Matemática

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Módulo A1 - Geometria

Andre - Dirmatica

Isometrias

Tomando atenção à própria palavra, bem como a sua origem grega, observa-se que

ISO METRIA

Igual Medida

De um modo matematicamente rigoroso, pode-se dizer que uma isometria é uma transformação geométrica que preserva a distância entre pontos e a amplitude de ângulos

Uma isometria transforma uma figura noutra que lhe é congruente (geometricamente igual).

Figura Original (Imagem)

Figura Transformada (Objecto)

As figuras são congruentes entre si

Estamos perante uma isometria

Figura Original (Imagem)

Figura Transformada (Objecto)

As figuras não são congruentes entre si (têm “tamanhos” diferentes).

Não estamos perante uma isometria

Translação

Trata-se de uma isometria caracterizada pelo facto de a figura transformada ser obtida a partir de um deslocamento paralelo à figura original, em linha recta, segundo um vector.

v

v

Em todas as translações é possível observar que um mesmo elemento se desloca numa determinada direcção e sempre paralelo a si mesmo

Pelo que numa translação não existem rotações.

Propriedades das Translações

Um segmento de recta é transformado noutro segmento de recta de igual comprimento

Uma recta (ou semi-recta) é transformada numa recta (ou semi-recta). Estas serão paralelas entre si.

Um ângulo é transformado noutro ângulo geometricamente igual e com o mesmo sentido.

Considerando que a figura vermelha é obtida a partir da figura azul por uma translação, observa-se que:

Qualquer lado da figura azul foi transformado num lado da figura vermelha com igual comprimento;

Os ângulos da figura vermelha são congruentes aos da figura azul;

a deslocação foi obtida a partir de rectas horizontais (portanto paralelas)

Reflexão

Dada uma recta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à isometria que transforma os pontos de r em si próprios e que, a cada ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o eixo r é a mediatriz do segmento de recta [PP’].

Ou seja, se considerar uma recta r e uma figura, a reflexão com eixo em r transforma a figura de modo que:

qualquer ponto sobre r é transformado em si próprio;

qualquer ponto P que não esteja sobre r é transformado num ponto P’ à mesma distância da recta, sendo que o segmento que une os dois pontos é perpendicular a r.

No fundo, numa reflexão, a recta r é como um espelho que reflecte as figuras.

Propriedades das Reflexões

um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento;

uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta e numa semi-recta, respectivamente;

um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso;

qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio;

a distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.

Rotação

Dado um ponto O, centro de rotação, e uma amplitude α , chama-se rotação de centro O e amplitude α à isometria que a um ponto P faz corresponder um ponto P’, tal que:

a distância de O a P é igual à distância de O a P’ (imagem de P);

a amplitude de POP’ é igual a α , ou seja, OP = OP’ e PÔP = α .

Uma rotação representa-se por RO,

Para descrever uma rotação é necessário conhecer: O centro da rotação; A medida da amplitude do ângulo de rotação; O sentido do ângulo de rotação (o sentido positivo é o contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio, enquanto que o sentido negativo é o sentido do movimento dos ponteiros do relógio).

Propriedades das Rotações

um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento;

uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta e numa semi-recta, respectivamente;

um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude e com o mesmo sentido.

Reflexão Deslizante

A Reflexão Deslizante é uma isometria resultante da composição de uma reflexão de eixo r com uma translação cujo vector (não nulo) é paralelo a r .

A figura rosa é uma reflexão deslizante da figura azul.

A figura B é uma reflexão deslizante da figura A.

Propriedades das Reflexões Deslizantes

Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos que pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer-lhe mas são deslocados pelo vector.

Um segmento de recta é transformado noutro segmento de recta de igual comprimento, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vector.

uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta e numa semi-recta, respectivamente;

Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso;

A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.

Propriedades das Isometrias

Uma isometria do plano é necessariamente uma translação, uma reflexão, uma rotação ou uma reflexão deslizante. Em qualquer isometria:

Uma recta é transformada numa recta Uma semi-recta é transformada numa semi-

recta. Um segmento de recta é transformado num

segmento de recta com o mesmo comprimento.

Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude.