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Matemática

Geometría y GeoGebra

Septiembre 2017

Índice general

1 Primera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Introducción a GeoGebra 5

1.2 Introducción histórica 101.2.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Ecuaciones de la recta 111.3.1 Recta que pasa por el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Recta que no pasa por el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Distintas ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Rectas paralelas y perpendiculares a los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Segunda Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Sistemas de ecuaciones 192.1.1 Clasificación de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Métodos de resolución: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Tercera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Secciones cónicas 293.1.1 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Cuarta Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.0.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.0.2 Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1 Ecuación general de las cónicas 54

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4 Geometría y GeoGebra

5 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Distancia de un punto a una recta 575.2 Traslación y Rotación 585.2.1 Traslación de Ejes Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2 Rotación de Ejes Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Libros 63


1. Primera Clase

1.1 Introducción a GeoGebra

GeoGebra es un software libre de matemática que puede aplicarse en geometría, álgebra ycálculo.

Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica que permite construir figurascon puntos, vectores, segmentos, rectas, cónicas y también gráficas de funciones.

Por otro, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente; permite hallar derivadas eintegrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático paraidentificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos.

Se puede descargar en forma gratuita en www.geogebra.org.

La ventana de trabajo de GeoGebra

En la pantalla inicial de GeoGebra encontramos una Vista Gráfica, una numérica, llamadaVista Algebraica, y una Vista de Hoja de Cálculo.

Barra de menú: contiene diferentes menúes desplegables que facilitan el trabajo con archivosy determinan la configuración del programa. Los menúes corresponden a Archivo, Edita,Vista, Opciones, Herramientas, Ventana y Ayuda.Barra de herramientas: contiene distintas opciones para realizar construcciones geométri-cas, información de la herramienta seleccionada, y los botones para deshacer y rehacer lasacciones realizadas.Vista algebraica: ofrece la información del proceso realizado, indicando los objetos libres,dependientes y los auxiliares que también se podrán mostrar.Vista gráfica: es la zona principal de GeoGebra donde se muestran y manipulan losgráficos.Hoja de cálculo: permite realizar las mismas funciones de Microsoft Excel.Campo de entrada: permite introducir expresiones, además de las opciones para seleccionardistintas funciones, caracteres o comandos.


www.geogebra.org


La barra de menú está ubicada en el margen superior de la ventana de GeoGebra .

comandos del menú Archivo:


Geometría y GeoGebra 7

comandos del menú Edita

comandos del menú Vista

comandos del menú Opciones

comandos del menú Herramientas



comandos del menú Ventana

comandos del menú Ayuda

A continuación mostramos desplegados los botones de la barra de Herramientas que nospermitirán graficar fácilmente diferentes elementos geométricos, como por ejemplo, puntos, rectas,segmentos, polígonos, circunferencias, etc.

Botones de la barra de Herramientas



1.2 Introducción histórica

La geometría es una de las ciencias más antiguas. En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada yen Grecia, Euclides configuró la geometría en forma axiomática naciendo así la llamada GeometríaEuclideana.

Los postulados de Euclides, presentados en su tratado denominado “Los Elementos”, permitenexponer los conocimientos geométricos de la Grecia Clásica que se deducen a partir de éstos. Lospostulados de “Los Elementos” son cinco:

1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una recta.3. Dados un punto y un radio cualesquiera, se puede trazar una circunferencia.4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.5. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.El quinto postulado fue cuestionado y discutido durante largo tiempo ya que muchos creían que

no era independiente de los otros cuatro.El desarrollo de la geometría continúa con la geometría cartesiana en el siglo XVII, con la

geometría diferencial de Gauss y más tarde con la Geometría Algebraica.La geometría analítica estudia las figuras geométricas con técnicas básicas del Análisis Mate-

mático y del Álgebra, en un determinado sistema de coordenadas. Las coordenadas son el esqueletode la geometría analítica, las intermediarias entre los números, las magnitudes y el movimiento.

La palabra coordenada no proviene de Descartes ni de Fermat, sino que fue empleada porprimera vez por Leibniz. El descubrimiento casi simultáneo de la geometría análitica se debe aDescartes y a Fermat, quienes estaban interesados en la creación de un principio uniforme enla geometría. Ellos establecieron los fundamentos del método y así los famosos problemas dela antigüedad fueron resueltos por Descartes. Además, éste supuso implícitamente que entre lospuntos de un plano y el conjunto de todos los pares de números reales puede ser establecida unacorrespondencia perfecta.

Esta disciplina abrió los canales para los descubrimientos del cálculo infinitesimal, la teoría defunciones, la mecánica y la física-matemática.

1.2.1 Coordenadas cartesianasConsideremos dos rectas X e Y que se cortan perpendicularmente, cuyo punto intersección

lo llamamos origen de coordenadas O. De esta manera queda definido el plano cartesiano ocoordenado, dividido cuatro cuadrantes, enumerados en sentido antihorario:



Si tomamos un punto P del plano, la distancia del mismo al eje y se denomina abscisa y se denotax; la distancia del punto al eje x se llama ordenada y se denota y. El punto P, cuya abscisa es x yordenada y, se denota P(x,y). A cada punto del plano le corresponde un par ordenado de númerosreales y a cada par ordenado de números reales le corresponde un punto del plano.

Cuando se conocen dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) la distancia entre ellos se calcula de lasiguiente forma, usando el Teorema de Pitágoras:

d(P1,P2) =√

(x2− x1)2 +(y2− y1)2

Observación: Una demostración geométrica del Teorema de Pitágoras puede verse enwww.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/pitagoras.ggb

Lugar GéometricoUn concepto fundamental para estudiar curvas en la geometría analítica es el de lugar geométrico,que se define como el conjunto de puntos que satisfacen una condición o condiciones dadas. Lacondición que se impone a los puntos del lugar geométrico se puede expresar analíticamente comouna ecuación o varias ecuaciones que deben satisfacer las coordenadas de los dichos puntos.

Observación: Principio fundamental de la geometría analíticaSi las coordenadas de un punto satisfacen una o varias ecuaciones, el punto está en el lugar

geométrico que definen dichas ecuaciones. Recíprocamente, si un punto está en el lugar geométricoque define una o varias ecuaciones, las coordenadas del mismo las satisfacen.

1.3 Ecuaciones de la recta1.3.1 Recta que pasa por el origen

Consideramos un conjunto de puntos que cumple con la condición de que sus ordenadasy1,y2,y3, ..., forman con sus abscisas (no nulas) x1, x2 y x3, ..., una serie de triángulos semejantes,por lo que sus catetos son proporcionales. Llamemos m al coeficiente de proporcionalidad, entoncestenemos

y1

x1=

y2

x2=

y3

x3= ...=

yx= m

de esta expresión se desprende, en general, que y = mx para todos los puntos que cumplan lascondiciones anteriores; y esta igualdad representa la ecuación de una recta que pasa por el origen ytiene pendiente m. Inversamente, dada la ecuación y = mx el conjunto de puntos que la satisfacense representa por una recta que pasa por el origen y tiene pendiente m.


www.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/pitagoras.ggb


1.3.2 Recta que no pasa por el origenEn este caso, la recta que estamos considerando es necesariamente paralela a otra que pasa por el

origen y que tiene la misma pendiente. Sus ordenadas difieren en una constante que denominamos b.Cada ordenada de los puntos de la recta dada se obtiene sumándole b a la ordenada correspondienteal punto que se encuentra en la recta que pasa por el origen (ver la figura anterior).

La ecuación de esta recta es y = mx+b. La constante b se denomina ordenada al origen pues elpunto (0,b) pertenece a la recta.

Ejercicios 1.11. Determinar analíticamente si la recta que pasa por los puntos (1,1) y (1/2,0) pasa también

por el origen. Visualizar graficando en GeoGebra .2. a) A través de la barra de entrada de GeoGebra , asignar los puntos:

A(−3,0), B(−1,3), C(4,3) y D(4,−1).b) Trazar rectas que pasen por dichos puntos.c) Observar la vista algebraica de las rectas trazadas y responder

¿Cómo nombra GeoGebra a las rectas?¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen de cada recta?

d) Analizar las rectas graficadas y relacionar:¿Alguna de las rectas graficadas tiene pendiente menor que 0? Si es así, ¿quépodemos decir de la recta?¿Alguna de las rectas graficadas tiene pendiente mayor que 0? Si es así, ¿quépodemos decir de la recta?

1.3.3 Distintas ecuaciones de la rectaLa ecuación de la recta deducida anteriormente, de la forma y = mx+ b se llama ecuación

explícita. Veamos en este caso cuál es la forma de m. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos talesque x1 6= x2, que satisfacen la ecuación y = mx+b, entonces y2− y1 = m(x2− x1). Luego,

m =y2− y1

x2− x1

es la expresión para la pendiente de la recta. Usando la forma de m y la ecuación explícita quecumple P1 tenemos la ecuación simétrica de la recta

y− y1

x− x1=

y2− y1

x2− x1,



si x1 6= x2. Los casos en que x1 = x2 e y1 = y2 los trataremos más adelante. También podemosescribir la ecuación implícita de la forma

Ax+By+C = 0.

Ejercicios 1.2Utilizando la ecuación simétrica de la recta, hallar la ecuación de la recta que pasa por los

puntos P1 y P2:1. P1(−2,4) y P2(−4,5).2. P1(2,4) y P2(−2,2).3. P1(1,3) y P2(2,5).4. P1(3,2) y P2(2,3).

Graficar en GeoGebra y verificar los resultados.

Forma normal de la ecuación de una rectaSea un punto P1(x1,y1) y O el origen del sistema de coordenadas, supongamos que x1 6= 0.

Consideremos el segmento OP1 y el triángulo de vértices O, P1 y (x1,0).

Tenemos que x1 = p.cosω e y1 = p.senω , donde ω es el ángulo que forma el eje x con la rectaque contiene al segmento OP1 y p la longitud de este segmento, con 0≤ ω < 360◦.Para cualquier par de valores p > 0 y 0≤ ω < 360◦ queda determinada la única recta ` que pasapor P1(x1,y1) y es perpendicular al segmento OP1. Para encontrar la ecuación de ` usamos que pasapor P1(x1,y1) y su pendiente es

m =− 1tanω

=−cosω

senω,

si tanω 6= 0, o equivalentemente, si senω 6= 0. Luego, la ecuación de ` es

y− p.senω =−cosω

senω(x− p.cosω)

operando sobre esta expresión tenemos que

y.senω− p.sen2ω =−x.cosω + p.cos2

ω

y de donde obtenemos la ecuación normal de la recta `

y.senω + x.cosω− p = 0



Observación: Si tenemos la ecuación implícita de una recta Ax+By+C = 0 y queremos escribirsu forma normal x.cosω +y.senω− p = 0, podemos deducirla en términos de los coeficientes A, By C. Para esto, observemos que

cosω

A=

senω

B=− p

C= k,

donde k es la constante de proporcionalidad. Es decir,

cosω = kA

senω = kB

−p = kC

como 1 = cos2 ω +sen2ω = k2(A2+B2), tenemos que k =± 1√A2+B2 . Entonces, la ecuación normal

es de la forma

±A√A2 +B2

x+±B√

A2 +B2y+

±C√A2 +B2

= 0

Ejercicios 1.3La ecuación de una recta es 5x−7y−11 = 0. Reducir su ecuación a la forma normal y hallar

los valores de p y ω . Hallar A, B y C.¿Por qué proponemos la ecuación normal de una recta? Esta ecuación puede aplicarse, por

ejemplo, para calcular la distancia de un punto a una recta. Si tenemos un punto P1(x1,y1) que noesté en la recta `, una recta cuya ecuación normal es x.cosω + y.senω− p = 0, la distancia d entreP1 y ` está dada por

d =(Ax1 +By1 +C)

±√

A2 +B2

El signo de la raíz del denominador se elige de manera tal que d sea positiva.

Observación: ver el Apéndice para la deducción de esta fórmula.

Ejercicios 1.41. Hallar la distancia de la recta 4x+10 = 5y al punto P(2,−3). Verificar con GeoGebra

utilizando el comando distancia.



2. Hallar la distancia entre la recta x+ 2y− 10 = 0 y la recta x+ 2y+ 6 = 0. Verificar conGeoGebra utilizando el comando distancia.

3. Diseñar una estrategia que permita calcular con GeoGebra la distancia entre dos rectascualesquiera utilizando el comando distancia aplicado a dos puntos.

� Ejemplo 1.1 Supongamos que la ecuación de una recta es√

3x+ y−8 = 0. Entonces, podemosreconocer las constantes A =

√3, B = 1 y C =−8. Si queremos reescribir esta ecuación de modo

que esté en su forma normal, basta con calcular√

A2 +B2 =

√(√

32+12) = 2 y dividir la ecuación

original de la recta por esta constante, para obtener:√

32

x+12

y−4 = 0.

Esta ecuación está en su forma normal, donde para un ángulo ω se tiene que cos(ω) =

√3

2,

sen(ω) =12

y la distancia de la recta al origen es 4. Teniendo estos datos, podemos ver que elángulo ω debe ser de 30◦.

Ejercicios 1.5Para verificar lo que obtuvimos, graficar en GeoGebra :

Las rectas√

3x+ y−8 = 0 y

√3

2x+

12

y−4 = 0. ¿Qué se puede observar?

Dado un triángulo con vértices (0,0), (√

3,0) y (√

3,1). Calcular el ángulo que quedaformado por los segmentos con vértice en (0,0) y la distancia entre los puntos (0,0) y(√

3,1). ¿De qué manera se relacionan estos datos con la recta? ¿Cómo se ve reflejada estainformación en la forma normal de la misma?

1.3.4 Rectas paralelas y perpendiculares a los ejes coordenadosDada una recta con pendiente m, se tiene que la pendiente de la recta es la tangente de su ángulo

de inclinación. Usualmente se denota m = tanα y donde α es el ángulo de inclinación de la recta.

Analicemos gráficamente la relación entre α y m.

Si α es agudo, entonces m > 0.Si α es obtuso, entonces m < 0.Si α = 0◦, entonces m = 0 y la recta dada es paralela al eje x. Su ecuación será y = constante.



Si α = 90◦, entonces m no está determinado y la recta dada es paralela al eje y. Su ecuaciónserá x = constante.

Rectas paralelas a los ejes coordenados

Ejercicios 1.61. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos:

(a) (−3,2) y (7,−3) (b) (−3,2) y (−3,0),graficando en GeoGebra y usando el comando ángulo.

2. Usando el comando ángulo dada su amplitud construir una recta de 37◦ de inclinación yordenada al origen −3

2 .

Sean L1 y L2 dos rectas no paralelas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Supongamos quese cortan en un punto P. Este punto es el vértice de cuatro ángulos determinados por las rectas (osemirrectas). Sean θ1 y θ2 dos ángulos no opuestos por el vértice y sean α1, α2 los ángulos deinclinación de L1 y L2, respectivamente.

Veamos la relación entre sus tangentes.

θ1 = 180◦−α1− (180◦−α2). (1.1)

entonces θ1 = α2−α1 con lo cual, utilizando la identidad para la tangente de una diferencia deángulos tenemos

tanθ1 =tanα2− tanα1

1+ tanα2. tanα1=

m2−m1

1+m2.m1



Por otro lado, θ1 +θ2 = 180◦ Reemplazando en (1.1) esta expresión llegamos a θ2 = α1 +(180◦−α2), de donde

tanθ2 =tanα1 + tan(180◦−α2)

1− tanα1 tan(180◦−α2)=

tanα1− tanα2

1+ tanα1 tanα2

En definitiva, tenemos que tanθ2 =m1−m2

1+m1m2y que tanθ2 =− tanθ1.

Con lo cual podemos enunciar las siguientes conclusiones:

Si θ es el ángulo determinado por dos rectas `1 y `2 entonces está dado por tanθ =m2−m1

1+m1m2si m1m2 +1 6= 0.Si las rectas se cortan formando un ángulo de 90◦, decimos que las rectas son perpendicularesy m1.m2 =−1. Lo anotamos `1⊥`2.Si el ángulo entre las rectas es 0◦ entonces las rectas son paralelas. En este caso, se tiene quem1 = m2. Lo anotamos `1//`2.

Ejercicios 1.71. Utilizando GeoGebra representar las siguientes rectas

y+3 = 3xy = 3x+4y = 3(x+2)2y = 6x+89y =−3x+18

2. De las rectas graficadas, buscar cuáles son paralelas entre sí.3. ¿Cuáles serían perpendiculares a y = 3x+2?4. Explorar en GeoGebra el comando Recta paralela, para las rectas dadas anteriormente.5. Idem para el comando Recta perpendicular.

Ejercicios 1.81. Crear en GeoGebra tres puntos no alineados cualesquiera.2. Trazar una recta que pase por dos de esos tres puntos. Notar que dicha recta es llamada por

GeoGebra con la letra a.3. Utilizando la barra de herramientas, trazar una recta paralela a la recta creada que pase por el

tercer punto.Notar que dicha recta es llamada por GeoGebra con la letra b.4. Observar la vista algebraica y responder

En la recta a, cuál es la pendiente y la ordenada al origen?En la recta b, cuál es la pendiente y la ordenada al origen?Mediante la opción Elige y Mueve, explorar qué sucede con las ecuaciones de las rectasal mover los puntos.De la misma forma, explorar qué sucede con las ecuaciones al mover las rectas.¿Qué condición deben cumplir ambas rectas para que sean paralelas?


2. Segunda Clase

2.1 Sistemas de ecuacionesUna ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma

ax+by = c, donde a, b y c son números reales, x e y son incógnitas. Resolver la ecuación significahallar la solución de la misma, es decir, encontrar todos los pares de números reales (x,y) que lasatisfacen. Ahora bien, ax+by− c = 0 es la ecuación implícita de una recta. Por lo tanto, los paresordenados de números reales que son solución de esta ecuación son los puntos de la gráfica dedicha recta.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste de dos ecuaciones linealesde la forma{

ax+by+ c = 0dx+ ey+ f = 0,

donde a, b, c, d, e, f ∈ R; x, y son incógnitas.La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de todos

los puntos (x,y) ∈ R2 que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar lasolución.

Decimos que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

2.1.1 Clasificación de Sistemas

Sabemos que si representamos en el plano cartesiano una ecuación lineal, su gráfica es unarecta. También sabemos que si dos rectas tienen la misma pendiente y no son coincidentes, sonparalelas que no se cortan en ningún punto. En este caso, el sistema formado por las ecuacioneslineales cuya representación es un par de rectas paralelas no coincidentes no tendrá solución; y enel caso en que sean coincidentes el sistema tendrá infinitas soluciones. Si las rectas tienen distintaspendientes, se cortan en un punto. En ese caso, dicho punto es la solución del sistema formado porlas ecuaciones lineales cuyas gráficas son las rectas anteriores. En los siguientes gráficos mostramoslos casos mencionados anteriormente.



(a) Rectas paralelas no coincidentes. (b) Rectas paralelas coincidentes.

Rectas no paralelas

Un sistema de ecuaciones, según el número de soluciones que tenga, se puede clasificar en:Sistema Compatible Determinado, si tiene como solución un único punto. En el caso dedos ecuaciones con dos incógnitas, la representación gráfica del sistema son dos rectas quese cortan en un punto.Sistema Compatible Indeterminado, si tiene como solución infinitos puntos. En el casode dos ecuaciones con dos incógnitas, la representación gráfica del sistema son dos rectascoincidentes.Sistema Incompatible, si no tiene solución. En el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas,la representación gráfica del sistema son dos rectas que son paralelas no coincidentes.

A continuación veremos algunos problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones yalgunos ejemplos de cómo plantear los sistemas para poder resolverlos fácilmente.

� Ejemplo 2.1 Juan pagó 50 pesos por 3 cajas de tarugos y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5 cajasde tarugos y 7 de clavos y tuvo que pagar 74 pesos. ¿Cuál es el precio de cada caja de tarugos y decada caja de clavos?

En este caso debemos encontrar dos cantidades, el precio de una caja de tarugos y el precio deuna caja de clavos. Si llamamos x al precio de una caja de tarugos y llamamos y al precio de unacaja de clavos, podemos expresar lo que gastó Juan a través de una ecuación y lo que gastó Pedropor medio de otra. Podemos plantear y resolver el sistema:{

3x+5y = 505x+7y = 74



2.1.2 Métodos de resolución:Reducción o sumas y restas:Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema equivalen-te, que tenga los coeficientes de una misma incógnita iguales o de signo contrario, para queal restar ó sumar las dos ecuaciones la nueva ecuación tenga sólo una incógnita.Sustitución:Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una incógnita en una de lasecuaciones en función de la otra y se sustituye su expresión en la otra ecuación.Igualación:Para resolver un sistema por el método de igualación se despeja la misma incógnita en lasdos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.

Por supuesto, los métodos de resolución nos dan la misma solución, es decir, los sistemas obtenidosson equivalentes.

Veamos como resolver el ejemplo, utilizando el método de reducción.Como los coeficientes son todos positivos, sabemos que debemos restar para eliminar una de

las incógnitas y como todos son números distintos debemos efectuar primero las multiplicacionesconvenientes. Por ejemplo, si queremos eliminar la incógnita x, multiplicamos los dos miembrosde la primera ecuación por 5 y los dos miembros de la segunda por 3 (si se quiere eliminar laincógnita y, se debe multiplicar la primera ecuación por 7 y la segunda por 5), obteniendo el sistemaequivalente:{

15x+25y = 25015x+21y = 222

Restando ambas ecuaciones, tenemos que

0+4y = 28 ⇐⇒ y = 7.

Ahora sustituimos la incógnita y por ese valor en la primera ecuación y obtenemos el valor de x.También podríamos haber sustituido en la segunda ecuación:



3x+5(7) = 50 ⇐⇒ x = 5

Podemos entonces decir que la caja de tarugos cuesta 5 pesos y la de clavos cuesta 7 pesos.

Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una incógnita en una de lasecuaciones y se sustituye su valor en la otra. Por ejemplo si despejamos x de la primera ecuación

3x = 50−5y ⇐⇒ x =50−5y

3

Luego reemplazando en la segunda ecuación

5(

50−5y3

)+7y = 74 ⇐⇒ 250

3− 4

3y = 74 ⇐⇒ 28 = 4y ⇐⇒ y = 7.

Resolviendo la ecuación cuya única incógnita es y encontramos que y = 7, ahora sustituimos ypor ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos el valor de x.

Para resolver un sistema por el método de igualación se despeja la misma incógnita en las dosecuaciones y se igualan. Por lo tanto, si despejamos, por ejemplo, x de ambas ecuaciones tenemos

x =50−5y

3⇐⇒ x =

74−7y5

Luego, igualando las ecuaciones, obtenemos que y = 7. Ahora sustituimos y por ese valor encualquiera de las dos ecuaciones y encontramos el valor de x.

� Ejemplo 2.2 Veamos un caso en el que el sistema es incompatible. Dicho sistema lo resolveremospor el método de igualación.{

5x+2y = 010x+4y = 4

2y =−5x ⇒ y =

−52

x

4y = 4−10x ⇒ y =4−10x

4



Entonces igualando las dos expresiones obtenemos

−52

x =4−10x

4⇐⇒ 0x = 1

Es decir, no existe x que satisfaga esa ecuación, por lo tanto el sistema no tiene solución, esincompatible.

� Ejemplo 2.3 Sistema Compatible Indeterminado.

{2x+ y =−24x+2y =−4

Despejamos y de la primera ecuación:

y =−2−2x.

Sustituimos en la segunda:

4x+2(−2−2x) =−4.

Obtenemos 0x = 0. Entonces y =−2−2x, por lo tanto todos los puntos de la forma (x,−2−2x),x ∈ R son soluciones.

Este sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado.

Ejercicios 2.11. Un coleccionista compró en una subasta 47 monedas, algunas de bronce y otras de plata. Las

monedas de bronce le costaron 14 cada una y las de plata 18 cada una. Si en total gastó 750,¿cuántas monedas de bronce compró y cuántas de plata?

Plantear y resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.Utilizar GeoGebra para representar gráficamente cada ecuación y verificar la solu-ción hallada.

2. El resultado de un sistema de ecuaciones es x = 1 e y =−3. Determinen a cuál de los siguien-tes sistemas pertenece este resultado, utilizando GeoGebra para representar gráficamentecada sistema y verificar el resultado obtenido.{

x+ y =−2x− y =−4


24 Geometría y GeoGebra{3x+ y = 6x− y = 4{2x− y = 53x−2y = 9

3. Escribir otro sistema de ecuaciones que tenga la misma solución del problema anterior.¿Cuántos sistemas existen en estas condiciones? ¿Cómo se representa gráficamente estasituación?

4. Graficar en GeoGebra cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:{3x+2y =−2−6x−4y =−7{x+2y = 12x+5y = 0{−6x−4y =−7−2x+3y = 1{x−3y =−43x−9y =−12

a) Para cada sistema de ecuaciones graficado, analizar cómo son las rectas entre sí.b) Resolver los sistemas de ecuaciones anteriores aplicando alguno de los métodos men-

cionados en el apunte.c) Indicar en qué casos se halló una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución.d) ¿Cómo se relacionan cada solución hallada en el ítem (b) con los gráficos obtenidos en

el ítem (a)? Resolver los sistemas anteriores, cuando sea posible, usando GeoGebra.

5. Los lados de un triángulo están determinados por las gráficas de las siguientes ecuaciones:

3x+ y = 9, 2x+3y =−1, x−2y =−4.

Utilizar GeoGebra para graficar cada ecuación y encontrar los vértices del triángulo.¿Cuáles son los puntos del vértice del triángulo formado?Plantear un sistema de ecuaciones para cada par de lados, resolver y verificar lassoluciones halladas en el ítem anterior.

2.1.3 Regla de CramerHay otras formas algebraicas de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para ello debemos

escribir el sistema en forma matricial.Para sistemas compatibles determinados se puede aplicar un método de resolución llamado

regla de Cramer, que describimos en el caso de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Seael sistema{

ax+by =−cdx+ ey =− f ,

que puede escribirse matricialmente de la forma[a bd e

][xy

]=

[−c− f

]Nuevas Herramientas para la Enseñanza de la Matemática


El determinante de una matriz de 2x2

A =

[a11 a12a21 a22

]es un número que se calcula aplicando la siguiente fórmula:

|A|=∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= a11a22−a12a21

Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinan-tes, de la siguiente manera:

x =

∣∣∣∣ −c b− f e

∣∣∣∣∣∣∣∣ a bd e

∣∣∣∣ =−ce+b fae−bd

y =

∣∣∣∣ a −cd − f

∣∣∣∣∣∣∣∣ a bd e

∣∣∣∣ =−a f +dcae−bd

Observación: Si un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado, entonces eldeterminante de la matriz del sistema es distinto de 0.

Ejercicios 2.21. Decidir, graficando en GeoGebra , si los siguientes sistemas son compatibles determina-

dos, compatibles indeterminados o incompatibles:

{y− 3

4 x = 5−1

3 y+ 53 =−1

4 x

{y = 3x− 1

2y =−1

3 x− 12{

2x+1 = y2

36x+1 = 9y

{3y = x5(y−5) = 5

3 x

2. Hallar el valor de “a” mediante GeoGebra (utilizando un deslizador) para que los paresde rectas dados sean paralelas:

{y = x−1y = 2ax+1

{y = 2x+1y = ax−3



3. Hallar el valor de “a” mediante GeoGebra (utilizando un deslizador) para que los paresde rectas dados sean perpendiculares:

{y = x−1y = 2ax+1

{y = 2x+1y = ax−3

4. Considerar el triángulo T cuyos vértices son las soluciones de los siguientes sistemas :

{3y+2x = 62y− x = 4

{3y+2x = 63x+ y = 9

{−x+2y = 43x+ y = 9

Hallar utilizando GeoGebra el área de T.5. Dado el sistema de ecuaciones :{

y =−12 x−1

y =−3x−8

Aplicar GeoGebra para hallar una recta que pase por el punto de intersección de dichosistema y que sea perpendicular a la recta y = −1

2 x−3.6. Resolver el sistema de ecuaciones:{

y = x+1y = 2x−1

Luego hallar la recta que pasa por el punto (-3,2) y por el punto de intersección del sistemautilizando GeoGebra .

7. Considerar el sistema de ecuaciones:{y = x+2y = 2x+4

Graficar con GeoGebra para hallar su solución. ¿Es posible encontrar dicha soluciónaplicando la regla de Cramer?

8. Si consideramos ahora el sistema:

{y = xy = 2x−1

Graficar con GeoGebra para hallar su solución. Utilizar en GeoGebra el comandoDeterminante para calcular dicha solución aplicando la regla de Cramer.



9. Considerar en GeoGebra la recta que pasa por los puntos P1(6,0) y P2(0,2). Hallar otrarecta de manera que el sistema de ecuaciones formado por ambas sea:

a) Compatible determinado.b) Compatible indeterminado.c) Incompatible.

Verificar con GeoGebra utilizando la regla de Cramer en los casos que sea posible.10. Considerar la recta de ecuación x = 0 . Hallar usando GeoGebra otra recta de manera que

el sistema de ecuaciones formado por ambas sea:a) Compatible determinado.b) Compatible indeterminado.c) Incompatible.

Verificar con GeoGebra utilizando la regla de Cramer en los casos que sea posible.11. Considerar la recta de ecuación y = 1 . Hallar usando GeoGebra otra recta de manera que

el sistema de ecuaciones formado por ambas sea:a) Compatible determinado.b) Compatible indeterminado.c) Incompatible.

12. Utilizar el recursowww.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/sistemas_ecuaciones.ggbpara resolver gráficamente y clasificar sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.


www.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/sistemas_ecuaciones.ggb

3. Tercera Clase

3.1 Secciones cónicas

Las llamadas secciones cónicas, o simplemente cónicas, son ciertas curvas particulares cuyaspropiedades son conocidas desde la antigüedad clásica. Su nombre se debe a que estas curvas puedenobtenerse al realizar la intersección de un cono circular con un plano en distintas posiciones. Ellasson: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Daremos una descripción esquemáticade sus ecuaciones y de sus principales elementos. Para visualizarlas construiremos un cono, unplano y haremos su intersección, utilizando herramientas de GeoGebra 3D, siguiendo estospasos:

1. Abra GeoGebra en versión 5.0 o mayor.2. En el menú vista active la Vista Gráfica 3D.3. Use la barra de comandos para dar entrada, de cada uno de los comandos:

a=ConoInfinito[(0, 0, 0), (0, 0, 3), 45o]A= (2,2,0)B=(0,-2,0)C=(0,0,2)b=Plano[A,B,C]Mueva los puntos A, B y C en la Vista Gráfica 3D y observe la intersección del conocon el plano.



4. Determine la intersección de cono con el plano, usando la herramienta Intersección de dossuperficies o escribiendo c=Interseca[a,b] o IntersecaRecorridos[a, b].

5. Active la representación 2d de la cónica c.6. Mueva los puntos A, B y C en la Vista Gráfica 3D y observe las distintas cónicas en la vista

2D de la curva c.

3.1.1 CircunferenciaUna circunferencia es el lugar geométrico formado por los puntos P(x,y), del plano coordenado

cuya distancia a un punto fijo C(h,k), llamado centro, es una constante positiva r, llamada radiode la circunferencia.

Distintas ecuaciones de la circunferenciaLa ecuación analítica que representa a la circunferencia puede obtenerse, de acuerdo con la

definición anterior, usando la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano:

(x−h)2 +(y− k)2 = r2



Esta es la llamada forma canónica de la ecuación de la circunferencia y permite identificar conrapidez y facilidad las coordenadas del centro C(h,k) y la longitud de su radio r, elementossuficientes para dibujar su gráfica.

Recíprocamente, si se conocen las coordenadas del centro y la longitud del radio, la ecuaciónde la circunferencia en forma ordinaria podrá escribirse inmediatamente.

Se puede observar que:Esta ecuación se satisface únicamente para puntos del plano cuya distancia al centro C(h,k)es r.Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0,0), la ecuaciónresulta

x2 + y2 = r2

Trabajando algebraicamente la ecuación

(x−h)2 +(y− k)2 = r2

y denotando D =−2h, E =−2k, F = h2 + k2− r2 se obtiene la ecuación

x2 + y2 +Dx+Ey+F = 0

Esta última recibe el nombre de forma general de la ecuación de una circunferencia.Cuando se conoce la forma general de una circunferencia , esta puede reducirse a su formacanónica por medio del método de completación de cuadrados en los términos en x y en losen y.



Ejercicios 3.11. Sea P(x,y) un punto que se mueve de manera tal que su distancia al punto (−3,2) es siempre

4.Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico dado anteriormente.Graficar en GeoGebra y verificar la solución hallada.Encontrar todos los elementos de la cónica anterior.

2. En cada inciso, conocidas las coordenadas del centro de una circunferencia y la longitudde su radio, obtener sus ecuaciones en forma ordinaria, general y hacer una gráfica usandoGeoGebra .

C(−2,3), r = 3C(−1,3), r = 2C(1,−2), r = 0C(0,0), r = 1

3. En cada inciso se da la forma general de la ecuación de una circunferencia. Obtener el centro,el radio y graficarla usando GeoGebra .

x2 + y2−2x+6y−6 = 02x2 +2y2−2x−2y−4 = 0x2 + y2−6x−8y+25 = 0x2 + y2−16 = 0x2− x+ y2 +6 = 0

4. Encontrar con GeoGebra la ecuación de la circunferencia de centro C(−3,−5) y radio 7.5. Encontrar con GeoGebra la ecuación de la circunferencia de centro C(7,−6) y que pasa

por el punto A(2,2).6. Decidir utilizando GeoGebra si los siguientes puntos son interiores o exteriores a la

circunferencia y2 + x2 = 2:P1(0,0).P2(√

22 ,√

23 ).

P3(34 ,1).

P4(2,1).7. Hallar utilizando el comando Intersección de dos objetos la intersección entre las circunfe-

rencias (x−1)2 + y2 = 32 y (x−1)2 +(y−2)2 = 22.8. Hallar mediante GeoGebra la distancia al origen de las siguientes circunferencias:

(x−1)2 +(y−2)2 = 1.(x−1)2 + y2 = 1.La circunferencia de centro C(1

2 ,1) y radio 14 .

Circunferencia determinada por tres condiciones dadasEn la forma ordinaria o canónica de la ecuación de una circunferencia

(x−h)2 +(y− k)2 = r2

aparecen tres parámetros h, k y r que en cada caso pueden tener valores diferentes. De la mismamanera, la forma general de la ecuación de una circunferencia

x2 + y2 +Dx+Ey+F = 0

también se escribe usando tres parámetros D, E y F . En ambos casos estos parámetros quedandeterminadados a partir de tres condiciones dadas e “independientes”.

Esto es, conociendo tres puntos que pertenezcan a la circunferencia se determina un sistemade 3 ecuaciones con 3 incógnitas. La única solución de este sistema es el conjunto de los tresparámetros que definen la ecuación de la circunferencia considerada.



Ejercicios 3.2

1. Utilizando el comando Circunferencia, halle la circunferencia que pasa por los puntos (0,0),(1,2) y (2,3).

2. Graficar y determinar analíticamente la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos(1,1), (0,2) y (2,−2)(0,0), (3,0) y (1,1)

Intersecciones entre una circunferencia y una recta

Dadas una circunferencia y una recta en el plano cartesiano pueden presentarse tres posiblescasos detallados a continuación.

No existen puntos de intersección, es decir la recta es exterior a la circunferencia.Existe un punto de intersección. En este caso se dice que la recta es tangente a la circunferen-cia.Existen dos puntos de intersección. En este caso se dice que la recta y la circunferencia sonsecantes.

Estas tres posibilidades se corresponden con las distintas soluciones que puede tener el sistemade ecuaciones formado por la ecuación lineal que representa la recta y la ecuación cuadrática (ensus dos variables) que representa la circunferencia.

Este tipo de sistema de ecuaciones es llamado mixto y puede no tener solución real, tener unaúnica solución real o tener dos soluciones reales distintas.

Ejercicios 3.3

1. Encontrar con GeoGebra la intersección entre la circunferencia y la recta dadas.x2 + y2 = 3, y = 10− x.(x−2)2 +(y+5)2 = 9, x+ y = 1.2x2 +5x−3y+2y2 =−1, y = x.

Verificar analíticamente la solución obtenida.2. Encontrar el valor de la pendiente a de las rectas que pasan por el punto (0,5) y son tangentes

a la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 32. Graficar en GeoGebra .

Familias de circunferencias

En general, una familia de curvas, es un conjunto de curvas que cumplen alguna condición quelas caracteriza. Veamos algunos ejemplos.

La ecuación

x2 + y2 +Dx+Ey = 0

es la ecuación de la familia de las circunferencias que pasan por el origen de coordenadas yestá descripta por medio de dos parámetros D y E .



La ecuación

x2 + y2 = r2

representa una familia de circunferencias concéntricas, cuyo centro es el origen de coordena-das C(0,0) y el radio toma todos los valores posibles. En este caso, el parámetro r > 0 es elradio de las circunferencias.

La ecuación

(x−h)2 +(y−h)2 = h2

contiene un parámetro h > 0 y representa una familia de circunferencias tangentes a los ejescoordenados y que tienen su centro C(h,h) sobre la recta y = x, a este tipo de circunferenciasse les llama coaxiales ya que todos sus centros son colineales.



La ecuación(x−2)2 +(y− k)2 = 9

contiene un parámetro k real y representa la familia de circunferencias cuyos centros selocalizan sobre la recta x = 2 y todas de radio r = 3.

Ejercicios 3.4 En cada inciso decir qué condiciones cumplen todas las circunferencias de la familia,cuántos parámetros contiene y graficar algunas de ellas usando GeoGebra .

1. (x+ r)2 + y2 = r, r > 0.2. (x− r)2 + y2 = r, r > 0.3. (x−h)2 + y2 = 25, h ∈ R.4. (x−h)2 +(y−h)2 = r, h ∈ R r > 0.5. (x−2)2 +(y+3)2 = r, r > 0.6. Utilizando GeoGebra , construir dos circunferencias: una de centro (0, 0) y de radio 2, y

la otra de centro (2, 0) y de radio 1.Hallar el punto de intersección entre ambas utilizando el comando Intersección de dosobjetos.¿Cuál es la distancia de este punto al centro de cada una de estas circunferencias? ¿Porqué?

7. Hallar utilizando GeoGebra la ecuación de la circunferencia que pasa por A(1,4) y esconcéntrica a la circunferencia de ecuación x2 + y2 +6x−4y−1 = 0.

8. Hallar utilizando GeoGebra las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia(x−2)2 +(y+1)2 = 4 que pasen por el punto exterior P(4,2) . ¿Qué sucede con los puntosde tangencia a medida que se aleja el punto P sobre la semirrecta que contiene a P y al centrode la circunferencia?



9. Hallar con GeoGebra la ecuación de la circunferencia que tiene por centro a C(3,−1) yes tangente al eje de ordenadas.

3.1.2 ParábolaIntroducción

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija llamadadirectriz y de un punto fijo, llamado foco, que no se encuentra en dicha recta.

En la siguiente figura se colocan a modo de ejemplo dos puntos situados sobre la parábola yse ve que satisfacen la definición. Las definiciones de las cónicas son muy anteriores al conceptodel plano coordenado, es decir, a los ejes cartesianos. Esto significa que la ubicación relativa de lamisma no necesita ser horizontal ni vertical, ya que en la definición nada se indica sobre la posiciónde la recta directriz.

Parábola con vértice en el origen de coordenadas

La distancia entra la directriz y el foco se representa por p.Supongamos que el foco es el punto F(0, p

2 ) y la directriz es la recta D de ecuación y =− p2 .

Cualquier punto P(x,y) que pertenezca a la párábola de foco F y directriz D cumple, según ladefinición

d(F,P) = d(P,D).



De la figura anterior, resulta que d(P,D) = d(P,A), siendo el punto A(x, − p2 ). Ahora bien, por

un ladod(F,P)2 = x2 +(y− p

2)2,

d(P,A)2 = (y+p2)2

y además, usando que los primeros miembros son iguales, se tiene que

x2 +(y− p2)2 = (y+

p2)2,

desarrollando esta ecuación,

x2 + y2− py+(p2)2 = y2 + py+(

p2)2.

Reduciendo términos y simplificando, se obtiene que

x2 = 2py

o bieny =

12p

x2.

Observación: p 6= 0 pues F /∈ D.

Análogamente, si consideramos que el foco tiene coordenadas F(0,− p2 ) y que la directriz es la

recta D de ecuación y = p2 obtenemos la parábola de ecuación x2 =−2py.

Es decir la ecuación general de una parábola cuya directriz es paralela al eje x y cuyo foco estásituado sobre el eje y es de la forma

x2 =±2py (3.1)

Si intercambiamos x e y en el análisis anterior, obtenemos las ecuaciones

y2 =±2px. (3.2)

Los gráficos de estas parábolas se muestran a continuación.



Observaciones:La ecuación (3.1) representa parábolas que son simétricas respecto del eje y ya que si unpunto P(x,y) satisface la ecuación, también lo hace el punto P(−x,y). Decimos que el eje yes el eje de simetría de la parábola.Si consideramos las funciones cuadráticas cuyos gráficos son las parábolas de ecuación (3.1),esta condición implica que son funciones pares y que presentan un mínimo o un máximoabsoluto en el origen de coordenadas.La ecuación (3.2) representa parábolas que son simétricas respecto del eje x ya que si unpunto P(x,y) satisface la ecuación, también lo hace el punto P(x,−y). También es fácil verque estas parábolas no son el gráfico de ninguna función.En todos estos casos, el origen de coordenadas se llama vértice de la parábola.El vértice es el punto de la parábola que equidista del foco y la directriz en p

2 . Este valor sedenomina distancia focal.En general, decimos que el eje de simetría de una parábola es la recta que pasa por el vérticey es perpendicular a la directriz (o que contiene al foco).Cada sección de la gráfica que comienza en el vértice se llama rama. Si las ramas son haciaarriba la parábola tiene un mínimo en el vértice. Si las ramas son hacia abajo la parábolatiene un máximo en el vértice.Las ecuaciones (3.1) y (3.2) se denominan ecuaciones canónicas de la parábola.

Ejercicios 3.51. Sea P(x,y) un punto que se mueve de manera tal que su distancia a la recta x−2 = 0 es igual

a su distancia al punto (0,3).Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico dado anteriormente.Graficar en GeoGebra y verificar la solución hallada.Encontrar todos los elementos de la cónica anterior.

2. En los siguientes casos, utilizando GeoGebra hallar el vértice y el foco. Deducir laecuación de la directriz y graficar la parábola:

a) x = 2y2

b) 4x2 =−yc) 4y+ x2 = 0d) −3x = 1

2 y2

e) Con GeoGebra pueden dibujarse parábolas ingresando el foco y la recta directriz enla herramienta correspondiente. Realizarlo para el foco y la directriz de cada una de las



parábolas anteriores y comprobar que la ecuación obtenida en cada caso es la original.

Observación: Para realizar estos ejercicios utilizar los comandos Foco y Directriz.

Ecuación general de una parábolaSupongamos que queremos encontrar la ecuación de una parábola de vértice V (α,β ) y distancia

focal p2 .

Si pensamos en la parábola de vértice en el origen y paramétro p2 , ya sabemos cuál es su posible

ecuación de acuerdo a cuáles sean su eje de simetría y su foco.Si queremos que el vértice se ubique en el punto V (α,β ) es suficiente realizar una traslación

del origen a este punto y así obtener la ecuación general de la parábola.Veamos gráficamente qué ocurre. Si trasladamos el vértice α unidades sobre el eje x, tenemos

que

Si trasladamos el vértice β unidades sobre el eje y, vemos que

Haciendo las dos traslaciones simultánemente, es decir, situando el vértice en el punto decoordenadas (α, β ), el gráfico resultante es de la forma



La ecuación general de la parábola de eje de simetría paralelo al eje y será

(x−α)2 =±2p(y−β ). (3.3)

Análogamente, la ecuación general de la parábola de eje de simetría paralelo al eje x será

(y−β )2 =±2p(x−α). (3.4)

Observaciones:Consideremos la parábola de ecuación (3.3), entonces

1. es claro que el eje de simetría es la recta de ecuación x = α paralela al eje y.2. Si la parábola se abre hacia arriba, el foco tiene coordenadas F(α, β + p

2 ) y la directriz D esla recta de ecuación y = β − p

2 .3. Si la parábola se abre hacia abajo, el foco tiene coordenadas F(α, β − p

2 ) y la directriz D esla recta de ecuación y = β + p

2 .



Consideremos la parábola de ecuación (3.4), entonces1. es claro que el eje de simetría es la recta de ecuación y = β , paralela al eje x.2. Si la parábola se abre hacia la derecha, el foco tiene coordenadas F(α + p

2 , β ) y la directrizD es la recta de ecuación x = α− p

2 .3. Si la parábola se abre hacia la izquierda, el foco tiene coordenadas F(α− p

2 , β ) y la directrizD es la recta de ecuación x = α + p

2 .Ejercicios 3.6

1. Determinar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (1,3) y foco en (2,3).2. Determinar la ecuación canónica de la parábola con foco en (−1,1) y directriz de ecuación

y = 5.3. Hallar con GeoGebra la ecuación de la parábola con vértice P(4,−3) y recta directriz

y = 1. Indicar cuál es su foco.4. Hallar con GeoGebra la ecuación de la parábola con vértice P(0,3) y recta directriz

x =−5. Indicar cuál es su foco.5. Considerar la parábola de ecuación y = a(x− b)2 + c observar con GeoGebra cómo

cambia la gráfica de la parábola al introducir deslizadores en “a”,“b” y “c”.Agregar la recta directriz y observar cómo cambia al mover los deslizadores.Agregar el foco y observar cómo cambia al mover los deslizadores.

6. Considerar en GeoGebra los puntos : A(0,−2), B(−2,2), C(2,2), D(−4,14), E(4,14).Hallar la ecuación de la parábola que pasa por dichos puntos, identificar su vértice, foco y surecta directriz.

7. Dada la ecuación de la parábola y = ax2 + bx, utilizar deslizadores en GeoGebra parahallar los valores de “a” y “b” tales que dicha parábola pase por los puntos A(2,8) y B(−1,5).Indicar su vértice, foco y su recta directriz.

8. Graficar en GeoGebra la parábola de ecuación x =−14(y−1)2 +3, hallar una recta que

pase por su vértice y sea perpendicular a la directriz de dicha parábola.9. Encontrar con GeoGebra los puntos de intersección entre las parábolas de ecuación:

y = 2(x− 12)

2 +1 y x = 2(y−1)2−3.10. Hallar con GeoGebra la distancia entre las parábolas de ecuación: y = 2(x− 1

2)2 +1 y

x = 2(y− 12)

2 +1. Indicar sus respectivos vértices, focos y rectas directrices.11. Hallar con GeoGebra la parábola cuya recta directriz es y = 1 y su foco el punto P(3,4).

Hallar también el punto de intersección de la parábola con el eje y.12. Usando el comando Tangente, encontrar las rectas tangentes a las gráficas de las siguientes

cónicas, que pasan por el punto (0,5).(a) y2−2y−2x+3 = 0. (b) x2−4x+ y2−2y+1 = 0.¿Qué cónicas fueron representadas?

13. Dar condiciones sobre los coeficientes de la ecuación Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+F = 0 para quelas cónicas representadas sean circunferencias, parábolas de ejes de simetría paralelos al ejex o parábolas de ejes de simetría paralelos al eje y. ¿Cuándo se obtienen rectas o ningún lugargeométrico? Testear las respuestas graficando en GeoGebra .


4. Cuarta Clase

4.0.1 Elipse

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos,llamados focos es constante y la denotamos 2a. Dicha constante debe ser mayor que la distanciaentre los focos.

Para hallar la ecuación de la elipse tomamos un punto P(x,y) cualquiera de la elipse y veremoscuál es la ecuación que verifican sus coordenadas x e y.

Usualmente se llama eje focal a la recta que pasa por los focos y centro al punto medio delsegmento que los une.



Elipse de eje focal paralelo al eje x

Centro en el origenConsideremos en primer lugar el caso en que los focos son puntos del eje de las abscisas y

tienen coordenadas F1(−c,0) y F2(c,0).Un punto P(x,y) estará en la elipse si y sólo si

d(P,F1)+d(P,F2) = 2a.

Aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos, se tiene

d(P, F1) =√(x+ c)2 + y2, d(P, F2) =

√(x− c)2 + y2.

De modo que al sustituir,√(x+ c)2 + y2 +

√(x− c)2 + y2 = 2a.

Despejando el segundo radical y elevando al cuadrado ambos miembros

(x− c)2 + y2 = 4a2−4a√

(x+ c)2 + y2 +(x+ c)2 + y2

Desarrollando los cuadrados de binomios y agrupando términos se tiene que,

4a√

(x+ c)2 + y2 = 4a2 +4cx.

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad

x2 +2cx+ c2 + y2 = a2 +2cx+c2

a2 x2,

(1− c2

a2 )x2 + y2 = a2− c2,

x2

a2 +y2

a2− c2 = 1.

Ahora bien, recordemos que en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, lo

que aplicado al triángulo4

F1PF2, produce que:

d(P, F1)+d(P, F2)> d(F1, F2)

Sustituyendo,2a > 2c

a2− c2 > 0

La última desigualdad nos dice que la diferencia a2− c2 es constante y positiva, de tal manera quepodemos representarla por b2, es decir,

a2− c2 = b2.

Por lo tanto, la ecuación de la elipse se expresa por

x2

a2 +y2

b2 = 1,

donde siempre a > b.Esta ecuación se denomina ecuación canónica de la elipse de eje mayor x, eje menor y y

distancia focal 2c y centro en C(0,0).



Análisis de la ecuación canónica de la elipse

Simetrías.Es sencillo comprobar que la curva es simétrica respecto de los ejes coordenados y del origende coordenadas. Para esto basta con notar que si (x,y) es un punto de la elipse, los puntos(±x, ±y) también lo son.Intersecciones con los ejes coordenados.Si en la ecuación x=±a

b

√b2− y2 hacemos y= 0, resulta: x=±a, de modo que los puntos de

intersección de la curva con el eje de las abscisas son A1(a,0) y A2(−a,0). Las interseccionesde la elipse con su eje focal o mayor se denominan vértices. El segmento que une los vérticesse denonima eje mayor.Si en la ecuación y = ±b

a

√a2− x2 hacemos x = 0, resulta y = ±b, de tal manera que las

intersecciones con el eje de las ordenadas son B1(0,b) y B2(0,−b). Estos puntos se llamancovértices. El segmento que une los covértices se denonima eje menor.Rango.La ecuación y = ±b

a

√a2− x2 permite ver que para que y esé definido x solamente puede

variar desde −a hasta a. Del mismo modo, la ecuación x = ±ab

√b2− y2 justifica que y

únicamente pueda variar desde −b hasta b. En síntesis, la elipse esta acotada dentro delrectángulo que muestra la figura. decimos que a es la longitud del semieje mayor y b es lalongitud del semieje menor.

Excentricidad.Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón c

a y serepresenta usualmente con la letra e.

Es decir, e =ca=

√a2−b2

a.

Como c < a, la excentricidad de una elipse es un número menor que 1 y da una idea decúanto se aleja una elipse de una circunfencia en la cual a = b (y por lo tanto la excentricidades igual a 0.)



Centro desplazado del origenConsideremos ahora una elipse con centro C(h,k) y con su eje mayor paralelo al eje de las x.Para encontrar la ecuación que la representa se puede repetir el proceso anterior o bien, realizar

una traslación de coordenadas. Esto es, considerar la transformación dada por

x′ = x−h e y′ = y− k

que permite escribir la ecuación

(x−h)2

a2 +(y− k)2

b2 = 1

con a2− c2 = b2.

Elipse de eje focal paralelo al eje yAnálogamente a lo realizado cuando el eje focal es paralelo al eje x, se puede encontrar la

ecuación de una elipse cuyos focos son los puntos F1(0,−c) y F2(0,c) que está dada por

x2

b2 +y2

a2 = 1,

con a2− c2 = b2.Si la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje de las y y su centro es el punto C(h,k), la ecuación

que la representa es



(x−h)2

b2 +(y− k)2

a2 = 1

con a2− c2 = b2.

Ejercicios 4.11. Sea P(x,y) un punto que se mueve de manera tal que la suma de sus distancias a los puntos

(−2,1) y (4,1) es siempre 10.Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico dado anteriormente.Graficar en GeoGebra y verificar la solución hallada.Encontrar todos los elementos de la cónica anterior.

2. Mostrar que la curva de ecuación 9x2 +16y2 = 144 es una elipse. Graficar usando GeoGe-bra y determinar los focos.

3. Determinar los focos y vértices de las siguientes elipses. Usando GeoGebra hacer susgráficas

x2

16 +y2

4 = 19x2

2 −18x+4y2 = 2718x2

16 + 25y2

4 = 114. Ingresando en GeoGebra los focos y un punto de la elipse, el programa la dibuja y nos

muestra su ecuación. Realizar este proceso para las elipses del ítem anterior y comprobar losresultados obtenidos.

5. Graficar en GeoGebra y calcular la excentricidad de las elipsesx2

a2 +y2

4= 1 para distintos

valores de a.6. Dados los focos (0, ±4) de una elipse y su excentricidad e = 4/5, hallar todos sus elementos

(ecuación canónica, vértices, longitud del eje mayor, longitud del eje menor), verificarloscon GeoGebra y graficar.

Ejercicios 4.21. Realizar las gráficas de las siguientes elipses y reconocer los vértices, covértices, focos y

longitudes de los ejes mayor y menor. Verificar con GeoGebra .4x2 +16y2 = 2005x2 +2y2 = 10(x−1)2

25 + (y−3)2

36 = 116x2 +25y2 +32x−100y−284 = 0

2. Teniendo en cuenta los siguientes comandos para graficar una elipse elegir el más convenien-te, según los datos, para obtener las ecuaciones de las elipses que se indican y graficarlas.

Comandos



• Cónica[Punto A, Punto B, Punto C, Punto D, Punto E]: Produce la sección cónica que pasapor los cinco puntos dados A, B, C, D y C.

Observación: Ver también la herramienta Cónica dados Cinco de sus Puntos.

• Elipse[Punto F, Punto G, Nómero a]: Crea la elipse con puntos focales F y G y eje principalde longitud a.

Observación: Condición: 2a >Distancia[F, G]

• Elipse[Punto F, Punto G, Segmento]: Crea la elipse con puntos focales F y G siendo lalongitud del eje principal igual a la del segmento dado, para ello debe primero ingresar lospuntos extremos del segmento y crear el segmento.

• Elipse[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea una elipse con puntos focales A y B que pasa através del punto C.

Elipses:a) Centro en el origen, un foco (2,0) y un vértice en (3,0).b) Focos (0,±5) y eje mayor de longitud 14.c) Vértices (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud 6.d) Vértices (5,−3) y (5,7) y focos (5,2±

√21).

e) Focos (2,3) y (6,3) y excentricidad 23 .

f ) Foco (2√

6,6), centro (0,6) y pasa por el punto P(4, 335 ).

g) Centro en (1,4), un foco en (1,8) y excentricidad e = 15

h) Distancia focal= 8, excentricidad= 45 , eje focal= eje y, simetría sobre los ejes coordena-

dos.i) Eje menor= 24, distancia focal= 10, eje focal= eje x, centro de simetría el origen de

coordenadas.j) Eje sobre los ejes coordenados y los puntos A(4,3) y B(−1,4) pertenecientes a la

elipse.k) F1(3,0),F2(−3,0) y el punto A(6,4) pertenece a la elipse.l) Ingresar en la barra de entrada de GeoGebra la ecuación x2

A2 +y2

B2 = 1 y calcular laexcentricidad de la misma. Utilizar el deslizador para poder variar los parámetros A y B,a través de esto, mostrar cómo varía la excentricidad de las diferentes elipses. Observary anotar conclusiones.

Observación: En 1609 Johannes Kepler demostró que las órbitas de los planetas del SistemaSolar son elípticas y que el Sol es uno de sus focos. Mostramos en el recurso

www.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/sistemasolar.ggbuna aplicación de GeoGebra para representar el movimiento de los planetas de dicho

sistema.

4.0.2 Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuyo valor absoluto de la diferenciade distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo a una constantepositiva tal que 2a es menor que la distancia entre los focos. El eje que contiene a los focos se llamaeje focal y el punto medio entre ellos se denomina centro.


www.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/sistemasolar.ggb


Hipérbola de eje focal paralelo al eje xCentro en el origen.Consideremos en primer lugar el caso en que los focos son puntos del eje de las abscisas. Es

decir, sean los puntos F1(−c,0) y F2(c,0).Un punto P(x,y) estará en la hipérbola sí y sólo sí

|d(P,F1)−d(P,F2)|= 2a.

Como mostramos anteriormente, aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dospuntos, se tiene:

d(P, F1) =√(x+ c)2 + y2, d(P, F2) =

√(x− c)2 + y2.

Luego, la condición que verifican los puntos de una hipérbola es

|√(x+ c)2 + y2−

√(x− c)2 + y2|= 2a.

Esta condición es equivalente a las dos relaciones

d(P,F1)−d(P,F2) =−2a

d(P,F1)−d(P,F2) = 2a

Consideremos la primera posibilidad solamente ya que el segundo caso es totalmente análogoal primero.

Despejando al segundo radical y elevando al cuadrado ambos miembros

(x− c)2 + y2 = 4a2 +4a√

(x+ c)2 + y2 +(x+ c)2 + y2.

Desarrollando los cuadrados de binomios y agrupando términos se tiene que

4a√

(x+ c)2 + y2 =−(4a2 +4cx).

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que a 6= 0

x2 +2cx+ c2 + y2 = a2 +2cx+c2

a2 x2,

(1− c2

a2 )x2 + y2 = a2− c2,

x2

a2 +y2

a2− c2 = 1.

Ahora bien, recordemos que en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos

y mayor que su diferencia, aplicándolo al triángulo4

F1PF2 obtenemos,

d(P, F1)−d(P, F2)< d(F1, F2).

Sustituyendo,2a < 2c,

c2−a2 > 0.



La última desigualdad nos muestra que la diferencia c2−a2 es constante y positiva, de tal maneraque podemos representarla por b2, es decir

c2−a2 = b2.

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola se puede escribir como

x2

a2 −y2

b2 = 1

con c2−a2 = b2. Esta ecuación de la hipérbola se denomina canónica.

Análisis de la ecuación canónica de la hipérbolaSimetrías. Es sencillo comprobar que la curva es simétrica respecto de los ejes coordenadosy del origen de coordenadas. Para esto basta con notar que si (x,y) es un punto de la elipse,los puntos (±x, ±y) también lo son.Intersecciones con los ejes coordenados.Si en la ecuación x=±a

b

√b2 + y2 hacemos y= 0, resulta: x=±a, de modo que los puntos de

intersección de la curva con el eje de las abscisas son A1(−a,0) y A2(a,0). Las interseccionesde la hipérbola con su eje focal o mayor se denominan vértices.Si en la ecuación y =±b

a

√x2−a2 hacemos x = 0, vemos que no existen intersecciones con

el eje de las ordenadas. Los puntos B1(0,−b) y B2(0,b) se toman como extremos de unsegmento llamado eje conjugado cuya longitud es 2b.Excentricidad.Un elemento importante de una hipérbola es su excentricidad que se define como la razón c

ay se representa usualmente con la letra e.

Es decir, e =ca=

√a2 +b2

a.

Como c > a, la excentricidad de una hipérbola es un número mayor que 1.Asíntotas.Otro elemento fundamental para las hipérbolas son dos rectas asociadas que se denominanasíntotas cuyas ecuaciones son

y =±ba

x



Centro desplazado del origen

Consideremos ahora una hipérbola con centro C(h,k) y con su eje focal paralelo al eje de las x.Para encontrar la ecuación que la representa se puede repetir el proceso anterior o bien, realizar

una traslación de coordenadas. Esto es, considerar la transformación dada por

x′ = x−h e y′ = y− k

que permite escribir la ecuación

(x−h)2

a2 − (y− k)2

b2 = 1

En este caso las ecuaciones de las asíntotas son

y− k =±ba(x−h)

Hipérbola de eje focal paralelo al eje yAnálogamente a lo realizado cuando el eje focal es paralelo al eje x, se puede encontrar la

ecuación de una hipérbola cuyos focos son los puntos F1(0,−c) y F2(0,c) que está dada por

y2

a2 −x2

b2 = 1,

con c2−a2 = b2. Si la hipérbola tiene su eje mayor paralelo al eje de las y y su centro es el puntoC(h,k), la ecuación que la representa es

(y− k)2

a2 − (x−h)2

b2 = 1,

con c2−a2 = b2.En este caso las ecuaciones de las asíntotas son

y− k =±ab(x−h)



Hipérbola de eje focal y, centro en el origen.

Hipérbola de eje focal y, centro desplazado.

Observación: Las hipérbolas(x−h)2

a2 − (y− k)2

b2 = 1 y(y− k)2

b2 − (x−h)2

a2 = 1 se denominanhipérbolas conjugadas



Ejercicios 4.31. Sea P(x,y) un punto que se mueve de manera tal que su distancia a la recta x+ 3 = 0 es

siempre 2 unidades mayor que su distancia al punto (1,1).Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico dado anteriormente.Graficar en GeoGebra y verificar la solución hallada.Encontrar todos los elementos de la cónica anterior.

2. Dadas las ecuaciones de las hipérbolas, representarlas e indicar las coordenadas de los focos yde los vértices, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad. Verificar con GeoGebra.

16x2−9y2 = 1442x2−3y2 = 8x2−4y2 = 4x2− y2 = 1

3. Explicar las diferencias entre los distintos comandos para la construcción de las hipérbolas.

Comandos:

• Herramienta “Hipérbola”.

• Hipérbola[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la hipérbola con puntos focales F y G y ejeprincipal de longitud a.

Condición: 0 <2a <Distancia[F, G]

• Hipérbola[Punto F, Punto G, Segmento s]: Crea la hipérbola con puntos focales F y Gsiendo la longitud del eje principal igual a la del segmento s (a = Longitud[s]).

• Hipérbola[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea la hipérbola con puntos focales A y B quepasa por el punto C.

Hipérbolas:a) V1(5,0),V2(−5,0),F1(7,0),F2(−7,0).b) V1(0,7),V2(0,−7), excentricidad= 4

3 .c) F1(0,10),F2(0,−10),A(2,3) pertenece a la hipérbola.



d) Las asíntotas son y =±12 x, la distancia focal es 10, eje focal = eje y.

e) Las asíntotas son y =±35 x, pasa por el punto A(10,

√3).

f ) Centro en el origen, los focos en el eje de abscisas, la distancia entre los focos es2c = 20 y asíntotas y =±4

3 x.g) Centro en (−5,3), un vértice (−5,7) y un foco (−5,8).h) Focos (2,3) y (6,3) con excentricidad 2.i) Vértices (4,−2) y (0,−2) que pasa por el punto P(6,3

√3−2).

4. Ingresar la ecuación x2

A2 − y2

B2 = 1 y calcular la excentricidad de la misma. Utilizar el deslizadorpara poder variar los parámetros A y B, a través de esto mostrar cómo varía la excentricidadde las diferentes hipérbolas. Observar y anotar conclusiones.

5. Utilizando el programa GeoGebra , comprobar que F1(6,5) y F2(−2,−1) y a = 3 definenuna hipérbola. Hallar su centro, la ecuación del eje focal y decidir si P(1,−2) pertenece a lamisma.

Observación: En los siguientes recursos de GeoGebrawww.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/optica1.ggb

www.mate.unlp.edu.ar/extension/geometriaygeogebra/optica2.ggb

se puede ver una aplicación de elipse e hipérbola a la óptica geométrica.

4.1 Ecuación general de las cónicasUna ecuación general de segundo grado en las variables x e y es una ecuación de la forma

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0.

Puede demostrarse que por medio de una rotación de los ejes coordenados, esta ecuación puedetransformarse en una ecuación de la forma

A′x2 +C′y2 +D′x+E ′y+F ′ = 0, (4.1)

en la cual alguno de los coeficientes A′ y C′ es no nulo y no aparece el término en xy llamadotérmino rectangular.

Observaciones:Si alguno de los coeficientes A′ y C′ es igual a cero, la ecuación (4.1) representa una parábola.Si los coeficientes A′ y C′ tiene el mismo signo pero son distintos, la ecuación (4.1) representauna elipse o un punto o ningún lugar geométrico real.Si los coeficientes A′ y C′ son iguales, la ecuación (4.1) representa una circunferencia o unpunto o ningún lugar geométrico real.Si los coeficientes A′ y C′ tienen signo distinto, la ecuación (4.1) representa una hipérbola oun par de rectas que se cortan.

Ejercicios 4.41. Identificar las siguientes cónicas escribiendo sus ecuaciones canónicas. Graficar en Geo-

Gebra y mostrar sus elementos.a) 4x2−9y2−16x−18y−29 = 0.b) 4x2 +9y2−16x−18y−29 = 0.c) 4x2 +4y2−16x−8y = 0.d) 25x2−5x−18y−40 = 0.e) 9y2−8x−18y−36 = 0.





2. Dadas las siguientes ecuaciones:a) k(k−1)x2 +(k+1)y2 = 1b) x2 + ky2−6x+2ky+1 = 0

cambiar los valores del parámetro k y anotar el rango para la obtención de las diferentescónicas que se generan utilizando GeoGebra . Luego, justificar en forma analítica.


5. Apéndice

5.1 Distancia de un punto a una rectaVeremos una aplicación de la forma normal de una recta para calcular la distancia entre un

punto y una recta.Sean P1(x1,y1) un punto y ` una recta cuya ecuación normal es xcosω + ysenω − p = 0.

Consideremos el caso

Sea `′ la recta que pasa por P1 y es paralela a `.Su ecuación normal es, entonces,

xcosω + ysenω− p′ = 0.

Del gráfico se desprende que p+d = p′ y por lo tanto, d = p′− p. Si calculamos p′ obtenemos d.Como P1 ∈ `′, sus coordenadas satisfacen la ecuación

x1 cosω + y1senω− p′ = 0.

Luego,d = x1 cosω + ysenω− p.



Comparando esta última ecuación con la ecuación normal de `, xcosω +ysenω− p = 0, vemosque d puede calcularse sustituyendo las coordenadas de P1 en la ecuación normal de `. Como vimosen la clase 1, la ecuación de ` también puede escribirse en forma implícita como

±A√A2 +B2

x+±B√

A2 +B2y+

±C√A2 +B2

= 0

de donde se tiene que

d =(Ax1 +By1 +C)

±√

A2 +B2

Observación: El signo de la raíz del denominador se elige de manera tal que d sea positiva.

5.2 Traslación y Rotación5.2.1 Traslación de Ejes Coordenados

Muchas veces, para simplificar las ecuaciones que representan a distintos lugares geométricos,se realiza una traslación de los ejes coordenados que consiste en considerar una transformación delos coordenadas (x,y) de un punto P en las coordenadas (x′,y′) en otro sistema.

Es claro que si el origen del nuevo sistema de coordenadas x′ e y′ tiene coordenadas (h,k) en elsistema de coordenadas x e y, la expresión de esta transformación es

x = x′+h e y = y′+ k

� Ejemplo 5.1Dada la ecuación

x3−3x2− y2 +3x+4y−5 = 0 (5.1)

aplicamos una traslación de ejes coordenados al nuevo origen (1,2).Las ecuaciones de la transformación son x = x′+1, y = y′+2.Si sustituimos estos valores en la ecuación (5.1), obtenemos

(x′+1)3−3(x′+1)2− (y′+2)2 +3(x′+1)+4(y′+2)−5 = 0.

Desarrollando y simplificando esta última ecuación, obtenemos la ecuación transformada buscada

x′3− y′2 = 0.



�

� Ejemplo 5.2 Dada la ecuación

x2−4y2 +6x+8y+1 = 0, (5.2)

aplicamos una traslación para transformarla en otra ecuación que carezca de términos de primergrado.

Si sustituimos en la ecuación (5.2) x = x′+h, y = y′+ k, obtenemos la ecuación transformada

x′2−4y′2 +(2h+6)x′− (8k−8)y′+h2−4k2 +6h+8k+1 = 0.

Como la ecuación transformada debe carecer de términos de primer grado, tenemos

2h+6 = 0, 8k−8 = 0

de donde,h =−3, k = 1.

Por lo tanto el nuevo origen de coordenadas es el punto (−3,1). Luego la ecuación buscada es lahipérbola

x′2−4y′2−4 = 0.

Observación: En el caso de ecuaciones de segundo grado que carezcan de términos de xy, esposible efectuar la transformación completando cuadrados.

�

5.2.2 Rotación de Ejes Coordenados

En muchos otros casos, para simplificar la expresión de una ecuación que describe cierto lugargeométrico es conveniente efectuar una rotación de los ejes coordenados.

Con trigonometría elemental se puede probar que si los ejes coordenados x e y giran un ánguloθ y así definen el nuevo sistema de coordenadas x′ e y′, las coordenadas x e y de un punto P setransforman en las coordenadas x′ e y′ de la siguiente manera

x = x′cosθ − y′senθ e y = x′senθ + y′cosθ (5.3)



Observación: En general, será necesario girar los ejes coordenados solamente un ángulo suficien-temente grande para hacer coincidir uno de los ejes coordenados con una recta dada fija cualquiera,o para hacer que sea paralelo a ella en el plano coordenado. De acuerdo con esto, restringiremos losvalores del ángulo de rotación θ al intervalo dado por 0≤ θ < 90◦.

� Ejemplo 5.3Transformar la ecuación

2x2 +√

3xy+ y2 = 4 (5.4)

girando los ejes coordenados un ángulo de 30◦.En este caso, las ecuaciones de transformación son

x = x′ cos30◦− y′sen30◦ =

√3

2x′− 1

2y′.

y = x′sen30◦+ y′ cos30◦ =12

x′+

√3

2y′.

Si sustituimos estos valores de x e y en (5.4), obtenemos

2(

√3

2x′− 1

2y′)2 +

√3(

√3

2x′− 1

2y′)(

12

x′+

√3

2y′)+(

12

x′+

√3

2y′)2 = 4.

Desarrollando y simplificando esta última ecuación, obtenemos la ecuación transformada

5x′2 + y′2 = 8

El lugar geométrico es una elipse.

�



� Ejemplo 5.4 Mediante una rotación de ejes coordenados, transformaremos la ecuación

9x2−24xy+16y2−40x−30y = 0 (5.5)

en otra que carezca del término en x′y′.Si en la ecuación (5.5) sustituimos los valores de x e y dados por las ecuaciones de transforma-

ción (5.3), obtenemos

9(x′ cosθ − y′senθ)2−24(x′ cosθ − y′senθ)(x′senθ + y′ cosθ)+16(x′senθ + y′ cosθ)2−−40(x′ cosθ − y′senθ)−30(x′senθ + y′ cosθ) = 0,

la cual, después de efectuar el desarrollo y agrupar los términos, toma la forma

(9cos2 θ −24cosθsenθ +16sen2θ)x′2 +(14senθ cosθ +24sen2θ −24cos2 θ)x′y′++(9sen2θ +24senθ cosθ +16cos2 θ)y′2−(40cosθ +30senθ)x′+(40senθ−30cosθ)y′ = 0.

Como la ecuación transformada debe carecer del término en x′y′, tenemos que

14senθ cosθ +24sen2θ −24cos2

θ = 0.

Esta relación puede escribirse

7sen2θ −24cos2θ = 0,

de dondetan2θ =

247.

Como el ángulo θ está restringido al primer cuadrante, tenemos

cos2θ =725

.

Luego,

senθ =

√1− cos2θ

2=

35,

cosθ =

√1+ cos2θ

2=

45.

Si sustituimos estos valores de senθ y cosθ en la ecuación transformada, obtenemos

y′2−2x′ = 0.

El lugar geométrico es una parábola.�

Ejercicios 5.11. Verificar el resultado obtenido en la resolución del Ejemplo 5.2 utilizando el comando

Traslada de GeoGebra .2. Verificar el resultado obtenido en la resolución del Ejemplo 5.4 utilizando el comando Rota

de GeoGebra .


Bibliografía

Libros

Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B.; Cálculo y Geometría Analítica, Mc Graw-Hill, 1999.

Lehmann, C.; Geometría analítica, ed. Limusa, 2012.

Leithold, L.; El Cálculo, con Geometría Analítica, 7ma. edición, Oxford University Press,1994.

Rider, P.; Geometría analítica, Montaner y Simón editores, 1962.

Stewart, J.; Cálculo de una variable trascendentes tempranas, International Thomson Editores,2001.

Tajani, M., Vallejo, M.; Cálculo infinitesimal y geometría analítica, Cesarini Hnos editores,1981.


Directora: Dra. Claudia B. Ruscitti

Codirectora: Dra. Marcela Zuccalli

Coordinadora: Lic. Ma. Mercedes Olea

Contacto: [email protected]

www.mate.unlp.edu.ar/nuher

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