Web viewDASAR TEORI. Pengertian. Frekuensi. Kata “frekuensi” yang dalam bahasa...
Click here to load reader
Transcript of Web viewDASAR TEORI. Pengertian. Frekuensi. Kata “frekuensi” yang dalam bahasa...
18
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI...........................................................................................................1
A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang.......................................................................................2
B. DASAR TEORI
1. Pengertian Frekuensi.............................................................................3
2. Pengertian Range...................................................................................3
3. Pengertian Mean....................................................................................3
C. ISI DAN PEMBAHASAN
1. Pengertian Ukuran Penyebaran Data..............................................................4
2. Macam-macam Ukuran Penyebaran Data......................................................4
2.1 Range (Rentang) ................................................................................4
2.2 Rata-rata Simpangan...........................................................................4
2.3 Rentang Semi antar Kuartil.............................................................5.
2.4 Range Persentil 10-90......................................................................5
2.5 Standar Deviasi (Simpangan Baku).................................................6
2.6 Varians...........................................................................................11
3. Penggunaan Excel................................................................................16
D. PENUTUP
a. Kesimpulan.........................................................................................17
DAFTAR PUSTAKA................................................................................18
18
A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika
menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi
frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung
banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan
lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk itu
diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat
menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).
Data kuantitatif yang diperoleh dari lapangan, nilainya tidak selalu sama
melainkan bervariasi dari satu pengamatan ke pengamatan lainnya. Oleh
karena itu, perlu diketahui bahwa disekitar mana angka-angka itu
mempunyai kecenderungan untuk memusat pada nilai tertentu yang
disebebut nilai pusat. Nilai tersebut berupa nilai tunggal yang cukup
representatif bagi keseluruhan nilai dalam data bersangkutan. Disebut
nilai pusat karena pada umumnya berlokasi di bagian tengah atau pusat
dari suatu distribusi. Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran
nilai pusat. Yang paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung
(Arithmatic mean), Median, Modus, Rata-rata tertimbang, rata-rata ukur,
dan lain-lain.
18
B. DASAR TEORI
1. Pengertian Frekuensi
Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti:
“kekerapan”, ”keseringan”, atau “jarang-kerapnya”. Dalam statistik
”frekuensi” mengandung pengertian: Angka (bilangan) yang
menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan
angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut, atau berapa
kalikah suatu variable (yang dilambangkan dengan angka itu) muncul
dalam deretan angka tersebut (Sudijono Anas, 2009: 36).
2. Pengertian Rata-rata
Rata-rata itu tidak lain adalah: Tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai
wakil dari rentetan nilai rata-rata itu wujudnya hanyalah satu bilangan
saja; namun dengan satu bilangan itu akan dapat tercermin gambaran
secara umum mengenai kumpulan atau deretan bahan keterangan yang
berupa angka atau bilangan itu (Sudijono Anas, 2009: 77).
3. Pengertian Range
Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak
penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score) sampai skor
nilai yang tertinggi (Highest Score) (Sudijono Anas, 2009: 144).
18
C. ISI DAN PEMBAHASAN
1. Pengertian Ukuran Penyebaran Data
Berbagai macam ukuran statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui :
luas penyebaran data, atau variasi data, atau homogenitas data, atau stabilitas
data (Sudijono Anas, 2009: 143).
2. Macam-macam Ukuran Penyebaran data
2.1 Range (Rentang)
Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak
penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score)
sampai skor nilai yang tertinggi (Highest Score).
Dengan singkat dapat dirumuskan:
R = H – L
R = Range yang dicari
H = Skor atau nilai yang tertinggi
L = Skor atau nilai yang tertinggi
(Sudijono Anas, 2009: 144).
EXAMPLE 1.
Range dari data 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 is 12 - 2 = 10.
Terkadang range ditulis secara sederhana yaitu 2 to 12, or 2–12.
2.2 Mean Deviation /Avarage Deiation/Deviasi Mean (Rata-rata
Simpangan)
Mean Deviation (MD) dari data tunggal yaitu X1 , X2 , X3 , … ,
XN didefinisikan :
MD =
∑i=1
N
|X i−X̄|
N
Dengan : MD = Mean Deviasi X
i = Data ke-i, dengan i = 1, 2, 3, …
18
X̄ = rata-rata hitung(Siagian Dergibson, 2002: 51)
EXAMPLE 2 : Hitunglah MD dari data 2, 3, 6, 8, 1
X̄=2+3+6+8+115
= 6
MD =(|2−6|+|3−6|+|6−6|+|8−6|+|11−6|)
5=4+3+0+2+5
5=2,8
Jika data tunggal berfrekuensi yaitu X1 , X2 , X3 ,…,XN dengan
frekuensi f1 ,f2 , f3 , …,fN maka
MD =
∑i=1
N
f i|X i− X̄|
N
(Siagian Dergibson, 2002: 51)
2.3 Simpangan Kuartil
Simpangan kuartil disingkat Qd
Simpangan kuarti adalah
Qd=12(Q3−Q1 )
(Negoro, 1998: 361)
2.4 Range Persentil 10-90
Range Persentil 10-90 dari sekumpulan data adalah P90−P10
Range Semi Persentil 10-90 dari sekumpulan data adalah
p90− p10
2
18
2.5 Standar Deviasi (Simpangan Baku)Standar Deviasi dari data
tunggal X1 , X2 , X3 , … , XN yang berasal dari populasi
didefinisikan σ = √∑i=1
N
(X i− μ )2
N
Standar Deviasi dari data tunggal X1 , X2 , X3 , … , XN yang
berasal dari sampel didefinisikan :
s = √∑i=1
N
( Xi− X̄ )2
n−1
(Siagian Dergibson, 2002: 52)
Contoh : Diberikan sample dengan data 6, 7, 8, 9, 10
Hitunglah simpangan bakunya !
x̄ = 8
X j X j −X̄ ( X j − X̄ )2
6 -2 4
7 -1 1
8 0 0
9 1 1
10 2 4
Jumlah 10
18
s = √105−1
= √2,5
s = √ N ∑ X 2 − (∑ X )2
N ( N−1 ) =
√ 5 . 330 − 402
5 . 4= √1650−1600
20=√2. 5
X j X j2
6 367 498 649 8110 10040 330
Standar Deviasi dari data berdaftar distribusi frekuensi yang
berasal dari sampel didefinisikan :
s = √ ∑
j=1
N
f j ( A j− X̄ )2
N−1
Dengan : s = Standar Deviasi
f j = Frekuensi kelas ke-j
A j = Tanda kelas ke-j
X̄ = Rata-rata
N = Banyaknya data
Untuk membantu menghitung biasanya digunakan tabel tambahan
sebagai berikut :
18
Rentang nilai
f j A j A j
.f j
A j - X̄
( A j − X̄ )2 f j ( A j − X̄ )2
Jumlah … - … - - …
Contoh :Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ
Rentang nilai f A j A j .f j A j - X̄ ( A j − X̄ )2 f j ( A j − X̄ )2
50-54 1 52 52 -23,375 546,39 546.39
55-59 2 57 114 -18,375 337,64 675.28
60-64 11 62 682 -13,375 178,89 1967.79
65-69 10 67 670 -8,375 70,14 701.4
70-74 12 72 864 -3,375 11,39 136.68
75-79 21 77 1617 1,625 2,64 55.45
80-84 6 82 492 6,625 43,89 263.34
85-89 9 87 783 11,625 135,14 1216.26
90-94 4 92 368 16,625 276,39 1105.56
95-99 4 97 388 21.625 467,64 1870.56
Jumlah 80 - 6030 - - 8538.71
X̄=75 ,375
s = √8538 .7180−1
=√108. 08 = 10 .39
18
s = √ N ∑ f j . A
j2− (∑ f j . A j )
2
N ( N−1)
Untuk membantu menghitung biasanya digunakan tabel tambahan
sebagai berikut :
Rentang nilai f j A j A j2 f j A j f j A
j2
Jumlah … - - … …
Contoh :Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ
Rentang Nilai F A j A j2 f j A j f j A
j2
50-54 1 52 2704 52 270455-59 2 57 3249 114 649860-64 11 62 3844 682 4228465-69 10 67 4489 670 4489070-74 12 72 5184 864 6220875-79 21 77 5929 1617 12450980-84 6 82 6724 492 4034485-89 9 87 7569 783 6812190-94 4 92 8464 368 3385695-99 4 97 9409 388 37636Jumlah 80 - - 6030 463050
s = √ N ∑ f j . Aj2
− (∑ f j . A j )2
N ( N −1)
√80 .463050 − (6030 )2
80 x 79=√108 ,08 = 10 .39
18
s = √d2
N ∑ f j .c j2− (∑ f j . c j )
2
N ( N −1)
Dengan : s = Standar Deviasi
d = lebar kelas interval
c = sandi , c = 0, ±1 , ±2 , .. .
f j = Frekuensi kelas ke-j
N = Banyaknya data
Untuk membantu menghitung biasanya digunakan table tambahan
sebagai berikut :
Rentang nilai f j c j c j2 f j c j f j c
j2
Jumlah … - - … …
Contoh :Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ
Rentang Nilai F c j c j2 f j c j f j c
j2
50-54 1 -5 25 -5 2555-59 2 -4 16 -8 3260-64 11 -3 9 -33 9965-69 10 -2 4 -20 4070-74 12 -1 1 -12 1275-79 21 0 0 0 080-84 6 1 1 6 685-89 9 2 4 18 3690-94 4 3 9 12 3695-99 4 4 16 16 64Jumlah 80 - - - 26 350
s = √d2N ∑ f j .c j2
− (∑ f j . c j)2
N ( N−1)
18
=√5280 x 350 − (−26 )2
80 x 79= √108 . 08 = 10. 39
2.6 Varians
Varians dari suatu data adalah kuadrat dari standar deviasi.
2.6.1. Varians dan deviasi standar dari data yang belum dikelompokkan
Penggunaan nilai-nilai absolut bagi pengukuran dispersi tidak
memungkinkan manipulasi secara sistematis. Bila penjumlahan
dilakukan terhadap (x i−x) (di mana paling sedikit ada 2 nilai
yang tidak sama) yang telah dikuadratkan, maka pengrata-rataan
hasil penjumlaha di atas tidak akan sama dengan nol. Dengan
kata lain ∑ (x i−x )2
n≠ 0. Perumusan sedemikian itu dinamakan
deviasi kuadrat rata-rata. Karl Pearson menamakannya
pengukuran varians dan dirumuskan sebagai
s2=1n∑i=1
n
(x i−x )2 (1)
(Dajan Anto, 1986: 177).
Namun demikian, unit-unit s2 merupakan unit kadrat dan tidak
sama dengan unit-unit biasa x i dan x. Standardisasi unit-unit pengukuran di atas dilakukan melalui proses pengakaran sebagai berikut
s=[ 1n∑i=1
n
( xi−x)2]12 (2)
s=√ 1n∑i=1
n
(x i−x )2 (3)
18
Karl Pearson menamakan persamaan 2 dan 3 dia atas sebagai perumusan deviasi standar (Dajan Anto, 1986: 177).
2.6.2 Beberapa catatan tentang varians dan deviasi standar dari data yang
belum dikelompokkan
a. Rumus Fisher dan WilksBagi distribusi sampel dengan n<100, Fisher, Wilks, dan beberapa statistisi memberi perumusan tentang varians dan deviasi standar sebagai
s2= 1n−1∑i=1
n
(x i− x)2 (4)
dan
s=[ 1n−1∑i=1
n
(x i−x)2]12 (5)
atau
s=√ 1n−1∑i=1
n
(x i−x )2 (6)
(Dajan Anto, 1986: 178).
Deviasi standar sampel 6 di atas sebetulnya digunakan sebagai penaksiran yang tidak bias (un-biased estimate) bagi standar deviasi σ . Banyak statistisi yang menganjurkan penggunaan pembagi n-1 dalam menghitung deviasi standar sampel guna penaksiran deviasi standar populasi. Bila jumlah n tidak besar, hasil penggunaan perumusan 3 mungkin berbeda secara berarti dari hasil penggunaan prumusan 6 di atas. Sebaliknya, bila jumlah n besar sekali, beda hasil penggunaan kedua perumusan di atas sebetulnya tidak berarti (Dajan Anto, 1986: 179).
1. Varians dan deviasi standar populasi
Cara menghitung varians dan deviasi standar populasi secara berturut-turut dapat diberikan sebagai
σ 2= 1N ∑
i=1
N
(x i−μ)2 (7)
atau
18
σ=[ 1N ∑
i=1
N
(x i−μ)2]12 (8)
di mana
N = jumlah observasi dalam populasi
μ = rata-rata pupolasi
(Dajan Anto, 1986: 179).
2. Perumusan alternatif bagi varians dan deviasi standar sampel.Persamaan Definisi 1, varians diberikan sebagai
s2=1n∑i=1
n
(x i−x )2
Sehingga
s2 n=∑i=1
n
( xi−x )2
¿∑i=1
n
(x¿¿ i¿¿2−2x i x+x2)¿¿
¿∑i=1
n
x i2−2 x∑
i=1
n
x i+n x2
alhasil ,
s2 n=¿ ∑i=1
n
x i2−2n x2+¿nx2 , karena nx=∑
i=1
n
x i
¿ ∑i=1
n
x i2−¿n x2¿
¿∑i=1
n
x i2−¿n(∑i=1
n
x i
n )2
¿
¿ ∑i=1
n
x i2−¿
(∑i=1
n
xi)2
n¿
s2=∑i=1
n
x i2−¿
(∑i=1
n
x i)2
nn
¿
(9)
dan
18
s=√∑i=1
n
x i2−¿
(∑i=1
n
x i)2
nn
¿
(10)
(Dajan Anto, 1986: 179-180).
Secara teoritis, penggunaan rumus 9 dan 10 guna menghitung varians dan deviasi standar akan memberi hasil yang sama seperti perhitungan varians dan deviasi standar dengan menggunakan rumus 1 dan 3.
3. Cara menghitung varians dan standar deviasi secara singkatPersamaan Definisi 9, bila nilai-nilai observasi x i diubah ke dalam nilai-nilai
yang sederhana dan cara menghitung varians serta deviasi standar dilakukan dengan menggunakan nilai-nilai sederhana tersebut, maka perumusan umumnya dapat diberikan sebagai
s2=∑i=1
n
( x i−x0 )2−(∑
i=1
n
xi−x0)2
nn
(11)
dan
s=√∑i=1
n
( x i−x0 )2−(∑
i=1
n
x i−x0)2
nn
(12)
di mana
x0 = titik asal deviasi secara arbriter
(Dajan Anto, 1986: 181).
2.6.3 Varians dan deviasi standar dari data yang telah dikelompokkan
Bila varians dan deviasi standar dihitung dari sebuah distribusi frekuensi, maka titik tengah tiap-tiap kelas umumnya dianggap sebagai nilai tunggal yang cukup representatif bagi semua nilai-nilai observasi x i yang
18
dikelompokkanke dalam kelas-kelas yang bersangkutan. Rumus varians dan deviasi standar dari distribusi frekuensi sedemikian itu dapat diberikan sebagai
s2=1n∑i=1
k
(mi−x )2 f i (13)
dan
s=√ 1n∑i=1
k
(mi−x )2 f i (14)
Di mana
mi = titik tengah tiap-tiap kelas
f i = jumlah ffrekuensi kelas
(Dajan Anto, 1986: 183).
2.6.4 Cara menghitung varians dan deviasi standar secara singkat
Dari persamaan x=i 1n∑i=1
k
ui f i+x0 dan persamaan x i=x0+ui i. Maka,
[ x i−x ]=[( x0+u i i )−(x0+∑i=1
k
u i f i
ni)]
¿ [x0+ui i−x0−∑i=1
k
ui f i
ni ]
¿ [ui i−
∑i=1
k
ui f i
ni ]
¿ i [ui−
∑i=1
k
ui f i
n ] (15)
Bila persamaan 15 di atas disubstitusikan ke dalam persamaan 13 maka akan diperoleh
18
s2 = 1n
i2 .∑i=1
k
f i[ui−∑i=1
k
ui f i
n ]2
= 1n
i2 .∑i=1
k
f i[ui2−2 ui
∑i=1
k
ui f i
n+(∑i=1
k
ui f i
n )2]
= 1n
i2[∑i=1
k
ui2 f i−2∑
i=1
k
f iui
∑i=1
k
ui f i
n+∑
i=1
k
f i(∑i=1
k
ui f i
n )2]
Perkalian suku kedua dengan n/n,
s2 = 1n
i2[∑i=1
k
ui2 f i−2 n(∑i=1
k
ui f i
n )2
+n(∑i=1
k
ui f i
n )2]
= 1n
i2[∑i=1
k
ui2 f i−n (∑i=1
k
u i f i
n )2]
Dan
s = √ 1n
i2[∑i=1
k
u i2 f i−n(∑i=1
k
ui f i
n )2] atau
= i √ 1n∑i=1
k
ui2 f i−(∑i=1
k
ui f i
n )2
s = i √∑i=1
k
ui2 f i
n−(∑i=1
k
ui f i
n )2
(Dajan Anto, 1986: 185-186).
18
2.6.5 Beberapa catatan tentang varians dan deviasi standar distribusi
1. Koreksi Sheppard
Bila distribusi frekuensi simetris atau mendekati simetris, hasil rata-rata hitung yang diperoleh dari distribusi tersebut akan kurang lebih sama seperti hasil rata-rata yang diperoleh dari data kasar asal dari mana distribusi tersebut dibentuk. Hal sedemikian itu dapat dimengerti karena kesalahan-kesalahan dalam nilai-nilai tengah bertendensi saling meniadakan. Sebaliknya, dalam penghitungan varians dan deviasi standar distribusi, nilai-nilai observasi distribusi yang bersangkutan akan mengalami pengkuadratan sehingga kesalahn-kesalahan dalam nilai tengah tidak dapat saling meniadakan. Nilai s yang dihitung dari distribusi frekuensi umumnya selalu lebih besar daripada nilai s yang dihitung dari data asal (Dajan Anto, 1986: 187).
.
3. Penggunaan Excel
Fungsi Statistika
FUNGSI SINTAKSIS KETERANGANMean Deviation AVEDEV Rata-rata simpangan
Standar Deviation (Sampel)
STDEV Simpangan baku dari data yang berasal dari sampel
Varians VAR Variasn dari sebuah data
Standar Deviation (Populasi)
STDEVP Simpangan baku dari data yang berasal dari populasi
18
D. PENUTUP
1. Kesimpulan
Salah-satu tugas statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah meyajikan
atau mendeskripsikan data angka yang telah dikumpulkan menjadi
gambaran yang jelas dan mudah dipahami.
Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika
menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi
frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung
banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan
lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk
itu diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat
menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).
Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat. Yang
paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung (Arithmatic
mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata ukur,dan lain-
lain.
18
DAFTAR PUSTAKA
Dajan, Anto. 1986. Pengantar Metode Statistik. Jilid 1. Jakarta: LP3ES
Negoro,ST dan B.Harahap.1998.Ensiklopedia Matematika.Ghalia Indonesia
Siagian, Dergibson dan Sugiarto.2002.Metode Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi.Jakarta : PT. Gramedia Pustata Utama
Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta :PT Raja Grafindo Persada