Лекция по теоретической...

Лекция по теоретической механике от 08.04.2020 (ПМФ)

Н.Н. Пенкина Кафедра квантовой механики Санкт-Петербургский государственный университет

Содержание лекции

1. Предмет и методы механики сплошной среды

2. Основные гипотезы механики сплошной среды

3. Субстанциональный и локальный подходы: метод Лагранжа и метод Эйлера

4. Тензор деформации сплошной среды. Главные оси и главные значения тензора деформации

5. Малые деформации

6. Тензор скорости деформации

Предмет и методы механики сплошной среды

В теоретической механике изучаются движение материальной точки, системы

материальных точек и движение абсолютно твердого тела.

В механике сплошной среды рассматривается движение таких материальных

тел, которые заполняют пространство непрерывно, сплошным образом, и

расстояния между точками которых меняется во время движения.

Проблемы механики сплошной среды возникают на каждом шагу. Перечислим

лишь некоторые наиболее существенные и достаточно разработанные.

(1) Воздействие жидкости и газа на движущиеся в них тела. Особым стимулом

послужили технические задачи о движении самолетов, вертолетов,

дирижаблей, снарядов, ракет, кораблей, подводных лодок.

(2) Движение жидкостей и газов по трубам и вообще внутри различных

механизмов. Здесь важен вопрос о взаимодействии жидкости или газа с

границами потока – с подвижными и неподвижными твердыми стенками. Эти

задачи имеют непосредственное значение для проектирования газопроводов,

нефтепроводов, насосов, турбин.

(3) Фильтрация – движение жидкости сквозь почву и другие пористые среды.

Необходимо учитывать при постройке плотин, опор мостов, гидростанций,

подземных тоннелей.

(4) Волновые движения различной природы и в различных средах.

(5) Движение воздушных масс в атмосфере Земли также является важным

разделом механики сплошной среды и представляет собой отдельную науку –

метеорологию.

(6) Значительная часть механики сплошной среды посвящена исследованию

равновесий и движений деформируемых твердых тел. Сюда относятся теория

упругости (все деформации обратимы), а также учет неупругих эффектов в

твердых телах, таких как пластичность, связанная с появлением остаточных

деформаций, и ползучесть, связанная с постепенным нарастанием

деформаций при постоянных внешних нагрузках.

К изучению материальных тел, заполняющих пространство непрерывно,

применяются методы и подходы, развитые в теоретической механике для описания

дискретных систем. Чтобы эти математические методы были применимы,

принимаются две основные гипотезы.

Основные гипотезы механики сплошной среды

Гипотеза сплошности Все тела представляют собой совокупности разного сорта атомов и молекул, которые

в свою очередь состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных

электронов. Поскольку этих частиц много в любом существенном для нас объеме,

постольку тело можно приближенно рассматривать как среду, заполняющую

пространство сплошным образом. Воду, воздух, металл и пр. будем рассматривать как

тела, целиком заполняющие некоторую часть пространства. Иными словами, в механике

сплошной среды пренебрегается реальной структурой вещества и принимается гипотеза

сплошности.

Гипотеза сплошности делает механику сплошной среды макроскопической теорией.

В рамках этой теории бесконечно малое расстояние считается достаточно большим по

сравнению с межмолекулярными расстояниями, а всякий бесконечно малый объем

среды настолько велик, что содержит очень большое число молекул (структурных

единиц среды). Термины «материальная точка сплошной среды» и «частица сплошной

среды» также следует понимать как некий элементарный объем, содержащий большое

количество структурных единиц среды, но малый по сравнению с другими характерными

размерами задачи. Гипотеза сплошности является идеализацией, позволяющей

использовать аппарат непрерывных функций, а также дифференциальное и

интегральное исчисление.

Пространство трехмерно и евклидово, время абсолютно Как и в теоретической механике, движение сплошной среды – континуума –

происходит в трехмерном евклидовом пространстве, а время считается абсолютным, т.е.

течет одинаково для всех наблюдателей.

Субстанциональный и локальный подходы: метод Лагранжа и метод Эйлера

Подход, при котором прослеживается история движения каждой отдельной точки

сплошной среды, называется субстанциональным и отражает точку зрения Лагранжа на

изучение движения сплошной среды. Координаты, индивидуализирующие точки

континуума в начальный момент времени, называются материальными координатами и

вместе с временем образуют совокупность переменных Лагранжа.

Предположим теперь, что нас интересует не история движения индивидуальных

точек сплошной среды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной

геометрической точке пространства, куда приходят разные частицы сплошной среды.

Такой подход составляет сущность точки зрения Эйлера и носит название локального

метода описания сплошной среды. Координаты, фиксирующие точку наблюдения,

называются пространственными координатами и вместе с временем образуют

переменные Эйлера.

ПРИМЕР: движение воды в реке можно изучать, либо следя за движением каждой

частицы воды от верховьев реки до ее устья (это будет точка зрения Лагранжа),

либо наблюдая изменение течения воды в определенном месте реки

(это будет точка зрения Эйлера).

Выбор способа описания зависит от рассматриваемой задачи.Например, в задачах

гидромеханики форма и движение границ жидкости обычно заданы, и наибольший

интерес представляет распределение поля скоростей в пространстве, занимаемом

средой. В этих условиях предпочтение отдается пространственным (эйлеровым)

координатам. Задача теории упругости состоит в определении перемещений точек

упругого тела, для которого известна первоначальная форма и задана нагрузка. Такие

задачи удобнее формулировать и решать в лагранжевых координатах.

Тензор деформации

Положение каждой точки сплошной среды определяется ее радиус-вектором 𝑟 (с

компонентами 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦, 𝑥3 = 𝑧) в некоторой системе координат. Под влиянием

приложенных сил все точки среды, вообще говоря, смещаются. Такую среду будем

называть деформируемой.

Рассмотрим какую-нибудь определенную точку среды; если до деформации ее

радиус-вектор был 𝑟, то после деформации он превратился в 𝑟′ (с компонентами 𝑥𝑖′).

Смещение точки среды изобразится вектором �⃗⃗� = 𝑟′ − 𝑟, который называется вектором

деформации или вектором смещения. Поскольку 𝑟′ = 𝑟′(𝑟), то и �⃗⃗� = �⃗⃗�(𝑟). Задание �⃗⃗�(𝑟)

полностью определяет деформацию. При деформировании изменяются расстояния

между точками среды. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точки среды.

До деформации расстояние между ними было

𝑑𝑙 = √𝑑𝑥12 + 𝑑𝑥2

2 + 𝑑𝑥32 (1)

После деформации

𝑑𝑙′ = √(𝑑𝑥1′ )2 + (𝑑𝑥2

′ )2 + (𝑑𝑥3′ )2, (2)

где 𝑑𝑥𝑖′ = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑢𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3).

Будем пользоваться сокращенной записью сумм, когда знаки сумм опускаются, а по

всем дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование (в данном

случае по 𝑖 = 1, 2, 3). Тогда формулы (1) и (2) примут вид:

𝑑𝑙2 = ∑ 𝑑𝑥𝑖2

3

𝑖=1

= 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖 ≡ 𝑑𝑥𝑖2 (1′)

(𝑑𝑙′)2 = ∑(𝑑𝑥𝑖′)2

3

𝑖=1

≡ (𝑑𝑥𝑖′)2 = (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑢𝑖)

2 (2′)

Так как �⃗⃗� = �⃗⃗�(𝑟), то

𝑑𝑢𝑖 = ∑𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘

3

𝑘=1

𝑑𝑥𝑘 ≡𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑘, (3)

и формула (2′) перепишется в виде

(𝑑𝑙′)2 = 𝑑𝑥𝑖2 + 2𝑑𝑥𝑖

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑘 +

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑙𝑑𝑥𝑙 =

= 𝑑𝑙2 + 2𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘 +

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑙𝑑𝑥𝑘𝑑𝑥𝑙 (4)

Поскольку во втором слагаемом производится суммирование по обоим индексам

𝑖 и 𝑘, можно написать:

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘 =

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘𝑑𝑥𝑖 (5)

В третьем слагаемом поменяем местами индексы 𝑖 и 𝑙. Тогда для (𝑑𝑙′)2 получим:

(𝑑𝑙′)2 = (𝑑𝑙)2 + 2𝑢𝑖𝑘𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘 , (6)

где

𝑢𝑖𝑘 =1

2(

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘+

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑖+

𝜕𝑢𝑙

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑢𝑙

𝜕𝑥𝑘) (7)

Тензор 𝑢𝑖𝑘 называется тензором деформации. Из его определения следует, что он

симметричен:

𝑢𝑖𝑘 = 𝑢𝑘𝑖 (8)

Симметричный тензор может быть приведен к диагональному виду с помощью

ортогонального преобразования. Это значит, что в каждой точке среды можно ввести

такую систему координат, в которой из всех компонент 𝑢𝑖𝑘 отличны от нуля только

диагональные компоненты 𝑢11, 𝑢22, 𝑢33. Эта система координат соответствует главным

осям тензора; она своя в каждой точке сплошной среды.

Находящиеся на главной диагонали компоненты тензора называются главными

значениями тензора деформации и обозначаются 𝑢(1), 𝑢(2) и 𝑢(3) , соответственно.

Главными инвариантами тензора деформации относительно ортогонального

преобразования (как и любого симметричного тензора второго ранга) являются

величины:

Переходя к главным осям деформации, получим:

(𝑑𝑙′)2 = (1 + 2𝑢(1))𝑑𝑥12 + (1 + 2𝑢(2))𝑑𝑥2

2 + (1 + 2𝑢(3))𝑑𝑥32 (9)

Выражение распалось на три независимых члена, отвечающих независимым

деформациям по трем взаимно перпендикулярным направлениям – главным осям

деформации. Каждая из этих деформаций представляет собой простое растяжение (или

сжатие) вдоль соответствующего направления: расстояние 𝑑𝑥𝑖 заменяется на 𝑑𝑥′ =

√1 + 2𝑢(𝑖)𝑑𝑥𝑖. Относительные удлинения вдоль главных осей равны

𝑑𝑥𝑖′ − 𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑖= √1 + 2𝑢(𝑖) − 1 (10)

Малые деформации

Практически важным является случай малых деформаций, когда изменение любого

расстояния мало по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные

изменения, выражаемые формулой (10), малы по сравнению с единицей. Если

деформация мала, то должны быть малы все компоненты тензора деформации,

неважно, в каких осях (это следует из наличия инвариантов 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3). Мы также будем

полагать малыми компоненты 𝑢𝑖 вектора деформации, хотя в некоторых особых случаях

эти компоненты не малы даже при малых деформациях. Рассмотрим, например,

длинный тонкий стержень. Даже при сильном изгибе, когда концы стержня значительно

переместятся в пространстве, растяжения и сжатия внутри самого стержня будут

незначительными.

Отвлекаясь от таких особых случаев, будем считать компоненты вектора

деформации малыми, тогда последнее слагаемое в (7) есть величина второго порядка

малости, и ею можно пренебречь. Для малых деформаций

𝑢𝑖𝑘 =1

2(

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘+

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑖) (11)

𝑑𝑥𝑖′ ≅ (1 + 𝑢(𝑖))𝑑𝑥𝑖 (12)

𝑑𝑥𝑖′ − 𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑖≅ 𝑢(𝑖) (13)

То есть относительные удлинения вдоль направлений главных осей равны

непосредственно соответствующим главным значениям тензора деформации

(с точностью до величин более высокого порядка малости).

Изменение элемента объема при малой деформации равно

𝑑𝑣′ = 𝑑𝑥1′ 𝑑𝑥2

′ 𝑑𝑥3′ = (1 + 𝑢(1))(1 + 𝑢(2))(1 + 𝑢(3))𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3 ≅

≅ (1 + 𝑢(1) + 𝑢(2) + 𝑢(3)) 𝑑𝑉 (14)

Тогда относительное изменение объема

𝑑𝑉′ − 𝑑𝑉

𝑑𝑉= 𝑢(1) + 𝑢(2) + 𝑢(3) = 𝑢𝑖𝑖 (15)

Здесь 𝑢(1) + 𝑢(2) + 𝑢(3) = 𝑢𝑖𝑖 есть след тензора деформации (его первый инвариант, не

зависящий от выбора осей).

С другой стороны, согласно формуле (11), след тензора равен

𝑢𝑖𝑖 = 𝑢11 + 𝑢22 + 𝑢33 =1

2(

𝜕𝑢1

𝜕𝑥1+

𝜕𝑢1

𝜕𝑥1) +

1

2(

𝜕𝑢2

𝜕𝑥2+

𝜕𝑢2

𝜕𝑥2) +

1

2(

𝜕𝑢3

𝜕𝑥3+

𝜕𝑢3

𝜕𝑥3) =

=𝜕𝑢1

𝜕𝑥1+

𝜕𝑢2

𝜕𝑥2+

𝜕𝑢3

𝜕𝑥3= 𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗� (16)

Следовательно, при малых деформациях изменение объема частицы сплошной среды

равно

𝑑𝑉′ − 𝑑𝑉

𝑑𝑉= 𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗� (17)

Тензор скорости деформации

В самом общем случае перемещение частицы сплошной среды складывается из

поступательного перемещения, поворота и собственно деформации, которая в каждой

точке среды может быть сведена к растяжениям и сжатиям вдоль главных осей.

Численные характеристики собственно деформации содержатся в симметричном

тензоре второго ранга, шесть независимых компонент которого определяют главные оси

и главные значения деформации.

Введенные характеристики (вектор смещения, тензор деформации) важны в

основном для твердых тел, когда необходима информация о движении частиц среды, ее

материальных поверхностей и объемов. В задачах механики жидкости и газа

предпочтительнее те характеристики, которые вводятся по отношению к мгновенному

состоянию среды.

Здесь может оказаться, что сами деформации несущественны, однако, существенно,

насколько быстро они происходят. В этом случае используют тензор скорости

деформации. Тензор скорости деформации образуется из поля вектора 𝑑�⃗⃗⃗�

𝑑𝑡 таким же

образом, как тензор собственно деформации из поля вектора смещения �⃗⃗�. Для малых

деформаций он имеет вид

�̇�𝑖𝑘 =𝑑

𝑑𝑡𝑢𝑖𝑘 =

1

2

𝑑

𝑑𝑡(

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑘+

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑖) =

1

2(

𝜕

𝜕𝑥𝑘

𝑑𝑢𝑖

𝑑𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑑𝑢𝑘

𝑑𝑡) (18)

Заметим, что тензор деформации вводится в результате сравнения двух состояний

сплошной среды, а тензор скорости деформации является характеристикой состояния

среды в данный момент времени. Как нетрудно видеть, он также является

симметричным и тоже может быть приведен к диагональному виду.

Лекция по теоретической...

Documents

Transcript of Лекция по теоретической...