matematicipenet.files.wordpress.com · Cuprinsul cursului Unitatea de învăţare 1 1. Serii...
Transcript of matematicipenet.files.wordpress.com · Cuprinsul cursului Unitatea de învăţare 1 1. Serii...
Cuprinsul cursului
Unitatea de învăţare 1
1. Serii numerice ..........................................................................................................................
1.1 Obiectivele unităţii de învăţare 1 .........................................................................................
1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice .........................................................
1.3 Serii clasice,serii cu termeni oarecare,serii alternate
1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta ................................................................
Teste de autoevaluare................................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 1 .............................................................................................
Unitatea de învăţare 2
2. Serii de puteri
2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2 ........................................................................................
2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri ....................................................................
2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ............................
Teste de autoevaluare................................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 2 .............................................................................................
Lucrarea de verificare nr. 1 ......................................................................................................
Unitatea de învăţare 3
3. Funcţii de mai multe variabile reale
3.1 Obiectivele unităţii de învăţare 3 .........................................................................................
3.2 Definiţia limitei şi continuităţii pentru o funcţie de mai multe variabile reale
3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I si II pentru o funcţie de mai multe variabile
reale
3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale ..........................
3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale…………………………
3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor………………………………
Teste de autoevaluare ................................................................................................................
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 3 ..............................................................................................
Lucrarea de verificare nr.2 ........................................................................................................
Unitatea de învăţare 4
4.Calcul integral
4.1 Obiectivele unităţii de învăţare 4…………………………………………………
4.2 Clasificarea integralelor euleriene ......................................................................................
4.3 Definiţii şi proprietati ale integralelor euleriene ..................................................................
4.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ....................................................
Teste de autoevaluare ................................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 4 ..............................................................................................
Lucrarea de verificare nr. 3 .......................................................................................................
Unitatea de învăţare 5
5. Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente
5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5 ..........................................................................................
5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati ....................................................................
5.3 Scheme probabilistice clasice ..............................................................................................
5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ....................................................
Teste de autoevaluare ................................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 5 ..............................................................................................
Lucrarea de verificare nr. 4........................................................................................................
Unitatea de învăţare 6
6. Variabile aleatoare
6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6 ........................................................................................
6.2 Variabile aleatoare unidimensionale ..................................................................................
6.3 Variabile aleatoare bidimensionale………………………………………………
6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice………………………………………
6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ..................................................
Teste de autoevaluare ................................................................................................................
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 6 ..............................................................................................
Lucrarea de verificare nr.5 ........................................................................................................
Unitatea de învăţare 7
7. Statistica matematică
7.1 Obiectivele unităţii de învăţare 7
7.2 Elemente de teoria selecţiei .................................................................................................
7.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ..................................................
Teste de autoevaluare ................................................................................................................
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 7 ..............................................................................................
Lucrarea de verificare nr.6 ........................................................................................................
Unitatea de învăţare 8
8. Matematicax financiara
8.1 Dobanda simpla
8.2 Dobanda compusa
Prefaţă
Acest material isi propune efectuarea asistată a sarcinilor de invatare (acumularea si
intelegerea informatiilor aferente disciplinei Matematica, interpretarea modului de evaluare
si asigurarea unei pregatiri adecvate), precum si recuperarea şi ameliorarea dificultăţilor în
învăţare. Lucrarea “Matematica" dezvoltă numeroase probleme teoretice şi practice, care fac
obiectul cursurilor de matematică sau de statistică economică ale studenţilor din
învăţământul economic şi în particular ale studenţilor înscrişi la programul de studiu
remedial realizat de catre Facultaţile de Management si de Marketing.
Fiind subordonate programei analitice a disciplinei “Matematici aplicate în
economie” de la Academia de Studii Economice Bucureşti, , anul I, , noţiunile şi conceptele
prezentate în lucrare apar, în mod firesc, într-o succesiune logică şi sunt supuse unor
restricţii temporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltări teoretice limitate.
Obiectivele principale ale acestui curs, concretizate în competenţele pe care
studentul le va dobindi după parcurgerea şi asimilarea lui, sunt următoarele:
- va avea cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar şi de tehnici specifice
matematicii aplicate;
- va fi în măsură să construiască, să prelucreze şi să valorifice o teorie economică
relevantă, credibilă şi inteligibilă, numai în condiţiile în care stăpâneşte deopotrivă
cunoştinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinice cunoştinţe de matematici aplicate în
economie
- va dispune de numeroase soluţii pentru eficientizarea managementului la nivel
micro şi macroeconomic în vederea practicării în condiţii de performanţă a muncii de
economist;
- va putea aborda, înţelege şi dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de
specialitate, precum şi alte concepte legate de modelarea matematică a unor procese sau
fenomene economice dintre cele mai diverse.
Actitatea remediala “Matematca ” este structurata pe opt unităţi de învăţare
(capitole), fiecare dintre acestea cuprinzând câte o lucrare de verificare.
Nutrim speranţa ca studenţii din anul I, de la programul remedial de matematica,
Facultaţile de Management si de Marketing, să găsească în această lucrare un sprijin real şi
important pentru studiu şi cercetare, pentru viitoarea lor profesie, ce le va solicita şi
cunoştinţe de matematica
Autorii
UNITATEA DE INVĂŢARE 1:
Serii numerice
Cuprins
1.1 Obiectivele unităţii de învăţare 1 .......................................................................................
1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice ........................................................
1.3 Serii cu termeni oarecare, serii alternate, serii clasice
1.4 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă ..............................................................
Teste de autoevaluare ...............................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 1
1.1 Obiective
Unitatea de învăţare 1 conţine o prezentare într-o formă accesibilă, dar riguroasă a noţiunii de
serie numerică din cadrul analizei matematice, care fundamentează teoretic noţiunea de serie de puteri,
un alt element de bază al analizei matematice, ce va fi expus în unitatea de invăţare 2.
După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunoştinţe despre:
- conceptul de serie numerică, necesar si extrem de util, pentru a putea modela matematic
anumite procese sau fenomene economice, dintre cele mai diverse;
- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii numerice” şi al
lucrărilor de verificare ale studenţilor din învăţământul economic din anul I, Management si de
Marketing din Academia de Studii Economice, Bucureşti.
1.2 Definiţii si proprietăţi generale ale seriilor numerice
Fie
1nna o serie numerică de termen general na .
Definim şirul sumelor parţiale 1)( nnS ,
n
kkn aS
1
.
Definiţia 1. Seria
1nna este convergentă dacă şirul 1)( nnS este convergent.
În acest caz, numărul nn
SS
lim se numeşte suma seriei.
Dacă
nn
Slim sau 1)( nnS nu are limită, atunci seria
1nna este divergentă.
1.3 Serii cu termeni oarecare, serii alternate, serii clasice
Criteriul suficient de divergenţă.
Dacă 0lim
nn
a , atunci seria
1nna este divergentă.
Criteriul lui Leibniz.
Fie seria alternată .0 ,)1(1
n
nn
n aa Dacă :
)a şirul 1)( nna este descrescător şi
)b 0lim
nn
a , atunci seria
1
)1(n
nna este convergentă.
Serii clasice
1) Seria geometrică
0n
nq este convergentă 1,1 q şi are suma q
S
1
1 .
2) Seria armonică generalizată
1
1
n n este convergentă 1 .
Teste de autoevaluare
I. Să se determine natura şi dacă este cazul să se calculeze suma seriilor:
1. .0,1
1
1
n nn
2.
1 23
13ln
n n
n 3.
111 83
83
nnn
nn
\
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare
1. .0,1
1
1
n nn
Rezolvare:
Considerăm şirul sumelor parţiale:
n
k
n
k
n
kkn
kk
kkaS
111 1
1
1
1
1...3221 nn
nn
n SnS lim11 , deci şirul 1)( nnS este divergent.
Conform definiţiei, rezultă că seria este divergentă.
2.
1 23
13ln
n n
n.
Rezolvare:
n
k
n
kn kk
k
kS
11
)23ln()13ln(23
13ln
)23ln(2ln)23ln()13ln(...8ln5ln5ln2ln nnn
nn
Slim , prin urmare seria este divergentă.
3.
111 83
83
nnn
nn.
Rezolvare:
08
1
18
38
18
38
limlim1
1
n
n
nn
nn
na
; conform criteriului suficient de divergenţă, rezultă că seria este
divergentă.
Bibliografia unităţii de învăţare 1:
1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.
Editura CISON, Bucureşti, 2007
2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,
Editura. Teocora, Buzau, 2009
3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,
Editura.Plus, Bucureşti, 2005
4 .I. Purcaru, Matematici generale si elemente de optimizare,
Editura Economică, Bucureşti, 1997.
UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2
Serii de puteri
Cuprins
2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2 ...........................................................................................
2.2 Definiţia noţiunii de serie de puteri .......................................................................................
2.3 Studiul naturii unei serii de puteri
2.4 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...............................
Teste de autoevaluare ...................................................................................................................
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare .....................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 2 ................................................................................................ Lucrarea de verificare nr. 1………………………….………………...……
2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2
Fiind în strânsă concordanţă cu programa analitică a disciplinei „Matematici aplicate în
economie”, de la Academia de Studii Economice Bucuresti, pentru studenţii de la Management si de
Marketing, noţiunile si conceptele prezentate în cadrul acestei unităţi de învăţare apar, în mod firesc,
într-o succesiune logică şi sunt supuse unor restricţii temporale inevitabile, care conduc adeseori la
dezvoltări teoretice limitate.
După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunoştinţe despre:
- conceptul de serie de puteri, un alt element de bază al analizei matematice, legat de studiul
seriilor numerice, necesar şi extrem de util, pentru a putea aborda, înţelege şi dezvolta diverse
probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultăţii de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de
Valori, căreia ne adresăm;
- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii de puteri” şi al
lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, Management si de
Marketing din Academia de Studii Economice, Bucuresti
2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri
Fie seria de puteri n
nn xa
1
, Se numeşte mulţime de convergenţă a seriei de puteri mulţimea formată
din punctele în care seria este convergentă: C { n
nn xaRx
1
convergentă}.
Teorema 1 (Teorema lui Abel). Pentru orice serie de puteri n
nn xa
1
există R , R0 , astfel
încât:
)1 seria este absolut convergentă pe intervalul RR, ;
)2 seria este divergentă pe mulţimea ,, RR ;
)3 pentru orice Rr ,0 , seria este uniform convergentă pe intervalul
rr, .
Observaţie. R se numeşte rază de convergenţă.
Teorema 2 (Cauchy-Hadamard). Fie n
nn xa
1
o serie de puteri şi R raza de convergenţă a
acesteia. Dacă notăm nn
na
lim , atunci
,0
0,
0,1
R .
Observaţie. Se poate calcula şi după formula: n
n
n a
a 1lim
.
2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Să se studieze convergenţa seriei de puteri: Rxxnn
n
n
n
,5
11
1
.
Rezolvare:
Calculăm raza de convergenţă. Fie n
nn
na
5
11
. Avem că:
5
1
)1(5lim
5
11
5)1(
11
limlim
1
1
1
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
nn
n
n
, deci 51
R .
Conform teoremei lui Abel, rezultă că:
1) seria este absolut convergentă pe intervalul 5,5 ;
2) seria este divergentă pe mulţimea ,55, ;
3) pentru orice 5,0r , seria este uniform convergentă pe rr, .
Studiem natura seriei pentru 5R :
Pentru 5R , seria de puteri devine: n
nn
n
n5
5
11
1
, adică nn
n 11
1
;
şirul n
un1
este descrescător şi are limita zero; rezultă, conform criteriului
lui Leibniz, că seria nn
n 11
1
este convergentă.
Pentru 5R , seria de puteri devine: n
nn
n
n)5(
5
11
1
, adică
1
1
n n, care este divergentă (seria armonică).
În concluzie, seria de puteri este convergentă pe mulţimea 5,5 .
2. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:
Rxxn
n
n
nn
,356
12
1
.
Rezolvare:
Notăm 3 xy .
Determinăm mai întâi mulţimea de convergenţă a seriei
1 56
12
n
nn
yn
n .
Calculăm raza de convergenţă. Fie n
nn
na
56
12. Avem:
3
1
56
12limlim
n
n
n
nn
n n
na , deci 3
1
R .
Conform teoremei lui Abel, avem:
)1 seria este absolut convergentă pe intervalul 3,3 ;
)2 seria este divergentă pe mulţimea ,33, ;
)3 pentru orice 3,0r , seria este uniform convergentă pe rr, .
Studiem natura seriei pentru 3y :
Pentru 3y , seria de puteri devine:
1
356
12
n
nn
n
n , sau
1 56
36
n
n
n
n .
Fie n
nn
nu
56
36; avem: 0
56
81limlim 3
456
8lim
ee
nu
n
n
n
n
nn
n, deci, conform criteriului
suficient de divergenţă, seria este divergentă.
Pentru 3y , seria devine:
1
)3(56
12
n
nn
n
n, sau
1 56
361
n
nn
n
n.
Fie n
nn
n
nv
56
361 ; deoarece nu există n
nv
lim , rezultă că şirul 1nnv este divergent, deci seria
este divergentă.
În concluzie, seria de puteri este convergentă pentru 3,3y
6033333 xxy . Rezultă că
mulţimea de convergenţă a seriei
1
356
12
n
nn
xn
n este 6,0 .
Teste de autoevaluare
1.Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri
1
2)4(3
n
nnn
xn
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
1. Rezolvare:
Notăm 2 xy . Vom determina mai întâi mulţimea de
convergenţă a seriei.
1
)4(3
n
nnn
yn
Calculăm raza de convergenţă. Fie 1,)4(3
nn
ann
n.
nn
nn
nnn
nn
nn
n
n n
n
n
n
a
a
)4(3
)4(3
)1(lim
)4(3
1
)4(3
limlim11
11
1
4
14
1)4(
1)4(
)1(lim
4
3
1
4
31
R
n
n
nn
nn
n
Conform teoremei lui Abel, rezultă că:
1) seria este absolut convergentă pentru
4
1,
4
1y ;
2) seria este divergentă pentru
,
4
1
4
1,y ;
3) pentru orice
4
1,0r , seria este uniform convergentă pe intervalul rr, .
Studiem natura seriei pentru 4
1y :
Pentru 4
1y , seria de puteri devine:
1 4
1)4(3
n
nnn
n, adică
1
11
4
31
n
nn
nn
. Avem că seria
1 4
31
n
n
n
este convergentă
(folosind criteriul raportului) şi seria
1
11
n
n
n este convergentă (folosind criteriul lui Leibniz), prin
urmare seria este convergentă.
Pentru 4
1y , seria de puteri devine:
1 4
1)4(3
n
nnn
n
, adică
1
1
4
311
n
nn
nn
. Notăm
*,4
311 Nn
nb
nn
n
*,1
Nnn
cn şi *,1
4
311 Nn
nnd
nn
n
. Avem că seria
1nnb este
convergentă (folosind criteriul lui Leibniz). Dacă presupunem că seria
1nnd este convergentă,
deoarece *, Nnbdc nnn , rezultă că şi seria
1nnc este convergentă,
contradicţie. Prin urmare seria
1nnd este divergentă.
În concluzie, seria
1
)4(3
n
nnn
yn
este convergentă pentru
4
7
4
9
4
12
4
1
4
1
4
1
4
1,
4
1
xxyy .
Am obţinut că mulţimea de convergenţă a seriei este
4
7,
4
9 .
Bibliografia unităţii de învăţare 1:
1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.
Editura CISON, Bucureşti, 2007
2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,
Editura Teocora, Buzau, 2009
3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,
Editura Plus, Bucureşti, 2005
4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,
Editura Economică, Bucureşti, 1997.
Lucrarea de verificare nr. 1
1. Să se determine natura si sa se calculeze suma seriei
22 1
1
n n
2. Să se determine natura seriei
1 5
1
nnn
3. Sa se calculeze multimea de convergenta a seriei
Rxxnn
n
n
n
,
312
11
1
1
UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 3
Funcţii de mai multe variabile reale
Cuprins
3.1 Obiectivele unităţii de învăţare 3
3.2 Definiţia limitei si continuitatii pentru o funcţie de mai multe variabile real
3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I şi II pentru o funcţie de doua variabile
3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale
3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale
3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
Teste de autoevaluare
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
Bibliografia unităţii de învăţare 3
Lucrarea de verificare nr.2
3.1 Obiective
Economiştii, indiferent de domeniul în care lucrează, au nevoie de cunostinţe solide de strictă
specialitate, dar şi de tehnici specifice matematicii aplicate, cum ar fi noţiunile pe care ni le propunem
să le prezentăm în cadrul unităţii de învăţare 3. Informaţia economică trebuie să fie relevantă,
credibilă, inteligibilă - calităţi, care sunt asigurate numai atunci când economistul care o construieşte,
o prelucrează si o valorifică, stăpâneste deopotrivă cunostinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinice
cunoştinţe de matematici aplicate în economie.
După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre funcţiile de 2 si
respectiv 3 variabile reale şi despre conceptele asociate lor, precum: limitele lor, continuitatea acestora,
derivabilitatea parţială a respectivelor funcţii si diferenţiabilitatea lor; ele reprezintă un alt element
important al analizei matematice, necesar şi extrem de util, pentru a putea aborda, înţelege şi dezvolta
diverse probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultăţii Management si de Marketing
căreia ne adresăm.
Prin introducerea unitatii de invatare 3, subordonată analizei matematice, nutrim speranţa
ca studentul de la anul I, ID, Management si de Marketing, , să obţină acumulări de noi
cunoştinţe utile disciplinelor specifice anilor de licenţă, de la această facultate, în vederea
formării lui ca viitor economist, ce urmează să practice profesia de economist în condiţii de
performanţă.
3.2 Definiţia limitei si continuităţii pentru o funcţie de două variabile
Definiţia 1. Fie RRAf m : o funcţie reală de m variabile reale. Spunem că
lxfxx
)(lim0
dacă pentru orice şir 0,)( xxAx nNnn şi 0lim xxnn
avem
lxf nn
)(lim .
Definiţia 2. Fie RRAf 2: şi Aba ),( .
Spunem că f este continuă în punctul ),( ba dacă pentru orice şir Ayx Nnnn ),(
cu proprietatea că ),(),(lim bayx nnn
rezultă că ),(),(lim bafyxf nnn
.
3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I §i II pentru o funcţie de doua variabile
Definiţia 3. Fie RRAf 2: şi Aba ),( .
Spunem că funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în punctul Aba ),( dacă
ax
bafbxf
ax
),(),(lim există şi este finită.
Vom nota această limită cu ),(' baf x sau x
baf
),(.
Analog, funcţia f este derivabilă parţial în raport cu y în punctul Aba ),( dacă
by
bafyaf
by
),(),(lim există şi este finită.
Vom nota această limită cu ),(' baf y sau y
baf
),( .
3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile .
Definiţia 4. Fie RRAf 2: o funcţie diferenţiabilă în punctul ),( ba interior lui A .
Se numeşte diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei f în punctul ),( ba
funcţia liniară: dybadxbabybafaxbabayxdf fff yxyx),(),())(,())(,(),;,(
'''' .
Se numeşte diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în punctul
),( ba funcţia: ),(),;,(
)(
bafdyy
dxx
bayxfd
nn
.
Observaţie. Toate definiţiile valabile pentru funcţii de două variabile RRAf 2: se
pot extinde pentru cazul funcţiilor de n variabile, RRAf n : , 3, nNn .
3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale
Definiţia 1. Funcţia RRAf n : admite un maxim local (minim local) în punctul
Aaaaa n ),...,,( 21 dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât oricare ar fi
AVxxxx n ),...,,( 21 are loc inegalitatea )()( afxf (respectiv )()( afxf ). În
aceste condiţii, spunem că punctul a este punct de extrem local pentru funcţia f . Dacă
inegalităţile de mai sus sunt verificate pe tot domeniul de definiţie A , spunem că punctul
a este punct de maxim (minim) global pentru funcţia f .
Definiţia 2. Fie RRAf n : . Punctul Aaaaa n int),...,,( 21 este punct staţionar
pentru funcţia f dacă f este diferenţiabilă în a şi diferenţiala 0);( axdf .
Observaţie. Dacă punctul Aaaaa n int),...,,( 21 este punct staţionar, 0);( axdf
implică nkafk
x ,1,0)(' .
Propoziţie. Dacă funcţia RRAf n : admite un extrem local în punctul
Aaaaa n ),...,,( 21 şi există 'k
xf într-o vecinătate a punctului a , nk ,1 , atunci
nkafk
x ,1,0)('
Teorema 1. Fie RRAf 2: şi Aba int, un punct staţionar pentru f .
Presupunem că f admite derivate parţiale de ordinul doi, continue pe o vecinătate V a
punctului ba, .
Considerăm expresia bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2''22 . Atunci:
1. Dacă 0),( ba , atunci ba, este punct de extrem local, şi anume:
- punct de minim local, dacă 0),(''2 bafx ;
- punct de maxim local, dacă 0),(''2 baf x .
2. Dacă 0),( ba , atunci ba, este punct şa.
Teorema 2. Fie RRAf n : . Presupunem că punctul Aa este punct staţionar
pentru f şi funcţia f are derivate parţiale de ordinul doi continue pe o vecinătate V
a punctului a . Atunci:
)1 dacă 0;2 axfd , pentru orice AVx , atunci a este punct de
maxim local;
)2 dacă 0;2 axfd , pentru orice AVx , atunci a este punct de
minim local;
)3 dacă axfd ;2 este nedefinită, atunci a este punct şa.
Algoritm de determinare a punctelor de extrem local pentru RRAf n :
Acest algoritm se aplică pe mulţimea punctelor în care funcţia f este diferenţiabilă şi
admite derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctelor respective.
Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:
0,...,,
.....................................
0,...,,
0,...,,
21'
21'
21'
2
1
nx
nx
nx
xxxf
xxxf
xxxf
n
Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Acest lucru
se poate realiza în mai multe moduri:
Metoda I. Pentru fiecare punct staţionar naaaP ,...,, 21 calculăm
matricea hessiană:
nxnxxnxx
nxxnxnxx
nxxnxxnx
n
aafaafaaf
aafaafaaf
aafaafaaf
aaaH
nnn
n
n
,..,.........,..,,..,
......................................
,..,.........,..,,..,
,..,........,..,,..,
),...,,(
1''
1''
1''
1''
1''
1''
1''
1''
1''
21
2
21
2
2
212
121
2
1
şi minorii acesteia n ,......,, 21 , unde i este minorul format din primele i linii şi i
coloane ale matricei ),( baH , ni ,1 .
Discuţie.
Dacă toţi minorii 0i , atunci ),...,,( 21 naaaP punct de minim local.
Dacă minorii i alternează ca semn, începând cu minus, atunci
),...,,( 21 naaaP este punct de maxim local.
Orice altă combinaţie de semne, cu 0i , implică
),...,,( 21 naaaP punct şa.
Metoda II. (aplicabilă numai funcţiilor de două variabile)
Pentru fiecare punct staţionar baP , calculăm expresia:
bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2''22 .
1. Dacă 0, ba , atunci ba, este punct de extrem local,
şi anume:
- punct de minim local, dacă 0,''2 bafx ;
- punct de maxim local, dacă 0,''2 bafx .
2. Dacă 0, ba , atunci ba, este punct şa.
Observaţia 1. În cazul funcţiilor de două variabile, se observă că 2, ba . Prin
urmare, dacă aplicând metoda 1 obţinem că 02 , atunci 0, ba , deci, indiferent
de valoarea minorului 1 , rezultă că ba, este punct şa.
Metoda III. Se calculează diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei în punctul staţionar
naaaa ,...,, 21 şi se aplică teorema 2.
Observaţia 2. Existenţa unui punct de extrem local poate fi pusă în evidenţă cu ajutorul
metodelor prezentate numai dacă funcţia f este diferenţiabilă în acel punct şi admite
derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctului respectiv.
În caz contrar sau în cazul în care în urma aplicării metodelor de mai sus nu se poate
preciza natura punctului, se foloseşte:
Metoda IV. Definiţia punctului de extrem local.
3.7 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:
162),(,: 322 xyyxyxfRRf .
Rezolvare:
Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:
0),(
0),(
'
'
yxf
yxf
y
x .
Avem că: xyyxf
yxyxf
y
x
63),(
64),(
2'
'
, prin urmare rezultă sistemul:
0302
032
063
064
2
2
3
22yy
x
xy
yx
xy
yxy
.
Din a doua ecuaţie obţinem: 3,0 21 yy , de unde, prin înlocuire în prima relaţie,
rezultă 2
921 ,0 xx , soluţiile sistemului sunt:
0
0
1
1
y
x ;
32
29
2
y
x.
Am obţinut punctele staţionare: 3,,0,02
921 PP .
Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.
Scriem matricea hessiană:
yxyx
yxyxyxH
ff
ff
yyx
xyx
,,
,,,
''''
''''
2
2
.
Avem: 464,, '''''2 xxxx yxyxfyxf ;
yxfyxyxfyxf yxyyxxy ,664,, ''''''' ;
yxyyxfyxf yyyy 663,, '2''''2 , deci
yyxH
66
64),( . Avem:
03606
64,04
06
64)0,0( 21
H ,
prin urmare 0,01P este punct şa.
036186
64,04
186
643, 212
9
H ,
prin urmare 3,2
92P este punct de minim local.
2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:
7514526),(,: 322 yxyyxyxfRRf .
Rezolvare:
Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:
0),(
0),(
'
'
yxf
yxf
y
x .
Avem că:
5166),(
4512),(
22'
'
yxyxf
xyyxf
y
x, prin urmare obţinem sistemul:
21722
415
22 05166
04512
yx
xy
yx
xy.
Notăm
42, 4
15
2
172
4
15
S
P
PS
PPxySyx
Pentru 2
522
314
152
4
15 ,04,4 ttttPS ,
deci
2
51
2
31
y
x sau
2
32
2
52
y
x.
Pentru 2
522
314
152
4
15 ,04,4 ttttPS ,
deci
2
53
2
33
y
x sau
2
34
2
54
y
x.
Am obţinut punctele staţionare: 23
25
425
23
323
25
225
23
1 ,,,,,,, PPPP .
Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.
Metoda I. Scriem matricea hessiană:
yxyx
yxyxyxH
ff
ff
yyx
xyx
,,
,,,
''''
''''
2
2 .
Avem: yyxfyxf xxx 12,, ''''2 ; yxfxyxfyxf yxyxxy ,12,, '''''' ;
yyxfyxf yyy 12,, ''''2 , deci
yx
xyyxH
1212
1212),( .
05763018
1830,030
3018
1830, 212
523
H , prin urmare
2
5
2
31 ,P este
punct de minim local.
05761830
3018,018
1830
3018, 212
3
2
5
H , prin urmare
2
3
2
52 ,P este
punct şa.
05763018
1830,030
3018
1830, 212
523
H ,
prin urmare 2
5
2
33 , P este punct de maxim local.
05761830
3018,018
1830
3018, 212
3
2
5
H ,
prin urmare 2
5
2
31 ,P este punct şa.
Teste de autoevaluare
Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:
5ln14ln83),(,,0: 222 yxxyyxyxfRf .
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că:
yy
xx
xyyxf
yxyxf
14'
8'
32),(
32),(
. Rezolvăm sistemul:
21432
1832
032
032
0),(
0),(
2
2
14
8
'
'
xyy
xyx
xy
yx
yxf
yxf
y
x
y
x .
Am obţinut un sistem omogen. Înmulţim prima ecuaţie cu 7, pe cea de-a doua cu 4
şi adunăm relaţiile obţinute; rezultă:
08914 22 yxyx . Împărţim această ecuaţie prin 022 yy şi notăm ty
x . Obţinem:
21
278
12 ,08914 tttt . Rădăcina negativă nu convine,
deoarece 0x şi 0y , prin urmare avem xyty
x 22
1 .
Înlocuind xy 2 în 1 , rezultă 1x . Cum 0x , rezultă că singura valoare care se
acceptă este 1x , de unde obţinem 2y .Am obţinut un singur punct staţionar:
2,1P .
Etapa 2. Stabilim dacă punctul staţionar este punct de extrem local.
Avem: 2
28'''' 2,,xxxx yxfyxf ; yxfyxfyxf yxyxxy ,3,, '''''' ;
2
214'''' 2,,yyyy yxfyxf , deci matricea hessiană este:
2
2
2
2
14
8
''''
''''
23
32
,,
,,,
y
x
yyx
xyx
yxfyxf
yxfyxfyxH .
Avem că 0463
310,010
3
3102,1
21121
211
H , prin urmare 2,1P este
punct de minim local.
Bibliografia unităţii de învăţare 3
1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.
Editura CISON,Bucureşti, 2007
2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,
Editura Teocora,Buzau, 2009
3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,
Editura Plus, Bucureşti, 2005
4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,
Editura Economică, Bucureşti, 1997.
Lucrarea de verificare nr. 2
1. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiei
.,,;),(,: 2 RkykxyxfRRf
2. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei
4),(,: 222 yxxyyxfRRf
3. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei
234),,( 234 yxzzyxzyxf
UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 4
Calcul integral
Cuprins
4.1 Obiectivele unităţii de învăţare
4.2 Definiţii si proprietăţi ale integralelor euleriene .................................................................
4.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ..................................................
Teste de autoevaluare ...............................................................................................................
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 4 .............................................................................................
Lucrarea de verificare nr. 3
4.1 Obiectivele unităţii de învatare
Unitatea de învăţare 4 cuprinde noţiuni si concepte, legate de calculul integral, un
alt element deosebit de important al analizei matematice, fără de care nu este posibilă
construcţia unei teorii economice de valoare. Menţionăm că sunt de notorietate modelele
economice, care utilizează rezultate profunde din teoria calculului integral, şi din acest
motiv considerăm că unitatea de învăţare 5 îşi justifică pe deplin tangenţa cu domeniul
economic.
După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre:
- integralele euleriene, care oferă teoriilor economice un aparat matematic
consistent;
- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Integrale
euleriene” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul
I, ID, de la Facultatea Management si de Marketing din Academia de Studii Economice
Bucureşti. Conţinutul acestei unitati de învatare incheie incursiunea noastră în domeniul
analizei matematice si subliniem că el este conform programei analitice a disciplinei de
„Matematici aplicate în economie” de la Academia de Studii Economice Bucuresti,
Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, anul I, ID.
4.2 Definiţii şi proprietăţi ale integralelor euleriene
Integrala gamma:
0
1 0; adxexa xa .
Proprietăţi:
1) 11 .
2) 1,11 aaaa .
3) Nnnn ,!1 .
4)
2
1.
Integrala beta:
1
0
11 0,0;1, badxxxbaba
Proprietăţi:
1) 0,,,, baabba
2)
0,,,
ba
ba
baba .
2)
0
1
1, dx
x
xba
ba
a
.
3) Dacă 1ba , atunci
a
basin
),( .
4.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
Sa se calculeze integralele
1.
0
25 dxexI x .
Rezolvare:
Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx2
1
2
12 .
x 0
t 0
Obţinem: 8
15
2
!56
2
1
2
1
2
1
2 660
5
60
5
dtetdte
tI tt .
2.
0
2
dxeI x (integrala Euler-Poisson).
Rezolvare:
Folosim schimbarea de variabilă: dttdxtxtx 21
21
212 .
x 0
t 0
22
1
2
1
021
021 2
1
2
1
dtetdtteI tt .
3. 1
0
38 1 dxxxI .
Rezolvare:
Facem schimbarea de variabilă dttdxtxtx 3
2
3
1
3
13 .
x 0 1
t 0 1
12
1
)5(
)2()3(
3
12,311
1
03
11
0
2
3
1
3
1 3
2
3
8
dtttdttttI
Teste de autoevaluare Să se calculeze următoarele integrale:
1.
1
11 dxexI x. 2.
1
0 3 2 1 xx
dxI .
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
1. Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx 11 .
Intervalul de integrare se modifică după cum rezultă din tabelul de mai jos:
x 1 t 0
Obţinem: dtetI t
0
2
1
. Prin identificare cu formula de definiţie a integralei gamma,
rezultă 2
3
2
11 aa , prin urmare 2
1
2
1
2
1
2
3 I
2.
1
0
1
0 3 2
3
1
3
2
1
1
dxxx
xx
dxI . Prin identificare cu formula de definiţie a
integralei beta, obţinem:
3
1
3
21 aa ; 3
2
3
11 bb , prin urmare, având în vedere definiţia şi
proprietatea 3 pentru integrala beta, rezultă: 3
2
sin,
3
3
2
3
1
I .
Bibliografia unitatii de învatare 4
1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.
Ed. CISON,Bucureşti, 2007
2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,
Ed. Teocora,Buzau, 2009
3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,
Ed.Plus, Bucureşti, 2005
4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,
Editura Economică, Bucureşti, 1997.
Lucrarea de verificare nr. 3
Să se calculeze integralele
1.
1
0
2 dxxx
2.
0
36 dxex x
UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 5
Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente
Cuprins
5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5
5.2 Evenimente, operatii cu evenimente ...................................................................................
5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati ....................................................................
5.3 Scheme probabilistice clasice .............................................................................................
5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...................................................
Teste de autoevaluare ...............................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 5 .............................................................................................
Lucrarea de verificare nr. 4
5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5
Teoria probabilitatilor debutează cu unitatea de învaăţre 5, prin care introducem
noţiunile de experienta si eveniment, prezentăm operaţiile cu evenimente, formulele de
calcul practic pentru probabilitati si schemele probabilistice clasice, toate aceste elemente
fund esenţiale în elaborarea modelelor economice temeinice si fundamentale din domenii
precum: modelarea matematică a unor procese sau fenomene economice dintre cele mai
diverse, gestiunea financiară, asigurări de bunuri si persoane, ingineria financiară.
După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre:
-noţiunile elementare din teoria probabilitatilor, care oferă teoriilor economice un
aparat matematic consistent;
-tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Formule
probabilistice în care apar operaţii cu evenimente” si al lucrărilor de verificare ale
studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatile de Management si
de Marketing din Academia de Studii Economice Bucuresti.
5.2 Evenimente, operatii cu evenimente
Definiţia 1. Se numeşte eveniment orice rezultat al unei experienţe.
Se numeşte eveniment sigur (notat ) evenimentul care se realizează cu
certitudine într-o experienţă.
Se numeşte eveniment imposibil (notat ) evenimentul care nu se realizează
niciodată într-o experienţă.
Definiţia 2. Considerăm două evenimente A , B . Definim:
BA (“ A sau B ”) evenimentul ce constă în realizarea a cel puţin unuia
dintre evenimentele A , B .
BA (“ A şi B ”) evenimentul ce constă în realizarea simultană a
evenimentelor A , B .
A (“non A ”) evenimentul ce constă în nerealizarea evenimentului A .
BA \ evenimentul ce constă în realizarea evenimentului A şi nerealizarea
evenimentului B .
Spunem că BA (" A implică B ") dacă realizarea lui A are ca efect
realizarea lui B .
Definiţia 3. Un eveniment A este eveniment elementar dacă din AB rezultă B
sau AB .
Observaţia 1. Dacă asociem evenimentului sigur ataşat unei experienţe o mulţime ,
atunci se poate realiza o corespondenţă între mulţimea evenimentelor ataşate acelei
experienţe şi mulţimea părţilor lui şi o corespondenţă între operaţiile cu evenimente şi
operaţiile cu mulţimi..
Observaţia 2. Dacă este o mulţime cel mult numărabilă, atunci elementele acesteia
sunt evenimente elementare.
Definiţia 4. Două evenimente A , B sunt incompatibile dacă nu se pot realiza simultan:
BA .
În caz contrar, ele sunt evenimente compatibile.
Fie evenimentul sigur ataşat unei experienţe şi )(P mulţimea părţilor lui .
Definiţia 5. O familie nevidă )( PK se numeşte corp de părţi dacă verifică
axiomele: i) KAKA ;
ii) KBAKBA , .
Observaţie. Dacă înlocuim condiţia ii) prin
ii)' KAKANn
nNnn
, se obţine noţiunea de corp borelian.
Definiţia 6. Se numeşte câmp (câmp borelian) de evenimente evenimentul sigur
înzestrat cu un corp (corp borelian) K de evenimente.
Vom nota acest câmp de evenimente K,
5.3 Formule de calcul practic pentru probabilitati
Definiţia 1. (definiţia clasică a probabilităţii) Se numeşte probabilitate a evenimentului
A şi se notează )(AP raportul dintre numărul de rezultate favorabile producerii
evenimentului A ( nfav ) şi numărul total de rezultate ale experimentului, considerate egal
posibile ( posn ): pos
fav
n
nAP )( .
Definiţia 2. (definiţia axiomatică a probabilităţii) Considerăm un câmp de evenimente
K, . Se numeşte probabilitate pe câmpul de evenimente K, o funcţie de mulţime
RKP : , care verifică axiomele:
1) 0)( APKA ;
2) 1)( P ;
3) )()()(,, BPAPBAPBAKBA .
Definiţia 3. Un câmp de evenimente K, înzestrat cu o probabilitate P se numeşte
câmp de probabilitate şi se notează PK ,, .
Propoziţia 1. (Proprietăţi ale funcţiei probabilitate)
1) KAAPAP ),(1)( .
2) KBABAPBPABP ,),()()\( .
3) 0)( P .
4) KAAP ,1)(0 .
5)
n
i
i
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
n
i
i APAAAPAAPAPAP1
1
1111
)1(.....)()()(
(formula lui Poincaré).
Observaţia 1. Dacă evenimentele nAAA ,...,, 21sunt incompatibile două câte două, atunci
formula 5) devine: 5')
n
i
i
n
i
i APAP11
)( .
Observaţia 2. În cazul 2n , formula lui Poincaré devine:
),(),()()(
),(),()()(
ecompatibilBABABAPBPAP
ileincompatibBABABPAPBAP
6) )1()(11
nAPAPn
i
i
n
i
i (inegalitatea lui Boole).
Definiţia 4. Fie PK ,, un cămp de probabilitate şi KA , a.î. 0)( AP . Se numeşte
probabilitate condiţionată de evenimentul A a evenimentului B expresia:
0)(,)(
)()/(
BP
BP
BAPABP .
Definiţia 5. Spunem că evenimentele A şi B sunt independente dacă
)()()( BPAPBAP .
Observaţie.
,),/()(
,),()()(
dependenteevenimenteBApentruABPAP
teindependenevenimenteBApentruBPAPBAP .
Propoziţia 3. (Formula probabilităţii totale) Fie nAAA ,...,, 21 un sistem complet de
evenimente (adică njijiAA ji ,1,;, şi
n
iiA
1
) şi KX , cu
0)( XP . Atunci )/()()(1
i
n
ii AXPAPXP
.
Propoziţia 4. (Formula lui Bayes) Fie nAAA ,...,, 21 un sistem complet de evenimente
şi KX , cu 0)( XP . Atunci
)/()(
)/()()/(
1i
n
ii
iii
AXPAP
AXPAPXAP
sau
)(
)/()()/(
XP
AXPAPXAP ii
i
.
5.3 Scheme probabilistice clasice
I. Schema lui Poisson
Se consideră n urne, fiecare urnă niU i ,1, , conţinând bile albe şi bile negre. Se
cunosc probabilităţile evenimentelor ca, făcând la întâmplare o extragere din urna
niU i ,1, , să obţinem o bilă albă, respectiv o bilă neagră, probabilităţi notate ip ,
respectiv iq ( 1 ii qp ).
Se extrage câte o bilă din fiecare urnă.
Probabilitatea ca, din cele n bile extrase, k să fie albe şi kn să fie negre, notată
),:( knknP , este: ),:( knknP coeficientul lui kt din polinomul )(tQ , unde
))......()(()( 2211 nn qtpqtpqtptQ .
II. Schema bilei revenite cu două stări (schema lui Bernoulli sau schema
binomială)
Se consideră o urnă care conţine bile albe şi bile negre. Se cunoaşte probabilitatea
)1,0(p ca extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie albă ( pq 1 este
probabilitatea ca la o extragere la întâmplare din urnă să se obţină o bilă neagră).
Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire.
Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi kn să fie
negre, notată ),:( knknP , este: knkk
n qpCknknP ),:( .
Generalizare: Schema bilei revenite cu "m" stări (schema multinomială)
Se consideră o urnă care conţine bile de "m" culori. Se cunosc probabilitatăţile
evenimentelor ca, extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie de culoarea "i",
mi ,1 , probabilităţi notate mppp ,.....,, 21 , cu 1),1,0(1
m
i
ii pp .
Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire.
Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n să fie
de culoarea "1", 2n să fie de culoarea "2",……" mn " de culoarea "m", este:
mnm
nn
mm ppp
nnn
nnnnnP
.......
!........!!
!),....,,:( 21
2121
21.
Observaţie. Schema bilei revenite poate modela o experienţă cu două rezultate posibile:
evenimentele A şi A , având probabilităţile p şi q de a se realiza la orice repetare a
experienţei, cu 1,0, qpqp .
II. Schema bilei nerevenite cu două stări (schema hipergeometrică)
Se consideră o urnă care conţine N bile, dintre care 1N bile albe şi 2N bile
negre. Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire.
Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi kn să fie
negre, notată ),:( knknP , este:
nN
knN
kN
C
CCknknP
21),:( .
Generalizare: Schema bilei nerevenite cu "m" stări
Se consideră o urnă ce conţine N bile de " m " culori, dintre care 1N bile de
culoarea "1", 2N bile de culoarea " 2 ",.., mN bile de culoarea " m ".
Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire.
Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n să fie
de culoarea "1", 2n de culoarea " 2 ",……" mn " de culoarea " m ", este:
nN
n
N
n
N
n
Nm
C
CCCnnnnP
m
m
.........),....,,:(
2
2
1
1
21.
5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculeze
probabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:
)a prima extragere este cu revenire;
)b prima extragere este fără revenire.
Rezolvare:
Notăm 1A - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă albă;
2A - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă albă;
1N - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă neagră;
2N - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă neagră.
Fie X evenimentul ca în cele două extrageri să obţinem bile de culori diferite. Deoarece
evenimentele 21 NA şi 21 AN sunt incompatibile, rezultă că
21212121)( ANPNAPANNAPXP .
)a Dacă extragerile sunt cu revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi
2A sunt independente, prin urmare:
48,025
15
25
10
25
15
25
10)()()()()( 1221 NPAPNPAPXP .
)b Dacă extragerile sunt fără revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi
2A sunt dependente, deci )/()()/()()( 121121 NAPNPANPAPXP .
)/( 12 ANP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă neagră la a doua extragere, ştiind
că la prima extragere s-a obţinut o bilă albă, deci
24
15
)/( 12
urnainramasebiledenr
negrebiledenrANP .
)/( 12 NAP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă albă la a doua extragere, ştiind că
la prima extragere s-a obţinut o bilă neagră, deci
24
15
albe .)/( 12
urnainramasebiledenr
biledenrNAP .
Obţinem că 5,024
10
25
15
24
15
25
10)( XP .
2. Un magazin primeşte într-o zi 10 produse de acelaşi tip, dintre care 5 provin de la
furnizorul 1F , 3 provin de la furnizorul 2F şi restul de la furnizorul 3F . Care este
probabilitatea ca din 4 produse vândute:
)a două să provină de la 2F şi câte unul de la ceilalţi furnizori?
)b toate să provină de la acelaşi furnizor?
)c unul singur să provină de la 3F ?
Rezolvare:
)a Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de trei culori, din
care se fac extrageri fără revenire.
10 produse
Aplicând schema urnei cu bila nerevenită, obţinem:
142857,0)1,2,1:4(7
1
410
12
23
15
C
CCCP .
)b Fie B evenimentul ca toate produsele să provină de la acelaşi furnizor; acesta se
realizează numai atunci când toate produsele provin de la 1F , prin urmare
2
F
3
se
extrag
fără
revenire
5
F
1
3
F
2
1
F
1
2
F
2
1
F
3
4
0238,0)0,0,4:4()(42
1
410
02
03
45
C
CCCPBP .
)c Fie C evenimentul ca )c un singur produs să provină de la 3F .
Se observă că, aplicând schema urnei cu bile de 3 culori, numărul situaţiilor în care se
realizează evenimentul C este destul de mare.
Problema poate fi modelată mai uşor cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori:
bilele albe reprezintă produsele ce provin de la 1F sau 2F , iar bilele negre sunt produsele
care provin de la 3F . Obţinem: 53333,0)1,3:4()(15
8
410
12
38
C
CCPCP .
Teste de autoevaluare
1. Doi studenţi susţin simultan un examen. Probabilitatea ca primul student să
promoveze este 0,8, iar probabilitatea ca al doilea să promoveze este 0,7. Să se calculeze
probabilitatea ca:
)a ambii studenţi să promoveze examenul;
)b exact un student să promoveze;
)c cel puţin un student să promoveze;
)d numai primul student să promoveze.
2. Dintre cele 30 de subiecte recomandate pentru examen de către profesorul de curs,
un student a pregătit 20 de subiecte, pe care le poate prezenta perfect . La examen fiecare
subiect este scris pe câte un bilet, iar studentul trebuie să extragă cinci bilete la întâmplare
şi să prezinte cele cinci subiecte aflate pe bilete. Ştiind că pentru fiecare subiect la care
răspunde corect va primi două puncte şi că nu se acordă nici un punct pentru rezolvări
parţiale, să se determine probabilitatea ca:
)a studentul să primească nota 10;
)b studentul să primească nota 6;
)c studentul să nu promoveze examenul.
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
1. Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori, din
care se fac extrageri fără revenire.
)a Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, 5 să fie rezolvate perfect.
30 subiecte
10 nu pot fi
rezolvate
perfect
20 pot fi
rezolvate
perfect
5
5 pot fi
rezolvate
perfect
0 nu pot fi
rezolvate
perfect
se
extrag
fără
revenire
027198,0)0,5:5(530
010
520
C
CCP .
)b Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, exact 3 să fie rezolvate perfect:
35998,0)2,3:5(530
210
320
C
CCP .
)c Fie C evenimentul ca studentul să nu promoveze examenul, adică să rezolve
perfect 0, 1 sau 2 subiecte:
27283,05,:5530
310
220
530
410
120
530
510
020
2
0
C
CC
C
CC
C
CCkkPCP
k
.
2. Notăm cu A evenimentul ca primul student să promoveze examenul şi cu B
evenimentul ca al doilea student să promoveze.
)a Cum cele două evenimente sunt independente, rezultă că probabilitatea ca ambii
studenţi să promoveze examenul este: 56,07,08,0)()()( BPAPBAP .
)b Probabilitatea ca exact un student să promoveze examenul este:
)()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBAPBABAP
38,07,02,03,08,0 .
)c Probabilitatea ca cel puţin un student să promoveze se scrie:
)()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPBAP
94,07,08,07,08,0 .
)d Probabilitatea ca numai primul student să promoveze se poate calcula astfel:
24,03,08,0 BPAPBAP , având în vedere independenţa celor două
evenimente, sau
24,056,08,0)()(\ BAPAPBAPBAP
Bibliografia unitatii de învatare 5
1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.
Editura CISON, Bucureşti, 2007
2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,
Editura Teocora, Buzau, 2009
3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,
Editura Economică, Bucureşti, 1997.
Lucrarea de verificare nr. 4
1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculeze
probabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:
)a prima extragere este cu revenire;
)b prima extragere este fără revenire.
2. Trei bănci acordă credite pentru finanţarea studiilor cu probabilităţile 0,8; 0,75,
respectiv 0,82, independent una de alta. Un student se adresează tuturor băncilor. Cu ce
probabilitate el va primi:
)a trei răspunsuri favorabile;
)b exact două răspunsuri favorabile;
)c exact două răspunsuri nefavorabile;
)d nici un răspuns favorabil;
)e cel mult două răspunsuri favorabile .
UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 6
Variabile aleatoare
Cuprins
6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6 .......................................................................................
6.2 Variabile aleatoare unidimensionale .................................................................................
6.3 Variabile aleatoare bidimensionale ...................................................................................
6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice ......................................................................
6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ..................................................
Teste de autoevaluare ...............................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................
Bibliografia unităţii de învăţare 6 .............................................................................................
Lucrarea de verificare nr.5
6.1 Obiective
Unitatea de învăţare 6 continuă incursiunea în teoria probabilitatilor, prezentând
variabilele aleatoare. Împreună cu noţiunile importante asociate lor, precum
caracteristicile numerice corespunzătoare acestora, ce sunt de un real folos pentru
practica economică, pentru studiu şi cercetare, pentru realizarea performanţei în viitoarea
muncă de economist si eficientizarea activităţii l la nivel micro si macroeconomic.
După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre:
- noţiunile de variabile aleatoare existente şi conceptele de bază din teoria
probabilitatilor corelate cu ele, toate acestea oferind economiştilor, indiferent de
domeniul în care vor lucra, cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar si tehnici specifice
matematicii aplicate;
- tipul de probleme teoretice şi practice, care fac obiectul cursului de „Variabile
aleatoare ” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul
I, de la Facultatile de Management si de Marketing din Academia de Studii Economice
Bucureşti.
6.2 Variabile aleatoare unidimensionale
Definiţia 1. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate.
O aplicaţie RX : se numeşte variabilă aleatoare dacă
pentru orice Rx avem: KxX )( .
Definiţia 2. Spunem că variabila aleatoare RX : este:
)a discretă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare (adică )(X ) este finită sau
numărabilă;
)b continuă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare este un interval sau o
reuniune finită de intervale din R . Repartiţia unei variabile aleatoare discrete X se reprezintă sub forma unei matrice
având două linii: prima linie conţine valorile pe care le ia variabila aleatoare, iar a doua
linie conţine probabilităţile ca variabila aleatoare să ia aceste valori:
Iii
i
p
xX
: , 1,),(
Iiiii pIixXPp ,
unde I este o mulţime finită sau numărabilă.
Definiţia 3. Se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X aplicaţia
xXPxXPxFRF )(/)()(],1,0[: .
Propoziţia 1. Dacă ]1,0[: RF este funcţia de repartiţie a unei variabilei
aleatoare RX : , atunci:
)a 0)(lim
xFx
, 1)(lim
xFx
;
)b F este nedescrescătoare adică )()(,, 212121 xFxFxxRxx ;
)c F este continuă la stânga, adică )()0( xFxFRx .
Propoziţia 2. Dacă funcţia RRF : satisface condiţiile )a , )b , )c din propoziţia
precedentă, atunci există un un câmp de probabilitate ),,( PK şi o variabilă aleatoare
RX : a cărei funcţie de repartiţie este F .
Definiţia 4. Fie RX : o variabilă aleatoare continuă şi )( XI . Dacă funcţia de
repartiţie F a variabilei aleatoare X este derivabilă, cu derivata continuă, pe I , atunci
funcţia
Ix
IxxFxf
,0
),(')( se numeşte densitatea de repartiţie (densitatea de
probabilitate) a variabilei aleatoare X .
Propoziţia 3. Densitatea de repartiţie RRf : a unei variabile aleatoare continue
verifică proprietăţile: )a Rxxf ,0)( ; )b
1)( dxxf .
Propoziţia 4. Dacă funcţia RRf : satisface condiţiile )a , )b din propoziţia
precedentă, atunci există un un câmp de probabilitate ),,( PK şi o variabilă aleatoare
RX : a cărei densitate de probabilitate este f .
Observaţii. Fie RX : o variabilă aleatoare continuă, având densitatea de repartiţie
f şi funcţia de repartiţie F . Atunci:
1) Deoarece F este o primitivă pe R a funcţiei f , rezultă
x
RxdttfxF ,)()( .
2)
a
dxxfaFaXPaXP )()()()( ;
b
dxxfbFbXPbXP )()(1)()( ;
b
a
dxxfaFbFbXaPbXaPbXaPbXaP )()()()()()()(
Definiţia 5. Variabilele aleatoare 2,,1, nniX i sunt independente dacă evenimentele
iii xXA )( sunt independente, niRxi ,1, .
Observaţie. Fie
Iii
i
p
xX
: ,
Jjj
j
q
yY
: variabile aleatoare discrete. Atunci X , Y
independente dacă JjIiyYPxXPyYxXP jiji ,),()(),(
Propoziţia 5. Dacă RX : , RY : sunt variabile aleatoare şi Rc , 0, aRa ,
*Nk , atunci Xc , cX , X , kX , X
1 (dacă X nu ia valoarea 0), Xa , YX , YX sunt
variabile aleatoare.
Observaţie. Dacă
Iii
i
p
xX
: şi
Jjj
j
q
yY
: sunt variabile aleatoare discrete, atunci
repartiţiile operaţiilor cu variabile aleatoare definite mai sus sunt:
Iii
i
p
cxXc
: ,
Iii
i
p
cxcX
: ,
Iii
i
p
xX
:
,
Iii
kik
p
xX
: , nix
pXi
Iii
xi ,1,0,:
11
,
Iii
xX
p
aa
i
: ,
JjIi
ij
ji
p
yxYX
: ,
JjIi
ij
ji
p
yxYX
: , unde JjIiyYxXPp jiij ,),,( .
Definiţia 6. Se numeşte media (valoarea medie) variabilei aleatoare X numărul (dacă
există):
Ii
ii pxXM )( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;
dxxfxXM )()( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.
Propoziţia 6. Dacă RX : , RY : sunt variabile aleatoare şi Ra , rezultă:
)a aaM )( ;
)b )()( XaMaXM ;
)c )()()( YMXMYXM ;
)d dacă variabilele aleatoare X , Y sunt independente, atunci )()()( YMXMYXM .
Definiţia 7. Se numeşte dispersia variabilei aleatoare X numărul (dacă există):
22 )()( XMXMXD .
Propoziţia 7. Dacă RX : , RY : sunt variabile aleatoare şi Ra , rezultă:
)a 0)(2 XD ;
)b )()()( 222 XMXMXD ;
)c 0)(2 aD ;
)d )()( 222 XDaaXD ;
)e dacă X , Y sunt independente, atunci )()()( 222 YDXDYXD .
Definiţia 8. Se numeşte abaterea medie pătratică (abaterea standard)
a variabilei aleatoare X numărul (dacă există): )()()( 2 XDXDX .
Definiţia 9. Se numeşte moment iniţial de ordin r al variabilei aleatoare X numărul
(dacă există): )()( rrr XMXMm .
Observaţie.
Ii
irir pxm , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;
dxxfxm rr )( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.
Definiţia 10. Se numeşte moment centrat de ordin r al variabilei aleatoare X numărul
(dacă există): rrr XMXMXMXM )()( .
Observaţie.
Ii
ir
ir pXMxm ))(( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;
dxxfXMxm rr )())(( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.
Definiţia 15. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate şi RX : o variabilă aleatoare.
Se numeşte funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X aplicaţia
itXeMtCR )(,: .
Observaţie.
Ik
kitx
pet k)( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;
dxxfet itx )()( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.
Definiţia 16. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate şi RX :
o variabilă aleatoare. Se numeşte funcţia generatoare de momente a variabilei aleatoare
X aplicaţia tXeMtgRRg )(,: .
6.3 Variabile aleatoare bidimensionale
Definiţia 1. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate. O aplicaţie 2:, RYX se
numeşte variabilă aleatoare bidimensională (vector aleator) dacă oricare ar fi 2, Ryx
avem: KyYxX )(,)( .
În cazul în care componentele YX , sunt variabile aleatoare discrete cu
o mulţime finită de valori, repartiţia vectorului aleator YX , se poate reprezenta sub
forma:
nj
miij
ji
p
yxYX
,1
,1
,:,
sau sub forma tabelului următor:
1y 2y
jy ny
ip
1x
2x
ix
mx
11p 12p
jp1
np1
21p 22p
jp2
np2
1ip
2ip ijp
inp
1mp 2mp
mjp mnp
1p
2p
ip
np
jq
1q 2q jq mq 1
unde njmiyYxXPp jiij ,1,,1,, , mippn
jiji ,1,
1
,
m
iijj njpq
1
,1,
cu condiţiile: 1) njmipij ,1,,1,0 şi 2) 11 1
m
i
n
jijp .
Repartiţiile marginale sunt repartiţiile variabilelor care compun vectorul YX , .
Repartiţia variabilei aleatoare X condiţionată de evenimentul jyY , unde nj ,1 ,
este:
miji
ij yYxXP
xyYX
,1
:/
.
Repartiţia variabilei aleatoare Y condiţionată de evenimentul ixX , unde mi ,1 ,
este:
njij
ji
xXyYP
yxXY
,1
:/
.
Definiţia 2. Se numeşte covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y numărul:
)()()(),cov( YMXMXYMYX .
Definiţia 3. Variabilele aleatoare X şi Y se numesc necorelate dacă
0),cov( YX .
Definiţia 4. Se numeşte coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare X şi Y
X Y
numărul: )()(
)()()(
)()(
),cov(),(
YX
YMXMXYM
YX
YXYX
.
Propoziţie. Oricare ar fi variabilele aleatoare X şi Y cu 022 YDXD , au loc
următoarele proprietăţi:
1) 0),( YX dacă şi numai dacă X şi Y sunt necorelate.
2) Dacă X , Y sunt independente, atunci 0),( YX .
3) 1),( YX .
4) Dacă 1),( YX , atunci între X şi Y există o dependenţă liniară.
6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice
REPARTIŢII CLASICE DISCRETE
Repartiţia binomială
nk
knkk
n qpC
kXpnBiX
,0
:),(
; 1;0,;* qpqpNn .
npqXDnpXM )(;)( 2 ; nit qpet )( .
Repartiţia Poisson
Nk
k
ke
k
XPoX
!
:)(
; 0 .
)(;)( 2 XDXM ; )1()( iteet .
REPARTIŢII CLASICE CONTINUE
Repartiţia Gamma
0,];,[ babaX X are densitatea de repartiţie:
0,0
0,1
)(
1
x
xexabxf
bxa
a
22 )(,)( abXDabXM ; a
ibtt
1)( .
Repartiţia normală XRmmNX ,0);,( are densitatea de repartiţie:
Rxexf
mx
,2
1)(
2
2
2
)(
22 )(,)( XDmXM ; 2
22
)(timtet
.
6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Fie variabila aleatoare discretă
pppppX
2
2
10
4
1
2
2: , Rp .
Să se determine:
)a repartiţia variabilei aleatoare X;
)b funcţia de repartiţie a variabilei X;
)c media, dispersia şi abaterea medie pătratică variabilei aleatoare X;
)d )( 3XM , )32( XM , )23(2 XD ;
)e probabilităţile: )75,0( XP , )25,1( XP , )5,025,1( XP ,
.
Rezolvare:
)a Impunem condiţiile ca 0p şi 10
11242 pppppp .
Rezultă că repartiţia variabilei aleatoare X este:
101
102
101
104
102
21012:X .
)b
],2(,1
]2,1(,10
9
10
2
10
1
10
4
10
2
]1,0(,10
7
10
1
10
4
10
2
]0,1(,5
3
10
6
10
4
10
2
]1,2(,5
1
10
2
]2,(,0
)()(
x
x
x
x
x
x
xXPxFx
)c 4,0210)1()2()(10
4
10
1
10
2
10
1
10
4
10
2 XM .
8,1210)1()2()(10
18
10
12
10
22
10
12
10
42
10
222 XM .
64,1)4,0(8,1)()()( 2222 XMXMXD .
28,1)()( 2 XDX .
)d 1210)1()2()(10
13
10
23
10
13
10
43
10
233 XM .
Folosind proprietăţile mediei şi ale dispersiei, obţinem:
8,33)4,0(23)(2)32( XMXM . 76,1464,19)(9)23( 22 XDXD .
)e 5
3
10
4
10
2)2()1()75,0( XPXPXP .
10
1)2()25,1( XPXP .
2
1
10
5)0()1()5,025,1( XPXPXP .
2. Fie
]1,0[,0
]1,0[),1()(,:
x
xxaxfRRf , Ra .
Să se determine:
)a parametrul Ra astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile
aleatoare continue X;
)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;
)c probabilităţile: 4
1XP , 21XP şi
23
41 XP ;
)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;
Rezolvare:
)a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare
continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:
1) 0,0)( aRxxf ;
2) 1)(
dxxf .
Avem:
1
1
0
0
1
1
0
0
0)1(0)()()()( dxdxxadxdxxfdxxfdxxfdxxf
2
1
02
2 axxa ; din condiţia 1)(
dxxf rezultă 212
aa , deci
]1,0[,0
]1,0[),1(2)(
x
xxxf .
)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este
x
dttfxFRRF )()(,: .
00)(]0,(
x
dtxFx ;
2
0
2
0
0
22)1(20)(]1,0( xxttdttdtxFxxx
;
10)1(20)(),1(
1
1
0
0
x
dtdttdtxFx .
Am obţinut că:
),1(,1
]1,0(,2
]0,(,0
)(],1,0[: 2
x
xxx
x
xFRF
)c 41
41
21
41
4
1
FXP .
21
21
21
21
21 111 FXPXP .
43
41
41
23
23
41 1 FFXP .
)d 3
1
3
2
20)1(20)()(
1
0
32
1
1
0
0
xxdxxdxxxdxxdxxxfXM .
6
1
23
20)1(20)(
1
0
43
1
21
0
20
222
xxdxxdxxxdxxdxxfxXM .
181222 )()()( XMXMXD .
3. Fie funcţia RRf : , Rkx
xekxf
x
,0,0
0,x)(
22
. Să se determine:
)a parametrul Rk astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile
aleatoare continue X;
)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;
)c probabilităţile: )4( XP , )6( XP , )86( XP , )2/4( XXP ;
)d media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr pentru variabila aleatoare X
Rezolvare:
)a Condiţiile ca f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X
sunt:
1) 00)( kxf ;
2) 1)(
dxxf .
Avem că
0
20
,x0)( 2 dxekdxdxxfIx
; folosind schimbarea de
variabilă dtdxtxtx
2;22
, obţinem că kkdtetkI t 16)3(824
0
2
; din condiţia
16
11 kI .Rezultă că
0,0
0,x)(,:
22161
x
xexfRRf
x
.
)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este
x
dttfxFRRF )()(,: .
00)(]0,(
x
dtxFx ;
dtetetdtetdtetdtxFxxx
txx
ttt
00
2
0
'2
0
20
222 )2(8
1
8
12
16
1
16
10)(),0(
xxxxtxxttxtx
eex
ex
dteet
ex
dtetex
0
2
00
2'
0
222222222
282
1
282
4
1
8
2
8
841
2x
exx
. Rezultă:
0,
8
841
0,0
)(,:2
2
xexx
x
xFRRFx
)c 251)4()4( eFXP ;
3
2
17)6(1)6(1)6(1)6( eFXPXPXP ;
43 132
17)6()8()86( eeFFXP ;
e
e
F
FF
XP
XP
XP
XXPXXP
e
ee 2
)2(1
)2()4(
)2(1
)42(
)2(
)2()4()2/4(
25
525
2
.
)d Momentul iniţial de ordinul r este:
0
20
2
16
10)()( dxexxdxxdxxfxXMm
xrrrrr ;
cu schimbarea de variabilă dtdxtxtx
2;22
rezultă
)3(22)2(16
1 1
0
2
rdtetm rtr
r .
Am obţinut că *1 ,)!2(2 Nrrm rr .
Media variabilei aleatoare X este momentul iniţial de ordinul 1, prin
urmare 6!3)( 1 mXM .
Avem că 48!42)( 22 mXM , deci dispersia variabilei este:
12)()()( 212
222 mmXMXMXD .
4. Fie X , Y două variabile aleatoare discrete având repartiţia comună dată în tabelul
incomplet de mai jos:
-1 0 1 ip
-1
1
0,2
0,1
0,6
X Y
jq 0,3 0,3
)a Să se scrie repartiţiile variabilelor X , Y şi repartiţia comună a variabilelor X , Y .
)b Să se scrie repartiţiile variabilelor 1/ YX şi 1/ XY , Y ..
Rezolvare:
)a Impunând condiţiile
1,13
1
2
1
j
ji
i qp , 2,1,3
1
ipp ij
ij , 3,1,2
11
jqp jij , obţinem:
4,01 221 ppp ; 4,01 2321 qqqq ; 1,03,0 212111 ppp ;
3,04,0 212212 ppp ; 1,06,0 13131211 pppp ;
2,03,0 232313 ppp .
Rezultă repartiţiile variabilelor X , Y :
4,0
1
6,0
1:X ;
3,0
1
4,0
0
3,0
1:Y
şi repartiţia comună a variabilelor X , Y :
-1 0 1 ip
-1
1
0,2 0,3 0,1
0,1 0,1 0,2
0,6
0,4
jq 0,3 0,4 0,3 1
)b
21
11:1
YX
3
1
3,0
1,0
)1(
11111
YP
YXPYXP ;
3
2
3,0
2,0
)1(
11112
YP
YXPYXP ;
obţinem:
3
2
3
1
11:1YX ;
321
101:1
XY
;
Analog
6
1
1
2
1
0
3
1
1
:1XY
6,04,0
10
3,0
1
4,03,0
01:Y ;
X Y
Teste de autoevaluare
1. Să se determine variabila aleatoare
p
a
p
a
p
aX
2
2
3
1: , ştiind că 7)6( 2 XM ,
RpZa , .
2. Fie funcţia RRf : ,
]2,0[,0
]2,1(,2
]1,0[,
)(
x
xx
xax
xf . Să se determine:
)a parametrul Ra astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile
aleatoare continue X;
)b probabilităţile 23XP şi
23
41 / XXP ;
)c funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;
)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;
3. Fie două variabile aleatoare X , Y unde
3,0
1
7,0
1:X ,
6,0
1
4,0
0:Y . Fie 0,1 YXPk .
)a Să se scrie tabelul comun al repartiţiei variabilelor aleatoare X , Y .
)b Să se determine parametrul Rk astfel încât variabilele aleatoare X , Y să fie
necorelate.
)c Pentru k determinat la punctul precedent, să se stabilească dacă variabilele
aleatoare X , Y sunt independente.
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare
1. Din condiţia ca X să reprezinte o variabilă aleatoare discretă, obţinem:
0p şi
62
63
616
121
:123aaa
Xpppp .
7)2()1(67676622
632
61222 aaaXMXM
041467882363 2222 aaaaaaa
Zaa 3
1,2 21 , deci 2 a .
Prin urmare, repartiţia variabilei aleatoare X este:
3
1
0
2
1
1
6
1
2
:X .
2. )a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare
continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:
1) 0,0)( aRxxf ;
2) 1)(
dxxf .
2
2
1
1
0
0
)()()()()( dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
21
2
2
1
21
0
2
2
2
1
1
0
0
22
20)2(0
axx
xadxdxxdxaxdx .
]2,0[,0
]2,1(,2
]1,0[,
)(11)(
x
xx
xx
xfadxxf .
)b81
2
2
0)2()(2
3
2
3
2
3
dxdxxdxxfXP .
2
3
2
3
4
1
2
3
2
3
4
1
2
3
4
1 /
XP
XP
XP
XXPXXP .
3227
1
1
23
41
23
41
23
41
)2()( dxxxdxdxxfXP ; 87
23
23 1 XPXP , deci
2827
23
41 / XXP .
)c Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este
x
dttfxFRRF )()(,: .
00)(]0,(
x
dtxFx ;
202
0
022
0)(]1,0( xx
tx
tdtdtxFx
;
xtt
x
tdtttdtdtxFx12
1
021
1
0
022
220)(]2,1(
224
23
221
22
2 xxxx ;
1020)(),2(
2
2
1
1
0
0
x
dtdtttdtdtxFx . Am obţinut că:
),2(,1
]2,1(,2
24
]1,0(,2
]0,(,0
)(],1,0[:2
2
x
xxx
xx
x
xFRF
)d
2
2
1
1
0
0
0)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxxfXM
13
11
3
84
3
1
33
2
1
32
1
0
3
xx
x .
2
2
1
21
0
20
22 0)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxfxXM
61222
2
1
431
0
4
)()()(6
7
4
1
3
24
3
16
4
1
432
4
XMXMXD
xxx
3. )a 0 1 ip
-1
1
k k7,0
k4,0 1,0k
0,7
0,3
jq 0,4 0,6 1
Din condiţiile: 1) 2,1,,0 jipij şi
2) 12
1
2
1
i j
ijp obţinem:
4,01,0
01,0
04,0
07,0
0
)1
k
k
k
k
k
;
11,04,07,0)2 kkkk , relaţie care se verifică, Rk .
În concluzie, repartiţia comună a variabilelor X , Y este cea din tabelul de mai sus, cu
condiţia 4,0;1,0k .
)b Variabilele aleatoare X , Y sunt necorelate dacă avem:
0)()()(0),cov( YMXMXYMYX .
4,03,017,0)1()(2
1
i
ii pxXM ; 6,06,014,00)(2
1
j
jjqyYM ;
8,02)1,0(11)4,0(01)7,0(1)1(0)1()(2
1
2
1
kkkkkpyxXYMi j
ijji
4,0;1,028,0024,08,020)()()( kkYMXMXYM .
X Y
)c Pentru valoarea determinată a parametrului k obţinem tabelul repartiţiei comune de
mai jos:
0 1 ip
-1
1
0,28 0,42
0,12 0,18
0,7
0,3
jq 0,4 0,6 1
Avem că: 0128,00,1 YPXPYXP ;
1142,01,1 YPXPYXP ; 0112,00,1 YPXPYXP ;
1118,01,1 YPXPYXP ;de aici rezultă, că v.a sunt independente.
Bibliografia unitatii de învatare 6
1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie şi aplicaţii.
Editura CISON, Bucureşti, 2007
2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,
Editura Teocora, Buzau, 2009
3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,
Editura Economică, Bucureşti, 1997.
Lucrarea de verificare nr.5
1. Distribuţia variabilei aleatoare X este
1612
23
41
167
2101-2:
pppX .
Să se determine: )a parametrul Rp ; )b Media si dispersia lui X,
2. Fie funcţia RRf : , Rkx
xekxf
x
,0,0
0,x)(
3
. Să se determine:
)a parametrul Rk astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile
aleatoare continue X; )b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;
)c media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr pentru v.a. X
3. Se consideră variabilele aleatoare X , Y , având repartiţiile:
6,0
2
4,0
1:X ,
3,0
6
5,0
4
2,0
2:Y , astfel încât 1,02,1 YXP şi 3,04,2 YXP . Să se
determine coeficientul de corelatie al variabilele aleatoare X , Y
X Y
UNITATEA DE ÎNVATARE 7
Statistica matematică
Cuprins
7.1 Obiectivele unităţii de învăţare 7 ........................................................................................
7.2 Elemente de teoria selecţiei ................................................................................................
7.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...................................................
Teste de autoevaluare ...............................................................................................................
Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................
Bibilografia unităţii de învăţare 7 .............................................................................................
Lucrarea de verificare nr. 6
7.1 Obiective
Unitatea de învatare 7, introduce statistica matematică, prin relevarea a câtorva
elemente de bază ale acestui domeniu deosebit de important din matematicile aplicate în
economie.
După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre:
- noţiunile fundamentale din statistica matematică, toate acestea pentru a cunoaste
mai mult şi mai bine tematica si problematica matematicilor aplicate sau aplicabile în
economie;
- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de “ teoria
selecţiei ” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul
I, ID, de la Facultatile Management si de Marketing din Academia de Studii Economice,
Bucuresti.
7.2 Elemente de teoria selecţiei
Ne propunem să studiem o anumită caracteristică a unei colectivităţi C .
Presupunem că această caracteristică este descrisă de o variabilă aleatoare X definită
pe un câmp de probabilitate PK ,, , în care elementele mulţimii sunt tocmai
lementele colectivităţii C .
Se numeşte selecţie (eşantion) o colectivitate parţială de elemente luate la întâmplare
dinC .Numărul elementelor unei selecţii îl numim volumul selecţiei.
Spunem că o selecţie este repetată dacă elementul luat la întâmplare din C este
reintrodus în colectivitatea generală înaintea efectuării următoarei alegeri.
Se efectuează o selecţie de volum n din populaţia considerată şi se notează cu
nxxx ,..,, 21 valorile de observaţie (valori de selecţie sau date de selecţie)
După efectuarea selecţiei, valorile de selecţie nxxx ,......,, 21 sunt valori
bine determinate ale variabilei aleatoare X .
Înainte de efectuarea selecţiei, acestea pot fi considerate ca variabile
aleatoare independente nXXX ,.....,, 21 , identic repartizate cu variabila X , în cazul unei
selecţii repetate.
Variabila aleatoare asociată experimentului cu n probe independente efectuate asupra
lui X se numeşte variabilă aleatoare de selecţie
(empirică) şi se notează *X . Aceasta are următoarea repartiţie, numită şi repartiţie
empirică:
nnn
nxxxX 111
21*
.................
................: .
Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare de selecţie se numeşte funcţie empirică de
repartiţie.
Se numeşte statistică o funcţie de variabilele aleatoare de selecţie: nXXXT ,.....,, 21 .
După efectuarea selecţiei, statisticii nXXXT ,.....,, 21 i se asociază valoarea sa
corespunzătoare valorilor de selecţie obţinute, notată nxxxt ,.....,, 21 .
Considerăm o selecţie de volum n : nXXX ,.....,, 21 efectuată asupra variabilei al. X .
Se numeşte moment iniţial de selecţie de ordin r statistica
n
i
rin
r XM1
1 .
Pentru 1r obţinem media de selecţie:
n
iin
XX1
1 .
Se numeşte moment centrat de selecţie de ordin r statistica
n
i
rinr XX
1
1 .
Pentru 2r obţinem dispersia de selecţie necorectată:
2
1
21
1
212
22XXXXS
n
iin
n
iin
Dispersia de selecţie corectată (modificată) este:
n
iin
XXs1
2
112 .
7.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor
1. Pentru a studia o anumită caracteristică X a unei populaţii statistice oarecare, s-a
realizat un sondaj de volum 16n din populaţia respectivă şi s-au obţinut rezultatele:
ix -2 -1 0 2
in 3 4 2 7
)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.
)b Să se calculeze media de selecţie, dispersia de selecţie şi dispersia de selecţie
corectată.
Rezolvare:
)a Repartiţia variabilei aleatoare de selecţie este:
16
7
162
164
16
3*
2012:X .
)b Media de selecţie este statistica:
4
1
1
iiin
XnX , iar valoarea acesteia
corespunzătoare selecţiei efectuate este
4
1
1
iiin
xnx .
Dispersia de selecţie este statistica
4
1
2122
iiin
XXnS , iar valoarea acesteia
corespunzătoare selecţiei efectuate este
4
1
212
iiin
xxnS .
Dispersia de selecţie corectată este statistica
4
1
2
112
iiin
XXns , iar valoarea
acesteia corespunzătoare selecţiei efectuate este
4
1
2
1
12
iiin
xxns .
Pentru determinarea valorilor cerute organizăm valorile de selecţie în următorul tabel:
ix in iinx xxi 2xxi 2
xxn ii
-2
-1
0
2
3
4
2
7
-6
-4
0
14
-2,25
-1,25
-0,25
1,75
5,0625
1,5625
0,0625
3,0625
15,1875
6,25
0,125
21,4375
- 16 4 - - 43
Obţinem: 25,0416
1 x ; 6875,24316
12 S ; 87,24315
12 s .
Bibilografia unităţii de învăţare 7
1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.
Editura CISON, Bucureşti, 2007
2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,
Editura Teocora, Buzau, 2009
3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Economică, Bucureşti,
1997.
Lucrarea de verificare nr. 6
1) Pentru a stabili conţinutul în magneziu al apei minerale provenite de la un anumit izvor
s-a determinat cantitatea de magneziu, exprimată în grame, conţiunută într-un litru de apă
minerală. Efectuîndu-se un număr de 15 măsurători, s-au obţinut următoarele rezultate,
prezentate în ordinea apariţiei acestora: 7,2; 8,3; 6,7; 6,7; 7,2; 8,1; 8,3; 6,9; 7,2; 7,2;
8,1; 6,7; 6,7; 8,1; 6,7.
)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.
)b Pe baza rezultatelor înregistrate, să se determine cantitatea medie de magneziu,
exprimată în grame, conţinută într-un litru de apă minerală şi modul în care variază.
8. Matematica financiara
Definiţia 1. Se numeşte capital orice fond de bunuri economice exprimat în formă
bănească, iar o operaţiune financiară este orice acţiune care produce o modificare a
valorii capitalului
Cea mai simplă operaţiune financiară este operaţiunea de împrumut: la momentul t0 =
0 partenerul P1 cedează capitalul S0 partenerului P2 pentru ca în schimb P2 să îi retituie
capitalul St la momentul t.
Definiţia 2. Sumele de bani implicate în această opraţie se vor numi: S0 - capitalul
iniţial, valoarea iniţială sau valoarea actuală a operaţiunii, iar St va fi capitalul final
sau valoarea finală a operaţiunii financiare. Timpul t este durata operaîiei financiare.
Între aceste mărimi se pot presupune următoarele axiome care derivă în mod natural
din modul de desfăşurare a oricărei operaţiuni ce implică bani şi timp, nume:
1. St este o funcţie ce depinde de capitalul iniţial S0 şi de timpul t de folosire a acestui
capital, alte variabile putând fi neglijate. Se poate astfel scrie că
St = S (S0 , t), S0 0,0 t
2. Valoarea finală obţinută din investirea a două capitaluri 1
0S şi 2
0S pe aceiaşi
perioadă de timp t este egală cu suma celor două valori finale corespunzătoare celor două
capitaluri, adică
),(),(),( 2
0
1
0
2
0
1
0 tSStSStSSS , 1
0S , 2
0S 0,0 t
3. Această axiomă se referă la imposibilitatea ca un capital să-şi piardă valoarea în
timp, înţelegând valoarea monetară şi nu valoarea reală (valoarea de cumpărare). Atunci
este firesc să presupunem că investirea unui capital pe o perioadă de timp mai mare
conduce la o valoare finală mai mare:
),,(),( 2010 tSStSS pentru 21 tt
4. Ultima axiomă exprimă faptul că nefolosirea unui capital îl lasă neschimbat, adică
00 )0,( SSS .
Teorema1. Funcţiile ),( 0 tSS care satisfac axiomela 1-4 sunt de forma
)(),( 00 tfStSS , 0S 0,0 t (1)
unde funcţia Rf ,0: are proprietăţile:
a) dacă 21 tt , atunci )()( 21 tftf ceea ce înseamnă că este o funcţie
nedescrescătoare, şi
b) .1)0( f
Dacă în relaţia (1) se înlocuieşte 0S = 1 u.m., se obţine că
S(1,t) =f(t) (2)
ceea ce reprezintă faptul că funcţia f(t) semnifică valoarea finală a unei unităţi monetare
investită pe o perioadă t. Astfel se obţine
Definiţia 3. Orice funcţie Rf ,0: cu proprietăţile a) şi b) se numeşte factor de
fructificare.
Definiţia 4. Diferenţa dintre valoarea finală tS si capitalul iniţial 0S se numeşte
dobânda corespunzătoare capitalului S0 pe durata de timp t
00 ),( SStSD t . (3)
8.1 DOBÂNDA SIMPLĂ
Definiţie. Spunem că o operaţiune financiară se desfăşoară în regim de dobândă simplă
dacă dobânda se calculează asupra aceluiaşi capital pe toată durata folosirii acestuia.
Pentru 0i fixat, factorul de fructificare 0,1)( tittf defineşte regimul de dobândă
simplă
S0 St
0 t
Rezultă:
Capitalul final în regim de dobândă simplă: tiSSt 10 (1.2)
(1) se numeşte formula de fructificare în regim de dobândă simplă.
Factorul ti 1 se numeşte factor de fructificare în regim de dobândă simplă.
Dobânda simplă: tiSD 0 (1.3)
t reprezintă durata operaţiunii, exprimată în ani.
i este rata anuală a dobânzii sau dobânda anuală unitară şi reprezintă dobânda
produsă de un capital în valoare de 1 u.m. pe o durată de timp egală cu un an.
p = 100i se numeşte procent anual şi reprezintă dobânda produsă de un capital
iniţial
în valoare de 100 u.m. pe o durată de timp egală cu un an.
Capitalul iniţial în regim de dobândă simplă: it
SS t
10
(1.4)
Factorul 11
ti se numeşte factor de actualizare în regim de dobândă simplă.
UZUF (S0) = uzufructul operaţiunii, adică valoarea actualizată a dobânzii D pe durata t
şi cu procentul p = 100i.
NUPR (S0) = nuda proprietate a operaţiunii, adică valoarea actualizată a capitalului
iniţial S0 pe durata t şi cu procentul p = 100i.
Observaţia 1. Dacă se consideră anul fracţionat în m părţi şi durata de timp a operaţiunii
este egală cu nm fracţiuni de an, atunci m
nmt
Atunci când operaţiunea financiară se desfăşoară pe o perioadă exprimată în zile, pentru
determinarea numărului de zile al nu se ia în calcul fie prima fie ultima zi a operaţiunii.
Pe plan internaţional există trei proceduri de calcul al duratei t:
- procedura engleză, pentru care anul are 365 sau 366 zile, iar lunile sunt cele
calendaristice, cu 28, 29, 30 sau 31 zile;
- procedura franceză, pentru care anul are 360 zile, iar lunile sunt cele calendaristice;
- procedura germană, pentru care anul are 360 zile şi lunile sunt egale cu 30 zile.
Observaţia 2. Dacă nu se specifică altfel, în probleme se va folosi procedura germană.
Dacă se plasează capitalul S0 în regim de dobândă simplă cu procentele anuale
p1 = 100 i1 pe durata t1, p2 = 100 i2 pe durata t2 ,…., pn = 100 in pe durata tn, atunci
dobânda totală realizată pe durata ntttt ....21 este:
nntititiSD ...22110 (1.5)
PROBLEME REZOLVATE
1. Depunem un capital în valoare 10.000 lei în regim de dobândă simplă pe o durată
de zece luni la o bancă ce acordă un procent anual de 6%. Să se determine:
a) dobânda realizată după zece luni;
b) capitalul de care vom putea dispune la scadenţă;
c) uzufructul operaţiunii şi nuda proprietate a acestuia.
Rezolvare:
Cunoaştem: capitalul iniţial S0 = 10.000 lei; durata operaţiunii, exprimată în ani 12
10t ;
dobânda anuală unitară 100
6100
p
i .
a) Dobânda realizată după zece luni este: 500000.101210
1006
0 tiSD lei.
b) Capitalul disponibil la scadenţă este: St = S0 + D = 10.500 lei.
c) Uzufructul operaţiunii: 1905,4761
500
1)(
1210
10060
it
DSUZUF lei.
Nuda proprietate a operaţiunii: 8095,95231
000.10
1)(
1210
1006
00
it
SSNUPR lei.
2. Ce capital trebuie plasat în regim de dobândă simplă pe o durată de 270 zile la o
bancă ce acordă un procent anual de 7% pentru a putea ridica la scadenţă suma de 42.100
lei?
Rezolvare:
Se cunosc: capitalul final St = 42.100; durata operaţiunii, exprimată în ani 360
270t ;
dobânda anuală unitară 100
7100
p
i .
Din formula valorii finale: tiSSt 10 obţinem
ti
StS
10, deci
000.401
100.42
360
270
100
70
S lei
3. Pe ce durată de timp trebuie să plasăm un capital în regim de dobândă simplă la o
bancă ce acordă un procent anual de 16% pentru ca la scadenţă să putem retrage dublul
capitalului depus?
Rezolvare:
Cunoaştem: capitalul final St = 2S0 şi dobânda anuală unitară i = 0,16.
Înlocuind în formula capitalului final, avem: 25,62112 100
ittitiSS ani prin
urmare capitalul trebuie plasat pe o durată de 6 ani şi 3 luni pentru ca să se dubleze.
4. Începând din luna ianuarie 2005, o persoană depune într-un cont câte 200 euro în
prima zi a fiecărei luni, timp de un an, în regim de dobândă simplă, iar în ultima zi a
anului 2005 lichidează contul. Să se determine dobânda totală şi capitalul final de care va
dispune la lichidarea contului, dacă procentul anual este de 4% pe întreaga durată a
operaţiunii.
Rezolvare:
Observăm că se efectuează 12 depuneri, având valorile iniţiale şi procentele anuale egale,
S0 = 200 euro, 100
4
100
pi şi duratele de plasare diferite:
12
1,...,
12
11,
12
121221 ttt .
Dobânda totală este dată de suma dobânzilor produse de fiecare din cele 12 sume plasate:
12020101221 ....... itSitSitSDDDD .
52200...200... 1278
1004
121
1211
1212
1004
12210 tttiSD euro.
Am obţinut că dobânda totală este D = 52 euro, iar capitalul final disponibilă la
lichidarea contului este St = 12S0 + D = 2.452 euro.
5. O persoană se decide să depună într-un cont la sfârşitul fiecărei luni k a anului
2006 câte 100k lei în regim de dobândă simplă, 12,1k . Să se determine dobânda totală şi
capitalul de care va dispune la sfârşitul anului, dacă procentul anual este 9%.
Rezolvare:
Observăm că se efectuează 12 depuneri, având valorile iniţiale Sk = 100 k lei, 12,1k ,
procentele anuale egale, 100
4
100
pi şi duratele de plasare diferite:
12
0,...,
12
10,
12
111221 ttt .
Dobânda totală este dată de suma dobânzilor produse de fiecare din cele 12 sume plasate:
5,2146
251312
4
3
2
13129
4
39)12(
4
3
12
12
100
9100
12
1
212
1
12
1
12
1
12
1
12
1
kkkkk
kk
k
k kkkkk
ktiSDD
Prin urmare, dobânda totală este D = 214,5 lei, iar capitalul disponibil la sfârşitul anului
leiDkDSSkk
kt 5,014.85,214800.710012
1
12
1
6. O persoană care dispune de 17.000 u.m. plasează o parte din acest capital la banca
B1 pe o durată de 5 luni cu procentul anual de 9% şi capitalul rămas la banca B2 pe o
durată de 135 zile cu procentul anual de 8%, în regim de dobândă simplă. Ştiind că
dobânda obţinută la banca B1 este de trei ori mai mare decât dobânda realizată la banca
B2 să se determine:
a) capitalurile plasate la cele două bănci;
b) câte zile ar trebui plasate simultan cele două capitaluri în regim de dobândă simplă
cu procentele menţionate pentru ca diferenţa dintre valorile lor finale să fie de 7.500 u.m.
Rezolvare:
a) Notăm cu S1 şi S2 capitalurile plasate la cele două bănci.
Cunoaştem:
)2(3
)1(000.17
21
21
DD
SS ;
t1 = 5/12, p1 =9%; t2 = 135/360, p2 = 8%.
Avem: 400
15
12
5
100
9111111 SStiSD ;
100
3
360
135
100
8222222 SStiSD .
Din relaţia (2) rezultă 100
33
400
1521 SS , prin urmare
21 125 SS sau 21 4,2 SS .
Din relaţia (1) obţinem 3,4 S2 = 17.000, deci S2 = 5.000 u.m. şi S1 = 12.000 u.m.
b) Notăm cu t durata de timp pe care ar trebui plasate simultan cele două capitaluri
pentru ca diferenţa valorilor finale ale acestora să fie 7.500 u.m. şi cu Sf1 , Sf2 valorile
finale ale celor două capitaluri la sfârşitul perioadei t. Rezultă că Sf1 - Sf2 = 7.500.
Avem: Sf1 = S1 (1+ i1 t ) = 12.000(1+0,09t) şi Sf2 = S2 (1+ i2 t ) = 5.000(1+0,08t).
Relaţia Sf1 - Sf2 = 7.500 devine 12.000 + 1.080 t – 5.000 – 400 t = 7.500, adică 680 t =
500, de unde rezultă t = 0,735294 ani sau t = 0, 735294·360 = 264,7 zile, deci t ≈ 265
zile.
7. Se consideră trei capitaluri, astfel că raportul dintre primul şi al doilea este 4/3, iar
al treilea este cu 3.000 u.m. mai mic decât suma primelor două. Primul a fost plasat 50
zile cu 6%, al doilea un trimestru cu 7%, iar al treilea 7 luni cu 8%, conducând la o
dobândă simplă totală în valoare de 9.900 u.m. Să se determine cele trei capitaluri.
Rezolvare:
a) Notăm cu S1, S2 şi S3 cele trei capitaluri. Cunoaştem:
)3(900.9
)2(000.3
)1(3
4
321
213
2
1
DDD
SSS
S
S
t1 = 50/360, p1 = 6%; t2 = 1/4, p2 = 7%; t3 = 7/12, p3 = 8%. Avem:
600
51360
50
100
611111 SStiSD ;
400
724
1
100
722222 SStiSD ;
30014
3127
1008
33333 SStiSD
Din relaţia (1) rezultă 23
41 SS .
Din relaţia (2) rezultă 000.3000.3 237
2234
3 SSSS .
Relaţia (3) se mai poate scrie: 900.9)000.3(30014
237
4007
26005
234 SSS sau
495600.3
2600.33926340
290098
4007
800.120
2 900.9900.9900.9140)( SSS , prin urmare
S2 = 72.000 u.m., S1 = 96.000 u.m. şi S3 = 165.000 u.m.
.
8. O persoană are trei copii născuţi în ani diferiţi, primul pe 01.03, al doilea pe 01.06 şi al
treilea pe 01.09. Persoana s-a gândit ca într-un an să depună de ziua fiecărui copil câte o
sumă de bani la o bancă, astfel încât la data de 01.12 acelaşi an cei trei copii să dispună
de capitaluri egale. Dacă suma disponibilă pentru acest scop este 6.000 u.m. şi banca
acordă un procent anual de 12%, să se determine ce capital trebuie depus în contul
fiecărui copil şi de ce sumă va dispune fiecare copil la data de 1 decembrie. Se aplică
procedura germană.
Rezolvare:
Notăm S1, S2, S3 capitalurile ce vor fi depuse în conturile celor trei copii şi cu Sf1, Sf2, Sf3
valorile finale ale acestora la data de 01.12. Cunoaştem:
)2(
)1(000.6
321
321
fff SSS
SSS
Avem: 112
910012
1111 09,1)1()1( SStiSS f , 212
610012
2222 06,1)1()1( SStiSS f ,
3123
10012
3333 03,1)1()1( SStiSS f .
Din Sf1= Sf2 rezultă 2109
1061 SS , iar din Sf2= Sf3 rezultă
2103106
3 SS
Din (1) rezultă 000.62103106
22109106 SSS , deci S2 = 1.998,9317, S1 = 1.943,9152, S3
=2.057,1531
PROBLEME PROPUSE
1. Depunem un capital în valoare de 20.000 lei în regim de dobândă simplă pe o
durată de 320 de zile la o bancă ce acordă un procent anual de 6,5%. Să se determine
dobânda şi capitalul disponibil la scadenţă.
2. Ce sumă trebuie depusă pe o durată de un trimestru în regim de dobândă simplă la
o bancă ce acordă un procent anual de 6% pentru depozitele în lei pentru a putea ridica la
scadenţă suma de 52.000 lei?
3. Cu ce procent anual trebuie depusă o sumă de bani în regim de dobândă simplă la o
bancă pe o durată de doi ani pentru ca la scadenţă să putem retrage dublul sumei depuse?
4. Pe ce durată de timp trebuie să depunem suma de 400 dolari în regim de dobândă
simplă cu un procent anual de 4% pentru ca la scadenţă să avem cu 6% mai mult decât
am depus?
5. Începând cu luna octombrie 2005, un student depune într-un cont câte 200 lei în
prima zi a fiecărei luni, timp de 10 luni, în regim de dobândă simplă, iar la data de 30
iulie 2006 lichidează contul. Să se afle dobânda totală şi valoarea finală de care va
dispune la lichidarea contului, dacă procentul anual este de 7% pe întreaga durată a
operaţiunii.
6. O persoană a deschis un cont la data de 1 septembrie 2005, printr-o depunere în
valoare de 12.000 lei în regim de dobândă simplă. Să se determine de ce sumă va dispune
dacă lichidează contul la data de 1 august 2006, dacă procentul anual acordat de bancă
este de 7% în perioada septembrie-decembrie 2005, 6,5% în perioada ianuarie-februarie
2006 şi 6% în perioada martie-august 2006. Se aplică procedura germană.
7. O persoană depune într-un cont la data de 1 martie 2005 suma de 8.000 lei. La 15
aprilie retrage 6.000 lei, iar la data de 1 mai depune 7.000 lei. La 15 iunie retrage 1.000
lei, iar la data de 1 august acelaşi an lichidează contul. Ce sumă va fi încasată la
lichidarea contului, ştiind că operaţiunile au loc în regim de dobăndă simplă cu procentul
anual de 6% şi se aplică procedura germană.
8. O persoană a plasat la două bănci, în regim de dobândă simplă, următoarele sume,
la momentele şi cu procentele anuale următoare:
- la banca B1 suma de 600 lei, în urmă cu 5 luni, cu procentul anual de 6%;
- la banca B2 suma de 900 lei, în urmă cu 70 zile, cu procentul anual de 5%.
a) Dacă persoana ar fi dorit să plaseze sume egale la fiecare din cele două bănci, la
momentele şi cu procentele menţionate, pentru a realiza aceeaşi dobândă, să se determine
valoarea sumelor plasate.
b) Dacă persoana ar fi dorit să facă un singur plasament în valoare de 1.500 lei în
urmă cu un trimestru, ce procent anual trebuia să acorde banca pentru a realiza aceeaşi
dobândă?
c) Să se determine scadenţa medie înlocuitoare a celor două plasamente.
d) Să se afle suma unică înlocuitoare în cazul unui plasament pe 220 zile cu 5%.
9. O persoană contractează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în regim de
dobândă simplă. După un an, din suma totală datorată rambursează 6.000 u.m. Datoria
rămasă se consideră cu un procent anual majorat cu o unitate procentuală faţă de anul
precedent. Se ştie că după al doilea an valoarea datoriei este de 4.620 u.m. Determinaţi
procentele corespunzătoare celor doi ani.
10. Începând cu luna ianuarie, o persoană depune câte 100 euro în prima zi a fiecărei
luni, timp de un an, în regim de dobândă simplă, iar în ultima zi a anului lichidează
contul. Să se afle dobânda totală şi valoarea finală de care va dispune la lichidarea
contului, ştiind că banca acordă la depozitele în euro un procent anual de 4% în primul
semestru al anului şi 3,5% în al doilea semestru al anului.
11. O persoană depune la 01.02.2005 într-un anumit cont suma de 3.000 u.m. La
01.04.2005 retrage 1.000u.m., iar la 16.04.2005 depune 2.000 u.m. La 01.06.2005 retrage
4.000 u.m.,iar la 01.11.2005 lichidează contul. Ce sumă va încasa la lichidare, dacă
operaţiunile au loc în regim de dobândă simplă cu procentele anuale 7%, 6,5%, 6% şi
5,5% corespunzătoare celor patru trimestre ale anului 2005? Se aplică procedura engleză.
12. Debitorul unei sume de 2.000 lei solicită creditorului său o amânare a scadenţei,
stabilită iniţial în data de 1 octombrie 2005. Se convine asupra a două tranşe egale între
ele, una la 1 noiembrie 2005 şi a doua la 15 decembrie acelaşi an. Să se determine
valoarea acestor tranşe, dacă operaţiunile se desfăşoară în regim de dobândă simplă cu
12%.anua.
8.2 DOBÂNDA COMPUSĂ
BREVIAR TEORETIC
Definiţie. Spunem că o operaţiune financiară se desfăşoară în regim de dobândă compusă
dacă dobânda se capitalizează pe fiecare fracţiune a duratei de timp a operaţiunii.
Mai precis, dacă durata de timp a operaţiunii este împărţită în mai multe perioade,
capitalul iniţial al fiecărei perioade este fructificat în regim de dobândă simplă pe durata
respectivă, iar capitalul final al fiecărei perioade devine capital iniţial al perioadei
următoare.
Pentru 0i fixat, factorul de fructificare 0,)1()( titf t defineşte regimul de dobândă
compusă
Considerăm operaţiunea de plasare a capitalului S0 pe durata t în regim de dobândă
compusă Presupunem că durata de timp t este împărţită în n perioade cu duratele t1,
t2,…., tn, iar procentele anuale corespunzătoare acestor perioade sunt p1=100 i1, p2=100
i2,…., pn=100 in.
Notăm cu S1, S2 ,… , Sn valorile finale ale capitalului S0 la sfârşitul celor n perioade.
S0 S1 S2 Sn-1 Sn
0 i1 t1 i2 t1+t2 in t1+t2+...+
tn
Aplicăm formula de fructificare în regim de dobândă simplă pe fiecare perioadă:
1101 1 tiSS
221102212 111 titiStiSS
………………………………..
nnnnnn tititiStiSS 1....111 221101. Prin urmare,
nnn tititiSS 1....11 22110 formula de fructificare în regim de dobândă compusă (2.1)
Cazuri particulare:
a) Dacă t1= t2 =.......= tn = 1 an, atunci nn iiiSS 1....11 210 (2.2)
b) Dacă t1= t2 =.......= tn = 1 an şi i1= i2 =.......= in = i, atunci nn iSS 10 (2.3)
c) Dacă m
tmnt ( n ani şi tm fracţiuni de an), atunci St se poate calcula în două moduri:
mmn
t tiiSS 110 formula raţională (2.4)
m
mtnt iSS
10
formula comercială (2.5)
Dobânda compusă corespunzătoare plasării sumei S0 pe durata t este: 0SSD t
(2.6)
NUPR (S0) = nuda proprietate a operaţiunii, adică valoarea actualizată a capitalului
iniţial S0 pe durata t şi cu procentele pk=100 ik .
UZUF (S0) = uzufructul operaţiunii, adică valoarea actualizată a dobânzii D pe durata t
şi cu procentele pk=100 ik .
PROBLEME REZOLVATE
1. O persoană ce dispune de un capital în valoare de 10.000 euro poate opta pentru
una din următoarele variante de plasare a acestuia în regim de dobândă compusă timp de
4 ani:
a) cu un procent anual constant de 4%;
b) cu procentele anuale de 3% în primul an, 4% în următorii doi şi 5% în ultimul an.
Să se determine valoarea finală a capitalului plasat şi dobânda obţinută în fiecare caz.
Rezolvare:
a) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani, p = 4% => i = 0,04.
Deoarece procentul anual este constant pe întreaga durată a operaţiunii, aplicăm formula
(2.3) şi obţinem valoarea finală după patru ani a sumei plasate:
58,698.1104,1000.10144
04 iSS euro.
Dobânda realizată în acest caz este: D = S4 - S0 = 11.698,58 euro.
b) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani;
05,0,04,0,03,0%5%,4%,3 43214321 iiiipppp .
Deoarece procentul anual este variabil, aplicăm formula (2.2) şi obţinem valoarea finală
după patru ani a sumei plasate:
50,697.1105,104,103,1000.1011112
432104 iiiiSS euro.
Dobânda realizată în acest caz este: D = S4 - S0 = 1.697,5 euro.
2. Să se determine valoarea finală şi dobânda aferentă plasării sumei de 4.000 dolari
pe durata de 3 ani şi 5 luni, dacă procentele anuale corespunzătoare celor 4 ani sunt:
a) 5%, 4%, 3,5% şi respectiv 3%;
b) 4% pe întreaga perioadă.
Rezolvare:
a) Avem: S0 = 4.000 $; 1253t ani, i1 = 0,05, i2 = 0,04 , i3 = 0,035 , i4 = 0,03.
Deoarece procentul anual este variabil, aplicăm formula (2.1) şi obţinem valoarea finală a
sumei plasate:
125
125
43210 03,01035,104,105,1000.41111 iiiiSSt, prin urmare
St = 4.577,39 $, iar dobânda este D = St - S0 = 577,39 $.
b) Avem: S0 = 4.000 $; 1253t ani, i =0,04.
Deoarece procentul anual este constant şi durata operaţiunii nu este un număr întreg de
ani, putem determina valoarea finală folosind una din variantele:
formula raţională:
$44,574.404,0104,1000.41112
53
12
53
0 iiSSt, deci
D = St - S0 = 574,44 $.
formula comercială: $81,506.404,1000.41 12
53
12
53
0
iSSt, iar D = St - S0 = 506,81 $
3. Cu ce procent trebuie plasat un capital în valoare de 10.000 lei timp de 3 ani în
regim de dobândă compusă pentru a obţine la scadenţă o dobândă de 4.000 lei?
Rezolvare:
Se cunosc: capitalul iniţial S0 = 10.000lei, durata de timp t = 3 ani, dobânda D = 4.000
lei.
Folosind formula D = St - S0, obţinem St = 14.000 lei
Din formula capitalului final, tt iSS 10, rezultă 31000.10000.14 i ,
prin urmare %86,111186,01186,14,114.11 33 piii .
4. O persoană care dispune de un capital în valoare de 300.000 u.m. plasează o parte a
acestuia pe o durată de 7 ani şi partea rămasă pe o durată de 10 ani, cu procentul anual de
4% în regim de dobândă compusă. Să se determine cele două părţi ale capitalului, ştiind
că raportul valorilor finale ale acestora este 5/3.
Rezolvare:
Notăm cu S1 şi S2 cele două părţi ale capitalului şi cu Sf1 şi Sf2 valorile finale ale
acestora.
32
2
3
1
21
10
2
7
1
21
2
1
21
04,13
51
000.300
04,13
5
000.300
)1(5)1(3
000.300
3
5
000.300
SSS
SS
iSiS
SS
S
S
SS
f
f
S2 = 104.356,0535 u.m., S2 = 195.643,9465 u.m.
5. Un capital în valoare de 200.000 u.m., plasat în regim de dobândă simplă cu un
anumit procent anual şi pe o anumită durată de timp a produs o dobândă de 54.000 u.m.
Acelaşi capital plasat pe aceeaşi durată de timp în regim de dobândă compusă cu
procentul anual 4% a produs o dobândă de 84.662,4 u.m.
Să se determine durata celor două operaţiuni şi procentul anual al primei operaţiuni.
Rezolvare:
Cunoaştem: capitalul plasat S0 = 200.000 u.m. şi dobânzile celor două operaţiuni:
D1 = 54.000 u.m., D2 = 84.662,4 u.m.
Notăm cu t durata operaţiunilor şi p = 100i procentul anual al primei operaţiuni. Avem:
tpttiSDp
000.2000.20010001
)104,1(000.200)1( 002 tt SiSD
904,1ln
423312,1ln423312,104,14,662.84)104,1(000.2004,662.842 tD tt
prin urmare t = 9 ani.
%3000.549000.2000.541 ppD .
6. Un unchi doreşte să împartă un capital de 25.000 u.m. între nepoata sa în vârstă
de 10 ani şi nepotul său în vârstă de 12 ani astfel încât fiecare să primească aceeaşi sumă,
evaluată în regim de dobândă compusă şi cu un procent anual de 9%, la împlinirea vârstei
de 18 ani. Determinaţi părţile din capital care trebuie depuse în conturile celor doi copii şi
de ce sumă va dispune fiecare copil la 18 ani.
Rezolvare:
Notăm cu S1 şi S2 cele două părţi ale capitalului şi cu Sf1 şi Sf2 valorile finale ale
acestora.
Duratele de timp ale celor două plasamente sunt t1 = 8 ani şi t2 = 6 ani iar p = 9%.
Avem:
222
12
2
1
6
2
8
1
21
21
21
09,11
000.25
09,1
000.25)109,1(
)1()1(
000.25000.25
S
SS
S
iSiS
SS
SS
SS
ff
S2 = 11.425,4375 u.m., S1 = 13.574,5625 u.m.
Fiecare copil va dispune la vârsta de 18 ani de un capital în valoare de
Sf1= Sf2= S1 (1+ i)8=13.574,5625∙1,098 = 27.048,1661 u.m.
7. Un capital de 100.000 u.m. plasat cu dobândă compusă cu un anumit procent anual
a produs în al cincilea an de plasament o dobândă egală cu cea pe care ar fi produs-o în
regim de dobândă simplă cu acelaşi procent în 427 de zile. Să se determine:
a) procentul de plasament;
b) dobânda realizată după 10 ani de plasament;
c) cu ce procent trebuia depusa suma in regim de dobândă simplă pentru a avea in 10
ani aceeaşi dobândă ca in regim de dobândă compusă.
Se aplică procedura engleză (1 an = 365 zile).
Rezolvare:
a) Cunoaştem: S0 = 100.000 u.m.
Notăm: D1 dobânda compusă obţinută în al cincilea an şi cu D2 dobânda simplă realizată
în 427 zile; Sk valoarea sumei S0 la momentul k, 10,1k . Avem:
D1 = S5 - S4 = S0(1+ i)5 - S0(1+ i)4= S0(1+ i)4(1+ i-1) = S0 · i· (1+ i)4
365
42702 iSD 04,11)1( 4
365
427
365
4270
4
021 iiSiiSDD , prin urmare p = 4%.
b) Dobânda realizată după 10 ani de plasament este
D1’ = S10 - S0 = S0 [(1+ i)10 – 1]= 48.024,4284 u.m.
c) Fie p’ = 100i’ procentul anual de plasare în regim de dobândă simplă. Avem:
D2’ = S0 · i’· 10 = 1.000.000· i’.
D1’ = D2’ rezultă i’ = 0,048024, deci p’ = 4,8024%.
8. Două capitaluri sunt plasate cu procentele anuale 18% şi respectiv 12%. Dacă se
plasează în regim de dobândă simplă primul capital pe o durată de 5 luni şi al doilea
capital pe o durată de 10 luni, atunci dobânda produsă de al doilea capital este dublă
dobânzii primului capital. Dacă se plasează în regim de dobândă compusă pe o durată de
3 ani fiecare, atunci acestea conduc la o dobândă totală de 15.005.088 u.m. Să se
determine:
a) cele două capitaluri;
b) dobânzile şi capitalurile finale corespunzătoare atât în regim de dobândă simplă cât
şi în regim de dobândă compusă.
Rezolvare:
Notăm: S1 şi S2 valorile celor două capitaluri;
DSk şi DCk dobânda simplă, respectiv dobânda compusă produsă de suma Sk , 2,1k .
Se ştie că:
)2(088.005.15
)1(2
21
12
DCDC
DSDS
Avem: 1100
5,7
125
10018
11111 SStiSDS ; 2100
101210
10012
22222 SStiSDS .
Din relaţia (1) rezultă: 12121100
5,7
210010 5,115102 SSSSSS .
)118,1(18,1 3
11
3
11 SSSDC ; )112,1(5,112,1 3
12
3
22 SSSDC .
Din relaţia (2) rezultă: 088.005.155,112,15,1118,1 33
1 S , prin urmare
S1 = 12.000.000 u.m. şi S2 = 18.000.000 u.m.
9. O persoană achiziţionează un autoturism, angajându-se să achite contravaloarea lui
în 6 ani, cu un procent anual de 10%. În acest scop, persoana plăteşte un avans de 1.000
u.m., iar după 2 ani de la data achiziţionării mai plăteşte 3.630 u.m. Ştiind că prin aceste
două plăţi se achită 40% din valoarea autoturismului la data achiziţionării lui, să se
determine:
a) preţul autoturismului;
b) ce sumă ar trebui să mai plătească la 6 ani de la data achiziţionării pentru a achita
în întregime autoturismul.
Rezolvare:
Notăm cu S0 valoarea avansului şi cu Si valoarea plăţii făcute la momentul i, 6,2i .
Avem: S0 = 1.000 u.m., S2 = 3.360 u.m., p = 10%.
0 1 2 3 4 5 6
S
0
S
2
S
a
2
S
6
a) Notăm cu A preţul autoturismului. Suma S2 cuprinde o parte din preţul
autoturismului şi dobânda corespunzătoare. Partea din preţul autoturismului care a fost
achitată prin plata sumei S2 se obţine actualizând S2. Fie S a2 valoarea actuală a sumei S2. Prin urmare, 000.4000.1%40
21,1
630.320 aSSA , deci A = 10.000 u.m.
b) Partea rămasă de achitat după plata sumelor S0 şi S2 este 10.000-4.000=6.000 u.m.
Dacă achitarea acestei datorii are loc după 6 ani, rezultă că suma ce se va plăti efectiv
este: S6 = 6.000(1+ i)6 = 10.629,366 u.m.
rezultă t = 2,5423 ani = 2 ani şi 195 zile.
10. O persoană plasează un capital în valoare de 2.000 u.m. la o bancă ce acordă
procentul anual 6% cu calculul lunar al dobânzii. Să de determine:
a) valoarea capitalului după 5 luni şi dobânda realizată;
b) valoarea capitalului după 3 ani şi dobânda obţinută;
c) procentul anual efectiv de calcul al dobânzii.
Rezolvare:
Din enunţ deducem: capitalul iniţial este S0 = 2.000 u.m.; procentul anual nominal cu
calculul dobânzii lunar eate q12 = 6 %, prin urmare 06,010012
12 q
j .
a) Valoarea capitalului după 5 luni este
5025,050.2005,1000.21000.21 55
12
06,05
12012
12
5 j
SS u.m.
Dobânda obţinută este 5025,50012
5 SSD u.m.
b) Valoarea capitalului după 3 ani este
3610,393.2005,1000.21000.21 536
12
06,0123
120312
jSS u.m.
Dobânda obţinută este 361,393012
5 SSD u.m.
c) Procentul anual efectiv de calcul al dobânzii p = 100i se obţine din relaţia
061677,1005,111 1212
12
12 j
i , prin urmare i = 0,061677, deci p = 6,1677%.
PROBLEME PROPUSE
1. O persoană care dispune de suma de 5 000 $ poate opta pentru una din următoarele
variante de plasament în regim de dobândă compusă timp de 6 ani:
a) cu un procent anual constant de 3%;
b) cu procentele anuale de 2% în primul an, 4% în următorii trei şi 3% în ultimii doi.
Să se determine valoarea finală a sumei plasate şi dobânda obţinută în fiecare caz.
2. Să se determine valoarea finală şi dobânda aferentă plasării sumei de 10.000 lei pe
durata de 4 ani şi 3 luni, dacă procentele anuale corespunzătoare celor 5 ani sunt:
a) 7%, 6%, 5%, 6% şi respectiv 5,5%;
b) 6% pe întreaga perioadă.
3. Două capitaluri sunt plasate cu procentele anuale 18% şi respectiv 12%. Dacă se
plasează în regim de dobândă simplă primul capital pe o durată de 5 luni fiecare, atunci
ele produc dobânzi egale. Dacă se plasează în regim de dobândă compusă pe o durată de
2 ani fiecare, atunci ele conduc la o dobândă totală de 9.288.000 u.m. Să se determine:
a) cele două capitaluri;
b) dobânzile şi capitalurile finale corespunzătoare atât în regim de dobândă simplă cât
şi în regim de dobândă compusă.
4. O persoană depune la fiecare început de an, timp de cinci ani, sumele de respectiv
1.000, 2.000, 4.000, 6.000 şi 3.000 euro, cu procentele anuale corespunzătoare celor cinci
ani de 3%, 4%, 4% , 4%şi 3% . Să se determine:
a) valoarea finală a tuturor depunerilor la sfârşitul ultimului an de plasament;
b) ce sumă ar trebui depusă o singură dată la începutul primului an cu procentele
menţionate pentru a realiza după cinci ani valoarea finală obţinută la punctul a).
5. Cu ce procent trebuie depusă la o bancă timp de 2 ani în regim de dobândă
compusă suma de 20.000 pentru a putea realiza la scadenţă o dobândă de 3.000 lei?
6. Pe ce durată de timp trebuie plasată suma de 2.000 $ cu procentul unic de 4 %
pentru a realiza la scadenţă o valoarea finală de 2.300 $?
7. Pentru achiziţionarea unui autoturism s-au plătit următoarele sume: un avans în
valoare de 3.000 euro şi apoi timp de patru ani, la sfârşitul fiecărui an, s-au plătit sumele
de 1.000, 1.500, 2000 şi 2.500 euro. Ştiind că banca a utilizat un procent anual de 8%, să
se determine preţul autoturismului.
8. Trei bănci oferă pentru depunerile în valută următoarele condiţii:
B1 acordă un procent anual de 4,5%, cu calculul dobânzii anual.
B2 acordă un procent anual de 4%, cu calculul dobânzii trimestrial.
B3 acordă un procent anual de 3,5%, cu calculul dobânzii lunar.
Ce variantă va alege o persoană care doreşte să plaseze o sumă de 10.000 euro pe durata
de un an?
9. S-a împrumutat suma de 300.000 u.m. şi s-a convenit ca ea să fie rambursată peste
5 ani. Din motive diverse,s-a propus ca la termenul prevăzut să se achite numai 160.000
u.m., restul fiind rambursat 5 ani mai tărziu, printr-o sumă egală cu 249.408,8 u.m.Se cer:
a) procentul anual unic al operaţiunii; b) părţile din împrumut achitate de fiecare dată;
c) valorile finale ale părţilor din împrumut achitate de fiecare dată.
10. Dispuneţi de suma de 1.000.000 u.m. şi o plasaţi timp de 10 ani, cu un procentele
anuale de 10% în primii 2 ani, 11% în următorii 3 şi 12% în ultimii 5 ani. Să se determine
fondul disponibil la 10 ani după depunere.