ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА I....

К Н И Г А Т Р Е Т Ь Я .

ПОДОБИЕ.

ГЛАВА I.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.

105. Известо, что пропорцией называется равенство двух отношений и что две величины называются пропорциональными, если их значения соответствуют друг другу таким образом, что отношение двух каких-либо значений первой равно отношению соответствующих значений второй. Так, два отрезка АВ, CD называются пропорциональными отрезкам ArBr, CD\ если имеет место равенство

АВ ___А’В'CD — СП *

АВ106. В предыдущем равенстве обозначает отношение двухотрезков АВ и CD; однако мы будем применять здесь и в дальнейшем соглашение, установленное в п. 18, и, выбрав произвольного раз навсегда единицу длины, заменим самые отрезки числами, которые

* АВ мера АВих измеряют: таким образом, означает 'мера qq* Мы имеем правотак поступить, так как такой заменой мы отнюдь не изменили величины отношения, что следует из приведённой уже теоремы (п. 17, 2°).

Мы можем применять вследствие этого к отношению отрезков свойства, доказываемые в курсах арифметики для отношения чисел, как, например, следующие:

Отношение не изменяется, если умножить или разделить оба его члена на одно и то же число.

Чтобы перемножить два отношения, перемножают их предыдущие и их последующие члены.

В ряде равных отношений сумма предыдущих членов так относится к сумме последующих, как один из предыдущих относится к своему последующему.

Точно так же к пропорциям, составленным из отрезков, мы сможем применять свойства пропорций, составленных из чисел, как, например, следующие:

В каждой пропорции:1) произведение крайних членов равно произведению средних;

2) можно переставить крайние или средние члены;3) сумма (или разность) членов первого отношения относится

к одному из них как сумма (или разность) членов второго отношения к соответствующему члену второго отношения.

1 0 8 КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ

Обратно, каждое из равенств, полученных таким образом, мечет за собой первоначальную пропорцию.

гг, ас1ак, равенство — эквивалентно следующим:

ad=bc,± = ±; a-±-b = c-±*;с d ’ b d ’ Ь

т. е. каждое из этих равенств влечёт за собой все остальные.В частности, если известно, что три точки прямой А, В, С

(черт. 113) следуют одна за другой в том же порядке, как триточки прямой А', В', С', то

Л В С—I------1--------- 1— пропорции

АВ А'В' АВ А'В'д' В’ С' ВС В'С" АС~~А'С'’

* + ------------------------------------ 1-------------------------- АС _ А СЧерт. 113. вс в'с>

эквивалентны друг другу.Напомним также, что зная три члена пропорции, можно

найти неизвестный член: пропорция ~ = ~ даёт, если предположить, что известны а, b и с:

^ Ь • са *

Этот член d называется четвёртым пропорциональным к количествам а, Ь> с.

Очевидно, что в двух пропорциях, у которых три соответствующих члена общие, четвёртые члены равны между собой.

107. Говорят, что число b есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) между двумя другими числами а и с, если можно написать пропорцию, у которой крайние члены равны а и с, а оба средних члена равны Ь:

а __ bb с *

Это равенство эквивалентно следующему:№ = ас,

так что для того, чтобы найти среднее пропорциональное между двумя числами а и с, нужно извлечь квадратный корень из произведения этих двух чисел. Число с называется иногда третьим пропорциональным к числам а и Ь.

Разумеется, согласно предыдущим условиям мы скажем, что отрезок b есть среднее пропорциональное или среднее геометриче

ское между двумя другими отрезками а и с, если число, измеряющее b, есть среднее пропорциональное между числами, измеряющими

отрезки а и с, т. е. если из трёх чисел (или, что то же самое, из

глава i. Пропорциональные отрезки

трёх отрезков) можно составить пропорцию:а Ьb с *

108. Существует точка, и притом только одна, которая делит данный отрезок в данном отношении.

X д MB Mf М, XЧерт. 114.

В самом деле, пусть даны: отрезок Л5 (черт. 114) и отношение г.

Надо найти такую точку Ж, чтобы ^~=г, это равенство можно написать в виде пропорции:

АМ_ г МВ~ 1 ’

а эта пропорция эквивалентна пропорции:AM г АВ — 1 + г’

которая верна для одного и только одного значения AM:

АМ — АВ • r-f-.1+гОпределённый, таким образом, отрезок меньше АВ. Откладывая

его на АВ от точки А, получим точку М, удовлетворяющую данному условию.

109. Рассмотрим точку М, которая перемещается по отрезку АВ от точки А к точке В. Отношение всё время возрастает, так

как возрастает числитель, в то время как знаменатель убывает. Это отношение согласно предыдущему предложению может принять вообще любое данное значение, в частности сколь угодно малое (если точка М достаточно близка к Л) и сколь угодно большое (если точка М достаточно близка к В). Короче говоря, это отношение, начиная от 0, всё время возрастает и притом неограниченно, если точка М перемещается из А в В.

АМ ]110. Изучим теперь отношение когда точка М! (черт. 114)

АМ*находится на продолжении отрезка АВ. Отношение называется

при этом отношением, в котором точка Мг делит отрезок АВ внешним образом.

Существует точка, и притом только одна, которая делит внешним образом данный отрезок в данном отношении, при условии, что это отношение отлично от 1.

по книга третья. Подобие

В самом деле, пусть требуется найти на продолжении АВ такую точку М\ для которой отношение было бы равно какому-либо

данному числу г. Предположим для определённости, что r^> 1; в данном случае мы должны искать точку Мг на продолжении отрезка АВ

AM1 тза точку В. Пропорция — у эквивалентна пропорции

AM г АВ — г—Г

которой удовлетворяет одно и только' одно значение AM!:

AM’ = АВ • jrzn ■

Этот отрезок больше АВ (^так как больше 1 j. Откладывая его

от точки А в направлении АВ, мы получим точку NV, которая отвечает условию вопроса. Если бы отношение г было меньше 1, то аналогичное рассуждение дало бы

АМ’ = АВ.^-г-

отрезок, который, будучи отложен от точки А в направлении, противоположном направлению отрезка АВ, даёт точку М\ Предложение, таким образом, доказано.

Рассмотрим точку М\ которая, выходя из точки В, беспредельноАМ]

удаляется в направлении ВХ (черт. 114). Отношение больше 1.Если точка, удаляясь, переходит из положения № в положение М[у

то эго отношение приближается к 1, так как мы переходим от от-АМ АМ[ *ношения к отношению приоавляя одну и ту же величину

МГМ[ к обоим членам. К тому же это отношение может принимать все значения (большие 1), в частности сколь угодно большие значения (если точка Мг достаточно близка к В) и значения, сколь угодно близкие к 1 (если точка М1 достаточно удалена).

Короче говоря, отношение начиная с бесконечности, всёвремя уменьшается и стремится к 1, если точка М движется от точки В и неограниченно удаляется в направлении ВХ.

Точно так же мы убедимся, что если точка МТ движется от А и неограниченно удаляется в направлении АХ (черт. 114),

АМто отношение начиная от нуля, все время возрастает и стремится к 1.

111. Определение. Две точки С и D (черт. 115), которые делят, одна внутренним образом, другая внешним образом, один и тот же отрезок АВ в одном и том же отношении, называются гармони

ГЛАВА I. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ 1 1 1

чески сопряжёнными относительно концов этого отрезка (говорят ещё, что они делят гармонически этот отрезок).

Если отрезок CD be лит гармонически отрезок АВ, то и обратно, последний отрезок делит гармонически первый, так как

СА DAиз пропорции — перестановкой средних членов получается:СА СВDA DB *

Любая точка, взятая на данном отрезке АВ или на одном из его продолжений, имеет гармонически сопряжённую точку относительно концов данного отрезка, за исключением середины I отрезка АВ

AI(так как отношение равно 1)1).

Два отрезка, которые делят друг друга гармонически, частично заходят друг на друга (это значит, что ни один из двух отрезков не лежит целиком ни внутри, ни вне другого),

I —I— t-—tс ’ С В D D 9

Черт. 115.

112. Напротив, два отрезка CD, CD\ которые делят гармонически один и тот же третий отрезок АВ, лежат целиком либо один вне другого, либо один внутри другого.

С А С* АВ самом деле, если отношения ^ и таковы, что одно из

них больше 1, другое меньше 1, то отрезки CD, CDr являются внешними один относительно другого: они расположены по разные стороны от середины / отрезка АВ. Если это не так (черт. 115) и если, например, оба отношения, о которых мы только что говорили, больше 1, то оба отрезка CD и CD1 лежат по одну сторону от точки I и оба содержат точку В. Но рассуждения пп. 109—110 доказывают, что отношение приближается к 1, если удаляться от

точки В в том или ином направлении (по крайней мере не переходя через точку /). Следовательно, тот из двух отрезков, который соответствует отношению, более близкому к 1, содержит второй отрезок внутри себя.

113. Основная теорема. Любые две секущие рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части.

*) Точку, гармонически сопряжённую с точкой /, следует рассматривать как удалившуюся в бесконечность. Под этими словами мы понимаем, что

AM , AIотношение стремится к 1, т. е. к значению —, если точка М неогра

ниченно удаляется.

112 КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ

Пусть ABCD и ArBrCrDr — две секущие, пересечённые параллельными прямыми АА\ ВВ\ СС\ DD\ Точки А\ В\ С\ D1 следуют друг за другом в том же порядке, как и точки А, В, С, D (в противном случае две из прямых АА\ ВВ\ СС\ DD' пересекались бы).

CD CfD'Я утверждаю, что имеет место равенство Мы будем различать два случая:1°. Если отрезки АВ и CD равны между собой (черт. 116),

то отрезки А!В1 и CDf также равны между собой.Действительно, проведём через точку В прямую ВЬ, параллельную

AfB\ до её пересечения с AN в точке b, а через точку D — пря-

соответственные; следовательно, имеем: Bb — Dd. Но ВЬ и Dd соответственно равны А’В1 и CD\ как это видно из параллелограммов BbAfB! и DdCD\

2°. Общий случай *). Пусть А, В, С, D — произвольные точки;CD CfD*докажем, что значения обоих отношений — и -^у, взятые с точ

ностью до ~, равны, каково бы ни было п.

Пусть, например, п — Ъ\ разделим АВ на пять равных частей точками 1, 2, 3, 4 (черт. 117) и предположим, что пятая часть отрезка АВ содержится в отрезке CD больше, чем 2 раза, но меньше, чем Зраза; пусть 1,11, III—конечные точки трёх отрезков, равных пятой части АВ и последовательно отложенных на прямой CD от точки С, так что точки I и II лежат между С и D (точка II может совпасть также с D), точка III—по ту сторону точки D.

х) Доказательство может считаться законченным, если опираться на следующую теорему, которую мы уже приводили: две величины пропорциональны, если: 1) одному и тому же значению первой соответствует всегда одно и то же значение второй и 2) сумме двух значений первой величины соответствует сумма двух соответствующих значений второй.

Первое условие в данном случае выполняется, как это доказано в тексте (1°), второе условие, очевидно, также выполняется в силу того, что соответственные точки следуют на прямых ABCD и A'B’C'D' в одном и том же порядке. В тексте мы воспроизводим доказательство общей теоремы, применяя это доказательство к данному случаю.

Черт. 116.

мую Dd, параллельную той же прямой, до её пересечения с СС в точке d. Если AB — CD, то два треугольника АВЬ и CDd равны между собой, так как стороны АВ и CD равны между собой и углы того и другого треугольника, примыкающие к этим сторонам, также равны друг другу как

ГЛАВА I. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ 113

Через все эти точки 1, 2, 3, 4, I, II, III проводим прямые, параллельные прямым АА\ ВВ\ СС\ DD1 до пересечения в точках Г, 2\ Зг, 4Г, Г, IF, IIF с прямой ArBrC!Dr. Мы разделили, таким образом, отрезок АГВ' на пять равных частей и отложили три раза одну из этих частей от точки С1 в направлении CD1 (1°). Точки /г, IF находятся в интервале CD\ а точка IIF — по ту сторону точки D1

Черт, 117. Черт. 118.

сторон и АС

(в силу замечания, сделанного в самом начале доказательства). Теорема доказана.

114. Теорема. Прямая DE, параллельная одной из треугольника ABC, делит две другие стороны АВ на пропорциональные части (черт. 118).

Действительно, если мы проведём через вершину А прямую XV, параллельную ВС, то согласно предыдущей теореме параллельные ВС, DE, XY делят секущие АВ, АС на пропорциональные части.

П р и м е ч а н и е . Прямая, о которой идёт речь, может делить каждую из сторон треугольника внутренним образом или внешним образом; однако она делит обе стороны треугольника одинаковым образом.

Обратная теорема. Если прямая делит две стороны треугольника на пропорциональные части, то она параллельна третьей стороне.

Пусть DE — прямая, которая делит стороны АВ и АС на пропорциональные части (черт. 119).

Проведём через точку D прямую, параллельную ВС, и пусть Ег —АЕ'точка, где эта параллельная пересекает АС. Отношение равно

adотношению ^ (по предыдущей теореме) и, следовательно, отноше-

Черт. 119.


Черт. 12®дем иметь:

АЕ нию..-=г^ (по условию). Следовательно, точки Е и Ег совпадають С/(п. 108), и прямая DE параллельна ВС.

115. Теорема. Во всяком треугольнике:1°. биссектриса любого угла делит противоположную сторону

на части, пропорциональные прилежащим сторонам;2°. биссектриса внешнего угла делит противоположную сторону

внешним образом на две части, также пропорциональные прилежащим сторонам.

1°. Пусть AD — биссектриса угла А треугольника ABC (черт. 120).

л BD АВЯ хочу доказать, что ^ =

С этой целью проведём прямую СЕ, параллельную AD, до пересечения в точке Е с АВ. Тогда в треугольнике BAD, пересечённом прямой СЕ, параллельной AD, бу-

BD_BA DC АЕ'

Но треугольник АСЕ имеет при вершинах Е и С равные углы, как равные соответственно двум половинам — Z 1 и Z 2 угла А (Z. Е= Z. 1 как соответственные, как внутренние накрест-лежащие); следовательно, этот треугольник — равнобедренный, и в предыдущей пропор- ^ции можно заменить ^АЕ через АС, откуда и следует теорема.

2°. Биссектриса AF внешнего угла А (черт. 121) треугольника ABC пересекает продолжение стороны ВС в точке F (если

BF АВтреугольник — не равнобедренный). Мы хотим доказать, что 7Т= = -—О г* -ДиДоказательство вполне аналогично предыдущему. Проведём через

точку С прямую CG, параллельную AF, и заметим, что: 1) параллель-BF В Аные прямые СО и AF дают пропорцию ^=^4 и 2) треугольник

ACG — равнобедренный (как имеющий в точках С и G углы, соответственно равные двум половинам внешнего угла при вершине А и, следовательно, равные между собой), что позволяет заменить AG через АС.

П р и м е ч а н и е . Мы видим, что биссектриса угла треугольника и биссектриса прилежащего внешнего угла делят гармонически противоположную сторону.

ГЛАВА I. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ 115

Обратная теорема. 1°. Если прямая, выходящая из вершины треугольника, делит внутренним образом противоположную сторону на части, пропорциональные двум прилежащим сторонам, то она является биссектрисой угла при вершине.

2°. Если прямая, выходящая из вершины треугольника, делит внешним образом противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то она является биссектрисой соответствующего внешнего угла.

Так как имеется только одна точка (п. 108), которая делит внутренним образом сторону ВС (черт. 120) на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то эта точка и есть основание биссектрисы угла А. Точно так же имеется лишь одна точка (п. 110), которая делит внешним образом сторону ВС (черт. 121) на части, пропорциональные прилежащим сторонам; эта точка и есть основание биссектрисы внешнего угла А.

116. Теорема. Геометрическое место точек, расстояния которых от двух данных точек находятся между собой в данном отношении (отличном от 1), есть окружность.

Пусть А и В (черт. 122)—данные две точки; требуется найти геометрическое место таких точек М, чтобы отношение

было равно данному чис

лу пиСуществуют две точки это

го геометрического места, одна С на отрезке АВ, другая D на его продолжении.Это те точки, о существовании которых мы знаем из пп. 108—110. Пусть затем М есть какая-либо точка искомого гео- Черт. 122.метрического места точек. Прямая МС, которая делит отрезок АВ на части СА и СВ, пропорциональные отрезкам МА и MB, есть биссектриса угла при М треугольника АМВ. Прямая MD, которая делит внешним образом сторону АВ этого треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам, есть биссектриса внешнего угла при точке М. Эти две прямые взаимно перпендикулярны (п. 15 а), и точка М, следовательно, принадлежит окружности О, описанной на CD, как на диаметре (п. 78).

Обратно, предположим, что точка М лежит на окружности О. Проведём через точку М прямую МА!, симметричную с MB относительно МС, и пусть Аг — точка, в которой она пересекает прямую АВ. Так как прямые MCiaMD — биссектрисы угла А!MB и его пополнительного угла, то точка А! гармонически сопряжена с точкой В относительно концов отрезка CD (п. 115, примечание); поэтому она совпадает с точкой А. Так как прямые МС и MD — биссектрисы угла

Il6 ЙНИ^Л ТРЕТЬЯ. ЙОДОБИЁ

АМВ и его пополнительного угла, то имеет место зависимость

МЛ С Амв — св — т‘

Следствие. Если разделить гармонически диаметр окружности точками А и В, то отношение расстояний любой точки окружности до двух точек А и В постоянно.

УПРАЖНЕНИЯ.

124. На двух определённых прямых откладывают от двух определённых точек А и В} соответственно лежащих на этих прямых, два отрезка AM и BN, которые изменяются пропорционально друг другу, и через точки М и N проводят прямые, соответственно параллельные двум другим данным прямым. Найти геометрическое место точек пересечения построенных таким образом прямых.

125. Две секущие, выходящие из одной точки окружности, делят гармонически диаметр, перпендикулярный к прямой, соединяющей их необщие концы (доказать).

126. В какой области плоскости расположены такие точки, отношение расстояний которых до двух данных точек А и В больше заданного числа (пп. 112,71)?

127. Найти точку, расстояния которой от вершин треугольника пропорциональны заданным числам.

Эта задача, если она возможна, имеет вообще два решения. Доказать, что две точки, отвечающие условию, лежат на одном и том же диаметре круга, описанного около данного треугольника, и делят гармонически этот диаметр.

128. Через общую точку А двух окружностей проводят произвольную секущую, которая вторично пересекает окружности в точках М и Мf. Найти геометрическое место точек, делящих отрезок ММ1 в данном отношении упр. 65).

ГЛАВА П.

ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

117. Определение. Два треугольника называются подобными, когда они имеют равные углы и их соответственные стороны пропорциональны.

П р и м е ч а н и е . Два равных треугольника тем самым подобны. Два треугольника, подобные одному и тому же третьему, подобны между собой; в частности, если два треугольника подобны, то любой треугольник, равный первому, подобен второму.

Лемма. Всякая прямая, параллельная одной из сторон треугольника, образует с двумя другими его сторонами треугольник, подобный первому.

Пусть DE — прямая, параллельная стороне ВС треугольника ABC (черт. 123). Я утверждаю, что новый треугольник ADE подобен треугольнику ABC.

глАбл и. Подобие треугольников ii?

Прежде всего углы обоих треугольников попарно равны, так как угол при вершине А — общий, и углы D и В, Е и С равны как соответственные.

Во-вторых, мы имеем (п. 114):AD АЕ

— и нам остаётся только АВ АС

доказать, что общее значение этих двух отношений равно значению DEотношения 777s.

Для этого проводим через точку D прямую DF, параллельную АС, так, чтобы получить параллелограмм DECF.

Прямая DF делит стороны В А и ВС на пропорциональные части; следовательно, имеем:

DEВС'

FC'ВС'

АР: АВ *

П р и м е ч а н и е . Прямая DE может быть внутренней по отношению к треугольнику (черт. 123) или внешней (черт. 124 и 125), что не изменяет доказательства.

Д

Черт. 124.

Однако в случае, данном на чертеже 125, необщие углы обоих треугольников, лежащие против соответственных сторон, равны между собой не как соответственные, а как внутренние накрестлежащие.

118. Следующие предложения, известные под названием признаков подобия треугольников, дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы два треугольника были подобны.

Первый признак подобия. Два треугольника подобны, если они имеют по два угла, соответственно равных друг другу.

Пусть ABC и АГВГС—треугольники, в которых А= ^ Аг и Бг (черт. 126). Я откладываю на АВ отрезок AD = AFBr и

провожу через точку D параллель DE к стороне ВС. Треугольник ADE подобен ABC (по предыдущей лемме); .кроме того, он равен АГВГСГ, как имеющий с ним соответственно равные углы и равную сторону.

Второй признак подобия. Два треугольника подобны, если они имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными сторонами.


Пусть ABC и А1 В1 С — треугольники, у которых А= /яАг и АВ А'В1’АС===АГС' (чеРт* 1^6). Отложим на стороне АВ отрезок AD = АГВГ

и проведём параллель DE к стороне ВС. Треугольник ADE подобентреугольнику ABC. Он равен треугольнику АГВГС\ как имеющий сним равный угол А — Аг), заключённый между соответственноравными сторонами. Действительно, AD равна АГВГ по построению, и

АВ А'В' АВ ADиз двух пропорций — = —(условие) и = ^, имеющих потри общих члена, следует, что АГСГ = АЕ.

Третий признак подобия. Два треугольника подобны, если три стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Черт. 125.

В С В ’ С 9

Черт. 126.

АВ АС ВСПусть ABC и АТВТСТ — треугольники, в которых /\ lj Л и Jd С/

Отложим на АВ отрезок AD = ArBr и проведём параллель DE к стороне ВС. Треугольник ADE, подобный треугольнику ABC, равен треугольнику АВТС\ так как их стороны соответственно равны; действи-

АВ АСтельно, AD — ArBr по построению, а из пропорций —- = —- и /\LJ /\ Lj

= (предыдущий пункт), имеющих по три равных члена соответ-AL/ LJCj

АВ АСственно с пропорциями, данными в условии теоремы: и

Ш' = Ш" следУет> чт0 АЕ = АгС И DE=B’C'.П р и м е ч а н и е . Определение подобных треугольников содержит

пять условий: три выражаются равенством соответственных углов, два — пропорциональностью сторон.

Следствие III п. 44 показывает, что можно опустить одно из трёх, первых условий, что сводит общее число условий к четырём.

Но признаки подобия, которые мы рассматривали, позволяют заключить, что достаточно двух (надлежащим образом выбранных) условий из числа пяти первоначальных.

119. Теорема. Два треугольника, стороны которых соответственно параллельны или перпендикулярны, подобны.

Действительно, в данном случае углы обоих треугольников соответственно или равны, или пополнительны (п. 43), так что (если ABC и

ГЛАВА II. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 119

А'В'С — данные треугольники) имеем:А = А! или A-\-A' = 2d,В = ВГ или В — Br = 2d,С—С' или С — Сг= 2d.

Три равенства второго столбца не могут быть одновременно верны, иначе общая сумма углов в двух треугольниках была бы равна шести прямым, а не четырём. Два из тех же равенств также не могут существовать одновременно; например, нельзя иметь в одно и то же время А-\-А'= 2d и В В ' — 2d, так как в таком случае общая сумма углов равнялась бы 4d -|- С -f- С'. Следует поэтому взять по крайней мере два равенства из первого столбца, и таким образом треугольники имеют по два соответственно равных угла (первый признак подобия).

120. Теорема. Два прямоугольных треугольника подобны, если отношение одного из катетов к гипотенузе одно и то же в обоих треугольниках.

Действительно, мы можем поступить как в п. 118 и построить третий треугольник, подобный первому и имеющий ту же гипотенузу, что и второй. Второй и третий треугольники имеют, таким образом, ещё и по равному катету и будут равны по второму признаку равенства прямоугольных треугольников.

П р и м е ч а н и е . Кроме этого признака подобия можно, конечно, применять к прямоугольным треугольникам признаки подобия произвольных треугольников. Например, два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу (первый признак подобия произвольных треугольников) или если их катеты пропорциональны (второй признак подобия треугольников).

121. Теорема. Пучок прямых, проходящих через одну точку, отсекает на двух параллельных прямых пропорциональные отрезки.

Пусть, например, SAA\ SBBr, SCCr (черт. 127) — три прямые, проходящиечерез одну точку, которые пересекают обе параллельные прямые ABC и А'В'С.

Из подобия треугольников SAB и SA'Br (п. 117) имеем:А'В’ SBr

АВ ~SB ’

и из подобных треугольников SBC и SB'C':В’С' _ SB'ВС ~~SB ’

откуда следует пропорциональность отрезков А!ВТ и В'С отрезкам АВ и ВС.


П р и м е ч а н и е . Каждые два отрезка, соответствующие друг другу, направлены либо в одну и ту же сторону, либо в противоположные стороны, в зависимости от того, лежит ли точка 5 вне обеих параллельных прямых или между ними.

Обратная теорема. Если три прямые отсекают на двух параллельных прямых пропорциональные отрезки (причём каждые два соответственных отрезка направлены в одну и туже сторону или каждые два соответственных отрезка направлены в противоположные стороны), то эти три прямые либо проходят через одну точку, либо параллельны между собой.

Если отрезки соответственно равны и направлены в одну сторону, то прямые параллельны (п. 46, вторая обратная теорема).

Итак, пусть ААТ,ВВ\ ССГ — прямые, которые отсекают на параллельных ABC и А!ВГСГ пропорциональные отрезки, так что имеют место равенства

А'В1 В'С' А'С’АВ — ВС — АС 9

причём если отрезки обеих прямых направлены в одну сторону, то общее значение трёх отношений отлично от 1. Это ограничение делает невозможным (п. 46) параллельность прямых А Аг и ВВГ\ следовательно, они пересекаются в некоторой точке 5.

Соединив затем 5 с С, мы видим, что эта прямая пересечёт прямую АГВГСГ в точке СI, которая обязательно совпадает с С', так как имеем:

AfC' АС АГСГ— О10 предыдущей теореме) = (по условию).


129. Через точку пересечения диагоналей трапеции проводят, прямую, параллельную основаниям. Доказать, что непараллельные стороны и точка пересечения диагоналей определяют на этой прямой два равных отрезка.

130. Пусть а = АВ, b = CD — основания трапеции ABDC. Одну из её непа-ЕА т „раллельных сторон делят в отношении — и проводят через точку tьи TL

прямую, параллельную основаниям. Доказать, что отрезок этой параллели,.. т • CD 4- п • АВ

заключенный внутри трапеции, равен ------------ т-\-п-------- .Рассмотреть случаи,

когда Е — середина стороны АС.131. Если из вершин треугольника и точки пересечения медиан

опустить перпендикуляры на прямую, лежащую вне треугольника, то последний из этих перпендикуляров есть среднее арифметическое трёх первых (см. предыдущее упражнение).

132. Через вершину А параллелограмма ABCD проводят произвольную секущую, которая пересекает Диагональ BD в точке Е и прямые ВС и CD — в точках F и G. Доказать, что АЕ есть среднее пропорциональное между EF и EG.

ГЛАВА II. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 119

А'ВГС — данные треугольники) имеем:А = А' или А-\-A'— 2dyВ — Вг или В -(- Вг = 2d,С = С или C-\-C'=2d.

Три равенства второго столбца не могут быть одновременно верны, иначе общая сумма углов в двух треугольниках была бы равна шести прямым, а не четырём. Два из тех же равенств также не могут существовать одновременно; например, нельзя иметь в одно и то же время AJ^Ar = 2dnB-\-Br = 2d, так как в таком случае общая сумма углов равнялась бы Ad-\-C-\-Cr. Следует поэтому взять по крайней мере два равенства из первого столбца, и таким образом треугольники имеют по два соответственно равных угла (первый признак подобия).

120. Теорема. Два прямоугольных треугольника подобны, если отношение одного из катетов к гипотенузе одно и то же в обоих треугольниках.

Действительно, мы можем поступить как в п. 118 и построить третий треугольник, подобный первому и имеющий ту же гипотенузу, что и второй. Второй и третий треугольники имеют, таким образом, ещё и по равному катету и будут равны по второму признаку равенства прямоугольных треугольников.

П р и м е ч а н и е . Кроме этого признака подобия можно, конечно, применять к прямоугольным треугольникам признаки подобия произвольных треугольников. Например, два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу (первый признак подобия произвольных треугольников) или если их катеты пропорциональны (второй признак подобия треугольников).

121, Теорема. Пучок прямых, проходящих через одну точку, отсекает на двух параллельных прямых пропорциональные отрезки.

Пусть, например, SAA\ SBBr, SCCr Черт. 127.(черт. 127) — три прямые, проходящиечерез одну точку, которые пересекают обе параллельные прямые ABC и А!ВГС.

Из подобия треугольников SAB и SArBr (п. 117) имеем:А'В' SB1

АВ ~~~SB ’

и из подобных треугольников SBC и SBrCr:BrCr SB'ВС ~~SB ’

откуда следует пропорциональность отрезков А!ВГ и В'С отрезкам АВ и ВС.

S


П р и м е ч а н и е . Каждые два отрезка, соответствующие друг другу, направлены либо в одну и ту же сторону, либо в противоположные стороны, в зависимости от того, лежит ли точка 5 вне обеих параллельных прямых или между ними.

Обратная теорема. Если три прямые отсекают на двух параллельных прямых пропорциональные отрезки (причём каждые два соответственных отрезка направлены в одну и туже сторону или каждые два соответственных отрезка направлены в противоположные стороны), то эти три прямые либо проходят через одну точку, либо параллельны между собой.

Если отрезки соответственно равны и направлены в одну сторону, то прямые параллельны (п. 46, вторая обратная теорема).

Итак, пусть АА\ ВВ\ ССГ — прямые, которые отсекают на параллельных ABC и А'ВГС' пропорциональные отрезки, так что имеют место равенства

А'В1 В'С' A'C1

АВ ВС АС 9

причём если отрезки обеих прямых направлены в одну сторону, то общее значение трёх отношений отлично от 1. Это ограничение делает невозможным (п. 46) параллельность прямых ААТ и ВВГ\ следовательно, они пересекаются в некоторой точке 5.

Соединив затем 5 с С, мы видим, что эта прямая пересечёт прямую АГВГСТ в точке С[, которая обязательно совпадает с С\ так как имеем:

ArC' АС АГСГ— О10 предыдущей теореме) = (по условию).


129. Через точку пересечения диагоналей трапеции проводят, прямую, параллельную основаниям. Доказать, что непараллельные стороны и точка пересечения диагоналей определяют на этой прямой два равных отрезка.

130. Пусть а = АВ, Ъ = CD — основания трапеции ABDC. Одну из её непа-ЕА m ираллельных сторон делят в отношении = — и проводят через точку ЕlC TL

прямую, параллельную основаниям. Доказать, что отрезок этой параллели,.. тп • CD —j— п • АВ ~заключенный внутри трапеции, равен m'J^n .Рассмотреть случаи,

когда Е — середина стороны АС.131. Если из вершин треугольника и точки пересечения медиан

опустить перпендикуляры на прямую, лежащую вне треугольника, то последний из этих перпендикуляров есть среднее арифметическое трёх первых (см. предыдущее упражнение).

132. Через вершину А параллелограмма ABCD проводят произвольную секущую, которая пересекает Диагональ BD в точке Е и прямые ВС иCD — в точках F и G. Доказать, что АЕ есть среднее пропорциональноемежду EF и EG.

ГЛАВА III. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 121

133. Найти геометрическое место точек, которые делят в данном отношении отрезки, отсекаемые сторонами данного угла на параллельных прямых данного направления.

134. Найти геометрическое место точек, из которых две данные окружности видны под равными углами *).

ГЛАВА III.

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.

122. Определение. Ортогональной проекцией (или ради сокращения просто проекцией) точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Проекцией отрезка на прямую называется отрезок, концами которого служат проекции концов данного отрезка.

123. Пусть ABC (черт. 128) — прямоугольный треугольнике прямым углом при А. Из этой вершины опустим на гипотенузу высоту AD.

Между различными элементами фигуры, таким образом полученной, существуют некоторые соотношения, с которыми мы теперь и познакомимся.

Теорема. В прямоугольном треуголь- С нике каждый из катетов есть среднее про

порциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу*

Так, АВ есть среднеепропорциональное между BD и ВС. Действительно, прямоугольные треугольники ABD и ABC подобны как имеющие общий угол при В (п. 120, примечание). Сторонам АВ и BD первого треугольника соответствуют стороны ВС и АВ второго, так что имеем,равенство:

BD АВ

Черт. 128.

АВ ВС или AB* = BD • ВС.

Следствие. Всякая хорда круга есть среднее пропорциональное между диаметром и её проекцией на диаметр, проходящий через один из её концов (черт. 129).

Действительно, этот диаметр и данная хорда являются гипотенузой и катетом одного и того же прямоугольного треугольника (п. 73, следствие II).

П р и м е ч а н и е . Подобные треугольники ABD и ADC (черт. 128, 129) дают ещё:

АВ AD АО Л П££ = лс, откуда АВ • АС = ВС • AD.

Черт. 129.

*) Угол, под которым окружность видна из определённой точки, есть угол, образованный касательными, проведёнными к этой кривой из данной точки.

книга третья, подобие

Таким образом, произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению гипотенузы на соответствующую высоту*

124. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы рааен сумме квадратов катетов.

Мы видели, что имеет место равенство АВ* = ВС • BD.Та же теорема, применённая к катету АС, даёт АС*— ВС • CD.Складывая почленно, имеем:

АВ2 + АС* = ВС (BD -f CD) = ВС*.П р и м е ч а н и е . Эта теорема служит для вычисления какой-либо

стороны прямоугольного треугольника, если заданы две другие.Так, например, пусть требуется вычислить гипотенузу прямоуголь

ного треугольника, катеты которого равны 3 м и 4 м. Единицей длины взят метр; квадрат числа, измеряющего гипотенузу, равен сумме квадратов чисел 3 и 4, измеряющих катеты. Эта сумма равна числу 32-f-42 = 25, квадратный корень из которого 5; гипотенуза будет равна 5 м.

Пусть ещё требуется вычислить один из катетов прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 10 м и другой катет равен 7 м. Квадрат искомой стороны, сложенный с 49 (=72), должен дать 100 (=102); этот квадрат, таким образом, будет равен 100 — 49 = 51. Квадратный корень из 51 (т. е. 7,14 — с точностью до одной сотой) даёт длину искомой стороны в метрах.

125. Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляру опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между двумя отрезками, на которые он рассекает гипотенузу.

Действительно, треугольники ABD и ACD (черт. 128) подобны, как имеющие взаимно перпендикулярные стороны. Отрезки BD, AD,

таким образом, пропорциональны отрезкам £ AD, CD.

Следствие. В круге перпендикуляр, опушенный из какой-либо точки окружности на

диаметр, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые он рассекает

l_l q диаметр.126. Теорема. Разность квадратов двух

Т Т 1 ОАчерт. iou. сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону.

В треугольнике ABC (черт. 130) спроектируем вершину В в точку Н прямой АС.

РавенстваАВ* = АН*-\-ВИ2,ВС* = СН*-\-ВН*

дают после почленного вычитания:А В* — ВС2 = АН2 — СИ\


-сторона, лежащая

В

Теорема. Во всяком треугольнике:1°. квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен

сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон и проекции на неё другой стороны;

2°. квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с удвоенным произведением одной из этих сторон и проекции на неё другой стороны.

1°. Пусть в треугольнике ABC (черт. 130) ВС — сторона, лежащая против острого угла А. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на прямую АС. Имеем (по предыдущей теореме)

ВС* = АВ2 -f С#2 — АН*.

Но так как СИ есть разность между АС и АН, то можно заменить *) СН* через Л С2 — 2 АС • АН-\- АН*.

Таким образом, получаем:ВС2 = АВ2 -[- АС* — 2АС • АН.

2°. Пусть в треугольнике ABC (черт. 131) ВС' против тупого угла А. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на прямую АС. Имеем снова:

ВС2 = АВ2 .-f СН2 — АН*.Так как СН—сумма отрезков АС и АН,

то можно заменить1) СН2 через АС*+ 2АС • АН-]-АН*.

При этом получим:ВС* = АВ* + АС* + 2АС • АН.

Следствие. Угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли квадрат стороны, лежащей

д против этого угла, меньше, равен или большесуммы квадратов двух других сторон.

127. Теорема Стюарта. Если даны треугольник ABC и на его основании точка D, лежащая между точками В и С, то имеем равенство:

АВ* • DC + АС* • BD — AD* • ВС = ВС • DC • BD.Опустим из точки А (черт. 132) на ВС перпен

дикуляр АН и предположим для определённости, что точка Н лежит с той же стороны от точки D, как и вершина С. Применив обе теоремы предыдущего пункта: одну — к треугольнику ACD, другую — к треугольнику ABD, получим:

АС* = AD* -f- DC* — 2DC • DH,АВ* = AD* -j- BD2 + 2BD • DH.

J) Мы предполагаем здесь известными формулы, дающие квадрат суммы или разности двух чисел: (a -f- b)2 = a2 -f-2ab -f- b2, (а — b)2 = а2 — 2ab-)rb3


Умножим эти два равенства: первое на BD, второе на DC и сложим их почленно.

Член 2 • BD • DC • DH, который встречается один раз со знаком—, другой раз со знаком -|~> исчезает, и мы получим:

АС* . BD + АВ2 • DC=AD2 • (£D -f Л С) -f DC2 • ЯД -f BD2 • £>C = = AZ)2 • £C -f- • Z)C • ЯС.

128. Вычисление длин замечательных линий треугольника.Пусть ABC—произвольный треугольник, стороны которого ВС,

С А, АВ соответственно измеряются числами (по предположению дан- д ными) а, Ь, с. Поставим себе задачей вычислить

медианы, биссектрисы и высоты треугольника.1°. Медианы. Пусть AD — медиана, выходя

щая из вершины А (черт. 133). В равенстве, полученном при помощи предыдущей теоремы, следует заменить ВС, СА, АВ соответственно через а,

Черт. 133. b, с; CD и BD — через у. Можнр все члены ра

венства разделить на а, и мы получим:

откуда

AD* =

Итак, полусумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату половины третьей стороны, сложенному с квадратом соответствующей медианы.

128а. С другой стороны, если в равенствах (п. 127)ДС2 = AD2 -f DC* — 2DC DH, АВ2 = AD* -f BD* -j- 2BD • DH

заменить снова ВС, С А, АВ через а, Ь, с; DC и BD — через ~ и если вычесть почленно 'первое равенство из второго, то получим:

с* — Ъ* = 2а • DH.

Итак, разность квадратов двух сторон треугольника равна удвоенному произведению третьей стороны и проекции на эту сторону соответствующей медианы.

Следствие. Геометрическое место точек А, разность квадратов расстояний которых до двух определённых точек В и С постоянна, есть перпендикуляр к прямой ВС.

Действительно, если разность АВ* — АС2 постоянна, то проекция Н точки А на прямую ВС есть определённая точка.

129. 2°. Биссектрисы. Обозначим теперь через AD биссектрису угла А (черт. 134). Точка D разделит ВС пропорционально сторо


нам АВ и АС, так что будем иметь:

BD CD ВС a Dn ас „ abили BD — ~т г— и CD:с Ъ Ь-\-с Ъ-\-с Ъ-\-с Ъ-\-с'

Заменим в соотношении, полученном на основании теоремы п. 127, BD и CD их выражениями и одновременно ВС, С А, АВ — их значениями; мы получим, разделив на а,

Ъс2 , №с _ аЪ асЬ-\-с 1 Ь-\-с Ь-\-с Ь-\-су

откуда+ °2bc =frc iP + С)2 — °2

(b + cf " (b + cf *

Пусть теперь АЕ—биссектриса внешнего угла при А (черт. 134); предположим для определённости, что АВ больше АС, так что точка Е, которая делит внешним образом сторону ВС пропорционально сторонам АВ и АС, лежит на продолжении стороны ВС за точку С.

Имеем:BE СЕ ВС

или

BE = —-г- и СЕ

Ъ~~ с — Ь

abс — Ъ *

Мы применим теорему п. 127 к треугольнику АВЕ и к точке С, взятой на основании BE. Заменив ВС, С А, АВ, BE и СЕ их значениями и разделив на а, имеем:

Ъс2 , Ь2с ас аЬс — Ь с — b с — Ь}

откудал р 2 _ _a2bc Ь°2 — ЪЧ _h а2 —(с — by

~~ (с — Ь)2 с — Ъ * (с — bf *

130. 3°. Высоты. Опустим из вершины А высоту АН (черт. 135). Из двух углов В и С по крайней мере один острый. Предположим для определённости, что острым будет угол В. Можно применить теорему


п. 126 к стороне АС = Ь, лежащей против этого угла, и записать;

Ь* = а*-\-с* — 2а • ВНили

’ 4- с2 — Ъ2ВН-

2 а

Но из прямоугольного треугольника АНВ имеем:

АН* = с* — ВН* = с*— (а2 + с2-£2)24а2

Это равенство, правая часть которого есть разность двух квадратов, может быть записано в виде:

АН* — а2 4- с2 — Ъ2 \ I , а2 4- с2 — I- 1 с 4-2 а ) \ 1 2 а

_ (2а с — а 2 — с 2 —|— Ъ 2 ) ( 2 а с а 2 - \ - с 2 — b 2) _

4а2

[Ь2 _ (а — с)2 ] [(а + с)2 — b2]— 4а2

Но каждый из множителей в числителе правой части представляет собой разность квадратов. Следовательно, предыдущая формула может быть записана ещё так:

_ { Ъ — а - \ - с ) ( Ь ^ а — с ) ( а - \ - с — Ь ) ( а b с )4а2

Если обозначить через р половину периметра треугольника, так что a b -(- с — 2/7, то величины bс — а, с-\~а — Ь, а-\-Ь — с будут соответственно равны 2р— 2а, 2р — 2Ь, 2р — 2с и

АН* = Ар(р~~а^ (Р ~~ ь№ — с)а2

Если, с другой стороны, выполнить умножение [(а-^\-с)*— Ь*] X X — (а — 02]> т0 можно записать:

АН2=i[4a2fi2 ~ (fl2 +с2 ~ *2)2] = ++ 2с2а2 + 2а2Ь2 — а^ — Ы~ с4).

130а. Теорема. Произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, опущенной на третью сторону, и диаметра описанного круга.

В треугольнике ЛЯС (черт. 136) пусть Л//—высота, опущенная из вершины Л, АЛ'— диаметр описанного круга. Треугольники АНС и АВА' — прямоугольные, один с прямым углом при вершине И, другой с прямым углом при вершине В; они имеют по равному острому углу (/тАг=£Су как опирающиеся на одну и ту же дугу АВ)\ следова-Черт. 136,

Глава iii. метрические соотношения в треугольнике 127

тельно, эти треугольники подобны и дают:

или лв ■ АС=АН ■ АА'-

Пользуясь найденным выше значением отрезка АН, можно получить из этой теоремы следующее выражение для радиуса описанной окружности R:

п АА Ъс аЪсК -— — = *;2 2АН 4 у р(р — я) (р — ьцр — с)


135. Произведение отрезков, отсекаемых подвижной касательной к кругу на двух параллельных касательных к тому же кругу, есть величина постоянная (доказать).

136. Обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника равна сумме обратных величин квадратов катетов (доказать).

137. Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон.

138. Разность между суммой квадратов расстояний произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма и суммой квадратов расстояний той же точки до двух других его вершин есть величина постоянная (доказать). Рассмотреть случай прямоугольника.

139. Сумма квадратов четырёх сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей (доказать).

140. Если А, Ву С-—вершины треугольника, G— точка пересечения медиан, М-—произвольная точка плоскости, то имеем:

МА2 + MB2 + МС2 = GA2 + GB2 -f GC2 + ЗАШ2

(доказать).141. Найти геометрическое место точек, квадраты расстояний которых

до двух постоянных точек, соответственно умноженные на данные числа, имеют данную сумму или разность. Доказать этим путём теорему п. 116.

142. Найти геометрическое место точек, квадраты расстояний которых до трёх данных точек, соответственно умноженные на три данных числа, имеют постоянную сумму. Рассмотреть ту же задачу для случая, когда вместо трёх точек дано произвольное число точек.

143. Квадрат биссектрисы угла треугольника равен произведению сторон, её заключающих, уменьшенному на произведение отрезков, на которые она рассекает третью сторону (доказать).

Сформулировать и доказать аналогичную теорему для биссектрисы внешнего угла*

144* Из формул для медианы и для биссектрисы (пп. 128, 129) вывести неравенства, указанные в упражнениях 11 и 18.

145. Если медиана треугольника есть среднее пропорциональное между сторонами b я с, которые ее заключают, то квадрат, построенный на разности этих сторон, имеет своей диагональю третью сторону треугольника.

146. Через внутреннюю точку круга проведены под прямым углом две хорды. Доказать, что сумма квадратов двух противоположных сторон четырёхугольника, вершинами которого служат концы этих хорд, равна квадрату диаметра.

т КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ

147. Произведение расстояний любой точки окружности до двух противоположных сторон четырёхугольника, вписанного в эту окружность, равно произведению расстояний этой же точки до двух других сторон или до двух диагоналей (доказать).

Как изменится формулировка этой теоремы, если две противоположные стороны обратятся в касательные?

ГЛАВА IV.ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ.

РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.

131. Теорема. Если через точку А, взятую в плоскости данной окружности, провести к этой окружности секущие, то произведение расстояний от точки А до двух точек пересечения каждой секущей с окружностью есть величина постоянная.

Будем различать два случая:1°. Точка А лежит внутри окружности (черт. 137). Пусть

через эту точку проведены секущие ВАВ' и САС. Соединим точку В с точкой С и точку С с точкой ВТ. Треугольники АВСГ и АСВГ подобны, как имеющие равные углы. В самом деле, у них углы А равны как вертикальные и /_ВГ —

= /_СГ, так как оба измеряются

АВ АС'половиной дуги ВС. Пропорциональность сторон даёт =АС Ап’

откуда, приравняв произведение крайних произведению средних, имеем:

АВ • АВ' = АС • АС.2°. Точка А лежит вне окружности (черт. 138). Пусть ABBf

и АСС — две секущие, проходящие через эту точку. Соединим снова точки С и В\ В и С. Треугольники ABC и АСВГ опять подобны, как имеющие равные углы. В самом деле, у них угол А — общий и £Br— LC\ так как оба измеряются половиной дуги ВС. Пропор-

АВ АС'циональность сторон даёт, как и выше: -г^ =АС АВ'

откуда следует доказываемое предложение.

ГЛАВА IV. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ 129

131а. Обратная теорема. Если на двух прямых ВАВТ и С АС', проходящих через точку А (черт. 139), взять такие четыре точки В, В', С, С, что произведение АВ • АВ' равно произведению АС • АС (причём точка А либо лежит на продолжении обоих отрезков ВВГ и СС, либо лежит на самих отрезках), то эти

Вчетыре точки лежат на одной окружности.

В самом деле, три точки В, С, С', не лежащие на одной прямой, определяют окружность, и эта окружность пересекает прямую ВАВГ в некоторой точке В[, так что АВ • АВ[ = АС • АС. Сравнение этого равенства с условием теоремы АС • АС —АВ • АВ' показывает, что АВ[ = АВ'. Следовательно, точка В[ совпадает с точкой В'.

132. Теорема. Если через точку, лежащую вне окружности, провести касательную и секущую, то касательная есть средняя пропорциональная между всей секущей и её внешней частью.

В самом деле, пусть АВВ'—секущая, АТ—касательная (черт. 140). Следует повторить без всякого изменения доказательство теоремы

п. 131 (2°), заменив лишь две буквы С и С' буквой Т.

Мы имеем в данном случае также пример того, что касательная (п. 67) должна рассматриваться как прямая, имеющая с окружностью две общие точки, слившиеся в точке касания.

Обратная теорема. Если отложить на прямой АВВ' от точки А в

одном направлении отрезки АВ и АВ' и на другой прямой, выходящей из той же точки А, отрезок АТ, представляющий собой среднее пропорциональное между АВ и АВ', то три точки В, В', Т лежат на окружности, касающейся прямой АТ в точке Т.

В самом деле, окружность ВВ'Тимеет с прямой АТ общую точку Т\ если бы она имела ещё одну общую точку V (черт. 141), то имело бы место (п. 131) равенство:

АВ • АВ' — АТ • АТ'.

Это равенство при сравнении с условием АВ • АВ' = АТ* показывает, что точка Т' необходимо совпадёт с точкой Т.

133. Определение. Степенью точки А относительно окружности называется произведение отрезков какой-либо секущей, выходящей из этой точки, считая отрезки от точки А до точек пересечения

5 Элементарная геометрия, ч. I


с окружностью (произведение это согласно п. 131 не зависит от направления секущей); это произведение берётся со знаком если точка А лежит вне окружности, и со знаком —, если она лежит внутри окружности.

Если точка лежит вне окружности, то степень точки равна квадрату касательной, проведённой через эту точку..

134. Степень точки А относительно окружности с центром О равна разности квадратов расстояния О А и радиуса.

В самом деле, примем за секущую АВВ' прямую О А. Отрезки АВ и АВГ представляют собой: один сумму, другой разность отрезка О А

и радиуса; их произведение, следовательно, равно разности квадратов этих двух величин.

Если принять во внимание знак степени, то степень всегда равна d2 — R2 (где d — рас-

Т стояние ОА, R— радиус).135. Если две окружности

пересекаются под прямым Черт. 141. углом, то квадрат радиуса

каждой из них равен степени её центра относительно другой окружности, и обратно.

Если окружности О и О' (черт. 142) пересекаются в точке Д под прямым углом, то касательная к окружности Ог в этой точке есть О А и степень точки О относительно окружности О' равна О А2.

Обратно, если степень точки О относительно окружности Ог равна О А2, то О А — касательная к окружности и обе окружности ортогональны.

136. Геометрическое место точек, имеющих одну и ту же степень относительно двух данных окружностей, есть прямая, перпендикулярная к линии центров.

Эта прямая называется радикальной осью двух окружностей.

Пусть даны две окружности сцентра- Черт. 142.ми О и Ог (черт. 143) и радиусами R и Rr.

Если точка М имеет одну и ту же степень относительно этих двух окружностей, то мы имеем: ОМ*—R* = OrM2 — Rr*\ это равенство можно переписать в виде ОМ2 — OrM* = R2 — R'2, откуда и следует (п. 128а) заключение теоремы.

Согласно п. 128а расстояние между точкой пересечения Н радикальной оси с линией центров и серединой D расстояния между центрами даётся формулой: 2DH • OOr — R* — R'2.

П р и м е ч а н и я : I. Предыдущее доказательство справедливо, если одна из окружностей имеет радиус, равный нулю, и, следовательно,

ГЛАВА IV. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ 131

обращается в свой центр. Таким образом, геометрическое место точек, степень которых относительно данной окружности равна квадрату их расстояния до данной точки, есть прямая, перпендикулярная к прямой, соединяющей данную точку с центром окруж

ности.Эту прямую можно

назвать радикальной осью окружности и точки.

II. Две концентрические окружности не имеют радикальной оси1).

III. Разность степеней какой-либо точки относительно двух окружностей равнаудвоен- ному произведению рас-

Черт. 143. стояния этой точки дорадикальной оси и рас-

стояния между центрами (черт. 143).. В самом деле, пусть N— заданная точка, п — её проекция на 00'.

Разность степеней этой точки относительно обеих окружностей будет:

ON2 — /?2 — (OW2 — Я'2) = 07V2 —

— 07V'2 — (/?2 — /Г2).Но мы имеем:

ON2 — OW2 = 2Dn • OOr и R* — R'* = 2DH- 00\

откуда, вычитая, получаем:ON2 — OW2 — (/?2 — /?'2) =

= 2Нп • ООг.137. Если две окружности пе

ресекаются, то радикальной осью служит прямая, соединяющая точки пересечения.

В самом деле, понятно, что лю- Черт. 144.бая точка прямой АВ (черт. 144)принадлежит геометрическому месту точек, имеющих одну и ту же степень относительно обеих окружностей. Обратно, из предыдущего вытекает, что любая точка М этого геометрического места принадлежит прямой АВ. Это можно усмотреть и непосредственно, если соединить точку М с точкой А: если бы эта прямая пересекла

х) Радикальную ось двух концентрических окружностей можно рассматривать как лежащую в бесконечности. Действительно, если при постоянной разности R2—R'2 точки О и О' неограниченно приближаются друг к другу, то длина отрезка DH обращается в бесконечность.


обе окружности в двух новых, различных между собой точках В' и В[, то обе степени МА • MB' и МА • МВ[ были бы различны.

Точно так же, если две окружности касаются друг друга, то радикальная ось есть их общая касательная.

138. Радикальная ось двух окружностей (по крайней мере часть этой оси, внешняя относительно обеих окружностей) есть геометрическое место центров окружностей, которые пересекают две данные окружности под прямым углом.

Действительно, центр одной из таких окружностей имеет одну и ту же степень относительно двух данных окружностей, а именно квадрат радиуса окружности.

Радикальная ось делит общую касательную на две равные части.

139. Теорема. Радикальные оси трёх окружностей, взятых попарно, пересекаются в одной и той же точке или параллельны.

Действительно, точка пересечения двух из трёх радикальных осей имеет одну и ту же степень относительно трёх окружностей; следовательно, она принадлежит и третьей радикальной оси. Эта точка называется радикальным центром трёх окружностей. Если это — внешняя точка, то она служит центром окружности, которая пересекает все три окружности под прямым углом.

П р и м е ч а н и е . Если две радикальные оси совпадают, то предыдущее рассуждение доказывает, что третья совпадает с первыми. Три окружности имеют одну и ту же радикальную ось. Каждая окружность, ортогональная к двум из трёх данных окружностей, ортогональна и к третьей.

УПРАЖНЕНИЯ.148. В плоскости даны: окружность и две точки А и В; через точку А

проводят различные секущие ANM, которые пересекают окружность в точках М и N.

Доказать, что окружность, проходящая через точки М и N и точку В, проходит через другую неподвижную точку.

149. Геометрическое место точек, отношение степеней которых относительно данных двух окружностей равно данному числу, есть окружность, которая с двумя первыми окружностями имеет одну и ту же радикальную ось (доказать). Вывести отсюда геометрическое место точек упражнения 128.

150. Параллельно стороне ВС треугольника проведена секущая DE, которая пересекает сторону АВ в точке D и сторону АС — в точке Е. Показать, что радикальной осью двух окружностей, диаметрами которых служат соответственно BE и CD, всегда является высота треугольника АВСУ проведённая через точку А.

151. Пусть D и D'—две точки на стороне ВС треугольника, Е и Е'— две точки на стороне СА} F и F — две точки на стороне АВ. Если известно, что существуют окружность, проходящая через точки D, D\ Е, Е\ окружность, проходящая через точки Е, Е\ F, F'f и окружность, проходящая через точки F, F\ D, D\ то отсюда следует, что шесть точек D, D', Е, Е\ F, F' лежат на одной окружности (доказать).

152. В каком случае различные окружности, ортогональные к двум данным окружностям О и О', пересекают линию центров 00'? Показать, что все они пересекают её в этом случае в одних и тех же двух точках

ГЛАВА V. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ 133

(предельных точках Понселе), а именно в тех точках, которые имеют с данными окружностями одну и ту же радикальную ось.

153. Через точки А и В проведена какая-либо окружность и через точки С и D, лежащие на одной прямой с первыми,—другая окружность, также произвольная. Доказать, что общая хорда этих двух окружностей проходит через одну неподвижную точку.

154. Если радикальный центр трёх окружностей лежит внутри этих окружностей, то он служит центром окружности, которая каждой из данных окружностей делится на две равные части (доказать).

Г Л А В А V .

ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.

140. Определение. Пусть выбрана точка 5, которая называется центром подобия (или центром гомотетии), и число k, которое называется коэффициентом подобия; точкой, гомотетичной какой- либо точке Ж, называется точка М\ которая получается, если соединить точку М с точкой 5 прямой линией и отложить на этой прямой от точки 5 в направлении SM (черт. 145) или в противоположном направлении (черт. 145а) такой отрезок SM',

SM' ,что имеет место равенство —

Гомотетия называется прямой, если отрезок 5*714' откладывается в ту же сторону, как и SM (черт. 145), и обратной, если оба эти отрезка направлены в противоположные стороны (черт. 145а).

Фигура, гомотетичная (или перспективно-подобная, или подобная и подобно расположенная) какой-либо фигуре Z7, есть фигура, образованная совокупностью точек М\ гомотетичных точкам, образующим фигуру F.

П р и м е ч а н и я : I. Центр гомотетии есть точка, сама себе гомотетичная; это — единственная точка, которая обладает данным свойством (за исключением, конечно, случая, когда гомотетия прямая и коэффициент подобия равен 1; в этом случае любая точка совпадает со своей гомотетичной).

II. Симметрия относительно точки (п. 99) есть частный случай обратной гомотетии.

141. Теорема. В двух гомотетичных системах точек отрезок, соединяющий две какие-либо точки одной из систем, и отрезок, соединяющий соответственные им точки другой, всегда параллельны, и их отношение равно коэффициенту подобия; они направлены в одну и ту же сторону или в противоположные стороны. смотря по тому, будет ли гомотетия прямой или обратной,

Действительно, пусть А и В — две точки первой фигуры, А' и Вг — точки, им гомотетичные (черт. 146), 5—центр гомотетии, k—коэффици-


Черт. 146.

SB'ент подобия. Пропорция ^=—z=k показывает (п. 114, обрат

ная теорема), что отрезки А!ВГ и АВ параллельны, а подобие треугольников SAFBr и SAB — что отношение этих отрезков равно отношению SA' к SA.

Следствия: I. Фигура, гомотетичная прямой линии, есть прямая линия.

Действительно, если точка В перемещается по прямой АВ, причём последняя остаётся неподвижной, то точка Вг описывает прямую, про

ходящую через А! и параллельную АВ.II. Фигура, гомотетичная окружности,

есть окружность, причём их центры — гомотетичные точки.

Действительно, если точка В перемещается так, что её расстояние от определённой точки А остаётся постоянным, то точка Вг опишет окружность с центром в Аг и радиусом AfBf = k • АВ.

III. Фигура, гомотетичная данному треугольнику, есть треугольник, подобный первому.

142. Обратная теорема. Если на плоскости, в которой лежат две системы точек, существуют две такие точки О и Ог, что отрезок, соединяющий точку О с какой-либо точкой М первой системы, и отрезок, соединяющий точку Ог с соответственной точкой Мг второй системы, всегда параллельны и имеют данное отношение (причём оба отрезка всегда направлены либо в одну и ту же сторону, либо всегда направлены в противоположные стороны), то эти две системы гомотетичны.

Для того чтобы эта теорема была верна во всех случаях, необходимо считать прямо гомотетичными и такие две системы, в которых отрезки ОМ и OfMr равны и направлены в одну и ту же сторону, т. е. две системы, которые равны между собой и получаются одна из другой с помощью поступательного перемещения.

Пусть М и М! — две какие-либо соответственные точки (черт. 147). Соединим М с МТ. Если эта прямая параллельна 00', то четырёхугольник ОММ!Ог— параллелограмм и ОМ=ОтМг\ обе системы получаются одна из другой с помощью поступательного перемещения.В противном случае прямая ММ! пересекает 00' в точке которая неподвижна, т. е. не зависит от выбора пары точек М, Мг\ действительно, эта точка делит отрезок 00' в данном отношении k (внешним образом, если отрезки ОМ и 0714' направлены в одну и ту же сторону, и внутренним образом, если они направлены в противоположи

ГЛАВА V. ГОМОТЕ.ИЯ И ПОДОБИЕ 135

пые стороны) вследствие подобия треугольников 50А1 и SO'Mr. Далее, вследствие подобия тех же треугольников имеем:

SM' _0'М' _ ,«SM ом

143. Следствие. Две любые окружности можно рассматривать как гомотетичные и притом двумя различными способами.

Действительно, если О и Ог — центры этих окружностей, то концы М и М! двух соответственно параллельных радиусов, направленных в одну и ту же сторону, удовлетворяют условию предыдущей теоремы и описывают две прямо гомотетичные фигуры (черт. 148); точно так же концы Мх и МТ двух параллельных радиусов, направленных

в противоположные стороны, служат соответственными точками двух обратно гомотетичных фигур: в обоих случаях коэффициент подобия равен отношению радиусов.

Следовательно, две окружности имеют два центра подобия1) — S, Sf, один, соответствующий прямой гомотетии, называется внешним, другой, соответствующий обратной гомотетии,— внутренним. Центры подобия делят гармонически отрезок, соединяющий центры окружностей, так как каждый из центров подобия делит его в отношении, равном отношению радиусов.

Точки касания внешней общей касательной прямо гомотетичны, так как радиусы, проведённые в эти точки, параллельны и направлены в одну и ту же сторону. Точно так же точки касания внутренней общей касательной обратно гомотетичны.

Далее, общие внешние касательные (если они существуют) пересекаются во внешнем центре подобия; внутренние общие касательные (если они существуют) — во внутреннем центре подобия.

Если окружности касаются друг друга, то точка касания есть один из центров подобия.

П р и м е ч а н и е . Две окружности не могут быть гомотетичными более чем двумя различными способами.

*) Впрочем, две равные окружности не имеют внешнего центра подобия; их можно рассматривать как прямо гомотетичные только благодаря тому обобщению этого понятия, которое было дано в предыдущем пункте.


Действительно, если имеет место гомотетия, то центры окружностей соответствуют друг другу (п. 141, следствие И) и соответственные радиусы параллельны.

В зависимости от того, будут ли они направлены в одну и ту же сторону или в противоположные стороны, мы будем иметь ту или иную из двух гомотетий, установленных выше.

144. Теорема. Две фигуры, гомотетичные третьей, гомотетичны между собой, и три центра подобия лежат на одной прямой.

Пусть фигуры F2 и F3 (черт. 149) гомотетичны одной и той же фигуре Ft; пусть 02 и 03 — точки, соответствующие в фигурах F2 и F 3 некоторой определённой точке О х фигуры F t ; Ж2 и Мг —

Черт. 149.

точки, соответствующие произвольной точке Мх фигуры Fv Отрезки 02Ж2 и 03М3 параллельны, так как они оба параллельны ОхМх\ они либо всегда направлены в одну и ту же сторону (если они оба направлены в ту же сторону, как и ОхМь или оба — в сторону, противоположную 01М1у т. е. если гомотетии (Fb F%) и (Flf F3) одного и того же рода), либо всегда направлены в противоположные стороны (если две исходные гомотетии различного рода); наконец, их отно-

02М« г ОоМ3 ,, шение постоянно, так как из равенств - = k и тгтг — к сле-^ OiMi OiMxдует, что — . Итак, две фигуры F2 и FB действительно(J 2-/W2 ̂гомотетичны между собой, причём гомотетия будет прямой, если две исходные гомотетии одного рода, и обратной, если эти гомотетии различного рода.


Пусть теперь 523 — центр гомотетии фигур F2 и FSy Sn —центр гомотетии фигур Fx и Fs> S12 — центр гомотетии фигур Ft и /у, я утверждаю, что эти точки лежат на одной прямой. Действительно, точка S23, рассматриваемая как принадлежащая фигуре F%y сама себе соответствует в фигуре л; она имеет в качестве соответственной в фигуре Fx некоторую точку s. Прямая sS%3 пройдёт через точку

(как соединяющая соответственные точки фигур Fx и F3) и через точку S12 (как соединяющая соответственные точки фигур Рг и F%).

П р и м е ч а н и е . Мы видим, что если три фигуры попарно гомотетичны, то из трёх гомотетий прямыми будут или одна или все три 1).

145. Три окружности С1у С2, С3 можно рассматривать как фигуры попарно гомотетичные и притом четырьмя различными способами; действительно (п. 143), можно выбрать произвольно прямую или обратную гомотетию между окружностями Q и С2 и между окружностями С\ и С3 (что составляет четыре возможных сочетания); гомотетия между окружностями С2 и С3 определяется двумя первыми гомотетиями. Применяя предыдущую теорему, мы видим, что три внешних центра подобия лежат на одной прямой; точно так же лежат на одной прямой каждый внешний центр подобия с двумя внутренними центрами подо- бия, ему не соответственными. Четыре прямые, таким образом определённые, называются осями подобия: одна из них — внешняя ось подобия, три другие —внутренние\ они попарно пересекаются Вв шести центрах подобия. Черт. 150.

Определения. Полным четырёхсторонником называется (черт. 150) фигура, которая получится, если продолжить противоположные стороны обыкновенного четырёхугольника до их пересечения. Полный четырёхсторонник имеет б вер- шин• А, В, С, D, Е, F (черт. 150), попарно противоположных. Диагональю полного четырёхсторонника называется всякая прямая, соединяющая две противоположные вершины, так что полный четырёхсторонник ABCDEF имеет три диагонали — АВ, CD и EF.

Согласно этим определениям оси подобия трёх окружностей образуют полный четырёхсторонник, имеющий своими диагоналями три линии центров.

146. Определение, Две фигуры называются подобными между собой, если их можно расположить таким образом, чтобы они были гомотетичными.

х) Так как либо из трёх соответственных отрезков О^Ми 02М2 и OsM8 два направлены в одну сторону, а третий — в противоположную, либо все три отрезка направлены в одну сторону. Прим. ред. перевода.


Две дуги круга, которым соответствуют равные центральные углы, будут, например, подобными фигурами.

Теорема. Два подобных многоугольника имеют равные углы и их соответственные стороны пропорциональны.

Действительно, рассмотрим эти два многоугольника в том положении, в котором они гомотетичны; при этом их углы будут соответственно равны, так как их соответственные стороны параллельны и направлены в одну и ту же сторону или параллельны и направлены в противоположные стороны (в зависимости от того, будет ли гомотетия прямой или обратной); отношение любых двух соответственных сторон равно коэффициенту подобия.

Следствие. Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

Это вытекает из пропорциональности сторон на основании следующей арифметической теоремы: в последовательности равных отношений сумма предыдущих членов относится к сумме последующих, как один из предыдущих к своему последующему.

147. Обратная теорема. Если углы двух многоугольников, взятые в последовательном порядке в обоих многоугольниках, соответственно равны между собой и каждые два соответственных угла имеют одинаковое направление или каждые два угла имеют противоположное направление, а соответственные стороны многоугольников пропорциональны, то эти многоугольники подобны.

Пусть два многоугольника P(ABCDE) и Pr (ArB'CrDrEr) удовлетворяют условиям теоремы, так что мы имеем

£ В = £ В ' , Z C = Z C ' , l d = l d \ l e = l e '

А'В' В'С' C'D' D'E' Е'А'и АВ ~~ ВС ~~ CD ~~ DE ЕА"

Построим многоугольник Ри гомотетичный многоугольнику Р относительно произвольной точки, выбрав коэффициент подобия равным

А'В' В'С'общему значению отношений -дд, -qq и т. д. Мы получим, таким

образом, новый многоугольник P^B^D^), углы которого соответственно равны углам многоугольника Рг (и имеют либо все то же самое направление, либо противоположное направление) и стороны которого равны сторонам многоугольника Рг. Я утверждаю, что многоугольник Рх равен многоугольнику Р\

Прежде всего можно предположить, что равенство углов имеет место с сохранением направления (иначе мы заменили бы многоугольник Рг многоугольником, симметричным ему относительно некоторой прямой). При этих условиях наложим многоугольник РТ (не изменяя его направления вращения) на Рх так, чтобы сторона А!ВГ совпала с равной ей стороной А1В1. Равенство углов Bt и Вг по величине и по направлению показывает, что сторонаВТСТ пойдёт по направлению ВХСЪ и так как эти два отрезка равны, то они совпадут. Далее мы точно

ГЛАВА V. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОЁИЁ 139

так же докажем, что сторона СП совпадает с ClD1 и т. д. Таким образом, оба многоугольника совпадают.

П р и м е ч а н и е . Два четырёхугольника могут иметь соответственно равные углы, не будучи подобными, например: квадрат и прямоугольник. Равным образом для подобия двух четырёхугольников недостаточно пропорциональности их сторон, так же как для равенства четырёхугольников недостаточно (п. 46а, примечание III) равенства их сторон (см. ниже Прибавление А, п. 281, а также том II, Прибавление F).

148. Всякий многоугольник можно разбить на треугольники и притом бесчисленным множеством способов. Действительно:

1°. Если многоугольник выпуклый, то можно соединить одну из его вершин со всеми остальными (черт. 151) или какую-либо внутреннюю его точку со всеми вершинами.

2°. Если многоугольник невыпуклый (черт. 152), то его можно разбить на выпуклые многоугольники (которые в свою очередь могут быть разбиты на тре- Черт. 151.угольники, как уже было указано).

С этой целью продолжаем неограниченно все стороны многоугольника и тем самым разбиваем плоскость на некоторое число областей (например на черт. 152 области перенумерованы от 1 до 16) таких, что нельзя пересечь какую-либо сторону или её продолжение, не

перейдя из одной области в другую, и обратно. Каждая из этих областей лежит целиком внутри или целиком вне многоугольника (так как от какой-либо одной точки этой области можно перейти к какой- либо другой её точке, не пересекая ни самих сторон ни их продолжений). Таким образом, многоугольник состоит из совокупности тех областей, которые будут по отношению к нему внутренними (на


чертеже 152 эти области перенумерованы от 1 до 3). Эти области по определению будут выпуклыми многоугольниками.

149. Теорема. Два подобных многоугольника могут быть разбиты на подобные треугольники, расположенные одинаковым образом.

Действительно, достаточно, расположив оба многоугольника так, чтобы они были гомотетичны, и разбив один из них на треугольники, разбить другой на треугольники, гомотетичные первым.

Обратная теорема. Два многоугольника, которые могут быть разбиты на подобные треугольники, одинаковым образом расположенные, подобны.

Прежде всего два многоугольника, составленные из соответственно равных треугольников, расположенных одинаковым образом, равны между собой. Действительно, пусть ABC, BCD, CDE и т. д. (черт. 153)—

треугольники, составляющие первый многоугольник Р; A!BrC\ BrC'D\ CrDrEr и т. д. — треугольники, соответственно равные первым и расположенные одинаковым образом, которые составляют второй многоугольник Р\ Если мы построим на А'В\ как на основании, многоугольник, равный Р(п. 95), пользуясь треугольниками ABC, BCD, CDE, то мы получим как раз многоугольник Рг.

Теперь, если два многоугольника образованы из подобных треугольников, расположенных одинаковым образом, с коэффициентом подобия *) k, то, построив многоугольник, гомотетичный первому многоугольнику, с тем же коэффициентом подобия k, мы получим многоугольник, равный (в силу того, что было сказано выше) второму многоугольнику.

150. Теорема. Если на отрезках, соединяющих некоторую точку О с каждой точкой М фигуры F, построить подобные между собой тре- угольники, имеющие одинаковое направление вращения, то третьи вершины М' этих треугольников образуют фигуру F, подобную F.

Действительно, если повернуть фигуру F около точки О на угол, равный углу МОМ\ то получится фигура, равная фигуре F и гомотетичная фигуре F' относительно центра О.

Обратная теорема. Если даны две подобные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения, то всегда существует такая точка, что треугольники, имеющие вершинами эту точку и две какие-либо соответственные точки, все подобны между собой.

Если повернуть одну из фигур около этой точки на надлежащий угол, то она будет гомотетична другой фигуре относительно той же точки.

Пусть F и F' — две подобные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения, так что F' гомотетична некоторой фигуре Fu равной фигуре F и имеющей с ней одинаковое направление вращения. Отсюда

*) Коэффициент подобия k будет необходимо одним и тем же для двух смежных треугольников, так как два смежных треугольника имеют в той и другой фигуре по общей стороне; следовательно, он будет одним и тем же для всех треугольников.


прежде всего следует, что два соответственных отрезка АВ и А'В' (черт. 154} ооеих фигур образуют между собой постоянный угол (который можно назвать углом между двумя фигурами), так как этим свойством обладают две равные фигуры F и Fu и все прямые линии фигуры F' параллельны соответствующим прямым фигуры Fi. Так как эти отрезки, кроме того, пропорциональны, то, проведя через точку А отрезок АВ0, равный и параллельный А'В' и направленный с ним в одну сторону, мы получим треугольник АВВоу подобный пнекоторому определённому треугольнику Т и имеющий с ним одинаковое направление вращения, независимо от положения точек А и В.

Теперь найдём точку, которая сама себе соответствует, если её рассматривать один раз как принадлежащую фигуре Ft другой раз как принадлежащую фигуре FПусть такой точкой будет точка О. Если мы повторим предыдущее построение и Черт. 154.примем за точку А точку О,то точка В0 совпадёт с точкой В\ так что треугольник ОВВ1 будет подобен треугольнику Т и иметь с ним одинаковое направление вращения; существует одна и только одна точка, удовлетворяющая этому условию *).

Обратно, если, выбрав точку О, как только что было указано, рассматривать её как принадлежащую фигуре F, то соответственная ей точка

в фигуре F' будет лежать на прямой, со- ' R N ответственной ВО} а эта последняя будет

как раз прямая В'О (так как она образует с ВО угол, равный углу междудвумя фигурами), и притом от точки В' на

расстоянии, равном В'О (так как отно- В'Ошение г- равно коэффициенту подобияBU

обеих фигур). Точка О совпадёт, такимобразом, со своей соответственной.

Вследствие этого все треугольники, Черт. 155. такие как треугольник ОВВ', подобны

треугольнику Т; если теперь повернуть фигуру F около точки О на угол, равный углу между обеими фигурами,то она будет гомотетичной фигуре г', при этом точка О будет центромгомотетии.

П р и м е ч а н и е . Оба угла АО А' и ВОВ* должны быть равны углумежду прямыми АВ и А'В'\ следовательно, если продолжить эти последние до точки их пересечения 7, то можно найти точку О, как точку пересечения окружностей, описанных около треугольников AIA' и BIB'.

150а. Теорема. Пусть PRMQ— параллелограмм, О и N—две точка, взятие соответственно на продолжениях соседних сторон PQ и PR и лежащие на одной прямой с вершиной М, противоположной Р (черт. 155).

Если параллелограмм PRMQ изменяется так, что длины его сторон

1) Построение этой точки указано далее (п. 152).

142 Книга третья, подоёйё

остаются постоянными (шарнирный параллелограмм), причём отрезки РО и PN также остаются постоянными, и одна из трёх точек О, М, N остаётся неподвижной, то две другие описывают фигуры, гомотетичные друг другу.

Прежде всего четырёхугольник PRMQ останется параллелограммом, если длины его сторон остаются постоянными, так как всегда имеем PQ = RM и PR = QM. Кроме того, точки О, М, N останутся на одной прямой. Действительно, так как эти точки в первоначальном положении, „о MR NR ~фигуры лежат на одной прямой, то имеем ’Qpz=~jyp' Это равенство остаётся справедливым при деформации, так как длины, входящие в эту пропорцию, постоянны. Следовательно, обратно, треугольники MRN и OPN постоянно подобны (как имеющие равные углы при R и Р, заключённые между пропорциональными сторонами), и потому углы PNO и RNM всегда равны между собой.

Наконец, отношение постоянно, оно равно Таким образомтеорема доказана.

На этой теореме основано устройство пантографа — прибора, предназначенного для воспроизведения фигуры с увеличением или без увеличения её размеров; при этом OQP, PRN, MQ и MR — твёрдые стержни, соединённые один с другим шарнирами в точках М, Р, Q и R. Закрепляют одну из трёх точек О, М, N; в одной из двух других точек находится карандаш; третья точка описывает контур фигуры, которую требуется воспроизвести.


155. Вписать в треугольник квадрат.156. Данную точку А соединяют с произвольной точкой В окружности

с центром О. Найти геометрическое место точки пересечения прямой АВ с биссектрисой угла АОВ.

157. На стороне ОХ данного угла XOY взята произвольная точка М, и на отрезке ОМ, как на диаметре, построена окружность; затем построена окружность, касающаяся первой окружности и сторон ОХ и OY. Найти геометрическое место точки касания обеих окружностей.

158. Точка пересечения G медиан треугольника лежит на прямой, которая соединяет центр описанного круга с точкой пересечения высот и делит отрезок между этими точками внутренним образом в отношении 1:2 (доказать). (Показать, что эта точка G — центр гомотетии двух треугольников ABC и А'В'С', которые встречаются в доказательстве п. 53.)

159. Даны коэффициенты подобия трёх гомотетичных фигур, взятых попарно. Найти отношение, в котором один из центров гомотетии делит отрезок, соединяющий два других.

160. Даны две параллельные прямые и точка О, лежащая в их нлоско- сти. Через эту точку проводят произвольную секущую, которая пересекает параллельные прямые в точках А и А'. Найти геометрическое место конца А" перпендикуляра к секущей, проведённого через точку А' и имеющего длину, равную О А.

161. Пусть F и F' — две подобные (но не равные) фигуры, имеющие противоположные направления вращения. Доказать, что можно найти две различные фигуры F", каждая из которых симметрична с F относительно некоторой прямой и одновременно гомотетична F' относительно некоторой точки, лежащей на этой прямой; в обоих случаях центр подобия будет один и тот же, но из двух соответствующих гомотетий одна будет прямой, другая ■— обратной.

ГЛАВА VI. ПОСТРОЕНИЯ 143

162, На каждом из отрезков, соединяющих две соответственные точки двух подобных фигур, имеющих одинаковое направление вращения, строят треугольник, подобный данному треугольнику Т и имеющий с ним одинаковое направление вращения; или делят отрезок, соединяющий эти две точки, в постоянном отношении. Третьи вершины построенных таким образом треугольников или точки деления образуют фигуру, подобную двум первым (доказать).

Г Л А В А VI.

ПОСТРОЕНИЯ.

151. Построение 1. Разделить отрезок на части, пропорциональные данным отрезкам, или на равные части.

С п о с о б п е р в ы й (черт. 156). Пусть требуется разделить отрезок АВ, положим, на три равные части. Проводим через точку А произвольную прямую и откладываем на ней от точки А три равных

С D Е

Черт. 156.В

Черт. 157.

отрезка AC, CD, DE. Достаточно затем соединить точки В и Е прямой линией и провести через точки С и D прямые, параллельные этой прямой.

Эти параллельные прямые разделят отрезок АВ на три равные части (п. 113).

Если требуется разделить отрезок АВ на части, пропорциональные трём данным отрезкам, откладываем отрезки AC, CD, DE, соответственно равные заданным отрезкам (черт. 157).

С п о с о б в т о р о й (черт. 158). Пусть требуется разделить отрезок АВ на три равные части. На произвольной прямой ab, параллельной АВ, откладываем равные отрезки ас, cd, db и соединяем точки А и а, В и b прямыми, которые пусть пересекутся в точке О; прямые Ос и Od делят отрезок АВ на три равные части (п. 121).

Если требуется разделить отрезок АВ на части, пропорциональные трём данным отрезкам, то выбираем отрезки ас, cd, db, соответственно равные этим отрезкам.

Построение 2. Найти отрезок, четвёртый пропорционйльный к данным трём отрезкам.

Построение вполне аналогично предыдущему.

Черт. 158.


С п о с о б п е р в ы й (черт. 159). Пусть даны три отрезка — а, b

и с, и пусть требуется найти такой отрезок х, что у =

Откладываем на обеих сторонах О А и ОБ произвольного угла от вершины О отрезки а и Ь\ затем откладываем отрезок с, безразлично где именно, на стороне О А (на чертеже СС'). Прямые, параллельные АВ, проведённые через конечные точки отрезка с, определят на сто-

0 роне ОВ искомый четвёртый пропорциональный отрезок.

Чтобы проводить только одну параллельную, следует совместить один из концов отрезка с с точкой О или с точкой А.

Предоставляем читателю применить и к данной задаче способ второй, указанный для предыдущего построения.

152. Построение 3. Построить на данном отрезке треугольник, подобный данному треугольнику.

Пусть даны треугольник ABC и отрезок А!В*’. Откладываем отрезок AD, рав

ный А'В' на стороне АВ; проведя через точку D прямую DEy параллельную ВС (черт. 160), до пересечения в точке Е со стороной АС, строим на отрезке А'В\ как на основании, треугольник, равный треугольнику ADE (п. 86, построе- qние 4).

Это построение даёт, очевидно, решение следующей задачи.

Задача. Даны две точки А и В фи- A D В А 9 В 'гуры F и соответственные им точки N Черт. 160.и Bf подобной фигуры F'; найти точку, соответствующую какой-либо третьей точке фигуры F.

В частности, повторное применение данного построения позволяет выполнить следующее построение.

Построение За. Построить на данном отрезке многоугольник, подобный данному многоугольнику.

153. Построение 4. Построить отрезок, средний пропорциональный между двумя данными отрезками.

Мы указали три теоремы, приводящие к среднему пропорциональному (пп. 123,125,132). Каждая из этих трёх теорем даёт способ ре-

В D C шения поставленной задачи.Черт. 161. С п о с о б п е р в ы й (черт. 161). Отклады

ваем на какой-либо прямой от одной и той же точки в одном и том же направлении два отрезка ВС и BD, равные данным отрезкам а и b (обозначая через BD меньший из построенных отрезков), и будем рассматривать отрезок ВС как гипотенузу пря


моугольного треугольника, а отрезок BD ■— как проекцию одного из катетов на гипотенузу. Для этого достаточно поместить вершину А прямого угла в точке пересечения перпендикуляра к BD, проведённого через точку D, с окружностью, построенной на ВС как на диаметре. Если точка А, таким образом, определена, то АВ — средний пропорциональный отрезок (п. 123).

С п о с о б в т о р о й (черт. 162). Откладываем на какой-либо прямой от одной и той же точки D в противоположных направлениях дваа,____, отрезка DC и DB, равные данным отрезкам а^ ,______________ | и by и будем рассматривать их как проекции

катетов на гипотенузу. Для этого достаточно поместить точку А, вершину прямого угла, в точке пересечения перпендикуляра к BD, проведённого через точку Д с окружностью, построенной на ВС как на диаметре. Если точка А, таким образом, определена,

Черт. 162. то AD — искомый средний пропорциональныйотрезок (п. 125).

С п о с о б т р е т и й (черт. 163). Пусть требуется найти отрезок, средний пропорциональный между двумя отрезками а и Ь. Откладываем на какой-либо прямой от одной и той же точки О в одном и том же направлении два отрезка О А и ОВ} равные отрезкам а к Ь. Через точки А и В проводим произволь- hную окружность, к которой в свою очередь г ~ ~ ' “ 1

проводим из точки О касательную ОТ; длина этой касательной и будет искомым средним пропорциональным (п. 132).

154. Построение 5. Построить отрезок, квадрат которого был бы равен сумме квадратов двух данных отрезков.

Откладываем два данных отрезка на сторонах прямого угла; искомый отрезок будет гипотенузой построенного таким образом прямоугольного треугольника.

Построение 6. Построить отрезок, квадрат которого был бы равен разности квадратов двух данных отрезков.

Строим (п. 87а) прямоугольный треугольник, у которого больший отрезок служит гипотенузой, а другой отрезок — катетом; второй его катет будет искомым отрезком.

155. Построение 7. Построить два отрезка, зная их сумму и их произведение.

Пусть требуется найти два отрезка, сумма которых равна данному отрезку а — ВС и произведение которых равно произведению двух данных отрезков b и с.

Предположим, что на перпендикулярах, проведённых в концах отрезка ВС, отложены в одном и том же направлении два отрезка ВВГ и СС\ соответственно равные b и с (черт. 164). Искомые два

Черт


отрезка, сумма которых равна ВС, могут быть представлены отрезками ВМ и СМ, где М — определённая точка отрезка ВС. Но, с другой стороны, произведение ВМ • СМ должно быть равно произведению ВВГ • СС'; это равенство может быть записано в виде пропорцииDDI С А/\

= и показывает, что прямоугольные треугольники ВГВМ и ВМ С СМСС — подобны. Следовательно, угол ВМВ', равный соответственному углу МСС, будет углом дополнительным к углу СМС, а потому

( угол ВГМСТ ~ прямой. Таким образом, точка МВ лежит на окружности, имеющей своим диаметром

отрезок В С.Обратно, если окружность, имеющая своим

диаметром В'С, пересекает ВС в точке М, то треугольники ВТВМ и МСС подобны, так как стороны их взаимно перпендикулярны; таким

Черт. 164. образом, получается равенство произведенийВМ • СМ и ВВТ • СС.

У с л о в и я в о з м о ж н о с т и п о с т р о е н и я . Мы взяли произвольные отрезки b и с, но мы можем считать их равными: действительно, не изменяя произведения, можно заменить оба отрезка их средним пропорциональным. Итак, предположим, что ВВ' = ССГ\ тогда четырёхугольник ВВТСС будет прямоугольником. Середина отрезка ВГСТ отстоит при этом от отрезка ВС на расстоянии, равном ВВ\ и радиус окружности будет равен половине ВГС, или, что то же самое, половине ВС. Следовательно, окружность будет пересекать ВС, если отрезок ВВТ равен самое большее половине ВС, другими словами, если данное произведение равно самое большее квадрату половины отрезка ВС.

Если точка М — точка, отвечающая условиям вопроса, то, построив фигуру, симметричную с данной относительно середины отрезка ВС, или, что одно и то же, повернув отрезок ВС так, чтобы точка В совпала с точкой С и точка С — с точкой В, мы получим точку Мг, обладающую тем же свойством, что и первая, так как ВМГ = СМ и ВМ = СМ!. Мы видим, что обе точки пересечения М и Мг окружности, имеющей своим диаметром ВГС, с прямой ВС симметричны относительно середины ВС, в чём можно убедиться непосредственно с помощью п. 63.

Если данное произведение равно квадрату половины ВС (в силу предыдущего это наибольшее из возможных значений произведения), то окружность с диаметром ВТС касается ВС. Следовательно, точки М и М! совпадают с серединой ВС, так что ВМ = СМ. Отсюда заключаем, что произведение двух отрезков, сумма которых постоянна, будет наибольшим, если эти отрезки равны.

П р и м е ч а н и е . Пусть jc — отрезок ВМ. Имеем СМ = а — х и равенство ВМ • СМ — ВВТ • СС напишется так:

ГЛАВА VI. ПОСТРОЕНИЙ 14?

ИЛИ

х* — ах Ьс = 0.

Предыдущее построение позволяет, таким образом, найти отрезок ху удовлетворяющий уравнению

х* — ах —{— Q '====- 0,

где а — данный отрезок и q — произведение двух данных отрезков.Построение 8. Построить два отрезка, зная их разность и

произведение.Пусть требуется найти два отрезка, разность которых равна дан

ному отрезку а = ВС и произведение которых равно произведению данных отрезков Ь и с. Предположим, что на перпендикулярах, проведённых в концах отрезка ВС, отложены в противоположных направлениях отрезки ВВГ и СС', соответственно равные Ь и с (черт. 165).Так как разность искомых отрезков равна ВСу то искомые отрезки могут быть представлены отрезками ВМ и СМ, где М — точка, взятая на продолжении ВС, и мы должны иметь: ВМ • СМ — ВВ' • СС. Как и Черт. 165.в предыдущем построении, можнодоказать, что точка М должна лежать на окружности, описанной на В'С как на диаметре, и что, обратно, точка пересечения этой окружности с продолжением отрезка ВС отвечает условию вопроса.

Так как точки В' и С расположены по разные стороны отрезка ВС, то окружность всегда пересечёт отрезок, а потому задача всегда возможна.

П р и м е ч а н и е . Пусть х — меньший из двух найденных отрезков; тогда другой отрезок равен у = а-\-х, равенство же ху = Ьс может быть записано либо в виде:

х(а-\-х) = Ьс, т. е. х*-]-ах — Ьс — 0,

либо в виде:

(у — а)у = Ьс, т. е. у1 — ay — Ьс = 0.

Таким образом, мы имеем возможность найти отрезок, удовлетворяющий одному из двух уравнений:

х*-\-ах — <7 = 0, y* — ay — q = 0,

где а — данный отрезок и q — произведение двух данных отрезков.

14В КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ

156. Говорят, что отрезок разделён в среднем и крайнем отношении, если большая часть отрезка есть среднее пропорциональное между всем отрезком и другой его частью.

Построение 9. Разделить отрезок в среднем и крайнем отношении.

Пусть дан отрезок ВС (черт. 166), на котором требуется найтиВС BD такую точку D, чтобы — Взяв отношение суммы числителей

ВС BC + BD к сумме знаменателей, получим —.Мы видим, что отрезки BD и ВС-\- BD, разность которых равна

ВС, дают в произведении ВС2. Таким образом, мы пришли к предыдущему построению. Необходимо из двух конечных точек от-

резка ВС провести в противоположных направлениях перпендикуляры ВВ' и СС', равные ВС, и построить затем на отрезке В'С', как на диаметре,

/V/ окружность, которая пересечёт продолжение отрезка ВС за точкой С в некоторой точке М, так что BD = CM будет искомым отрезком.

Отложим от точки В в направлении, противоположном

ВС, отрезок ВП, равный ВМ. Точка П, полученная таким построением, обладает свойством, вполне аналогичным свойству точки D, а именно отрезок ВП есть среднее пропорциональное между отрезками ВС и D'C.

В самом деле, BD' = BC-\-BD, так что пропорция

ВС BD' CD'может быть представлена в виде —Говорят, что тояка D' делит внешним образом отрезок ВС

в среднем и крайнем отношении *).Обратно, чтобы точка D' обладала этим свойством, она должна

B£)tбыть выбрана так, как было указано, потому что из пропорции =

CD’Т получается обратно (составляя отношение разности числителей

BDВПк разности знаменателей) ВС

■ вп — вс * так чт0 СЛУЖИТ °ДНИМ

из отрезков, разность которых равна ВС, а произведение — ВС*.Пусть ВС = а; предположим, что требуется вычислить BD и ВП.

Прежде всего заметим, что в силу равенства отрезков ВВ' и СС'

*) Точки D и П не будут, конечно, гармонически сопряжёнными относительно точек В vi С (см. упр. 173).


окружность, построенная на В'С, как на диаметре, имеет центром точку О, середину отрезка ВС, так что ОС=у. Теорема о квадрате

гипотенузы, применённая к прямоугольному треугольнику ОСС, даёт:

ОС' = ОМ = У + = =

Таким образом, имеем:

CM = BD = aи ВМ=ВГУ = а£-|±-L

157. Задача. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных прямых равно данному отношению.

Пусть даны две прямые Z) и /У, которые пересекаются, положим, в точке О (черт. 167); мы ищем геометрическое место точек, расстояния которых от этих двух прямых относятся, как данные два отрезка d и d'. Если точка Mi — одна из точек искомого геометрического места, то любая точка М' прямой ОМх также принадлежит этому геометрическому месту. Действительно, перпендикуляры, опущенные из точки Mi на прямые D и D', и перпендикуляры, опущенные из точки М! на те же прямые, образуют, очевидно, две фигуры, гомотетичные относительно центра гомотетии О. Отсюда следует, что искомое геометрическое место состоит из прямых, проходящих через точку О. Мы можем построить точки этого геометрического места, отыскивая точки, расстояния которых от прямых D и D' соответственно равны d и d'. Мы знаем, что геометрическое место точек, расположенных на расстоянии d от прямой D, состоит из двух прямых Dx и Z)2, параллельных D; точно так же геометрическое место точек, расстояния которых от прямой D' равны dr, состоит из двух прямых D[ и D^, параллельных D'. Пусть точки Мх и Ж2 — точки пересечения прямых Di и D2 с прямой D[. Прямые ОМх и ОМ% принадлежат искомому

Черт. 167.

150 ЁНЙГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ

геометрическому месту точек. Вместе с тем этими прямыми исчерпывается это геометрическое место; действительно, если точка М! принадлежит геометрическому месту, то прямая ОМ! пересекает D[ в некоторой точке Ml, которая, находясь на расстоянии d! от /У, должна находиться на расстоянии d от D и, следовательно, должна совпадать с точкой М\ или с точкой Ж2.

Если прямые D и П параллельны, то две точки искомого геометрического места будут лежать на каком-либо общем перпендикуляре к этим прямым 1); это будут две гармонически сопряжённые точки, которые делят этот перпендикуляр в данном отношении. Искомое геометрическое место состоит из двух прямых, проведённых через эти точки параллельно данным прямым.

Построение 10. Построить точки, расстояния которых от трёх данных прямых имеют данные отношения.

Сначала строим две прямые, представляющие геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух первых данных прямых равно первому из данных отношений, затем поступаем также относительно двух других из данных прямых. Таким образом, получаем ещё две новые прямые, которые пересекают построенные ранее в четырёх точках, отвечающих условию задачи.

158. Построение 11. Построить общие касательные к двум окружностям.

Мы решили эту задачу в п. 93. Предыдущие теоремы позволяют нам дать решение, совершенно отличное от данного выше. В самом деле, достаточно провести два параллельных радиуса так, чтобы определить центры подобия (п. 143), и провести через один из центров подобия касательную к одной из окружностей: она будет касательной и к другой окружности в силу гомотетии обеих окружностей.

Построение 12. Построить радикальную ось двух окружностей.Если две окружности пересекаются или касаются, то достаточно

провести только общую секущую или общую касательную.Если они не пересекаются и не касаются, то строим какую-либо

третью окружность, пересекающую две данные. Точка пересечения обеих общих секущих принадлежит (п. 139) искомой радикальной оси. Через эту точку проводим перпендикуляр к линии центров данных окружностей или же повторяем первоначальное построение, чтобы определить вторую точку искомой радикальной оси.

П р и м е ч а н и е . Применение предыдущего построения к данной окружности и данной прямой приводит к необходимости допустить, что радикальная ось окружности и прямой есть сама прямая.

Это построение применимо также и в том случае, если одна из окружностей обращается в точку, при этом необходимо, чтобы вспомогательная окружность проходила через эту точку.

*) Случай, когда данное отношение равно единице, представляет исключение. В этом случае имеется только одна точка деления, середина общего перпендикуляра; другая точка удаляется в бесконечность.


Из предыдущего построения непосредственно вытекает способ построения радикального центра трёх данных окружностей, а следовательно (п. 139), и следующее построение.

Построение 13. Построить окружность, ортогональную к трём данным окружностям.

Частными случаями этой задачи являются следующие:Провести:1) через данную точку окружность, ортогональную к двум дан

ным окружностям;2) через данные две точки окружность, ортогональную к данной

окружности.159. Построение 14. Построить окружность, проходящую через

две данные точки и касающуюся данной прямой.Даны две точки A w В (черт. 168) и прямая ХУ; пусть Т—точка

касания искомой окружности с прямой ХУ. Продолжим отрезок АВ до пересечения в точке 1 с прямой ХУ. Известно, что отрезок IT представляет собой среднее пропорциональное между отрезками IAnlB.

Обратно, если точка Т удовлетворяет этому условию, то существует (п. 132) окружность, проходящая через А и В и касающаяся в точке Г прямой ХУ: она определяется построением 13 п. 90.

Так как среднее пропорциональное между IA и IB можно отложить на прямой ХУ от точки / в двух различных направлениях, то существуют две окружности, удовлетворяющие условию.

Задача, очевидно, возможна только, если точки А и В лежат по одну сторону от ХУ.

П р и м е ч а н и я : I. Предыдущий метод неприменим, если прямая АВ параллельна прямой ХУ. Задача имеет в этом случае только одно решение: точка касания есть точка пересечения прямой ХУ с прямой, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину.

II. Напротив, этот метод применим и в том случае, когда точки А и В сливаются в одну на данной прямой IA (пересекающей ХУ в /), другими словами, когда речь идёт об отыскании окружности, касающейся прямой IA в точке А и прямой ХУ. Точка касания Т с прямой ХУ получается, если отложить в том или другом направлении отрезок 1Т=1А.

Построение 15. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности.

Пусть даны две точки А и В (черт. 169) и окружность С. Отыскиваем снова точку касания Т искомой окружности.


Пусть точка / есть точка пересечения прямой АВ с касательной в точке Т. Проводим через точки А и В произвольную окружность, которая пересечёт окружность С в точках Р и Q. Точка I лежит на прямой PQ (п. 139).

Пересечение прямой АВ с прямой PQ определяет точку /; достаточно провести через эту точку касательные к окружности С. Задача

имеет, следовательно, два решения.

У с л о в и е в о з м о ж н о с т и построения. Необходимо, чтобы точка/лежала вне окружности С. Для этого необходимо и достаточно, чтобы эта точка лежала на продолжении отрезка PQ, другими словами, лежала бы вне вспомогательной окружности. Это будет иметь место, когда точки А и В будут находиться обе на одной из

Черт. 169. двух дуг, определяемых точками Р и Q на этой окружности,

т. е. когда точки А и В будут обе внутренними или обе внешними относительно данной окружности.

Здесь можно сделать то же замечание, что и в предыдущем построении, относительно того случая, когда А и В сливаются в одну точку, лежащую на данной прямой.


163. Построить отрезок, отношение которого к данному отрезку равно отношению квадратов двух данных отрезков.

164. Найти отрезок, отношение квадрата которого к квадрату данного отрезка равно отношению двух данных отрезков.

165. Через данную точку провести прямую таким образом, чтобы отрезок этой прямой, заключённый между двумя данными прямыми (или между двумя данными окружностями), делился в этой точке в данном отношении.

166. Через точку, лежащую вне окружности, провести секущую, которая делится этой окружностью в среднем и крайнем отношении.

167. Найти точку, из которой видны под равными углами три последовательных отрезка АВ, ВС, CD одной и той же прямой.

168. Через две точки, лежащие на одном диаметре окружности, провести две равные хорды так, чтобы они имели общий конец.

169. Построить треугольник, зная две его стороны и биссектрису угла, заключённого между ними.

170. Построить треугольник, зная одну его сторону, соответствующую ей высоту и произведение двух других сторон.

171. Достроить треугольник, зная его углы и периметр; или его углы и сумму его медиан; или его углы и сумму его высот, и т. д.

172. Построить квадрат, зная разность диагонали и стороны.173. Чтобы получить точку, гармонически сопряжённую с точкой В от

носительно концов отрезка DD' (черт. 166, п. 156), достаточно отложить на продолжении отрезка ВС за точку С равный ему отрезок (доказать).

ГЛАВА vil. ПРАВИЛЬНЫЕ многоугольники 153

Точка, гармонически сопряжённая с точкой D’ относительно концов отрезка ВС, есть точка, симметричная с точкой D относительно середины отрезка ВС (доказать).

Доказать, что окружность, построенная на DD\ как на диаметре, проходит через вершины (отличные от В и С) квадрата, диагональю которого служит ВС.

174. Даны прямая и две точки А и В; найти на этой прямой точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом.

Эта задача решается косвенным путём, который заключается в том, что сначала отыскивают на прямой точку, из которой АВ виден под данным углом, и исследуют, какова наибольшая величина данного угла, для которой эта задача возможна.

Так же поступают при решении упражнений 175 и 176.175. Даны две параллельные прямые. Построить перпендикулярную к

ним прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключённый между данными прямыми, был виден из данной точки под наибольшим углом.

176. Провести через две точки окружность, которая отсекает на данной прямой хорду данной длины.

Найти наименьшую возможную длину этой хорды, если точки лежат по одну и по другую стороны от прямой.

177. Провести через данную точку окружность, имеющую одну и ту же радикальную ось с двумя данными окружностями.

Г Л А В А VII.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

160. Определения: Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Правильной ломаной линией называется ломаная, у которой все стороны равны и все углы равны и имеют одинаковое направление.

161. Теорема. Если разделить окружность на некоторое число п равных частей, то:

1°. точки деления служат вершинами правильного многоугольника;

2°. касательные к окружности в этих точках служат сторонами второго правильного многоугольника.

1°. Две последовательные стороны многоугольника, имеющего своими вершинами точки деления, очевидно, симметричны относительно радиуса, проведённого в их общую точку; два последовательных угла этого же многоугольника симметричны относительно радиуса, перпендикулярного к их общей стороне.

2°. Йва последовательных угла многоугольника, образованного касательными в точках деления, очевидно, симметричны относительно радиуса, перпендикулярного к их общей стороне; две последовательные стороны этого же многоугольника симметричны относительно радиуса, перпендикулярного к хорде, соединяющей их точки касания.

162. Обратная теорема. Всякий правильный многоугольник, илиу общее, всякую правильную ломаную, можно вписать в одну окружность и описать около другой окружности.


Пусть, например, ABCDEF {черт. 170) — правильная ломаная. Опишем около треугольника ABC окружность; центр О этой окружности лежит на прямой, перпендикулярной к о т р е з к у и проходящей через его середину. Я утверждаю, что эта окружность пройдёт также через точку D. Чтобы это доказать, достаточно заметить, что стороны АВ и CD симметричны одна с другой относительно прямой, перпендикулярной к отрезку ВС и проходящей через его середину, потому что отрезок, симметричный с В А, совпадает с CD по направлению (в силу равенства углов при В и С) и по величине (так как В A —CD). Следовательно, будем иметь OA = OD. Точно так же убедимся, что та же самая окружность, описанная около треугольника BCD, проходит через точку Е} и так далее.

Кроме того, стороны АВ, ВС и т. д., как равные хорды построенной окружности, равно отстоят от её центра; следовательно,

данную ломаную можно описать около второй окружности с центром О.

Радиус этой второй окружности, или расстояние какой- либо стороны до центра, называется апофемой правильной ломаной (или правильного многоугольника.)

П р и м е ч а н и е . Всякий правильный многоугольник с

п сторонами может быть наложен на самого себя с помощью вращений (а именно таких, угол которых измеряется целым числом п-х частей окружности) и симметрий (симметрий относительно прямых, перпендикулярных к сторонам многоугольника и проходящих через их середины, и относительно биссектрис его углов).

163. Мы доказали существование бесчисленного множества правильных многоугольников с каким-либо данным числом сторон я. Докажем, что все эти многоугольники между собой подобны.

Теорема. Два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон подобны; коэффициент подобия равен отношению их радиусов и отношению их апофем.

Действительно, два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон, вписанных в две равные окружности, очевидно, равны; они совмещаются, если совместить обе описанные окружности и одну из вершин.

Итак, пусть даны два правильных многоугольника Р и Р\ вписанных в окружности С и С'. Пересекая радиусы окружности С, проведённые в вершины многоугольника Р, окружностью, концентричной с С и равной С\ мы получим правильный многоугольник, гомотетичный многоугольнику Р относительно центра окружности С и равный многоугольнику Р\

П р и м е ч а н и е . В частности, углы всех правильных многоугольников с одинаковым числом (п) сторон имеют одну и ту же величину.

ГЛАВА VII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 155

Легко вычислить эти углы. Так как сумма углов любого из этих многоугольников равна 2nd — 4d, то каждый из них составит п-ю частьэтой величины и будет равен ^2—

164. Разделив окружность на п равных частей, соединим одну из делящих точек с точкой, отстоящей от неё на р делений, эту последнюю точку — с точкой, отстоящей от неё также на р делений, и т. д. до тех пор, пока мы снова не придём в одну из уже пройденных делящих точек. Если точка Р будет первой из тех точек, в которую мы придём во второй раз, то эта точка не может быть отличной от той точки, с которой мы начали; действи- дтельно, если бы точка Р была концом стороны NPy однажды уже пройденной, то мы пришли бы в точку N во второй раз раньше, чем в точку Р.

Фигура, таким образом построенная, представляет собой несобственный *) многоугольник (п. 21, примечание) и называется звездчатым правильным много- угольником. Например, чертёж 171 изображает звездчатый правильный пятиугольник, полученный делением окружности в точках А, В, С, Z), Е на пять равных частей и соединением этих точек через два деления в порядке ACEBDA (я = 5; /? = 2).

Можно предположить числа п и р взаимно-простыми. В самом деле, если бы эти числа имели общий наибольший делитель d, то всё происходило бы так, как будто бы мы разделили окружность на ~ рав

ных частей и соединили делящие точки через каждые ^ делений.Если пир — взаимно-простые числа, то звездчатый многоугольник

будет иметь точно п сторон. Действительно, так как каждая сторона содержит р делений, то, построив k сторон, мы пройдём kp делений. Мы вернёмся в исходную точку, когда мы пройдём целое число окружностей, т. е. когда kp — число, кратное п. В арифметике доказывается, что это обстоятельство наступает для некоторых значений k, меньших /2, если число р — не взаимно-простое с числом п\ если, наоборот, число р — взаимно-простое с числом я, то это обстоятельство впервые наступает для k, равного п.

Итак, звездчатый многоугольник с п сторонами образуется, если разделить окружность на п равных частей и соединить делящие точки через каждые р делений, где р — любое целое число, взаимно-простое с п и меньшее, нежели п. Однако каждый звездчатый многоугольник получается, таким образом, двумя различными способами. Действительно, если его сторона служит хордой дуги, содержащей р делений, то она

*) Если р не является делителем числа п; в противном случае многоугольник— выпуклый. Прим. ред* перевода.


же будет и хордой дуги,, содержащей п — р делений. Так, например, звездчатый многоугольник, изображённый на чертеже 171, получается соединением делящих точек через каждые два деления или соединением их через каждые три деления. В силу этого следует отбросить половину значений /?, если мы хотим получить каждый многоугольник только один раз. Значение р= 1 (и, следовательно, также значение р = п—1) соответствует многоугольнику в собственном смысле слова.

П р и м е р . Пусть п =15. Числами меньшими 15 и взаимно-просты- ми с 15 будут, кроме 1 и 14, числа 2, 4, 7, 8, 11 и 13. При этом нет надобности рассматривать значения р = 8, 11, 13, которые соответствуют тем же многоугольникам, которые получаются при значениях /7 = 7, 4, 2.

Таким образом, существует один правильный пятнадцатиугольник в собственном смысле слова и три звездчатых пятнадцатиугольника.

165. Построение правильных многоугольников, вписанных в данную окружность. Если мы умеем вписать в окружность правильный многоугольник, то мы умеем и описать около той же окружности правильный многоугольник с тем же числом сторон.

Этот последний образуется касательными к окружности в вершинах вписанного многоугольника.

Если мы умеем вписать в окружность правильный много- угольник, то мы умеем вписать и правильный многоугольник с удвоенным числом сторон.

Для этого достаточно разделить на две равные части дугу, стягиваемую стороной первого многоугольника.

166. 1°. Квадрат. Чтобы вписать в окружность О (черт. 172) квадрат, достаточно провести два взаимно перпендикулярных диаметра АС

и BD: окружность разделится, таким образом, на четыре равные части.

Предыдущее построение позволяет далее построить правильный вписанный восьмиугольник, далее правильный многоугольник с 16, 32, ... и вообще с 2п сторонами.

Сто роиа квад рата, круг радиуса R, равна как из прямоугольного АОВ (черт. 172) имеем:

АВ2 = АО2 -f ВО2 = 2R*.Апофема правильного многоугольника,

сторона которого известна, вычисляется по следующему правилу: квадрат апофемы равен квадрату радиуса описанного круга без квадрата половины стороны. Это вытекает из того, что апофема, половина стороны и радиус описанного круга образуют прямоугольный треугольник.

вписанного в ci==R |/ 2, так треугольника

DЧерт. 172.


Итак, апофема а правильного многоугольника со стороной с, вписанного в круг радиуса /?, равна

4.

Для квадрата эта апофема равна

«, = |/

Она равна половине стороны, что очевидно a priori.167. 2°. Шестиугольник. Теорема. Сторона правильного впи

санного шестиугольника равна радиусу окружности. Пусть (черт. 173)—сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность с центром О. Я утверждаю, что треугольник ОАВ равносторонний.

Прежде всего этот треугольник — равнобедренный. С другой стороны, угол при точке О, заключающий между своими сторонами шестую часть окруж-

4 2ности, равен-тг d> или -~-d. Остаётся,

следовательно, 2d — ^ для Черт. 173.

суммы углов при А и В. Так как эти два угла равны между собой,2

то каждый из них равен yd. Рассматриваемый треугольник равноугольный и, следовательно, равносторонний.

Апофема правильного вписанного шестиугольника равна

R]/_3 2

3°. Равносторонний треугольник. Соединяя через одну вершины шестиугольника, получим вписанный равносторонний треугольник АСЕ (черт. 173).

Сторона АС этого треугольника, будучи перпендикулярной к радиусу ОВ, равна удвоенной высоте треугольника АОВ, т. е. (так как три высоты равностороннего треугольника равны) удвоенной апофеме шестиугольника, а потому с3 = /?]/зГ

В этом можно ещё убедиться, замечая, что точки В и Е диаметрально противоположны ( как заключающие между собой у части

окружности у Следовательно, треугольник АВЕ — прямоугольный спрямым углом при А, и сторона АЕ равна удвоенному перпендикуляру, опущенному из середины О отрезка BE на сторону АВ.


Апофема вписанного равностороннего треугольника равна аг—Умея строить вписанный шестиугольник, можно построить вписан

ные многоугольники с 12, 24, ... и вообще 3 • 2п сторонами.168.4°. Десятиугольник. Теорема. Сторона правильного вписан

ного десятиугольника равна большему отрезку радиуса., разделённого в среднем и крайнем отношении.

Пусть АВ (черт. 174) — сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О. Угол при О ра

вен ~ d, или \i-d. Сумма углов А и В

треугольника АВО равна, следовательно,2 82d—-^d=-^d, и каждый из них равен

~ d. Проведём теперь биссектрису AI

Черт. 174. угла Л (/—точка пересечения этой биссектрисы с ОВ), которая образует с ОА и

2АВ углы в -^d. Угол AIB — внешний угол треугольника АЮ, равный сумме двух внутренних не прилежащих к нему углов, равен в дан-

4ном случае -g- d. Отсюда следует, что два треугольника AIB и АЮ —

равнобедренные и что АВ ==шА1= 01. На основании свойства биссектрисы (п. 115) имеем:

01 _ОА 01 _ОВ1В~~ АВ’ ИЛИ IB ~ 01’

что и доказывает теорему.Следовательно, сторона правильного вписанного десятиуголь

ника определяется построением 9 (п. 156).Эта сторона равна

а апофема десятиугольника:

aio = У R2 - R2 =^10 + 2/57

169. Кроме правильного выпуклого десятиугольника, существует правильный звездчатый десятиугольник, который получается, если соединить вершины первого через каждые две его вершины.

Стороны выпуклого десятиугольника и звездчатого десятиугольника можно получить при помощи следующего предложения:


Теорема. Разность сторон обоих правильных вписанных десятиугольников равна радиусу, а их произведение равно квадрату радиуса.

Пусть снова АВ (черт. 174) — сторона правильного выпуклого десятиугольника, так что половина окружности AF разделена на пять равных частей точками В, С, D, Е. AD — сторона звездчатого десятиугольника; кроме того, прямая AD совпадает с биссектрисой AI угла ОАВ, так как вписанные углы FAD и DAB отсекают на окружности равные дуги. Радиус OD параллелен АВ, так как каждый из внутренних накрестлежащих углов— /_ODA и /_DAB — равен углу OAD; следовательно, треугольники AIB и DIO подобны, и потому треугольник DIO, как и треугольник AIB, — равнобедренный (сравнить п. 168). Отсюда имеем прежде всего:

AD — АВ = AD — AI = ID = OD.Что касается соотношения

АВ . AD = AI. AD=OA\

то оно вытекает из подобия треугольников АЮ и AOD, имеющих соответственно равные углы.

Итак, стороны двух правильных десятиугольников соответствуют двум способам деления (внутреннему и внешнему) радиуса в среднем и крайнем отношении (п. 156, построение 9).

Сторона звездчатого десятиугольника равна

п V$+ 1 cw=RZ—j-—,а его апофема:

alo=/ R*—R* (^J=_L)2 = * у ю _ 2 /Т.

170. 5°. Пятиугольник. Соединяя через одну вершины правильного выпуклого десятиугольника, мы получаем правильный выпуклый пятиугольник. Соединяя далее через одну вершины этого правильного пятиугольника, или, что то же, соединяя вершины правильного выпуклого десятиугольника через три, мы получаем звездчатый правильный пятиугольник.

Сторона АС правильного выпуклого пятиугольника равна удвоенной высоте треугольника АО В (черт. 174), выходящей из точки А. Таким образом, её можно вычислить, зная сторону десятиугольника, так как можно вычислить высоты треугольника, три стороны которого известны. Однако проще заметить, что сторона выпуклого пятиугольника равна удвоенной апофеме звездчатого десятиугольника. Действительно, в этом можно убедиться либо из равнобедренного треугольника АЮ, две высоты которого (т. е. половина стороны выпуклого пятиугольника и апофема звездчатого десятиугольника) равны, либо из прямоугольного треугольника ADF, сто


рона DF которого равна стороне пятиугольника, а параллель к стороне пятиугольника, проведённая через точку О, — апофеме звездчатого десятиугольника. Следовательно, сторона и апофема правильного выпуклого пятиугольника соответственно равны:

R4св = 2а,'о = §]/ 1 0 - 2 / 5 и а , = § ( / 5 + 1 ) .

Точно так же убедимся из рассмотрения прямоугольного треугольника ABF, что сторона звездчатого пятиугольника равна удвоенной апофеме выпуклого десятиугольника, т. е.

5 = у|/Л10-]-2}/5, а его апофема: Я5==~(|/5- 1).

П р и м е ч а н и е . Аналогичное рассуждение доказывает вообще, что вычисление стороны и апофемы многоугольника (выпуклого или звездчатого), полученного делением окружности на 2п-\-\ равных частей и последовательным соединением делящих точек через каждые р делений, приводится к вычислению апофемы и стороны многоугольника, полученного делением окруж

ности на 4/2 -f- 2 равных частей и последовательным соединением делящих точек через каждые q делений, если число q связано с числом р равенством1)

4/2 —[— 2 2 ’

6°. Пятнадцатиугольник.

2р -[- q — 2/г 4- 1.2л 4- 1 '

171. 6°. Пятнадцатиугольник. Пусть требуется вписать правильный выпуклый пятнадцатиугольник. Мы сумеем вписать этот многоугольник, если построены шестиугольник и десятиугольник, с помощью следующей теоремы.

Теорема. Дуга, стягиваемая стороной правильного вписанного пятнадцатиуголь-

ника, есть разность дуг, стягиваемых сторонами шестиугольника и десятиугольника.

Действительно, эта дуга равна одной пятнадцатой части окруж-* 1 1 1 ности, а дробь yg равна разности -g- — jq.

Итак, строим в данной окружности с помощью циркуля от одной и той же точки А (черт. 175) хорды АВ и АС, равные соответ

1) Это же замечание позволяет, и обратно, свести вычисления, относящиеся к многоугольнику с 4/2 4~ 2 сторонами, к вычислениям относящимся к многоугольнику с 2п-\-\ сторонами. Действительно, многоугольник, имеющий 4/2 4-2 сторон, соответствует нечётному значению q (п. 164); поэтому число 2/1-|-1—q будет чётным и соотношение 2р == 2/г 1—q определяетцелое число р, взаимно простое с 2/2 4-1, которому в свою очередь соответствует многоугольник с 2п 4- 1 сторонами; достаточно вычислить сторону и апофему этого последнего многоугольника. Так, выполнение вычислений для пятнадцатиугольников (пп. 174 и 175) даст также и результаты, относящиеся к тридцатиугольникам.

Глава vti. правильные многоугольники 161

ственно стороне шестиугольника и стороне десятиугольника. ВС будет искомой стороной.

Кроме правильного выпуклого пятнадцатиугольника, существуют три звездчатых пятнадцатиугольника (п. 164), стороны которых стя-

2 4 7 ~гивают соответственно дуги в yg» Y5 и 15 0КРУЖН0СТИ* ^ти ДУГИ>которые, очевидно, можно получить из первого пятнадцатиугольника, получаются, впрочем, построениями, совершенно аналогичными построению выпуклого пятнадцатиугольника.

Дуга, стягиваемая стороной первого звездчатого пятнадцатиугольника, равна разности дуг, стягиваемых стороной звездчатого десятиугольника и стороной шестиугольника.

Дуга, стягиваемая стороной второго звездчатого пятнадцатиугольника, равна сумме дуг, стягиваемых стороной выпуклого десятиугольника и стороной шестиугольника.

Дуга, стягиваемая стороной третьего звездчатого пятнадцати- угольника, равна сумме дуг, стягиваемых стороной звездчатого десятиугольника и стороной шестиугольника.

В самом деле, имеем:

2_ J5______1_ ±_J_ I _L _1 — Ail15““ 10 6’ 15 10 * 6’ 15 10 ‘ 6*

172. Вообще, если мы умеем вписать правильные многоугольники с тип сторонами, где числа тип — взаимно простые, то мы умеем вписать и правильный многоугольник с тп сторонами.

Действительно, стороны двух известных многоугольников стягивают дуги, соответственно равные одной т-й и одной п-й части окружности.Откладывая л; раз подряд первую дугу и отнимая у раз вторую, получаемдугу, стягиваемую стороной искомого многоугольника, если целые числа х и у удовлетворяют равенству

т п тп ’

илипх — ту = 1.

Как известно, это равенство невозможно, если тип имеют общий делитель, но если тип — числа взаимно простые, то всегда можно найти два целых числа х и у, которые ему удовлетворяют.

Например, правильные двенадцатиугольники вписываются непосредственно с помощью квадрата и треугольника, так как = ------------------------------—•

12 о 4 1_

12 "“3 4В примечании к п. 170 рассматривается частный случай этого положе

ния, когда из двух чисел тип одно равно двум, а другое — число не- чётное.

173. Г а у с с доказал, что с помощью линейки и циркуля можно вписать в окружность любой правильный многоугольник, число сторон которого есть простое число вида 2^ —J— 1. Таким образом, мы сможем вписать правиль-

6 Элементарная геометрия, ч. I

162 Книга третья, подобие

ные треугольник ( 2 + 1 = 3 ) и пятиугольник (22 + 1 = 5), далее идут многоугольники с 17 (= 24 + 1), 257 (= 28 + 1) и т. д. сторонами *).

Это предложение в соединении с теми, которые мы ранее доказали, показывает, что можно вписать с помощью линейки и циркуля правильный многоугольник с N сторонами, если число N, разложенное на простые множители, содержит только: 1) простые множители вида 2 я + 1 , различные между собой, и 2) множитель 2 в какой-либо степени. Доказывается, обратно, что нельзя вписать многоугольник с помощью линейки и циркуля, если число N не принадлежит к той категории, которую мы определили.

Таким образом, правильный многоугольник с 170 (=2 * 5 - 1 7 ) сторонами может быть вписан, но не может быть вписан многоугольник с 9 сторонами, так как число 9 хотя и равно степени 2, увеличенной на 1, но оно не есть число простое, с другой стороны, хотя простые его множители, из которых оно составлено (9 = 3 • 3), имеют вид 2п1, но они равны между собой.

174. Чтобы вычислить сторону правильного выпуклого пятнадцати- угольника, вписанного в окружность радиуса R, положим, что АВ и АС (черт. 175) — соответственно стороны вписанного шестиугольника и десятиугольника, так что ВС — искомая сторона. Из точки А опустим на прямую ВС перпендикуляр АН; имеем ВС==ВН—СН.

Но угол АВН, как вписанный угол, опирающийся на дугу АС, равен половине центрального угла, соответствующего стороне десятиугольника, так что отрезок ВН равен апофеме выпуклого десятиугольника, вписанного в окружность радиуса АВ; отсюда, так как AB — R)

ВН = ^УТо + 2/5-= £|Ло + 2/f.

Точно так же угол АСН, равный вписанному углу, опирающемуся на дугу АСВ (так как оба эти угла — пополнительные углу АСВ)У равен половине центрального угла, соответствующего стороне правильного шестиугольника, так что СН есть апофема правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса АС, т. е.

СН=АСЦ = Ии, следовательно,

ВС=~ ]Ло-]f-2/5-—/3(/5”—1)J.

Ясно, что последний метод применяется каждый раз, когда тре- буется решить следующую задачу: даны хорды двух дуг окружности данного радиуса; найти хорду дуги, равной их разности.

В частности, чтобы вычислить сторону первого звездчатого пятна- дцатиугольника, мы повторяем то же самое рассуждение, заменяя сторону и апофему выпуклого десятиугольника стороной и апофемой

1) Пользуясь тем, что сумма одинаковых нечётных степеней делится без остатка на сумму оснований, легко доказать, что для того, чтобы 2п -f- 1 было простым числом, необходимо, чтобы п было степенью двух (однако это условие недостаточно).


звездчатого десятиугольника. Следовательно, искомая сторона будет равна:

# Г/_лг4 ' £(]/5 *-)- l) |/3 — |Ло |/5 J.

Пусть теперь требуется вычислить сторону второго звездчатого пятнадцатиугольника.

Пусть АВ и АС — стороны шестиугольника и выпуклого десятиугольника, но отложены в данном случае на окружности в противоположных направлениях, так что ВС есть искомая сторона (черт. 176).

Из точки А опустим снова перпендикуляр АНГ на ВС. Отрезки ВН7 и СН7 равны — один апофеме выпуклого десятиугольника, вписанного в окружность радиуса АВ, другой — апофеме шестиугольника, вписанного в окружность радиуса АС. Их сумма ВС будет, таким образом, равна:

ВС' == Щ/ю + 2 /5~ + /Г( /5 - 1)]. Ч^Гт

Ясно, что так следует поступать каждый раз, если требуется, зная хорды двух дуг окружности данного радиуса, найти хорду дуги, равной их сумме.

В частности, мы найдём для стороны третьего звездчатого пятнадцатиугольника значение

Я4 (/5 + 1) /3 -\-у 10 — 2 /5

175. Можно вычислить апофему пятнадцатиугольника, зная его сторону, но при этом потребуется извлечение нового квадратного корня; вместо этого можно получить апофему (без такого извлечения корня) приёмом, аналогичным приёму, использованному для вычисления стороны.

На чертеже 175 мы проводим диаметр CD через точку С. Прямоугольный треугольник BCD показывает нам, как и прежде, что BD равна удвоенной искомой апофеме. Из точки А опускаем перпендикуляр АК на BD. Так как угол ADB равен (как вписанный угол) половине центрального угла, соответствующего стороне шестиугольника, то отрезок DK равен апофеме шестиугольника, вписанного в круг радиуса AD\ следовательно,

D K — A D v ± или

так как A D равна удвоенной апофеме правильного десятиугольника, вписанного в данную окружность,

6 *


С другой стороны, угол ABD равен углу ACD, т. е. дополнению половины центрального угла, соответствующего стороне правильного десятиугольника, а следовательно, угол КАВ равен половине этого центрального угла; поэтому отрезок ВК равен половине стороны десятиугольника, вписанного в круг радиуса АВ, т. е.

ВК= АВ = R4 4

Таким образом, искомая апофема будет:

в п ^ щ т =«|-/г^7^7г+()/5-_ ,)].

Аналогичное рассуждение даёт для апофемы первого звездчатого пятнадцатиугольника значение:

Ц/ТУ] 0-2/Г+(/Г+1)];для апофемы второго звездчатого пятнадцатиугольника — значение:

|[/Г|/Т0 + 27Г-(/Г-1)];для апофемы третьего звездчатого пятнадцатиугольника — значение:

I [/Г/То^-2/Г-(/5"+1)].

176. Теорема. Пусть Р—периметр правильного описанного около окружности многоугольника, р — периметр правильного вписанного в ту же окружность многоугольника с тем же числом сторон. Если безгранично удваивать число сторон, то Р и р стремятся к одному и тому же пределу L.

Пусть a b e d . . . (черт. 177) — вписанный в окружность многоугольник и ABCD... — описанный многоугольник, стороны которого имеют своими точками касания вершины первого многоугольника. Удвоим число сторон этих многоугольников, деля на две равные части каждую из дуг ab, be, cdy ... так, чтобы образовался новый правильный вписанный многоугольник aebfeg... и соответствующий новый описанный правильный многоугольник EFGHKL.. . (черт. 177). Поступим с новыми многоугольниками так же, как с первоначальными, и так далее до бесконечности.

Я утверждаю, что периметры р вписанных многоугольников и периметры Р описанных многоугольников стремятся к общему пределу.

Мы докажем это, основываясь на следующих соображениях:1°. Периметры р возрастают; например, многоугольник aebfeg...

имеет больший периметр, чем многоугольник abed. . . , так как последний многоугольник лежит внутри первого.


2°. Периметры Р убывают; например, многоугольник EFGHKL... имеет меньший периметр, чем многоугольник ABC. . . , так как первый многоугольник лежит внутри второго.

3°. Любой периметр р меньше любого периметра Р, так как всякий вписанный многоугольник лежит внутри любого описанного многоугольника.

Величина р постоянно возрастает, оставаясь всё время меньше некоторого постоянного значения (именно меньше какого-либо из значений Р)у и, следовательно, стремится к пределу.

В Н КС

Точно так же величина Р постоянно убывает, оставаясь всё время больше определённого значения (именно больше какого-либо из значений /?), и, следовательно, также стремится к пределу1).

Оба эти предела равны. Действительно, два правильных многоугольника, вписанный и описанный, с одинаковым числом сторон — подобны, и их периметры относятся, как их апофемы. Апофема описанного многоугольника равна радиусу R данной окружности, так что

р а *

где а обозначает апофему вписанного многоугольника.Но при неограниченном удвоении числа сторон апофема а стре-

Рмиться к R. Таким образом, предел отношения —, т. е. отношение обоих предыдущих пределов, равен 12).

*) Автор предполагает известными следующие предложения теории пределов:

Если переменная величина возрастает, оставаясь всё время меньше некоторого постоянного числа, то эта величина стремится к некоторому пределу.

Если переменная величина убывает, оставаясь всё время больше некоторого постоянного числа, то эта величина стремится к некоторому пределу. Прим. ред. перевода.

2) Автор точно так же предполагает известным следующее предложение: Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов этих величин, если предел второй из них не равен нулю. Прим. ред. перевода,


177. Я утверждаю теперь, что периметр всякого выпуклого многоугольника, вписанного или описанного х), все стороны которого неограниченно убывают, также стремится к пределу L, рассмотренному в предыдущей теореме.

В частности, этот предел не зависит от выбора исходного правильного многоугольника abed ...

Действительно, пусть а!ЬгсТ . . . (черт. 178) — какой-либо вписанный многоугольник, АГВ\ .. —выпуклый описанный многоугольник, образо

ванный касательными в точках а!, Ь\ с\ . . . ; и пусть рт и Рг — периметры этих двух многоугольников.

Рассмотренный в предыдущем пункте предел L заключён между рг и Р', так как //, например, меньше какого-либо из периметров Р, рассмотренных в предыдущем пункте и имеющих своим пре-

Черт. 178. делом L, так что мы имеем: p r ^ L \точно так же находим, что Pr > L.

С другой стороны, прямая О А' пересекает сторону а!Ьг в её середине Ну и из прямоугольных треугольников Оа Н и ОагА', которые подобны как имеющие общий острый угол, мы имеем:

а'А' + А'Ь' _а'А' _ R а'Ь' ~ а'Н — ОН *

Точно так же

Ь'В' + В'с' __ R b'c' — ОК'

(где К обозначает середину стороны brcr) и т. д.Рассмотрим левые части всех этих равенств и возьмём сумму

числителей и сумму знаменателей: мы получим, таким образом, отношение, заключённое между наибольшим и наименьшим из первоначальных отношений, так что

где / заключено между наибольшим и наименьшим из значений -qjj, RО К ’ " ' '

Если теперь многоугольник изменяется так, что все его сторону неограниченно уменьшаются, то все расстояния, аналогичные О//, стре^

' О Н О К Л Vмятся к R и все отношения -5-, -5—^к1. То же самое относитсян к

В '

г) При этом, однако, предполагается! что окружность расположена ену-s три описанного многоугольника,


Р L Рк -г и, следовательно, также к отношениям — или -у-, каждое изр1 р L

Р'которых заключено между 1 и —.Таким образом, Рг и рт стремятся к L.Определение. Длина L, общий предел периметров вписанных в

окружность и описанных около неё многоугольников, стороны которых неограниченно уменьшаются (существование этого предела нами доказано), называется длиной окружности.

178. Теорема. Длины двух любых окружностей относятся между собой как их радиусы.

Пусть С, Сх — длины окружностей радиусов R, Rt. Впишем в эти окружности два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон. Эти многоугольники подобны; следовательно (п. 146, следствие), их периметры Р и Рх относятся между собой как радиусы окружностей.

РНо когда число сторон неограниченно возрастает, отношение -р- стре-Q

мится к отношению длин двух окружностей. Итак, теорема доказана.Следствие. Отношение длины окружности к диаметру есть

число постоянное.С RВ самом деле, пропорцию — = — можно записать в видеbi Hi

С C i С CiR ~Ri или 2R —2/V

Отношение длины окружности к диаметру будет, таким образом, одно и то же для двух любых окружностей.

Это постоянное число, выражающее отношение длины окружности к диаметру, обозначается греческой буквой тс.

Следствие. Длина окружности радиуса R равна 2тсR.179. Определение. Длина дуги окружности есть предел, к ко

торому стремится длина выпуклой ломаной, вписанной или описанной, концами которой служат конечные точки дуги и длины всех сторон которой неограниченно уменьшаются.

Существование такого предела доказывается с помощью тех же рассуждений, которые были применены для длины всей окружности» Рассматривают сначала правильную ломаную, вписанную или описанную, число сторон которой неограниченно удваивается; после этого рассматривают произвольную ломаную *)*

*) Этот способ доказательства можно распространить на любую выпук* лую дугу Л, т. е. такую дугу, что никакая её часть не пересекается с со* ответствующей ей хордой. Для этого достаточно, чтобы любому числу т (сколь угодно близкому к 1) можно было поставить в соответствие такую длину s, что для любой части дуги Л, концы которой находятся друг от друга на расстоянии, меньшем е, отношение хорды аЪ к сумме отрезков касательных ас-\-Ьс (черт. 179) заключалось между т и 1: это условие (как доказывается в курсах анализа бесконечно малых) всегда выполняется в силу известных предположений относительно тех кривых, которые прихо-

i68 КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБЙЕ

Любая дуга окружности длиннее соответствующей ей хорды, так как она служит пределом ломаных, которые все длиннее этой хорды и периметры которых возрастают. По аналогичной причине эта дуга короче всякой объемлющей её ломаной, имеющей с ней общие концы *).

Отношение дуги окружности к соответствующей хорде стремится к единице, когда дуга стремится к нулю (если окружность остаётся постоянной). Действительно, длина дуги а!Ьг (черт. 178) заключена между длиной соответствующей хорды и периметром ломаной а!А!Ь\ образованной касательными в её концах; отношение этих двух величин стремится, как мы видели (п. 177), к единице, когда дуга a'bf неограниченно убывает.

179а. Две равные дуги имеют одинаковую длину, так как ломаные, служащие для определения их длин, могут быть выбраны соответственно равными друг другу. Сумма двух дуг имеет своей длиной сумму длин этих дуг, так как ломаные, вписанные в каждую из этих дуг, образуют вместе ломаную, вписанную во всю дугу.

Итак, согласно основному положению, на которое мы уже несколько раз ссылались, отношение длин двух дуг одной и той же окружности равно отношению самих дуг (п. 17). В частности эти длины относятся между собой как числа, измеряющие эти дуги в градах (п. 18а) или в градусах.

Так как длина окужности радиуса R равна 2kR и эта окружность .

содержит 360 градусов, то длина дуги в один градус равна щ.Дуга в одну минуту имеет длину в 60 раз меньшую, а именно

«Л» О л* О1о7Ж ; дУга в 0ДНУ секУндУ - 180.60 • 60 •

дится рассматривать. При этом (как и в п. 177) отношение периметра вписанной ломаной к периметру соответствующей описанной ломаной необходимо стремится к 1, когда число сторон неограниченно возрастает таким образом, что каждая из них стремится к нулю.

Существование предела доказывается сначала для такой последовательности ломаных, что вершины каждой ломаной принадлежат к числу вер

шин последующей ломаной (рассуждение, применённое в п. 176); далее переходят к общему случаю, как в п. 177.

, , Невыпуклую дугу можно разбить на нескольковыпуклых дуг.

/ *) Это рассуждение, очевидно, распространяетсяЧеот 179 на длины ДУГ произвольных кривых, определяемые

Р * с помощью рассуждений, приведённых в предыдущейсноске. В частности, прямая линия представляет собой

кратчайшее расстояние между двумя точками. Выпуклая дуга (см. предыдущую сноску) короче любой (ломаной или кривой) линии, объемлющей эту дугу и имеющей с ней общие концы.


тСледовательно, длина дуги окружности радиуса R, содержащая

градусов, п минут, р секунд, равна

180 60

Длина дуги в п градов равнатс Rn

200Г *180. Таким образом, мы видим, что можно вычислить длину

дуги какой-либо данной окружности, если известно число тс.Вычисление тс. Метод периметров. Чтобы вычислить это число,

или, что то же самое, чтобы вычислить длину окружности данного радиуса R, мы должны по определению вычислить периметры правильных вписанных многоугольников, число сторон которых неограниченно удваивается. Периметр каждого из этих многоугольников даёт приближённое значение с недостатком искомой длины, причём это значение даёт тем большее приближение, чем больше число сторон. Если одновременно с вычислением периметра вписанного многоугольника мы умеем вычислить периметр соответствующего описанного многоугольника, то мы можем получить, таким образом, приближённое значение с избытком, и разность приближённых значений с избытком и с недостатком даст верхнюю границу ошибки, которую мы допустим, принимая за длину окружности значение одного из двух периметров. Но мы умеем вычислять стороны некоторых правильных вписанных многоугольников, в частности сторону квадрата. Чтобы получить из неё стороны многоугольника с 4 • 2, 4 • 22, ... , 4-2", ... сторонами, достаточно решить следующую задачу. г

Задача. Зная сторону правильного многоугольника, вписанного в окружность данного радиуса, вычислить сторону правильного многоугольника, вписанного в ту же окружность и имеющего вдвое большее число сторон.

Пусть АВ — с(черт. 180) — сторона данного многоугольника, вписанного в круг радиуса OA = R.

Деля дугу АВ на две равные части радиусом ОС, перпендикулярным к хорде АВ в её середине Я, получаем сторону АС правильного вписанного многоугольника с удвоенным числом сторон.

Теперь имеем из треугольника О АС:ЛС2 = ОЛ2 + ОС2 — 2ОС • ОН — 2/?2 — 2R • ОН= 2R (R - ОН);

но ОН равно |[R} — Т а к и м образом, искомая сторона сх будет:


Отсюда, так как сторона квадрата равна

/?]/2, а его периметр 4/?j/2,

то сторона правильного вписанного восьмиугольника равна

R]/ 2 — /2, а его периметр 8R ]/" 2 — |/ 2,

сторона правильного вписанного шестнадцатиугольника равна

2-j- - / 2 , а его периметр 16/? |/"2

И т. д.180а. Чтобы получить приближённое значение с избытком длины

окружности, достаточно вычислить периметр правильного описанного многоугольника и, следовательно, решить следующую задачу.

Задана. Зная сторону правильного многоугольника, вписанного в окружность данного радиуса R, вычислить сторону правильного описанного около той же окружности многоугольника с тем же числом сторон.

Искомую сторону с' находим непосредственно, замечая, что оба многоугольника подобны и, следовательно, их стороны относятся между собой как их апофемы. Так как апофема описанного мно

гоугольника равна /?, а вписанного равна jX R* — ^;, то искомая сторона получается из пропорции

^ _ R

'

Мы показали, как вычислить сторону с правильных вписанных многоугольников с всё бблыиим и большим числом сторон; предыдущая пропорция позволяет вычислять стороны соответствующих описанных многоугольников.

181. Можно также, зная сторону с правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса R, получить сразу сторону сх и апофему ах правильного многоугольника с удвоенным числом сторон, вписанного в ту же окружность (что даёт сторону соответствующего описанного многоугольника без нового квадратного корня), с помощью следующего приёма.

Пусть С' — точка, в которой продолженный радиус ОС пересекает окружность (черт. 180); треугольник АСС' — прямоугольный и даёт (п. 123, примечание)

АС ■ АС' = СС' ■ AH = 2R = Rc

и, с другой стороны,

АС2 + АС12 = CC’S = 4/?3.

ГЛАВА VII. ПРАВИЛЬНЫЕ многоугольники i?i

Умножим первое равенство на 2 и прибавим его ко второму; получим:

АС2 + АС'2 + 2АС • АС' = (АС + АС')2 = 4R2 + 2Rc.Таким образом,

ЛС + ЛС'=: J/"4tf2 + 2/?c=2|/

Если после умножения первого равенства на 2 мы вычтем его из второго, то получим:

АС2 + АС'2 — 2АС • АС = (АС' — АС)2 = 4R2 — 2Rc.Таким образом:

AC'-AC=VAR^Wc = 2y —-i).

Складывая и вычитая почленно эти два равенства, получим:

лс=У д ( д + 4) - у Л д ( « - 1) ;

АС = У R [ R + i r ) + Y r ( r — { ) ,

что даёт ответ на поставленный вопрос, так как отрезок АС равен искомой стороне Ci и АС' — удвоенной апофеме аь

Итак, мы знаем теперь, как вычислить хорду половины каждой из двух дуг, которые стягивает данная хорда в окружности данного радиуса.

182. Вычисление тс. Метод равных периметров. Предыдущий метод можно представить в несколько иной форме.

Действительно, задача состоит в вычислении отношения периметра р правильного многоугольника к радиусу R описанного круга и к апофеме а, или, что то же, к радиусу вписанного круга, причём это вычисление должно быть выполнено для многоугольников, число сторон которых неограниченно возрастает. Но совершенно безразлично, будут ли многоугольники, которые мы последовательно рассматриваем, вписанными в одну и ту же окружность или нет, так как отношения

и — зависят только от числа сторон многоугольника (п. 163). R аМетод равных периметров заключается в рассмотрении пра

вильных многоугольников, число сторон которых неограниченно удваивается и которые имеют один и тот же периметр. Таким образом, мы должны сперва решить следующую задачу.

Задача. Зная радиус R и апофему а правильного многоугольника *), вычислить радиус Rr и апофему аг правильного многоугольника с удвоенным числом сторон, имеющего с первым равный периметр.

Пусть АВ (черт. 181) — сторона правильного многоугольника с п сторонами, вписанного в окружность радиуса OA=R. Опустим на АВ перпендикуляр О Н — а и продолжим его до встречи с окружностью в точке С, середине дуги А В . Соединим точки А и В с точкой С и

х) Под «радиусом» правильного многоугольника здесь и далее понимается радиус описанной около него окружности. Прим. ред. перевода.


пусть А' и Вг будут середины этих двух отрезков, а отрезок ArBf пусть пересекает ОС в точке Нг.

Отрезок А!ВГ есть сторона правильного многоугольника с 2п сторонами, вписанного в окружность радиуса ОАг.

Действительно, так как угол АОВ отсекает на окружности радиуса О А дугу, равную одной п-й части окружности, то угол АгОВ\

который равен его половине (так как угол АгОС равен половине угла АОС и угол В1 ОС — половине угла ВОС), отсекает на окружности радиуса О А! дугу, равную одной 2я-й части этой окружности.

Этот многоугольник имеет тот же периметр, что и данный.

Черт. 181. Действительно, сторона АГВГ этогомногоугольника, соединяющая сере

дины АС и ВС, равна половине первоначальной стороны АВ> в то время как число сторон многоугольника удвоено.

Искомые длины Rr и а! суть, таким образом, О А! и ОН'.Точка Н' есть середина СН, так что имеем:

ОНТ — ОН = ОС — ОН\

Это можно переписать в виде

20Н' = ОС -J- ОН или ОН' = Щ™,

т. е. ОНг есть среднее арифметическое между ОС и ОН.С другой стороны, прямоугольный треугольник ОАгС даёт

ОА' = / ОС-ОН,

т. е. ОАт есть среднее геометрическое между ОС и ОН.Таким образом, аг вычисляется по формуле

затем R' по формулеR' = V№.

Повторяя эти две операции, получаем значения а и R для многоугольников с числом сторон всё большим и большим. Отношения значений этих двух величин к общему полупериметру многоугольников

1дают примерные значения —, — первые с недостатком, вторые с избытком,— и при этом всё с большим и большим приближением.

Предположим для упрощения, что общий периметр многоугольников равен удвоенной единице длины, и примем за первый из них квадрат. Апофема этого многоугольника будет равна половине стороны,

т. е. -i-, а радиус — стороне, делённой на |/2, т. е. .Приняв

а = ~, а /? = > получим из предыдущих формул значения а'

и /?', соответствующие правильному восьмиугольнику, и т. д.

Но если принять а-0 и ^у1), то эти формулы дадут

Таким образом, мы приходим к следующемупредложению (теорема Ш в а б а ) .

Теорема. Если составить ряд чисел, первые два числа которого 0 и ~ и каждый член которого попеременно является сред

ним арифметическим и средним геометрическим двух предыдущих, то члены составленного таким образом ряда стремятся к -i- .

183. Так как числа а и R, последовательные члены предыдущего ряда, представляют собой приближённые значения числа — пер

вые с недостатком, вторые с избытком, — то ошибка, которую мы

получим, если примем одно из них за приближённое значениебудет меньше, нежели R — а

Но мы имеем:

Чтобы это доказать, возьмём снова чертёж 181 и отложим на ОС длину ОС =ОА' — R'. Отрезок С'Н' даёт Rr — а!. Но углы СА'Нг и С AJC равны, так как они измеряются половиной равных дуг СТВТ и А!СГ окружности О А! (один как вписанный угол, другой как угол, образованный касательной и секущей). Теорема о биссектрисе (п. 115) показывает, что отрезки Н'С' и С'С относятся между собой, как АГН' и А'С. Следовательно, Н'СГ меньше половины отрезка Н'С,

аравной четверти СН, т. е. —j— .

_________________________ ГЛАВА VII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 173

*) Эти два числа соответствуют делению окружности на две равные части. Если обозначить точки деления через А и В, то диаметр АВ можно рассматривать как сторону правильного многоугольника, имеющего две стороны, периметр которого равен 2АВ. Если принять этот периметр за 2,

то радиус R выразится числом у, а апофема (расстояние стороны от

центра) — числом 0.

i?4 КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ

Но первые два члена последовательности Шваба д а ю т / ? — а = у .

Таким образом, допущенная ошибка, если принять за приближённое

значение — член, который занимает в этой последовательности 2п-еТС

место, меньше1 1

2 . 4^-1 22п~1 ’

184. Греческий геометр А р х и м е д , который первый определил и вычислил длину окружности, нашёл методом периметров приближённое значение те с избытком с точностью до одной сотой:

Можно получить, впрочем, только приближённые значения те и никогда нельзя получить его точного значения, потому что доказано, что это число несоизмеримо, т. е. оно не равно никакому целому числу и никакому дробному числу.

Первые десятичные знаки числа те таковы *):

те = 3,1415926535...

1и числа —:ТС

1 = 0,3183098...71

Часто пользуются для те приближённым значением 3,1416 (с избытком).

Знаменитая задача о квадратуре круга приводит (как мы это увидим позже) к построению отрезка, равного длине окружности, радиус которой дан. Эту задачу нельзя решить, пользуясь только линейкой

х) Это значение тс было получено не теми методами, которые мы указали, а методами, значительно более совершенными, заимствованными из анализа бесконечно малых. Эти десятичные знаки легко запомнить с помощью следующего стиха, в котором числа букв в отдельных словах дают последовательные цифры числа п:

Que j’aime a faire apprendre un nombre utile aux sages.3 1 4 1 5 9. 2 6 5 3 5

355Приближённое значение » дающее число тс с точностью до одной

миллионной с избытком, было дано А д р и а н о м М е ц и е м .


и циркулем. Эта невозможность, которая ещё не вытекает из несоизмеримости тс1), также доказана2).

УПРАЖНЕНИЯ.Правильные многоугольники.

178. Вымостить (т. е. заполнить без пробелов и перекрытий) плоскость правильными многоугольниками, равными между собой. Показать, что эта задача возможна только для трёх видов правильных многоугольников.

179. Построить правильный пятиугольник, зная его сторону.180. В правильном пятиугольнике две диагонали, не проходящие через

одну и ту же вершину, взаимно делятся в среднем и крайнем отношении (доказать).

181. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны сторонам двух правильных десятиугольников, вписанных в одну и ту же окружность, имеет своей гипотенузой сторону равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность (доказать).

182. Доказать то же предложение для выпуклого десятиугольника, шестиугольника и выпуклого пятиугольника; для звездчатого десятиугольника, шестиугольника и звездчатого пятиугольника.

183. Если на сторонах правильного шестиугольника построить вне шестиугольника 6 квадратов, то 12 внешних вершин этих квадратов суть вершины правильного двенадцатиугольника (доказать).

184. Проверить, что два выражения для стороны си приведённые в пп. 180 и 181, равны между собой.

Длина окружности,

185. Найти радиус окружности, дуга которой в 18° 15' равна 2 м.186. На радиусе ОА окружности, как на диаметре, построена вторая

окружность. Пусть В и С — точки, в которых обе окружности пересекаются с одним и тем же радиусом, выходящим из центра О первой окружности. Доказать, что дуги АВ и АС имеют одну и ту же длину.

187. Если две окружности внутренним образом касаются одной и той же третьей окружности и сумма их радиусов равна радиусу третьей окружности, то дуга последней, заключённая между точками касания, равна сумме дуг внутренних окружностей, заключённых между их точкой пересечения, ближайшей к большей окружности, и теми же точками касания (доказать).

188. Сумма сторон вписанных квадрата и равностороннего треугольника даёт приближённое значение длины половины окружности (предел ошибки: одна сотая радиуса) (доказать).

189. Периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 6и диаметра, даёт приближённо значение длины окружности (пределО и

ошибки: одна десятитысячная радиуса) (доказать).

х) Например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, и тем не менее очень легко, зная один из этих отрезков, построить другой.

2) Теорема о несоизмеримости к принадлежит Л а м б е р т у (1770). Что касается невозможности квадратуры круга, то её доказал Л и н д е м а н в 1882 г., обобщая теоремы, принадлежащие французскому математикуЭ р м и т у.


ЗАДАЧИ К ТРЕТЬЕЙ КНИГЕ.

190. Даны две концентрические окружности; провести прямую, на которой эти окружности отсекают две хорды, из которых одна вдвое длиннее другой.

•191. На стороне АВ треугольника от точки В отложен отрезок BD, а на продолжении стороны АС за точку С — равный ему отрезок СЕ. Отрезок DE делится стороной ВС внутренним образом в отношении, обратном отношению сторон АВ и АС (доказать).

192. Пусть А и А' — точки касания общей касательной к двум окружностям; М и М'—две точки пересечения этих окружностей соответственно с некоторой прямой, параллельной АЛ1. Найти геометрическое место точек пересечения прямых AM и AM!.

193. Стороны многоугольника остаются соответственно параллельными определённым направлениям, в то время как все вершины, кроме одной, скользят по заданным прямым. Найти геометрическое место последней вершины (упр. 124).

194. Вписать в данный многоугольник другой многоугольник, стороны которого параллельны данным прямым. Может ли эта задача быть неопределённой?

195. Высоты треугольника разделены в данных отношениях и через каждую точку деления проведена прямая, параллельная соответствующей стороне. Найти коэффициент подобия треугольника, построенного таким образом, и первоначального треугольника.

196. Пусть а, Ъ, с — точки, симметричные с какой-либо одной и той же точкой О плоскости относительно середин сторон ВС, СА и АВ треугольника ABC. Прямые Аау ВЬ и Сс пересекаются в одной точке Р. Когда точка О перемещается, описывая какую-либо фигуру, точка Р описывает фигуру, гомотетичную первой (доказать).

197. Через три вершины треугольника проведены три прямые, проходящие через одну точку О; затем построены прямые, симметричные с каждой из них относительно биссектрисы того угла треугольника, из вершины которого данная прямая выходит. Доказать, что эти три новые прямые также проходят через некоторую точку О'.

Доказать, что теорема сохраняет силу, если первоначальные прямые, вместо того чтобы проходить через одну точку, будут параллельны и что в этом случае точка О' лежит на окружности, описанной около треугольника.

Вывести из этой теоремы, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

198. ABCD — ромб, описанный около окружности; доказать, что произвольная касательная MN отсекает на смежных сторонах АВ и ВС отрезки AM и CN, произведение которых постоянно.

199. Если через точку А, взятую в плоскости круга, провести к кругу произвольную секущую АМ!М, то прямые, соединяющие точки М и М' с одним из концов диаметра, проходящего через А, отсекают на прямой, перпендикулярной к этому диаметру и проходящей через точку А, два отрезка, произведение которых постоянно (доказать).

200. Внутренняя общая касательная двух окружностей делит внешнюю общую касательную (а последняя делит внешним образом первую) на два отрезка, произведение которых равно произведению радиусов (доказать).

Отрезок, отсечённый общими внутренними касательными на общей внешней касательной, имеет ту же середину, что и эта общая внешняя касательная, и ту же длину, что и общая внутренняя касательная (доказать).

201. Прямоугольный треугольник имеет вершиной прямого угла определённую точку Л, в то время как две другие вершины В и С остаются постоянно на определённой окружности О. Найти:

ЗАДАЧИ К ТРЕТЬЕЙ КНИГЕ 177

1°. геометрическое место середин сторон ВС;2°. геометрическое место проекций точки А на сторону ВС.202. Построить треугольник, зная одну сторону, соответствующую ей

высоту и произведение двух других сторон.203. Построить треугольник, зная две его медианы и высоту (два

случая).204. Вписать в данную окружность равнобедренный треугольник, зная

сумму или разность основания и высоты.205. Вычислить диагонали трапеции, зная четыре её стороны.206. Даны окружность и две точки А и В; провести хорду, парал

лельную АВ} так, чтобы прямые, соединяющие её концы соответственно с точками А и В, пересеклись на окружности.

207. Через концы А и В диаметра круга проведены две хорды АС иBD, которые пересекаются в точке Р внутри круга. Доказать, что:

АВ2 = АС- AP+BD-BP.208. Через две данные точки А и В проведена произвольная окруж

ность и через данную точку С, лежащую на одной прямой с точками Аи В, — касательные к этой окружности. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки касания.

209. Построить три попарно ортогональные окружности, имеющие своими центрами три данные точки.

210. Даны: окружность и на ней две точки А и В; далее дана произвольная прямая и на ней точка С. Найти на окружности точку М, обладающую тем свойством, что расстояние между точками пересечения прямых МА и MB с данной прямой делится точкой С в заданном отношении.

211. На сторонах АВ, АС и ВС треугольника ABC, как на основаниях, построены три равнобедренных подобных треугольника АВРУ ACQ и BCR; два первых расположены вне данного треугольника, третий, напротив, по ту же сторону от ВС> как и данный треугольник (или обратно). Доказать, что APRQ — параллелограмм.

212. Фигура, оставаясь сама себе подобной, изменяется так, что три прямые, принадлежащие этой фигуре и не проходящие через одну точку, проходят каждая через неподвижную точку. Доказать: 1) что всякая другая прямая той же фигуры точно так же проходит через некоторую неподвижную точку; 2) что любая точка фигуры описывает окружность.

213. Построить четырёхугольник, подобный данному четырёхугольнику, так, чтобы его стороны проходили через четыре данные точки.

Может ли задача быть неопределённой? Найти в этом случае геометрическое место точек пересечения диагоналей различных четырёхугольников, отвечающих условию задачи.

214. Фигура, оставаясь постоянно себе подобной, изменяется так, что три точки этой фигуры описывают каждая прямую линию. Доказать, что некоторая точка этой фигуры остаётся неподвижной. Вывести отсюда, что любая другая точка описывает прямую.

215. Даны две подобные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения; найти геометрическое место таких точек, чтобы, если их рассматривать как принадлежащие первой фигуре, то прямая, которая соединяет их с гомотетичными им точками второй фигуры, проходила через данную точку.

216. Провести через данную точку О секущую MON, которая отсекает на двух данных прямых, считая от двух данных точек А и В этих прямых, два отрезка AM и BN, имеющих данное отношение.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА I....

Education

Transcript of ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА I....