Δυναμική Μηχανών ΙΔιδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης

Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών

Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση “Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών” του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons.

Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Άδεια Χρήσης

3

Περίληψη του Μαθήματος • Αντικείμενο της Δυναμικής Μηχανών • Εφαρμογές της Δυναμικής Μηχανών • Σχέση με άλλα μαθήματα

• Προεκτάσεις

Περιεχόμενο Μαθήματος

4

• Η μελέτη δυναμικών συστημάτων – κατάσταση μεταβάλεται με τον χρόνο

• Έμφαση σε μηχανικά συστήματα

Αντικείμενο Μαθήματος

Άξονας θερμικής Στροβιλομηχανής

Ανάρτηση αυτοκινήτου

Κεφαλή σκληρού δίσκου

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Αντικείμενο Μαθήματος 1/2

5

Αντικείμενο Μαθήματος Πρόβλημα/Ερώτημα

Δυναμικό Μοντέλο

Μοντελοποίηση

Αναλυτική Επίλυση & Προσομοίωση

Ιδιοανυσματική Ανάλυση

Χρονική απόκριση Απόκριση συχνότητας

Ιδιοανυσματα Ιδιοσυχνότητες

Σχεδιασμός, Επεξεργασία

Λύση

Πειράματα

Πειραματικά δεδομένα

Αντικείμενο Μαθήματος 2/2

6

Μοντελοποίηση • Η τέχνη της προσέγγισης !

𝑚𝑚𝑑𝑑2𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡2 + 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + ⋯𝑘𝑘 ∙ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)

𝑴𝑴𝑑𝑑2𝚾𝚾(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡2 + 𝑪𝑪𝑑𝑑𝚾𝚾(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + ⋯𝑲𝑲 ∙ 𝚾𝚾(𝑡𝑡) = 𝑭𝑭(𝑡𝑡)

Μοντελοποίηση

7

Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης • Απλά δυναμικά μοντέλα μπορούν να λυθούν

αναλυτικά

• Μη γραμμικά/πολύπλοκα/μεγάλα μοντέλα λύνονται μόνο μέσω Η/Υ

𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 ∙ 𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)

𝑴𝑴𝑑𝑑2𝚾𝚾(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡2 + 𝑲𝑲 ∙ 𝚾𝚾(𝑡𝑡) = 𝑭𝑭(𝑡𝑡)

Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης

8

Ιδιοανυσματική Ανάλυση • Χαρακτηριστικές «μορφές» και «συχνότητες» μιας

μηχανής

11 Hz

12 Hz

ωcr

Ιδιονυσματική Ανάλυση

9

Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές • Υψηλές απαιτήσεις/ταχύτητες

Αεροναυπηγική Απόκριση θέσης κεφαλής σκληρού δίσκου

Κατασκευή ημιαγωγών μέσω φωτολιθογραφίας

Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές 1/4

10

Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές • Πρόληψη καταστροφών

Αλληλεπιδράσεις ρευστού-κατασκευ ής σε γεωτρήσεις

Κατάρευση Tacoma Narrows Bridge λόγω συντονισμού

Αποφυγή κρίσιμων συχνοτήτων σε θερμ. στροβιλομηχ.

Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές 2/4

11Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές • Άνεση

Ανάρτηση αυτοκινήτου

Κίνηση ουρανοξύστη λόγω αέρα

Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές 3/4

12

Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές • Άλλες εφαρμογές

Ρομποτική Δυναμική οχημάτων

Δυναμική απόκριση γερανού

Δυναμική Μηχανών: Εφαρμογές 4/4

13

Σχέση με άλλα Μαθήματα

Δυναμική Μηχανών Ι

Διαφορικές Εξισώσεις

Μηχανική

Στοιχεία μηχανών

Ηλεκτρικά κυκλώματα & συστήματα

Δυναμική μηχανών ΙΙ

Δυναμική οχημάτων

Πεπερασμένα στοιχεία (ΑΜΚ)

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου

Ρομποτική

Γραμμική Άλγεβρα

Σχέση με άλλα Μαθήματα

14

Προεκτάσεις • Ίδιες βασικές έννοιες μπορούν να

χρησιμοποιηθούν για ανάλυση – Ηλεκτρικών συστημάτων – Ρευστομηχανικών συστημάτων – Θερμικών συστημάτων – Υβριδικών συστημάτων

Προεκτάσεις

15

Ορισμοί • Σύστημα: «Συλλογή στοιχείων τα οποία

αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και αποτελούν ένα σύνολο με καθορισμένα όρια»

• Περιβάλλον: ό,τι δεν ανήκει στο σύστημα

Σύστημα

Περιβάλλον όριο

Ορισμοί 1/3

16

Σύστημα

Περιβάλλον όριο

Ορισμοί • Διεγέρσεις (Είσοδοι) συστήματος: μεταβλητές που

επιβάλονται στο σύστημα από το περιβάλλον • Απόκριση συστήματος: χρονική απόκριση των

μεταβλητών που περιγράφουν κατάσταση των στοιχείων του συστήματος διέγερση

Ορισμοί 2/3

17

Ορισμοί • Μεταβλητές κατάστασης x: min set μεταβλητών για να

περιγραφεί πλήρως κάθε μεταβλητή κάθε στοιχείου του συστήματος

• Βαθμοί ελευθερίας q: γεωμετρικοί παράμετροι που χρησιμοποιούνται για να υπολογιστούν θέσεις και κινηματικές παράμετροι σε ένα μηχανικό σύστημα

Ορισμοί 3/3

18

Στοιχεία Μηχανικών Δυναμικών συστημάτων

• Μάζα m – αποθήκευση κινητικής ενέργειας T(u)

• Δυσκαμψία k

– αποθήκευση δυναμικής ενέργειας 𝑈𝑈 𝑥𝑥 – δύναμη επαναφοράς: αντιστέκεται στην κίνηση 𝑥𝑥: F𝑘𝑘 𝑥𝑥 = −𝑑𝑑U 𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥

– γραμμικό ελατήριο F𝑘𝑘 = −𝑘𝑘 ∙ 𝑥𝑥

𝑚𝑚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑2𝑇𝑇 𝑢𝑢

𝑑𝑑𝑢𝑢2

Στοιχεία Μηχανικών Δυναμικών Συστημάτων 1/2

19

Στοιχεία Μηχανικών Δυναμικών συστημάτων

• Απόσβεση c – μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα – Δύναμη που αντιτήθεται σε μιά κίνηση (ταχύτητα 𝑢𝑢) – Διάφορα είδη απόσβεσης

• Γραμμική απόσβεση 𝐹𝐹𝑐𝑐 = −𝑐𝑐 ∙ 𝑢𝑢 • Αεροδυναμική αντίσταση 𝐹𝐹𝑐𝑐 = −0.5 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑐𝑐𝐷𝐷(𝑢𝑢) ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑢𝑢 ∙ 𝑢𝑢 • Τριβή ολισθήσεως 𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝜂𝜂 ∙ Ν ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢)

Στοιχεία Μηχανικών Δυναμικών Συστημάτων 2/3

20

Ενέργεια & Ισχύς • Ενέργεια E (σημειακή μάζα)

– Κινητική ενέργεια 𝑇𝑇 𝑥𝑥 = 1 2 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥 2= 1 2 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑢𝑢2 – Δυναμική ενέργεια U 𝑥𝑥 = 1 2 ∙ 𝑘𝑘 ∙ 𝑥𝑥2

• Έργο δW δύναμης 𝐹𝐹 : δW = 𝐹𝐹 ∙ 𝛿𝛿𝑥𝑥

• Η ενέργεια μετατρέπεται μεταξύ διαφορετικών μορφών ενέργειας: – Κινητική ενέργεια Τ – Δυναμική ενέργεια U – Θερμότητα Q

Ενέργεια και Ισχύς 1/2

21

Ενέργεια & Ισχύς • Ισχύς P είναι ο ρυθμός μεταβολής ενέργειας E:

• Ισχύς που προσφέρεται από την εξωτερική διέγερση 𝐹𝐹(t) στο σύστημα: 𝑃𝑃𝐹𝐹 = 𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢 – 𝑃𝑃𝐹𝐹 > 0: η 𝐹𝐹(t) προσφέρει ενέργεια στο σύστημα – 𝑃𝑃𝐹𝐹 < 0: η 𝐹𝐹(t) αποροφά ενέργεια από το σύστημα

• Ισχύς που χάνεται από το σύστημα λόγω γραμμικής απόσβεσης 𝑃𝑃𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∙ 𝑢𝑢 = −𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢2 – πάντα 𝑃𝑃c < 0: απόσβεση πάντα απορροφά ενέργεια

m u

m u F F

𝑃𝑃𝐹𝐹 > 0 𝑃𝑃𝐹𝐹 < 0

P = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Ενέργεια και Ισχύς 2/2

22

Σύστημα Ενός Βαθμού Ελευθερίας • Nόμος του Νεύτωνα: 𝑓𝑓 = 𝑚𝑚𝑥𝑥

𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝑘𝑘 + 𝑓𝑓𝑐𝑐 + 𝐹𝐹 𝑡𝑡

𝑓𝑓𝑘𝑘 = −𝑘𝑘 ∙ 𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑐𝑐 = −𝑐𝑐 ∙ 𝑥𝑥

𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 ∙ 𝑥𝑥 = 𝐹𝐹 𝑡𝑡

Δυναμικό Μοντέλο

[ 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥]Τ

𝑥𝑥 Βαθμός ελευθερίας

Μεταβλητές κατάστασης

Σύστημα ενός Βαθμού Ελευθερίας

23

Παράδειγμα: Έδραση Μηχανής • Πρόβλημα: μετάδοση κραδασμών από

αζυγωστάθμητο μηχάνημα στο πάτωμα • Στοιχεία συστήματος:

– Αδράνεια: μάζα μηχανήματος – Δυσκαμψία: ελαστικότητα της βάσης της μηχανής – Απόσβεση: τριβή (shock absorbers) στην βάσης της

μηχανής – Εξωτερική Διέγερση: Αρμονική δύναμη λόγω

αζυγοστάθμητης μάζας

• Περιβάλλον: πάτωμα

Παράδειγμα: Έδραση Μηχανής

24

Παράδειγμα: Εγκάρσια Ταλάντωση Ουρανοξύστη Λόγω Αέρα

• Πρόβλημα: έντονη ταλάντωση κτηρίου

λόγω ισχυρών ρευμάτων αέρα • Στοιχεία συστήματος :

– Αδράνειά: μάζας κτηρίου – Δυσκαμψία: ελαστικότητα σκελετού κτηρίου – Απόσβεση: απόσβεση ύλικού στον σκελετό του κτηρίου – Εξωτερική Διέγερση: Αεροδυναμική αντίσταση κτηρίου

στον αέρα

• Περιβάλλον: αέρας, γη

Παράδειγμα: Εγκάρσια Ταλάντωση Ουρανοξύστη λόγω Αέρα

Το Έργο “Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ” υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος “Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση” και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Χρηματοδότηση