) = nL σ(ν)
I.2.振動子強度 ( Oscillator Strength 、 f-value )
Wλ
F=0
Fc
λ
Fλ
等値巾 ( Equivalent Width) W=∫ [ I( λ )-I ´ ( λ ) ] / I( λ ) d λ
弱い吸収では上式より、
W = ∫nL σ(ν) d λ
=nL∫ σ(ν) d λ
I ´( λ )L
吸収断面積の積分からは γ が消える
σ(ν)
σ(ν) πa
νo-2γ /4π νo-γ /4π νo νo+γ /4π νo+2γ /4π
3 f[2mc2/(hγ /4π )]
2γ /4π
∫σ (ν)dν=πa2 α 32π fc/λ c
=(πq2/mc)f
νo-2γ/4π νo-γ/4π νo νo+γ/4π νo+2γ/4π
吸収断面積 σ(ν)
γ/2π積分値 = (πq2/mc)
は γ に依らない。
mc
qdx
xmc
qd
mc
qd
2
2
2
2
0
2
1
1
41
14
cmc
qd
ccdd
22
2
s/cm10654.210998.210109.9
10803.4 221028
2102
cm
e
e
(q2/mc)(4π/γ)
したがって、量子力学的双極子による吸収断面積は
結局、等値巾Wは吸収が弱い近似で計算すると、
ccm
qLndLndLnW
22 で、どの吸収線も強度は一定となる。しかし、実際には吸収線毎にその強度は様々な値を取る。古典的電気双極子モデルではこの違いを説明できなかった。
量子力学によって電気双極子の吸収を計算すると、古典電磁気学が与えた吸収断面積に f という係数をかければよいことが分かる。
f
41
1
)4(
12
0
2
cm
q
f = oscillator strength または f- 値 ( f-value) 。
f22
ccm
qLndLnW
また、等値巾Wは
概算の場合は、吸収線ピークの吸収断面積は線幅 D を使って、
σ p= (πq2/mc) (λ2/c) f/D = 2.654 ・10-2(cm2 sec- 1)f・ (λ2/Dc)
Hα : λ =0.65 μ =0.656 3 ・10-4cm D=0.00 01 μ =10-
8cm
c=2.998・1010cm /sec f=0.6407
を代入すると、 2172108
82
m104.2cm10998.210
106563.06407.002654.0
p
Hβ : λ =0.4861 μ =0.4861・10-4cm D=0.00 01 μ=10-8cm
c=2.998・1010cm /sec f=0. 1193
を代入すると、2182
108
82
m100.3cm10998.210
104861.01193.002654.0
p
例 1 : Lα線n=2 l=1 S=1/2 L=1 n=2 l=0 S=1/2 L=0
n=1 l=0 S=1/2 L=0
2P3/2
2P1/2
2S1/2
2S1/2
g=2
g=2
g=4 g=
2
g (1s2 S1/2) f(1s2 S1/22p 2 P 1 /2)=0.2774, f(1s2
S1/22p 2 P 1 /2) =0.1387
g (1s2 S1/2) f(1s2 S1/22p 2 P3/2)=0.5547, f(1s2
S1/22p 2 P3/2) =0.2774
g ( n= 1 ) f( n= 1 n=2)=0.2774+0.5547=0.8321, f( n= 1 n=2) =0.4161
振動子強度の例
selection rules
Δ l= ± 1
ΔS =0、 ΔL= 0、 ± 1、 ΔJ= 0、 ± 1 ( J=0J=0 、 L=0L=0 を除く)
例2: Hα3d2D5/2 3d2D3/2 3p2P3/2 3p2P1/2 3s2S1/2
g=6 g=4 g=4g=2 g=2
2p2P3/22p2P1/2 2s2S1/2g=4
g=2 g=2
transition gLfLU gL fLU
2s 2 S1/23p 2 P1/2 0.5796 2 0.2898
2s 2 S1/23p 2 P3/2 1.1592 2 0.5796
2p 2 P1/23s 2 S1/2 0.05434 2 0.02717
2p 2 P3/23s 2 S1/2 0.10468 4 0.02717
2p 2 P1/23d 2 D3/2 2.782 2 1.391
2p 2 P3/23d 2 D3/2 0.5564 4 0.1392
2p 2 P3/23d 2 D5/2 5.008 4 1.252
transition gLfLU gL fLU
2s3p 0.8694 2 0.4347
2p3s 0.08151 6 0.01358
2p3d 4.6732 6 0.6955
ターム間遷移(マルチプレット)のf-値
レベル間遷移(ライン)のf-値
Hα 線のf-値
23 5.1241 8 0.6405
I.3. Voigt Profile
速度Vで動いている原子に、静止系で振動数 ν の光が当たる。原子は光の振動を ν Dと見る。
v=V ν
2
0
2
41
1
)4(
f
cm
q静止している原子の吸収断面積は、
速度分布 f(V) で動く原子の
平均吸収断面積 σ T( ν )は ?
1.速度Vの原子の吸収断面積 σ V( ν )= σ ( ν D)
ここで、Vは光と同じ方向の速度成分であることに注意。
(ν D- ν)/ν= V /c ドップラーシフト
ν D= ν +(V /c) ν = ν +D
2.速度分布 f(V)、∫f(V)dV=1で規格化、 の原子の平均吸収断面積は
σ T( ν )=∫ σ V( ν )f(V)dV=∫ σ ( ν D)f(V)dV
で与えられる。
2
0
2
2
0
2
41
1
)4(
f
41
1
)4(
f
Dcm
q
cm
q
D
D
D=(V /c) ν なので、
dDD
dDc
V
cD
V
dVV
V
VdVVf
DD
2
2
02
02
0
22
0
20
2
0
exp1
exp1
exp1
)(
c
VD
00 ただし、
3. σ T( ν )=∫ σ ( ν D)f(V)dV をDの積分で表示すると、
dDD
Dcm
q
dVVf
DD
DT
2
2
2
0
2
exp1
41
1
)4(
f
)(
4. ν Dで規格化する。DDD
uaD
x
0
4
u,aVcm
q
dxxua
ea
cm
q
dxx
axuacm
q
x
D
DT
f
1f
exp
1
11f
2
2223
2
22
2
2
a=0.03
a=0
σT(ν)
ν
= Voigt function
∫V(u,a)du=1
dxxua
eau,aV
x
D
2223
2
1
Dcm
q
f2
101
2101
3101
41010 D 20 D 40 D 60
熱運動をする気体原子の平均吸収断面積 σT(ν)
DDD
uaD
x
0
4
=ドップラーシフト
ν D=熱運動に
よるドップラー巾
=吸収線自然巾 =中心周波数との差
ドップラー
核
ローレンツ
ウィング
D
za
D
az
D
x
D
dzz
edz
aza
ea
dxxa
eaa,uV
1
1
111
110
222
2
23
2223
222
2
Voigt関数の性質(1)a << 1の場合 (自然巾<<熱運動の巾、大抵の吸収線では成立)
f12
0
D
T cm
q
uxGxH
dxxGxH
dxxua
eau,aV
D
D
x
D
01
1
12223
2
x
1/(aπ)
2a
‐u
22
1
xua
axH
H or G
21 xexG
(2)
(3) H(u=0) << G(x=-u) 、 大体 u <≒1、 の領域では
D
xeu,aV
2
2
02
exp1
fDD
T cm
q
(4 ) H(u=0) >> G(x=-u) 、大体 1<<u 、の領域では
22
1
ua
au,aV
D
原子の熱運動によるドップラーシフトが支配的でガウス型のプロファイルとなる。吸収線の中央部分なので、ドップラーコアとも呼ばれる。
202
2
2
2
22
2
4
1f
1f
1f
cm
q
u
a
cm
q
ua
a
cm
q
D
DT
吸収線中心から離れるとドップラーシフトの影響が弱くなり、静止原子のローレンツ型プロファイルが再び出現する。
I.4. 線形大気での吸収線形成吸収線形成を簡単なモデルで考えるために、次のような沢山の仮定をする。
(1) 局所平衡(LTE)
S λ ( τ R)=B λ[T( τ R) ] ( τ R=ロスランド光学深さ)
(2) エディントンモデル
T( τ R)4=(3 /4)Te4 ( τ R+2 /3)
(3) 線形大気
S λ ( τ R)= Aλ + B λ ・ τλ
生憎、(1)と(3)は厳密には両立しない。そこで、(1)を τ R=0のまわりで一次式で展開して近似的に(3)と考える。
R
ToTR
ToT
RToT
RRToT
RR
Td
dBToB
Td
dBToB
To
Te
dT
dBToB
d
dT
dT
dBTBTB
R
ln8
3
ln8
3
16
3
0
3
4
0
したがって、(3)において、
R
ToTTd
dBBToBA
ln8
3,
と見なせば、(3)を(1)と両立させうる。
線形大気S( τ )=A+B τ の大気表面からのフラックスは
F= π[A+B・(2 /3) ] = πS( τ =2 /3)である。したがって、
RRTBTBF
3
2
3
2
または、
3
2
ln8
3
3
2
R
ToTTd
dBToBbaF
この式から分かるように、F λ = α +( β/τλ )の形をしていて、 τλ が
大きい所ではF λ が小さくなる。これが、吸収係数が大きい波長で吸収線が現れる原因である。
τ R = 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
τλ=2/3
κλ
大気表面
λ
λ L
もう少し物理的に考えると。
吸収係数が次の図のように、 λ = λ Lで盛り上がっているとする。 λ Lでは吸収が強いので、浅いところで τ L=2 / 3に達する。浅いためにそこの温度は低い。 浅いので温度
が低く、フラックスが小さい。
深いので温度が高く、フラックスが大きい。
吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみよう。
λ = λ Lの付近で、 κ = κ C+ κ Lとする。
1ln4
1
1ln4
1
ln4
1
ln4
1
C
L
L
R
ToT
C
L
C
L
C
R
ToTC
R
ToT
R
ToT
Td
dBToB
Td
dB
Td
dBToBF
Td
dBToBF
λ Lλ
κ ( λ)
κ C
1
11
1
1
C
L
L
R
C
L
C
L
C
RR
C
LC
R
LC
RR
に注意して、前々頁のFの式を書き直すと、
前頁の式を検討すると、まず、下から2行目に出てくる
C
R
ToTTd
dBToBFc
ln4
1
は λ L付近での連続スペクトルとなっていることがわかる。
連続スペクトルの強さは、 κ Cと κ Rの強さの比で決まる。
κ R< κ C Fo<Fe= π B(Te)
κ R> κ C Fo>Fe= π B(Te)
次に下から2行目の最後の項
は、吸収線を表す。吸収が弱い( κ L< κ C)場合、吸収の深さが κ Lに比例することがわかる。
最後の行の
C
L
C
R
ToTA Td
dBF
ln4
L
R
ToTL
R
ToT Td
dBFo
Td
dBToBF
ln4ln4
1
は吸収が強い場合には、大気の表面(T=To)しか見通せないことを示している。
図示すると以下のようである。弱いライン
3
2R
C
RR
3
2
C
L
C
RR
1
3
2
0R 大気表面T=To
ライン波長で見通せる深さ
連続光波長で見通せる深さ
有効温度T=Teの深さ
強いライン
3
2R
C
RR
3
2
L
RR
3
2
0R 大気表面(T=To)≒ ライン波長で見通せる深さ
連続光波長で見通せる深さ
有効温度T=Teの深さ
ピュアな吸収の場合、強い吸収の極限はT=Toの大気表面からの輻射がスペクトルの底になる。
λ
Fc( λ )
F( λ
)
Fo( λ )
κ Lと共に深くなる
κ Lが非常に強いと吸収線の底が飽和する
吸収線の強度につれての形の変化
))
I.5.等値巾 W ( Equivalent Width )
吸収線の近くのみを考え、連続吸収の強度 κ C=一定、吸収線では
κλ = κ C+ κ Lとする。 F λ = πB λ[T( τλ = 2/3)] であるが、
τλ =(2 /3)の深さは連続光では τ C=( 2/3)(κC/κλ) < 2/3 に対応する。
C
3
2
3
2CTBTBF
展開して、
C
L
CC
Cd
dBTBF
3
2
3
2
3/2
C
L
LCC
13
2
3
2
3
2 CC
弱い吸収では κL<<κC なので、
線輪郭( line profile )
R λ
F λ
CC
L
C
L
CC
C
d
Bd
d
dB
BF
FFR
ln
3
2
3
21
λ
1
0
等値巾 Wλ=∫Rλdλ
λ
R λWλ
1
0
弱いライン:
d
d
Bdd
d
BddRW L
CCCC
L ln1
3
2ln
3
2
=光球( τ C= 2/3)までの原子数
f222
mc
q
cnd
cndnd LLLLLL
LLCC
L NnLn
3
2
3
2
fln 22
mc
q
cd
BdNW
CL
1
ln
3
2 00
CC
L
d
BdR
ドップラーコア:
10 Rマクスウェル速度分布: dN= (N / Vo π1/ 2 ) ・ exp[ - (V/Vo)2]・dV
ここに、 Vo = (2kT /μ mH) 1/2
V ーー> λ = λo (1 + V/c) = λo +D
ドップラーシフト分布: dN= (N /λ D π1/ 2 ) ・exp [ - (λ- λo)2/ λ D2 ] ・dD ここに、 λ D= λo ・ Vo /c
F λ /FC1
0λλo λ1
Bλ(τC= 0 ) ――――― Bλ(τC=2/3)
D
R (λ1) =Dとなる λ1 より内側ではR=Dで飽和する。
2
020
2
exp1
fDD
L ccm
q
Dccm
q
d
BdN
Dccm
q
d
BdN
ccm
q
d
BdND
DCLD
DCL
D
DDCL
20
2
01
20
22
01
2
0120
2
1lnf
1f
lnexp
exp1
fln
F λ /FC1
0λλo λ1
Bλ(τC= 0 ) ――――― Bλ(τC=2/3)
D
R (λ1) =Dとなる λ1 より内側ではR=Dで飽和する。
2
020
2
exp1
fDD
L ccm
q
Dccm
q
d
BdN
Dccm
q
d
BdN
ccm
q
d
BdND
DCLD
DCL
D
DDCL
20
2
01
20
22
01
2
0120
2
1lnfln
1f
lnexp
exp1
fln
Dccm
q
d
BdNDW
DCLD
20
2 1lnfln2
この時期はドプラーコアの吸収のみ
で、吸収量Wの増加は小さい。
ローレンツウィング (Ro>>1)
F λ /FC
1
0λ
Bλ(τC= 0 ) ――――― Bλ(τC=2/3)
D
λ1λo
非常に強いラインでは、ドップラーコアは完全につぶれてしまい、ウイング
部分が飽和するようになる。ウィングの形はローレンツ型。
1
fc
1
11f
c
20
2
02
0
20
2
cm
q
cm
qLL
Dccm
q
d
BdN
Dccm
q
d
BdN
ccm
q
d
BdND
CL
CL
CL
1f
1ln
1f
ln
1f
ln
2
001
20
22
01
201
20
2
Dccm
q
d
BdNDW
CL
1
f1ln
22
0
弱いライン
I.6.成長曲線 (Curve of Growth)
D
LC
LL
CLL
DCL
D
CL
mc
q
cd
BdNX
D
X
Dd
BdN
Dmc
q
cd
BdN
D
W
mc
q
cd
BdNW
1f
ln
ln
1f
ln
fln
22
000
0
0
22
22
ドップラーコア
ローレンツウィング
D
X
D
W
D
XD
Dccm
q
d
BdNDW
DD
DCLD
00
20
2
ln2ln2
1lnfln2
1f
22
11f
ln2
1f
ln2
220
0
00
220
20
2
cm
q
c
D
X
D
W
D
XD
Dcm
q
cd
BdND
Dccm
q
d
BdNDW
L
DDDD
CL
CL
log (X 0 / D ) log(π1/2 X 0 / D ) log{ 2 [ ln (X 0 /D)] 1 / 2 } log{ 2 (Λ/λ D ) (X 0 / D )1/2
}
-2 . 0 -1.75
-1 . 0 -0.75 δ/λ D
-0 . 5 -1.25 0.1 0.01
0 . 0 0.25 -0.70
0 . 5 0.75 0.33 -0.45
1 . 0 1.25 0.48 -0.20
1 . 5 0.57 0.05
2 . 0 0.63 0.30
3 . 0 0.72 0.80
-0.20
3 .5 0.75 1.05
0.05
4 . 0 0.78 1.30
0.30
5 . 0 0.83 1.80
0.80
弱ライン、ドップラーコア飽和、ウィング飽和に対するlog(W / Dλ D )の近似値
( δ/λ D =0.1 、 0.01 )
-2 -1 0 1 2 3 4 5
log X0/D
0
-1
-2
1
2
Log(W/Dλ D)
成長曲線( Λ/λ D =0.1 )
星間ガスは低温なので、可視域ではその放射を無視できる。したがって、星間ガスによる恒星の光の吸収に対する吸収は、 I =Io exp(- τ )で表される。
吸収原子のコラム数密度=Nとすると、 τ ( λ)=N σ ( λ)である。
また、 Λ/λ D=0 .1とする。
授業では温度勾配のある恒星大気での吸収線の成長曲線を扱った。星間空間での
吸収に対する成長曲線を以下の順で考えよ。
1) 吸収が弱いときの等値巾Wを求めよ。
2) Nが増加して、吸収が強くなったときのWの近似式を授業にならって求めよ。
3) この吸収の成長曲線を求め、グラフにせよ。Xoとしてはどんな式が適当か?
レポート問題 I 出題1 2 月 11 日 提出12月1 8 日
レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。