Δυναμική της κοπής(Chattering)

Μελέτη της δυναμικής ταλάντωσης συστήματος με 1 βαθμό ελευθερίας

tPKXXCXm sin0 Γενική διαφορική εξίσωση

ύήtqCtqCeX nn

tm

C

)cossin( 212Γενική λύση δ.ε.

Ειδική λύση )sin( tXX o

)sin( tKXKX o

Η δύναμη

έχει πάντοτε φορά αντίθετη της μετατόπισης Χ.

Η δύναμη

)90sin( tXCXC o

προηγείται της ΚΧ κατά 90ο .

Η δύναμη )180sin()sin( 22 tXmtXmXm oo

προηγείται της ΚΧ κατά 180ο .

Από την ισορροπία των δυνάμεων κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση παίρνουμε: 0cos

0sin2

ooo

oo

KXPXm

XCP

Και από τη λύση του συστήματος προκύπτει …………………………………………………………………………

Μελέτη της δυναμικής ταλάντωσης συστήματος με 1 βαθμό ελευθερίας (2)

22

22222222

411

dK

P

K

C

K

P

mKC

PX o

o

oo

2tan

mK

C

όπου:

ή

όόCCd c/

και KmCc 4Ο πρώτος όρος της γενικής λύσης αποσβέννυται πολύ γρήγορα, οπότε απομένει μόνο η ειδική λύση να περιγράφει την επίδραση της εξωτερικής διέγερσης.Εισάγοντας τη μιγαδική γραφή του Χ, παίρνουμε διαδοχικά:

)( o

io PeXX

)()()( iHG η διαπόκριση του συστήματος κατά τις διευθύνσεις Χ και Ρ.

diK 21

1)(

2

22

22

2

41

1

)(Re)(

dK

G

2

2

22

41

2)(Im)(

dK

dH

Μελέτη της δυναμικής ταλάντωσης συστήματος με 1 βαθμό ελευθερίας (3)

όπου

Αυτοσυντηρούμενος κραδασμός (regenerative chatter) είναι η συνηθέστερη μορφή αστάθειας στην κοπή. Στο Σχ. 1 εξηγείται ο μηχανισμός του φαινομένου:

Σχήμα 1

Η δύναμη κοπής Ρ μεταφερόμενη στην ΕΜ προκαλεί μετατόπιση Υμεταξύ της κόψης του ΚΕ και του ΤΕ.Η μετατόπιση αυτή έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβολή του πάχους aτου αποβλίττου.Η μεταβολή αυτή προκαλεί μεταβολή στο μέγεθος της δύναμης κοπής Ρ και έτσι προκύπτει ένας κλειστός βρόγχος αλληλεπίδρασης (ΕΜ-ΚΕ-ΤΕ), ο οποίος υπό ορισμένες συνθήκες μπορεί να καταλήξει ασταθής.

Σχήμα 2 Απλοποιημένο πρότυπο κοπής

Το Σχ. 2 αποτελεί μια λεπτομερέστερη παράστα-ση του Σχ. 1.Το ΤΕ θεωρείται ότι διαθέτει επιφάνεια ημιτονο- ειδούς μορφής (για λόγους απλότητας) πλάτους Υο λόγω προηγούμενης κοπής και αφαιρείται μέσο βάθος κοπής a ανά διαδρομή ΚΕ.Η μέση κατεύθυνση της δύναμης κοπής δηλώνε-ται με το διάνυσμα Ρ.Η κάθετη προς την κατεργασμένη επιφάνεια δη-λώνεται με τη διεύθυνση Υ.Λόγω της κυμάτωσης Υο η δύναμη κοπής μετα-βάλλεται προκαλώντας μετατόπιση του ΚΕ καιεπιφάνεια ημιτονοειδούς μορφής επί του ΤΕ, πλάτους Υ.

Αυτοσυντηρούμενος κραδασμός στην κοπή – Δυναμική της κοπής

Συνέπειες της δυναμικής συμπεριφοράς της κοπής στην ποιότητα της κατεργασμένης επιφάνειας – Διάφορα Παραδείγματα

Δυναμική της κοπής (2)

(i) Αν Υ<Υο (1), η κοπή θεωρείται ευσταθής(ii) Αν Υ=Υο (2), η κοπή βρίσκεται στο κατώφλι ευστάθειας(iii) Αν Υ>Υο (3), η κοπή θεωρείται ασταθής.Επειδή το μέγεθος της κυμάτωσης καθορίζεται μέσω της προβολής Υ της σχετικής μετατόπισης ΚΕ-ΤΕ πάνω στην κάθετη στην κατεργασμένη επιφάνεια, η σχέση μεταξύ Υ και δρώσας δύναμης Ρ μπορεί να γραφεί κατά τα γνωστά

Υ=Ρ Φ(ω) (4)Η Φ(ω) είναι η διαπόκριση κατά τις διευθύνσεις Υ και Ρ και ισούται με :

Φ(ω)=G(ω)+iH(ω) (5)και προσδιορίζεται πειραματικά μέσω ειδικής διάταξης μέτρησης ταλαντώσεων.Η σχέση (5) δηλώνει ότι μεταξύ Υ και Ρ υπάρχει διαφορά φάσης.

Σχήμα 3

Έστω ότι η ΕΜ στο σημείο διέγερσής της από τη δύναμη Ρ συναντά απλό ταλα-ντούμενο σύστημα 1 βαθμού ελευθερίας, το οποίο διεγειρόμενο στη φυσική του συχνότητα κινείται κατά τη διεύθυνση Χi (Σχ. 3). Η συνιστώσα της δύναμης κατά τη Χi είναι ίση με Pcosα και η μετατόπιση μετριέται πάλι στον άξονα των Υ

Αν Υο το πλάτος κυμάτωσης της αρχικής επιφάνειας και Υ το πλάτος κυμάτωσης της κατεργασμένης επιφάνειας, εξ ορισμού διακρίνουμε:

Διαδοχικά έχουμε:

Δυναμική της κοπής (3)

Δυναμική της κοπής (4)Πειραματικές μετρήσεις

Σχήμα 4

Στο Σχ. 4 παρουσιάζονται γραφικές παραστάσεις των G και H, όπως προκύπτουν πειραματικά.Από τις καμπύλες αυτές, με χρήση προσεγγιστικών σχέσεων, μπορούν να εξαχθούν ενδιαφέρουσες ιδιότητες του ταλαντού-μενου συστήματος.

Βοηθητικές σχέσεις

KddG

)1(4

1max

Kdd

G)1(4

1min

dKH

2

1min

(11β)(11α)

(12)

Με αντίστοιχες συχνότητες:

)1(),1( minmax dd (13)

ίGό ,0 (14)

Άρα, με μέτρηση των μεγεθών αυτών μπορούμε να υπολογίσουμε τις πραγματικές τιμές • της στοιβατότητας Κ, • του λόγου απόσβεσης d και • της φυσικής συχνότητας Ω

Για την κατανόηση των φαινομένων που υπεισ-έρχονται στη «δυναμική κατάσταση» της κοπής, έχει προταθεί η ακόλουθη έκφραση για τη μετα-βολή της δύναμης κοπής λόγω της μεταβολής του πάχους αποβλίττου κατά την κοπή

ΔΡ=-r b (Y-Yo) (15)

όπου: r o συντελεστής της δύναμης κοπής (προσ-διορίζεται πειραματικά), b το πλάτος αποβλίττου και (Υ-Υο) η μεταβολή του πάχους αποβλίττου.

Συνδυάζοντας τις εξ. (5) και (15), προκύπτει

iHG

iHGrb

Y

Yo

1

(16)

Η κοπή είναι ευσταθής, όταν οριακά ισχύει Υ=Υο, δηλ. όταν η κυμάτωση της επιφάνειας κατά τις διαδοχικές κοπές παραμένει με το ίδιο πλάτος.

iHGiHGrb

iHG

iHGrb

Y

Y

Y

Y oo

1

1

1

1

Η ισότητα ισχύει μόνο όταν είναι

rGbGG

rb 2

11

(17)

Συνεπώς: Το μέγιστο πλάτος αποβλίττου που μπορεί να κοπεί χωρίς πρόκληση κραδασμών είναι ίσο με :

minlim 2

1

rGb (18)

Στην τόρνευση (Σχ. 5) ισχύει: b=t/sinκ, όπου κ η γωνία τοποθέτησης της κόψης και t το βάθος κοπής.

Σχήμα 5Για το μετωπικό φρεζάρισμα (Σχ. 6) ισχύει:

minlim 2

1

rGbZ c (19)

όπου Ζc o αριθμός ενεργών κόψεων.

Συνθήκες ευσταθούς κοπής

Σχήμα 6

Συνθήκες ευσταθούς κοπής (2)

Σχήμα 7 Τυπικό πειραματικό διάγραμμα ευστάθειας κοπής με κριτήριο την εκάστοτε οριακή τιμή του πλάτους κοπής b (καμπύλη 3).

Αν ισχύει η εξ. (15) και ο συντελεστής κοπής r είναι ανεξάρτητος της ταχύτητας κοπής, τότε λαμβάνεται η ασύμπτωτη καμπύλη (1) – ελάχιστον, αλλά σταθερό πλάτος ευστάθειας.Αν η εξ. (15) συνοδεύεται και με όρο εξαρτώμενο από την ταχύτητα διείσδυσης του ΚΕ στο ΤΕ, τότε προκύπτει η περιβάλλουσα καμπύλη (2) του πραγματικού πειραματικού διαγράμματος (3). Επειδή η πρόβλεψη της καμπύλης (2) είναι αδύνατη ποσοτικά, η μελέτη της ευστάθειας περιορίζεται σε διάγραμμα 2 συνιστωσών (Σχ. 8).

Σχήμα 8

Η εξ. (15) γράφεται ακριβέστερα:

Z

TtYtYrbZP c

(20)

Αναγκαίες συνθήκες στο όριο ευστάθειας [Εξ. (5) και (20)]

360/12

1

fZN

rGbZ c (21)

Τ=περίοδος περιστροφήςΖ=αριθμός οδόντων ΚΕf=συχνότητα κραδασμώνN=στροφές (RPM) στροφέαψ= γωνία φάσης κοπής (Σχ. 9)η=0,1,2,3,…

Σχήμα 9

Η γενική περίπτωση της δυναμικής της κοπήςΑντιστοιχεί στην περίπτωση που η αρχική επι-φάνεια ΤΕ (πριν από την έναρξη της πρώτης κοπής) είναι ομαλή. Δηλαδή απουσιάζει οποιαδήποτε διέγερση σε ταλάντωση του συστήματος (ΕΜ+ΚΕ+ΤΕ).Θέτουμε στην εξ. (15) Υο=0, και παίρνουμε

ΔΡ = - r b Y (22)

και λόγω της (5)

[1+rbG+irbH]Y=0 (23)

Η εξ. (23) έχει 2 λύσεις, την τετριμμένη Υ=0 που αντιστοιχεί σε ευσταθή κοπή χωρίς καμιά κυμάτωση στην κατεργασμένη επιφάνεια και τη

(1+rbG)+irbH=0

ή ισοδύναμα: {1+rbG=0 και rbH=0} (24)

που αντιστοιχεί σε ασταθή κοπή (Υ>Υο).

Από τις εξ. (24) προκύπτει

0

1H

rGb (25)

Άρα: Αστάθεια έχουμε μόνο για μία συχνότητα ω, για την οποία το φανταστικό μέρος της Φ είναι ίσο με 0 και το πραγματικό μέρος της αρνητικό.

Μια τέτοια περίπτωση απεικονίζεται στο Σχ. 7. Εδώ, το οριακό πλάτος κοπής είναι ίσο με

mcrGb

1lim

και συγκρινόμενο με την αντίστοιχη τιμή του αυτοσυντηρούμενου κραδασμού

limlim 2

1

rGb

ευρίσκεται σχεδόν υπερδιπλάσιο αυτού.

Σχήμα 7

Ο συντελεστής της δύναμης κοπήςH ικανότητας μιας ΕΜ-κοπής υπό πραγματικές συνθήκες κοπής καθορίζεται από:(α) τη δυναμική απόκριση της κατασκευής της και(β) έναν συντελεστή κοπής που εξαρτάται από το υλικό ΤΕ, τη γεωμετρία ΚΕ και τις συνθήκες κοπής.

Η δυναμική απόκριση της ΕΜ μετριέται απευθείας με ειδικές πειραματικές διατάξεις και δεν απαιτείται η γνώση του συντελεστή κοπής.

Για τον ποσοτικό προσδιορισμό όμως της ικανότητας της ΕΜ είναι απαραίτητη η γνώση του συντελεστή κοπής.

H τιμή του προσδιορίζεται πειραματικά. Προσεγγιστικά μπορεί να λαμβάνεται μία μέση τιμή του ίση με την ειδική αντίσταση κοπής ks.