地 理 研 究GEOGRAPHICAL RESEARCH

第35卷 第12期

2016年12月

Vol.35, No.12

December, 2016

城乡界面动态模型研究

乔家君 1,2,3，马玉玲 2

（1. 河南大学黄河文明与可持续研究中心暨黄河文明传承与现代文明建设河南省协同创新中心，开封

475001；2. 河南大学环境与规划学院，开封 475001；3. 河南大学区域发展与规划研究中心，开封 475001）

摘要：城乡界面在地域上处于城市和乡村交界处，在功能上起到城乡要素交流的空间载体作

用，其发展对城乡协调意义重大。基于系统动力学，从要素流的角度构建城乡界面的理论框

架，通过构建数量模型来刻画城乡界面动态演化机制。模型求解结果显示：① 在不同发展阶

段，城乡界面受到内生动力和外生动力不同程度的影响。② 随着城乡界面的发展，其效应由负

效应向正效应过渡，效应大小取决于其循环积累能力大小。③ 平衡态受城乡要素交换率、自身

内生动力和循环积累能力的共同影响；城乡界面的平衡态是恒定的，但具有空间尺度效应。④开关模型刻画了界门对城市系统和乡村系统的作用机制。据此，分别从时间尺度和空间尺度

对中国城乡系统的发展提出政策建议。

关键词：城乡界面；界门；动态模型；开关模型

DOI: 10.11821/dlyj201612008

1 引言

界面因处在不同系统的交界处，使其具有异质性、复杂性、敏感性、过渡性等特点[1]，对其研究具有重要意义，物理学[2]、生态学[3]、建筑学[4]、地理学[5]等不同学科开展了相应的理论探索。空间界面理论主要是从地理学视角来展开的，旨在揭示地理空间上相邻区域物质、能量、信息的交换规律，发展系统“接口”研究，对其研究能促进地理学理论方向的深入，为地理研究综合方法开辟新途径[6]。

城乡界面（Urban-rural interface，URI）是空间界面的一种，在空间尺度上处于城市与乡村之间的过渡地带。在其地域空间内，城市与乡村要素相互作用、交叉共存，形成了一个既不同于典型城市又异于典型乡村的另类地域空间。城乡界面并不是与生俱来的，而是随着人类对环境改造的进程中而出现的。在农业社会，城市和乡村具有明显的界限，多以城墙的方式呈现。在工业社会，很多城市突破原有城墙的界限，向周围乡村地区发展，城市与乡村的界限变得模糊，出现了城市与乡村的交错地带[7]，有学者提出了

“城乡连续谱（Urban and rural continuous spectrum）” [8]的概念。但随着城市的快速发展，其对周边乡村生态环境的破坏愈来愈明显，为遏制其无限蔓延，1945年的“大伦敦规划”在伦敦外围规划了绿带以控制这种现象，这是城市增长边界 （Urban growthboundary）理念的雏形。后来西方学者对这一概念进行了定义和补充[9,10]，认为它是“将城市化地区与郊区生态保留空间进行区分的重要界线，通过区划及其他政策工具保障其

收稿日期：2016-06-09; 修订日期：2016-10-10

基金项目：国家自然科学基金项目（41671172，41430637，41329001）；教育部人文社会科学重点研究基地重大项目

（14JJD790011）；河南省高校科技创新团队支持计划项目（16IRTSTHN012）

作者简介：乔家君（1973- ），男，河南睢县人，博士，教授，博士生导师，主要从事乡村地理学研究。E-mail: jjqiao@henu.edu.cn

2283-2297页

地 理 研 究 35卷

实施”。但是增长边界在英美等国的实践中并没有取得理想的成效，一方面因为英美国家地广人稀的国情使其没有紧迫感，另一方面是由于其自由经济体制下规划的效力并不是很明显[11]。不过，城市与乡村之间交界的区域却引起了学界的广泛关注，但由于人们对这一过渡地带的性质、范围与功能的理解都还不一致，因此，在概念上使用比较混乱，比较有代表性的有“城市边缘区 （Urban fringe） ” [12]、“城乡边缘带 （Urban- ruralfringe） ” [13]、“城乡结合部 （City-country fringe） ”、“城乡交错带 （Urban-rural eco-tone）”[14]等。这些概念相关但也存在细微差别，陈佑启先生对其进行了辨析[14]，这里不再赘述。

国内外相关领域的早期研究大多是基于当时发达国家城乡交界处的发展现状，而发展中国家的情况又有其特殊性。于是，结合20世纪后期发展中国家尤其是亚洲国家的特殊情况，一些学者进行了有针对性的研究。加拿大学者T G McGee对亚洲一些国家进行长期研究后提出了著名的Desakota模式[15]，该模式主要研究在城乡相互作用时所产生的

“灰色”区域，即城乡交融区域。随后，一些学者对部分亚洲国家和地区的Desakota的发展开展了一些经验研究[16-18]。21世纪以来，由于发达国家的城乡发展已较为完善，国际上对此问题的研究视野和切入点开始转向发展中国家，普遍认为发展中国家这一区域问题呈日益复杂的态势[19,20]。中国作为最具代表性的发展中国家，其表现出的问题具有普遍性。近二十多年来，国内不少学者关注这一领域[21]，早期研究主要集中在概念辨析[14]及特征描述[22]等方面。伴随快速城市化进程的推进，学术界对其研究也更为深入，研究焦点主要集中在对各要素特征的描述，如空间结构[23]、土地利用[24]、产业特征[25]、景观[26]、社会问题[27]和规划管理[28]等，以及其空间范围的界定，陆续有学者利用断裂点分析[29,30]、遥感影像定量解析[31,32]、多因素动态分析[33]、突变点模型[34]、信息熵模型[35]等方法进行空间识别。作为城乡之间要素流交互作用的平台，城乡界面的经济、社会、文化等要素异常活跃[36]，但同时也是各种矛盾冲突较为激烈的复杂地域。如何最大化地发挥城乡对该界面的积极作用而尽可能规避其负面影响，促进城乡界面健康平稳发展，进而推动城乡协调发展[37]，是当前理论和实践层面都需要关注的重大问题。

尽管国内外学者从不同角度进行了大量研究，然而，作为城市与乡村两大系统直接发生作用的界面，其本身的动态性、复杂性和不确定性决定了这是一个非常重要且具有挑战性的科学命题[38]。当前研究可能存在以下值得商榷的问题：① 对城乡界面单一要素的研究，难以刻画其复杂性。② 多数成果为个案研究，难以提升出普遍规律。③ 孤立地看待城乡界面问题，没有将城乡界面与城市、乡村置于一个系统来研究，难以掌控其整体性。④ 多以定性研究为主，难以量化细致地研究问题。⑤ 以静态研究为主，难以把握其动态性。基于以上认识，本文尝试将城乡界面置于“城市—城乡界面—乡村”这一系统框架中，探讨三者之间要素流的交换对城乡界面及城市和乡村的作用机理及效应，并以此为理论基础，基于系统动力学构建城乡界面动态数理模型。该模型简洁、深刻地描绘了城乡界面的动态演变特征，为探讨中国城乡界面健康协调发展提供理论参考。

2 理论模型

2.1 城乡界面的概念界定空间界面是在一定条件下，不同性质的资源要素相互作用而成[1]。城乡界面是空间界

面的一种，J O Browder 2002年明确提出城乡界面[39]，他认为城乡界面不能仅理解为一个“半城市化地区”或者城市与乡村之间交界的空间概念，它更是一个城市和乡村社会、文

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化、经济等要素交织的网络。这一理解在界面“空间”特征的基础上，进一步阐明了其形成机理，但其理解仅止于城市和乡村对城乡界面的作用，而忽略了城乡界面反过来对城市和乡村的作用机制。基于此，将城乡界面界定如下：城乡界面是介于城市系统和乡村系统之间，由两系统要素流交互作用而成，并对两系统起卫护和交换作用，在三者相互作用过程中动态发展的独特地理空间。

城乡界面具有如下特征：① 基于城乡平等的视角，而不是“城市偏向”的视角。传统上的“城市边缘带”、“城市阴影区”、“半城市化地区”多是以城市为中心，分析城市对这一区域的辐射力。② 强调内在机理，而不仅仅是空间概念。“城乡连续谱”、“城乡边缘区”、“城乡交错带”、“城乡结合部”等概念更多地是强调其空间属性，而没有揭示其内在的作用机理。③ 注重这一区域与城市和乡村的双向关系，而不是单向关系。如

“城市增长边界”强调的是边界对城市蔓延的控制作用和对乡村生态环境的保护作用，却忽略了城市和乡村对边界的影响。④ 侧重研究其多维功能，而不是单一功能。尤其是国外规划实践领域，往往将这一区域等同于开放空间中绿带的作用，这一功能定位只强调其生态功能，却忽略了城乡界面在经济、社会、文化等方面的多维功能，特别是忽略了其对于发展中国家城乡一体化的独特作用。

这一概念包含三层涵义：① 空间上的界定。从空间范围来看，处于城市和乡村交界面上的地域被称为城乡界面。城乡界面的范围包括国内学者研究较多的大城市边缘区、城乡结合部区域，除此之外，还包括县域和乡镇等半城市化地区与乡村交界的地域。城乡界面具有空间尺度依赖性，在其范围识别上要结合具体的空间尺度，利用多要素多指标进行综合判断和识别。② 时间上的界定。城乡界面并不是一个静态概念，随着时间的推进，其空间地域和功能是动态变化的。在城市、乡村以及城乡关系发展的不同阶段，城乡界面的空间格局、要素及功能都有其独特性。③ 功能上的界定。城乡界面对城市系统和乡村系统有两大功能：卫护和交换。卫护功能主要是其作为系统周界，保卫和防护系统免受异质要素流的侵蚀和同化。但一般来说，系统并不是完全封闭的，所以卫护功能并不是绝对的，交换功能就是与之相反的一种作用力。交换功能使系统内外要素流通过系统卫护力度较为薄弱的地方进行交换，使系统成为一个活的系统。在不同的时间和空间尺度上，卫护和交换功能大小不同。2.2 城乡系统与城乡界面结构

传统的城乡系统是在“城市—乡村”这个二体框架下进行讨论的，其忽略或淡化了城乡界面的作用，本文所构建的城乡界面理论模型即是将城乡系统拓展至“城市—城乡界面—乡村”三体框架下，城乡系统的结构由城市、城乡界面、乡村三个子系统构成。受曹鸿兴界壳论（periphery theory） [40]的启发，城乡界面由界壁、界面、界门三部分组成（图 1）。从功能上看，界壁主要起卫护作用，在实践中往往表现为边界。界面是界壁中间的区域，是各种要素流交换和存储的场所。界门为界壁上断裂且卫护力度较弱的区域，在实践中表现为通道，如海陆空交通通道为物质交换的界门，通讯为信息交流的界门，输电为能量流通的界门。界门可细分为显性界门和隐性界门。多数 图1 城乡界面结构图

Fig. 1 The structure of URI

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的要素交换是通过交通、通讯、输电等显性界门实现的，而另一部分如社会、文化等这些更为隐性的要素交换除了依赖显性的界门之外，更多则是通过隐性界门实现的。

在城乡系统中，城市、乡村与城乡界面三者为互补互换、互动互促的关系。在卫护和交换功能的共同作用下，城乡要素流通过城乡界面这一空间载体进行交流，促进城乡协调发展。同时，城乡界面处要素交流的频繁性、复杂性等特点使该地域空间不同于纯粹的城市系统和乡村系统，表现出异质性、过渡性、敏感性等特点。通过其特殊的半透膜作用，对进入和离开地域的要素流等外生动力进行过滤和沉淀，进一步将流经该区域的部分要素积累内化为自身的增长动力。2.3 城乡界面的形成及作用机理2.3.1 形成机理 城乡界面的形成机理体现了城市系统和乡村系统对城乡界面的作用力。城乡界面作为城市和乡村的边缘区域，会受到两侧异质系统的共同影响，产生边缘效应[41]。其作用方式是作为城乡要素交流的通道，要素在流经通道时会有一部分被“吸附”，甚至要素在互相碰撞中形成突变，表现出与城市和乡村两个系统都不同的特质，由此形成了一个独立的城乡界面系统。与传统的空间相互作用不同，城乡空间相互作用的作用力不仅与距离有关，还受到界面上界壁和界门的影响，界壁的卫护功能会使得作用力减弱，而界门的开放功能又使得流经此处的作用力增强，因此城乡空间相互作用力在城乡界面处并不是均质的。2.3.2 作用机理 城乡界面的作用机理体现了城乡界面对城市系统和乡村系统的反作用力。城乡界面形成后，并不是单方面接受城乡对其作用力，而是通过其界面、界壁和界门对城市和乡村系统产生反作用力。一方面界面起到保护城市系统和乡村系统各自独立性的作用；另一方面为城乡要素交换提供场所和通道。其作用方式体现出三个特性：卫护力度、开放度和交换率。① 卫护力度体现了界面尤其是界壁的作用，通过界壁使系统保持其相对独立性，使系统尽可能的封闭，进而区别于其他系统和周围环境。② 开放度是与卫护力度功能上互补，作用力相反的一个特性。开放度体现了系统并不是完全封闭的，在界壁上应该存在供要素流通过的渠道（界门）。实践中，许多现象发生在界门或通道处，因为那里进行着系统和环境的交换，界面的开放度和卫护力度都受到界门的影响。③ 卫护力度和开放度的共同作用表现为交换率，交换率同样也受到界门的影响。若界门是常开型的，则开放度、卫护力度和交换率为常定；若界门属于开关型的，即界门随着时间和条件发生变化，则开放度、卫护力度和交换率也随之变化，则界门就成为系统变化的一个控制参量，并可以用交换率来进行量化。城乡界面的界门就是一种开关型界门，其开放度、卫护力度和交换率并不是恒定的，而是动态变化的。

3 数理模型

作为理论地理学的核心，定量地理学要重视数学在地理学中的作用[42]。实际上，“许多地理问题无法定量化，但可以数学化”，陈彦光进行了相应探讨[43]。数学化是对研究对象的问题进行数学表达，即建立数学模型，其作用主要是进行逻辑推理，而不是进行数字拟合，“建模的目的是洞察，而不是数字”[44]。基于这一认识，试图通过数学建模的方式，完善城乡界面的理论体系。

不同于传统定性地理学基于牛顿力学的绝对时空观，定量地理学（包括数学地理学）的时空观是基于Leibnitz的相对时空观[45]。相对时空观更注重地理现象之间的联系，更具动态性，相对于绝对时空观的“地方”“场所”“区位”等特征词，其更多的使用

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“关系”“位置”“联系”等关键词[46]。从20世纪60年代末开始，人们开始意识到基于传统静态空间模型（如引力模型、潜力模型、空间扩散模型、距离衰减模型等）不能有效解释自组织系统的动态演化过程。因此，基于相对时空观的系统动态演化过程和行为机制受到广泛重视。1969年，美国麻省理工学院 J W Forrester率先将系统动力学引入城市结构变化研究[47]，创立城市系统动力学模型，即构建一系列反馈城市系统要素关联的微分方程。

城乡界面恰恰体现了“相对”的空间性质，它是在城市与乡村相互联系中催生的产物，是城市在自身近域推进和广域扩展过程中，城市要素自内向外扩散、农村要素自外向内集聚，城乡要素高度混合、彼此渗透而形成的一种全新的社会经济空间，是城市郊区化和乡村城市化的产物。城乡界面的发展过程实质上就是城乡之间要素流的交换过程，其发展的动态过程可以根据一般系统动力学构建微分方程。城乡界面的发展一般会随着时间和空间的变化而动态发展，因而可以表达为时间坐标和空间坐标的函数，这种变化规律往往表现为它关于时间和空间坐标的各阶变化率之间的关系式，即函数关于 t与自变量的各阶偏导数之间的等式。以城市这一系统状态为因变量，以城乡界面自身的增长率、城乡要素流交换率、城市和乡村向城乡界面的要素流输入率、城乡界面向城市和乡村的要素流输出率为自变量，构建城乡界面发展的动态模型，并在此基础上增加开关项，构建城乡界面动态发展的开关模型，考量城乡要素流动对城乡界面的效应，监测城乡界面发展状态，并进行预警。3.1 假设

假设 1：城乡界面存在性。城市系统与乡村系统必构筑一个界面，用以卫护系统本身的独立性。

假设 2：城乡界面的准封闭性。城乡界面将抵抗城市系统和乡村系统不需要的异质要素流进入，阻止界面内自身要素流随意逸出，界面要尽可能的封闭。

假设 3：城乡界面的可通性。城乡系统并不是完全封闭的，为了要素流交换，城乡界面上必须开有界门或通道。3.2 基本动态模型

按照系统动力学的一般原理，开放系统的发展都会受到内外力的共同作用。开放系统在不断与外界进行信息流、物流、能流的交换过程中，获得外部动力。同时，在系统内部的各组成部分相互耦合作用中产生内部动力[48]。根据以上假设，城乡界面具有准封闭性和可通性，即城乡界面亦是开放系统，其发展除了受其自身影响之外，还受到城市与乡村的影响，因此可以将城乡界面的发展动力抽象为内生动力（自身增长）和外生动力（城市和乡村对其影响）。在相对时空观的哲学思维下，采用输入—输出的定量地理处理方法进行数学表达[46]，构建城乡界面发展的模型，用以刻画城乡系统中，城市、乡村子系统与城乡界面子系统的相互作用关系。

对于城乡界面形成与发展中内外动力的作用形式，采用西方学者提出的城乡相互作用“流” [49]与“城乡动力学” [50]的分析框架，将城乡界面的发展抽象为两方面的作用力：一是自身发展动力，二是要素流的输入和输出所引发的动力。随着城乡界面的发展，城市和乡村对它的要素流输入也会成为其发展的一部分。城乡界面发展的基本静态模型可表示为：

dy dt =（k + xin）y - xex （1）

式中：y为城乡界面发展状态，包括其空间格局和经济、社会、文化等要素结构； dy dt

为城乡界面的变化；k为城乡界面本身的增长率； xin 为城市和乡村对城乡界面的输入

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率； xex 为城乡界面向城市和乡村的输出率。

输入率和输出率并不是静态的，而是动态变化的，即为时间的函数 xin(t) 、 xex(t) ，

式（1）进一步表述为：dy dt = [ ]k + xin(t) y - xex(t) （2）

式中：为城乡界面动态模型，描述了输入率与输出率对城乡界面影响的动态效应。3.3 随机动态模型

城乡界面的发展，除了主要受到要素交换和自身增长动力的影响之外，还可能会受到其他一些随机因素的影响，因此需要考察这些随机因素对其影响程度。接下来要考虑

的是随机扰动项对上述模型的影响，在式（2）的右边加上随机噪声项 dΓ(t)， d 为噪

声强度，则（2）式变为郎之万方程：

dy dt = [ ]k + xin（t）y - xex(t) + d Γ(t) （3）

令 f (y) =[k + xin(t)y]- xex(t) ，则上式可写为： dy dt = f (y) + d Γ(t)

假定 Γ(t)为高斯白噪声①，即： EΓ(t) = 0，EΓ(t)Γ(t′) = 2δ(t - t′)式中： 2δ(t - t′) 为狄克拉 δ 函数。

根据郎之万方程的量与福克—普朗克方程中漂移系数 D(1)与扩散系数 D

(2)的对应关系：

D(1)（y, t） = f (y) + ∂

∂(y)d = f (y) （4）

D(2)

(y, t) =( d )2 = d （5）

得到式（3）的福克—普朗克方程：∂p∂t

= { }- ∂∂y

[(k + xin)y - xex] + d ∂2

∂u2p = LFP p = - ∂

∂yS(y, t) （6）

式中：LFP为福克—普朗克算子；S(y,t)为概率函数； S(y, t)= éëê

ùûúf (y)- d ∂

∂yp(y, t) 。

求（6）式的稳态解，令∂p∂t

= 0 ，并对y积分，得：

S(u, t)= éëê

ùûúf (y)- d ∂

∂yp(y, t) = const

根据自然边界条件：当 y→∞时，概率函数为0，即 S(y, t)= 0 ，从而有：

éëê

ùûúf (y)- d ∂

∂yp(y, t) = 0

对y积分，得：

pST = N expéë

ùû

1d ∫u f (y′)dy′ （7）

式中：N是归一化常数，其值可由 ∫0

∞

pST (y)dy = 1来确定。

令福克—普朗克势函数为V(y)，则：

f (y) = - ∂V∂y

,V (y) = -∫y f (y′)dy′= - 12

(k + xin)y2 + xex + V0

将势函数V(y)的表达式代入稳态解（7）式，即 pST = N expéëê

ùûú-V（y）

d

① 高斯白噪声是应用最为广泛的一类噪声函数，是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功

率谱密度函数是常数的一类噪声。

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对上述指数函数按幂级数展开，仅取一次项，得

pST = N éë

ùû

1 + 12d

(k + xin)y2 - 1

d(xex + V0) ≈ ay2 - by + c （8）

式中： a = N2d

(k + xin) ， b = 0 ， c = N(1 - xex -V0) d

根据式（8）及一元二次函数的性质可知，噪声强度将影响稳态的概率密度分布形状，但不影响稳态解本身。也就是说，噪声项可能会影响城乡界面在某一个状态时的概率密度，其平衡态是恒定的，因此，在构建上述城乡界面动态模型时，可以不予考虑随机扰动项。3.4 开关模型

在数学方程中有三类边界条件，分别对应于三种不同的情况。但这些边界条件都隐含地假定了要素流边界的流动是不受限制的。而实际上任何系统的边界都会受到特定条件的约束，或者说在边界设置了开关，因此，在某些情况下，就要研究界门控制动力学。开关模型是一种对系统模型的修正方案[51]，在假定系统均存在界门的前提下，提出界门启闭对系统的输入输出具有影响，并通过对基本模型增加开关变量，将其修正为开关型数学模型[52]。

城乡之间要素流以及城乡界面的发展速度并不是越快越好，应受到某一阈值的约束（设为C0），当超过这一阈值时，则应采取措施限制其发展。设想在基本动态模型中加入一个开关变量 γ，城乡界面动态发展的开关模型为：

dy dt = [ ]k + γxin(t) y - xex(t) （9）

式中： γ起着开关函数的作用，其具体表述为：

γ =

ì

í

î

ïïïï

1ΔyΔt

≤C0

0ΔyΔt

> C0

式中：开关函数 γ 意味着，当城乡界面发展速度没有超过其阈值 C0 时，开关开启

（γ = 1）；反之，当其发展速度超过阈值C0时，开关关闭（γ = 0）。

4 模型求解及分析

4.1 动态模型的平衡解与一般解4.1.1 模型求解 对式（1）求解，令 dy dt = 0 ，即 (k + xin)y - xex = 0 ，得式（1）的平衡解为：

ye =xex

k + xin

（10）

令 t=0，y=C，交换率 α = (xin + xex) 2 ，则有式（1）的解为：

y(t)= éëê

ùûúC - xex

k + xin

e(k + xin)t +

xex

k + xin

= éëê

ùûúC - 2α - xin

k + xin

e(k + xin)t +

2α - xin

k + xin

（11）

同理可得式（2）的平衡解为：

ye =xex(t)- xin(t)

k + xin(t)=

2α(t)- xin(t)k + xin(t)

（12）

式（2）的解为：

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地 理 研 究 35卷

y(t)= éëê

ùûúC - xex(t)

k + xin(t)e[ ]k + xin(t) t

+xex(t)

k + xin(t)（13）

令 1m

=xex(t)

k + xin(t)，则 m =

k + xin(t)xex(t)

，m表示要素输入后内化积累的增长率与输出率之

比，称之为循环积累能力指数。上式可进一步表述为：

y(t)= éë

ùû

C - 1m

e[ ]k + xin(t) t

+ 1m

（14）

式（14）为基本动态模型的一般解。4.1.2 平衡解与一般解的含义 （1）动态模型的平衡解：城乡界面平衡态的数理表达

由式（12）可知，动态模型的平衡解揭示了城乡界面发展的平衡态。平衡态与交换率和输出率成正比，且受到输入率的显著影响。城乡界面既不同于典型城市又有异于典型农村，其发展受到界面两侧城市系统和乡村系统的直接影响，平衡状态也受制于城乡系统的规模和发展状态。由城乡界面动态模型平衡解可以看到，城乡界面的平衡状态受到城乡要素流交换率 α、自身内生动力k和外生动力xin(t)、xex(t)的共同影响。

（2）动态模型的一般解：城乡界面效应的数理表达动态模型的一般解，如式（14）所示，揭示了城乡要素流交换对城乡界面的影响效

应。城乡界面效应取决于城乡界面循环积累能力m，循环积累能力与城乡界面效应成正相关关系。在城乡界面形成初期，循环积累能力较弱，城乡界面效应较小，甚至可能出现负效应，呈现出无序发展的状态，如人口混杂、社会动荡、管理混乱、生态环境恶化等。随着循环积累能力的增大，负效应转为正效应，且逐渐增大，在现实中表现为多种效应，如正边缘效应、加成效应、协和效应等[53]，城乡界面从无序发展到协调发展，体现在人口素质的提高、经济要素的活跃、管理体制的健全、社会矛盾的缓和、生态环境的改善等方面。4.2 动态模型的指数解4.2.1 指数解求解 为使模型的解更简明清晰，进一步令净输入率 F(t) = xin(t)- xex(t) ，则式

（2）为： dy dt = ky + F(t) （15）

该方程的解为： y(t) = ∫F(τ)ek(t - τ)

dτ + C （16）

设净输入率为指数函数，即 F(t) = F0eλt （17）

式中：F0为初值， λ为要素流输入的增长率。将式（17）代入式（16），令 C = 0 ，得：

y(t) = ∫0t F0eλτe

k(t - τ)dτ （18）

对式（18）进一步积分，得：

y(t) = F0ekt∫0teτ(λ - k)

dτ =F0e

kt

λ - keτ(λ - k)

|t0 =F0

λ - k(eλt - ekt) （19）

式（19）即为动态模型的指数解。4.2.2 指数解的含义 （1）指数解的两种极端情况

若 k >> λ，即城乡界面自身的增长率远大于城市和乡村向其输入的要素流增长率，则上式可近似为：

y(t) =F0

keλt （20）

式（20）意味着城乡界面发展的主要动力来源于其内生动力。这种情况可能发生在

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12期 乔家君 等：城乡界面动态模型研究

两个时期：城乡界面形成的初期和城乡界面达到均衡态之后。在城乡界面形成的初期，即城镇化初期，城镇化的发展主要在城市内部，城市的辐射力较小，城乡二元分割，城乡互动和交流较少，经过二者之间界面的要素流较为稀缺，城乡界面的发展基本上处于

一种自组织状态。在城乡界面达到均衡态之后，城市、乡村、城乡界面发展趋于稳定，

此时三者的发展多倾向于内部的结构升级。

若 λ >> k ，即城市和乡村向其输入的要素流增长率远大于城乡界面自身的增长率，

则式（19）可近似为：

y(t) =F0

keλt =

F(t)λ

（21）

式（21）反映了当城市和乡村向其输入的要素流增长率远远高于城乡界面自身的增

长率时，城乡界面表现为净输入率的随动系统，其增长动力主要来源于外生动力。在这

种情况下，城乡互动互促发展，二者进行较为频繁的要素流交换，而充当城乡系统间要

素过滤器的城乡界面，在城乡要素交互过程中，会在过滤过程中将一部分要素沉淀下

来，使之成为自身发展的能量。这种情况一般出现在快速城镇化时期，此时城镇化的发

展不再局限于城市内部，而表现为地域上向外推进，功能上向外疏散，城市与乡村的差

异导致二者互补互促。一方面，城市的高度发展使得城市在资本、信息、技术、人才密

度方面相对于农村具有巨大的优势，城市对农村的反哺一旦开始，就会形成“瀑布效

应”[54]。这种“瀑布效应”向农村的外溢，除了提高农村发展水平和提升城市发展质量

之外，也会对城乡界面起到渗透的作用。另一方面，农村的人口、土地、资源等要素向

城市的集聚过程中，也会有相当一部分要素被吸附到城乡界面。

（2）指数解的一般情况

当然，城乡界面的动态发展大多介于二者之间，受到城乡界面自身发展的影响和城

市乡村对其要素流输入的共同影响，表现为城乡互动互促，共同推动城乡界面的发展。

由式（19）可知，不管 λ > k 或者 k > λ， y(t) =F0

λ - k（eλt - ekt) 总是大于 0。这意味着，当

内生动力和外生动力共同起作用时，城乡界面总是正向发展的。其发展状态的大小受到

两种动力力量对比大小的影响，随着两种力量差距的缩小，其发展状态逐渐变大。也就

是说，城乡界面的发展状态取决于其自身的循环能力，循环能力越高，就表明城乡界面

能将越多的外生动力内化为内生动力。

（3）城乡界面发展的动力机制

通过对动态模型指数解的解析，可提炼出城乡界面发展的动力机制。其发展动力主

要有三种：“自上而下”的城市辐射力、“自下而上”的乡村推动力以及“循环累积”的

内生动力。在城乡界面发展的不同阶段，三种力量对其影响的大小不同。在城乡界面产

生的初期，主要是受到城市辐射力的影响，乡村推动力几乎没有影响，因此造成城乡要

素的交流较少，城乡界面发展缓慢。随着城市辐射力强度增大，辐射地域扩张，乡村要

素开始对其呼应，二者要素流增强，乡村推动力影响力度随之增强，城乡界面表现为快

速发展，但由于这一时期城乡界面多为被动地接收和吸纳外界对其要素流的输入，循环

内化的能力不高，因此呈现出无序扩张的态势，各种矛盾较为突出。在城乡界面发展的

高级阶段，其内部循环功能较为强大，逐渐将其从外界吸取的物质能量进行内化，并积

累成为自身发展的动力，其发展的无序度逐渐改善，结构得以优化，发展质量迅速提高。

4.3 开关模型求解及含义

4.3.1 开关模型的求解 开关模型是在动态模型的基础上加入开关项，其模型求解同动态

2291

地 理 研 究 35卷

模型，其平衡解为：

ye =2α - xin(t)k + γxin(t)

（22）

开关模型的通解为：

y(t)= éëê

ùûúC - xex(t)

k + γxin(t)e[ ]k + λxin(t) t

+xex(t)

k + γxin(t)（23）

4.3.2 开关模型解的含义 开关模型的通解存在以下两种情况：

（1）当 ΔxΔt

≤C0 时， γ = 1，开关打开，式（9）的平衡解同式（2）。

这种情况一般发生在城乡界面达到其均衡态之前。此时，城乡要素流动较为通畅，政府、企业和个人会通过各种方式尽可能地保障界门打开，甚至会创造出新的界门。譬如，政府会通过户籍政策、社会保障制度的改革拓宽界门，通过交通路网等基础设施的完善增加物质、能量、信息界门；企业通过重新选定投资区位、人力资源政策的调整等措施拓展资本的流通通道；个人受到上述两方面的影响，通过其社会脉络对更为隐性的社会性界门产生影响。

（2）当 ΔxΔt

> C0 时， γ = 0 ，开关关闭，这时平衡解为 ye =xex(t)

k，式（9）的解为

y(t)= éëê

ùûúC - xex(t)

kekt +

xex(t)k

（24）

这种情况一般发生在达到城乡界面均衡态之后。此时如若不加限制地任由要素盲目交换，则可能导致城市的过度膨胀和城市边界的无限蔓延，乡村要素被侵蚀以及城乡界面的无序不协调发展。因此，在城乡界面达到均衡态以后，应该发挥城乡界面界壁的卫护作用，卫护城市、乡村、城乡界面自身的稳定状态，重在内部结构的调整。然而，界门的关闭相对于界门的开启而言难度更大，往往并不是自发的，一方面是由于惯性的作用，界门的关闭并不是一蹴而就的，而是一个较为缓慢的过程；另一方面，界门的闭合更多地需要外力的作用，尤其是政策的效应，在城乡界面发展水平达到临界状态时，系统的自组织性受惯性的影响往往不会自动地收缩，这时就需要政策的外力予以推动，如果不予干涉，任其自由发展，城乡界面继续加速发展，则可能会导致城市的无限扩张、城乡界面发展的不协调以及乡村文明被侵蚀甚至消亡等问题。

5 结论与讨论

5.1 结论城乡界面是城市和乡村地域交界和要素交流的区域，既是农村走向城市的重要窗

口，又是城市辐射农村的桥头堡。城乡界面的发展对城乡协调发展具有重大意义，同时，城乡发展协调又反过来作用于城乡界面的发展。因此，对城乡界面的研究不应该将其和城市、乡村系统割裂开来，而应将三者置于统一的研究框架之下。本文在创建城乡界面理论模型的基础上，基于系统动力学构建了其数理模型，通过对模型求解及对解的分析，得出如下结论：

（1）在发展的不同阶段，城乡界面都受到内生动力和外生动力的影响，但不同阶段二者影响作用的主次不同。在城乡界面形成的初期，城市和乡村要素交流较少，对城乡界面的影响较弱，其发展动力主要来自于内生动力；随着城乡界面的发展，外生动力逐渐增大，内生动力和外生动力共同起作用，且随着二者差距的缩小，城乡界面的发展速

2292

12期 乔家君 等：城乡界面动态模型研究

度加快；城乡界面达到均衡态之后，外生动力逐渐缩小，内生动力又逐渐成为其发展主要动力，但不同于城乡界面形成初期，内生动力不再是被动的，而表现为主动的，自发地调整城乡界面的结构，使其发展质量得以提高。

（2）城乡界面不同发展阶段的动态效应取决于城乡界面循环积累能力，循环积累能力与城乡界面效应成正相关关系。在城乡界面形成初期，循环积累能力较弱，城乡界面效应较小，甚至可能出现负效应，呈现出无序发展的状态；在城乡界面发展的中后期，随着循环积累能力的增大，负效应转为正效应，且逐渐增大，在现实中表现为多种效应，如正边缘效应、加成效应、协和效应等[36]，城乡界面从无序发展到协调发展。

（3）城乡界面的平衡状态受到城乡要素流动、自身内生动力和对外生动力的循环累积能力的共同影响。根据对随机动态模型的研究发现，对某一城乡界面而言，随机噪声项影响城乡界面达到平衡态的速度，而其平衡态是恒定的。而动态模型的平衡解进一步刻画了对于不同空间尺度和规模的城乡界面而言，其平衡态并不完全相等。

（4）通过对城乡界面动态模型增加开关项，揭示城乡界面反作用于城市和乡村系统的内在机理。本研究讨论了界门启闭的两种情况，界门何时启闭取决于城乡界面是否达到其平衡态的临界值。在达到平衡态之前， γ = 1，开关开启。此时城乡界面与城乡系统

的要素流交换通道较为通畅，城乡界面的发展与交换率成正比，受到输入率的显著影响；在达到平衡态之后， γ = 0 ，开关关闭。此时，为防止城市的过度膨胀，乡村要素被

侵蚀以及城乡界面的无序发展，应关闭界门，缩小通道效应，发挥城乡界面界壁的卫护作用。5.2 讨论

时间尺度看，城乡界面动态模型显示不同发展阶段的城乡界面发展动力、效应及界门作用，因此应根据城乡界面发展的不同阶段，采取相应措施。① 在城乡界面产生初期至达到均衡态之前，应通过政策调整，打通城乡交流的界门和通道，以刺激城乡要素的交换和在城乡界面的沉淀。由于经济要素是其他要素的基础和先导，经济界门打开，城乡之间的交通界门、能量界门、文化界门都会随之开放，城乡之间沟通的通道会更加通畅，因此，可以通过刺激经济界门的开放来打通多个城乡界门。中国众多经济技术开发区和城市近郊新区的发展就属于此类情况。② 在城乡界面达到均衡态之后，城乡要素交流得过于频繁可能会导致城乡界面的无序发展，表现为人口结构、土地利用、社会秩序、生态环境等多方面的不协调发展。此时应采取措施推动界门的关闭，降低城乡要素的交流，如通过人口制度、社会福利制度等使城市、乡村和城乡界面的居民平等地享受发展红利；通过创新管理体制，改善城乡界面“三交叉”、“三不管”的管理漏洞，维护良好的社会秩序；通过土地制度改革，兼顾效率与公平，将土地供应量进行空间分配、效率分配和时序分配，使失地农民享受货币补贴和其他福利补贴；通过规划、投资政策的制定，创造合理的空间功能、完善的基础设施、良好的生产、生活、生态环境，使城乡界面发挥其调节城乡两大系统的生态位作用。

空间尺度看，城乡界面发展的均衡态有所不同，发展定位与模式也应有别。一般来说，城乡界面有中心城市边缘区、县域和乡镇等不同的空间尺度，使其面临的问题也不一样，应采用包容性治理理念，制定各有侧重的发展策略。① 对于中心城市边缘区，中心城市对城乡界面的辐射力要大于周边乡村的集聚力，其发展定位趋向于城市偏向，发展模式应以城市辅助功能为主，如：以产业功能为主的产业园区、以商业功能为主的城市特色休闲区、以教育文化功能为主的大学城、以居住功能为主的新型住宅区等。② 从县域尺度来说，县域处在城乡融合的交汇点上，同时受到“自上而下”的拉力和“自下

2293

地 理 研 究 35卷

而上”的推力的作用，要素交流频繁，因此，县域的发展是中国近期及未来相当一段时间发展的活跃区域。对于县域尺度这一界面来说，应结合当地的实际情况，尤其是县域自然资源、区位、交通、产业、文化等优势资源，打造特色城镇，凸显差异，缩小差距，使其真正成为城乡协调发展的新高地。③ 从乡镇尺度来说，乡镇是联系乡村与城镇的关键节点，是城乡协调的重要据点。由于大多数乡镇从地域上更接近乡村，功能上也受到乡村的影响较大，因此与中心城市边缘区不同，其定位应为乡村偏向型，应大力发展绿色屏障的生态模式，如休闲观光农业区、多功能农业或替代农业区、乡村旅游度假区、特色村落文化区等。新型城镇化并不仅仅是城市地域的扩张和人口的增长，更重要的是在保护传统乡村文化的基础上推进城市文明，使那些即使留在农村的居民也能过上类似于城市文明的生活，这样才能真正实现城乡一体化的理想态。

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Research on dynamic model of urban-rural interface

QIAO Jiajun1,2,3, MA Yuling2

(1. Key Research Institute of Yellow River Civilization and Sustainable Development & Collaborative

Innovation Center on Yellow River Civilization, Henan University, Kaifeng 475001, Henan, China; 2. College

of Environment & Planning, Henan University, Kaifeng 475001, Henan, China; 3. Research Center of

Regional Development and Planning, Henan University, Kaifeng 475001, Henan, China)

Abstract: The spatial location of the urban-rural interface (URI) is at the junction of urban andrural areas. In function, URI is the spatial carrier of communication for urban and ruralelements. The development of URI is of great significance to the coordination of urban andrural areas. First, from the perspective of elements flow, this research established a theoreticalframework of URI, which is based on system dynamics, to extend the urban and rural system toa three-body framework: urban area-URI-rural area. In this framework, the structure of urban

2296

12期 乔家君 等：城乡界面动态模型研究

and rural system is composed of three subsystems including urban system, URI system andrural system. And among them, URI system has its unique structure and function. From thismeaning, URI consists of three parts including boundary wall, interface and boundary gate. Forits function, it mainly plays the role of defense and exchange in the urban and rural system. Theformation mechanism of URI reflects the forces of urban and rural systems to URI, and theinteraction mechanism reflects the reaction of URI to urban and rural systems. Second, on thebasis of the theoretical model, we built a quantitative model to characterize the dynamicevolution mechanism of URI by using methods of quantitative geography. The model solutionshows that: (1) In different stages of development, URI is affected by these different degrees ofendogenous and exogenous dynamic power. In early stage of URI's formation, the developmentpower is mainly derived from endogenous dynamics. With the development of URI, exogenousdynamics increased gradually, and functioned with endogenous dynamics. Moreover, the gapbetween two dynamics is narrowed and the development of URI is accelerated. After URIachieves the equilibrium, exogenous dynamics reduce gradually and endogenous dynamicsbecome the main driving force. (2) With the development of URI, the effects transited fromnegative to positive. The value of effects depends on the cyclic accumulation capacity of URIitself. In early stage of URI's formation, the ability of cyclic accumulation is weak, so the effectof URI is minor, and may even be negative. With the increasing ability of the cyclicaccumulation, the negative effect transfer to positive one and increase gradually. (3) Thebalancing condition of URI is mutually affected by the exchange rate, endogenous dynamicsand cyclic accumulation ability of urban- rural elements. The equilibrium of a certain URI isstable and has spatial scale effects. According to the research on the stochastic dynamic model,we found that the random noise term would influence the speed of equilibrium state of certainURI, instead of the equilibrium state itself, which proved the argument that the equilibriumstate of a certain URI is stable. Equilibrium solutions of the dynamic model further characterizethat its equilibrium state is not exactly equal at different spatial scales. (4) The switch modeldepicts the function of boundary gate, and the interface equilibrium is the critical point todecide whether we switch the gate open or closed. When the boundary gate is open or closeddepends on whether URI reaches the critical value of its equilibrium state. According to theabove conclusions, the paper puts forward policy recommendations respectively from temporaland spatial scales. From the temporal perspective, because of the impetus, the effect of URI andthe role of boundary gate are different in different development stages of URI, we should takediscretionary measures. From the spatial perspective, the equilibrium of URI is different atdifferent spatial scales, so different development policies should be implemented at differentspatial scales of URI.Keywords: urban-rural interface; boundary gate; dynamic model; switch model

2297