1

Софийски университет ” Св. Климент Охридски ”

Факултет по Математика и Информатика

Магистърска програма “Био- и медицинска информатика”

______________________________________________________________

Клетъчна мембрана – устройство и функции. Mатематически

модели на йонни канали

Изготвил: Мария Людмилова Банкова, фак. №М21284

София, 2003

2

Въведение

Цялата заобикаляща ни жива и нежива материя включително и самите ние, е

изградена от молекули на химични елементи. Основните химични елементи участващи

в изграждането на материята са въглерод, водород, кислород и азот. Организацията на

молекулите на тези химични елементи в клетки е белег разграничаващ живата от

останалата материя. Клетката е най-малката единица материя, която може

самостоятелно да носи в себе си цялата необходима информация за възпроизвеждане

на процеса на живот. Една от основните компоненти в структурата на клетката е

клетъчната мембрана. Нейното устройство и функции ще разгледам на кратко по-

нататък, като основно внимание ще обърна на транспортната функция на клетъчната

мембрана и ще разгледам няколко примера на модели на йонни канали.

Изложение:

I. Устройство на клетъчната мембрана

Клетъчната мембрана обгръща цитоплазмата отвън, определя клетъчните граници,

като поддържа съществените различия в състава на вътрешното съдържимо на

клетката (цитозол) и между клетъчното пространство. Тя е динамична структура. Чрез

нея се осъществява връзката на клетката с околната среда, като се пренасят различни

вещества и различни стимули. Клетъчната мембрана има дебелина 8 – 10 nm.

Принципът на строеж на клетъчната мембрана е застъпен при всички мембранни

структури (органели) в клетката. Приема се, че вътреклетъчната мембранна система

или мембранните органели, в еволюционен аспект са произлезли от диференцировката

3

и развитието на клетъчната мембрана. Химичният състав на клетъчната мембрана е

представен от белтъци, липиди и малко въглехидрати.

Липидните молекули изграждат бислой с дебелина около 5 nm. Най-многобройни

са фосфолипидите. Те имат една полярна хидрофилна глава и две неполярни

хидрофобни опашки, представляващи обикновено наситени или ненаситени мастни

киселини (фиг.1.). Тези киселини имат почти еднакъв брой въглеводородни атоми (16,

18 или 20). Фосфолипидните молекули могат да се движат латерално (в ляво или

дясно), да се ротират и даже да преминават от единия монослой в другия. Освен

фосфолипидите в изграждането на липидния бислой участват още холестеролът

(C27H45OH) и гликолипидите.

Холестеролът е в количествено отношение почти 1:1 с фосфолипидите. Той

намалява пропускливостта на мембраната за малки молекули, намалява флуидността

на бислоя, като го прави по-малко деформируем. Холестеролът също има полярна

хидрофилна глава и неполярна, хидрофобна, въглеводородна опашка. Липидният

бислой е изграден така, че хидрофилните части на фосфолипидите и холестеролът са

насочени към двете повърхности на бислоя, където се свързват електростатично с

полярните водни молекули, а хидрофобните опашки са насочени към вътрешността на

бислоя. Така, тази двуслойна структура е енергетично стабилна.

Гликолипидните молекули са винаги асиметрично разположени. Тяхната липидна

част (двойна опашка) е разположена във външния монослой, а въглехидратната им

част се намира в междуклетъчното пространство. Антигените характеризиращи

кръвногруповата принадлежност, както и други антигени са именно специфичните

вериги (въглехидратната им част) на тези гликолипиди, или на някои гликобелтъци

(вж. по-долу). Те представляват около 5 % от молекулите на външния монослой.

4

Мембраннтите белтъци определят редица специфични функции на клетъчните

мембрани. Те представляват около 50 % от масата на клетъчната мембрана и са много

по-големи от липидните молекули. Голяма част от мембранните белтъци имат

въглехидратна съставка – те са гликобелтъци. Въглехидратната част е разположена

винаги в между клетъчното пространство. Според своето разположение спрямо

липидния бислой мембранните белтъци се делят на две основни групи: интегрални

белтъци и периферни белтъци.

Интегралните белтъци имат хидрофилна и хидрофобна част на молекулата.

Хидрофилните им части се намират на цитоплазмената, екстрацелуларната

(извънклетъчната) или и на двете повърхности на клетъчната мембрана. Хидрофобната

им част преминава през цялата дебелина на липидния бислой и взаимодейства с

хидрофобните опашки на липидните молекули.

Мембранните белтъци са подвижни, с изключение на тези които са фиксирани в

цитоскелета (структурни белтъци). Те могат да се завъртат около надлъжната си ос,

перпендикулярно на мембраната или да се придвижват латерално. При определени

условия мембранните белтъци могат да се групират на можество места по

повърхността на клетката или на една по-голяма група.

Сегашните ни представи за клетъчна мембрана и изобщо за биомембрана почиват

на “флуидно-мозаечния модел” предложен от Сингър и Никълсън през 1972 г.. Според

него липидния бислой представлява структурния скелет на мембраната, в който

мембранните белтъци са свободно подвижни. Течливостта на мембраната се променя и

с това може да се увеличи проницаемостта на мембраната за Н2О и други малки

хидрофилни молекули.

5

Функционално мембранните белтъци могат да бъдат разделени на: транспортни

белтъци, рецептори, трансдусери, ензими и адхезионни молекули.

Има два основни класа транспортни белтъци: преносители и канали. Белтъците

преносители се свързват с разтворените вещества (монозахариди, аминокиселини,

йони), променят своята конформация и пренасят съответните вещества през

мембраната. Пример за такъв преносител е Натриево-Калиевата-аденозинтрифосфатаза

или така наречената Натриево-Калиева помпа. Концентрацията на калиевите катиони

(К+) е около 10-20 пъти по-висока в клетката отколкото в междуклетъчното

пространство. Съотношението при Натриевите катиони (Na+) е обратното. Тази

разлика се поддържа посредством тази помпа.

Каналните белтъци или каналите образуват хидрофилни пори, през които

неорганичните йони преминават през мембраната. Транспортът през тези канали е

около 1000 пъти по-бърз отколкото през носителите. Един вид от тези канали са така

наречените йонни канали, които свързват цитоплазмата на съответната клетка с

междуклетъчното пространство. Те са специализирани да пренасят неорганични йони

(натрий+, калий+, калций+, хлор-), като пренасят само определн вид йони, а други не

пропускат. Йонните канали не са постоянно отворени, те имат “вратички”, които се

отварят и затварят. Отварят се при определени стимули: промяна на волтажа,

механично въздействие, свързване с определени лиганди. Последните в зависимост от

вида на лиганда са: чрез трансмитер, чрез йон, чрез нулкеотид. С помощтта на патч-

кламп рекординг е възможно да се измери йонния поток преминаващ през един такъв

канал, възлизащ на повече от 8000 йони за милисекунда. Трансмитерно повлияваните

канали по постсинапсната мембрана на химичните синапси трансформират химичния

сигнал в електричен. Пример за такъв е ацетилхолин- повлияван канал.

6

II. Функции на клетъчната мембрана

1. Защитна функция

Върху външната повърхност на мембраната е разположено полизахаридно

покритие – гликокаликс, което има защитни функции, улеснява прилепването на

молекули които навлизат в клетките и определя антигенните свойства на клетките.

2. Мембранен транспорт

Един от основните механизми, посредством който клетката запазва своя химичен

състав, функция и структура спрямо променящите се условия е осигуряването на

пренасянето на съответните вещества и йони през клетъчната мембрана. Клетъчната

мембрана има избирателна пропускливост. Тя е непропусклива за едромолекулните

органични съединения, които се синтезират в клетката и е с много ниска проницаемост

за електрично заредени частици, каквито са йоните. Избирателната проницаемост на

клетъчната мембрана, както и наличието на активни транспортни механизми, създават

разлики в съдържанието на екстрацелуларната и интрацелуларната течности. Разликата

в концентрацията на различните вещества от двете страни на клетъчната мембрана

създава потенциална енергия под формата на концентрационни градиенти.

Трансмембранните концентрационни градиенти са движеща сила за различни

транспортни процеси. Не равномерното разпределение на йони и органични

съединения с електрично заредени радикали създава поляритет на мембраната, като

отвътре е отрицателният заряд, а положителният е отвън. Разликата в концентрациите

на отделните електрично заредени вещества вътреклетъчно и извънклетъчно и

потенциалната разлика от двете страни на мембраната, създават движеща сила,

наречена електрохимичен градиент. Поддържането на този градиент става с разход на

енергия, освободена в хода на метаболитните процеси.

7

Преминаването на веществата през мембраната може да се раздели на два вида, в

зависимост от това дали клетката изразходва енергия за този процес или не:

1) Пасивен транспорт

2) Активен транспорт

В зависимост от механизма, по който транспортът се осъществява, класификацията

е следната:

1) Транспорт чрез дифузия:

a. Дифузия на молекули и йони през мембранни пори и мембранни канали

b. Дифузия през фосфолипидния слой на мембраната – проста дифузия

c. Дифузия на водни молекули – осмоза

2) Транспорт чрез преносители:

a. Срещу концетрационния градиент – първично и вторично активен

b. По хода на концетрационния градиент – улеснена дифузия

3) Транспорт чрез вгъване на мембраната (няма да се спирам на този начин на

транспорт):

a. Ендоцитоза

b. Екзоцитоза

Активен транспорт

Процесът, при който разтворените вещества преминават през клетъчната мембрана

срещу концетрационния или електрохимичния градиент, и се осъществява с разход на

енергия се нарича активен транспорт. Този процес се осъществява посредством вече

споменатите трансмембранни белтъци преносители, които са непосредствено свързани

с източник на енергия. В повечето случаи енергиен източник е хидролизата на АТФ до

аденозиндифосфат (АДФ) под действието на ензимната активност на белтъка

преносител. Транспортът чрез трансмембранните преносители може да бъде както

8

активен така и пасивен, докато този през трансмембранните канали може да бъде

само пасивен. Мембранният белтък се свързва специфично с транспортираната

молекула или йон подобно на ензим – субстратната реакция. Когато всички свързващи

места на преносителя са заети, скоростта на транспорта е максимална (Тмах).

Концентрацията на веществото, при която транспортът има ½ от максималната

скорост, се означава като константа на Михаелис – Ментен за съответния преносител

(Км). Системите, които осъществяват активен транспорт на отделните йони, се

наричат още йоннни “помпи”. Доказано е наличието на натриева, калциева,

хидрокарбонатна и др. Разгледано изолирано действието на всяка от тях, поради това

че транспортират електрично заредени частици, следва да създават определена

потенциална разлика от двете страни на мембраната. Това е т.нар. електрогенен ефект

на йонните помпи. Но върху клетъчната мембрана непрекъснато функционират

свързано различни йонни помпи и други транспортни механизми. По този начин

електрогенният им ефект може да се балансира така, че концетрационните разлики от

двете страни на мембраната да се запазват практически постоянни.

На кратко ще разгледам какво представлява вторично активния транспорт. Това е

котранспорт с преносител, при който пренасянето на една молекула или йон е по хода

на концетрационен градиент, създаван от активен транспорт, като напр. Na+- K+ помпа,

а другата молекула се пренася срещу своя концетрационен градиент. Както улеснената

дифузия така и вторично активния транспорт се отличават със специфичност и

насищане, т.е. има Тмах при определена концетрационна стойност на пренасяното

вещество. За вторично активния транспорт голямо значение има нормално

съществуващата голяма концетрационна разлика за Na+ между ЕЦТ и ИЦТ и

наличието на преносители. Тази голяма концетрационна разлика осигурява

движението на Na+ към клетките. В много случаи този транспорт е впрегнат в

9

механизма на вторично активния транспорт за вещества, за които мембраната е

практически непроницаема. По този начин, с общ преносител с две свързващи места,

от които едното е за Na+ в епителните клетки на тънкото черво и бъбречните каналчета

навлизат аминокиселини и глюкоза.

Пасивен транспорт

Ще разгледам какво представлява пасивния транспорт. Той се осъществява по хода

на концетрационни, електрохимични и осмотични градиенти. Законите на дифузията и

осмозата описват този процес. При разлики в хидростатичното налягане от двете

страни на клетъчната мембрана се осъществява процеса на филтрация.

Дифузията е основният начин за проникване в клетката на водата, йоните и

нискомолекулните неелектролити. При дифузията молекулите се движат от разтвор с

по-висока концентрация към такъв с по-ниска. Тя от своя страна се дели на проста и

улеснена дифузия. Простата дифузия се осъществява през липидния бислой. По този

начин преминават малките хидрофобни молекули (кислород, въглероден двуокис, азот)

както и малките полярни молекули (вода, урея, етанол). Порите в клетъчните

мембрани са малки и пропускат частици с размер до 0.8 mm. За броя им в клетъчните

мембрани се приема една средно статистически определена стойност от порядъка на

1/100 от цялата клетъчна повърхност.

Осмозата е също процес на пасивния транспорт. Двата водни разтвора –

цитоплазмата и междуклетъчната течност, са разделени от клетъчната мембрана, през

която молекулите на водата могат да преминават. Водата се премества от разтвора с

по-ниска концентрация на разтвореното вещество към разтвора с по-висока

концентрация на разтвореното вещество. Това се нарича осмоза. Това преминаване на

водата води до нарастване на хидростатичното налягане в разтвора с по-високата

концентрация.

10

Йонните канали представляват белтъчни молекули или комплекси от белтъчни

молекули. Тяхната проницаемост зависи от диаметъра на каналчето, наличие на

електрично заредени групи в белтъчната молекула, възможност за взаимодействие

между белтъчната молекула и преминаващите йони. При различна комбинация от

посочените фактори се получават каналчета с избирателна проницаемост, като

например калиеви, калциеви, хлоридни и т.н. Някои от тези канали са постоянно

отворени и йоните преминават през тях без разход на метаболитна енергия. Поради

това те са известни още като пасивни канали. Различните видове клетки притежават

пасивни канали за различни йони. Освен наличието на пасивни йонни канали за

клетките на възбудимите тъкани е характерно наличието на йонни канали, които в

зависимост от условията могат да променят пропускливостта си. Този тип канали са

най – разнообразни и в нервната система се наброяват повече от 75 разновидности. Те

носят наименованието йонофори и са няколко вида в зависимост от това кое регулира

тяхното състояние, в смисъл на отваряне или затваряне на тяхните “врати”. Като се

има предвид, че йонните канали представляват белтъчни молекули или комплекси от

белтъчни молекули, тяхното отваряне или затваряне, наречено още активиране или

инактивиране, представлява конформационна промяна в структурата им. Тази

конформационна промяна настъпва в резултат на:

• Промяна на мембранния потенциал

• Свързване с някакъв лиганд, най – често медиатор

• Механична деформация на мембраната

В първия случай каналът носи наименованието потенциалозависим йонен канал,

във втория случай лиганд – зависим канал. Тези йонни канали са разположени върху

клетъчните мембрани на възбудими структури и определят протичането на процеса на

възбуждане и задържане. Третият вид йонни канали се намират върху клетъчната

11

мембрана на механорецепторите. При отваряне на тези канали дифузията на йоните

през тях е с голяма скорост, защото нормално отдвете страни на мембраната

съществуват големи йонни концетрационни и електрохимични градиенти. Например за

навлизането на Na+ последният е от порядъка на 140 mV.

Сега ще се спра по – обстойно на работата на йонните канали. Наличието на йонни

канали, които променят пропускливостта си позволява промени в потенциала на покой

на клетките на възбудимите тъкани. Когато тези промени са в посока на увеличаване

на мембранния потенциал се говори за хиперполяризация, а намаляването му се

означава като деполяризация. Промени в мембранния потенциал могат да възникнат

вследствие протичането на йонни токове през постоянно отворени пасивни канали.

Може да стане и при въздействие с електричен ток върху клетъчната мембрана чрез

електроди, когато силата на тока е под определено ниво. При повишаване на силата на

тока на дразнене мембранният потенциал се променя дотолкова, че се променя и

пропускливостта на зависимите от потенциала канали. Тогава промяната в мембранния

потенциал е резултат не само от пасивно протичащия ток от външното дразнене, но и

вследствие на променената мембранна пропускливост. Такава промяна в мембранния

потенциал може да се схваща като активен отговор и стои в основата на възникването

и разпространението на потенциали на действие. Рецепторните и постсинаптичните

потенциали стоят в основата на възприемане на дразненията от околната среда и

предаването на възбуждането от една клетка на друга.

Метод на наложения (прихванатия) потенциал.

Тъй като мембранният потенциал зависи от пропускливостта на йонните канали,

процесите, свързани с промените в потенциала на покой могат да се разберат по –

12

добре ако се знаят зависещите от потенциала свойства на тези канали. Изследването на

тази зависимост се затруднява от обстоятелството, че пропускливостта на каналите

зависи от мембранния потенциал, а той пък от своя страна се определя от

пропускливостта им. Поради това е удачно да се намерят начини за поддържане на

мембранния потенциал на постоянно равнище. Това може да се осъществи, чрез

съответната постановка, включваща електрична верига, която да компенсира

промените в мембранния потенциал. Силата и посоката на необходимия за поддържане

на мембранния потенциал на определено ниво ток съответства на сумарния йонен ток,

протичащ през каналите при съответната стойност на мембранния потенциал.

Отчитайки посоката на тока и манипулирайки екстрацелуларния йонен състав може да

се изследва поведението на отделните групи йонни канали в зависимост от нивото на

мембранния потенциал. Този метод на изследване е известен като метод на

прихванатия потенциал (voltage clamp). Модификация на метода може да се приложи и

само към определена малка част от клетъчната мембрана, съдържаща няколко или дори

само един йонен канал – местно прихващане (patch clamp). Това дава възможност да се

изучат подробно проводимостта и промените и във времето при различните зависими

от потенциала канали и да се правят съответните изводи за тяхната роля и механизъм

на действие при обуславяне на електричните свойства на съответната клетъчна

мембрана.

Видове зависими от потенциала канали.

Зависимите от потенциала канали се разделят от една страна въз основа на тяхната

йонна селективност (за натрий, за калий и т.н.) и въз основа на редица допълнителни

свойства (бавни, бързи, закъсняващи и т.н.). Както вече се спомена, йонните канали

представляват интегрални мембранни белтъци, най – често гликопротеини. Голяма

13

част от йонните канали са изградени от няколко субединици, като една от тях е в

действителност самият йонен канал, а другите имат стабилизираща и регулираща

функции. В зависимост от нивото на мембранния потенциал йонните канали могат да

бъдат в различно състояние – отворени (активирани), затворени или инактивирани.

Механизмът, по който става промяна в йонната пропускливост в зависимост от

мембранния потенциал не е напълно изяснен. Предполага се, че определена част от

белтъчната структура на канала притежава електричен заряд, който при промяна в

мембранния потенциал се премества и това води до промяна в белтъчната молекула,

имаща за резултат отваряне на канала. Преместването на този заряд е известно като

ток на вратата и е възможно при подходяща техника да бъде регистрирано.

Преместването на заряд в липиден слой, какъвто е клетъчната мембрана изисква голям

разход на енергия. Предполага се, че енергията значително се намалява поради

специфичния начин, по който става това – завъртане на част от α – спиралата на един

участък от белтъчната молекула (т. нар. сегмент S4) и стабилизирането му в ново

пространствено положение. Споменатият сегмент е твърде консервативен и се среща

практически при всички зависими от потенциала йонни канали. Количествената

промяна в пропускливостта на клетъчната мембрана вследствие на зависимите от

потенциала канали зависи от броя на тези, които в дадения момент са активни.

Повишаването на мембранната пропускливост означава, че се е увеличил броят на

активните канали (тези, които са отворени), а не, че отворените канали са станали още

по – пропускливи. Времето за което даден канал стои отворен, бързината с която се

отваря и условията на инактивирането му са твърде различни за отделните групи

канали. В този смисъл съществуват множество разновидности от канали за калий, за

калций и т. н. За процесите на възбуждане и провеждане на възбуждането по нервното

14

и мускулното влакно съществено значение имат зависимите от потенциала натриеви,

калиеви и калциевите канали.

Най – широко разпространен е натриевият канал, който е изграден от три

субединици, като една от тях обуславя неговата селективност, зависимост от

потенциала и кинетиката. Предполага се, че каналът притежава една стеснена

централна част, обуславяща неговата селективност за натриевите йони, една част,

променяща се в зависимост от мембранния потенциал и водеща до отваряне на канала

при деполяризация и една част от вътрешната страна на мембраната, която инактивира

канала. Натриевите канали имат три основни състояния – затворено, отворено и

инактивирано. Те пропускат натриеви йони само при отворено състояние. При

нормални стойности на мембранния потенциал те са затворени. При деполяризация те

се отварят, като вероятността им да преминат в отворено състояние е толкова по –

голяма, колкото е по – голяма деполяризацията на мембраната. Характерно за тях е, че

спонтанно преминават от активирано в инактивирано състояние, докато

преминаването им от инактивирано в затворено състояние зависи от реполяризацията

на мембраната и достигането и на нормалния потенциал на покой. В този смисъл може

да се говори за наличието на активационна и инактивационна врата на натриевите

канали, като активационната врата се отваря при деполяризация, а инактивационната

се затваря спонтанно кратко време (около 1 – 1,5 ms) след отварянето на

активационната врата и се отваря отново при достигане мембранния потенциал на

покой. Каналът е пропусклив само, когато са отворени и двете врати.

Калиевите канали са изградени от по-малък интегрален белтък, но показват много

по-голямо разнообразие от натриевите канали. Най-често срещания канал за калиеви

йони има две състояния – отворено и затворено. При това преминаването му от

затворено в отворено състояние също зависи от промяната (деполяризацията) в

15

мембранният потенциал, но става много по-бавно от това при каналите на натриеви

йони. Тези канали са по-продължително отворени и при тях не се наблюдава състояние

на инактивация. Друга група канали за калиеви йони се отварят бързо в зависимост от

деполяризацията и подобно на натриевите канали се затварят също бързо, като при тях

се наблюдава и инактивация в зависимост от нивото на мембранния потенциал. Те са

известни още като А канали.

III. Математическо моделиране – моделиране на йонни канали

Модел на Ходжкин и Хъксли

След като вече е изяснена структурата и функциите на мембраната и в частност на

йонните канали, може да разгледаме и някои конкретни математически модели

описващи работата им.

Наличието на потенциална разлика от двете страни на мембраната, позволява да

разгледаме мембраната, като паралелно свързани кондензатор и съпротивление. Тогава

израза за токовете от двете страни на мембраната ще бъде:

appleq

m IRVV

dtdVC +

−−= , където (1)

• Сm е капацитета на мембраната

• R е съпротивлението на мембраната

• Veq е потенциала на покой

• V е потенциала от двете страни на мембраната,

• Iappl е протеклия ток

Още в ранните години на 20 век, е установено, че много от клетъчните мембрани са

възбудими. Т.е. потенциала на мембраната значително се променя, при протичане на

голям ток през нея. Примери за такива клетки са нервните, мускулните и т. н.

16

През 1948 – 1952 г. Ходжкин и Хъксли ръководят експерименти по метода “patch

clamp” в опит да построят математически модел, описващ природата на възбудимите

тъкани. Ключова част от техните предположения е наличието на натриеви и калиеви

канали, през които протичат съответните йони. В резултат, коефициента 1/R в израза за

токовете, е потенциалзависим и за двата канала. Тогава уравнението ще получи

следния вид:

applLLNaNakkm IVVgVVhmgVVngdtdVC +−−−−−−= )()()( 34

(2)

Индексите Na и K съответстват на натриевия и калиевевия поток на йони, а L отразява

преминаването на други, не толкова съществени йони през мембраната. Членовете gkn4,

gNam3h и gL изразяват съответните проводимости (σ = 1/R). За променливите n, m и h се

предполага, че са потенциалзависими, отразяващи механизма на отваряне и затваряне

на т.нар. врати на съответните канали. За движещата им сила се приема, че следва

първия закон на кинетиката. Тогава уравненията приемат формата:

ωωτ ω −= ∞ )()( Vdt

dVV , ω = n, m, h (3)

където τω(V) и )(V∞ω са съответно времевата константа и “нормировъчна” константа,

определени от експерименталните данни. Взети заедно, изразите (2) и (3) представят 4

– мерна динамична система, известна като модел на Ходжкин и Хъксли. Този модел

осигурява база за качествено обяснение на формирането на акционния потенциал в

гигантски аксон на сепия. Още повече, той се разглежда като основа за всички модели

свързани с поведението на възбудимите мембрани.

Модел на ФитцХю - Нагумо

17

В средата на 50 – те години на миналия век ФитцХю се опитва да редуцира модела

на Ходжкин и Хъксли до дву – мерен, като прилага равнинен фазов анализ. Неговото

основно наблюдение е, че променливите n и h имат бавна кинетика спрямо m. Освен

това от стойностите дадени от Ходжкин и Хъксли се вижда че n + h е около 0.8. Това

води до модел с две променливи, наречен още fast – slow phase plane model.

nVndtdnVn

IVVgVVnVmgVVngdtdVC applLLNaNaKKm

−=

+−−−−−−−=

∞

∞

)()(

)())(8.0)(()( 34

ω

(4)

В резултат, дава възможност за качествен пространствен фазов анализ на формирането

и отслабването на акционния потенциал.

Друго което е забелязал ФитцХю е, че формата на потенциала е кубична функция, а

на n може да се апроксимира с права линия. Тогава уравненията могат да добият

следната форма:

)(

)1)((

γωεω

ωα

−=

+−−−=

vdt

d

Ivvvdtdv

(5)

Така моделът е представен в безразмерна форма, където v преставя бързата

променлива или потенциала, ω представя бавната променлива или променливата

свързана с натриевия канал, α, γ и ε са константи, като 0 < α <1 и ε << 1 (отчетено за

бавната кинетика на натриевия канал). През 1964 г. Нагумо конструира верига,

използвайки тунелен диод за нелинейния елемент (канал), чиито уравнения са тези на

ФитцХю (5). Оттам се получава и името модел на ФитцХю – Нагумо.

Симулации и фазов портрет

18

Приема се, че съществува точно една равновесна точка и при транслация на

модела тя да е в (0,0). Нека )1)(()( −−= vvvvf α , и нека (veq,ωeq) да е равновесната

точка за (5). Тогава уравненията на модела ще добият следния вид:

)(

)()(

γϖεϖ

ϖ

−=

−−+=

vdt

d

vfvvfdtdv

eqeq

(6)

Поведението на модела на ФитцХю може да се илюстрира, използвайки “типични”

стойности за параметрите. За различни стойности на veq и α може да се наблюдава ... .

Разглеждаме два случая, в първия варираме veq ; във втория veq = 0 и варираме α, като

тя приема и отрицателни стойности.

A. Първи случай: veq = 0.07 и veq = 0.15

Тук стойностите за параметрите са α = 0.139, ε = 0.008, γ = 2.54. На фигурите 1 и 2 са

дадени фазовите портрети за две различни стойности на veq.

Фиг. 1 veq = 0.07

19

Фиг. 2 veq = 0.15

B. Втори случай: α = 0.139 и α = - 0.139

Сега veq = 0, а другите параметри са ε = 0.008, γ = 1.5.

Фиг. 3 α = 0.139

20

Фиг. 4 α = - 0.139

Анализ на бифуркациите за фигурите 3 и 4

Забелязва се, че точката на бифоркация е α0 = - εγ, с граница на цикъла на

бифоркация за α < α0 . Изчислявайки Якобиана, получаваме ⎥⎦

⎤−−

⎢⎣

⎡−==

εγεα 1

)0,0(JJ .

Оттук Tr(J) = - (α + εγ) и детерминантата det (J) = ε(αγ + 1). Изразът за собствените

стойности е:

Условието да бъдат комплексни е:

При α = - εγ, собствените стойности са λ = ± ίη, където )1( 2εγεη −= и сътветните

собствени вектори са:

21

Може да трансформираме уравненията на модела в по удобен вид използвайки

трансформацията:

Полагайки

Достигаме до:

където сме положили µ = - (α+εγ). В тази форма можем да приложим теоремата на

Поанкаре - Дюлак:

произлизаща от представянето на векторно поле по следния начин:

Тогава имаме

По-нататък, означавайки нелинейните членове от ... с f(x,y) и g(x,y), тогава:

22

За параметрите дадени по-горе (ε = 0.008, γ = 1.5) получаваме α = - 0.02..< 0. Логически

можем да заключим, че ограничения цикъл се разклонява за µ > 0 т.е. α < - εγ. Това

беше и целта на цялото разглеждане.