Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de...

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Dos problemas fundamentales de la geometría analítica

Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación

Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas

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En este capítulo haremos un estudio preliminar

de dos problemas fundamentales de la

Geometría Analítica.

I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;

es decir, construir la gráfica correspondiente .

II. Dada una figura geométrica, o la condición que

deben cumplir los puntos de la misma, determinar

su ecuación.

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Dada una ecuación,

interpretarla geométricame

nte

Dada un figura geométrica,

determinar su ecuación

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Supongamos que se nos da una ecuación de dos variables,

e que podemos escribir en la forma

, =0

En general, hay un número infinito de pares de valores de

e que satisfacen esta ecuación. Cada uno

x y

f x y

x y de tales pares

de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de

un punto en el plano.

x y

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Definición 1: El conjunto de los puntos,

y solamente de aquellos puntos, cuyas

coordenadas s

gráfica de la e

atisfagan una ecuación

, =0

se llama o,

bien, su

cuación

lugar geométr co .i

f x y

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Definición 2: Cualquier punto cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación

, =0

pertenece a la gráfica de la ecuación.

f x y

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En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo

, =0

El procedimiento consiste en trazar un cierto número

de puntos y dibujar una linea continua que pase por

todos ellos, tal como mostramos en las

f x y

transparencias

anteriores.

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Definición: El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación ó lugar geométrico.

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Se necesitaPlano

cartesiano

Ecuación

Pares ordenados de puntos

Lugar geométrico ó gráfica de la

ecuación

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Al menos una de las variables debe de estar en

función de otra

y F x yxyx /,

El conjunto solución de la

ecuación, formado por los

puntos ordenados, debe

pertenecer al conjunto de los números reales

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¿Qué figura geométrica

representa la ecuación

2 3 0?x y

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2 3 0x y

Esta ecuación está en la forma implícita:

, 0F x y

Debemos ponerla en forma explícita

despejando alguna de las variables.

Elegimos despejar , y tenemos 2 3

y f x

y y x

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2 3y x

x y0 -3

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2 3y x

x y0 -31 -1

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2 3y x

x y0 -31 -1-1 -5

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2 3y x x y0 -31 -1-1 -52 1

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2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -7

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2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3

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2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -9

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2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5

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2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5-4 -11

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2 3y x

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Intersección con los

ejes

Construcción de la

curva

Extensión de la curva

Asíntotas

Simetría

Cálculo de

coordenadas

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La intersección de la curva con el eje ,

es la abscisa del punto de intersección

de la curva con el eje.

La abscisa al origen es ,0

X

f x

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Para encontrar la intersección con el eje X: Se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

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Hacemos 0

La ecuación que resulta es 2 3 0

La resolvemo

La curva intersecta al eje en la

a

s

bs

3 /

ci

2

sa 3 / 2

X

x

y

x

x

2 3 0x y

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2 3y x 3

,02

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La intersección de la curva con el eje ,

es la ordenada del punto de intersección

de la curva con el eje.

La ordenada al origen es 0,

Y

f y

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Para encontrar la intersección con el eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

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Hacemos 0

La ecuación que resulta es 3 0

La resolvem

La curva intersecta al eje en la

ordenad

3

a 3

os

x

y

y

Y

y

2 3 0x y

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2 3y x

0, 3

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El segundo punto a considerar, en

relación con la discusión de una

ecuación, es la simetría de la curva

que representa, con respecto a los

ejes coordenados y con respecto a1

origen.

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Se dice que dos puntos son simétricos con

respecto a una recta si la recta es

perpendicular al segmento que los une en

su punto medio.

l

A B

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La recta con respecto a la cual

son simétricos los dos puntos se

ll eje de simetama ría.

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la

recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

l

A B

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En la figura, los dos puntos y

son simétricos con respecto a1

eje de simetría si la recta es

perpendicular a1 segmento

en su punto medio.

A B

l l

AB��������������

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la

recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

l

A B

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Se dice que dos puntos son simétricos a un punto O, si O es el punto medio del segmento que los une.

El punto O se llama centro de simetría.

A BO

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El punto O se llama centro de simetría.

A BO

Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,

si es el punto medio del segmento que los une.

O

O

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A BO

Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,

si es el punto medio del segmento que los une.

El punto O se llama centro de simetría.

O

O

En la figura los dos puntos y son simétricos

con respecto a1 centro de simetría siempre

que sea el punto medio del segmento .

A B

O

O AB��������������

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Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos respecto al eje.

y

xO

P(x, y)

P’(a, b)

M(x, 0)

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24 9 36y x

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Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que dos puntos son simétricos respecto a O.

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2 29 4 36x y

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Todas las definiciones anteriores son

puramente geométricas .

Ahora interpretaremos estas definiciones

analiticamente, usando los ejes coordenados

como ejes de simetria y el origen como

centro de simetria.

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Sea , un punto cualquiera de una curva.

Si esta curva es simétrica con respecto al eje , de la

definición 3 se deduce

que debe haber otro punto

' , sobre la curva,

tal que el segmento '

queda bise

P x y

X

P a b

PP

ctado

perpendicularmente por

el eje .X

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Sea el punto medio de ';

sus coordenadas son,

evidentemente, ( ,0).

M PP

x

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Entonces, por las fórmulas del punto medio

dadas en el corolario del teorema 3,

artículo 7, tenemos

y 02 2

de donde, trivialmente,

y

a x y bx

a x b y

Sea el punto medio de '; sus coordenadas son ( ,0)M PP x

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Por tanto, las coordenadas de ' son ,P x y

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Pero como ' está sobre la curva se deduce

que sus coordenadas deben de satisfacer la

ecuación de la curva. Es decir , una ecuación

, 0 que sí se satisface para las

coordenadas , de se satisface ta

P

f x y

x y P

mbien

para las coordenadas , de ', siempre

que la curva sea simetrica respecto a1 eje .

x y P

X

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Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica respecto al eje X.

El recíproco también es verdadero

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x y y0.0 0.0 0.01.0 1.0 -1.02.0 1.4 -1.43.0 1.7 -1.74.0 2.0 -2.05.0 2.2 -2.26.0 2.4 -2.47.0 2.6 -2.68.0 2.8 -2.89.0 3.0 -3.010.0 3.2 -3.211.0 3.3 -3.312.0 3.5 -3.513.0 3.6 -3.614.0 3.7 -3.715.0 3.9 -3.916.0 4.0 -4.017.0 4.1 -4.118.0 4.2 -4.219.0 4.4 -4.420.0 4.5 -4.5

2y x

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Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica respecto al eje Y.

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x y-10 100-9 81-8 64-7 49-6 36-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 256 367 498 649 8110 10011 121

2y x

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3) Si la ecuación de una curva no se altera cuando las variables x y y son reemplazadas por –x y –y, la curva es simétrica respecto al origen O.

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x y-10 -1000-9 -729-8 -512-7 -343-6 -216-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 72910 100011 1331

3y x

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NOTA. Si comparamos los teoremas 1, 2 y 3

veremos que, si una curva es simétrica con

respecto a ambos ejes coordenados, es también

simétrica con respecto al origen.

Pero el reciproco no es necesariamente verdadero.

Por ejemplo, la curva cuya ecuación es 1

es simétrica con respecto a1 origen, pero no es

simétrica con respecto a ninguno de los ejes

coordenados.

xy

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La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales.

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Es útil porque:

da la localización general de la curva en el plano e

indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.

La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y

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Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan resolviendo la ecuación dada para y en términos de x, y para x en términos de y

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2 29 4 36x y

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2 29 4 36x y

2 2

2 2

2 2 2

2

9 4 36

4 36 9

9 99 4

4 43

42

Por tanto, 2,2

x y

x

y x

y x x

y x

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2 29 4 36 2,2x y x

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2 29 4 36x y

2 2

2 2

2 2 2

2

9 4 36

9 36 4

4 44 9

9 92

93

Por tanto, 3,3

x y

y

x y

x y y

x y

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2 29 4 36 3,3x y y

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2 3 0y x

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2 3

3

0

Por t

0

anto

y x

y

x

x

2 3 0y x

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2 3

23

0

Por tan o

t

x

y

y x

y

R

2 3 0y x

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Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.

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Esta definición implica dos cosas :1)una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente2)una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado

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Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares . Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal.Si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical.Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.

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Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales.Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.

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Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo , si una curva tiene asíntotas, su determinaciónserá , como veremos , una gran ayuda para construir su gráfica.

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En el capitulo siguiente haremos un estudio

detallado de la ecuación general de la recta.

Pero ahora tenemos necesidad de saber

hallar ecuaciones de asíntotas verticales y

horizontales.

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Sea una recta cualquiera

paralela a1 eje y que dista

unidades del eje. Todo punto

de , cualquiera que sea el valor

de su ordenada , tiene una

abscisa igual a .

Las coordenadas de todos los

puntos de

l

Y

k

l

k

satisfacen , por tanto,

la ecuación .

l

x k

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Recíprocamente, cualquier punto

cuyas coordenadas satisfacen esta

ecuación es un punto cuya abscisa

es y situado, por tanto, a una

distancia de unidades del eje ,

y, en consecuencia , está sobre

la rec

k

k Y

ta .l

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La ecuación de una recta

paralela al eje es:

donde es la distancia

de la recta al eje .

x

k

k

Y

Y

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La ecuación de una recta

paralela al eje es:

donde es la distancia

de la recta al eje .

y

k

k

X

X

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Vimos que se puede determinar la extensión

de una curva despejando en función de

y en función de . Para obtener las asintotas

verticales y horizontales, usaremos estas

mismas ecuaciones en las que

y x

x y

aparecen

despejadas las variables.

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Para obtener las ecuaciones de las

asíntotas verticales, resuelvase la

ecuación dada para en función

de e igualese a cero cada uno de

los factores lineales del denominador;

estas son las ecuaciones bus

y

x

cadas.

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Análogamente, para obtener las ecuaciones

de las asíntotas horizontales, resuelvase la

ecuación dada para en funcion de e

igualese a cero cada uno de los factores

lineales del denominador.

x y

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Encontrar las asíntotas de la

gráfica de la ecuación

1 0xy y

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Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 0xy y

1) Despejar en función de

1 0

1

1 1

1

1

y x

xy y

xy y

y x

yx

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Encontrar las asíntotas de la gráfica

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador; es decir,

1 0

ó sea que la asíntota tiene como ecuación:

1

x

x

Page 91: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 0xy y

1) Despejar en función de

1 0

1

1

x y

xy y

xy y

yx

y

Page 92: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

Encontrar las asíntotas de la gráfica

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador

0

ó sea que la asíntota tiene como ecuaci

0

ón:

y

y

Page 93: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

1x

0y

Page 94: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2

2

Encontrar las asíntotas de la

gráfica de la ecuación

1

xy

x

Page 95: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1

xy

x

2

2

2 2

2

1) Despejar en función de

Ya está despejada, entonces tenemos 1

pero debemos escribir el denominador como

factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos

1 1 1

y x

xy

x

x xy

x x x

Page 96: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador; es decir,

1 0 y 1 0

ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

1 1

s:

y x

x

x

x

2 2

2

Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 1 1

x xy

x x x

Page 97: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador; es decir,

1 0 y 1 0

ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

1 1

s:

y x

x

x

x

2 2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1 1 1

x xy

x x x

Page 98: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2

2

2 2

2 2

2

1) Despejar en función de

1

1

0

1 0

x y

xy

x

y x x

yx x y

y x y

2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1

xy

x

Page 99: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2

2

1) Despejar en función de

1 0

0 0 4 1 4 1 2 1

2 1 2 1 2 1

1

1

x y

y x y

y y y y y yx

y y y

y yx

y

2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1

xy

x

Page 100: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

Encontrar las asíntotas de la gráfica

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador

1 0

ó sea que la asíntota tiene como ecuación

1

:

y

y

Page 101: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2

2 1

xy

x

Page 102: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

2

2 1

xy

x

1

1

1

x

x

y

Page 103: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría.

Una curva puede tener más de una

asintota vertical u horizontal.

Asi, la curva cuya ecuación es

1

1 2

tiene dos asintotas verticales,

1 y 2.

yx x

x x