Metode Numerice Curs
195
Universitatea Alexandru LUPAS ¸ Romˆ ano-German˘ a din Sibiu Facultatea de S ¸tiint ¸a Calculatoarelor METODE NUMERICE Specializarea : Calculatoare Sibiu-2002
-
Upload
danielurda6674 -
Category
Documents
-
view
1.099 -
download
9
Transcript of Metode Numerice Curs
Universitatea Alexandru LUPASRomano-Germana
din Sibiu
Facultatea deStiinta
Calculatoarelor
METODE
NUMERICE
Specializarea :Calculatoare
Sibiu-2002
Prof.univ.dr.dr.rer.nat. ALEXANDRU LUPAS
METODE NUMERICE
Referenti :
Prof.univ.dr. Mircea IvanProf.univ.dr. Ioan Gavrea
Tehnoredactare computerizata : Autorul
c©Copyright2002Toate drepturile apartin autorului
Reproducerea prin orice mijloace , sauschimbarea destinatiei prezentuluicurs universitar, este permisa numaicu aprobarea autorului.
Prezentul curs universitar este o forma prescurtata a monografiei aparutacu acelasi titlu, ın anul 2001, ın Editura Constant-Sibiu ,
ISBN 973-99393-0-9
Cuprins
1 INTERPOLAREA FUNCTIILOR 11.1 Sisteme Cebısev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Sisteme Cebısev complete . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Notiunea de polinom generalizat . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Interpolarea pe puncte distincte . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Polinoamele fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Interpolarea prin polinoame generalizate . . . . . . . . 61.2.3 Notiunea de diferenta divizata . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Interpolarea polinomiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Polinomul lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Polinomul lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Restul ın interpolarea pe puncte distincte . . . . . . . 25
1.4 Formula fundamentala de transformare . . . . . . . . . . . . . 271.5 Interpolarea pe noduri multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 Reprezentarea polinomului lui Hermite . . . . . . . . . 351.5.2 Cazuri particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.3 O aplicatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.5.4 Restul ın interpolarea cu polinomul lui
Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.6 Interpolare bivariata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.7 Algoritmul lui Aitken- Neville . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 FORMULE DE DERIVARE NUMERICA 562.1 Metode de calcul pentru f ′(x0) . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.1 Gradul de exactitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.2 Parametrii de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.3 Formule echivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Formule cu grad maxim de exactitate . . . . . . . . . . . . . 622.2.1 Inversa matricii Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . 622.2.2 Determinarea formulelor optimale . . . . . . . . . . . 63
2.3 Formule de derivare cu doua noduri . . . . . . . . . . . . . . 682.3.1 Reprezentarea restului . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Formule de derivare cu trei noduri . . . . . . . . . . . . . . . 71
I
II CUPRINS
2.5 Restul ın formulele optimale cu n - noduri . . . . . . . . . . 752.6 Aproximarea lui f (p)(x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.1 Formule de derivare de tip interpolator . . . . . . . . . 772.6.2 Gradul maxim de exactitate . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 FORMULE DE CUADRATURA 803.1 Ponderi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2 Notiunea de formula de cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.1 Gradul de exactitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3 Formule de cuadratura de tip interpolator . . . . . . . . . . . 87
3.3.1 Marirea gradului de exactitate . . . . . . . . . . . . . 893.3.2 Transformari ale cuadraturilor . . . . . . . . . . . . . 96
3.4 Teorema lui Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.4.1 Restul ın unele formule de cuadratura . . . . . . . . . 1003.4.2 Restul pe C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5 Clasificarea formulelor de cuadratura . . . . . . . . . . . . . . 1053.6 Cuadraturi clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.6.1 Formule de tip Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . 1093.6.2 β−Formula de cuadratura a lui Newton-Cotes . . . . . 1123.6.3 Coeficientii lui Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.6.4 Coeficientii β - formulei de cuadratura . . . . . . . . 1193.6.5 Formula trapezului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.6.6 Generalizarea formulei trapezului . . . . . . . . . . . . 1243.6.7 Formula lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6.8 Un criteriu de comparatie al formulei
trapezului cu formula lui Kepler . . . . . . . . . . . . 1263.6.9 Formula de cuadratura a lui Simpson . . . . . . . . . 1283.6.10 Formula punctului de mijloc . . . . . . . . . . . . . . . 1293.6.11 Formula juxtapusa a ,,punctului de mijloc” . . . . . . 131
3.7 Polinoame ortogonale clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.7.1 Formula lui Christoffel-Darboux . . . . . . . . . . . . 136
3.8 Formule de tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.8.1 Cazuri particulare ale formulei lui Gauss . . . . . . . . 140
3.9 Implementarea formulei lui Gauss-Legendre . . . . . . . . . . 143
4 REZOLVAREA ECUATIILOR TRANSCENDENTE 1544.1 Localizarea radacinilor ecuatiilor polinomiale . . . . . . . . . 154
4.1.1 Regula lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.1.2 ,, Span” -ul unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.1.3 Rezultatul lui Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.1.4 Delimitari optimale pentru radacini . . . . . . . . . . 159
4.2 Metode pentru rezolvarea ecuatiilor transcendente . . . . . . 1624.2.1 Metoda lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.2.2 Metoda coardei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
CUPRINS III
4.2.3 Criterii de STOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.2.4 Cod de eroare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.2.5 Metoda ecuatiilor apropiate . . . . . . . . . . . . . . . 1664.2.6 Metoda lui Wegstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5 TESTE PENTRU VERIFICAREA CUNOSTIINTELOR 1685.1 Test Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.2 Test Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.3 Test Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.4 Test Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.5 Test Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.6 Test Nr. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Capitolul 1
INTERPOLAREAFUNCTIILOR
In construirea unor procedee pentru aproximarea functiilor, un rol importantıl are aproximarea prin interpolare. Aceasta problema poate fi formulata ınmodul urmator:
Fie A, B multimi nevide si sa presupunem cunoscute valorile yk ale uneifunctii f : A → B pe punctele xk ∈ A , yk = f(xk) , (k ∈ 0, 1, . . . ,m) .Se pune problema determinarii unei functii
F : A1 → B1 , A ⊆ A1 si B ⊆ B1 ,
numita functie de interpolare, apartinand unei clase cunoscute si care sasatisfaca conditiile:
F (xk) = yk , k ∈ 0, 1, . . . , m.
Din punct de vedere geometric aceasta ınseamna ca trebuie gasita ocurba de ecuatie y = F (x), de un anumit tip, care sa treaca prin puncteleMk(xk, yk) pentru k ∈ 0, 1, . . . , m .
Problema enuntata sub aceasta forma generala poate avea o infinitatede solutii, solutie unica sau nici una.
Din punct de vedere empiric, prin interpolare se poate ıntelege ,,citireaprintre randurile unui tabel” ; de exemplu aceasta ınseamna ca fiind datepunctele (distincte) x0, x1, . . . , xm si valorile y0, y1, . . . , ym , deci tabelul
x x0 x1 . . . xk−1 x xk . . . xm
f(x) y0 y1 . . . yk−1 ? yk . . . ym,
sa ıncercam ca prin intermediul lui F sa atribuim lui f(x) ,
1
2 Alexandru Lupas
xk−1 < x < xk , o anumita valoare aproximativa.In practica se efectueaza aproximarea
f(x) ≈ F (x) ,
urmand ulterior evaluarea restului f(x)− F (x) care exprima eroarea ce secomite. De obicei functiile F se aleg ca fiind reale si definite pe un interval[a, b] care contine punctele distincte x0, x1, . . . , xm . Pentru ca ele sa fie usorde manuit vom considera ca sunt dintr-un subspatiu liniar, de dimensiunefinita, al lui C[a, b] .
1.1 Sisteme Cebısev
Definitia 1 Un sistem u0, u1, . . . , um unde uj : [a, b] → R se numestesistem Cebısev 1 (sau T-sistem) de ordinul m pe [a, b] daca oricecombinatie liniara nenula a acestor functii
m∑
k=0
αkuk(t) ,
( m∑j=0
α2j > 0
)
are cel mult m zerouri pe [a, b].
Lema 1 O conditie necesara si suficienta pentru ca
u0, u1, . . . , um , uj : [a, b] → R ,(1.1)
sa formeze un T-sistem pe [a, b], este ca oricare ar fi un sistem x0, x1, . . . , xm
de puncte distincte din [a, b], xi 6= xj pentru i 6= j, sa avem
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
)6= 0(1.2)
unde
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u0(x0) u1(x0) . . . um(x0)u0(x1) u1(x1) . . . um(x1)
......
......
u0(xm) u1(xm) . . . um(xm)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣.(1.3)
1Pafnuty Lvovich Cebısev (1821-1894)-matematician rus.A adus contributii ın numeroase domenii ale matematicii si teoriei mecanismelor.In 1849 a publicat cartea ,, Teorija sravneny” =Teoria congruentelor ın care a demonstratconjectura lui Bertrand conform careia daca n ∈ N , n ≥ 3 , atunci ıntre n si 2n existacel putin un numar prim. Contributii meritorii a avut ın Teoria Aproximarii si studiulpolinoamelor ortogonale.
Metode Numerice 3
Demonstratie. Aratam ca (1.2) este o conditie suficienta. Presupunemprin absurd ca functiile (1.1) nu ar forma un T-sistem pe [a, b]. Inseamna
ca exista constantele reale α0, α1, . . . , αm cum∑
k=0
α2k > 0 astfel ca
P =m∑
k=0
αkuk
sa aiba cel putin m + 1 zerouri (distincte) x0, x1, . . . , xm pe [a, b], adica
m∑
k=0
αkuk(xj) = 0 , j = 0, 1, . . .m.
Din (1.2) rezulta ca egalitatile de mai sus formeaza un sistem de m + 1ecuatii cu solutia (α0, α1, . . . , αm) = (0, 0, . . . , 0) ceea ce contrazice faptul caP nu este identic zero. Faptul ca (1.2) este o conditie necesara se justificaimediat.
1.1.1 Sisteme Cebısev complete
Definitia 2 Functiile
u0, u1, . . . , um ; uj ∈ C[a, b] ,
formeaza un sistem Cebısev complet, de ordinul m pe [a, b] , pe scurtun CT-sistem, daca multimile
u0, u1, . . . , ur , r ∈ 0, 1, . . . ,m ,
sunt sisteme Cebısev pe [a, b] .
Lema 2 Fie x1, x2, . . . , xm puncte distincte din [a, b] si u0, u1, . . . , umun CT-sistem. Atunci :
a) Exista ın ınvelitoarea liniara a CT-sistemului un elementnenul P0 cu proprietatea
P0(x1) = 0, P0(x2) = 0 , . . . , P0(xm) = 0 .(1.4)
In plus
P0(x) = ∆(
u0, u1, . . . , um
x, x1, . . . , xm
).(1.5)
satisface egalitatile (5.1).b) Daca
Q(x) = β0u0(x) + β1u1(x) + . . . + βmum(x) ,
m∑
k=0
|βk| > 0 ,
4 Alexandru Lupas
verificaQ(x1) = 0, Q(x2) = 0, . . . , Q(xm) = 0 ,
atunci exista C ∈ R \ 0 , astfel ıncat Q(x) = C · P0(x) , ∀x ∈ [a, b] .
Demonstratie. a) Notand
λ = (−1)m∆(
u0, u1, . . . , um−1
x1, x2, . . . , xm
),
avem λ 6= 0. Fie (α∗0, . . . , α∗m−1) solutia sistemului compatibil determinat
α0u0(x1) + . . . + αm−1um−1(x1) = −λum(x1)α0u0(x2) + . . . + αm−1um−1(x2) = −λum(x2)
...α0u0(xm) + . . . + αm−1um−1(xm) = −λum(xm)
(1.6)
Daca
P0(x) =m−1∑
k=0
α∗kuk(x) + λum(x) ,
atunci P0 este determinat ın mod unic si
P0(xj) = 0 , j ∈ 1, 2, . . . , m.Dar numerele β0, β1, . . . , βm−1, din egalitatea
∆(
u0, u1, . . . , um
x, x1, . . . , xm
)=
m−1∑
k=0
βkuk(x) + λum(x)
verifica de asemenea (1.6). Deci (5.2) este demonstrata.
b) Daca βm = 0 atunci ar rezulta β0 = . . . = βm−1 = 0 si prin urmareQ = 0, ceea ce este fals. Fie
Q0 = P0 − λ
βmQ =
m−1∑
k=0
(α∗k − λβk
βm)uk.
Avand ın vedere ca sistemul u0, u1, . . . , um−1 este T-sistem, din
Q0(x1) = Q0(x2) = . . . = Q0(xm) = 0 ,
rezulta βk =βm
λα∗k , 0 ≤ k ≤ m− 1 . Astfel
Q0 =m−1∑
k=0
βkuk + βmum =βm
λP0
ceea ce completeaza demonstratia.
Metode Numerice 5
1.1.2 Notiunea de polinom generalizat
Definitia 3 Daca u = u0, u1, . . . , um este un CT-sistem atunci
P (x) =r∑
k=0
αkuk(x) , αk ∈ R , 0 ≤ r ≤ m ,(1.7)
se numeste polinom generalizat sau u-polinom.
Prin Πr = Πr(u) vom nota subspatiul liniar al tuturor polinoamelorgeneralizate construite cu elementele sistemului u .
Este clar ca u este o baza ın Πr, deci dim(Πr) = r + 1. Ca si exemple desisteme Cebısev mentionam:I. u = e0, e1, . . . , em, ek(x) = xk;II. u = 1, u1 unde u1 este strict monotona pe [a, b];III. sistemul trigonometric
1, cosx, sinx, . . . , cosmx, sinmx
este un T-sistem de ordinul 2m;IV. 1, ea1x, ea2x, . . . , eamx cu 0 < a1 < a2 < . . . < am .
1.2 Interpolarea pe puncte distincte
1.2.1 Polinoamele fundamentale
Lema 3 Fie u = u0, u1, . . . , um un CT-sistem si
x0, x1, . . . , xm; xi 6= xj pentru i 6= j,
un sistem de puncte distincte din [a, b] . Pentru orice k , 0 ≤ k ≤ m , existaın Πm(u) un singur polinom ϕk astfel ıncat
ϕk(xj) =
0 , j 6= k1 , j = k
, j ∈ 0, 1, ...,m .
Demonstratie. Conform lemei 2, exista o constanta nenula C astfel ca
ϕk(x) = C ·∆(
u0, u1, u2, . . . , uk, uk+1, . . . um
x, x0, x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xm
).
Impunand conditia ϕk(xk) = 1 gasim valoarea constantei C .Avem:
1C
= (−1)k∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
)
6 Alexandru Lupas
si ın concluzie:
ϕk(x) =∆
(u0, u1, . . . , uk−1, uk, uk+1, . . . , um
x0, x1, . . . , xk−1, x, xk+1, . . . , xm
)
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
)(1.8)
unde k ∈ 0, 1, . . . ,m.
Remarcam ca polinomul ϕk, vezi (5.3), este determinat ın mod unic decatre conditiile precizate ın enuntul lemei.
Definitia 4 Polinoamele ϕ0, ϕ1, . . . , ϕm definite prin (1.8) se numesc poli-noamele fundamentale ale lui Lagrange 2 , relative la u si la sistemulde puncte x0, x1, . . . , xm.
1.2.2 Interpolarea prin polinoame generalizate
In continuarea acestui capitol presupunem ca
u0, u1, . . . , um, um+1(1.9)
este un CT-sistem pe [a, b] . Prin sistem de m + 1 puncte distincte
x0, x1, . . . , xm
din [a, b] vom ıntelege ca xi 6= xj pentru i 6= j , 0 ≤ i, j ≤ m. Notam
u = u0, u1, . . . , um .
Problema interpolarii prin polinoame generalizate
Fiind data o functie f : [a, b] → R si sistemul de puncte distincte din [a, b]
x0, x1, . . . , xm(1.10)
se cere sa se studieze existenta si unicitatea unui polinom Lm = Lm(f ; .),Lm ∈ Πm(u), astfel ıncat
Lm(xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . , m.In cazul ın care Lm exista si este unic sa se gaseasca o expresie conve-
nabila a polinomului generalizat Lm .
2Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) nascut ın Turin (Sardinia/Italia) a murit la Paris.Din aceasta cauza unii il considera ca fiind matematician italian, altii francez.In plus , ın tinerete se semna Lodovico LaGrangia sau Luigi Lagrange. Contributii deseama ın Calculul variational, Calculul probabilitatilor, Mecanica, Mecanica fluidelor,Teoria propagarii sunetelor,etc.... La varsta de 20 de ani (1756) devine, la propunerealui L. Euler , membru al Academiei din Berlin. In 1766 devine directorul sectiei deMatematica al acestei institutii. Napoleon i-a acordat Legiunea de Onoare si l-a numitconte al Imperiului (1808) iar ın 1813 a primit Marea Cruce a Ordiunului imperial ,, dela Reunion” . Dintre publicatii amintim Mecanique Analytique-1813.
Metode Numerice 7
Teorema 1 Exista un singur polinom Lm(f ; .) ∈ Πm(u) astfel ıncat
Lm(f ; xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . ,m .
Demonstratie. Deoarece (1.9) este un CT-sistem, avem u0(x0) 6= 0. Sademonstram existenta prin inductie completa asupra lui m .Daca m = 0 , atunci
L0(f ;x) =u0(x)u0(x0)
f(x0) ∈ Π0
si L0(f ; x0) = f(x0) . Sa presupunem ca am demonstrat existenta unuipolinom generalizat Lm−1(f ; .) ∈ Πm−1 astfel ıncat
Lm−1(f ; xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . , m− 1 .
Sa definim
Lm(f ; x) = Lm−1(f ; x) + µ∆(
u0, u1, . . . , um
x, x0, . . . , xm−1
)
unde µ este un parametru. In conformitate cu Lema 2
Lm(f ; .) ∈ Πm
siLm(f ;xj) = Lm−1(f ; xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . , m− 1.
Vom determina parametrul µ astfel ca Lm(f ;xm) = f(xm). Deoarece
Lm(f ; xm) = Lm−1(f ; xm) + (−1)mµ∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
)
este suficient sa alegem
µ = (−1)m f(xm)− Lm−1(f ;xm)
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
) ,
deci polinomul generalizat Lm(f ; .) din Πm(u)
Lm(f ;x) = Lm−1(f ; x)+(1.11)
+[f(xm)− Lm−1(f ; xm)]∆
(u0, u1, . . . , um−1, um
x0, x1, . . . , xm−1, x
)
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
)
verifica Lm(f ; xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . ,m .
8 Alexandru Lupas
Justificarea unicitatii se face prin intermediul Lemei 2. Daca Q ∈ Πm(u)si Q(xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . , m , atunci fie h(x) = Q(x)− Lm(f ; x)unde Lm(f ; ·) este definit ın (1.11). Deoarece
h(x1) = 0, h(x2) = 0, . . . , h(xm) = 0
avem h(x) = λ · P0(x) unde P0 este precizat ın (5.2) iar λ o constanta.Din (5.2) se observa ca P0(x0) 6= 0 iar faptul ca h(x0) = 0 atrage dupa sineλ = 0 , deci Q = Lm(f ; ·) .
Definitia 5 Polinomul Lm(f ; ·) cu proprietatile :1) Lm(f ; ·) ∈ Πm(u)2) Lm(f ;xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . ,mse numeste polinomul generalizat de interpolare al lui Lagrangeatasat functiei f si nodurilor distincte x0, x1, . . . , xm.
Se mai utilizeaza notatiile
Lm(f ; x) = Lm(x0, x1, . . . , xm; f |x) = Lm(x0, x1, . . . , xm; u; f |x).
In continuare ne propunem sa determinam efectiv polinomul generalizatde interpolare.
Teorema 2 Au loc urmatoarele egalitati
Lm(x0, x1, . . . , xm;u; f |x) =m∑
k=0
ϕk(x)f(xk)(1.12)
siLm(x0, x1, . . . , xm; u; f |x) =(1.13)
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u0(x0) u1(x0) . . . um(x0) f(x0)u0(x1) u1(x1) . . . um(x1) f(x1)
......
......
...u0(xm) u1(xm) . . . um(xm) f(xm)u0(x) u1(x) . . . um(x) 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . xm
)
unde ϕ0, ϕ1, . . . , ϕm sunt polinoamele fundamentale ale lui Lagrange definiteın (1.8).
Demonstratie. Sa notam cu H1(x) si H2(x) expresiile care intervin ın mem-brul drept din (1.12) respectiv (1.13). Avem H1 ∈ Πm(u), H2 ∈ Πm(u) .De asemenea
H1(xj) =m∑
k=0
ϕk(xj)f(xk) = f(xj) , j ∈ 0, 1, ..., m,
Metode Numerice 9
adica H1 = Lm(f ; ·).Pentru a calcula H2(xj) vom dezvolta determinantul care intervine lanumarator dupa elementele ultimei coloane. Gasim
H2(xj) =
= (−1)m+j
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u0(x0) u1(x0) . . . um(x0)...
......
...u0(xj−1) u1(xj−1) . . . um(xj−1)u0(xj+1) u1(xj+1) . . . um(xj+1)
......
......
u0(xm) u1(xm) . . . um(xm)u0(xj) u1(xj) . . . um(xj)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∆(
u0, u1, . . . um
x0, x1, . . . , xm
) f(xj)
adica H2(xj) = f(xj) , j = 0, 1, . . . , m si ın consecinta
H2 = Lm(f ; ·).
Fie p ≤ m si xi1 , xi2 , . . . , xip+1 ⊆ x0, x1, . . . , xm. Utilizam notatia :
ω(xi1 , xi2 , . . . , xip+1 ; x) =(1.14)
=∆
(u0, u1, . . . , up, up+1
xi1 , xi2 , . . . , xip+1 , x
)
∆(
u0, u1, . . . up
xi1 , xi2 , . . . , xip+1
) ,
ω(x) = ω(x0, x1, . . . , xm; x) .
Din Lema 2 rezulta ca ω definit ın (1.14) este singurul polinom generalizatdin Πm+1, de forma:
ω(x) = um+1(x) +m∑
k=0
αkuk(x)
care se anuleaza pe x0, x1, . . . , xm .Vom spune ca ω este polinomul nodurilor.De exemplu, daca consideram sistemul Cebısev complet
1, x, x2, . . . , xm, xm+1 ,
atunci ω(x) = (x− x0)(x− x1) . . . (x− xm) .
10 Alexandru Lupas
Notam cu
[x0, x1, . . . , xm; f ] sau [x0, x1, . . . , xm; u; f ]
coeficientul lui um din reprezentarea polinomului de interpolare Lm(f ; ·).
Constatam din (1.12) si (1.13) ca urmatoarea propozitie simpla esteverificata.
Lema 4 DacaLm(x0, x1, . . . , xm; u; f |x) =
= [x0, x1, . . . , xm; u; f ]um(x) +m−1∑
k=0
αkuk(x) ,
atunci[x0, x1, . . . , xm; u; f ] =
(1.15)
=m∑
k=0
∆(
u0, u1, . . . uk−1, uk+1, . . . , um
x0, x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xm
)
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
) f(xk)
sau
[x0, x1, . . . , xm; u; f ] =∆
(u0, u1, . . . , um−1, fx0, x1, . . . , xm−1, xm
)
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
) .(1.16)
De exemplu, ın cazul sistemului e = e0, e1, . . . , em, din (1.15) se obtine
[x0, x1, . . . , xm;u; f ] =m∑
k=0
f(xk)ω′(xk)
,(1.17)
cu ω(x) =m∏
j=0(x− xj).
Teorema 3 Restul ın interpolarea unei functii prin intermediul polinomuluigeneralizat al lui Lagrange, pe un sistem de puncte distincte
x0, x1, . . . , xm
admite, pentru x 6∈ x0, ..., xm, reprezentarea
f (x)− Lm (x0, x1, . . . , xm; f |x) =
= ω(x0, x1, . . . , xm;x) [x0, x1, . . . , xm,x; f ].(1.18)
Metode Numerice 11
Demonstratie. Din (1.13)
Rm(f ;x) := f(x)− Lm(x0, x1, . . . , xm; f |x) =
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u0(x0) u1(x0) . . . um(x0) f(x0)u0(x1) u1(x1) . . . um(x1) f(x1)
......
......
...u0(xm) u1(xm) . . . um(xm) f(xm)u0(x) u1(x) . . . um(x) f(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∆(
u0, u1, . . . , um, um+1
x0, x1, . . . , xm, x
) ω(x)
adica, abuzand de (1.14) si (1.16), putem scrie
Rm(f ; x) = [x0, x1, . . . , xm, x; f ]ω(x0, x1, . . . , xm;x),
ceea ce trebuia demonstrat.
Corolar 1 Au loc egalitatile
Lm(x0, x1, . . . , xm; f |x) =(1.19)
= Lm−1(x0, x1, . . . , xm−1; f |x) + [x0, x1, . . . , xm; f ]ω(x0, x1, . . . , xm−1; x)
Lm(x0, x1, . . . , xm; f |x) = Lm−1(x1, x2, . . . , xm; f |x)+(1.20)
+[x0, x1, . . . , xm; f ]ω(x1, x2, . . . , xm; x) .
Demonstratie. Sa notam cu Q1 si Q2 expresiile care intervin ın membruldrept din (1.19) respectiv (1.20). Este clar ca Q1 si Q2 sunt polinoame dinΠm(u). In acelasi timp, daca 0 ≤ j ≤ m− 1, Q1(xj) = f(xj) iar din (1.18)
Q1(xm) = Lm−1(x0, x1, . . . , xm−1; f |xm)+
+[x0, x1, . . . , xm; f ]ω(x0, x1, . . . , xm−1; xm) =
= Lm−1(x0, x1, . . . , xm−1; f |xm)+
+(f(xm)− Lm−1(x0, x1, . . . , xm−1; f |xm)
)= f(xm)
adicaQ1(xk) = f(xk) , k ∈ 0, 1, . . . ,m
ceea ce implica (1.19). O justificare analoaga se face pentru a arata ca
Q2(xk) = f(xk) , k ∈ 0, 1, . . . ,m .
12 Alexandru Lupas
Corolar 2 Polinoamele generalizate de interpolare verifica relatia derecurenta
Lm(x0, x1, . . . , xm; f |x) =(1.21)
= Am(x)Lm−1(x1, x2, . . . , xm; f |x) + Bm(x)Lm−1(x0, x1, . . . , xm−1; f |x)
unde
Am(x) =ω(x0, x1, . . . , xm−1; x)
ω(x0, x1, . . . , xm−1; x)− ω(x1, x2, . . . , xm; x)(1.22)
Am(x) + Bm(x) = 1 .
Egalitatea (1.21) se obtine din (1.19)-(1.20) prin eliminarea termenilorcare includ numarul [x0, x1, . . . , xm; f ] . Remarcam ca ın cazul sistemuluiCebısev 1, x, . . . , xm, xm+1 din (1.22) gasim:
Am(x) =
m−1∏j=0
(x− xj)
m−1∏j=0
(x− xj)−m∏
j=1(x− xj)
=x− x0
xm − x0
Bm(x) = − x− xm
xm − x0.
Corolar 3 Polinomul Lm(x0, x1, . . . , xm; f |·) se poate reprezenta sub forma
Lm(x0, x1, . . . , xm; f |x) =u0(x)u0(x0)
f(x0)+(1.23)
+m∑
k=1
ω(x0, x1, . . . , xk−1; x)[x0, x1, . . . , xk; f ] .
Demonstratie. Se ınsumeaza egalitatile (1.19), adica
Lk(x0, x1, . . . , xk; f |x)− Lk−1(x0, x1, . . . , xk−1; f |x) =
= ω(x0, x1, . . . , xk−1; x)[x0, x1, . . . , xk; f ]
(k ∈ 1, . . . , m)
si se are ın vedere faptul ca L0(x0; f |x) =u0(x)u0(x0)
f(x0) .
Expresia din membrul drept al egalitatii (1.23) se mai numeste polinomulde interpolare al lui Newton3 . De exemplu, din (1.23) se obtine:
L1(x0, x1; f |x) =u0(x)u0(x0)
f(x0)+
3Isaac Newton (1643-1727) savant englez
Metode Numerice 13
+1
u0(x0)
∣∣∣∣u0(x0) u1(x0)u0(x) u1(x)
∣∣∣∣ ·
∣∣∣∣u0(x0) f(x0)u0(x1) f(x1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
u0(x0) u1(x0)u0(x1) u1(x1)
∣∣∣∣.
Incheiem acest paragraf recapituland unele dintre proprietatile impor-tante ale polinomului generalizat de interpolare
Lm(f ; ·) = Lm(x0, x1, . . . , xm; f |·).
I. Liniaritatea : Lm(αf + βg; x) = αLm(f ; x) + βLm(g; x) unde α, βsunt numere reale iar f, g functii reale definite pe [a, b];
II. Invarianta fata de o permutare a nodurilor : daca
π =(
0 1 2 . . . mπ(0) π(1) π(2) . . . π(m)
)
atunci Lm(x0, x1, . . . , xm; f |x) = Lm(xπ(0), xπ(1), . . . xπ(m); f |x) ;III. Proprietatea de interpolare : au loc egalitatile
Lm(x0, x1, . . . , xm; f |xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . , m.
IV. Conservarea subspatiului liniar generat de sistemul Cebısev com-plet : fie Su ınvelitoarea liniara a CT-sistemului u0, u1, . . . , um. Atunci
Lm(h; x) = h(x) , ∀h ∈ Su .(1.24)
In adevar, daca notam p = h− Lm(h; ·) observam ca p(xj) = 0,j = 0, 1, . . . , m si p ∈ Su. Dar aceasta implica p = 0. Consideram ın (1.24)cazul h = uj , obtinem
u0(x) =m∑
k=0
ϕk(x)u0(xk)
u1(x) =m∑
k=0
ϕk(x)u1(xk)(1.25)
...
um(x) =m∑
k=0
ϕ(x)um(xk).
Daca Lkmf se defineste prin
(Lkmf)(x) = (Lm(Lk−1
m f))(x) , k ∈ 1, 2, . . .,
14 Alexandru Lupas
(L1mf)(x) = Lm(f ; x), din (1.24) concludem ca
(Lk
mf)
(x) = Lm(f ; x) , k ∈ N .(1.26)
Datorita lui (1.24)-(1.25) observam ca sirul de operatori liniariLm : f → Lm(f ; ·), m ∈ 1, 2, . . ., este un sir de proiectori C[a, b] → Πm.
V. Estimarea normei :
Fie ∆m = ||xkm||, k ∈ 0, 1, . . . , m; m = 1, 2, . . . , o matrice tri-unghiulara de noduri din [a, b]. Consideram ca u0(x) = 1 si notam prinϕk(∆m; ·) = ϕk , k ∈ 0, 1, . . . , m polinoamele fundamentale de interpo-lare.Daca Lm : C[a, b] → Πm este definit prin
(Lmf)(x) = Lm(x0m, x1m, . . . , xmm; f |x)
iar functiile continue 1, u1, u2, . . . , um, um+1, . . . poseda proprietatea capentru orice j multimea 1, u1, u2, . . . , uj este un T-sistem, se pune prob-lema de a cerceta convergenta sirului de operatori (Lm)∞m=1 catre operatorulidentic. Pentru aceasta este necesar ca sirul de numere (||Lm||)∞m=1 sa fiemarginit. Observam ca pentru orice x ∈ [a, b] avem
|(Lmf)(x)| ≤m∑
k=0
|ϕk(∆m; x)|f(xkm)| ≤ ||f ||m∑
k=0
||ϕk(∆m; ·)|| ,
deci
||Lmf || ≤ ||f ||Λm, Λm :=m∑
k=0
||ϕk(∆m; ·)||.
Prin urmare ||Lm|| ≤ Λm , m ∈ 1, 2, . . . .Numerele Λm se mai numesc constantele Lebesgue atasate matricei denoduri ∆m .
Referitor la numarul [x0, x1, . . . , xm; f ] mentionam urmatoarele:i) [x0, x1, . . . , xm; ·] este o functionala liniara reala, adica pentru oricef, g : [a, b] → R si oricare ar fi α, β ∈ R avem
[x0, x1, . . . , xm;αf + βg] = α[x0, x1, . . . , xm; f ] + β[x0, x1, . . . , xm; g] .
ii) [x0, x1, . . . , xm; uj ] = 0 , j ∈ 0, 1, . . . , m− 1 ;iii) [x0, x1, . . . , xm; um] = 1iv) [x0, x1, . . . , xm; f ] este o combinatie liniara a valorilor functiei fpe nodurile x0, x1, . . . , xm .Ultimele afirmatii rezulta din Lema 4, egalitatile (1.15)-(1.16).
Metode Numerice 15
1.2.3 Notiunea de diferenta divizata
Fie D[a, b] spatiul liniar al functiilor reale definite pe [a, b] si x0, x1, ..., xm
un sistem de m + 1 puncte distincte din [a, b]. Prin ipoteza, consideram cau0, u1, ..., um−1, um este un CT − sistem pe [a, b].
Teorema 4 Exista o singura functionala liniara A : D[a, b] → R cu pro-prietatile :
1. A(f) este o combinatie liniara a valorilor functiei f penodurile x0, x1, ..., xm ;
2. A(uj) = 0 , 0 ≤ j ≤ m− 1 ;3. A(um) = 1 .
Demonstratie. Existenta lui A cu proprietatile din enunt este stabilita.Pentru aceasta este suficient sa consideram
A(f) = [x0, x1, ..., xm; f ] .
Fie
A(f) =m∑
k=0
ckf(xk), f ∈ D[a, b],(1.27)
unde ck nu depinde de alegerea functiei f. Conditiile 2 si 3 se pot scrie subforma
c0u0(x0) + c1u0(x1) + ... cmu0(xm) = 0c0u1(x0) + c1u1(x1) + ... cmu1(xm) = 0
· · ·c0um(x0) + c1um(x1) + ... cmum(xm) = 1
(1.28)
Pentru a demonstra unicitatea functionalei A este suficient sa aratam caconstantele c0, c1, ..., cm se determina ın mod unic din egalitatile (1.28).Determinantul sistemului (1.28) este (1.3)
∆(
u0, u1, . . . , um
x0, x1, . . . , xm
)6= 0
si prin urmare (1.28) este un sistem compatibil determinat.
Definitia 6 Fie u0, u1, ..., um un CT − sistem si x0, x1, ..., xm un sis-tem de puncte distincte pe [a, b]. Singura functionala liniara A : D[a, b] → Rcu proprietatile :a) exista numerele reale c0, c1, ..., cm astfel ıncat pentru orice f din D[a, b]
A(f) =m∑
k=0
ckf(xk) ;
16 Alexandru Lupas
b) A(u0) = 0 , A(u1) = 0 , ..., A(um−1) = 0 ;c) A(um) = 1 ,se numeste diferenta divizata de ordinul m relativa la sistemul
u0, u1, ..., um .
Se noteaza
A(f) = [x0, x1, ..., xm; u; f ] sau A(f) = [x0, x1, ..., xm; f ] .
O forma echivalenta a acestei definitii este urmatoarea :
Definitia 7 Coeficientul lui um din reprezentarea (unica) a polinomului deinterpolare Lm(x0, x1, ..., xm; u; f |·) ca si o combinatie liniara de u0, ..., um
este diferenta divizata [x0, x1, ..., xm;u; f ] . Astfel, daca
Lm(x0, x1, ..., xm; u; f |x) =m∑
k=0
ck(f)uk(x) ,
atunci cm(f) = [x0, x1, ..., xm;u; f ] .
Cateva proprietati ale diferentei divizate se pot deduce din (1.15), (1.16),(1.17) si (1.21), (1.27).
1.3 Interpolarea polinomiala
1.3.1 Polinomul lui Lagrange
Sa consideram CT − sistemul 1, x, x2, ..., xn, ... si prin urmare
u0(x) = 1, u1(x) = e1(x), ..., uk(x) = ek(x), ... .
Vom nota prin Lm(x0, x1, ..., xm; f |·) singurul polinom de grad cel mult mcare coincide cu f : [a, b] → R pe un sistem de puncte distincte x0, x1, ..., xm
din [a, b]. In cazul acesta
∆(
e0, e1, . . . , em
x0, x1, . . . , xm
)=
∏
0≤i<j≤m
(xj − xi) 6= 0.
Spunem ca Lm(x0, x1, ..., xm; f |·) este polinomul de interpolareal lui Lagrange , atasat functiei f si nodurilor x0, x1, ..., xm . Consideramaproximarea
f(x) ≈ Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) , f ∈ D[a, b],
restul care se comite fiind (Rmf)(x) = Rm(x0, x1, ..., xm; f |x) , unde
(Rmf)(x) = f(x)− Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) .
Metode Numerice 17
Aceasta ınseamna ca avem formula exacta de interpolare
f(x) = Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) + (Rmf)(x).
Sa notam cu ϕk,m, k = 0, 1, ..., m, polinoamele fundamentale de interpolareale lui Lagrange. Din (1.8) avem
ϕk,m(x) =(1.29)
=(x− x0)(x− x1)...(x− xk−1)(x− xk+1)...(x− xm)
(xk − x0)(xk − x1)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xm)sau
ϕk,m(x) =ω(x)
(x− xk)ω′(xk)
unde
ω(x) =m∏
j=0
(x− xj) .
Diferenta divizata de ordinul m, relativa la sistemul e = e0, e1, ..., em, esteprecizata ın (1.17). Particularizand rezultatele expuse ın paragrafele ante-rioare concludem cu urmatoarele proprietati ale polinomului lui Lagrange.
Teorema 5 Polinomul Lm(x0, x1, ..., xm; f |·) verifica egalitatile :1. (reprezentarea): daca f : [a, b] → R , atunci
Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) =m∑
k=0
ϕk,m(x)f(xk) ;
2. (liniaritatea): f, g ∈ D[a, b] , α, β ∈ R , implica
Lm(x0, x1, ..., xm; αf + βg|x) =
= αLm(x0, x1, ..., xm; f |x) + βLm(x0, x1, ..., xm; g|x) ;
3. (proprietatea de proiectie): daca h ∈ Πm, atunci
h = Lm(x0, x1, ..., xm;h|·) ;(1.30)
4. (relatia de recurenta) :
Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) =(1.31)
=x− x0
xm − x0Lm−1(x1, x2, ..., xm; f |x)− x− xm
xm − x0Lm−1(x0, x1, ..., xm; f |x)
5. (proprietatea de interpolare): daca f ∈ D[a, b], avem
Lm(x0, x1, ..., xm; f |xj) = f(xj) , j = in0, 1, ..., m;
18 Alexandru Lupas
6. (reprezentarea restului): presupunand ca x 6= xj, avem
f(x)− Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) = ω(x)[x, x0, x1, ..., xm; f ] .(1.32)
Stabilirea lui 1. rezulta din (1.12); afirmatia 3. se deduce din lema 2 sidin definitia polinomului de interpolare. Egalitatile (5.7)-(5.8) sunt partic-ularizari ale lui (1.18) si respectiv (1.21).
Vom prezenta cateva reprezentari ale polinomului lui Lagrange.Exemplul 1. (Diviziunea echidistanta). Fie
xk = x0 + kh , k = 0, 1, ..., m ; h 6= 0 .
Atunci
ω(x) = hm+1m∏
j=0
(x− x0
h− j)
ω′(x0 + kh) = (−1)m−khmk!(m− k)!.
Se obtineLm(x0, x0 + h, ..., x0 + mh; f |x) =
= (m + 1)( x−x0
h
m + 1
) m∑
k=0
(−1)m−k
(m
k
)f(x0 + kh)
x−x0h − k
=
m∑
k=0
(−1)m−k
(x−x0h
k
)(x−x0h − k − 1m− k
)f(x0 + kh)
Exemplul 2. ( Nodurile lui Cebısev). Daca
xk = tk = cos(2k − 1)π
2n, k ∈ 1, 2, ..., n , (m = n− 1)
atunci ω(x) = 12n−1 Tn(x) , Tn(x) = cosn(arccosx) si
ω′(tk) =n
2n−1· (−1)k−1
√1− t2k
.
Avem
Ln−1(t1, ..., tn; f |x) =1n
n∑
k=1
(−1)k−1Tn(x)
√1− t2k
x− xkf(tk).
Notand ω0 =1π
, ωj =2π
, j ≥ 1 , are loc egalitatea
n∑
j=0
ωjTj(x)Tj(t) =1π
Tn+1(x)Tn(t)− Tn(x)Tn+1(t)x− t
.
Metode Numerice 19
Sa alegem ın aceasta identitate t = tk ; obtinem
(−1)k−1Tn(x)√
1− t2k
x− tk= π
n∑
j=0
ωjTj(x)Tj(tk).
Prin urmare
Ln−1(t1, t2, ..., tn; f |x) =π
n
n∑
j=0
ωjTj(x)n∑
k=1
f(tk)Tj(tk) .
Fie [f, g] =π
n
n∑
k=1
f(tk)g(tk) . Atunci
Ln−1(t1, t2, ..., tn; f |x) =n∑
j=0
ωj [f, Tj ]Tj(x).(1.33)
Ca si aplicatii imediate mentionam urmatoarele:a) Descompunerea ın fractii simple: daca P ∈ Πm siQ(x) = A(x − x0)(x − x1)...(x − xm), A 6= 0, xi 6= xj pentru i 6= j, atunciproprietatea de proiectie ne permite sa scriem
P (x) =m∑
k=0
Q(x)(x− xk)Q′(xk)
P (xk)
adicaP (x)Q(x)
=m∑
k=0
Ck
x− xk
cuCk =
P (xk)Q′(xk)
.
b) Stabilirea unor inegalitati : fie P ∈ Πm si xk = x0 + kh.Sa presupunem ca
P (x) = a0xm + ...
verifica |P (x)| ≤ 1 , x ∈ [0, 1] .Se pune problema de a gasi o evaluare a coeficientului a0 .Alegınd x0 = 0 si h = 1
m gasim
P (x) =[0,
1m
,2m
, ..., 1;P]xm + ... ,
deci
a0 =m∑
k=0
(−1)m−kmm
k!(m− k)!P
(k
m
).
20 Alexandru Lupas
Prin urmare
|a0| ≤ mm
m!
m∑
k=0
(mk
)=
(2m)m
m!
ceea ce constituie o evaluare a coeficientului dominant.Ulterior vom aplica interpolarea prin polinoame la rezolvarea ecuatiilor, sta-bilirea unor formule aproximative de derivare si la calculul aproximativ alintegralelor definite.Polinomul Lm (x0, x1, ..., xm; f |·) a fost introdus de catre Joseph Louis La-grange (1736-1813) ca si o noua forma a unui polinom de interpolare con-siderat anterior de catre Isaac Newton (1642-1727).
1.3.2 Polinomul lui Newton
In importanta lucrare ,, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”(Lema 5 din cartea a III−a), publicata ın anul 1687 , Isaac Newton 4
arata ca daca Nm(x0, x1, .., xm; f |x) este singurul polinom de grad ≤ m cuproprietatea de interpolare
Nm(x0, x1, .., xm; f |xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, .., m , xi 6= xj , i 6= j,
atunci
Nk(x0, x1, .., xk; f |x)−Nk−1(x0, x1, .., xk−1; f |x) =(1.34)
= (x− x0)(x− x1)...(x− xk−1)[x0, x1, ..., xk; f ]
(k ∈ 1, 2, ..., m , N0(x0; f |x) = f(x0)).
Insumand (1.34), avem
Nm(x0, x1, ..., xm; f |x) = f(x0)+
+m∑
k=1
(x− x0)(x− x1)...(x− xk−1)[x0, x1, ..., xk; f ] =
=m∑
k=0
(x− x0)(x− x1)...(x− xk−1)[x0, x1, ..., xk; f ].
Conform Teoremei 1 rezulta ın mod evident ca polinomul lui Lagrange co-incide cu cel considerat de catre Newton. In realitate, din (1.19)
Lk(x0, x1, ..., xk; f |x)− Lk−1(x0, x1, ..., xk−1; f |x) =
= (x− x0)(x− x1)...(x− xk−1)[x0, x1, ..., xk; f ],4Exista dovezi ca Isaac Newton (1642-1727) cunostea anterior formula de interpolare.
Aceasta reiese dintr-o scrisoare datata October 24 , 1676 si adresata savantului germanHenry Oldenburg (1618- 1677).
Metode Numerice 21
k ∈ 1, 2, ..., m ,
ceea ce, prin ınsumare , atrage dupa sine
Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) =m∑
k=0
(x− x0) . . . (x− xk−1)[x0, x1, . . . , xk; f ] .
Vom spune ca (1.34) este forma lui Newton a polinomului de interpolare sausimplu, polinomul lui Newton.In practica este uneori preferabil sa utilizam polinomul lui Newton.Observam ca
Nm(x0, x0 + h, ..., x0 + mh; f |x) =(1.35)
=m∑
k=0
k!hk
(x−x0h
k
)[x0, x0 + h, ..., x0 + kh; f ] .
Datorita relatiei de recurenta pe care diferentele divizate o verifica, forma(1.34) pare convenabila din punct de vedere al calculului.Diferentele divizate sunt usor de manuit si astfel scrierea unor marimi prinintermediul lor este necesara. De exemplu ın Πm sa consideram urmatoareledoua baze
B1 = 1, x, x2, ..., xmsi
B2 = 1, , x, , x(x− 1) , ..., . . . , x(x− 1)(x−m + 1) .
Se impune de a studia ,, matricea de trecere de la baza B1 la B2” sau ma-tricea de trecere de la baza B2 la B1. Altfel spus, sa se cerceteze proprietatile,, coeficientilor de legatura” s(n, k) si S(n, k) din egalitatile
x[n] = x(x− 1)(x− n + 1) =n∑
k=0
s(n, k)xk , 0 ≤ n ≤ m,
si respectiv
xn =n∑
k=0
S(n, k) x(x− 1)(x− k + 1)︸ ︷︷ ︸x[k]
.(1.36)
In literatura de specialitate, se utilizeaza terminologia:s(n, k) , k ∈ 0, 1, ..., n= numerele lui Stirling de speta ıntaia,S(n, k) = numerele lui Stirling de speta a doua.
Numerele S(n, k) din (1.36) se pot exprima elegant prin intermediul uneidiferente divizate : alegand ın (1.35) f(x) = xn , x0 = 0 , h = 1, gasim
xn =n∑
k=0
[0, 1, ..., k; en]x(x− 1) · · · (x− k + 1)︸ ︷︷ ︸=x[k]
22 Alexandru Lupas
ceea ce ınseamna ca ın (1.36)
S(n, k) = [0, 1, ..., k; en] .
Vom prezenta o aplicatie a polinomului lui Newton care este importanta ınstudiul unor formule de aproximare.
Teorema 6 Fie A : D[a, b] → R o functionala liniara, de forma
A(f) =n∑
k=0
ckf(xk)(1.37)
unde ck este independent de f si xi 6= xj pentru i 6= j.Atunci
A(f) =n∑
k=0
ak[x0, x1, ..., xk; f ](1.38)
unde
ak =n∑
j=k
cj(xj − x0)...(xj − xk−1) = A(ψk)
ψk(t) = (t− x0)...(t− xk−1), k ≥ 1, ψ0(t) = 1.
Demonstratie. Fie (Nnf)(x) = Nn(x0, x1, ..., xn; f |x); deoarece ın A(f)intervin numai valorile lui f pe x0, x1, ..., xn, iar pe de alta parte
(Nnf)(xk) = f(xk),
avem
A(f) = A(Nnf) = A
(n∑
k=0
ψk[x0, x1, ..., xk; f ]
)=
=n∑
k=0
A(ψk)[x0, x1, ..., xk; f ] .
In acelasi timp
A(ψk) =k−1∑
j=0
cjψk(xj) +n∑
j=k
cjψk(xj) =
=n∑
j=k
cj(xj − x0)...(xj − xk−1) = ak .
Aplicatie Operatorul lui Bernstein este Bn : D[0, 1] → Πn unde
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−kf
(k
n
).
Metode Numerice 23
Se pune problema de a cerceta comportarea acestui operator pe subspatiulΠm , m ≤ n . Sa aratam ca are loc implicatia
h ∈ Πm =⇒ Bnh ∈ (Πm) .
Alegem ın (1.38) [a, b] = [0, 1] si xk =k
n. Gasim
n∑
k=0
ckf
(k
n
)=
n∑
k=0
ak
[0,
1n
,2n
, ...,k
n; f
]
unde
ak =k!nk
n−k∑
j=0
(j + k
k
)cj+k .
In particular, pentru ck =(nk
)xk(1− x)n−k
ak =n!
nk(n− k)!xk
n−k∑
j=0
(n− k
j
)xj(1− x)n−k−j =
k!nk
(n
k
)xk
ceea ce implica
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−kf
(k
n
)=
=n∑
k=0
k!nk
(n
k
)[0,
1n
, ..,k
n; f
]xk .
(1.39)
Daca ın continuare presupuem h ∈ Πm avem[0,
1n
, ..,k
n; h
]= 0 pentru k ≥ m + 1
iar (1.39) atrage dupa sine Bnh ∈ Πm . Acest lucru nu reiesea clar dinforma initiala a lui Bnf .Se poate de asemenea arata valabilitatea urmatoarei afirmatii
Teorema 7 Fie A : D[a, b] → R o functionala liniara si pozitiva de forma(5.10) cu a ≤ x0 < x1 < x2 < . . . xn ≤ b . Presupunem
A(e0) = 1 , x =n∑
k=0
ckxk
si xp ≤ x < xp+1 . Atunci
A(f)− f (x) =n−1∑
j=1
(xj+1 − xj−1) [xj−1, xj , xj+1 ; f ] µj + ∆(f)
24 Alexandru Lupas
unde
µj =
A(|xj − ·|+) , j ∈ 1, 2, . . . , p
A(|· − xj |+) , j ∈ p + 1, . . . , n
∆(f) = ∆(f ;x) =
0 , x = xp
(x− xp)(xp+1 − x) [xp, x, xp+1 ; f ] , xp < x < xp+1 .
In plus0 ≤ µ1 ≤ µ2 ≤ . . . ≤ µp ≤ A
(|x− ·|+)
=
= A(|· − x|+
) ≥ µp+1 ≥ µp+2 ≥ . . . ≥ µn ≥ 0 .
Cu notatia de mai sus , precizam ca are loc egalitatea
µp+1 − µp = A(ψp) , ψp(t) =
t− xp ≥ 0 , t ∈ [a, xp]0 , t ∈ (xp, xp+1)t− xp+1 ≤ 0 , t ∈ [xp+1, b]
1.3.3 Restul ın interpolarea pe puncte distincte
Fie f : [a, b] → R si fara sa restrangem generalitatea sa presupunem caa ≤ x0 ≤ x1 . . . ≤ xm ≤ b. Sa notam cu Lmf polinomul lui LagrangeLm(x0, x1, . . . xm; f |·) sau polinomul lui Newton Nm(x0, x1, . . . xm; f |·). Deasemenea, fie h : [x0, xm] → R definita prin:
h(x) = f(x)− (Lmf)(x).
Din (5.7)
h(x) = ω(x)[x, x0, x1, . . . , xm; f ] , ω(x) =m∏
j=0
(x− xj) ,(1.40)
si evident
h(x0) = 0 , h(x1) = 0, . . . , h(xm−1) = 0 , h(xm) = 0.(1.41)
Ipoteza : Presupunem ca f ∈ C(m−1)[x0, xm] si f (m) exista pe intervalul(x0, xm). In acesta ipoteza exista punctele α1, α2, . . . , αm astfel ca
x0 < α1 < x1 < α2 < . . . < xm−1 < αm < xm
sih′(α1) = 0, h′(α2) = 0, . . . , h′(αm−1) = 0, h′(αm) = 0.
Prin urmare exista si β1, β2, . . . , βm−1 cu proprietatile
x0 < α1 < β1 < α2 < β2 < α3 < . . . < αm−1 < βm−1 < αm < xm
Metode Numerice 25
si ın plush′′(β1) = 0, h′′(β2) = 0, . . . , h′′(βm−1) = 0.
In consecinta exista ın intervalul deschis (x0, xm) punctele
ξ1,k < ξ2,k < . . . < ξm−k,k
pentru care
h(k+1)(ξ1,k) = 0, h(k+1)(ξ2,k) = 0, . . . , h(k+1)(ξm−k,k) = 0(1.42)
(k = 0, 1, . . . ,m− 1).
Sa observam ca
h(m)(x) = f (m)(x)− (Lmf)(m)(x) = f (m)(x)−m![x0, x1, . . . , xm; f ].
Considerand ın (1.42) k = m− 1 rezulta ca exista θ astfel ca
h(m)(θ) = f (θ)(x)−m![x0, x1, . . . , xm; f ] = 0
(x0 < θ < xm)
Prin urmare am demonstrat :
Lema 5 Fie x0, x1, . . . , xm un sistem de puncte si
K =[min
ixi, max
ixi
], K =
(min
ixi,max
ixi
).
Daca f ∈ C(m−1)(K) iar derivata f (m) exista pe K, atunci exista cel putinun punct θ, θ ∈ K astfel ıncat
[x0, x1, . . . , xm; f ] =f (m)(θ)
m!(1.43)
Este clar ca ın teorema de medie (1.43) punctul intermediar θ depinde def,m, x0, . . . , xm.
Teorema 8 Fie Lmf polinomul de interpolare, de grad cel mult m, atasatunei functii f : K → R. Daca
i) f ∈ C(m)(K),ii) f are o derivata de ordinul m + 1 pe K,
atunci exista ın K cel putin un punct ξ astfel ıncat
f(x)− (Lmf)(x) = ω(x)f (m+1)(ξ)(m + 1)!
.(1.44)
26 Alexandru Lupas
Demonstratie. Daca x = xj unde xj este unul dintre nodurile de interpo-lare, atunci (1.44) este evidenta. Pentru x 6= xj teorema de medie (1.44)rezulta din (1.40).
Teorema 9 Fie Km : [a, b]× [a, b] → R definita prin
Km(x, t) = |x− t|m+ − Lm(| · −t|m+ ;x)
|x− t|m+ =(
x− t + |x− t|2
)=
(x− t)m , a ≤ t ≤ x ≤ b
0 , a ≤ x < t ≤ b.
Daca f ∈ C(m+1)[a, b], atunci
f(x)− (Lmf)(x) =1m!
∫ b
aKm(x, t)f (m+1)(t) dt .(1.45)
Demonstratie. Pentru m fixat sa notam
Af = f − Lmf , ϕt(y) = |y − t|m+ .
Pe de o parteAh = 0 pentru h ∈ Πm ,
iar pe de alta
f(y) = h0(y) +1m!
∫ y
a(y − t)mf (m+1)(t) dt , h0 ∈ Πm ,
sau
f(y) = h0(y) +1m!
∫ b
aϕt(y)f (m+1)(t) dt .
Astfel
(Af)(x) = (Ah0)(x) +1m!
∫ b
a(Aϕt)(x)f (m+1)(t)dt =
=1m!
∫ b
aKm(x, t)f (m+1)(t)dt
ceea ce trebuia sa demonstram.Teorema (9) se gaseste expusa in G. Kowalewski [?]; ulterior, sub o forma
mai generala, formula (1.45) a fost demonstrata de G. Peano. 5
5Giuseppe Peano (1858-1932) matematician italian , elev al lui Genocchi , profesor laAcademia Militara din Torino iar apoi la Universitatea din Torino. In anul 1889 publicacelebrele axiome ale multimii numerelor naturale. Este unul dintre fondatorii Logicii Sim-bolice si a Axiomatizarii Matematicii. Desi logician cu ,,urmasi ” ca Bertrand Russell sauAlfred North Whitehad , el ısi aprecia ın mod deosebit rezultatele din Analiza Matematica.De asemenea , ın anul 1903 a creat o limba artificiala (similara cu Esperanto) cunoscutasub numele de ,, Latino sine Flexione” sau ,,Interlingua” .
Metode Numerice 27
1.4 Formula fundamentala de transformare
EgalitateaN∑
k=0
= a0
N∑
i=0
pi +N−1∑
j=0
(aj − aj+1)N∑
i=j+1
pi(1.46)
este cunoscuta ca fiind ,, identitatea lui Abel-Brunacci ”.Aplicand repetat (1.46) se demonstreaza
Lema 6 Daca m ∈ N , m ≤ N si ∆νaj =ν∑
k=0
(−1)ν−k
(ν
k
)aj+k , atunci
N∑
i=0
piai =
=m−1∑
j=0
∆ja0
N∑
i=j
(i
j
)pi +
N−m∑
j=0
∆maj
N∑
i=j+m
(i− j − 1m− 1
)pi
.(1.47)
Identitatea (1.47) are aplicatii ın teoria sumabilitatii seriilor sau ın studiulunor metode de accelerare a convergentei unor siruri.Din (1.46) rezulta o identitate numita de catre Tiberiu Popoviciu [?] ca fiind,, formula fundamentala de transformare a diferentelor divizate ” . Aceastaeste urmatoarea
Teorema 10 (T. Popoviciu). Fie I ⊆ R , α, β, m ∈ Z , α ≤ β , 1 ≤ m ≤β − α si xα, xα+1 , , . . . , xβ un sistem de puncte distincte din I . Dacapk ∈ R si f : I → R , atunci
β∑
i=α
pif(xi) =m+α−1∑
j=α
Aj · [xα, xα+1, . . . , xj ; f ] +
+β−m∑
j=α
Bj · [xj , xj+1, . . . , xj+m ; f ]
(1.48)
unde
Aj =β∑
i=j
ai(xi − xα) . . . (xi − xj−1)
Bj = (xj+m − xj)β∑
i=j+m
ai(xi − xj+1) . . . (xi − xj+m−1) .
28 Alexandru Lupas
1.5 Interpolarea pe noduri multiple
Fie(∆) : x1 < x2 < . . . < xn(1.49)
un sistem de puncte distincte situate ıntr-un interval [a, b]. Sa consideramnumerele naturale α1, α2, . . . , αn si fie
α = (α1, α2, . . . , αn) .
Notam prin Dα[a, b] multimea tuturor functiilor f : [a, b] → R cu propri-etatea ca exista derivatele
f (α1−1)(x1), f (α2−1)(x2), . . . , f (αn−1)(xn) .
Punctul α ∈ Nn este ,, vectorul de incidenta atasat diviziunii (∆)” .Problema interpolarii pe puncte distincte se poate extinde ın urmatoareamaniera : fiind data o submultime H din Dα[a, b] se cere sa se studiezeexistenta unui operator
H : Dα[a, b] → Hcu proprietatea ca oricare ar fi f din Dα[a, b] functia Hf sa aiba cu f pepunctele x1, x2, . . . , xn contacte de ordin α1 − 1, α2 − 1, . . . , αn − 1 . Aceastava ınsemna ca pentru k ∈ 1, 2, . . . , n
(Hf)(j)(xk) = f (j)(xk) , 0 ≤ j ≤ αk − 1 .(1.50)
Deoarece Dα[a, b] se poate considera ca si un spatiu liniar real, ın majoritateasituatiilor subspatiul H va fi finit-dimensional. Cu ajutorul diviziunii (∆)precizata ın (1.49) si a vectorului de incidenta α construim o noua diviziune
(∆α) : x∗1 ≤ x∗2 ≤ . . . ≤ x∗N+1 , N + 1 =n∑
k=1
αk(1.51)
a intervalului [a, b], astfel:
x∗1 = x∗2 = . . . = x∗α1= x1,
x∗α1+1 = x∗α1+2 = . . . = x∗α1+α2= x2,
...
x∗Nν−1+1
= x∗Nν−1+2
= . . . = x∗Nν
= xν ,
...
x∗Nn−1+1
= x∗Nn−1+2
= . . . = x∗Nn
= xn.
Metode Numerice 29
Nν =ν∑
k=1
αk , N0 := 0 .
Cu alte cuvinte, vom considera ca multimea (∆α) contine punctele (nuneaparat distincte)
x1, x1, . . . , x1︸ ︷︷ ︸α1
, x2, x2, . . . , x2︸ ︷︷ ︸α2
, . . . , xn, xn, . . . , xn︸ ︷︷ ︸αn
.
Avand ın vedere simplificarea expunerii rezultatelor, consideram ca H esteΠN . Aceasta deoarece ın (1.50) avem, pentru determinarea lui Hf , unnumar de N + 1 conditii iar pe de alta parte dim(ΠN ) = N + 1 , unde
N =n∑
k=1
αk − 1 .
Problema interpolarii polinomiale pe nodurile multiple (∆α) se poate for-mula dupa cum urmeaza :fiind data o functie f, f ∈ Dα[a, b] , sa se studieze existenta si unicitatea unuipolinom HNf ∈ ΠN , astfel ıncat egalitatile
(HNf) (x1) = f(x1) , . . . , (HNf)(α1−1) (x1) = f (α1−1)(x1)
(HNf) (x2) = f(x2) , . . . , (HNf)(α2−1) (x2) = f (α2−1)(x2)
...(1.52)
(HNf) (xn) = f(xn) , . . . , (HNf)(αn−1) (xn) = f (αn−1)(xn)
sa fie verificate.In vederea elucidarii existentei lui HNf sa consideram matricile
Aαj (xj), j = 1, 2, . . . , n
de tipul αj × (N + 1) precizate prin
Aαj (xj) =
=
e0(xj) e1(xj) . . . eN (xj)e′0(xj) e′1(xj) . . . e′N (xj)
...... . . .
...e(αj−1)0 (xj) e
(αj−1)1 (xj) . . . e
(αj−1)N (xj)
,
unde e0(t) = 1 , ek(t) = tk .
30 Alexandru Lupas
Introducem urmatorul determinant Vandermonde generalizat.
VN+1
(x1, x2, . . . , xn
α1, α2, . . . , αn
):= det
Aα1(x1)Aα2(x2)
...Aαn(xn)
=
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e0(x1) e1(x1) . . . eN (x1)...
......
e(α1−1)0 (x1) e
(α1−1)1 (x1) . . . e
(α1−1)N (x1)
......
...e0(xn) e1(xn) . . . eN (xn)e ′0(xn) e ′1(xn) . . . e ′N (xn)
...... . . .
...e(αn−1)0 (xn) e
(αn−1)1 (xn) . . . e
(αn−1)N (xn)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(1.53)
Daca, de exempluα1 = α2 = . . . = αn = 1 ,
atunci N = n− 1 iar (1.53) devine
Vn
(x1, x2, . . . , xn
1, 1, . . . , 1
)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x1 . . . xn−11
1 x2 . . . xn−12
...... . . .
...1 xn . . . xn−1
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∏
1≤j<k≤n
(xk − xj) .
In cazul n = 1, α1 = N + 1, gasim
VN+1
(x1
N + 1
)= W (e0, e1, . . . , eN ; x1) =
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x1 x12 . . . xN
1
0 1 2x1 . . . NxN−11
0 0 2! . . . N(N − 1)xN−21
......
... . . ....
0 0 0 . . . N !
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=N∏
j=1
j! .
Prin W (ϕ1, . . . , ϕm;x) s-a notat determinantul lui Wronski asociat sistemu-lui de functii ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm, adica
W (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm) :=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ϕ1(x) ϕ2(x) . . . ϕm(x)ϕ′1(x) ϕ′2(x) . . . ϕ′m(x)
...... . . .
...ϕ
(m−1)1 (x) ϕ
(m−1)2 (x) . . . ϕ
(m−1)m (x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
Metode Numerice 31
Lema 7 . Fie N un numar natural arbitrar. Pentru orice alegere a nu-merelor naturale α1, α2, . . . , αn astfel ca
α1 + α2 + . . . + αn = N + 1
si oricare ar fi numerele reale sau complexe
x1, x2, . . . , xn,(1.54)
are loc egaliatea
VN+1
(x1, x2, . . . , xn
α1, α2, . . . , αn
)=(1.55)
=
(n∏
k=1
αk−1∏
i=1
i!
)·
∏
1≤j<k≤n
(xk − xj)αkαj .
Demonstratie. Daca ın sistemul (1.54) exista doua puncte egale, atunci(1.55) este demonstrata. Vom presupune ın continuare ca (1.54) este unsistem de puncte distincte, deci
xi 6= xj pentru i 6= j .
Mentionam ca ın cazul particular n = 1, egalitatea (1.55) devine
VN+1
(x1
N + 1
)=
N∏
i=1
i!
pe care am justificat-o anterior. Demonstram (1.55) prin inductie completaasupra lui N . Daca N = 1, atunci
V2
(x1
2
)=
∣∣∣∣1 x1
0 1
∣∣∣∣ = 1!, V2
(x1, x2
1, 1
)=
∣∣∣∣1 x1
1 x2
∣∣∣∣ = x2 − x1.
Pentru N = 2, distingem urmatorii determinanti distincti
V3
(x1
3
)=
∣∣∣∣∣∣
1 x1 x21
1 1 2x1
0 0 2
∣∣∣∣∣∣= 1!2!,
V3
(x1, x2
1, 2
)=
∣∣∣∣∣∣
1 x1, x21
1 x2, x22
0 1 2x2
∣∣∣∣∣∣= (x2 − x1)2,
V3
(x1, x2, x3
1, 1, 1
)=
∣∣∣∣∣∣
1 x1 x21
1 x2 x22
1 x3 x23
∣∣∣∣∣∣=
∏
1≤j<k≤3
(xk − xj).
32 Alexandru Lupas
Se constata ca (1.55) este adevarata ın cazul N = 1 si N = 2. Presupunemca daca y1, y2, . . . , ym sunt distincte si β1, β2, . . . , βm sunt numere naturaleastfel ca β1 + β2 + . . . + βm = N, atunci
VN
(y1, y2, . . . , ym
β1, β2, . . . , βm
)=(1.56)
=
(m∏
k=1
βk−1∏
i=1
i!
)·
∏
1≤j<k≤m
(yk − yj)βkβj .
Fie α1, α2, . . . , αn astfel ca α1 + α2 + . . . + αn = N + 1. Daca toti αj suntegali cu 1, atunci determinantul din (1.55) este de tip Vandermonde. Sapresupunem ca cel putin unul dintre α1, α2, . . . , αn este strict mai maredecat 1. De exemplu, fie αn ≥ 2 si x1, x2, . . . , xn un sistem de punctedistincte. Consideram determinantul
∆(x) := VN+1
(x1, x2, . . . , xn−1, xn, xα1, α2, . . . , αn−1, αn − 1, 1
).
Dezvoltand acest determinant dupa elementele ultimei linii constatam ca∆(x) este un polinom de gradul N ın x ; ın plus
∆(x) = A(x− x1)α1(x− x2)α2 . . . (x− xn−1)αn−1(x− xn)αn−1
unde
A = VN
(x1, x2, . . . , xn−1, xn
α1, α2, . . . , αn−1, αn − 1
).
Utilizand (1.56) pentru m = n si
(y1, y2, . . . , yn) = (x1, x2, . . . , xn)
(β1, β2, . . . , βn) = (α1, α2, . . . , αn) ,
obtinemA =(1.57)
=1
(αn − 1)!
(n∏
k=1
αk−1∏
i=1
i!
)
n−1∏
j=1
(xn − xj)(αn−1)αj
n−1∏
k=2
k−1∏
j=1
(xk − xj)αkαj .
De asemenea
VN+1
(x1, x2, . . . , xn
α1, α2, . . . , αn
)= ∆(αn−1)(xn).(1.58)
Dar∆(αn−1)(xn)
(αn − 1)!=
Metode Numerice 33
= limx→xn
1(x− xn)αn−1
[∆(x)−
αn−2∑
k=0
(x− xn)k
k!∆(k)(xn)
]=
= limx→xn
∆(x)(x− xn)αn−1
= An−1∏
j=1
(xn − xj)αj .
Astfel, utilizand (1.58) iar apoi (1.57), gasim
VN+1
(x1, x2, . . . , xn
α1, α2, . . . , αn
)= A(αn − 1)
n−1∏
j=1
(xn − xj)αj =
=
(n∏
k=1
αk−1∏
i=1
i!
)
n−1∏
j=1
(xn − xj)αnαj
n−1∏
k=2
k−1∏
j=1
(xk − xj)αkαj =
=
(n∏
k=1
αk−1∏
i=1
i!
) ∏
1≤j<k≤n
(xk − xj)αkαj ,
ceea ce demonstreaza (1.55).
Teorema 11 Fie a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b, α = (α1, α2, . . . , αn) unvector de incidenta si f o functie arbitrara din Dα[a, b] .Daca
N + 1 = α1 + α2 + . . . + αn ,
atunci exista un singur polinom HNf, de grad cel mult N, care verificaegalitatile (1.52).
Demonstratie. Sa consideram sistemul liniar de N +1 ecuatii cu necunos-cutele c0, c1, . . . , cN precizat astfel:
Aαj (xj)
c0
c1...
cN
=
f(xj)f ′(xj)
...f (αj−1)(xj)
, j ∈ 1, 2, . . . , n.(1.59)
Determinantul acestui sistem este
∆ = VN+1
(x1, x2, . . . , xn
α1, α2, . . . , αn
).
Deoarece xj 6= xk pentru j 6= k, din (1.55) rezulta ca ∆ 6= 0 ceea ce implicaexistenta unei singure solutii c∗0, c
∗1, . . . , c
∗N . Fie
HN (x) :=N∑
k=0
c∗kxk.(1.60)
Avem HN ∈ ΠN iar din (1.59) rezulta ca conditiile (1.52) sunt satisfacute.
34 Alexandru Lupas
Definitia 8 Polinomul HNf , de grad cel mult N, care interpoleaza o functief, f ∈ Dα[a, b], pe nodurile multiple (1.51)
(∆α) : x∗1 ≤ x∗2 ≤ . . . ≤ x∗N+1,
ın sensul precizat ın (1.52), se numeste polinomul de interpolare al lui Her-mite. Utilizam notatia
(HNf) (x) = HN (x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f |x) .
Operatorul liniar HN : Dα[a, b] → ΠN care asociaza unei functii f polino-mul HNf se numeste ,, operatorul de interpolare al lui Hermite ”.
Liniaritatea acestui operator decurge din observatia ca ın (1.60) c∗k, k =0, 1, . . . , N sunt functionale liniare Dα[a, b] → R; aceasta chestiune estejustificata prin (1.59). 6 Din Teorema 11, rezulta valabilitatea urmatoareiafirmatii :
Corolar 4 . Fie x1 < x2 < . . . < xn si α = (α1, α2, . . . , αn) un vector deincidenta. Daca N +1 = α1 +α2 + . . .+αn iar f, g sunt polinoame de grad≤ N, astfel ıncat
f (j)(xk) = g(j)(xk) , j ∈ 0, 1, . . . , αk − 1 , k ∈ 1, 2, . . . , n.
atunci f = g.
1.5.1 Reprezentarea polinomului lui Hermite
In aceasta sectiune ne propunem sa gasim o reprezentare a polinomului HNf ,f ∈ Dα[a, b], care interpoleaza functia f pe nodurile multiple
(∆α) : x∗1 ≤ x∗2 ≤ . . . ≤ x∗N+1
x∗Nν−1+1 = x∗Nν−1+2 = . . . = x∗Nν= xν ,
N0 := 0, Nν :=ν∑
k=1
αk, N + 1 = Nn, n = 1, 2, . . . , n,
a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b.
Existenta si unicitatea acestui polinom HNf , care verifica
(HNf)(j)(xk) = f (j)(xk), j = 0, 1, . . . , αk − 1, k = 1, 2, . . . , n,
a fost demonstrata ın cadrul Teoremei 11 .6Polinomul HNf a fost considerat pentru prima data de catre matematicianul francez
Charles Hermite (1822-1901). Amintim ca Charles Hermite este cel care pentru primaoara a demonstrat ın 1873 faptul ca numarul ,, e” este transcendent.
Metode Numerice 35
Lema 8 Fie p ∈ Πm cu p(a) 6= 0 si
tγ−1−i(h;x) :=γ−1−i∑
ν=0
(x− a)ν
ν!h(ν)(a) ,
unde h(ν)(a) exista, iar γ ≥ 1, i ∈ 0, 1, . . . , γ − 1 . Daca
φi(x) := p(x)tγ−1−i
(1p, x
), Λi(x) :=
(x− a)i
i!φi(x) ,
atunci φi ∈ Πm+γ−1−i , Λi ∈ Πm+γ−1 si
φ(ν)i (a) =
0 , ν = 01 , ν ≥ 1
(1.61)
Λ(j)i (a) = δij =
0, i 6= j
1, i = j.(1.62)
Demonstratie. Deoarece pentru s ∈ 0, 1, . . . , γ − 1− i avem
ds
dxstγ−1−i(h; x)
∣∣∣∣x=a
= t(s)γ−1−i(h; a) = h(s)(a) ,
gasim
φ(ν)i (a) =
ν∑
s=0
(ν
s
)p(ν−s)(a)t(s)γ−1−i
(1p; a
)=
=ν∑
s=0
(ν
s
)p(ν−s)(a)
(1p
)(s)
(a) =
=dν
dxν
[p(x)
1p(x)
]
x=a
=
1, ν = 00, ν ≥ 1
,
ceea ce demonstreaza (1.61). Dar
Λ(j)i (x) =
j∑
ν=max0,j−i
(j
ν
)φ
(ν)i (x)
(x− a)i−j+ν
(i− j + ν)!
si astfelΛ(j)
i (a) = δij ,
ceea ce constituie (1.62).Sa consideram ω ca fiind polinomul nodurilor din (∆α), adica
ω(x) =N+1∏
j=1
(x− x∗j ) =n∏
k=1
(x− xk)αk .(1.63)
36 Alexandru Lupas
Fie
Tαk−1−i(h; x) =αk−1−i∑
ν=0
(x− xk)ν
ν!h(ν)(xk) , k ∈ 1, 2, . . . , n
si
pk(x) =ω(x)
(x− xk)αk.
Notam
hi,k(x) =(x− xk)i
i!pk(x)Tαk−1−i
(1p; x
)(1.64)
(i ∈ 0, 1, . . . , αk − 1 , k ∈ 1, 2, . . . , n.
Definitia 9 Polinoamele hi,k definite ın (1.64) se numesc polinoamele fun-damentale de interpolare ale lui Hermite.
Conform Lemei 8 , concludem ca hi,k poseda proprietatile:
1. hi,k ∈ ΠN ;
2. hi,k(x) = a0,N (i, k)xn + · · ·, unde
a0,N (i, k) =1
(αk − 1)!
(αk − 1
i
)·[(x− xk)αk
ω(x)
](αk−1−i)
x=xk
;(1.65)
3. pentru k ∈ 1, 2, ..., n sunt verificate egalitatile
h(j)i,k (xν) = 0 , k 6= ν , 0 ≤ j ≤ αk − 1
(1.66)
h(j)i,k (xk) = δij , 0 ≤ i ≤ αk − 1 , 0 ≤ j ≤ αk − 1
Daca notam
Q(x) :=n∑
k=1
αk−1∑
i=0
hi,k(x)f (i)(xk),
atunci Q ∈ ΠN , iar din (1.65) constatam ca
Q(x) = d0,N (f)xn + · · · ,
unde
d0,N (f) =n∑
k=1
αk−1∑
i=0
a0,N (i, k)f (i)(xk) =(1.67)
Metode Numerice 37
=n∑
k=1
1(αk − 1)!
αk−1∑
i=0
(αk − 1
i
)[(x− xk)αk
ω(x)
](αk−1−i)
x=xk
f (i)(xk) =
=n∑
k=1
1(αk − 1)!
[(x− xk)αk
ω(x)f(x)
](αk−1−i)
x=xk
Din (1.66) , pentru 1 ≤ ν ≤ n, j = 0, 1, . . . , αν − 1, avem
Q(j)(xν) =n∑
k=1
αk−1∑
i=0
h(j)i,k (xν)f (i)(xk) =
=αk−1∑
i=0
h(j)i,ν (xν)f (i)(xν) = f (i)(xν).
Teorema 11 ne permite sa afirmam ca Q = HNf , ceea ce demonstreaza :
Teorema 12 Operatorul de interpolare al lui Hermite HN : Dα[a, b] → ΠN ,unde α = (α1, α2, . . . , αn) , admite reprezentarea
(HNf)(x) =n∑
k=1
αk−1∑
i=0
hi,k(xk)f (i)(xk) =(1.68)
=n∑
k=1
ω(x)(x− xk)αk
αk−1∑
i=0
(x− xk)i
i!f (i)(xk)
αk−1−i∑
j=0
aj(k)(x− xk)j
j!,
unde
aj(k) =[(t− xk)αk
ω(t)
](j)
t=tk
, ω(x) =n∏
ν=1
(x− xν)αν .
Sa notam prin [x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f ] sau
[x1, . . . , x1︸ ︷︷ ︸α1
, x2, . . . , x2︸ ︷︷ ︸α2
, . . . , xn, . . . , xn︸ ︷︷ ︸αn
; f ]
coeficientul lui xN ın (HNf) (x) .
Definitia 10 Diferenta divizata a unei functii f , f ∈ Dα[a, b] pe nodurilemultiple x1, . . . , x1︸ ︷︷ ︸
α1
, x2, . . . , x2︸ ︷︷ ︸α2
, . . . , xn, . . . , xn︸ ︷︷ ︸αn
, este numarul
[x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f ] ≡ [x1, . . . , x1︸ ︷︷ ︸
α1
, x2, . . . , x2︸ ︷︷ ︸α2
, . . . , xn, . . . , xn︸ ︷︷ ︸αn
; f ] .
Utilizand (1.67) deducem urmatoarea afirmatie :
38 Alexandru Lupas
Lema 9 Daca (HNf)(x) = [x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f ]xN + · · · , atunci
[x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f ] =
n∑
k=1
1(αk − 1)!
[(t− xk)αk
ω(t)f(t)
](αk−1)
t=xk
.(1.69)
O alta reprezentare a polinomului de interpolare al lui Hermite este prezen-tata ın teorema urmatoare.
Teorema 13 Are loc egalitatea
HN (x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; fx) = ω(x)[x∗1, x
∗2, . . . , x
∗N+1; Fx],(1.70)
unde
Fx(t) =f(t)x− t
.
Demonstratie. Din (1.68) avem
(HNf)(x) = ω(x)n∑
k=1
αk−1∑
i=0
1i!
f (i)(xk)αk−1−i∑
j=0
1j!
aj(k)1
(x− xk)αk−i−j.
Deoarecedν
dtν
(1
x− t
)∣∣∣∣t=xk
=ν!
(x− xk)ν+1,
utilizand regula lui Leibniz referitoare la derivata de ordin superior a unuiprodus, gasim
αk−1−i∑
j=0
1j!
aj(k)1
(x− xk)αk−i−j=
1(αk − 1− i)!
[1
x− t· (t− xk)αk
ω(t)
](αk−1−i)
t=xk
.
Deci(HNf)(x) =
= ω(x)n∑
k=1
1(αk − 1)!
αk−1∑
i=0
(αk − 1
i
)f (i)(xk)
[1
x− t· (t− xk)αk
ω(t)
](αk−1−i)
t=xk
=
= ω(x)n∑
k=1
1(αk − 1)!
[(t− xk)αk
ω(t)· f(t)x− t
](αk−1)
t=xk
=
= ω(x)[x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; Fx] .
Pentru a studia restul ın interpolarea unei functii f din Dα[a, b] prin inter-mediul operatorului de interpolare al lui Hermite, sa consideram nodurilemultiple
x1, x2, . . . , xN+1, xN+2(1.71)
Metode Numerice 39
generate de punctele distincte x1, x2, . . . , xn, x din [a, b] si de vectorul deincidenta α = (α1, α2, . . . , αn, 1). Aceasta ınseamna ca (1.71) sunt punctele
x∗1, x∗2, . . . , x∗N+1, x
saux1, x1, . . . , x1︸ ︷︷ ︸
α1
, x2, x2, . . . , x2︸ ︷︷ ︸α2
, . . . , xn, xn, . . . , xn︸ ︷︷ ︸αn
, x.
Daca
ω(t) =N+2∏
j=1
(t− xj) = (t− x)ω(t)
siα = (α1, α2, . . . , αn, αn+1),
atunci din (1.67) –( 1.69) rezulta
[x1, x2, . . . , xN+1, xN+2; f ] = [x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1, x; f ] =
=n+1∑
k=1
1(αk − 1)!
[(t− tk)αk
ω(t)f(t)
](αk−1)
t=xk
,
undexj = xj , j = 1, 2, . . . , n, xn+1 = x,
sau[x∗1, x
∗2, . . . , x
∗N+1, x; f ]=
=n∑
k=1
1(αk − 1)!
[(t− xk)αk
ω(t)· f(t)t− x
](αk−1)
t=xk
+t− xn+1
ω(t)f(t)
∣∣∣∣t=xn+1
=
= − [x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; Fx] +
f(x)ω(x)
.
Avand ın vedere ( 1.70) concludem cu
Teorema 14 Daca f ∈ Dα[a, b] si
ω(x) =N+1∏
j=1
(x− x∗j ) =n∏
k=1
(x− xk)αk ,
atunci
f(x)−HN (x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f |x) = ω(x)[x∗1, x
∗2, . . . , x
∗N+1, x; f ],(1.72)
unde x este un nod simplu.
Mentionam ca daca x coincide cu unul dintre nodurile distincte
x1, x2, . . . , xn ;
atunci vom atribui valoarea zero membrului drept din (1.72).
40 Alexandru Lupas
1.5.2 Cazuri particulare
In continuare prezentam unele cazuri particulare de reprezentare a polino-mului lui Hermite.(A)Cazul nodurilor simple, deci cand
α1 = α2 = . . . = αn = 1 , N = n− 1 .
Se obtine Hn−1 (x1, x2, . . . , xn; f |x) = Ln−1 (x1, x2, . . . , xn; f |x) unde Ln−1
este operatorul de interpolare al lui Lagrange .(B) Cazul nodurilor duble : ın aceasta situatie
α1 = α2 = . . . = αn = 2 , N = 2n− 1 .
Daca w(t) =n∏
k=1
(t− xk) , din (1.68) obtinem
aj(k) =dj
dtj
(t− xk
w(t)
)2∣∣∣∣∣t=xk
,
adica
a0(k) =1
w′2(xk), a1(k) = −w′′(xk)
w′3(xk).
Cu notatia
φk(x) =[
w(x)(x− xk)w′(xk)
]2
(1.73)
se obtine
H2n−1(x1, x1, x2, x2, . . . , xn, xn; f |x) =n∑
k=1
φk(x)Ak(f ; x) ,(1.74)
unde
Ak(f ; x) := f(xk) + (x− xk)[f ′(xk)− w ′′(xk)
w ′(xk)f(xk)
].
(C) Cazul nodurilor
x1, x1︸ ︷︷ ︸, x2, x2︸ ︷︷ ︸, . . . , xn, xn︸ ︷︷ ︸, xn+1 ;
Vom presupune ca x1, x2, . . . , xn, xn+1 sunt distincte ın [a, b] iar vectorulde incidenta α = (α1, α2, . . . , αn, αn+1) are coordonatele
α1 = α2 = . . . = αn = 2 , αn+1 = 1 .
Atunci
ω(t) = (t− xn+1)w2(t) , w(t) =n∏
k=1
(t− xk) .
Metode Numerice 41
Cu notatia utilizata ın (1.68) , avem
a0(k) =1
xk − xn+1· 1w′2(xk)
, 1 ≤ k ≤ n
a0(n + 1) =1
w′2(xk)...
a1(k) = − 1(xk − xn+1)2
· 1w′2(xk)
− w′′(xk)(xk − xn+1)w′3(xk)
.
In concluzie, N = 2n , iar daca notam c = xn+1 , deducem egalitatea
H2n (x1, x1, x2, x2, . . . , xn, xn, c; f |x) =w2(x)w2(c)
f(c)+
+(x− c)n∑
k=1
φk(x)xk − c
bk(f ; x) ,
(1.75)
unde φk a fost precizat ın (1.73) iar
bk(f ; x) = f(xk) + (x− xk)[f ′(xk)− w′′(xk)
w′(xk)f(xk)− 1
xk − cf(xk)
].
(D) Cazul nodurilor :
x1, x1︸ ︷︷ ︸, x2, x2︸ ︷︷ ︸, . . . , xn, xn︸ ︷︷ ︸, xn+1, xn+2
unde x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2 sunt distincte doua cate doua si situateıntr-un interval [a, b] al axei reale. Vectorul de incidenta asociat nodurilormultiple
x∗1 ≤ x∗2 ≤ . . . ≤ x∗2n+2 , N = 2n + 1
este α = (α1, α2, . . . , αn, αn+1, αn+2) = (2, 2, . . . , 2, 1, 1). Pentru simplifi-carea notatiei, fie xn+1 = c, xn+2 = d. Atunci
ω(t) = (t− c)(t− d)w2(t) , w(t) =n∏
k=1
(t− xk) .
Pentru a utiliza (1.68), gasim
a0(k) = − 1(xk − c)(d− xk)w′2(xk)
, k ∈ 1, 2, . . . , n ;
a0(n + 1) = − 1(d− c)w2(c)
;
42 Alexandru Lupas
a0(n + 2) =1
(d− c)w2(d);
a1(k) =
=1
(xk − c)2(d− xk)2w′2(xk)
(c + d− 2xk + (xk − c)(d− xk)
w′′(xk)w′(xk)
).
In final se deduce faptul ca
H2n+1 (x1, x1, x2, x2, . . . , xn, xn, c, d; f |x) =
=d− x
d− c
(w(x)w(c)
)2
f(c) +x− c
d− c
(w(x)w(d)
)2
f(d)+
+(x− c)(d− x)n∑
k=1
φk(x)(xk − c)(d− xk)
Ck(f ;x)
(1.76)
cu φk precizat ın (1.73) si
Ck(f ; x) = f(xk)+
+(x− xk)(f ′(xk)− w′′(xk)
w′(xk)f(xk)− c + d− 2xk
(xk − c)(d− xk)f(xk)
).
(E) Cazul n = 1, α1 = N + 1; Se obtine imediat faptul ca
HN (x1, x1, . . . , x1; f |x) =N∑
i=0
(x− x1)i
i!f (i)(x1)
si regasim astfel polinomul lui Taylor.(F) Cazul n = 2 , α1 = α2 = n , N = 2n − 1 , adica situatia ın careavem doua noduri distincte, ambele fiind multiple de ordinul n . Fie acestenoduri
a, a, . . . , a︸ ︷︷ ︸n
, b, b, . . . , b︸ ︷︷ ︸n
si L2n−1f polinomul de interpolare atasat acestor noduri, deci care verifica
(L2n−1f)(ν) (a) = f (ν)(a)(L2n−1f)(ν) (b) = f (ν)(b)
, ν ∈ 0, 1, . . . , n− 1.
Din (1.68) gasim :
Metode Numerice 43
Lema 10 Are loc reprezentarea
(L2n−1f) (x) := H2n−1( a, a, . . . , a︸ ︷︷ ︸n
, b, b, . . . , b︸ ︷︷ ︸n
; f |x) =
=(
b− x
b− a
)n n−1∑
i=0
1i!
(x− a
b− a
)i i∑
ν=0
(i
ν
)(n)i−ν(b− a)νf (ν)(a)+
+(
x− a
b− a
)n n−1∑
i=0
1i!
(b− x
b− a
)i i∑
ν=0
(−1)ν
(i
ν
)(n)i−ν(b− a)νf (ν)(b)
unde (n)k = n(n + 1) · · · (n + k − 1) .
1.5.3 O aplicatie
Unul dintre polinoamele des utilizate ın analiza numerica este polinomul luiLegendre, definit prin
Pn(x) =1
2nn.
Se constata ca Pn ∈ Πn si se arata usor ca Pn are toate radacinile reale, dis-tincte si situate ın (-1,1). De asemenea, Pn este solutie a ecuatiei diferentiale(ecuatia lui Legendre)
(1− x2)y′′(x)− 2xy′(x) + n(n + 1)y(x) = 0 .
O chestiune importanta revine la demonstrarea faptului ca
maxx∈[−1,1]
Pn(x) = Pn(1) = 1 ,
Lema 11 Daca Pn(x) este polinomul lui Legendre, atunci
|Pn(x)| ≤ 1, x ∈ [−1, 1] ,(1.77)
cazul de egalitate avand loc pentru x = −1 sau x = 1 .
Demonstratie. Prezentam o justificare eleganta a inegalitatii (1.77) :ın (1.75) fie f(x) = 1− P 2
n(x) si x1, x2, . . . , xn radacinile lui Pn . Atunci
w′′(xk)w′(xk)
=2xk
1− x2k
, f(xk) = 1, f ′(xk) = 0, f(−1) = 0.
Pentru c = −1, avem bk(f ; x) =1− x
1− xk. Astfel, din (1.75),
1− P 2n(x) = (1− x2)
n∑
k=1
11− x2
k
[Pn(x)
(x− xk)P ′n(xk)
]2
≥ 0 ,
ceea ce demonstreaza (1.77).
44 Alexandru Lupas
1.5.4 Restul ın interpolarea cu polinomul luiHermite
In cele de mai sus am prezentat o reprezentare a restului
RNf := f −HN (x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f |·) , f ∈ Dα[a, b].
Astfel, din (1.72)
(RNf)(x) = ω(x)[x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1, x; f ],
unde x este un nod simplu, si
ω(x) =N+1∏
j=1
(x− x∗j ) =n∏
k=1
(x− xk)αk , N + 1 =n∑
k=1
αk.
In cazul functiilor derivabile de un numar suficient de ori, exista si o altaposibilitate de scriere a restului. In acest scop avem nevoie de urmatoareageneralizare a teoremei lui Rolle:
Lema 12 Fie p, q numere ıntregi nenegative si x1 < x2. Presupunem cah : [x1, x2] → R verifica :
i) h ∈ C(p+q)[x1, x2] ;ii) exista h(p+q+1) pe intervalul (x1, x2) ;iii) h(x1) = h ′(x1) = . . . = h(p)(x1) = 0 si
h(x2) = h ′(x2) = . . . = h(p)(x2) = 0 .Atunci exista cel putin un punct θ, θ ∈ (x1, x2), astfel ıncat
h(p+q+1)(θ) = 0 .
Demonstratie. O metoda este de a aplica teorema lui Rolle. In cazulparticular al functiilor de clasa C(p+q+1)[x1, x2] exista si o alta justificare aconcluziei. Sa notam
ck(a, b; f) = (p + q − k)!(b− a)kf (k)(a).
Efectuand o integrare repetata prin parti, avem∫ x2
x1
(x− x1)q(x− x2)ph(p+q+1)(x)dx =
=q∑
k=0
(q
k
)ck(x2, x1;h)−
p∑
k=0
(p
k
)ck(x1, x2; h) ,
deci ∫ x2
x1
(x− x1)q(x− x2)ph(p+q+1)(x)dx = 0,
ceea ce atesta existenta lui θ ın (x1, x2) astfel ca h(p+q+1)(θ) = 0. O extindereimediata a Lemei 12 este urmatoarea :
Metode Numerice 45
Lema 13 Fie x1, x2, . . . , xm un sistem de puncte distincte,
α = (α1, α2, . . . , αm)
un vector de incidenta asociat acestora si M + 1 =m∑
k=1
αk .
Presupunem I = [mini xi, maxi xi] ,I= (mini xi , maxi xi) si fie
h ∈ C(M−1)(I) cu proprietatile :
i) derivata h(M) exista peI ,
ii) pentru k ∈ 1, 2, . . . , m , au loc egalitatile
h(xk) = h′(xk) = . . . = h(αk−1)(xk) = 0 .
Atunci exista ınI cel putin un punct ξ astfel ıncat h(M)(ξ) = 0 .
Teorema 15 Fie x1, x2, . . . , xn un sistem de puncte distincte din [a, b] si
x∗1, x∗2, . . . , x∗N+1
nodurile multiple generate de un vector de incidenta
α = (α1, α2, . . . , αn) , N + 1 :=n∑
k=1
αk .
Daca x ∈ [a, b] iar f ∈ C(N+1)[a, b], atunci exista cel putin un punct θ ın(a, b) astfel ıncat
(RNf)(x) = ω(x)f (N+1)(θ)(N + 1)!
.(1.78)
Demonstratie. Fie x arbitrar ın [a, b] si x 6= xj . Pentru x = xj identitatea(1.78) este evidenta. Sa consideram punctele distincte x1, x2, . . . , xn sivectorul de incidenta asociat acestora
β = (β1, β2, . . . , βn, βn+1) = (α1, α2, . . . , αn, 1).
Daca H : [a, b] → R este definita de
H(t) = f(t)−HN (x∗1, x∗2, . . . , x
∗N+1; f |t)−
− ω(t)ω(x)
[f(x)−HN (x∗1, x
∗2, . . . , x
∗N+1; f |x)
]
atunci H ∈ C(N+1)[a, b] si
H(N+1)(t) = f (N+1)(t)− (N + 1)!f(x)−HN (x∗1, x
∗2, . . . , x
∗N+1; f |x)
ω(x).
46 Alexandru Lupas
Daca ın lema 13 consideram m = n + 1, xn+1 = x, α = β, M = N + 1,rezulta existenta lui θ, θ ∈ (a, b), astfel ca H(N+1)(θ) = 0, adica (1.78).Observatie: Deoarece RNh = 0 pentru orice h ∈ ΠN , din dezvoltarea
f(z) =N∑
k=0
(z − a)k
k!f (k)(a) +
1N !
∫ b
aφt(z)f (N+1)(t) dt ,
unde f ∈ C(N+1)[a, b] si
φt(z) = φt(z,N) := |z − t|N+ =(
z − t + |z − t|2
)N
,
obtinem
(RNf) (x) =1
N !
∫ b
aΦN (t, x)f (N+1)(t)dt, f ∈ C(N+1)[a, b],(1.79)
cuΦN (t, x) = (RNφt) (x), (t, x) ∈ [a, b]× [a, b].
Vom spune ca (1.79) este reprezentarea restului RNf sub forma lui Peano.
1.6 Interpolare bivariata
In cele ce urmeaza prezentam doar unele chestiuni elementare legate deinterpolarea si aproximarea unor functii reale de doua variabile reale.Fie M0 = (x0, y0) ∈ D ⊆ R2 si h1, h2 > 0 , N1, N2 ∈ N .In D se considera o retea dreptunghiulara generata de punctele
Mk,j = (xk, yj) , 0 ≤ k ≤ N1 , 0 ≤ j ≤ N2
xk = x0 + k · h1 , yj = y0 + j · h2 .
Problema 1. Presupunem cunoscute valorile unei functii f : D → R pepunctele
M0,0 , M1,0 , M0,1 ,
?•
• •Detinand aceste ,, informatii ” , ne propunem sa aproximam valorile functieif pe nodurile Mk,j ale retelei , astfel ca formula gasita sa fie exacta pentruorice polinom de doua variabile h de forma h(x, y) = ax + by + c .Pentru a solutiona problema de mai sus, sa observam ca daca
fk,j := f(xk, xj)
Metode Numerice 47
atunci sunt cunoscute numerele f0,0 , f1,0 , f0,1 .Consideram o aproximare exacta de forma
fk,j = αf0,0 + βf1,0 + γf0,1 + R(f)
unde R(f) = R(f ; j, k, h1, h2, x0, y0) va reprezenta restul aproximarii. De-terminam parametrii α, β, γ din conditia ca
R(h) = 0 , ∀ h = ax + by + c .
Aceasta este echivalent cu faptul ca egalitatea
αf(x0, y0) + βf(x0 + h1, y0) + γf(x0, y0 + h2) = f(x0 + kh1, y0 + jh2)
sa aiba loc pentru
h0(x, y) = 1 , h1(x, y) = x si h2(x, y) = y , ∀(x, y) ∈ R2 .
Astfel gasim sistemul
α + β + γ = 1αx0 + β(x0 + h1) + γx0 = x0 + kh1
αy0 + βy0 + γ(y0 + h2) = y0 + jh2
cu solutia (α∗, β∗, γ∗) = (1− k− j, k, j) . Prin urmare se va efectua aproxi-marea
f(Mk,j) ≈ (1− k − j)f(x0, x0) + kf(x + 0 + h1, y0) + jf(x0, y0 + h2) .
Problema 2. In ipoteza ca se cunosc valorile pe punctele
M0,0 , M1,0 , M0,1 , M1,1 ,
?• •
• •
se cere sa se aproximeze valorile pe nodurile Mk,j ale retelei , astfel caaproximarea sa fie exacta pentru orice polinom de doua variabile de formah(x, y) = axy + bx + cy + d .Se poate considera o aproximare de forma
fk,j = αf0,0 + βf1,0 + γf0,1 + δf1,1 + r(f)
unde r(f) este restul aproximarii. Parametrii α, β, γ, δ se gasesc dinconditia
r(h) = 0 , ∀ h = axy + bx + cy + d
48 Alexandru Lupas
ceea ce este acelasi lucru ca egalitatea
αf(x0, y0) + βf(x0 + h1, y0) + γf(x0, y0 + h2)++δf(x0 + h1, y0 + h2) = f(x0 + kh1, y0 + jh2)
sa fie verificata pentru
h0(x, y) = 1 , h1(x, y) = x , h2(x, y) = y , h3(x, y) = xy .
Se obtine solutia
(α∗, β∗, γ∗, δ∗) = ((1− k)(1− j), k(1− j), j(1− k), kj) .
Se va efectua aproximarea
f(Mk,j) ≈ (1− k)(1− j) · f(x0, x0) + k(1− j) · f(x0 + h1, y0)+
+j(1− k) · f(x0, y0 + h2) + kj · f(x0 + h1, y0 + h2).
In continuare, ın cadrul acestui paragraf se va presupune
h1 = h2 .
Problema 3. Fiind date valorile unei functii pe punctele
M1,1 , M−1,1 ,
M1,−1 , M−1,−1
,• •• •
sa se gaseasca metode aproximative pentru calculul derivatelor partiale
∂f0,0
∂x:=
∂f(x, y)∂x
∣∣∣∣(x,y)=M0,0
si∂2f0,0
∂x∂y:=
∂2f(x, y)∂x∂y
∣∣∣∣(x,y)=M0,0
.
O rezolvare este de a cauta determinarea coeficientilor αk, βk, γk, δk dinaproximarile exacte
∂f0,0
∂x= α1f1,1 + β1f−1,1 + γ1f1,−1 + δ1f−1,−1 + R1(f)
∂2f0,0
∂x∂y= α2f1,1 + β2f−1,1 + γ2f1,−1 + δ2f−1,−1 + R2(f)
astfel ca Rj(ϕ) = 0 ın timp ce ϕ(x, y) se afla ıntr-un subspatiu de functiielementare. Deoarece ın fiecare caz exista patru parametrii necunoscuti,anume αj , βj , γj , δj , vom alege ϕ(x, y) ∈ 1, x, y, xy . Obtinem
∂f0,0
∂x≈ 1
4h(f1,1 − f−1,1 + f1,−1 − f−1,−1)
∂2f0,0
∂x∂y=
14h2
(f1,1 − f−1,1 − f1,−1 + f−1,−1)
.
Metode Numerice 49
Problema 4. Daca cunoastem valorile unei functii f de doua variabile pepunctele
M1,0 , M0,0 , M−1,0 , −•−•−•−
se cere sa se aproximeze, printr-o formula liniara , ∂2f0,0
∂x2 .Impunem ca ın aproximarea exacta
∂2f0,0
∂x2= β1f−1,0 + β2f0,0 + β3f1,0 + ε(f) ,
unde βj sunt independenti de alegerea functiei f iar ε(·) reprezinta restul,sa avem ε(ψ) = 0 pentru
ψ ∈ 1, x, y, xy, x2, y2 .
In realitate se poate considera ca este o problema unidimensionala. Dacaam tine cont de aceasta ar fi suficient sa impunem ca restul sa se anulezepentru ψ ∈ 1, x, x2 . In orice caz se obtine
β∗1 = β∗3 =1h2
, β∗2 = − 2h2
ceea ce ınseamna ca formula de calcul aproximativ va fi
∂2f0,0
∂x2≈ 1
h2(f−1,0 − 2f0,0 + f1,0) .
Problema 5. Aceeasi chestiune ca si ın problema anterioara, dar utilizandvalorile lui f pe punctele
M−2,0 , M−1,0 , M0,0 , M1,0 , M2,0 , −•−•−•−•−•−
Se determina parametrii λj din egalitatea
∂2f0,0
∂x2= λ1f−2,0 + λ2f−1,0 + λ3f0,0 + λ4f1,0 + λ5f2,0 + r(f)
astfel ca r(ϕ) = 0 pentru
ϕ(x, y) ∈ 1, x, y, xy, x2, x2y, x2y2, y2x, x3, y3, ... .
Gasim
∂2f0,0
∂x2≈ 1
12h2(−f−2,0 + 16f−1,0 − 30f0,0 + 16f1,0 − f2,0) .
50 Alexandru Lupas
Si de aceasta data problema era unidimensionala.
Problema 6. Utilizand valorile lui f : D → R pe punctele
M−1,1 M0,1 M1,1
M−1,0 M0,0 M1,0
M−1,−1 M0,−1 M1,−1
,
• • •
−•− • −•−
• • •
sa se aproximeze derivatele partiale
∂2f0,0
∂x2si
∂4f0,0
∂x2∂y2.
Procedand ca si ın cazul problemelor anterioare, se obtine
∂2f0,0
∂x2≈ 1
3h2(f−1,1 − 2f0,1 + f1,1+
+ f−1,0 − 2f0,0 + f1,0 + f−1,−1 − 2f0,−1 + f1,−1)
si respectiv
∂4f0,0
∂x2∂y2≈ 1
h4(f−1,1 − 2f0,1 + f1,1−
−2f−1,0 + 4f0,0 − 2f1,0 + f−1,−1 − 2f0,−1 + f1,−1)
.
Problema 7. Fie f : D → R cu valori cunoscute pe punctele
M0,1 M1,1
M−1,0 M0,0 M1,0
M−1,−1 M0,−1
,
• •
−• −•− • −
• •
Se impune sa atribuim o valoare aproximativa numarului∂2f0,0
∂x∂y.
Fie aproximarea liniara
∂2f0,0
∂x∂y= c1f0,0 + c2f1,1 + c3f−1,−1+
+c4f1,0 + c5f−1,0 + c6f0,1 + c7f0,−1 + R(f)
Metode Numerice 51
unde R(·) este restul. Impunem conditii de tipul
R(ψ) = 0 , ψ(x, y) ∈ 1, x, y, xy, x2, y2, x2y .
Se obtin succesiv ecuatiile
c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 = 0c2 − c3 + c4 − c5 = 0c2 − c3 + c6 − c7 = 0c2 + c3 = 1/h2
c2 + c3 + c4 + c5 = 0c2 + c3 + c6 + c7 = 0c2 − c3 = 0
Gasim∂2f0,0
∂x∂y≈ 1
2h2( 2f0,0 + f1,1 + f−1,−1−
−f1,0 − f−1,0 − f0,1 − f0,−1 )
.
1.7 Algoritmul lui Aitken- Neville
In aceasta sectiune fie x1, x2, . . . , xN un sistem de puncte distincte douacate doua . Se pune problema implementarii formulei lui Lagrange.Fie L(x) polinomul de interpolare de grad ≤ N − 1 atasat datelor experi-mentale din tabelul urmator
x x1 x2 . . . xN
f(x) y1 y2 . . . yn(1.80)
unde y1 = f(x1), y2 = f(x2), ..., yN = f(xN ) . Formula de interpolarepolinomiala a lui Lagrange este
L(x) =(x− x2)(x− x3)...(x− xN )
(x1 − x2)(x1 − x3)...(x1 − xN )y1+
+(x− x1)(x− x3)...(x− xN )
(x2 − x1)(x2 − x3)...(x2 − xN )y2+
+... +(x− x1)(x− x3)...(x− xN )
(xN − x1)(xN − x2)...(xN − xN−1)yN .
Sunt N termeni, fiecare dintre ei fiind un polinom de grad N − 1 . Deasemenea , amintim ca
(x− x1) · · · (x− xk−1)(x− xk+1) · · · (xk − xN )(xk − x1) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xN )
yk
∣∣∣∣x=xj
=
yj , k = j
0 , k 6= j
52 Alexandru Lupas
Datorita propagarii erorilor de calcul nu se recomanda implementarea di-recta a formulei lui Lagrange (5.14).Algoritmul care rezulta nu da nici o estimare a erorii si, de asemenea, esteıntr-un fel incomod programului.Exista un algoritm mult mai bun , de construire a lui L(x) , numit algorit-mul lui Neville sau algoritmul lui Aitken7-Neville. Acesta se bazeaza pe relatiade recurenta a polinoamele lui Lagrange.Anume, daca L(x) = LN−1 (x1, x2, . . . , xN ; f |x) iar pentru un x cunoscut,se noteaza
Pj = L0 (xj ; f |x)Pij = L1 (xi, xj ; f |x)
...Pi1i2...iν = Lν−1 (xi1 , x12 , . . . , xiν ; f |x) .
...
Cu aceste notatii , se constata ca
L(x) = P123...N ,
ceea ce reprezinta raspunsul dorit.Pe de alta parte , conform relatiei de recurenta pe care o satisfac polinoamelede interpolare, avem
Recurenta (*)
Pi(i+1)...(i+m) =(x− xi+m)Pi(i+1)...(i+m−1) + (xi − x)P(i+1)(i+2)...(i+m)
xi − xi+m.
Algoritmul lui Aitken-Neville se bazeaza pe aceasta egalitate .Ne putem imagina ca avem un tablou cu ,, ascendenti” (= parinti) ın stangasi care conduc la un singur ,, descendent” (fiu, urmas) ın extrema dreapta.De exemplu, pentru N = 4 , avem un singur descendent P1234 care se poategasi dupa algoritmul urmator :
x1 y1 = P1
P12
x2 y2 = P2 P123
P23 P1234
x3 y3 = P3 P234
P34
x4 y4 = P4
(1.81)
7Alexander Craig (Alec) Aitken (1895-1967) matematician scotian. S-a nascut ınDunedin/Noua Zelanda, din 1923 si-a desfasurat activitatea ın Edinburgh/Scotia. A fostelev al lui Whittaker, din 1936 membru al Royal Society.Contributii ın Algebra, Statistica , Analiza Numerica. In Analiza numerica a introdusideea de accelerare a convergentei metodelor numerice.
Metode Numerice 53
Algoritmul lui Aitken- Neville este o modalitate recursiva de a completanumerele ın acest tablou, cate o coloana de fiecare data, de la stanga ladreapta. Se bazeaza pe relatia de recurenta mentionata dintre un ,, fiu”Pi1i2...iν si cei doi ,, parinti” ai lui
Pi1i2...iν−1 si Pi2i3...iν .
O ımbunatatire a algoritmului poate consta ın a urmari micile diferentedintre parinti si fii. Mai precis , sa definim (pentru m ∈ 1, 2, ..., N − 1 ) :
Cm,i := Pi...(i+m) − Pi...(i+m−1)
Dm,i := Li...(i+m) − L(i+1)...(i+m) .(1.82)
Din (*) gasim egalitatile urmatoare :
Dm+1,i =(xi+m+1 − x)(Cm,i+1 −Dm,i)
xi − xi+m+1
(1.83)
Cm+1,i =(xi − x)(Cm,i+1 −Dm,i)
xi − xi+m+1
Solutia finala este P1...N .In cele ce urmeaza o rutina pentru interpolarea sau extrapolarea poli-
nomiala prin N puncte de intrare. Se observa ca matricele de intrare suntpresupuse a fi offset-unitate. Daca aveti matrice cu offset zero, aduceti-vaaminte sa scadeti 1 :#include <math.h>#include ”nrutil.h”
void lagr (float xa[ ], float ya[ ], int n, float x, float x, float *y,float *dy)/* Fiind date tablourile xa[1..n] si ya[1...n] , cat si o valoare data x , *//* rutina lagr returneaza o valoare y si o estimare a erorii dy .*//* Daca L(x) este polinomul de grad N − 1 astfel ıncat *//* L(xi) = yi , unde xa[i] := xi , ya[i] = yi , atunci *//* valoarea returnata este y = L(x) . */
54 Alexandru Lupas
int i,m,ns=1;float den, dif, dift, ho, hp, w;float *c, *d;
dif=fabs(x-xa[1]);c=vector(1,n);d=vector(1,n);for (i=1;i<=n;i++) /*Indicele ns este intrarea cea mai apropiata ın tabel */if ( (dift= fabs (x-xa[i]))<dif) ns=i;dif=dift;c[i]=ya[i];d[i]=ya[i];/* Initializarea tablourilor c si d . */
*y=ya[ns- -];/* Aproximatia initiala a lui y . . */for (m=1;m<n;m++) /*Actualizarea vectorilor c si d . */for (i=1;i<=n-m;i++) ho=xa[i]-x;hp=xa[i+m]-x;w=c[i+1]-d[i];if ( (den=ho-hp)==0.0) nrerror (”Eroare in rutina lagr ”);/* Aceasta eroare poate aparea daca doi xa[i] coincid*/den=w/den;d[i]=hp*den;c[i]=ho*den;
*y += (*dy=(2*ns < (n-m) ? c[ns+1] : d[ns- -]));free vector (d,1,n);free vector (c,1,n);
Adesea dorim sa apelam lagr cu argumentele temporare xa si ya ınlocuitede matrice efective cu offseturi. De exemplu, constructia lui lagr(& xx[14], &yy[14], 4, x, y, dy) face o interpolare pe valorile tabulare xx[15..18], yy[15..18].
Capitolul 2
FORMULE DE DERIVARENUMERICA
2.1 Metode de calcul pentru f ′(x0)
Fie I un interval din axa reala iar f : I → R o functie derivabila peun punct x0 , x0 ∈ I . O metoda de calcul aproximativ al numaruluif ′(x0) consta ın aproximarea acestuia cu ajutorul unei combinatii liniare avalorilor functiei pe anumite puncte din intervalul I , deci
f ′(x0) ≈ 1h
n∑
k=1
akf(x0 + hbk) , n ≥ 2 ,(2.1)
unde h 6= 0 iar numerele reale b1, b2, . . . , bn se aleg astfel ıncat x0 +hbk ∈ I,k ∈ 1, 2, . . . , n . Utilizam urmatoarea terminologie :
h = pasul formulei de derivare numerica (2.1) ;a1, a2, . . . , an = coeficientii formulei (2.1) ;(2.1) = formula aproximativa de derivare numerica ;x0 + hb1 , . . . , x0 + hbn = nodurile formulei de derivare numerica.
Pentru ca functionalele cu imaginile
φk(f) = f(x0 + hbk), k = 1, 2, . . . , n
sa fie liniar independente, vom presupune bi 6= bj pentru i 6= j .Daca
a = (a1, a2, . . . , an) , b = (b1, b2, . . . , bn) cu bi 6= bj ,
pentru i 6= j , sa notam
Dn(x0; a, b; f) =1h
n∑
k=1
akf(x0 + hbk),
55
56 Alexandru Lupas
siRn(f ; x0) = Rn(f ; x0; a, b) = f ′(x0)−Dn(x0; a, b; f).(2.2)
Astfel, din (2.2) gasim
f ′(x0) = Dn(x0; a, b; f) + Rn(f ; x0) , (n ≥ 2),(2.3)
ceea ce constituie o ,,formula exacta de derivare numerica”, ın sensul ca ın 2.3este inclus ,, restul” Rn(f ; x0) comis ın aproximarea (2.1). Daca Vx0 estespatiul liniar (real) al tuturor functiilor f : I → R , derivabile pe x0, iarrn(f) = Rn(f ; x0), atunci din (2.2) se constata ca rn : Vx0 → R este ofunctionala liniara.Vom ıncerca sa determinam vectorii n -dimensionali
a = (a1, a2, . . . , an) si b = (b1, b2, . . . , bn)
astfel ıncat (2.1) sa fie exacta pentru polinoame de grad ≤ p , iar p sa fiemaxim posibil.
2.1.1 Gradul de exactitate
Definitia 11 Spunem ca (2.3) are gradul de exactitate p daca
Rn(h, x0) = 0 , ∀h ∈ Πp,(2.4)
unde Πp este spatiul liniar al polinoamelor cu coeficienti reali de grad celmult egal cu p .
Avand ın vedere faptul ca restul este o functionala liniara iar polinoamelee0, e1, . . . , ep, unde
e0(x) = 1 , e1(x) = x− x0 , . . . , ep(x) = (x− x0)p ,
constituie o baza a spatiului liniar Πp , este clar ca (2.4) este echivalenta cu
Rn(ej ;x0) = 0 pentru j ∈ 0, 1, . . . , p .(2.5)
Lema 14 Au loc egalitatile
Rn(e0;x0) = −1h
n∑
k=1
ak
Rn(e1;x0) = 1−n∑
k=1
akbk
Rn(ej ;x0) = −hj−1n∑
k=1
akbjk, j ∈ 2, 3, . . .
(2.6)
Metode Numerice 57
2.1.2 Parametrii de control
Este convenabil sa introducem urmatoarea terminologie.
Definitia 12 Numerele σ0, σ1, . . . , σp , unde
σ0 =n∑
k=1
ak , σj =n∑
k=1
akbjk , j ∈ 1, 2, . . . , p
se numesc parametrii de control corespunzatori unei formule de derivarenumerica de forma (2.3), cu gradul de exactitate p .
Egalitatile (5.18) - (2.6) justifica urmatoarea afirmatie :
Lema 15 O conditie necesara si suficienta pentru ca formula de derivarenumerica (2.3) sa aiba gradul de exactitate p , p ≥ 2 , este ca
(σ0, σ1, σ2, σ3, . . . , σp) = (0, 1, 0, 0, . . . , 0) .(2.7)
2.1.3 Formule echivalente
Fie α ∈ R , α 6= 0 , si sa consideram formula de derivare numerica
f ′(x0) = Dn(x0; αa,1α
b; f) + Rn(f ; x0),(2.8)
sau
f ′(x0) =1
(h/α)
n∑
k=1
akf(x0 +h
αbk) + Rn(f ; x0).
Studiul formulei (2.8) este similar cu cel al formulei (2.3), substituind ın
(2.3) pe h cu h1 =h
α.
Definitia 13 Doua formule de derivare numerica, de forma
f ′(x0) = Dn(x0; a, b; f) + Rn(f ; x0)
si respectivf ′(x0) = Dn(x0; a, b; f) + Rn(f ; x0)(2.9)
se numesc echivalente daca si numai daca exista α ∈ R , α 6= 0 , astfelıncat
a = α · a si b =b
α.
In caz afirmativ, vom scrie
Dn(x0; a, b; f) ≡ Dn(x0; a, b; f).(2.10)
58 Alexandru Lupas
Lema 16 Doua formule de derivare numerica echivalente au acelasi gradde exactitate.
Demonstratie. Sa presupunem ca (2.3) poseda un grad de exactitate egalcu p si ca (2.10) are loc, unde
a = (a1, a2, . . . , an) , b =(b1, b2, . . . , bn
)
a = α · a , b =b
α, α 6= 0 .
Fie σ0, σ1, . . . parametrii de control corespunzatori lui (2.9). Utilizand (5.20)gasim
(σ0, σ1, . . . σp) =(ασ0, σ1,
σ2
α, . . . ,
σp
αp−1
)= (0, 1, 0, 0, . . . , 0),
ceea ce atesta faptul ca (2.9) are gradul de exactitate p .Rezultatul din Lema 15 se poate exprima sub forma matriceala astfel:
Teorema 16 O formula de derivare numerica de forma (2.3) are gradul deexactitate p, p ≥ 2, daca si numai daca
1 1 . . . 1b1 b2 . . . bn
b21 b2
2 . . . b2n
...... . . .
...bp1 bp
2 . . . bpn
a1
a2
a3...
an
=
010...0
(2.11)
Teorema 17 Daca (2.3) are gradul de exactitate p , unde p ≥ n , atunci
b1b2 · · · bn 6= 0 .
Demonstratie. Prin absurd, sa presupunem ca am avea b1 = 0. Avand ınvedere faptul ca p ≥ n, din (5.21) rezulta
b22 b2
3 . . . b2n
b32 b3
3 . . . b3n
...... . . .
...bn2 bn
3 . . . bnn
a2
a3...
an
=
00...0
.
Egalitatea matriceala de mai sus constituie un sistem de n−1 ecuatii liniarecu necunoscutele a2, a3, . . . , an . Deoarece bi 6= bj pentru i 6= j, rezulta cab2b3 · · · bn 6= 0 . Fie B = ||bij || , unde
bij = bi+1j+1 , i, j ∈ 1, 2, . . . , n− 1 .
Metode Numerice 59
Avem
det(B) =
n∏
j=2
bj
2
·∏
2≤i<j≤n
(bj − bi) 6= 0 ,
ceea ce ınseamna ca singura solutie a sistemului este
(a2, a3, . . . , an) = (0, 0, . . . , 0)
In aceasta situatie,
σ1 = a1 · 0 + 0 · b2 + · · ·+ 0 · bn = 0,
ceea ce contrazice faptul ca σ1 = 1 (vezi (5.20) ).
Teorema 18 Daca (2.3) are gradul de exactitate p , p ≥ 2 , atunci
p ≤ n .
Demonstratie. Prin reducere la absurd, sa presupunem ca ar exista oformula de forma (2.3) avand gradul de exactitate p , p ≥ n + 1 . Deoarecep ≥ n , din Teorema 17 rezulta ca toate numerele b1, b2, . . . , bn sunt diferitede zero. Dar din (5.21),
b22 b2
3 . . . b2n
b32 b3
3 . . . b3n
...... . . .
...bn+12 bn+1
3 . . . bn+1n
a2
a3...
an
=
00...0
,
ceea ce atrage dupa sine (a1, a2, . . . , an) = (0, 0, . . . , 0) ; deci
σ1 =n∑
k=1
akbk = 0
care constituie o contradictie.
Cu alte cuvinte, rezulta valabilitatea urmatoarei afirmatii :
Corolar 5 Fie p = p[a, b] gradul de exactitate al unei formule de derivarenumerica de forma
f ′(x0) = Dn(x0; a, b; f) + Rn(f ; x0) .
Atuncimax[a,b]
p[a, b] ≤ n .(2.12)
60 Alexandru Lupas
Urmatoarea teorema precizeaza ca, ın realitate, ın (2.12) are loc cazul deegalitate.
Teorema 19 Exista formule de derivare numerica de forma (2.3) care augradul de exactitate n .
Demonstratie. Este suficient sa aratam ca relatia (5.21), cu p = n , nepermite sa determinam ın mod unic coeficientii
a1, a2, . . . , an .
In cazul p = n , din (5.21) putem observa ca o conditie necesara si suficientapentru existenta unei formule (2.3) cu gradul de exactitate p este
1 1 . . . 1b1 b2 . . . bn
b21 b2
2 . . . b2n
...... . . .
...bn−11 bn−1
2 . . . bn−1n
bn1 bn
2 . . . bnn
a1
a2
a3...an−1
an
=
010...00
(2.13)
sau
1 1 . . . 1b1 b2 . . . bn
b21 b2
2 . . . b2n
...... . . .
...bn−11 bn−1
2 . . . bn−1n
a1
a2
a3...
an
=
010...00
(2.14)
si
n∑
k=1
akbnk = 0
b1b2 · · · bn 6= 0 .
(2.15)
Numerele b1 b2, . . . , bn fiind distincte doua cate doua, va rezulta ca (2.14)este un sistem compatibil determinat cu necunoscutele a1 a2, . . . , an .Fie (a∗1, a
∗2, . . . , a
∗n) solutia acestui sistem; este clar ca cel putin unul dintre
a∗1 a∗2, . . . , a∗n trebuie sa fie diferit de zero, de exemplu a∗n 6= 0 .In aceasta situatie, pentru ca (2.13), care este un sistem de n + 1 ecuatii cun necunoscute, sa fie un sistem compatibil, este necesar si suficient ca (2.15)sa aiba loc, adica
bnn = − 1
a∗nn−1∑
k=1
a∗kbnk .
(2.16)
Metode Numerice 61
In concluzie, daca a∗j = a∗j (b1, b2, . . . , bn), j = 1, 2, . . . , n, verifica (2.14),este posibil sa gasim numerele b1, b2, . . . , bn care sa verifice (2.15), deci(2.16). Vom vedea, ın paragraful urmator, ca acest lucru estre posibil, ceeace va completa demonstratia Teoremei 19.
2.2 Formule cu grad maxim de exactitate
Scopul acestui capitol este depistarea formulelor de forma (2.3) cu gradulde exactitate p∗ = max
(a,b)p = n .
Pentru aceasta avem nevoie de un rezultat intermediar referitor la inversareaunei matrici particulare (Vandermonde 1 2 ) utilizand teoria interpolarii.
2.2.1 Inversa matricii Vandermonde
Sa notam
V (b) =
1 1 . . . 1b1 b2 . . . bn...
... . . ....
bn−11 bn−1
2 . . . bn−1n
= ||Bij || ,(2.17)
Bij = bi−1j , δij =
1 , i = j0 , i 6= j
.
Lema 17 Presupunem ca numerele b1, b2, . . . , bn sunt distincte doua catedoua. Daca V −1(b) este inversa matricei Vandermonde precizata ın (2.17),atunci V −1(b) = ||Aij || , unde
Aij =l(j−1)i (0)(j − 1)!
,(2.18)
li(x) =ω(x)
(x− bi)ω ′(bi), ω(x) =
n∏
j=1
(x− bj) .
Demonstratie. Este suficient sa justificam egalitatile
n∑
k=1
AikBkj = δij , i, j ∈ 1, 2, . . . , n(2.19)
1Alexandre Theophile Vandermonde (1735-1796) =matematician francez , prietenapropiat al savantului Gaspard Monge (1746-1818) motiv pentru care a fost poreclit ,,sotialui Monge” .
2Denumirea de determinant Vandermonde a fost introdusa de H. Lebesgue .
62 Alexandru Lupas
unde δij este simbolul lui Kronecker, adica
δij =
1 , i = j0 , i 6= j
.
O proprietate remarcabila a polinoamelor li consta ın faptul ca
li(bj) = δij .
Dar, utilizand formula lui Taylor
li(x) =n∑
k=1
l(k−1)i (x)(k − 1)!
xk−1(2.20)
si alegand ın (2.20) x = bj , j ∈ 1, 2, . . . , n , obtinem
δij =n∑
k=1
l(k−1)i (0)(k − 1)!
bk−1j ,
ceea ce demonstreaza (2.19), deci (2.18).
2.2.2 Determinarea formulelor optimale
Lema 18 Fie b1, b2, . . . , bn numere distincte doua cate doua, astfel ıncatb1b2...bn 6= 0 . O conditie necesara si suficienta pentru ca sistemul (2.13) safie compatibil este
n∑
k=1
1bk
= 0 .(2.21)
Demonstratie. Din (2.14) si (2.18) avem
a∗1a∗2...
a∗n
= V −1(b)
010...0
=
=
A11 A12 . . . A1n
A21 A22 . . . A2n...
... . . ....
An1 An2 . . . Ann
010...0
=
A12
A22...
An2
sau(a∗1, a
∗2, . . . , a
∗n) = (l ′1(0), l ′2(0), . . . , l ′n(0)) .
Metode Numerice 63
Pentru ca (2.13) sa fie compatibil, este necesar si suficient ca aceasta solutiesa verifice (2.15), deci
n∑
k=1
l ′k(0)bnk = 0 .(2.22)
Este cunoscut faptul ca daca h ∈ Πn , atunci
h(x) =n∑
k=1
lk(x)h(bk) + ω(x) [x, b1, . . . , bn; h]
undeω(x) = (x− b1)(x− b2) · · · (x− bn) .
Pentru h(x) = xn avem
xn =n∑
k=1
lk(x)bnk + ω(x),
iar prin derivare
nxn−1 =n∑
k=1
l′k(x)bnk + ω(x)
n∑
k=1
1x− bk
, n ≥ 2 .
In particular, daca alegem x = 0 putem scrie
0 =n∑
k=1
l ′k(0)bnk − (−1)nb1b2 · · · bn
n∑
k=1
1bk
,
ceea ce, din (2.22), ınseamna ca (2.15) este acelasi lucru cu (2.21).Ca si o consecinta a celor stabilite rezulta propozitia :
Teorema 20 Singurele formule de derivare numerica de forma
f ′(x0) =1h
n∑
k=1
akf (x0 + h · bk) + Rn(f ; x0)
( n ≥ 2 , h 6= 0) )
care au gradul maxim de exactitate n sunt acelea ın care :(i) b1, b2, . . . , bn sunt diferite de zero, distincte doua cate doua,
astfel ıncat
(ii)n∑
k=1
1bk
= 0 , si
64 Alexandru Lupas
(iii) pentru k ∈ 1, 2, . . . , n
ak = l ′k(0)
lk(x) =ω(x)
(x− bk)ω ′(bk)
ω(x) =n∏
j=1
(x− bj) .
Acest rezultat se poate enunta si sub urmatoarea forma :
Corolar 6 Formulele de derivare numerica de forma (2.3) care au gradulmaxim de exactitate n sunt
f ′(x0) = (−1)n−1 b1b2 · · · bn
h
n∑
k=1
f(x0 + h · bk)ω ′(bk)b2
k
+ Rn(f ;x0)(2.23)
unde bj 6= 0 , j = 1, 2, . . . , n , bi 6= bj pentru i 6= j si
n∑
k=1
1bk
= 0 .
Demonstratie. Deoarece
l ′k(x) =(x− bk)ω ′(x)− ω(x)
(x− bk)2ω ′(bk),
avem
l ′k(0) =−bkω
′(0)− ω(0)b2kω
′(bk)=
=ω(0)
ω ′(bk)·−bk
ω′(0)ω(0) − 1
b2k
=
=−ω(0)
ω ′(bk)b2k
=(−1)n−1b1b2 · · · bn
ω ′(bk)b2k
.
Se cunoaste ca are loc egalitatea [b1, b2, . . . , bn; F (t)] =n∑
k=1
F (bk)ω′(bk)
. Prin
urmare, alegand F (t) = f(x0 + ht)t2
obtinem :
Metode Numerice 65
Corolar 7 Formulele de derivare numerica de forma (2.3) care au gradulde exactitate maxim posibil p = n admit reprezentarea:
f ′(x0) =
= (−1)n−1 b1b2 · · · bn
h
[b1b2, . . . , bn;
f(x0 + ht)t2
]
t
+ Rn(f ; x0),(2.24)
unde b1b2 · · · bn 6= 0 , bi 6= bj pentru i 6= j sin∑
k=1
1bk
= 0 .
Fie Ln−1(z1, z2, . . . , zn; f |x) polinomul de interpolare al lui Lagrange aso-ciat unei functii f : I → R si nodurilor zk, zk ∈ I, k = 1, 2, . . . , n.
Definitia 14 Fie h 6= 0 . Un vector b := (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn se numestevector admisibil (relativ la pasul h ) , daca si numai daca coordonateleb1, b2, . . . , bn verifica proprietatile:
i) bi 6= bj pentru i 6= j ;ii) b1b2 · · · bn 6= 0 ;
iii)n∑
k=1
1bk
= 0 ;
iv) x0 + h · bj ∈ I , j ∈ 1, 2, . . . n .
Prin Bhn se noteaza multimea tuturor vectorilor admisibili din Rn .
Definitia 15 O formula de derivare numerica se numeste optimala din punctde vedere al gradului de exactitate daca ea este de forma (2.23) sau (2.24)cu b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Bh
n .Pentru n si h fixati, notam cu D∗ multimea tuturor formulelor optimalede derivare numerica; pe scurt, Dn(x0; a, b; f) ∈ D∗.
Teorema 21 Orice formula de derivare numerica
f ′(x0) = Dn(x0; a, b; f) + Rn(f ;x0),
cu Dn(x0; a, b; f) ∈ D∗ , coincide cu
f ′(x0) =ddx
Ln−1 (x0 + hb1, x0 + hb2, . . . , x0 + hbn; f |x)∣∣∣∣x=x0
+
+Rn(f ; x0) ,
(2.25)
unde Rn(f ; x0) este restul formulei si b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Bhn.
66 Alexandru Lupas
Demonstratie. Fie Ln−1(f ; x) = Ln−1(x0 + kb1, . . . , x0 + hbn; f |x). Avem
Ln−1(f ; x) =n∑
k=1
f(x0 + hbk)Ω(x)
(x− x0 − hbk)Ω ′(x0 + hbk),
unde
Ω(x) =n∏
j=1
(x− x0hbj),
Ω ′(x0 + hbk) = hn−1ω ′(bk) , ω(x) =n∏
j=1
(x− bj) .
Prin urmareL ′
n−1(f ; x0) :=d
dxLn−1(f ;x)|x=x0
=
=1
hn−1
n∑
k=1
f(x0 + hbk)ω ′(bk)
limx→x0
(x− x0 − hbk)Ω ′(x)− Ω(x)(x− x0 − hbk)2
=
=1
hn+1
n∑
k=1
f(x0 + hbk)b2kω
′(bk)[−hbkΩ ′(x0)− Ω(x0)
].
Observam caΩ(x0) = (−1)nhnb1b2 · · · bn,
iarΩ ′(x)Ω(x)
=n∑
k=1
1x− x0 − hbk
implica faptul ca, ın cazul b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Bhn , vom avea
−hΩ ′(x0)Ω(x0)
=n∑
k=1
1bk
= 0 .
In concluzie,
L ′n−1(f ; x0) = (−1)n−1 b1b2 · · · bn
h
n∑
k=1
f(x0 + hbk)ω ′(bk)b2
k
,
ceea ce conform lui (2.23), atesta faptul ca L ′n−1(f ;x0) ∈ D∗ .
Propozitia demonstrata anterior ne arata ca formulele de derivare numericape n puncte x0 + hb1, . . . , x0 + hbn, care sunt optimale din punct devedere al gradului de exactitate se obtin prin derivarea polinomului de in-terpolare al lui Lagrange construit pe nodurile formulei, presupunand cab = (b1, b2, . . . , bn) este un vector admisibil.Astfel putem afirma ca formulele optimale de derivare numerica sunt ,, de
Metode Numerice 67
tip interpolator”.Merita subliniat faptul ca, exista o infinitate de formule de derivare caresunt optimale din punct de vedere al gradului de exactitate.Multimea formulelor optimale depinde de n-parametrii liberi, anume :
de pasul h side n− 1 dintre numerele distincte si nenule b1, b2, . . . , bn .
Justificarea acestei afirmatii se face pe baza lui (2.21).
2.3 Formule de derivare cu doua noduri
Sa consideram
n = 2 si1b1
+1b2
= 0 , (b1, b2) ∈ Bh2 .
Din (2.23), (2.24) sau (2.25) rezulta imediat ca formulele de derivare nu-merica pe doua noduri sunt de forma
f ′(x0) ≈ f(x0 + hb1)− f(x0 − hb1)2hb1
.
Notand ε = hb1 , ε 6= 0 va rezulta ca ın cazul a doua noduri ,singureleformule optimale de derivare numerica avand gradul maxim de exactitatep = 2 este
f ′(x0) =f(x0 + ε)− f(x0 − ε)
2ε+ r(f ;x0) ,(2.26)
unde, pentru ε 6= 0 fixat, r(f ; x0) reprezinta restul formulei de derivarenumerica. Fara sa restrangem generalitatea, vom presupune ε > 0 .Daca I = [a, b] , x0 ∈ I , atunci pentru ca
x0 − ε ∈ [a, b] , x0 + ε ∈ [a, b]
este necesar si suficient sa fie verificate inegalitatile
0 < ε ≤ b− a
2−
∣∣∣∣x0 − a + b
2
∣∣∣∣ .
2.3.1 Reprezentarea restului
Vom determina restul ın (2.26) pentru anumite functii particulare. Pentruek(t) = tk se obtine
r(ek;x0) =
0 , k ∈ 0, 1, 2−ε2 , k = 3 .
(2.27)
68 Alexandru Lupas
In continuare, ın (2.26) sa consideram
φλ(x) = |x− λ|2+ , λ ∈ [a, b] .
|x− λ|m+ =
(x− λ)m , x ≥ λ
0 , x < λ, x ∈ [a, b] .
Avem
r (φλ; x0) = 2 |x0 − λ|+ −|x0 + ε− λ|2+ − |x0 − ε− λ|2+
2ε.
Cazul 1: a ≤ λ ≤ x0 − ε; atunci
r(φλ; x0) = 2(x0 − λ)− (x0 + ε− λ)2 − (x0 − ε− λ)2
2ε= 0.
Cazul 2: x0 − ε ≤ λ < x0; ın aceasta situatie
r(φλ; x0) = 2(x0 − λ)− (x0 + ε− λ)2
2ε= − 1
2ε(x0 − ε− λ)2.
Cazul 3: x0 ≤ λ < x0 + ε; se obtine
r(φλ;x0) = − 12ε
(x0 + ε− λ)2.
Cazul 4: x0 + ε ≤ λ ≤ b; observam ca
r(φλ; x0) = 0.
Sa definim functia θ : [a, b] → R prin
θ(λ) = r(φλ;x0) = r(|· − λ|2+ ; x0) .(2.28)
Conform celor de mai sus,
θ(λ) =
0 , λ ∈ [a, x0 − ε)
− 12ε
(λ− x0 + ε)2 , λ ∈ [x0 − ε, x0)
− 12ε
(x0 + ε− λ)2 , λ ∈ [x0, x0 + ε)
0 , λ ∈ [x0 + ε, b] .
Este clar ca−ε
2≤ θ(λ) ≤ 0 , λ ∈ [a, b] .(2.29)
Urmatoarea propozitie furnizeaza o reprezentare a restului pe un anumitsubspatiu de functii.
Metode Numerice 69
Teorema 22 Fie f ∈ C(3)[a, b] si
0 < ε ≤ b− a
2−
∣∣∣∣x0 − a + b
2
∣∣∣∣ , x0 ∈ [a, b] .
Dacaf ′(x0) =
f(x0 + ε)− f(x0 − ε)2ε
+ r(f ;x0) ,
atunci exista cel putin un punct ξ = ξ(f, x0, ε), ξ ∈ (x0 − ε, x0 + ε), astfelıncat
r(f ; x0) = − ε2 f ′′′(ξ)3!
.
Demonstratie. Sa consideram o functie f ∈ C3[a, b] . Are loc egalitatea
f(t) = f(a) + (t− a)f ′(a) +(t− a)2
2f ′′(a)+
+12
∫ t
a(t− λ)2f ′′′(λ) dλ ,
pe care o putem rescrie astfel
f(t) = p(t) +12
∫ b
aφλ(t)f ′′′(λ) dλ , p ∈ Π2 .
Deoarece r(p;x0) = 0 , rezulta
r(f ;x0) =12rt
(∫ b
aφλ(t)f ′′′(λ) dλ
).
Avand ın vedere faptul ca f ′′′ este continua pe [a, b] iard
dtφλ(t) ,
t ∈ [a, b] , exista si este marginita, concludem cu
r(f ; x0) =12
∫ b
aθ(λ)f ′′′(λ) dλ ,(2.30)
functia θ fiind precizata ın (2.28). Evident ca din (2.30), tinand seamade expresia analitica a lui θ(λ) , rezulta
r(f ; x0) =12
∫ x0+ε
x0−εθ(λ)f ′′′(λ) dλ,(2.31)
iar din (2.29) si (2.31) putem afirma ca exista cel putin un punct ξ ,ξ ∈ (x0 − ε, x0 + ε) , astfel ıncat
r(f ; x0) = c · f ′′′(ξ) , c =12
∫ x0+ε
x0−εθ(λ) dλ .
70 Alexandru Lupas
Merita subliniat faptul ca c este independent de alegerea lui f .Prin urmare, alegand f(x) = x3 = e3(x) si utilizand (2.27), gasim
r(e3;x0) = 6c,
deci
c = − ε2
6, r(f ;x0) = − ε2 f ′′′(ξ)
3!.
2.4 Formule de derivare cu trei noduri
In cele ce urmeaza introducem ın (2.3) n = 3 , (b1, b2, b3) ∈ Bh3 . Particularizand
ın (2.23) - (2.25) , constatam ca formulele aproximative de derivare numerica,cu grad de exactitate trei, sunt de forma
f ′(x0) ≈ 1h [a1f(x0 + hb1) + a2f(x0 + hb2)+
+ a3f
(x0 − b1b2
b1 + b2h
)],
(2.32)
unde
a1 =b22
b1(b2 − b1)(b1 + 2b2), a2 = − b2
1
b2(b2 − b1)(b2 + 2b1)
a3 =(b1 + b2)2
b1b2(b1 + 2b2)(b2 + 2b1).
Fie t =b2
b1; atunci (2.32) devine
f ′(x0) ≈ 1hb1
(a1f(x0 + hb1) + a2f(x0 + htb1) + a3f
(x0 − htb1
1 + t
)),
cu a1, a2, a3 precizati prin intermediul egalitatilor
a1 =t2
(t− 1)(2t + 1), a2 = − 1
t(t− 1)(t + 2), a3 = − (t + 1)3
t(2t + 1)(t + 2),
(t 6= ±1 , t 6= ±12
, t 6= −2) .
Metode Numerice 71
Daca ε = hb1, ε 6= 0, gasim formula exacta de derivare nemerica pe treinoduri, optimala din punct de vedere al gradului de exactitate
f ′(x0) =
=1ε
[t2
(t− 1)(2t + 1)f(x0 + ε)− 1
t(t− 1)(t + 2)f(x0 + εt)−
− (t + 1)3
t(2t + 1)(t + 2)f
(x0 − ε
t
t + 1
)]+ R(f ;x0)
(2.33)
unde Rn(f ; x0) constituie restul aproximarii.Dintre proprietatile lui R(f ; x0) mentionam :
R(e0; x0) = 0, R(e1; x0) = 0, R(e2; x0) = 0, R(e1;x0) = 0,
R(e4;x0) = ε3 t2
t + 1, ek(t) = tk .
Este evident ca avem o infinitate de formule de derivare numerica de forma(2.33), acestea depinzand de ε si de t .
In continuare vom presupune ε > 0 , t ∈ (0, 1) si ın plus
f : I → R , I = [a, b] , x0 ∈ [a, b] , f derivabila pe x0 .
Daca0 < ε ≤ b− x0 si t ∈ (0, 1)(2.34)
spunem ca perechea (ε, 1) este ,, bine selectionata” . In ipoteza (2.34) avemurmatoarele inegalitatii:
a ≤ x0 − εt
t + 1< x0 < x0 + εt < x0 + ε ≤ b .
Pentru λ ∈ [a, b] definim Ψλ : [a, b] → R prin egalitatea
Ψλ(x) = |x− λ|3+ .
Ne propunem sa calculam R(Ψλ; x0) ın ipoteza ca perechea(ε, t) este bine selectionata. In conformitate cu (2.33) putem scrie
R (Ψλ;x0) = 3|x0 − λ|2+−
−1ε
(t2
(t− 1)(2t + 1)|x0 + ε− λ|3+−
− 1t(t− 1)(t + 2)
|x0 + εt− λ|3+−
72 Alexandru Lupas
− (t + 1)3
t(2t + 1)(t + 2)
∣∣∣∣x0 − εt
(t + 1)− λ
∣∣∣∣3
+
).
Distingem urmatoarele situatii :Cazul I : λ ∈
[a, x0 − εt
t+1
] ⋃[x0 + ε, b] ; atunci
R (Ψλ;x0) = 0 .
Cazul II : λ ∈(x0 − εt
t+1 , x0)]
; ın aceasta situatie
R (Ψλ;x0) =(t + 1)3
εt(2t + 1)(t + 2)
(λ− x0 +
εt
t + 1
)3
.
Cazul III : λ ∈ (x0, x0 + εt] ; obtinem
R (Ψλ; x0) =t2
ε(1− t)(2t + 1)(x0 + ε− λ)3 − (x0 + εt− λ)3
εt(1− t)(t + 2).
Cazul IV : λ ∈ (x0 + εt, x0 + ε) ; avem
R (Ψλ; x0) =t2
ε(1− t)(2t + 1)(x0 + ε− λ)3 .
FieΩ(λ) = R (Ψλ; x0) = R(| · −λ|3+;x0) .(2.35)
Din cele de mai sus
Ω(λ) = 0 pentru λ ∈[a, x0 − εt
t + 1
] ⋃[x0 + ε, b]
si
Ω(λ) ≥ 0 daca λ ∈(
x0 − εt
t + 1, x0 + ε
).
De exemplu ın cazul III avem
Ω(λ) ≥ ε2t2(1− t)2
2t + 1.
Teorema 23 Fie o pereche (ε, t) bine selectionata.Pentru orice f ∈ C4[a, b] exista un punct ξ ,
x0 − εt
t + 1< ξ < x0 + ε ,
astfel ıncıt restul din (2.33) sa admita reprezentarea
R(f ;x0) = ε3 · t2
t + 1· f (4)(ε)
4!.(2.36)
Metode Numerice 73
Demonstratie. Pentru x ∈ [a, b] avem
f(x) = p(x) +13!
b∫
a
|x− λ|3+f (4)(λ) dλ
unde p ∈ Π3 . Deoarece R(p; x0) = 0 putem scrie
R(f ;x0) =13!
b∫
a
Ω(λ)f (4)(λ) dλ(2.37)
functia Ω fiind precizata ın (2.35).Observatiile efectuate asupra lui Ω ne conduc la afirmatia ca exista ξ ∈(x0 − εt
t+1 , x0 + ε)
astfel ıncıt (vezi (2.37))
R(f ;x0) = c0 · f (4)(ξ) , c0 =13!
b∫
a
Ω(λ) dλ .
Pentru f(x) = x4 se obtine
c0 =14!
R (e4; x0) =14!∗ ε3 · t2
t + 1
ceea ce completeaza demonstratia egalitatii (2.36).
Mentionam ca tratarea matriceala a formulelor de derivare numerica s-a maifacut numai ın cazul n = 3 de catre Marshal Ash si R.L.Jones [2] .Studiul cazului general, deci pentru n arbitrar , a fost facut de catre A.Lupas ın colaborare cu D. Mache si a fost publicat ın [18].O formula simpla dar care nu are gradul maxim de exactitate este ,, formulalui Salzer” (vezi [2] si [27])
f ′(x0) ≈ 4f (x0 + h)− 3f (x0)− f (x0 + 2h)2h
.(2.38)
O tratare generala a formulelor de derivare numerica se gaseste expusa ınlucrarile lui Tiberiu Popoviciu [24]-[25]. O alegere convenabila a parametrilor(ε, 1) ın (2.33) este
t =12
, ε = 6h .
In acest caz gasim formula optimala , din punct de vedere al gradului deexactitate precizata ın cele ce urmeaza :
f ′(x0) =32f (x0 + 3h)− 27f (x0 − 2h)− 5f (x0 + 6h)
120h+
32h3f (4)(µ)
74 Alexandru Lupas
unde x0 − 2h < µ < x0 + 3h .Remarcam ca ın aceasta formula coeficientii sunt numere rationale.
2.5 Restul ın formulele optimale cu n - noduri
Studiul restului ın caz general se poate face cu usurinta , prin folosireareprezentarii restului ın interpolarea pe noduri multiple.
Vom presupune ca x0 ∈ [a, b] , h 6= 0 si ca b1, b2, ..., bn sunt numerenenule, distincte doua cate doua, care satisfac
a− x0
h≤ bk ≤ b− x0
h, k ∈ 1, 2, . . . , n
1b1
+1b2
+ · · ·+ 1b1
= 0 .
Sa consideram o formula de derivare pe n -noduri, optimala din punct devedere al gradului de exactitate. Conform celor stabilite anterior, avem
f ′(x0) =(−1)n−1b1b2 · · · bn
h
n∑
k=1
f (x0 + hbk)b2kω
′(bk)+ Rn(f ;x0)(2.39)
unde Rn(f ; x0) este restul si ω(x) = (x− b1) · · · (x− bn) .
Teorema 24 Daca f ∈ Cn+1[a, b] , atunci exista ın [a, b] cel putin unpunct ξ astfel ıncat restul din formula (2.39) sa admita reprezentarea
Rn(f ;x0) = (−1)nhn · b1b2 · · · bnf (n+1)(ξ)(n + 1)!
.(2.40)
Demonstratie. Sa consideram nodurile
x0, x0︸ ︷︷ ︸, x0 + hb2, x0 + hb3, . . . , x0 + hbn
︸ ︷︷ ︸n+1
si fie H = Hnf ∈ Πn polinomul lui Lagrange- Hermite care interpoleaza ofunctie derivabila f : [a, b] → R ın sensul urmator
(Hnf) (x0) = f(x0) , (Hnf) ′ (x0) = f ′(x0)
(Hnf) (x0 + hbk) = f(x0 + hbk) , k ∈ 2, 3, . . . , n .
Pentru orice f ∈ Cn+1[a, b] exista cel putin un punct θ ∈ [a, b] , astfel ca
f(x)− (Hnf) (x) = (x− x0)2(x− x2)(x− x3) · · · (x− xn)f (n+1)(θ)(n + 1)!
(2.41)
Metode Numerice 75
unde xj = x0 + hbj si θ = θ(f) ∈ [a, b] .Daca notam g(x) = f(x)− (Hnf) (x) , avem
g(x0) = g(x0 + hb2) = . . . = g(x0 + hbn) = 0 , g ′(x0) = 0(2.42)
precum si egalitatile (vezi (2.41))
g(n+1) = f (n+1)
g(x0 + hb1) = b21h
n+1ω ′(b1)f (n+1)(ξ)(n + 1)!
(2.43)
cu ξ ∈ [a, b] . Deoarece gradul de exactitate al formulei de derivare numericaeste maxim posibil, de exemplu avem Rn(H; x0) = 0 , rezulta
Rn(f ; x0) = Rn(f ; x0)−Rn(H; x0) = Rn(g; x0) .
Pe de alta parte, tinand cont de (2.39) , (2.42) obtinem
Rn(g; x0) = g ′(x0)− (−1)n−1b1b2 · · · bn
h
n∑
k=1
g (x0 + hbk)b2kω
′(bk)=
=(−1)nb1b2 · · · bn
h· g (x0 + hb1)
ω ′(b1)b21
.
Din (2.43) se conclude cu
Rn(f ; x0) = Rn(g;x0) = (−1)nhnb1b2 · · · bnf (n+1)(ξ)(n + 1)!
.
2.6 Aproximarea lui f (p)(x0)
In cadrul acestui capitol vom considera ca f : [a, b] → R este o functie dep -ori derivabila pe un punct x0 , x0 ∈ [a, b] . Fiind dat h > 0 prin
b1, b2, . . . , bn
se noteaza numere reale , distincte doua cate doua, astfel ca
a− x0
h≤ bk ≤ b− x0
h, k ∈ 1, 2, . . . , n.
Fie p, n ∈ N astfel can ≥ p + 1 ≥ 2 .
76 Alexandru Lupas
Calculul aproximativ al lui f (p)(x0) se face prin intermediul unei combinatiiliniare a valorilor functiei f , adica
f (p)(x0) ≈ 1hp
n∑
k=1
akf(xk)
undexk = x0 + h · bk , (xk ∈ [a, b]).(2.44)
Formula exacta de aproximare pentru f (p)(x0) este
f (p)(x0) =1hp
n∑
k=1
akf(xk) + rn(f) ,(2.45)
functionala liniara rn(f) fiind restul aproximarii.Este clar ca valorile acestei functionale depind si de h, x0, aj , bk .
Definitia 16 Formula de derivare numerica (2.45) are gradul de exactitate(cel putin) egal cu s , daca
rn(h) = 0 ∀h ∈ Πs .(2.46)
Formula (2.45) are gradul efectiv de exactitate s , daca (2.46) are loc si ınplus exista cel putin un polinom h0 , de grad efectiv egal cu s + 1 , pentrucare
rn(h0) 6= 0 .(2.47)
Daca pasul h si numarul n al nodurilor sun parametrii presupusi pentrumoment fixati , dorim sa determinam acele formule de derivare numerica deforma (2.44) care au gradul efectiv de exactitate maxim posibil.Aceasta revine la determinarea parametrilor
(a1, a2, ..., an) si (b1, b2, ..., bn)
pentru care (2.46)-(2.47) sunt verificate cu s maxim.
2.6.1 Formule de derivare de tip interpolator
Fie (Lf) (x) polinomul de interpolare al lui Lagrange construit pe nodurilex1, x2, ..., xn , deci
(Lf) (x) = Ln−1(x1, x2, ..., xn; f |x) =
=n∑
k=1
Λk(x)f(xk)
unde xk = x0 + hbk si
Λk(x) =Ω(x)
(x− xk)Ω ′(xk), Ω(x) =
n∏
k=1
(x− xk) .(2.48)
Metode Numerice 77
Definitia 17 Formulele aproximative de derivare numerica de forma
f (p)(x0) ≈ (Lf)(p) (x0) ,
deci obtinute prin derivarea succesiva a polinomului lui Lagrange mentionat,se numesc formule de tip interpolator.
Deoarece w = Lw , ∀w ∈ Πn−1 , este clar ca gradul de exactitate al uneiformule de tip interpolator este cel putin egal cu n−1 . Este ınsa adevaratasi urmatoarea propozitie.
Teorema 25 Orice formula de derivare numerica de forma (2.44) care aregradul de exactitate cel putin n− 1 , este de tip interpolator.
Demonstratie. Este suficient sa impunem ın (2.44) conditia
rn(Λj) = 0
unde Λj ∈ Πn−1 este precizat ın (2.48) si 1 ≤ j ≤ n . Se obtine
(a1, ..., an) = hp(Λ1
(p)(x0), ...Λn(p)(x0)
)
ceea ce atrage dupa sine ca (2.44) se scrie astfel
f (p)(x0) =n∑
k=1
Λk(p)(x0)f(xk) + rn(f) = (Lf)p (x0) + rn(f).
Aceasta completeaza demonstratia.
Lema 19 Daca (2.44) este de tip interpolator , rn restul acestei formule,
si ω(x) =n∏
k=1
(x− bk) , atunci
rn(en) = ω(p)(0)hn−p
rn(en+1) = p · ω(p−1)(0)hn−p+1 +
((n + 1)x0 + h
n∑
k=1
bk
)ω(p)(0)
(2.49)
Demonstratie. Sa alegem o formula de derivare numerica cu gradul deexactitate cel putin egal cu n − 1 . Fiind o formula de tip interpolator eava fi de forma
f (p)(x0) = (Lf)(p) (x0) + rn(f) =n∑
k=1
akf(xk) + rn(f)(2.50)
78 Alexandru Lupas
cu coeficientii (vezi (2.48))
ak = Λk(p)(x0) =
[Ω(x)
(x− xk)Ω ′(xk)
](p)
x=x0
.
Egalitateaf(x) = (Lf) (x) + Ω(x) [x, x1, x2, ..., xn ; f ]
implica faptul ca restul pentru un polinom h are forma
rn(h) =(
Ω(x) [x, x1, x2, ..., xn; h))(p)
x=x0
(2.51)
Alegand ın (2.51) h(x) = xn , iar apoi h(x) = xn+1 , folosind egalitatile
[x, x1, ..., xn; en] = 1 , [x, x1, ..., xn; en+1] = x +n∑
k=1
xk ,
deducemrn(en) = Ω(p)(0)
rn(en+1) =
(Ω(x)
(x +
n∑
k=1
xk
))(p)
x=x0
.
(2.52)
Sa observam ca
Ω(x) = hnω
(x− x0
h
).
Astfel, prin efectuarea unor calcule elementare obtinem (2.49).
2.6.2 Gradul maxim de exactitate
Teorema 26 Daca s este gradul de exactitate al formulei
f (p)(x0) =1hp
n∑
k=1
akf(xk) + rn(f) ,
atunci s ≤ n .
Demonstratie. Prin absurd sa presupunem s ≥ n + 1 si fie
Φ(x) := (x− x0)Ω(x) .
Observam ca
rn (Ω) = Ω(p)(x0) si rn (Φ) = Φ(p)(x0) = pΩ(p−1)(x0) .
Dar Ω si Φ fiind polinoame din Πn+1 , va trebui ca
Ω(p)(x0) = 0 si Ω(p−1)(x0) = 0 .
Aceasta este o contradictie cu faptul ca Ω are toate radacinile distincte.
Capitolul 3
FORMULE DECUADRATURA
3.1 Ponderi
Daca −∞ ≤ a < b ≤ +∞ vom nota prin < a, b > unul dintre intervalele
(a, b) , [a, b) , (b, a] sau [a, b] .
Definitia 18 O functie w :< a, b >→ [0, +∞) cu proprietatile
1. pentru orice k = 0, 1, 2, ... , exista integralele
b∫
a
tkw(t) dt ;
2.b∫a
w(t) dt > 0 ,
se numeste pondere pozitiva pe intervalul (a, b) .
Pentru simplificare utilizam termenul de "pondere pe (a, b)”.Subliniemfaptul ca pozitivitatea ponderii nu este necesara pe tot parcursul expuneriirezultatelor din acest capitol. Dorim sa precizam semnificatia conditiilor pecare le verifica o pondere
• conform primei ipoteze, ınseamna fie ca integralele exista ın sens pro-priu , sau daca unele dintre integrale sunt improprii atunci ele suntconvergente ;
• a doua conditie ne asigura ca aproape peste tot ın (a, b) avem
w(t) > 0 .
79
80 Alexandru Lupas
Exemple de ponderi
Conditiiw(t) Denumire impuse asupra Intervalul (a, b)
parametrilor
w1(t) = (b− t)p(t− a)q Jacobi p > −1 , q > −1 (a, b)
w2(t) = e−ttα Laguerre α > −1 (0,+∞)
w3 = e−t2 Hermite — (−∞, +∞)
w4(t) = e−t4 Freud — (−∞,∞)
Sa presupunem ca w este o pondere pe (a, b). In continuare vom folosiurmatoarele notatii
• Multimea tuturor functiilor f :< a, b >→ R pentru care fw estemasurabila iar
|f |pw (p > 0) este integrabila pe (a, b)
se noteaza cu Lpw(a, b) ; ın loc de L1
w(a, b) vom scrie Lw(a, b) .Daca p ≥ 1 , se cunoaste ca Lp
w(a, b) se poate organiza ca si un spatiuliniar normat ınzestrat cu norma
||f ||p : =( b∫
a
|f(t)|p w(t) dt) 1
p.
• Π este spatiul liniar al tuturor polinoamelor cu coeficienti reali ;
• Πm desemneaza subspatiul din Π format cu toate polinoamele de gradcel mult m ;
• Cm[a, b] reprezinta spatiul liniar al functiilor f : [a, b] → R pentru carederivata de ordinul m exista si este continua pe intervalul [a, b] .
Metode Numerice 81
Lema 20 Cu notatiile de mai sus, au loc incluziunile
Π ⊂ Lw(a, b) si Cm[a, b] ⊂ Lw(a, b) .
Demonstratie. Afirmatia de mai sus rezulta din faptul ca aplicatia
I : Lw(a, b) → R precizata prin I(f) =
b∫
a
f(x)w(x)dx
este o functionala liniara.In practica , daca w este o pondere pe (a, b) se impune adesea sa determinamo valoare aproximativa a integralei:
b∫
a
f(t)w(t) dt ,
unde f este o functie arbitrara din spatiul Lw(a, b) .De exemplu
• ın mecanica cuantica intervin integralele definite de forma
c∫
−c
f(t)e−t2dt sau∫ c
0
f(t)e−t2 dt
unde 0 < c < +∞ . In aceasta situatie
w(t) = e−t2 , (a, b) = (−c, c) sau (a, b) = (0, c) .
Metode de calcul aproximativ al acestor integrale sunt prezentate de catreM.F.King , M.Dupuis ,J.Computational Phys., 21 (1976) 144-165 , si deR.Mach , J.Mathem.Phys., 25 (1984) 2186-2193 .
• Ecuatia diferentiala
y ′′(x)− xy(x) = µ , |µ| = 1π
,
intervine ın asa numita teorie a modelelor oscilatoarelor armonice pentrunumere cuantice mari (vezi de exemplu S.Y.Lee , J.Chem.Phys., 72(1980)332-336 ) . Functiile Airy , Hi(x), Gi(x) sunt solutii, verificand anumiteconditii initiale , ale acestei ecuatii diferentiale. Ele sunt definite prin
Hi(x) =1π
∞∫
0
etxe−t33 dt ,
Gi(x) = − 1π
∞∫
0
e−tx2 e−
t33 cos
(√32
tx +2π
3
)dt
82 Alexandru Lupas
Se pune problema ca pentru un x0 dat sa evaluam aproximativ numereleHi(x0), Gi(x0) . In acest caz
(a, b) = (0,∞) , w(t) = e−t33 .
• Integralele de forma
∞∫
0
f(t)tpe−t2dt , p ∈ 0, 1, 2
abunda ın solutia ecuatiei lui Boltzmann ( vezi B.Shizgal , J.Comput Phys.,41(1981) 309-328 ). Cazul p = 0 intervine si ın unele aplicatii din statis-tica (a se consulta D.Kahaner, G.Tietjen , R.Beckman ,J.Statist. Comput.Simul., 15 (1982) 155-160 ). De aceasta data , se poate considera ca sipondere una dintre functiile
w(t) = tpe−t2 , p ∈ 0, 1, 2 .
• Fie F (f ; p) o transformata Laplace, adica
F (s) =
∞∫
0
e−stf(t) dt , Re s > 0 ,
In fizica corpului solid intervin serii de forma
∞∑
k=1
(−1)k−1F (f ; k) = : σ(f) .
Presupunınd seriile convergente , deci ca f satisface anumite conditii supli-mentare, putem scrie
σ(f) =
∞∫
0
f(t)( ∞∑
k=1
(−1)k−1ekt)
dt =
∞∫
0
f(t)dt
et + 1.
In concluzie, de aceasta data intervine ponderea
w(t) =1
et + 1pe (0, +∞) .
O metoda de calcul aproximativ al lui σ(f) este indicata de W.Gautschisi G.V.Milovanovic ın ”Gaussian quadrature involving Einstein and Fermifunctions with an application to summation of series” , Mathematics ofComputation 44 (1985) 177-190 .
Metode Numerice 83
3.2 Notiunea de formula de cuadratura
Sa consideram o functie f din Lw(a, b) si F o submultime din spatiulLw(a, b) astfel ıncat f ∈ F . Fie s1, ..., sn un sistem liniar independent defunctii reale, sk ∈ Lw(a, b) .In aplicatii, functia f se aproximeaza, ıntr-un anumit sens, cu un element dinınvelitoarea liniara a sistemului s1, ..., sn . Presupunem ca
f ≈ σnf pe < a, b >(3.1)
unde
(σnf)(x) =n∑
k=1
ϕk(f)sk(x) , ϕk(f) ∈ R
si deasemenea vom face ipoteza restrictiva ca
ϕk : Lw(a, b) → R , k = 1, 2, ..., n
sunt functionalele de evaluare atasate unui sistem z1, z2, ..., zn de puncte distinctedin < a, b > , deci ca
ϕk(f) = f(zk) , k = 1, 2, ..., n .
Avand ın vedere aproximatia (3.1), deducem
f(t)w(t) ≈n∑
k=1
f(zk)sk(t)w(t) ,
iar prin integrare, ın practica se considera ca
b∫
a
f(t)w(t) dt ≈n∑
k=1
ckf(zk) , ck :=
b∫
a
sk(t)w(t) dt .(3.2)
Aproximatia (3.2) este o formula (aproximativa) de cuadratura pe noduri simple sauo formula elementara de cuadratura.Numerele reale c1, ..., cn se numesc coeficientii formulei de cuadratura.Egalitatea
b∫
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + Rn(f)(3.3)
poarta denumirea de formula exacta de cuadratura .In (3.3) s-a introdus restul formulei (3.2), adica functionala liniara
Rn : Lw(a, b) → R
definita prin
Rn(f) =
b∫
a
f(t)w(t) dt−n∑
k=1
ckf(zk) .(3.4)
84 Alexandru Lupas
In scopul evaluarii erorii se poate utiliza distanta dintre f si σnf
ρ(f, σnf) : = ||f − σnf ||1 .
Observam ca
|Rn(f)| ≤b∫
a
|f(t)− (σnf)(t)|w(t)dt ,
deci|Rn(f)| ≤ ρ(f, σnf) .(3.5)
In ipoteza ca sistemul s1, ..., sn este dens ın F rezulta ca pentru oriceε > 0 exista o combinatie σ∗n pentru care
|Rn(f)| ≤ ε , ∀f ∈ F ,
unde s-a presupusn∑
k=1
ckf(zk) =
b∫
a
(σ∗nf
)(t)w(t) dt .
Aceasta inegalitate (3.5) ne sugereaza ca restul va fi cu atat mai mic cu cat f este,,mai apropiat” de ınvelitoarea liniara a sistemului s1, ..., sn . In prezentul capitolvom studia cu precadere formulele de cuadratura pe noduri simple , deci de forma(3.3).
3.2.1 Gradul de exactitate
Sa consideram ca functiiles1, ..., sn
sunt polinoame liniar independente . Vom nota
e0(t) = 1 , e1(t) = t , ..., hj(t) = tj .(3.6)
Datorita faptului ca eficacitatea aplicarii unei formule de cuadratura poate fi apre-ciata prin comportarea restului Rn pe subspatiul Πm , se introduce urmatoareaterminologie :
Definitia 19 O formula de cuadratura are gradul de exactitate m daca
Rn(e0) = 0 , Rn(e1) = 0 , ..., Rn(em) = 0 .(3.7)
Daca ın plusRm(em+1) 6= 0
spunem ca formula de cuadratura are gradul de exactitate efectiv egal cu m .
Liniaritatea functionalei Rn ne arata ca egalitatile (3.7) sunt echivalente cu
Rn(h) = 0 pentru orice h ∈ Πm .
Metode Numerice 85
Exemplu . Teorema de medie a calcului integral ne poate sugera aproximatia
b∫
a
f(t)dt ≈ (b− a)f(a + b
2
), −∞ < a < b < ∞ ,
ceea ce ın realitate este o formula aproximativa de cuadratura. Daca r(f) esterestul ın aceasta formula , adica
b∫
a
f(t)dt = (b− a)f(a + b
2
)+ r(f)(3.8)
se constata ca
r(e0) = 0 , r(e1) = 0 , r(e2) =(b− a)3
12
adica gradul de exactitate al formulei (3.8) este efectiv egal cu unu.
Teorema 27 In formulele de cuadratura de forma
b∫
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + Rn(f)(3.9)
(f ∈ Lw(a, b)
)
consideram nodurile z1 < z2 < ... < zn fixate ın < a, b > . Daca m este unnumar natural m ≤ n− 1 , atunci
i) pentru m < n− 1 exista o infinitate de formule care au gradul deexactitate m ;
ii) ın cazul m = n− 1 exista o singura formula de cuadratura de forma(3.9) care are gradul de exactitate n− 1 .
Demonstratie. Conditiile
Rn(ej) = 0 , j = 0, 1, 2, ..., m
atrag dupa sine urmatoarele conditii impuse asupra coeficientilor :
n∑
k=1
ckzjk = bj unde bj =
b∫
a
tjw(t)dt , j = 0, 1, ..., m .
Aceasta ne arata ca parametrii necunoscuti c1, ..., cn trebuie sa verifice sistemul dem + 1 ecuatii liniare
1 1 . . . 1z1 z2 . . . zn
z21 z2
2 . . . z2n
...... . . .
...zm1 zm
2 . . . zmn
c1
c2
...cn
=
b0
b1
...bm
.(3.10)
86 Alexandru Lupas
Cazul I : m < n−1 . In aceasta situatie, sistemul (3.10) este compatibil nedeterminat(rangul matricii sistemului este strict mai mic decat numarul necunoscutelor).Cazul II : m = n− 1 . Deoarece zi 6= zj pentru i 6= j , vom avea
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 . . . 1z1 z2 . . . zn
z21 z2
2 . . . z2n
...... . . .
...zm1 zm
2 . . . zmn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0
ceea ce demonstreaza afirmatiile din enuntul teoremei.
O problema interesanta este de a estima gradul de exactitate al unei formulede cuadratura.
Teorema 28 Fie m gradul de exactitate al formulei de cuadratura (3.9). Atunci
m ≤ 2n− 1 .
Demonstratie. Prin reducere la absurd sa presupunem m > 2n− 1 , decim ≥ 2n . Cu alte cuvinte, sa presupunem ca restul Rn satisface
Rn(h) = 0 , ∀h ∈ Π2m .(3.11)
Sa alegem
h∗(t) =(
ω(t))2
, ω(t) = (t− z1)(t− z2)...(t− zn) .
Pe de o parte , deoarece h∗ ∈ Π2n , din (3.11) deducem
Rn(h∗) = 0 .(3.12)
Pe de alta parte , pozitivitatea ponderii si faptul ca
h∗(zk) = 0 , k ∈ 1, 2, ..., nimplica
Rn(h∗) =
b∫
a
(ω(t)
)2
w(t) dt > 0 ,
ceea ce contrazice (3.12).
3.3 Formule de cuadratura de tip interpolator
Sa notam
Ajk =l(k−1)j (0)(k − 1)!
, 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ k ≤ n ,(3.13)
unde
lj(z) =ω(z)
(z − zj)ω′(zj)
Metode Numerice 87
ω(z) = A
n∏ν=1
(z − zν) , A 6= 0 .
Inversa matricei Vandermonde
A =
1 1 . . . 1z1 z2 . . . zn
...... ′′ots
...zn−11 zn−1
2 . . . zn−1n
este matricea n× n
||Aij ||(
vezi (3.13))
.
Sa presupunem m = n − 1 si sa determinam efectiv singura formula decuadratura ( 3.9) cu gradul de exactitate n− 1 , avand nodurile z1, z2, ..., zn fixate.Utilizınd (3.10) gasim
c1
c2
...cn
=
A11 A12 . . . A1n
A21 A22 . . . A2n
...... . . .
...An1 An2 . . . Ann
b0
b1
...bn−1
ceea ce implica
ck =n∑
j=1
Akjbj−1 =
b∫
a
( n−1∑
j=0
l(j)k (0)j!
tj)
w(t) dt =
=
b∫
a
lk(t)w(t) dt .
Prin urmaren∑
k=1
ckf(zk) =
b∫
a
( n∑
k=1
lk(t)f(zk))
w(t) dt =
=
b∫
a
Ln−1
(z1, z2, ..., zn ; f |t
)w(t) dt
unde Ln−1
(z1, z2, ..., zn ; f |.
)este polinomul de interpolare al lui Lagrange core-
spunzator nodurilor distincte z1, z2, ..., zn .
Definitia 20 O formula de cuadratura de forma (3.9) care are gradul de exactitaten− 1 se numeste formula de cuadratura de tip interpolator.
Remarcam urmatoarele ( vezi Teorema 27 )
• ın cazul ın care sistemul de noduri
z1, z2, ..., zn este fixat
exista o singura formula de cuadratura de tip interpolator ;
88 Alexandru Lupas
• daca nodurile z1, z2, ..., zn sunt considerate variabile , deci ca parametrii arbi-trari , atunci oricarui sistem de noduri z1, z2, ..., zn i se ataseaza o anumitaformula de cuadratura de tip interpolator, deci vor exista o infinitate de for-mule de cuadratura , pe n noduri cu gradul de exactitate n− 1 .
Din cele de mai sus rezulta urmatoarea propozitie :
Teorema 29 O conditie necesara si suficienta pentru ca (3.9) sa fie o formula decuadratura de tip interpolator este ca coeficientii ei sa admita reprezentarea
ck =1
ω′(zk)
b∫
a
ω(t)t− zk
w(zk) dt(3.14)
unde k = 1, 2, ..., n si
ω(t) =n∏
k=1
(t− zk) .
Corolar 8 O formula de cuadratura de forma
b∫
a
f(t)w(t)dt =n∑
k=1
ckf(zk) + Rn(f)
unde nodurile distincte sunt arbitrare si care are gradul de exactitate n − 1 seobtine prin integrarea , relativ la ponderea w , a polinomului de interpolare al luiLagrange, adica
b∫
a
f(t)w(t)dt =
b∫
a
Ln−1
(z1, ..., zn; f |t)w(t) dt + Rn(f) .(3.15)
3.3.1 Marirea gradului de exactitate
Prezentam o modalitate (vezi [?]) care ne va permite ca avand la dispozitie douaformule distincte de cuadratura , cu un acelasi grad de exactitate m , sa generamo formula de cuadratura cu gradul de exactitate m + 1 .
Teorema 30 Consideram formulele de cuadratura
b∫
a
f(t)w(t)dt =p∑
k=1
akf(xk) + rp(f)
b∫
a
f(t)w(t)dt =q∑
k=1
bkf(yk) + εq(f)
Daca resturile rp si εq verifica conditiile
rp(h) = εq(h) = 0 ∀h ∈ Πm ,
Metode Numerice 89
∆ : = εq(em+1)− rp(em+1) 6= 0 ,
atunci formula de cuadratura
b∫
a
f(t)w(t) dt = α
p∑
k=1
akf(xk) + (1− α)q∑
k=1
bkf(yk) + R(f)(3.16)
unde
α =εq(em+1)
∆,
are gradul de exactitate m + 1 . In plus
R(f) = αrp(f) + (1− α)εq(f)
Demonstratie. Avem
R(f) =(α + (1− α)
) b∫
a
f(t)w(t) dt−
−α
( b∫
a
f(t)w(t) dt− rp(f))− (1− α)
( b∫
a
f(t)w(t) dt− εq(f))
=
= αrp(f) + (1− α)εq(f) .
DeciR(h) = αrp(h) + (1− α)εq(h) = 0 , ∀h ∈ Πm
siR(em+1) = αrp(em+1) + (1− α)εq(em+1) = 0 .
Pentru ca sa ilustram eventualele aplicatii ale teoremei demonstrate anterior ,consideram formulele exacte de cuadratura
∫ b
a
f(t) dt = (b− a)f(a + b
2− λ
b− a
2
)+ r1(f)
si ∫ b
a
f(t) dt = (b− a)f(a + b
2+ µ
b− a
2
)+ ε1(f)
unde λ , µ ∈ (0, 1] . Se verifica imediat ca
r1(e0) = ε1(e0) = 0
r1(e1) = λ(b− a)2
2, ε1(e1) = −µ
(b− a)2
2Aceasta ınseamna ca cele doua formule au gradul de exactitate efectiv egal cu
m=0. Cu notatia din Teorema 30 se obtine
α =µ
µ + λ.
90 Alexandru Lupas
Prin urmare formula de cuadratura∫ b
a
f(t) dt =(3.17)
=b− a
µ + λ
(µf
(a + b
2− λ
b− a
2
)+ λf
(a + b
2+ µ
b− a
2
))+ R(f)
are gradul de exactitate m = 1 . In plus
R(e2) =(b− a)3
12(1− 3µλ) .
Sa repetam procedeul descris anterior considerand ca si formule de referinta pe(3.8) si (3.17). In aceasta situatie
α =R(e2)
R(e2)− r(e2)= 1− 1
3µλ.
Formula (3.16) se scrie sub forma
∫ b
a
f(t)dt =(3.18)
b− a
3µλ(µ + λ)
(µf
(a + b
2− λ
b− a
2
)+ (µ + λ)(3µλ− 1)f
(a + b
2
)+
+λf(a + b
2+ µ
b− a
2
))+ R0(f)
iarR0(e0) = R0(e1) = R0(e2) = 0 ,
R0(e3) =(b− a)4
24(λ− µ) .
Rezulta ca daca λ 6= µ , atunci (3.18) are gradul de exactitate efectiv egal cudoi . Pentru λ = µ , deci ∫ b
a
f(t)dt =(3.19)
=b− a
6µ2
(f(a + b
2− µ
b− a
2
)+ 2(3µ2 − 1)f
(a + b
2
)+
+f(a + b
2+ µ
b− a
2
))+ R1(f) , µ ∈ (0, 1] ,
atunci gradul de exactitate al acestei formule este m = 3 . Prin efectuarea unorcalcule elementare se arata ca au loc si egalitatile
R1(e4) =(b− a)5
48
(35− µ2
).
Metode Numerice 91
In aceasta maniera constatam ca daca
µ ∈ R , |µ| =√
35
,
atunci gradul de exactitate al formulei (3.19) se va mari.Intr-adevar, formula de cuadratura
∫ b
a
f(t) dt =(3.20)
=5(b− a)
18
(f(a + b
2−
√35
b− a
2
)+
85f(a + b
2
)+
+f(a + b
2+
√35
b− a
2
))+ RG(f)
are gradul de exactitate m = 5 . Totodata
RG(e6) 6= 0 mai precis RG(e6) =(b− a)6
2800.
In cazul functiilor derivabile de un numar suficient de ori exista posibilitatea [11]ca o formula de cuadratura cu un grad de exactitate efectiv egal cu m sa fie,, transformata” ıntr-o formula de cuadratura cu gradul de exactitate m + 2 .
Teorema 31 Fie formula de cuadratura cu gradul de exactitate efectiv egal cu m
∫ b
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + Rn(f) .
Daca
x0 : =1
m + 2Rn(em+2)Rn(em+1)
∈ < a, b > ,
atunci formula aproximativa de cuadratura
∫ b
a
g(t)w(t) dt ≈ 1(m + 1)!
Rn(em+1)g(m+1)(x0) +n∑
k=1
ckg(zk)(3.21)
(g ∈ Cm+1 < a, b >
),
are gradul de exactitate m + 2 .
Demonstratie. Sa notam cu rn(g) restul din (3.21); avem
rn(g) = Rn(g)− 1(m + 1)!
Rn(em+1)g(m+1)(x0)
sirn(h) = 0 pentru h ∈ Πm .
92 Alexandru Lupas
In acelasi timp
rn(em+1) = Rn(em+1)− 1(m + 1)!
Rn(em+1)(m + 1)! = 0
sirn(em+2) = Rn(em+2)− (m + 2)Rn(em+1)x0 = 0 ,
ceea ce completeaza afirmatia ca rn(p) = 0 pentru orice p din Πm+2 .Pentru exemplificare sa consideram ın (3.19) < a, b >= [0, 1] , µ = 1 . Gasimformula cu grad de exactitate m = 3
∫ 1
0
f(t)dt =16
[f(0) + 4f
(12
)+ f(1)
]+ R(f) .
DeoareceR(e4) = − 1
20, R(e5) = − 1
48se obtine x0 = 1
2 . Conform Teoremei 31, formula de cuadratura
∫ 1
0
g(t)dt = − 12880
g(4)(1
2
)+
16
(g(0) + 4g
(12
)+ g(1)
)+ r(g)
are gradul de exactitate m1 = 5 .
Problema se poate trata ıntr-un cadru mai general. Sa consideram o functionalaliniara A : Lw < a, b >→ R cu urmatoarele proprietati:
(C)
i) A(h) = 0 ∀h ∈ Πm ,
ii) A(em+1) 6= 0 ,
iii)∣∣∣∣
A(em+1) A(em+2)Rn(em+1) Rn(em+2)
∣∣∣∣ = 0
unde Rn este restul din (3.3).Conditiile (C) ne asigura de faptul ca functionala liniara A are gradul de exactitateefectiv egal cu m .
Fie formula exacta de aproximare∫ b
a
f(t)w(t) dt = λA(f) +n∑
k=1
ckf(zk) + R(f) , f ∈ Lw(a, b) ,(3.22)
unde R reprezinta restul formulei iar Rn este restul din (3.3).Ne propunem sa determinam valorile posibile ale parametrului real λ astfel ıncat
R(em+1) = 0 ın timp ce Rn(em+1) 6= 0 .
Observam ca au loc egalitatile
R(f) = Rn − λA(f)
R(ej) = Rn(ej)− λA(ej) = 0 , j = 0, 1, ...,m
Metode Numerice 93
R(em+1) = Rn(em+1)− λA(em+1) .
Prin urmare singura valoare admisibila a lui λ este
λ =Rn(em+1)A(em+1)
.
Pentru aceasta valoare a lui λ (3.22) devine
∫ b
a
f(t)w(t)dt =Rn(em+1)A(em+1)
A(f) +n∑
k=1
ckf(zk) + R(f) .(3.23)
In acelasi timp
R(em+2) = Rn(em+2)− Rn(em+1)A(em+1)
A(em+2) = 0 ,
ceea ce demonstraza faptul ca
R(p) = 0 , ∀p ∈ Πm+2 .
Prin urmare, am demonstrat urmatoarea propozitie :
Teorema 32 Fie A : Lw(a, b) → R o functionala liniara care verifica conditiile(C) iar Rn restul din (3.3). Daca (3.3) are gradul de exactitate m , iar R esteprecizat ın (3.23), atunci
R(ej) = 0 pentru j = 0, 1, ..., m + 2 .
Un caz particular ıl constituie acela ın care A este o diferenta divizata, mai precis
A(f) = [x0, x1, ..., xm+1 ; f ] .
De aceasta data
A(ej) =
0 , j = 0, 1, ..., m
1 , j = m + 1
m+1∑k=0
xk , j = m + 2
.
Obtinem astfel
Corolar 9 Fie f : J → R , < a, b >⊂ J , f ∈ Lw(a, b) . Daca formula
∫ b
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + Rn(f)
are gradul de exactitate efectiv egal cu m , iar x0, x1, ..., xm+1 este un sistem depuncte din J , care verifica
m+1∑
k=0
xk =Rn(em+2)Rn(em+1)
,
94 Alexandru Lupas
atunci formula de cuadratura
∫ b
a
f(t)w(t) dt =
= Rn(em+1)[x0, x1, ..., xm+1; f ] +n∑
k=1
ckf(zk) + R(f)(3.24)
are gradul de exactitate m + 2 .
Precizam faptul ca daca ın (3.23) unul dintre xj este un nod multiplu de ordinulrj , atunci se impune conditia ca f (rj−1)(xj) sa existe.Spre exemplu sa consideram formula
8π
∫ 1
0
f(t)√
t(1− t)dt =38f(0) +
14f(1
2
)+
38f(1) + R(f) .(3.25)
Avem
R(ej) =
(2j+2j+1
)
4j(j + 2)− 3
8− 1
2j+2, j ≥ 1 .
R(e0) = 0, w(t) =8π
√t(1− t) .
In particular
R(e1) = 0 , R(e2) = −18
, R(e3) = − 316
.
Fie xj ∈ [0, 1] astfel ca
x0 + x1 + x2 =32
.
Din Corolarul 9 deducem ca restul din
8π
∫ 1
0
f(t)√
t(1− t)dt =
= −18[x0, x1, x2; f ] +
38f(0) +
14f(1
2
)+
38f(1) + R(f)
verificaR(h) = 0 pentru orice h din Π3 .
Alegand x0 = 0 , x1 = 12 , x2 = 1 concludem cu formula ,,corectata” de cuadratura
8π
∫ 1
0
f(t)√
t(1− t)dt =18f(0) +
34f(1
2
)+
18f(1) + R(f)(3.26)
care are gradul de exactitate efectiv egal cu trei.Din punct de vedere al gradului de exactitate, formula de cuadratura (3.26) este,,mai buna” decat (3.25).
Metode Numerice 95
3.3.2 Transformari ale cuadraturilor
Sa introducem notatia
In(f ; c; z) =n∑
k=1
ckf(zk)
undec = (c1, c2, ..., cn) ∈ Rn ,
z = (z1, z2, ..., zn) ∈< a,b >n .
Totodata, consideram formula exacta de cuadratura∫ b
a
f(t)w(t)dt = In(f ; c; z) + Rn(f) .(3.27)
Fieλ > 0 µ = (µ, µ, ..., µ) ∈ Rn , z = µ + λz .
Combinatiile liniareIn(f ; c; z) si In(F ; λc; z)
le vom considera echivalente.Justificarea acestei chestiuni consta ca din (3.27) prin intermediul unei transformariliniare ale variabilei, rezulta
µ+λb∫
µ+λa
F (x)W(x) dx = In(F ; λc; z) + Rn(F )(3.28)
undeW(x) = w
(x− µ
λ
), x ∈< µ + λa, µ + λb > .
Vom spune ca (3.28) este o transformare afina a formulei de cuadratura (3.27). Maiprecis, se verifica usor valabilitatea urmatoarelor afirmatii (vezi [?]):
Lema 21 Daca −∞ < λ < β < +∞ iar w este o pondere pe (a, b) si∫ β
α
f(t)w(t)dt =n∑
k=1
ckf(zk) + rn(f) , f ∈ Lw(α, β) ,
atunci functia
W(x) = w(α + (β − α)
x− a
b− a
), x ∈ (a, b), −∞ < a < b < +∞,
este de asemenea o pondere, pe (a, b) ; ın plus
b∫
a
F (x)W(x) dx =
=b− a
β − α
n∑
k=1
ckF(a + (b− a)
zk − α
β − α
)+ Rn(F )
unde F ∈ LW(a, b) si
Rn(F ) =b− a
β − αrn(F ) , F (t) = F
(a + (b− a)
t− α
β − α
).
96 Alexandru Lupas
In cazul ın care intervalul de integrare este semi-infinit, de exemplu de forma(a,+∞), se obtine :
Lema 22 Fie a, α ∈ (−∞, +∞) si w o pondere pe intervalul (α, +∞) . Daca
+∞∫
α
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + rn(f), f ∈ Lw(α, +∞),
atuncii) W (x) = w(x + α− a), x ∈ (a,+∞), este o pondere;ii) daca F ∈ LW(a,+∞) avem
+∞∫
a
F (x)W(x) dx =n∑
k=1
ckF (zk + a− α) + Rn(F ) ,
unde Rn(F ) = rn(F ) , F (t) = F (t + a− α) .
Pentru a ilustra utilitatea acestor propozitii consideram cateva exemple.Exemplul 1. Sa notam
z1 = 0.774596669241483... =
√35.
Asa numita formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre, pe trei noduri, este
1∫
−1
f(t)dt =
1∫
−1
L2
(− z1, 0, z1 ; f |t) dt =
=59f(−z1) +
89f(0) +
59f(z1) + r3(f) .
Pentru f ∈ C(6)[−1, 1] se cunoste ca exista θ ∈ (−1, 1) astfel ıncat
r3(f) =1
15750f (6)(θ) .
Daca dorim sa efectuam o aproximare a unei integrale de forma
b∫
a
F (x) dx , −∞ < a < b < +∞ , F ∈ C(6)[a, b],
pe baza Lemei 21 se constata ca are loc formula exacta de cuadratura
b∫
a
F (x) dx =
=5(b− a)
18
(F
(a + r(b− a)
)+
85F
(a + b
2
)+ F
(a + s(b− a)
) )+
Metode Numerice 97
+1
15750
(b− a
2
)7
F (6)(η) , η ∈ (a, b) ,
cu r = 1+z12 , s = 1−z1
2 ; a se vedea si (3.20).Exemplul 2. Formula de cuadratura a lui Gauss-Laguerre, pentru functii
de clasa C4[0,+∞) , ne permite sa scriem (vezi [7])
+∞∫
0
f(t)e−t dt = c1f(x1) + c2f(x2) + r2(f)
r2(f) =16f (4)(θ) , θ ∈ (0, +∞) , θ = θ(f) ,
undej xj cj
1 0.585786437627... 0.853553390593...2 3.414213562373... 0.146446609407...
Daca dorim sa calculam aproximativ
I : =
+∞∫
1
1√x
e−x dx ,
utilizand Lema 22 avem
eI = c1F (1 + x1) + c2F (1 + x2) +16F (4)(η) , η > 1 ,
undeF (x) =
1√x
;
deciI ≈ c1
e√
1 + x1+
c2
e√
1 + x2
si ın plus ∣∣∣∣I −c1
e√
1 + x1− c2
e√
1 + x2
∣∣∣∣ < 0.4 .
Pentru evaluarea lui I se poate proceda si altfel. Deoarece
I = Γ(0.5)−1∫
0
1√x
e−x dx si Γ(0.5) =√
π,
sa folosim una dintre formulele de cuadratura destinate calculului integralelor deforma
1∫
0
f(x)w(x) dx , w(x) = xp(1− x)q ,
cu (p, q) = (−0.5, 0) si f(x) = e−x .
98 Alexandru Lupas
3.4 Teorema lui Peano
Fie Y un spatiu liniar de functii reale definite pe un interval [a, b] ,−∞ < a < b < ∞ . Daca m este un numar natural fixat, presupunem caCm+1[a, b] ⊆ Y si de asemenea ca pentru orice t ∈ [a, b] functia ϕt : [a, b] →R definita prin
ϕt(x) = |x− t|m+ =(
x− t + |x− t|2
)m
=
(x− t)m , x− t ≥ 00 , x− t < 0
este un element al spatiului Y .Reamintim ca daca A : Y → R este o functionala liniara cu gradul de exactitatem , atunci A(p) = 0 pentru orice polinom p de grad cel mult m . Urmatoareateorema este atribuita lui Giuseppe Peano (1858-1932).
Teorema 33 (G. Peano ) Fie A : Y → R o functionala liniara si marginita cugradul de exactitate m . Daca functia
ΦA : [a, b] → R unde ΦA(t) = A(ϕ) ,
este continua pe [a, b] , atunci pentru orice f din Cm+1[a, b] are loc reprezentarea
A(f) =1m!
b∫
a
ΦA(t)f (m+1)(t)dt .(3.29)
Demonstratie. Daca f ∈ Cm+1[a, b] , atunci exista un polinom p ∈ Πm astfel ca
f(x) = p(x) +
x∫
a
(x− t)m
m!f (m+1)(t)dt .(3.30)
Mai precis
p(x) =m∑
k=0
f (k)(a)k!
(x− a)k .
Remarcam ca (3.30) se poate scrie si ın urmatoarea maniera :
f(x) = p(x) +1m!
b∫
a
ϕt(x)f (m+1)(t) dt.(3.31)
Aplicand peste (3.31) functionala A , relativ lavariabila x , gasim
A(f) = A(p) +1m!
b∫
a
A(ϕt)f (m+1)(t) dt =
=1m!
b∫
a
ΦA(t)f (m+1)(t) dt
ceea ce demonstreaza (3.29).Facem urmatoarele observatii :
Metode Numerice 99
• din (3.29) reiese ca functia ΦA : [a, b] → R este independenta de alegereafunctiei f ın Cm+1[a, b] . In realitate, (3.29) constituie o reprezentare pesubspatiul Cm+1[a, b] a functionalelor liniare avand un grad de exactitatem ;
• daca ın (3.29) alegem f = em+j+1 , gasim
b∫
a
tjΦA(t)dt =m!j!
(m + j + 1)!A(em+j+1) ;(3.32)
• justificarea faptului ca (vezi (3.31))
A
( b∫
a
ϕt(x)f (m+1) dt
)=
b∫
a
A(ϕt)f (m+1)(t) dt
se face prin intermediul teoremei lui Fubini.
Definitia 21 ΦA : [a, b] → R se numeste functia de influenta a functionalei A .
Prin aplicarea teoremei de medie a calculului integral obtinem
Corolar 10 Fie A o functionala liniara si marginita care are gradul de exactitatem . Daca ΦA pastreaza semn constant pe (a, b) , atunci pentru orice f dinCm+1[a, b] exista cel putin un punct ξ , ξ ∈ [a, b] , astfel ıncat
A(f) = A(em+1)f (m+1)(ξ)(m + 1)!
(3.33)
Corolar 11 Daca A : Y → R este o functionala liniara cu gradul de exactitatem , atunci pentru orice f , f ∈ Cm+1[a, b] , are loc inegalitatea
|A(f)| ≤ 1m!‖f (m+1)‖
b∫
a
|φA(t)| dt(3.34)
unde φA este functia de influenta si
‖f (m+1)‖ = maxx∈[a,b]|f (m+1)(x)|
3.4.1 Restul ın unele formule de cuadratura
Pentru punerea ın evidenta a modului de aplicare a teoremei lui G. Peano sa con-sideram formula exacta de cuadratura
1∫
0
f(t)w(t)dt = f( p + 1
p + q + 2
)+ R(f)(3.35)
w(t) =tp(1− t)q
B(p + 1, q + 1), p > −1, q > −1 ,
100 Alexandru Lupas
unde R reprezinta restul formulei iar B este functia Beta.Sa determinam gradul de exactitate al acestei formule: avem
R(e0) = R(e1) = 0 ,
R(e2) =(p + 1)(q + 1)
(p + q + 2)2(p + q + 3),
ceea ce ne arata ca m = 1 . Teorema 3.3 ne permite sa reprezentam restul pe spatiulC2[0, 1] . Pentru aceasta se impune sa studiem functia de influenta a restului. Avem
ΦR(t) = R(ϕt) , ϕt(x) = |x− t|+adica
ΦR(t) =
1∫
0
|x− t|+w(x)dx− ϕt
( p + 1p + q + 2
).
La prima vedere pare dificila problema determinarii unei forme convenabile a luiΦR(t) . In schimb se poate studia usor semnul functiei de influenta. Deoareceϕt este convexa pe [0, 1] ea admite ın orice punct din [0, 1] cel putin o dreapta desprijin. Aceasta ınseamna ca oricare ar fi x0 , x0 ∈ [0, 1] , exista un numar realλ = λ(x0) astfel ca inegalitatea
ϕt(x0) + λ(x0 − x) ≤ ϕt(x)
sa aiba loc pentru orice x din [0, 1] . Alegem
x0 =p + 1
p + q + 2,
ınmultim inegalitatea cu w(x) iar apoi o integram, pe [0, 1] relativ la variabilax . Se obtine
ϕt
( p + 1p + q + 2
)≤
1∫
0
ϕt(x)w(x) dx
ceea ce ne arata caφR(t) ≥ 0 , t ∈ [0, 1] .
Din Corolarul 10 concludem ca daca f este de clasa C2[0, 1] va exista cel putin unpunct ξ, ξ ∈ [0, 1] , astfel ıncat
R(f) =(p + 1)(q + 1)
(p + q + 2)2(p + q + 3)f ′′(ξ)
2!.(3.36)
3.4.2 Restul pe C[a, b]
In cele ce urmeaza prezentam unele rezultate stabilite de catre Tiberiu Popoviciu1 ın legatura cu reprezentarea restului ın unele formule liniare de aproximare.
1Tiberiu Popoviciu (1906-1975) -matematician roman, nascut la Arad, Profesor la Uni-versitatea din Cluj, membru al Academiei Romane , director al Institutului de Calcul alAcademiei (actualmente Institutul de Calcul ,,Tiberiu Popoviciu” ), fondatorul scolii deAnaliza Numerica din Romania, creatorul Teoriei Functiilor Convexe de ordin superior.Rezultatele lui Tiberiu Popoviciu sunt citate frecvent ın cele mai recente monografii dintara si strainatate.
Metode Numerice 101
Definitia 22 O functie f : [a, b] → R se numeste convexa de ordinul m pe[a, b] daca pentru orice sistem de puncte distincte din [a, b]
x0, x1, ..., xm+1 , ( xi 6= xj pentrui 6= j )
are loc inegalitatea[x0, x1, ..., xm+1 ; f ] ≥ 0 .
Precizam ca o functie f se numeste concava de ordinul m , daca functia −f esteconvexa de acelasi ordin m .
Definitia 23 O functionala liniara F : C[a, b] → R este de forma simpla peC[a, b] , daca pentru orice f ∈ C[a, b] exista ın [a, b] un sistem de puncte distincteθ0, θ1, ..., θm+1 , astfel ıncat
F(f) = K[θ0, θ1, ..., θm+1 ; f ](3.37)
unde K este un numar diferit de zero si independent de functia f .
Sa observam ca daca ın (3.37) alegem f = em+1 , atunci
F (em+1) = K[θ0, θ1, ..., θm+1; em+1]
ceea ce ınseamna ca (3.37) se poate transcrie sub forma
F(f) = F(em+1)[θ0, θ1, ..., θm+1 ; f ](3.38)
Remarcam de asemenea faptul ca o functionala cu imaginile precizate ın (3.38) aregradul de exactitate efectiv egal cu m .
Definitia 24 O functionala liniara F : C[a, b] → R este de forma simpla pesubspatiul Cm+1[a, b] , daca oricare ar fi f din Cm+1[a, b] exista ın [a, b] celputin un punct ξ, ξ = ξ(f), astfel ca:
F (f) = F (em+1)f (m+1)(ξ)(m + 1)!
.(3.39)
De exemplu, ın conformitate cu (3.36) functionala rest R din formula de cuadratura(3.35) este de forma simpla pe subspatiul C2[0, 1] .
Teorema 34 (T. Popoviciu [26])O conditie necesara si suficienta pentru ca o functionala liniara F : C[a, b] → R safie de forma simpla, este ca
F (h) 6= 0(3.40)
pentru orice functie h din C[a, b] care este convexa de ordinul m pe [a, b] .
Necesitatea conditiei (3.40) este imediata: presupunand ca are loc (3.37)-(3.38),daca h este convexa, atunci
F (em+1)F (h) = F 2(em+1)[θ0, θ1, . . . , θm+1;h] > 0
ceea ce ınseamna ca F (h) 6= 0 .
102 Alexandru Lupas
Teorema 35 (T. Popoviciu [26]) Fie m , m ∈ N fixat si F : C[a, b] → R ofunctionala liniara si marginita, de grad de exactitate m . Pentru ca F sa fiede forma simpla pe C[a, b] este necesar si suficient ca sa avem
F (em+1)ΦF (t) ≥ 0 pentru orice t ∈ [a, b] ,(3.41)
unde ΦF este functia de influenta a functionalei F .
Daca F este de forma simpla pe C[a, b] atunci (3.41) este verificata. In adevar,functia ϕt(x) = |x − t|m+ este convexa de ordinul m pe [a, b] si astfel trebuie saavem
F (ϕt)F (em+1) ≥ 0,
adicaΦF (t)F (em+1) ≥ 0.
Teorema 36 (vezi [11] ) Fie F : [a, b] → R o functionala liniara si marginita.Daca F este de forma simpla pe Cm+1[a, b], atunci F este de forma simpla peıntreg spatiul C[a, b]. Cu alte cuvinte, dacai) F (em+1) 6= 0ii) pentru orice h ∈ Cm+1[a, b] exista un punct θ = θ(h) ∈ [a, b] astfel ca
F (h) = F (em+1)h(m+1)(θ)(m + 1)!
,
atunci pentru orice f ∈ C[a, b] exista un sistem θ0, θ1, . . . , θm+1, θi = θi(f), depuncte distincte din [a, b] astfel ıncat
F (f) = F (em+1)[θ0, θ1, . . . , θm+1; f ].
Demonstratie. Continuitatea functionalei F implica faptul ca functia de influentaΦF este continua pe [a, b] . Deoarece
F (ek) = 0, k = 0, 1, . . . ,m,
comform teoremei lui Peano
F (h) =1m!
b∫
a
ΦF (t)h(m+1)(t) dt, h ∈ Cm+1[a, b].
Pentru simplificarea notatiei fie
s(t) =1m!
ΦF (t)
si
h0(x) =
x∫
a
t1∫
a
t2∫
a
. . .
tm∫
a
(s(tm+1)− |s(tm+1)|
)dt
( dt = dt1 dt2 . . . dtm+1 ) .
Functia h0 este din Cm+1[a, b] si h(m+1)0 = s− |s| .
Fara a restrange generalitatea, vom presupune F (em+1) > 0 . Din comportarea
Metode Numerice 103
functionalei F pe subspatiul Cm+1[a, b] rezulta ca exista un punct θ ∈ [a, b] astfelıncat
F (h0) =s(θ)− |s(θ)|
(m + 1)!F (em+1) ≤ 0.
Pe de alta parte
F (h0) =
b∫
a
(s2(x)− s(x)|s(x)|
)dx =
12
b∫
a
(s(x)− |s(x)|
)2
dx .
In concluzie F (h0) = 0 adicab∫
a
(s(x)− |s(x)|
)2
dx = 0
sau s = |s| pe [a, b].Prin urmare ΦF (t) ≥ 0, ∀ t ∈ [a, b], iar Teorema 35 completeaza demonstratia.
Considerand ponderea
w(t) =1√
1− t2pe intervalul (−1, 1)
sa cercetam cum se poate reprezenta restul R pe spatiul C[−1, 1] , daca1∫
−1
f(t)dt√
1− t2=
2π
2n + 1
(12f(−1) +
n∑
j=1
f(cos
2j − 12n + 1
π))
+ R(f) .
Aceasta este un caz particular al asa numitei formule de cuadratura a lui Bouzitat(vezi [7]). Se cunoaste ca daca h ∈ C(2n+1)[−1, 1], atunci exista θ ∈ [−1, 1] astfelca
R(h) = K · h(2n+1)(θ)(2n + 1)!
unde K 6= 0 este o constanta relativ la h. Fie
h(x) = T2n+1(x) = cos(2n + 1) arccos x = 22nx2n+1 + . . .
Gasim
R(T2n+1) = 22n ·K = 22nR(e2n+1) =
1∫
−1
T2n+1(t)dt√
1− t2−
− 2π
2n + 1
(12T2n+1(−1) +
n∑
j=1
T2n+1
(cos
2j − 12n + 1
π))
=
= − 2π
2n + 1
(− 1
2+
n∑
j=1
cos (2j − 1)π))
= π .
Prin urmareR(e2n+1) =
π
22n
iar Teorema 36 permite sa reprezentam restul R pe ıntreg spatiul C[−1, 1] prinintermediul egalitatii
R(f) =π
22n[θ0, θ1, . . . , θ2n+1 ; f ] , θi = θi(f) ∈ [−1, 1] .
104 Alexandru Lupas
3.5 Clasificarea formulelor de cuadratura
Sa consideram o pondere w : (a, b) → [0, +∞) si formula de cuadratura de forma
b∫
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
cknf(zkn) + Rn(f), f ∈ Lw(a, b) ,(3.42)
unde z1n < z2n < . . . < znn sunt puncte din < a, b >. Presupunem ca elemente fix-ate intervalul < a, b > si ponderea w. Sa notam cu Cn multimea tuturor egalitatilor3.42 obtinute pentru diverse alegeri ale coeficientilor c1n, . . . , cnn si eventual alenodurilor z1n, z2n, . . . , znn.
Definitia 25 Fie U o submultime din Lw(a, b) si
b∫
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
c∗knf(z∗kn) + R∗n(f).(3.43)
Daca|R∗n(f)| = inf
Cn
supf∈U
|Rn(f)|,
atunci (3.43) este o formula optimala de cuadratura relativ la U .
Punerea ın evidenta a formulelor optimale relativ la anumite clase de functii esteinteresanta dar dificila.
Definitia 26 Daca ponderea w este simetrica, adica
w(x) = w(a + b− x) , ∀ x ∈ (a, b)
si ın plus pentru j = 1, 2, ..., n
cj,n = cn+1−j,n si zj,n = a + b− zn+1−j,n ,
atunci (3.42) se numeste formula simetrica de cuadratura.
O proprietate a acestor formule este ilustrata ın urmatoarea propozitie carene arata ca gradul maxim de exactitate al unei formule simetrice este ıntotdeauna unnumar impar.
Teorema 37 Daca formula de cuadratura (3.42) este simetrica si
Rn(p) = 0 , ∀ p ∈ Π2s ,
atunciRn(h) = 0 , ∀ p ∈ Π2s+1 .
Demonstratie. Este suficient sa aratam ca Rn(e2s+1) = 0 . Exista un polinomϕ de grad ≤ 2s astfel ıncat
e2s+1(t) =(t− a + b
2
)2s+1
+ ϕ(t) = h0 + ϕ(t) .
Metode Numerice 105
Prin urmareRn(e2s+1) = Rn(h0) + Rn(ϕ) = Rn(h0) =
=
b∫
a
h0(t)w(t) dt−n∑
k=1
ck,n
(zk,n − a + b
2
)2s+1
=
=
b∫
a
h0(a + b− t)w(t) dt−
−n∑
k=1
cn+1−k
(zn+1−k,n − a + b
2
)2s+1
= −Rn(e2s+1) ,
adica Rn(e2s+1) = 0 .
Definitia 27 Pentru n variabil, sirul de egalitati cu termenul general (3.42) con-stituie o metoda de cuadratura. Metoda de cuadratura (3.42) se numeste con-vergenta pentru f0 , f0 ∈ U ⊆ Lw(a, b) , daca
limn→∞
Rn(f0) = 0 .
O metoda de cuadratura este convergenta pe o submultime U ⊆ Lw(a, b) , daca
limn→∞
Rn(f) = 0 oricare ar fi f ∈ U .
In studiul convergentei metodelor de cuadratura, un rol important ıl joaca celecare sunt pozitive.
Definitia 28 Daca pentru n = 1, 2, . . . avem
ck,n > 0 , k = 1, 2, . . . , n ,
atunci (3.42) este o formula (metoda) pozitiva de cuadratura.
Definitia 29 Daca ın (3.42) avem
z1n 6= a si zn,n 6= b ,
atunci formula de cuadratura se numeste deschisa. In cazul ın care
z1n = a si zn,n = b
vom spune ca (3.42) este o formula ınchisa.
Definitia 30 Fie (3.42) cu gradul de exactitate efectiv egal cu m si ΦRn functiade influenta a restului.Daca
ΦRn(t) ≥ 0 , t ∈ (a, b) ,
atunci (3.42) se numeste formula de cuadratura pozitiv definita(pe subspatiul Cm+1[a, b] ).In cazul ın care ΦRn(t) ≤ 0 , ∀t ∈ (a, b) , formula (3.42) se numeste negativdefinita.
106 Alexandru Lupas
Observam ca o formula de cuadratura, pentru care functia de influenta pastreazasemn constant si care poseda un anumit grad de exactitate, are proprietatea remar-cabila ca restul ei admite o forma simpla pe spatiul C[a, b] (vezi Teorema 36).
In literatura de specialitate exista si termenul de formula de cuadratura obtinutaprin juxtapunere. Pentru a elucida aceasta terminologie sa consideram w(t) = 1 sifie rp restul ın formula de cuadratura
β∫
α
f(t) dt =p∑
j=1
cjf(zj) + rp(f), f ∈ C[α, β],(3.44)
(−∞ < α ≤ z1 < z2 < . . . < zp ≤ β < +∞).
Sa consideram un interval finit [a, b] si
xk = a +k
n(b− a) , k = 0, 1, . . . , n .
Lema 21 ne permite sa aplicam (3.44) functiilor F din C[a, b] : avem
xk∫
xk−1
F (x) dx =(3.45)
=b− a
n(β − α)
p∑
j=1
cjF(xk +
b− a
n(β − α)(zj − β)
)+
b− a
n(β − α)rp(Fk)
undeFk = F
(xk +
b− a
n(β − α)(t− β)
).
Pentru k = 1, 2, . . . , n sa ınsumam (3.45). Obtinem
b∫
a
F(x) dx =(3.46)
=b− a
n(β − α)
n∑
k=1
p∑
j=1
cjF(xk +
b− an(β − α)
(zj − β))
+ Rn(F)
unde
Rn(F ) = b−aβ−αrp(F ∗n)
F ∗n(t) = 1n
n∑k=1
F
(xk + b−a
n(β−α) (t− β))
.
(3.47)
Definitia 31 Formula de cuadratura precizata prin (3.46)-(3.47) se numeste trans-formata prin juxtapunere a formulei (3.44).
Metode Numerice 107
Un motiv pentru care uneori este mai indicat sa utilizam ”juxtapusa” uneiformule de cuadratura reiese din urmatoarea teorema.
Teorema 38 Daca pentru f ∈ Cm+1[α, β] , restul din (3.44) admite o formasimpla, adica
rp(f) = rp(em+1)f (m+1)(θ)(m + 1)!
, θ = θ(f) ∈ [α, β] ,
atunci restul Rn al formulei (3.46) obtinuta prin juxtapunere se reprezinta pespatiul Cm+1[a, b] sub forma
Rn(F ) = nδm+2 · rp(em+1)F (m+1)(ξ)(m + 1)!
(3.48)
undeξ = ξ(F ) ∈ [a, b] si δ =
b− a
n(β − α).
Demonstratie. Din (3.47) , avem
Rn(F ) = nδ · rp(em+1)F ∗(m+1)(θ)(m + 1)!
.
Utilizand proprietatea lui Darboux2 a functiilor continue concludem ca exista ın[a, b] cel putin un punct ξ = ξ(F ) astfel ca
F ∗(m+1)(θ) =δm+1
n
n∑
k=1
F (m+1)(xk + (θ − β)δ
)= δm+1F (m+1)(ξ).
Prezenta ın (3.48) a factorului δm+2 ne arata ca, deoarece restulRn este direct proportional cu acesta, alegand convenabil parametruln putem gasi o formula juxtapusa ın care restul Rn este suficient demic. Din forma lui δ reiese ca n va fi ın general mare, ceea ce afecteaza volumulde calcule. In general,este indicat ca δ < 1 , deci
n ≥ n0 = 1 +[ b− a
β − α
]
unde prin [.] s-a notat partea ıntreaga .De exemplu, sa reluam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre, mentionata ıncadrul Exemplului 1 :
1∫
−1
f(t) dt =59f(−
√35
)+
89f(0) +
59f(√
35
)+ r3(f)
cur3(f) =
115750
f (6)(θ) , f ∈ C(6)[−1, 1] , θ ∈ [−1, 1].
2Jean Gaston Darboux (1842-1917) matematician francez cu contributii ın Analiza ,Geometrie diferentiala , Ecuatii diferentiale. Din 1902 a devenit membru al Royal Society.
108 Alexandru Lupas
Presupunem ca, utilizand aceasta formula, dorim sa calculam cu sapte zecimaleexacte
1∫
0
F (x) dx unde F ∈ C(6)[0, 1] , ‖F (6)‖ ≤ 1 .
Utilizand formula juxtapusa (3.46) avem
1∫
0
F (x) dx =
=1
18n
n∑
k=1
(5.F
(k − 1 + β
n
)+ 8.F
(k − 0.5n
)+ 5.F
(k − β
n
))+ Rn(F ) .
β =12−√
1510
,
cu restul Rn admitand reprezentarea
Rn(F ) =1
2016 · 103n6F (6)(ξ) , ξ ∈ [0, 1] .
Deoarece|Rn(F )| < 1
2(10n)−6‖F (6)‖ ≤ 1
2(10n)−6
alegand pe n astfel ca12(10n)−6 ≤ 10−8 ,
adica n ≥ 2 , vom avea precizia dorita.
3.6 Cuadraturi clasice
3.6.1 Formule de tip Newton-Cotes
Sa consideram o formula de cuadratura de tip interpolator, adica
b∫
a
f(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + R(f) , f ∈ L[a, b] , n ≥ 2,(3.49)
unde, comform teoremei (29) , avem
ck =1
ω0′(zk)
b∫
a
ω0(t)t− zk
dt , ω0(t) =n∏
k=1
(t− zk)(3.50)
(k = 1, 2, . . . , n)
iar z1, z2, . . . , zn sunt puncte distincte din [a, b] .Fixand nodurile zj , j = 1, 2, . . . , n , coeficientii ck sunt determinati ın modunic de (3.50). In functie de alegerea nodurilor distingem urmatoarele metodeaproximative de calcul
Metode Numerice 109
Formula (ınchisa) a lui Newton-Cotes : ın acest caz
zk = a + (k − 1)b− a
n− 1;
Formula deschisa a lui Newton-Cotes are nodurile
zk = a + kb− a
n + 1;
Formula lui Maclaurin cu nodurile
zk = a +(k − 1
2
)b− a
n;
Pentru o tratare unitara vom nota
xk = a + (k − 1 + β)h(3.51)
unde parametrii β , h , h > 0 , se aleg astfel ca
0 < h ≤ b− an− 1 + β
.
Formula de cuadratura corespunzatoare nodurilor (3.51), adica
b∫
a
f(t) dt =n∑
k=1
ck(β,h)f(xk) + R(f ; β,h)(3.52)
unde R(·; β, h) este restul si
ck(β, h) = 1ω′(xk)
b∫a
ω(t)t−xk
dt
ω(t) = ω(t;β, h) =n∏
k=1
(t− xk)
(3.53)
include ca si cazuri particulare cele trei formule mentionate. Astfel avem urmatorultabel:
Formula β h
Newton-Cotes (ınchisa) 0b− a
n− 1
Newton-Cotes (deschisa) 1b− a
n + 1
Maclaurin 12
b− a
n
110 Alexandru Lupas
Definitia 32 Formula (3.52) cu nodurile (3.51) si coeficientii precizati ın (3.53)se numeste formula generalizata a lui Newton-Cotes.Numarul real λ , unde
λ = 2β − 1 + n− b− an
,
se numeste parametrul de control al formulei generalizate a lui Newton-Cotes.
Sa observam ca ın cazul ın care (β, h) ia valorile precizate ın tabel, avem λ = 0 .
Lema 23 Daca λ = 0 , atunci formula generalizata a lui Newton-Cotes estesimetrica.
Demonstratie. Deoarece
ω′(xk) = (−1)n−k(k − 1)!(n− k)!hn−1
gasim
ck(β, h) =(−1)n−kh
(k − 1)!(n− k)!
b−ah∫
0
n−1∏j=0
(t− j − β)
t− k − β + 1dt ,(3.54)
ceea ce implica
cn+1−k(β, h) = ck(β, h) , k = 1, 2, . . . , n .
In acelasi timp w(t) = 1 si
xk + xn+1−k = a + b + (n− 1 + 2β)h− (b− a) = a + b + λh = a + b
adica (3.52) este simetrica.
Lema 24 Daca parametrul de control λ este zero, atunci coeficientii (3.53) admitreprezentarea
ck(β, h) = (−1)n−kk
(n
k
)h
n+2β−1∫
0
1t− k − β + 1
(t− β
n
)dt(3.55)
(k = 1, 2, . . . , n) .
Demonstratie. Se observa ca n + 2β − 1 = b−ah si ın plus
n−1∏
j=0
(t− j − β) = n!(
t− β
n
).
Utilizand (3.54) obtinem (3.55).In cazul λ = 0 avem h = b−a
n+2β−1 ceea ce ınseamna ca formula de cuadratura(3.52) se poate scrie sub forma
b∫a
f(t) dt =
= b−an+2β−1
n∑k=1
ck(β)f(a + k+β−1
n+2β−1 (b− a))
+
+Rn(f ;β)
(3.56)
Metode Numerice 111
unde n ≥ 2 , β ≥ 0 , iar Rn(·; β) este restul formulei. Din (3.55) deducem
ck(β) = (−1)n−kk(nk
) n+2β−1∫
0
1t− k− β + 1
(t− β
n
)dt .(3.57)
3.6.2 β−Formula de cuadratura a lui Newton-Cotes
Definitia 33 Egalitatea (3.56) se numeste β - formula de cuadratura a luiNewton-Cotes.
β = 0 =⇒ Newton-Cotes (ınchisa)β = 1
2 =⇒ Maclaurinβ = 1 =⇒ Newton-Cotes (deschisa)
Pentru n ∈ 2, 3 formula de cuadratura (3.56) devine:
b∫
a
f(t) dt =
=b− a
2
(f(a + b
2− b− a
2(2β + 1)
)+ f
(a + b
2+
b− a
2(2β + 1)
))+ R2(f ; β)
respectivb∫
a
f(t) dt =b− a
m
(f(a + b
2− b− a
2β + 2
)+
+(m− 2)(a + b
2
)+ f
(a + b
2+
b− a
2β + 2
))+ R3(f ; β)
unde
m =6
(β + 1)2, β ≥ 0.
In cele ce urmeaza un rol important ıl joaca polinoamele Hn, de grad n+1, definiteprin
Hn(x) =
x∫
0
(t− β
n
)dt , n = 1, 2, . . .
Vom spune ca Hn sunt polinoamele lui Laplace de grad n + 1.Primele polinoame ale lui Laplace sunt
112 Alexandru Lupas
n Hn(x)
0 x
1 12x(x− 2β)
2 112x
(2x2 − 3x(1 + 2β) + 6β(β + 1)
)
3 124x(x− 2β − 2)
(x2 − (2β + 2)x + 2β(β + 2)
)
...
In cele ce urmeaza folosim notatia
Jn = [0, n− 1 + 2β] , qn(t) =n−1∏
k=0
(t− k − β) .
Deoarece
qn(λ + t) =n−1∏
j=0
(λ + t− j − β)
qn(λ− t) = (−1)nn−1∏
j=0
[λ + t− j − β + (n− 1 + 2β − 2λ)]
se observa ca pe intervalul Jn polinomul qn verifica urmatoarea proprietate desimetrie
qn
(n− 1 + 2β
2+ t
)= (−1)nqn
(n− 1 + 2β
2− t
)
sauqn(t) = (−1)nqn(n− 1 + 2β − t) .(3.58)
Deoarece
Hn(x) =1n!
x∫
0
qn(t) dt
din (3.58) rezultaHn(n− 1 + 2β − x) =
=(−1)n
n!
n−1+2β−x∫
0
qn(n− 1 + 2β − t) dt =
=(−1)n
n!
n−1+2β∫
x
qn(t) dt =
Metode Numerice 113
= (−1)n+1Hn(x) + (−1)nHn(n− 1 + 2β) .
DarHn(n− 1 + 2β) = (−1)nHn(n− 1 + 2β)
ceea ce ınseamna ca daca n este un numar impar, atunci
Hn(n− 1 + 2β − x) = Hn(x) , (n = 2m + 1) .
Pentru n par avem
Hn(x) + Hn(n− 1 + 2β − x) = Hn(n− 1 + 2β) .
In general, pentru n arbitrar
H ′n(x) =
1n!
qn(x) =1n
(x− n− β + 1)H ′n−1(x) ;
Integrand prin parti, se obtine
Hn(x) =1n
(x− n− β + 1)Hn−1(x)− 1n
x∫
0
Hn−1(t) dt .(3.59)
Lema 25 a) Daca β = 0 , atunci pentru x ∈ [0, 2m− 2]
H2m−1(x) ≥ 0 si H2m(x) ≤ 0 ;
b) Pentru β ∈ [√
2 − 1, 1] au loc inegalitatile
H2m−1(x) ≤ 0 si H2m(x) ≥ 0 , x ∈ [0, 2m− 2 + 2β] .
Demonstratie. Pentru m = 1 sau m = 2 , presupunand ca β = 0 sau β ∈[√
2 − 1, 1] , afirmatia rezulta imediat. Utilizand un rationament prin inductiecompleta, din (3.59) se completeaza demonstratia. Deoarece
H2m−1(x) = H2m−1(2m− 2 + 2β)
rezulta ca egalitatile din Lema 26 sunt verificate pe intervalele precizate.
Lema 26 Fie Rn(f ; β) restul ın β-formula de cuadratura a lui Newton-Cotes.
Daca h =b− a
n + 2β − 1, atunci:
Rn(f ;β) =(3.60)
= hn+1n!
n+2β−1∫
0
(t− β
n
)∆n(β, f ; t) dt
unde∆n(β, f ; t) = [a + βh, . . . , a + (n + β − 1)h, a + th ; f ]
sauRn(f ;β) =(3.61)
= hn+1n! Hn(n + 2β − 1)[a + βh, . . . , a + (n + β − 1)h, b ; f ]−
−n+2β−1∫
0
Hn(t)∂
∂t∆n(β, f ; t) dt
114 Alexandru Lupas
(f ∈ Cn+1[a, b] ) ;
TotodataRn(en; β) = hn+1n!Hn(n + 2β − 1) , ek(t) = tk ;(3.62)
Rn(en+1; β) = hn+2(n + 1)!Hn+1(n + 2β − 1)+(3.63)
+a(n + 2β − 2) + b(3n + 2β)
2(n + 1)(b− a)Hn(n + 2β − 1) .
Demonstratie. Justificarea lui (3.60) se face avand ın vedere faptul ca (3.56) estede tip interpolator, deci
Rn(f ; β) =
=
b∫
a
Qn(t)[a + βh, a + (β + 1)h, . . . , a + (β + n− 1)h, t ; f ] dt
cu
Qn(t) =n∏
j=1
(t− a− (β + j − 1)h) .
Efectuand o schimbare de variabila gasim (3.60). Egalitatea (3.61) rezulta integrandprin parti (3.60). Deoarece
[a + βh, . . . , a + (β + n− 1)h, x; en] = 1
din (3.60) rezulta (3.62). Ultima egalitate (3.63) este o consecinta a lui (3.61): sefoloseste faptul ca
[a + βh, . . . , a + (β + n− 1)h, x ; en+1] = x +n∑
j=1
(a + (β + j − 1)h)
iar apoi relatia de recurenta (3.59).
3.6.3 Coeficientii lui Laplace
Definitia 34 Numerele
Lβn := (−1)n−1
1∫
0
(t− β
n
)dt , n = 1, 2, . . .
se numesc coeficientii lui Laplace.
Sunt importante cazurile β ∈ 0, 1/2, 1; pentru aceste valori ale parametruluiβ se obtine
Lβn
Metode Numerice 115
n \ β 0 12 1
1 12 0 − 1
2
2 112 − 1
24 − 512
3 124 − 1
24 − 38
4 19720 − 223
5760 − 251720
5 3160 − 103
2880 − 95288
(3.64)
Unele dintre proprietatile coeficientilor lui Laplace sunt urmatoarele:
• functia generatoare
∞∑
k=0
Lβk tk = (1− t)−β t
ln(1− t), |t| < 1 ;
• relatia de recurenta
Lβn+1 = −
(n + β
n + 1
)−
n∑
k=0
1n + 2− k
Lβk ;
• forme asimptotice (n →∞)
L0n =
1n ln2 n
(O
( 1ln n
)),
Lβn = −
(n + β − 1
n
)(1
ln n+O
( 1ln2 n
) ), β > 0 ;
• semnul unor coeficienti
L0n > 0 , L1/2
n ≤ 0 , L1n < 0 , n = 1, 2, . . . ;
• inegalitatin− 1n + 1
L0n < L0
n+1 <n
n + 1L0
n .
Atat aceste proprietati ale coeficientilor lui Laplace cat si altele se gasesc prezen-tate ın monografia lui Helmut Brass [6].
116 Alexandru Lupas
Sa presupunem ca g : [0, a + b] → R este Riemann integrabila pe domeniul dedefinitie. Atunci se verifica imediat ca
a∫
0
[g(t + b)− g(t)] dt =
b∫
0
[g(a + b− t)− g(t)] dt .(3.65)
Deoarece (t− β
n
)=
(t + 1− β
n + 1
)−
(t− β
n + 1
),
considerand ın (3.65)
a = n + 2β − 1 , b = 1 , g(t) =(
t− β
n + 1
)
gasimn+2β−1∫
0
(t− β
n
)dt =
1∫
0
[(n + β − t
n + 1
)−
(t− β
n + 1
)]dt .
Dar faptul ca (n + β − t
n + 1
)= (−1)n+1
(t− β
n + 1
)
ne permite sa scriem
Hn(n + 2β − 1) =
n+2β−1∫
0
(t− β
n
)dt =
((−1)n+1 − 1
)Lβ
n+1 .(3.66)
Considerand ın egalitatea (3.65)
g(t) =(
t− β
n + 2
)
se arata caHn+1(n + 2β − 1) = Lβ
n+1 +((−1)n − 1
)Lβ
n+2 .(3.67)
Teorema 39 Fie β = 0 sau β ∈ [√
2 − 1, 1] si Rn(f ; β) restul din β− formulade cuadratura a lui Newton - Cotes.Daca n = 2m+1 , atunci pentru orice functie f din C(2m+2)[a, b] exista un punctξ , ξ ∈ [a, b] astfel ca
R2m+1(f ; β) =( b− a
2m + 2β
)2m+3(Lβ
2m+2 − Lβ2m+3
)f (2m+2)(ξ) .(3.68)
In plus
Lβ2m+2 − Lβ
2m+3
< 0 daca β = 0
> 0 daca β ∈ [√
2− 1, 1].
Metode Numerice 117
Demonstratie. Pentru n impar
Hn(n + 2β − 1) = − Hn(n + 2β − 1) ,
adicaHn(n + 2β − 1) = 0 .
Din Lema 26 se constata ca R2m+1(f ; β) este de forma simpla pespatiul C(2m+2)[a, b] . Aplicand Teorema 36 si egalitatea (3.63) din enuntul Lemei26 deducem reprezentarea restului mentionata ın (3.68). Semnul lui H2m+2(2m +2β) este precizat ın Lema 26. In mod asemanator se demonstreaza
Teorema 40 Daca n = 2m si β ∈ 0 ∪ [√
2 − 1, 1] , atunci pentru oricef , f ∈ C(2m)[a, b] , exista ın [a, b] un punct θ astfel ıncat
R2m(f ; 2β) = −2( b− a
2m + 2β − 1
)2m+1
Lβ2m+1f
(2m)(θ) .(3.69)
Sa consideram ın (3.56) n = 2 iar apoi n = 3 . Avand ın vedere (3.68)-(3.69)precum si (3.64) gasim urmatoarele formule exacte de cuadratura :
I. β = 0, formula ınchisa a lui Newton-Cotes :
b∫
a
f(t) dt =b− a
2[f(a) + f(b)]− (b− a)3
12f ′(θ1) , (n = 2)
Aceasta egalitate se mai numeste ,, Formula trapezului ”.In cazul (β, n) = (0, 3) obtinem ,, Formula lui Kepler ”
b∫
a
f(t) dt =b− a
6
[f(a) + 4f
(a + b
2
)+ f(b)
]−
− (b− a)5
2880f (4)(ξ1) , (n = 3) ;
care se mai numeste si Formula ,,butoiului ” .
II. β =12, formulele lui Maclaurin :
b∫
a
f(t) dt =b− a
2
[f(3a + b
4
)+ f
(a + 3b
4
)]+
+(b− a)3
96f ′(θ2) , (n = 2)
b∫
a
f(t) dt =3(b− a)
8
[f(5a + b
6
)+
23f(a + b
2
)+ f
(a + 5b
6
) ]+
+7
5184(b− a)5f (4)(ξ2) , (n = 3) ;
118 Alexandru Lupas
III. β = 1, formulele deschise ale lui Newton-Cotes:
b∫
a
f(t) dt =b− a
2
[f(2a + b
3
)+ f
(a + 2b
3
)]+
+(b− a)3
36f ′(θ3) , (n = 2);
b∫
a
f(t) dt =2(b− a)
3
[f(3a + b
4
)− 1
2f(a + b
2
)+ f
(a + 3b
4
)]+
+7
23040(b− a)5f (4)(ξ3) , (n = 3) .
In egalitatile de mai sus, punctele θi , ξi sunt situate ın [a, b] si depind dealegerea functiei f , presupusa ca fiind element fie ın C2[a, b] , fie din C4[a, b] ,
3.6.4 Coeficientii β - formulei de cuadratura
I. In cazul β = 0 , formula ınchisa a lui Newton-Cotes se poate scrie sub forma
b∫
a
f(t) dt =b− a
2
n∑
k=1
akf(a +
k − 1n− 1
(b− a))
+ Rn(f) .(3.70)
Din (3.57)
ak = 2(−1)n−k kn
n− 1
(n
k
) n−1∫
0
(tn
)
t− k + 1dt .
Mentionam cateva valori ale lui ak = ak(n) ; vom avea ın vedere proprietatea desimetrie
ak = an+1−k , k = 1, 2, . . . , n .
Coeficientii din (3.70) , β = 0 .
Metode Numerice 119
n a1 a2 a3 a4 a5 a6
2 2 2
3 1 4 1
4 1 3 3 1
5 79
329
129
329
79
......
......
......
...
9 9891575
58881575 − 928
1575104961575 − 4540
1575104961575
II. Daca β = 12 , din (3.56) obtinem formula lui Maclaurin, pe care o vom rescrie
sub forma
b∫
a
f(t)dt =b− a
2(n− 1)
n∑
k=1
bkf(a + (k − 0.5)
b− a
n
)+ Rn(f ;
12),(3.71)
unde bk = bk(n) verifica relatia de simetrie
bk = bn+1−k ,
iar pentru primele valori ale lui n , se pot gasi ın tabelul urmator:
Coeficientii formulei lui Maclaurin (3.71), β = 12
120 Alexandru Lupas
n b1 b2 b3 b4 b5 b6
2 1 1
3 32 1 3
2
4 138
118
118
138
5 275144
100144
402144
100144
275144
6 247128
139128
254128
254128
139128
247128
7 2474511520
88211520
−2502811520
27260
5600711520
88211520
8 295627138240
71329138240
471771138240
128953138240
128953138240
471771138240
9 832221358400
−260808358400
2903148358400
−3227256358400
52397900358400
−3227256358400
III. Formula deschisa a lui Newton-Cotes se obtine din (3.56) considerandβ = 1 . Aceasta formula de cuadratura se poate scrie astfel
b∫
a
f(t)dt =b− a
2n
n∑
k=1
ckf(a +
k
n + 1(b− a)
)+ Rn(f ; 1).(3.72)
Unii dintre coeficientii ck = ck(n) , care satisfac si ei relatia de simetrie
ck = cn+1−k
se pot gasi ın tabelul de mai jos :
Coeficientii ck = ck(n) din (3.72)
Metode Numerice 121
n c1 c2 c3 c4 c5 c6
2 2 2
3 4 −2 4
4 113
13
13
113
5 112
−142
262
−142
112
6 611120
−453120
562120
562120
−453120
611120
7 920135
−1908135
4392135
−4918135
43927135
−1908135
8 1787280
−2803280
4967280
−1711280
−1711280
4867280
9 4045504
−11690504
33340504
−55070504
67822504
−55070504
10 2752477362880
−660319362880
1567388362880
−17085616362800
8891258362880
8891258362880
3.6.5 Formula trapezului
Aceasta formula este ınchisa si de tip interpolator: ın (3.56) se considera β = 0 sin = 2 . Formula trapezului este
b∫
a
f(t)dt =
b∫
a
L1(a, b; f |t)dt + RT (f),
unde RT (f) este restul. Prin efectuarea calculelor regasim
b∫
a
f(t)dt =b− a
2[f(a) + f(b)] + RT (f) .(3.73)
In paragraful anterior am demonstrat ca daca f ∈ C2[a, b] , atunci exista ın[a, b] un punct θ astfel ıncat
RT (f) = − (b− a)3
12f ′′(θ) .(3.74)
122 Alexandru Lupas
Reprezentarea (3.74) a restului putea fi dedusa direct . Se observa ca avem
RT (e0) = RT (e1) = 0 si RT (e2) = − (b− a)3
6.
Aceasta ınseamna ca gradul de exactitate al formulei trapezului este efectiv egal cu1 . In acelasi timp,
RT (| · −t|+) =
b∫
a
|x− t|+ dx− b− a
2
(|a− t|+ + |b− t|+
)=
=
b∫
t
(x− t) dx− (b− a)(b− t)2
= − (b− t)(t− a)2
≤ 0 .
Conform teoremei lui Peano, pentru f ∈ C2[a, b] ,
RT (f) =
b∫
a
RT
(| · −t|+)f ′′(t) dt = RT (e2)
f ′(θ)2!
,
( a ≤ θ ≤ b )
ceea ce demonstreaza (3.74).Forma simpla (3.74) a restului ne arata ca, cel putin pentru functiile de clasaC2[a, b] , aproximarea este cu atat mai buna cu cat lungimea intervalului [a, b] estemai mica. Utilizand aceasta observatie, ın practica se considera formula juxtapusaa trapezului. Daca xk = a + k
n (b− a) , atunci
xk∫
xk−1
f(t) dt =b− a
2n
(f(xk−1) + f(xk)
)− 1
12
(b− a
n
)3
f ′′(ηk)
( xk−1 ≤ ηk ≤ xk , k = 1, 2, . . . , n),
iar prin ınsumare obtinem as numita ,, formula juxtapusa a trapezului”, anume
b∫
a
f(t) dt =b− a
n
[f(a) + f(b)2
+n−1∑
k=1
f (xk)]
+ εn,T (f) ,(3.75)
unde restul εn,T (f) admite reprezentarea
εn,T (f) = − (b− a)3
12n2f ′′(η) , f ∈ C2[a, b] , η ∈ [a, b] .(3.76)
Daca, de exemplu, dorim sa evaluam integrala
I =
10∫
0
f(t)dt, cu |f ′′(t)| ≤ 1 , t ∈ [0, 10],
Metode Numerice 123
formula (3.73) nu este indicata: aceasta deoarece din (3.74) avem
|RT (f)| < 100 ,
ceea ce nu constituie o certitudine a obtinerii unei valori aproximative a numaruluiI . In schimb, din (3.76) rezulta
|εn,T (f)| < 100n2
.
Prin urmare, ın cazul ın care am dori sa gasim valoarea lui I cu o precizie ε , ε >0 , alegand ın formula juxtapusa a trapezului un numar natural n astfel ca
n ≥ 1 +[
10√ε
]
obtinem |εn,T (f)| < ε.
Sa consideram formula juxtapusa a trapezului :de exemplu, daca ε = 10−4 , sin = 1001 , facand abstractie de erorile de rotunjire, gasim o aproximatie cu celputin trei zecimale exacte a lui I . Intervine ın schimb un dezavantaj : utilizandun calculator si alcatuind un subprogram pentru calculul sumei din membrul dreptdin formula juxtapusa , vor fi necesare 1002 apeluri ale functiei f(x) , x ∈x0, x1, . . . , x1001 . In general, aceasta va reduce viteza de calcul.3
3.6.6 Generalizarea formulei trapezului
Fie a ∈ (0,∞) si f : (0,∞) → R o functie care admite pe (0,∞) derivate de oriceordin. Din teoria seriilor Fourier se cunoaste ca pentru x ∈ (0, a)
f(x) =1a
a∫
0
f(t) dt +2a
∞∑
j=1
a∫
0
f(t) cos2πj(t− x)
adt .(3.77)
Daca x = 0 sau x = a, atunci membrul drept din (3.77) coincide cu12 [f(0) + f(a)] . Notam h = a
n , n ∈ N , si fie λ ∈ [0, 1] .Punctele xk = (λ+k)h , k = 0, 1, . . . , n−1 , se afla situate ın [0, a] . Daca ın (3.77)se considera x = xk iar apoi se ınsumeaza relativ la k , 0 ≤ k ≤ n− 1 , obtinem
a∫
0
f(t) dt = h
ε
2[f(a)− f(0)] +
n−1∑
k=0
f(λh + kh)
+ rn(f, λ),(3.78)
ε =
1 daca λ = 00 daca 0 < λ < 1 .
3Un studiu aprofundat al formulelor (3.73) si (3.75) a fost efectuat de catre DenisPoisson (1781-1840) ıntr-un memoriu aparut ın anul 1823 (Mem.Acad. Sci. Inst. France6, 571-602). El a utilizat formula trapezului pentru calculul aproximativ al functiei elipticecomplete de speta a doua. De asemenea, ın anul 1945, matematicianul A.M. Turing(Proc. London Math. Soc. 48(2), 180-197) considera aplicatii ale formulei trapezului lacalculul valorilor functiei Zeta a lui Riemann. Si alte functii speciale, de exemplu anumitefunctii Bessel sau functia eroare, au fost tabelate cu ajutorul unor formule de cuadraturaasemanatoare formulei juxtapuse (3.75).
124 Alexandru Lupas
Restul rn(f, λ) este precizat prin
rn(f, λ) =
= −2∞∑
j=1
a∫
0
f(t)[cos
2πnjt
acos 2πλj + sin
2πnjt
asin 2πλj
]dt =
= − 2∞∑
j=1
a∫
0
f(t) cos 2πj(λ− t
h
)dt .
Egalitatea (3.78) este cunoscuta sub numele de formula generalizata a trapezu-lui. Daca λ = 0 , se regaseste formula juxtapusa a trapezului , iar pentruλ = 1
2 asa numita formula modificata a trapezului.
Se demonstreaza, prin integrare prin parti, ca
rn(f, 0) = −s∑
k=1
h2kB2k
(2k)!
[f (2k−1)(a)− f (2k−1)(0)
]+ Rs ,
unde
|Rs| ≤ h2sB2s
(2s)!
a∫
0
∣∣f (2s)(t)∣∣ dt ,
iar ın cazul formulei modificate a trapezului, restul rn(f, 12 ) se poate estima prin
rn
(f,
12)
=
= −s∑
k=1
h2k(1− 21−2k)B2k
(2k)!
[f (2k−1)(a)− f (2k−1)(0)
]+ Qs ,
cu
Qs = (−1)s+12( h
2π
) ∞∑
j=1
(−1)j
j2s
a∫
0
f (2s)(t) cos2πjt
hdt .
In egalitatile de mai sus, prin Bk , k = 0, 1, . . . , s-au notat numerele luiBernoulli definite prin intermediul functiei generatoare
tet − 1
=∞∑
k=0
Bktk
k!, |t| < 2π .
Se constata caB2j+1 = 0 , j ≥ 1 ,
iar unele numere Bn sunt prezentate ın urmatorul tabel.
Numerele Bn ale lui Bernoullin 0 1 2 4 6 8 10 12 14 16
Bn 1 − 12
16 − 1
30142 − 1
30566 − 691
273076 − 3617
510
Metode Numerice 125
3.6.7 Formula lui Kepler
Johannes Keppler (1571-1630) a considerat pentru prima data formula
b∫
a
f(t)dt =b− a
6
[f(a) + 4f
(a + b
2
)+ f(b)
]+ RK(f) ,(3.79)
RK fiind restul formulei. Egalitatea (3.79) constituie o formula de tip ınchisa ,simetrica, de tip Newton-Cotes.Formula de cuadratura a lui Kepler, mentionata ın (3.79) , este de tip interpola-tor. Din punct de vedere analitic ea provine din integrarea pe [a, b] , a egalitatiiaproximative
f(t) ≈ L2
(a,
a + b
2, b ; f |t
), t ∈ [a, b]
Am vazut ca
RK(e0) = RK(e1) = RK(e2) = RK(e3) = 0 , RK(e4) = − (b− a)5
120,
iar daca f ∈ C4[a, b] , atunci
RK(f) = − (b− a)5
2880f (4)(ξ) , ξ ∈ [a, b] .
Si de aceasta data, aceasta reprezentare a restului putea fi dedusa direct din teoremalui Peano observand ca
RK(| · −t|3+) =
14 (t− a)3
(t− a+2b
3
), a ≤ t ≤ a+b
2
14 (t− b)3
(t− 2a+b
3
), a+b
2 < t ≤ b.
J. Keppler a introdus (3.79) ın legatura cu o problema pragmatica, anume de adetermina aproximativ volumul butoaielor de vin. Din aceasta cauza (3.79) se mainumeste ,,regula butoiului”. Multi autori atribuie formula (3.79) lui Thomas Simp-son (1710-1761). In realitate, Th. Simpson a considerat un caz special, obtinutprin juxtapunere din (3.79).
3.6.8 Un criteriu de comparatie al formuleitrapezului cu formula lui Kepler
In general , formula trapezului nu este comparabila cu formula lui Kepler. Totusi,pentru unele clase particulare de functii se pot deduce anumite informatii.
Teorema 41 Fie f ∈ C[a, b] .
i) Daca f este o functie convexa pe [a, b] , atunci
RK(f) ≥ RT(f) ;
ii) Daca f este concava, atunci
RK(f) ≤ RT(f) ;
126 Alexandru Lupas
iii) Pentru f ∈ C2[a, b] ,
m2 ≤ f ′′(x) ≤ M2 , ∀x ∈ [a, b] ,
avem(b− a)3
12m2 ≤ RK(f)−RT(f) ≤ (b− a)3
12M2 .(3.80)
Demonstratie. Pe C[a, b] definim functionala ∆ = RK −RT . Avem
∆(f) = RK(f)−RT (f) =
=23(b− a)
[f(a) + f(b)2
− f
(a + b
2
) ]=
≥ 0 f convexa≤ 0 f concava
ceea ce demonstreaza primele doua afirmatii. Observam ca avem
∆(e0) = ∆(e1) = 0, ∆(e2) =(b− a)3
6.
Teorema 34 a lui Tiberiu Popoviciu ne furnizeaza egalitatea
∆(f) = ∆(e2)f ′′(η)
2!, η ∈ [a, b] ,
ceea ce justifica (3.80).Inegalitatea (3.80) se poate extinde si ın cazul formulelor juxtapuse (3.75) si (3.82).Daca ∆n = εn,k − εn,T , se obtine
∆n(e0) = ∆n(e1) = 0 , ∆n(e2) =(b− a)3
6n.
In plus,
∆n(f) =23
b− a
n
n∑
k=1
[f(xk−1) + f(xk)2
− f(xk−1 + xk
2)]
ceea ce ınseamna ca
∆n(f) > 0 pentru orice functie f convexa (ın sens strict) pe [a, b].
Formulam astfel urmatorul rezultat:
Teorema 42 Fie εn,T si εn,K functionalele rest dinformulele de cuadratura (3.75) respectiv (3.82) .Daca f ∈ C2[a, b] , atunci
|εn,K(f)− εn,T (f)| ≤ (b− a)3
12n2||f ′′|| , n = 1, 2, ....(3.81)
Este clar ca (3.81) poate contribui la compararea celor doua metode de cuadratura.Daca de exemplu, f ∈ C4[a, b] si pe intervalul [a, b] au loc inegalitatile
f ′′ ≤ 0 si f (4) ≤ 0 ,
atunci∣∣∣ |εn,K(f)| − |εn,T (f)|
∣∣∣ ≤ (b− a)3
12n2‖f ′′‖ si |εn,K(f)| ≤ |εn,T (f)| .
Metode Numerice 127
3.6.9 Formula de cuadratura a lui Simpson
In intervalul [a, b] sa consideram punctele
xk = a +k
2n(b− a) , k = 0, 1, . . . , 2n.
Aplicand formula (3.79) a lui Keppler pe fiecare dintre intervalele
[x2k, x2k+2] , k = 0, 1, . . . , n− 1 ,
obtinem succesiv
x2k+2∫
x2k
f(t) dt =b− a
6n[f(x2k) + 4f(x2k+1) + f(x2k+2)]−
− 12880
(b− a
n
)5
f (4)(θk) , θk ∈ [x2k, x2k+2] ,
iar prin ınsumare deducem formula lui Simpson
b∫
a
f(t)dt =b− a
6n
[f(a) + 4
n−1∑
k=0
f(a +
2k + 12n
(b− a))+
+2n−1∑
k=1
f(a +
k
n(b− a)
)+ f(b)
]+ rn,s(f) ,
unde
rn,s(f) = − (b− a)5
2880n4f (4)(θ), θ ∈ [a, b]),
iar f ∈ C(4)[a, b] .
Exista si o alta formula de cuadratura atribuita lui T. Simpson: este asa numita,,regula a trei optimilor” (”Three eights Rule”):
b∫
a
f(t) dt =(b− a)
8
[f(a) + 3f
(2a + b
3
)+ 3f
(a + 2b
3
)+ f(b)
]+ rs(f)
unde rs(f) este restul formulei.Ea este un caz particular al formulei ınchise Newton-Cotes, obtinandu-se pentrun = 4 .Teorema 39 ne permite sa afirmam ca daca f ∈ C4[a, b] , atunci
rs(f) = − (b− a)5
6480f (4)(η) , η ∈ [a, b] .
128 Alexandru Lupas
Transformata prin juxtapunere a formulei (3.79) a lui Kepler este
b∫
a
f(t)dt =b− a
n
[ f(a) + f(b)6
+13
n−1∑
k=1
f(a +
k
n(b− a)
)+
+23
n∑
k=1
f(a +
k − 0.5n
(b− a)) ]
+ εn,k(f) ,(3.82)
unde εn,k(f) reprezinta restul formulei. Utilizand Teorema 38, rezulta ca pentruf ∈ C4[a, b] exista cel putin un punct θ , θ ∈ [a, b] , astfel ca
εn,k(f) = − (b− a)5
2880n4f (4)(θ) .(3.83)
3.6.10 Formula punctului de mijloc
Presupunannd ca f : [a, b] → R este Riemann integrabila, aproximarea
b∫
a
f(t)dt ≈ (b− a)f(a + b
2)
constituie ,,formula punctului de mijloc” (Mittelpunktverfahren, Middpointquadrature formula). Daca RM (f) este restul care intervine, atunci formula exactade cuadratura
b∫
a
f(t) dt = (b− a)f(a + b
2
)+ RM(f)(3.84)
este atribuita lui Leonhard Euler (1707-1783). Egalitatea (3.84) poate fi consideratasi ca o formula de tip interpolator, pentru
n = 1 , z1 =a + b
2
sau ca si un caz particular al formulei deschise (3.72) a lui Newton-Cotes. Deoarececonform Teoremei 38, restul R1(f ; 1) din (3.72) verifica pe spatiul C2[a, b]
R1(f ; 1) =(
b− a
2
)3
[L12 − 2L1
3]f′′(ξ)
gasim
RM(f) =(b− a)3
24f ′′(ξ) , ξ ∈ [a, b] .(3.85)
In mod natural, (3.84) se poate deduce astfel : sa consideram formula exacta
b∫
a
f(t) dt = c1f(z1) + r(f) , z1 ∈ [a, b](3.86)
Metode Numerice 129
si sa determinam parametrii c1 si z1 astfel ıncat (3.86) sa posede un grad maximde exactitate. Deoarece
r(e0) = b− a− c1 ,
conditia r(e0) = 0 implica c1 = b − a . Cu aceasta valoare a coeficientului sacalculam r(e1) . Se obtine
r(e1) = (b− a)(a + b
2− z1
)
ceea ce atrage dupa sine faptul ca
(c1, z1) =(b− a,
a + b
2
)
reprezinta solutia problemei. In plus r(e2) 6= 0 , adica ın (3.84) avem
RM (e0) = RM (e1) = 0 , RM (e2) =(b− a)3
12.(3.87)
Prezentam si alte demonstratii ale reprezentarii (3.85) a restului RM (f) pentruf presupusa ın C2[a, b] .
Prima demonstratie o consideram cea obtinuta prin particularizare din Teo-rema 38.
A doua demonstratie utilizeaza ın mod esential atat conceptul de functieconvexa cat si teoria lui T. Popoviciu privind forma simpla a unor functionale.Deoarece
RM (f) =
b∫
a
[ f(t) + f(a + b− t)2
− f(a + b
2
) ]dt
pentru f convexa de ordinul intai pe [a,b], deci strict convexa ın sens obisnuit,avem RM (f) > 0 . Teorema lui T. Popoviciu ne arata ca RM este de forma simplape C2[a, b] , deci
RM (f) = RM (e2)f ′′(ξ)
2, ξ ∈ [a, b] .
Avand ın vedere (3.87) rezulta teorema de medie (3.85).A treia demonstratie se bazeaza pe teorema lui Peano. Observand ca RM are
gradul de exactitate unu, din (3.29) putem scrie
RM (f) =
b∫
a
Φ(t)f ′′(t) dt , f ∈ C2[a, b](3.88)
undeΦ(t) = RM (ϕt) , ϕt(x) = |x− t|+ .
Dar
Φ(t) =
12 (t− a)2 , a ≤ t ≤ a+b
2
12 (t− b)2 , a+b
2 < t ≤ b,
ceea ce ne arata ca
0 ≤ Φ(t) ≤ 18(b− a)2 , t ∈ [a, b] .
Utilizand teorema de medie a calcului integral ın (3.88), concludem cu (3.85).
130 Alexandru Lupas
3.6.11 Formula juxtapusa a ,,punctului de mijloc”
Aplicand (3.84) pe fiecare dintre subintervalele
[xk−1, xk] , xk = a +k
n(b− a) , k ∈ 1, 2, . . . , n ,
se genereaza transformata prin juxtapunere a formulei punctului de mijloc , anume
b∫
a
f(t) dt =b− a
n
n∑
k=1
f(a + (k− 0.5)
b− an
)+ εn,M(f)(3.89)
unde prin εn,M s-a notat restul. Din Teorema 38 avem
εn,M(f) =(b− a)3
24n2f ′′(θ)(3.90)
unde f ∈ C2[a, b] si θ ∈ [a, b] .
Metode Numerice 131
Subprogram destinat calculului aproximatival integralelor definite
Metoda : Formula juxtapusa a ,,punctului de mijloc”
subroutine middle(f,a,b,n,eps,vi,vf,kod)implicit double precision (a-h, o-z)
C DESCRIEREA PARAMETRILORC INPUT :C f=functia care se integreazaC a,b=limitele de integrareC n=nr. punctelor intermediareC eps=preciziaC OUTPUT :C vi=aproximare initialaC vf=valoarea (finala) aproximativa a integraleiC kod=cod de eroareC kod=0 , dabs(vi-vf)≤ eps (precizia s-a atins !)C kod=1 , dabs(vi-vf)> eps
hi=(b-a)/nhf=hi*0.5si=0sf=0m=2∗ndo 100 k=1,nxk=a+(k-0,5)∗hi
100 si=si+f(xk)vi=hi∗sido 200 j=1,mzj=a+(k-0,5)∗hf
200 sf=sf+f(zj)vf=hf∗sfteta=dabs(vi-vf)-epsif(teta) 1,1,2
1 kod=0return
2 kod=1returnend
3.7 Polinoame ortogonale clasice
Prin sir de polinoame ortogonale clasice ıntelege unul dintre urmatoarele siruri poli-nomiale (Qn)∞n=0 unde Qn poate sa fie:Rα,β
n -polinomul lui Jacobi , Rα,βn (1) = 1, α > −1, β > −1;
L(α)n -polinomul lui Laguerre4 , L
(α)n (0) =
(n+α
n
), α > −1
4Edmunde Nicolas Laguerre (1834-1886) matematician francez cu rezultate ın Analiza,Algebra, Geometrie , Teoria Functiilor Speciale
132 Alexandru Lupas
Hn-polinomul lui Hermite , limx→∞
x−nHn(x) = 2n .
De asemenea , daca Qn(x) este clasic, atunci si polinoamele
αn ·Qn (αnx + bn) , αn · an 6= 0 ,
se vor considera ca sunt polinoame clasice.Aceste siruri polinomiale care sunt ortogonale pe < a, b > relativ la pondereaw , unde intervalul de ortogonalitate si ponderile corespunzatoare sunt mentionateın urmatorul tabel :
Qn < a, b > w(t) Observatii
R(α,β)n [−1, 1] (1− t)α(1 + t)β α > −1, β > −1
L(α)n [0,∞) e−ttα α > −1
Hn (−∞+∞) e−t2
au anumite proprietati comune dintre care amintim :(a) termenii generali sunt solutii polinomiale ale unei anumite
ecuatii diferentiale liniare de tip Sturm-Liouville
a(x)y′′(x) + b(x)y′(x) + λny(x) = 0 , y = Qn ,(3.91)
unde a(x) este un polinom de grad cel mult doi, b(x) este polinom de gradul ıntai(aceste polinoame fiind independente de n ) , iar λn este independent relativ lavariabila x . Polinoamele a, b si marimea scalara λn sunt specificate dupa cumurmeaza:
y a(x) b(x) λn
R(α,β)n 1− x2 β − α− (α + β + 2)x n(n + α + β + 1)
L(α)n x α + 1− x n
Hn 1 −2x 2n
(b) Sirul derivatelor(Q ′
n+1
)∞n=0
formeaza un sir polinomial care este ortogonalpe acelasi interval, relativ la o anumita pondere w1 .
(c) Qn satisface o anumita formula de tip Rodrigues
Qn(x) =1
kn · w(x)Dn (w(x)qn(x)) , n ≥ 0
unde kn ∈ R \ 0 iar q(x) este un polinom independent de n . Parametrii kn siqn sunt urmatorii :
Qn kn q(x)
R(α,β)n (−1)n2n Γ(n+α+1)
Γ(α+1) 1− x2
L(α)n n! 1
Hn (−1)n 1
(d) (Qn) formeaza un sir ortogonal referitor la o pondere w care satisface oecuatie diferentiala de tip Pearson :
w ′(x)w(x)
=N(x)q(x)
, (q(x)w(x)) ′ = B(x)w(x) , N(x) = B(x)− q ′(x) .
Metode Numerice 133
(e) Q0(x) = 1 , iar (Qn) verifica o relatie de recurenta de ordinul doi
Qn+1(x) = (An(x) + Bn) Qn(x)− CnQn−1(x) ,(3.92)
undeAnAn−1Cn > 0 .(3.93)
Expresiile lui An , Bn , Cn sunt precizate prin :
Qn An Bn Cn
R(α,β)n
(2n+α+β+1)(2n+α+β+2)2(n+α+β+1)(n+α+1)
(α2−β2)An
(2n+α+β)(2n+α+β+2)n(n+β)(2n+α+β+2)
(n+α+1)(n+α+β+1)(2n+α+β)
L(α)n − 1
n+12n+1+α
n+1n+αn+1
Hn 2 0 2n
Precizam unele chestiuni care se pot consulta ın literatura de specialitate.Reamintim ca un sir polinomial (ϕn)∞n=0 este ortogonal relativ la o pondere w pe(a, b) , daca
< ϕj , ϕk >= δjk , j, k ∈ 0, 1, . . . , (3.94)
unde
< f, g >=
b∫
a
f(t)g(t)w(t) dt , δjk =
0 , j 6= k1 , j = k
.
Fiind data ponderea w : (a, b) → [0,∞) , w 6= 0 , sirul (ϕn)∞n=0 este unicdeterminat, exceptand un factor multiplicativ.De exemplu, daca cn 6= 0 , iar pentru n ≥ 1
ϕn(x) = cn ·
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
< h0, h0 > < h0, h1 > . . . < h0, hn >< h1, h0 > < h1, h1 > . . . < h1, hn >
......
...< hn−1, h0 > < hn−1, h1 > . . . < hn−1, hn >
h0(x) h1(x) . . . hn(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
unde h0, h1, . . . , hn, . . . constituie un sistem polinomial care este liniar indepen-dent, atunci (ϕn)∞n=0 verifica (3.94). Daca ın plus, (Ψn)∞n=0 este un sir polinomialortogonal pe acelasi interval < a, b > relativ la aceeasi pondere w , atunci existaun sir de numere (λn)∞n=0 , λn 6= 0 , astfel ıncat
Ψn(x) = λnϕn(x) , n ∈ 0, 1, . . . .
Teorema 43 Daca (ϕn)∞n=0 este un sir polinomial ortogonal pe < a, b > , atuncitoate radacinile lui ϕn sunt reale , distincte si situate ın (a, b) .
134 Alexandru Lupas
Demonstratie. Sa presupunem ca (ϕn) verifica (3.94); deoarece pentru n ≥ 1
b∫
a
ϕn(t)w(t)dt = 0
rezulta ca ecuatia ϕn(x) = 0, x ∈ (a, b),are cel putin o solutie x1 . Se constata cax1 este o radacina multipla de ordin impar a lui ϕn . Fie x1 < x2 < . . . < xk toateradacinile multiple de ordin impar situate ın (a, b) . Presupunand prin absurdk < n , ar ınsemna ca h ∈ Πn−1 , unde
h(x) = (x− x1) . . . (x− xk) .
Pe de o parte
< ϕn, h >=
b∫
a
ϕn(t)h(t)w(t) dt = 0
iar pe de alta parte
ϕn(x)h(x) ≥ 0 sau ϕn(x)h(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b) .
Aceasta ar ınsemna ca < ϕn, h > 6= 0 ceea ce exte o contradictie. In concluzie k=nceea ce implica ca radacinile sunt simple, distincte ıntre ele si situate ın intervalulde ortogonalitate.
Teorema 44 Daca (ϕn)∞n=0 este un sir polinomial care este ortogonal, atuncitermenii acestuia verifica o relatie de recurenta de forma
ϕn+1(x) = (anx + bn)ϕn(x)− cnϕn−1(x) , n ≥ 0 , ϕ−1 = 0 .
Daca se presupune ϕn(x) = c0,nxn + . . . , atunci
an =c0,n+1
c0,nsi cn =
an < ϕn, ϕn >
an−1 < ϕn−1, ϕn−1 >.
In plus anan−1cn > 0 .
Demonstratie. Deoarece (ϕn)∞n=0 , presupus ca ar fi ortogonal, formeaza o bazaın algebra polinoamelor, rezulta ca exista constantele a0n, a1n, . . . , ann, an+1,n
astfel ıncat
xϕn(x) =n+1∑
k=0
aknϕk(x) .
Darakn =< xϕn, ϕk >=< ϕn, gk > cu gk(x) = xϕk(x) .
Deoarece
< ϕn, gk >= 0 pentru 0 ≤ k ≤ n− 2 , an+1,n 6= 0 ,
avemxϕn(x) = an+1,nϕn+1(x) + an,nϕn(x) + an−1,nϕn−1(x)
Metode Numerice 135
an+1,n =c0,n
c0,n+1, ϕn(x) = c0,nxn + . . . ,
adica exista sirurile numerice (an), (bn) si (cn) astfel ıncat
ϕn+1(x) = (anx + bn)ϕn(x)− cnϕn−1(x), n = 0, 1, . . . ;ϕ−1 = 0.(3.95)
In plusan =
c0,n+1
c0,nsi cn =
an < ϕn, ϕn >
an−1 < ϕn−1, ϕn−1 >,
unde c0,n este coeficientul lui xn ın ϕn(x) . De asemenea , se constata ca
anan−1cn > 0 .(3.96)
Prin intermediul lui (3.95 ) si relatia de recurena (3.92) este demonstrata.Observatie : Relatia de recurenta (3.95) caracterizeaza toate sirurile de polinoameortogonale. In anul 1935 matematicianul francez Jacques Favard (Sur les polynomesde Tchebycheff, C.R. Acad Sci. Paris 200 (1935) 2052-2055) demonstreaza urmatoareaafirmatie, care este ıntr-un anumit sens o reciproca a teoremei de mai sus.
Teorema 45 (J. Favard) Daca (φn)∞n=0 este un sir polinomial care verifica (3.95)-(3.96), atunci exista un interval < a, b > si o pondere w : [a, b] → [0,∞) astfelıncat sa aiba loc conditıa de ortogonalitate (3.94).
Subliniem faptul ca (3.95) nu caracterizeaza numai polinoamele ortogonale clasice.Pe de alta parte, ın literatura de specialitate se arata ca
(a) , (b) , (c) , (d)
sunt proprietati caracteristice numai polinoamelor clasice.De exemplu, S. Bochner (Uber Sturm-Liouvillesche Polynomsysteme, Math. Zeit.,29(1929),730-736) determina toate solutiile polinomiale ale ecuatiei diferentiale(3.91) si arata ca singurele solutii polinomiale care sunt ortogonale sunt cele clasice,deci Jacobi, Laguerre sau Hermite.De asemenea, W. Hahn, (Uber Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungengenungen, Math. Nachrichten 2(1949),4-34) arata ca singurele polinoame ortogo-nale (ϕn) pentru care
(ϕ ′
n+1
)∞n=0
sunt de asemenea ortogonale , sunt cele clasice.
3.7.1 Formula lui Christoffel-Darboux
Termenii unui sir polinomial care este ortogonal satisfac o interesanta identitatecare are multe aplicatii ın Analiza numerica.
Teorema 46 (Formula lui Christoffel-Darboux)Fie (ϕn)n≥0 un sir ortogonal si
ϕn(x) = c0,nxn + . . . , wk =1
< ϕk, ϕk >.
Atuncin∑
k=0
wkϕk(x)ϕk(y) = λn · ϕn+1(x)ϕn(y)− ϕn(x)ϕn+1(y)x− y
(3.97)
unde
λn =c0,n
c0,n+1wn .(3.98)
136 Alexandru Lupas
Demonstratie. Sa presupunem ca (ϕn)∞n=0 verifica (3.95). Atunci
ϕk+1(x)ϕk(y)− ϕk(x)ϕk+1(y) =
= ak(x− y)ϕk(x)ϕk(y) + ck [ϕk(x)ϕk−1(y)− ϕk−1(x)ϕk(y)]
adicawk(x− y)ϕk(x)ϕk(y) =
wk
ak[ϕk+1(x)ϕk(y)− ϕk(x)ϕk+1(y)]−
wk−1
ak−1[ϕk(x)ϕk−1(y)− ϕk−1(x)ϕk(y)]
(w−1 = 0 , k = 0, 1, . . . .)
Prin ınsumaren∑
k=0
wkϕk(x)ϕk(y) =wn
an
ϕn+1(x)ϕn(y)− ϕn(x)ϕn+1(y)x− y
.
In vederea aplicatiilor prezentam valorile lui c0,n, wn si λn pentru cazul clasic.
ϕn c0,n wn λn
R(α,β)n
(2n+α+βn )
2n(n+αn )
(2n+α+beta+1)Γ(n+α+β+1)Γ(n+α+1)2α+β+1Γ(n+β+1)Γ2(α+1)n!
Γ(n+α+2)Γ(n+β+α+2)2α+β(2n+α+β+2)Γ(n+β+1)Γ2(α+1)n!
L(α,β)n
(−1)n
n!n!
Γ(n+α+1) − (n+1)!Γ(n+α+1)
Hn 2n 12nn!
√π
12n+1n!
√π
Identitatea (3.97) este denumita ,, formula lui Christoffel-Darboux”.
Lema 27 Cu notatiile din Teorema 46, daca ϕn(xjn) = 0 , atunci pentru j ∈1, 2, . . . , n avem
b∫
a
ϕn(t)t− xjn
w(t) dt =c0,n
c0,n−1wn−1ϕn−1xjn.(3.99)
Demonstratie. In conformitate cu (3.97)
n∑
k=0
wk(t)ϕk(xjn) = −λn · ϕn+1(xjn)ϕn(t)
t− xjn.
Integran relativ la ponderea w , obtinem
−λnϕn+1(xjn) =
b∫
a
ϕn(t)t− xjnw(t)dt
= 1 .
Metode Numerice 137
Aceasta ınseamna ca (vezi si (3.95))
ϕn+1(xjn) = −cnϕn−1(xjn) 6= 0 .
Inlocuind valoarea lui cn gasim (3.99).
3.8 Formule de tip Gauss
C.F. Gauss (1777-1855) publica ın anul 1816 lucrarea ,,Methodus nova integraliumvalores per approximationem inveniendi” 5 ın care rezolva urmatoarea problema:,, sa se studieze existenta si unicitatea unui sistem de noduri
x1n , x2n , . . . , xnn
si a coeficientilorc1n , c2n , . . . , cnn
astfel ıncat daca w : (a, b) → [0,∞) este o pondere, formula de cuadratura
b∫
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
cknf(xkn) + Rn(f)(3.100)
sa aiba gradul maxim de exactitate. ”
Lema 28 Daca (3.100) are gradul de exactitate m, atunci
m ≤ 2n− 1 .(3.101)
Demonstratie. Prin absurd sa presupunem ca m ≥ 2n . Fie ın (3.100)
f0(t) =n∏
j=1
(t− xjn)2 , f0 ∈ Π2n .
Pe de o parte Rn(f0) = 0 iar pe de alta
Rn(f0) =∫ b
a
f0(t)w(t) dt > 0 .
In concluzie m ≤ 2n− 1 .
Teorema 47 Exista o singura formula de cuadratura de forma (3.100) care aregradul de exactitate 2n− 1 .
Demonstratie. Sa presupunem ca Rn se anuleaza pe Π2n−1 . Atunci Rn se vaanula si pe Πn−1 , ceea ce ınseamna ca (3.100) este de tip interpolator. In plus,din (3.14)
ckn =1
ϕ′(xkn)
b∫
a
ϕn(t)t− xkn
w(t) dt(3.102)
5prezentata ın 1814 La Societatea Stiintiica din Gottingen , publicata ınComm.Soc.Sc.Gott.Math. III (1816) 39-76 , vezi si Gauss Werke vol. III ,163-196
138 Alexandru Lupas
unde
ϕn(t) = A ·n∏
k=1
(t− xkn), A 6= 0.
Ramane sa aratam ca egalitatea
Rn(h) = 0 ∀h ∈ Π2n−1 ,
determina ın mod unic nodurile x1n, x2n, . . . , xnn . Sa consideram
h(t) = ϕn(t)p(t) cu p ∈ Πn−1 .
Din (3.100) rezulta Rn(h) =< ϕn, p >= 0 . Deci
ϕn ⊥ Πn−1
iar x1n, . . . , xnn sunt radacinile polinomului de grad n , ortogonal pe < a.b >relativ la w .
Definitia 35 Formula de cuadratura de forma (3.100) care are gradul de exactitate2n− 1 se numeste formula lui Gauss relativa la < a, b > si la ponderea w .
Din (3.99) si (3.102) conclude cu afirmatia :
Teorema 48 Formula lui Gauss cu gradul de exactitate 2n− 1 este
∫ b
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
c∗knf(xkn) + R∗n(f)(3.103)
unde :x1n, x2n, . . . , xnn sunt radacinile lui ϕn(t) = c0,ntn + . . . ,
∫ b
a
ϕn(t)ϕm(t)w(t) dt = 0 , n 6= m ;
coeficientii c∗1n, . . . , c∗nn admit reprezentarea
c∗kn =c0,n < ϕn−1, ϕn−1 >
c0,n−1ϕ′n(xkn)ϕn−1(xkn)=
=1
λn−1ϕ′n(xkn)ϕn−1(xkn).
(3.104)
In plusc∗kn > 0 , k ∈ 1, 2, . . . , n.
Demonstratie. Se impune sa justificam pozitivitatea coeficientilor. Daca
gj(t) =[
ϕn(t)ϕ′n(xjn)(t− xjn)
]2
, 1 ≤ j ≤ n,
atunci gj ∈ Π2n−2 si gj(xkn) = δjk. Impunem conditia ca R∗n(gj) = 0. Gasim
c∗jn =∫ b
a
gj(t)w(t) dt
Metode Numerice 139
adica
c∗jn =1
[ϕ′n(xjn)]2
∫ b
a
[ϕn(t)
1− xjn
]2
w(t) dt
ceea ce demonstreaza faptul ca c∗jn > 0 .
Definitia 36 Coeficientii pozitivi c∗1n, c∗2n, . . . , c∗nn din (3.104) se numesc numerelelui Christoffel.
In cazul polinoamelor ortogonale clasice au loc urmatoarele relatii diferentiale derecurenta:
(1− x2)d
dxR(α,β)
n (x) = n
(α− β
2n + α + β− x
)R(α,β)
n (x)+
+2n(n + β)2n + α + β
R(α,β)n−1 (x)
d
dxL(α)
n (x) = nL(α)n (x)− (n + α)L(α)
n−1(x)
d
dxHn(x) = 2nHn−1(x) .
Daca apelam la aceste formule, din (3.104) avem urmatoarele forme ale numerelorlui Christoffel c∗kn din (3.103) :
(a, b) w(t) c∗kn
(−1, 1) (1− t)α(1 + t)β 2α+β+1B(α+1,β+1)(n+α+β+1)(n+βn )
(n+α+β+1n )(n+α
n )(1−x2kn)R(α,β) ′
n (xkn)2
α > −1 , β > −1
(0, +∞) e−ttα(n+α
n )Γ(α+1)
xkn|Ln(α) ′(xkn)|2
α > −1
(−∞,+∞) e−t2 2n+1n!√
π
|H ′n(xkn)|2
3.8.1 Cazuri particulare ale formulei lui Gauss
Consideram valori particulare ale lui (α, β) ın cazul ponderii
w(t) = (1− t)α(1 + t)β , t ∈ (−1, 1) .
DeoareceR(−1/2,1/2)
n (x) = Tn(x) = cos(n arccosx)
R(0,0)n (x) = Pn(x) =
12nn!
[(x2 − 1)n](n)
140 Alexandru Lupas
R(1/2,1/2)n (x) = Un(x) =
sin(n + 1) arccos x
(n + 1)√
1− x2,
iar pe de alta parte se cunoaste ca R∗n este de forma simpla pe spatiul C(2n)[−1, 1](vezi de exemplu [6]-[10] ), din (3.103) gasim
R∗n(f) = R∗n(e2n)f (2n)(ξ)(2n)!
, ξ ∈ [−1, 1]
si
R∗n(e2n) =1
c20,n
R∗n(ϕ2n) =
1c20,n
< ϕn, ϕn >=1
c20,nwn
Prin urmare are loc afirmatia :
Teorema 49 Fie R∗n restul ın formula lui Gauss. Pentru orice f ∈ C(2n)[−1, 1]exista ξ, ξ ∈ [−1, 1] , astfel ca
R∗n(f) =1
c20,nwn
· f (2n)(ξ)(2n)!
.
Alegand ponderea w, gasim urmatorul tabel :
(a, b) w(t) εn :=1
c20,nwn
(−1, 1)1√
1− t2π
22n−1
(−1, 1) 122n+1(n!)4
(2n + 1)!(2n)!
(−1, 1)√
1− t2π
22n
(0,∞) e−ttα n!Γ(n + α + 1)α > −1
(−∞,+∞) e−t2 n!√
π
2n
Se obtin astfel urmatoarele metode exacte de cuadratura :(A) Formula lui Mehler-Hermite :
1∫
−1
f(t)dt√
1− t2=
π
n
n∑
k=1
f
(cos
2k − 12n
π
)+
π
22n−1(2n)!f (2n)(ξ1) .(3.105)
Metode Numerice 141
sf (B) Formula lui Gauss-Legendre :
1∫
−1
f(t)dt =n∑
k=1
Aknf (xkn) +22n+1(n!)4
(2n + 1)(2n!)3f (2n)(ξ2)
unde xkn sunt radacinile polinomului lui Legendre
Pn(x) =1
2nn!(x2 − 1)n
)(n)
iar coeficientii Akn = c∗kn(α, β), α = 0, β = 0 , verifica egalitatea
Akn =2
(1− x2kn)|P ′
n(xkn)|2 .
Exista tabele care includ pentru n ≤ 150 valori numerice ale lui xkn si Akn, caresatisfac
xkn = −xn+1−k,n , Akn = An+1−k,n .
De exemplu, pentru n = 6 , avem
x1,6 = −x6,6 = 0.932469514203152 A1,6 = A6,6 = 0.171324492379170
x2,6 = −x5,6 = 0.661209386466265 A2,6 = A5,6 = 0.360761573048139
x3,6 = x4,6 = 0.238619186083197 A3,6 = A4,6 = 0.467913934572691
In [16] se gaseste expus un algoritm pentru generarea lui xkn si a lui Akn ın cazuln > 150 .
(C) Formula lui Gauss pe nodurile polinomului lui Cebısev de spetaa doua :
Un(x) =sin(n + 1) arccos x
(n + 1)√
1− x2.
1∫
−1
f(t)√
1− t2 dt =π
n + 1
n∑
k=1
f
(cos
kπ
n + 1
)sin2 kπ
n + 1+
+π
22n(2n)!f (2n)(ξ3) .
(D) Formula lui Gauss-Laguerre :
1n!Γ(n + α + 1)
∞∫
0
e−ttαf(t) dt =n∑
k=1
f (xkn)
xkn|L(α)′n (xkn)|2
+
+f (2n)(ϕ)
(2n)!, L(α)
n (xkn) = 0 .
(E) Formula lui Gauss-Hermite :
1n!2n+1
√π
+∞∫
−∞e−t2f(t) dt =
n∑
k=1
f(xkn)|H ′
n(xkn)|2 +
+1
22n+1
f (2n)(η)(2n)!
, Hn(xkn) = 0 .
142 Alexandru Lupas
S-a presupus ca f ∈ Lw(a, b) si w sunt cele corespunzatoare situatiei particulare side asemenea ca f ∈ C(2n)[a, b] sau f ∈ C(2n)(a, b) . Punctele intermediare verificainegalitatile
−1 ≤ ξj ≤ 1 , 0 < θ < +∞ , −∞ < η < +∞ .
3.9 Implementarea formulei lui Gauss-Legendre
1. Introducere.Daca N este un numar natural fixat, sa notam prin xi , 1 ≤ i ≤ N ,
−1 < xN < ... < x2 < x1 < +1 ,
racinile polinomului PN al lui Legendre care poate fi definit cu ajutorul relatiei derecurenta
P0(x) = 1 , P1(x) = x
Pj(x) =2j − 1
jxPj−1(x)− j − 1
jPj−2(x) , 2 ≤ j ≤ N .
Pentru o functie integrabila f : [a, b] → R formula lui Gauss-Legendre este
b∫
a
f(x) dx =b− a
2
N∑
k=1
ckf
(a + b
2+
b− a
2xk
)+ R(f)(3.106)
unde c1, ...cN asunt coeficientii lui Christoffel definite prin
ck =2
(1− x2k) |Pn
′(xk)|2 ,
iar R(f) = R(f ; [a, b], N) reprezinta restul.Dupa cum se stie, daca f apartine spatiului C2N [a, b] , atunci exista cel putin unpunct θ , θ ∈ [a, b] , astfel ıncat
R(f) =(b− a)2N+1
2N + 1
(2N
N
)−2f (2N)(θ)(2N)!
.(3.107)
Cea mai simpla formula juxtapusa se genereaza prin aplicarea repetata a formuleide cuadratura (3.106) pe fiecare dintre intervalele
[ai, ai+1] , ai = a +i− 1
L, i ∈ 1, 2, ...L.
Sa notam
H =b− a
2L, hi = a + a + (2i− 1)H , M =
[N
2
],
Tik(f) = f(hi + Hxk) + f(hi −Hxk) .
In functie de L , numarul aplicatiilor repetate ale formulei (3.106), si de a , b , limitelede integrare , formula juxtapusa este
b∫
a
f(x) dx = H
[c(N)
L∑
i=1
f(hi) +M∑
k=1
ck
L∑
i=1
Tik(f)
]+ RN,L(f)(3.108)
Metode Numerice 143
unde
c(N) =
0 if N = 2M
22n−1
N2
(2M
M
)−2
if N = 2M + 1
2. Restul RN,L . pe spatiul C2N [a, b] .Daca f ∈ C2N [a, b] atunci din (3.106)-(3.107) rezulta ca exista punctele
θ1, ...θL , θi ∈ [ai, ai+1] ,
astfel ca
RN,L(f) =(2H)2n+1
2N + 1
(2N
N
)−2 1(2N)!
L∑
i=1
f (2N)(θi) .
Folosind inegalitatile
4n
√πn + a
<
(2n
n
)<
4n
√πn + b
, a =89
, b =π
4, n > 2 ,
se demonstreaza
Lema 29 a. Daca f ∈ C2N [a, b] atunci exista θ, θ ∈ [a, b] , astfel ca
RN,L(f) =(2H)2n+1
2N + 1
(2N
N
)−2
· L · f (2N)(θ)(2N)!
;(3.109)
b. Pentru f ∈ C2N)[a, b] avem
|RN,L(f)| < 2π
(2N)!
(H
2
)2N+1
‖f (2N)‖ , N > 2 ,
unde ‖ · ‖ reprezinta norma uniforma.
2. Restul RN,L pe spatiul C[a, b] .
ın cele ce urmeaza prezentam o reprezentare a restului RN,L pe spatiul functiilorcontinue . In sectiunea referitoare la teeorema lui Peano am vazut ca dacaR : C[a, b] → R este o functionala liniara si marginita care are o forma simpla pesubspatiul Cn+1[a, b] , atunci R are o forma a simpla pe ıntreg spatiul C[a, b] ,(vezi si [16]- [?]).Acest rezultat ne permite sa concludem cu afirmatia :
Teorema 50 Daca f : [a, b] → R este continua [a, b] , atunci exista un sistemθ1, ...θ2N+1 de puncte distincte din [a, b] astfel ca
RN,L(f) = L · (2H)2N+1
2N + 1
(2N
N
)−2
· [θ1, ...θ2N+1; f ] .
3. Radacinile polinomului lui Legendre Fie
Ij =(
cosjπ
N + 1, cos
4j − 14N + 2
π
).
144 Alexandru Lupas
Daca xi , −1 < xN < ... < x2 < x1 < +1 sunt radacinile polinomului lui LegendrePN , atunci se cunoaste ca (see [30])
xj ∈ Ij , xN+1−j = −xj , j ∈ 1, 2, ...,M.Sa observam ca Ij ∩ Ii = ∅ , i 6= j . x1, ...xM Pentru determinarea aproximativaa radacinilor xj folosim metoda iterativa 6
x(0)j = cos
4j − 14N + 1
π , x(0)j ∈ Ij , 1 ≤ j ≤ M ,
x(k)j = F
(x
(k−1)j
), k ≥ 1 ,
unde
F (x) = x− PN (x)
P ′N (x)
√1− PN (x)P ′′
N (x)P ′
N (x)2
.
O iteratie x(k0)j se considera ca este o ,,aproximare buna ” a lui xj daca cel putin
una dintre inegalitatile urmatoare∣∣∣x(k0)
j − x(k0−1)j
∣∣∣ ≤ 10−18 ,∣∣∣PN (x(k0)
j )∣∣∣ ≤ 10−20
cu k0 ≥ 1 este verificata . In urma testarii acestei metode iterative pentru N =2, 200, 1 s-a observat ca prima inegalitate a fost satisfacuta pentru k0 = 3 .Pe de alta parte, peentru toate valorile considerate ale lui N
∣∣∣PNx(k3)j
∣∣∣ ≤ 10−15 , j ∈ 1, 2, ...M .
Cu ajutorul valorilor aproximative ale radacinilor se determina coeficientii Christof-fel cj . Sa notam
SN (k) =1− (−1)k+1
k + 1−
N∑
j=1
(xj)k · cj = R(ek; [−1, +1], N
).
Avand ın vedere ca (3.106) este exacta pentru orice polinom de grad ≤ 2N −1 , peentru a testa precizia metodei iterative , am cercetat daca valorile
SN (2k) , k = 0, N − 1, 1
sunt zero. Precizam ca SN (2k − 1) = 0 , 1 ≤ k ≤ N . Folosind acest test deprecizie s-a observat ca
|SN (2k)| ≤ 10−14 , k ∈ 0, 1, ...N − 1 .
4. Implementarea FORTRAN .Sa notam
I(f) =
b∫
a
f(x) dx
6,, square-root interation method” , vezi [20]
Metode Numerice 145
G(N, L, f) = H ·(
c(N)L∑
i=1
f(hi) +M∑
k=1
ck
L∑
i=1
Tik(f)
)
Formula de cuadratura (3.108) ne furnizeazaa aproximarea
I(f) ≈ G(N,L, f) .
Pentru a evalua I(f) s-a construit o subrutinaGAUSS1 (F, A, B, N, L, EPS, X, W, R, ITER, KOD)
unde parametrii de intrare sunt :
• FON= functia f care urmeaza sa fie integrata
• A, B= limitele de integrare a, b
• N=gradul polinomului lui Legendre
• L =numarul initial de aplicari al formulei lui Gauss-Legendre
• EPS= numar pozitiv care simuleaza precizia
• ITER= numar maxim de cicluri iterative permise, adica L (final)≤ ITER
Parametrii de iesire sunt :
• R=aproximarea finala pentru I(f)
• X= vector de dimensiune 1 +[N
2
]care contine radacinile nenegative
X(1) > X(2) > ... > X(N1)
ale polinomului lui Legendre. Precizam ca N1 =[
N2
]dacA N este par , si
N1 = 1 +[
N2
]pentru N impar.
• W= vector de dimensiune 1 +[
N2
]care include numerele lui Christoffel
W (I) := ci corespunzatoare lui X(I)
• KOD= cod de eroare , KOD ∈ 0, 1 .
Principalii pasi ai acestui algoritm FORTRAN sunt prezentati ın cele ce urmeaza.
1. Testam daca N > 3 . Daca aceasta este fals, declaram N := 4
2. Testam daca 0 < EPS < 10−7 . Daca aceste inegalitati nu au loc, declaramEPS:= 10−8
3. Se calculeaza o aproximare initiala RINIT a lui I(f). Mai precis
RINIT := G(3, 1, f)
4. Se calculeaza valorile aproximative ale radacinilor
X(1), X(2), ..., X(N1)
ale polinomului lui Legendre, precum si coeficientii Christoffel corespunzatori
W (1),W (2), ..., W (N1)
146 Alexandru Lupas
5. Se determina aproximarea R a integralei I(f). Aceasta ınseamna ca
R := G(N, L, f)
6. Testarea preciziei : mai precis, se testeaza
|R− RINIT| ≤ EPSmin(1, |R|) .(3.110)
Daca (3.110) este verificata, atunci KOD=0 si RETURN
7. Iterarea metodei de integrare : ın situatia ın care criteriul de precizie (3.110)nu este verificat se testeaza daca
2L < ITER .
In caz aafirmativL := 2L , RINIT := R
si o noua aproximare R etse construita, anume R: =G(2L, N, f).Acest proces iterativ continua pana cand testul de precizie (3.110) este ındeplinit,sau pana cand L, numarul de iteratii , depaseste ITER. Daca 2L ≥ ITER si(3.110) nu are loc. atunci
KOD = 1 si RETURN .
Precizam ca L ısi poate modifica continutul ın timpul calculului ; ın cele ceurmeaza vom nota prin LFINAL valoarea finala a lui L.
Programul este urmatorul7 :
7comentariile s-au inclus ın limba engleza
Metode Numerice 147
SUBROUTINE GAUSS1(F,A,B,N,L,EPS,X,W,R,ITER,KOD)C =============================C PURPOSE :C THE APPROXIMATIVE INTEGRATION OF AC FUNCTION F ON ANC INTERVAL (A, B)CC METHOD :C GAUSS-LEGENDRE QUADRATURE FORMULACC USAGE :C CALL GAUSS1(F,A,B,N,L,EPS,X,W,R,ITER,KOD)CC DESCRIPTION OF PARAMETERS :C F - THE FUNCTION WHICH IS INTEGRATEDC A, B - ENDPOINTS OF THE INTERVAL OFC INTEGRATIONC N - THE DEGREE OF THE LEGENDREC POLYNOMIALC L - NUMBER OF EQUIDISTANTC SUBINTERVALS FROM (A, B)C EPS - A TOLERANCE VALUEC X - VECTOR OF DIMENSION 1+N/2C WHICH CONTAINS THE NON-NEGATIVEC ROOTS OF THE LEGENDRE POLYNOMIALC W - AN ARRAY OF DIMENSION 1+N/2C WHICH INCLUDES THEC CHRISTOFFEL NUMBERSC R - THE APPROXIMATIVE VALUE OFC THE INTEGRALC ITER - THE MAXIMUM NUMBER OFC ITERATIVE CYCLES PERMITTEDC KOD - AN ERROR CODE :C KOD=0 MEANS THAT A CERTAINC ACCURACY TEST IS VERIFIED,C OTHERWISE, KOD=1CC INPUT PARAMETERS : F,A,B,N,L,EPS,ITERC OUTPUT PARAMETERS : X, W, R, KODC
148 Alexandru Lupas
C REMARKS :CC 1. L IS DESTROYED DURINGC COMPATATIONC 2. A DECLARATION EXTERNAL F MUSTC BE USED BEFOREC CALL GAUSSI(F,A,B,N,L,EPS,X,W,R,ITER,KOD)C
IMPLICIT DOUBLE PRECION (A-H, O-Z)DIMENSION X(1), W(1)
C = = = TEST ON N = = =IF (N-3) 1, 2, 8
1 N=4C = = = TEST ON EPS = = =8 EPX=EPS- .1D-6
IF(EPS*EPX) 2, 9, 99 EPS=.1D-7C =+= THE INITIAL VALUE OF R,C NAMELY RINIT, IS CONSTRUCTED =+=2 H1=(B-A)0.5
P=(A+B)*0.5ROOT=H1*0.774596669241483P1=P+ROOTP2=P-ROOTRINIT=(F(P1)+F(P2))*0.888888888888889*F(P)
C =+=INITIAL VALUES =+=M=N/2TN=DFLOAT(N)AN=1./TNCSI=1./(4*TN+1.)DEV=(1.+TN)*TN
C =+ START OF THE ITERATION METHODC WHICH FURNISHES US THE ROOTSC X(1) ... X(M)C AND THE WEIGHTSC W(1) ... W(M) +=
DO 100 K=1, MTED=(4.*DFLOAT(K)-1.)*CSIV=TED*3.1415926535897932X(K)=DCOS(V)NTER=0
Metode Numerice 149
300 P2=X(K)P(1)=1.
C = COMPUTE P3, THE VALUE OF THEC LEGENDRE POLYNOMIAL PN(X) AT X(K)=
DO 70 IT =2, NZI=1./DFLOAT (IT)P3=(2.-ZI)*X(K)*P2 - (1.- ZI)*P1P1=P2P2=P3
70 CONTINUEC = CALCULATE THE SUCCESIVEC APPROXIMATIONC OF THE ROOT X(K) =
U= 1. - X(K)*X(K)U1=P3∗X(K)-P1Q=U*AN/U1GW=P3*QDE=U+2.*X(K)*GW + GW*GW*DEVDER=DABS(U/DE)EPSI= GW*DSORT(DER)IF(DABS(P3)-1.D-19) 100, 100,5
5 IF(DABS(EPSI)-1.D-17) 100,100, 66 IF(NTER-10) 7, 7, 1007 NTER=NTER + 1
X(K)=X(K)+EPSIGO TO 300
100 W(K)=2.*Q*Q/UC = = CALCULATE THE APPROXIMATION RC OF THE INTEGRAL = =
IF(2*M - N) 3, 4, 33 AM=1
DO 50 I=1, MTIX=2.* DFLOAT(I)-1.
50 AM=AM* (1. + 1./TIX)NM=M+1W(NM)=AM*AM*AN*ANX(NM)=0GO TO 44
150 Alexandru Lupas
4 NM=M44 H=H1/DFLOAT(L)
R=0DO 444 K= 1, NMZW=H*X(K)S=ODO 80 I=1, LZI= 2.* DFLOAT(I)-1.SI=A+ZI*H
80 S=S + F(SI + ZW)+F(SI - ZW)444 R=R+W(K)*S
R=R*HRABS=DABS(R)IF(RABS-1.) 90 , 90 , 91
90 DEZ=DABS(R-RINIT)-EPS*RABSGO TO 92
91 DEZ=DABS(R-RINIT)-EPSC == TEST ON ACCURACY ==92 IF(DEZ) 93, 93, 9494 L=2*L
IF(L-ITER) 95, 96, 9695 RINIT=RC == ITERATION OF THEC INTEGRATION METHOD==
GO TO 4493 KOD=0
GO TO 9996 KOD=1
L=L/299 IF(N-NM) 401, 500, 401C == FINDING THE TRUE WEIGHTC W(M+1) = =401 W(NM)=2.*W(NM)500 RETURN
END
5. Exemple numerice. Algoritmul de mai sus a fost testat pentru unelefunctii, calculele fiind facute ın dubla precizie.
5.1. f(x) = x + π · sin(πx) ,
a = 0 , b = 1 , N = 10 , L = 128 , ITER = 1000 , EPS = .1D − 14
Rezultate :R = .250000000000000E + 01 , LFINAL = 512 , KOD = 1I(f) = .250000000000000E + 01 .
5.2. f(x) = 1 + ex ,
a = 0 , b = 1 , N = 4 , L = 40 , ITER = 500 , EPS = .1D − 5
Rezultate :R = .271828182845905E + 01 , LFINAL = 160, KOD = 0I(f) = .2718281828459045...E + 01 = e .
Metode Numerice 151
5.3. f(x) = 1/(1 + x) ,
a = 1 , b = 0 , N = 5 , L = 20 , ITER = 500 , EPS = .1D − 7
Rezultate :
R = −.693147180559945E + 00 , LFINAL = 160 , KOD = 0I(f) = −.693147180559953...E + 00 = − ln 2
5.4. f(x) = 6 +√
2π(sinx)3/2 ,
a = 0 , b = π/2 , ITER = 4000 , EPS = .1D − 7
Rezultate :1. N=4 , L=200
R = .131450472058757E + 02 , LFINAL = 400 , KOD = 0 ;
2. N=5 , L=400
R = .131450472063418E + 02 , LFINAL = 400 , KOD = 0 ;
3. N=44 , L=200
R = .131450472065968E + 02 , LFINAL = 200 , KOD = 0 ;
4. N=100 , L=100 , se obtine
R = .131450472065969E + 02 , LFINAL = 100 , KOD = 0 ;
I(f) = .1314504765969...E + 02 =(
Γ(
14
))2
.
5.5. f(x) = x · arctg x ,
a = 1 , b = 0 , N = 15 , L = 10 , ITER = 50 , EPS = .1D − 8
Rezultate :
R = −.285398163397448E + 00 , LFINAL = 40 , KOD = 0I(f) = −.285398163397448...E + 00 = 0.5− arctg1 .
5.6. f(x) = x + ln x ,
a = 1 , b = 2 , ITER = 300 , EPS = .1D − 7
Rezultate :1. Cu N = 200 , L = 20 , gasim
R = .636294361119892E + 00 , LFINAL = 20 , KOD = 0 ;
2. Daca N = 150 , L = 256 , atunci
R = .636294361119892E + 00 , LFINAL = 256 , KOD = 0 ;
I(f) = .63629436111989061884...E + 00 .
152 Alexandru Lupas
5.7. f(x) =(0.5x +
√1 + 0.25x2
)13
· P10(x) ,
a = −1 , b = 1 , ITER = 4000 , EPS = .1D − 8
In cele ce urmeaza notam prin Pn polinomul de grad n al lui Legendre .Rezultate :
1. Pentru N=90 , L=80 se gaseste
R = .1188281590606595E − 01 , LFINAL = 80 , KOD = 0 ;
2. Daca L=400 si N=5 , respectiv N=6 , atunci
LFINAL = 800 , KOD = 0
siR = .1188281590606931E − 01 , resp.R = .1188281590606417E − 01I(f) = .1188281590606678...E − 01 = 65
√5/12288 .
5.8. f(x) = (1− x− ln x)x)/((1− x) · ln x) ,
a = 0 , b = 1 , ITER = 4000 , L = 1400
Rezultate :1. Cu N = 10 , EPS = .1D − 9 se obtine
R = .577215655361789E + 00 , LFINAL = 2800 , KOD = 1 ;
2. Pentru N = 50 , EPS = .1D − 8 calculatorul furnizeaza
R = .57721566480130E + 00 , LFINAL = 2800 , KOD = 1 ;
I(f) = .57721566490153286...E + 00 = γ = constanta lui Euler.
5.9. f(x) = ln 2 +x
(sin x + cos x) sin x,
a = 0, b = π/4, ITER = 400, EPS = 1.D − 9, N = 10, L = 1200
Rezultate :
R = .915965594177221E + 00 , LFINAL = 2400 , KOD = 0I(f) = .915965594177219015...E + 00 = G = constanta lui Catalan .
5.10. f(x) = 9728 · P9(x) (1.25− x)−0.5,
a = −1 , b = 1 , ITER = 4000 , EPS = .1D − 8
Rezultate :1. Daca N=8 , L=1000 , atunci
R = .2000000000000189E + 01 , KOD = 0 , LFINAL = 2000 ;
2. Pentru N=9 , L=1000 se obtine
R = .2000000000000120E + 01 , KOD = 0 , LFINAL = 2000 ,I(f) = .2000000000000000E + 01 .
Capitolul 4
REZOLVAREAECUATIILORTRANSCENDENTE
4.1 Localizarea radacinilor ecuatiilor polinomiale
4.1.1 Regula lui Lagrange
Teorema 51 Fie ecuatia
f(x) ≡ xn + a1xn−1 + a2x
n−2 + . . . + an = 0 , f(xν) = 0 .(4.1)
Presupunem ca numai coeficientii ai1 , ai2 , . . . ais sunt numere negative si fie aj primuldintre coeficientii a1, a2, . . . , an care este negativ. Deci
a1 ≥ 0 , a2 ≥ 0 , . . . aj−1 ≥ 0 , aj < 0 .
Dacaα = max
k∈i1,i2,...,is|ak| , L = 1 + j
√α ,
atunci orice radacina reala xk a ecuatiei (4.1) verifica
|xk| ≤ L .
Demonstratie. Este suficient sa aratam ca f(x) > 0 pentru x > L .Pentr x > 0 avem
f(x) = xn +j−1∑
k=1
akxn−k +n∑
ν=j
aνxn−ν ≥
≥ xn +n∑
ν=j
aνxn−ν ≥ xn − α
n∑
ν=j
xn−ν = xn − α(xn−j + xn−j−1 + . . . + 1)
adica
f(x) ≥ xn − αxn−j+1 − 1
x− 1.
153
154 Alexandru Lupas
Daca avem o radacina xk ∈ [0, 1] , atunci evident |xk| ≤ L . Fie xk o radacinareala cu proprietatea xk > 1 . Inseamna ca
0 = f(xk) ≥ xnk − α
xn−j+1k − 1xk − 1
deci
xnk ≤ α
xn−j+1k − 1xk − 1
≤ αxn−j+1
k
xk − 1
adica xj−1k (xk − 1) ≤ α . In cazul nostru xj−1
k (xk − 1) ≥ (xk − 1)j , ceeace implica (xk − 1)j ≤ α , adica 1 < xk ≤ L . Cu alte cuvinte, am aratatca orice radacina pozitiva verifica inegalitatea din enuntul teoremei. Implicatiaxk < 0 =⇒ −L ≤ xk se poate face prin studiul ecuatiei f(−x) = 0 .
4.1.2 ,, Span” -ul unui polinom
Definitia 37 Daca a1, a2 sunt numere reale fixate, atunci P(a1, a2)este multimea tuturor polinoamelor , cu toate radacinile reale, de forma
f(x) = xn + a1xn−1 + a2x
n−2 + b3xn−3 + ... + bn, bk ∈ R .
Presupunem ca racinile lui f sunt ordonate descrescator, adica
x1 ≥ x2 ≥ ...,≥ xn , f(xi) = 0 .
Numarul x1 − xn se numeste ,, span ”-ul lui f .
De exemplu, daca Hn este polinomul lui Hermite normalizat de
limx→∞
Hn(x) = 1 ,
atunci Hn ∈ Pn
(0,
n(1− n)4
).
Este evident ca numerele x = −a1
n=
1n
n∑
k=1
xk si
∆ : = (n− 1)a21 − 2na2 =
∑
1≤i≤j≤n
(xi − xj)2 =
= n
n∑
k=1
(xk − x)2 = n
n∑
k=1
x2k −
(n∑
k=1
xk
)2(4.2)
sunt caracteristici comune polinoamelor din clasa P(a1, a2) .In aceasta sectiune ne propunem sa gasim valorile extremale ale functio-
nalelor d, rk,m care sunt definite pe P(a1, a2) prin imaginile lor, dupa cum urmeaza
d(f) = x1 − xn
rk(f) = xk
m(f) = min1≤i≤k≤n
(xi − xk) .
unde f ∈ P(a1, a2) , f(xi) = 0 , x1 ≥ x2 ≥ ...,≥ xn .In cele ce urmeaza , simbolul [·] reprezinta partea ıntreaga.
Metode Numerice 155
Lema 30 Polinoamle
f∗(x) =
(x− x∓ 1
n
√[n+1
2
][
n2
] ∆
)[n2 ] (
x− x± 1n
√ [n2
][
n+12
]∆)[n+1
2 ]
(4.3)
f∗(x) =(
(x− x)2 − ∆2n
)(x− x)n−2
apartin clasei Pn(a1, a2) .
Demonstratie. Avem
n∑
k=1
rk(f∗) =
=[n
2
](x∓ 1
n
√[n+1
2
][
n2
] ∆
)+
[n + 1
2
] (x± 1
n
√ [n2
][
n+12
]∆)
=
= nx = −a1 ,
n∑
k=1
(rk(f∗))2 =
=[n
2
] (x∓ 1
n
√[n+1
2
][
n2
] ∆
)2
+[n + 1
2
] (x± 1
n
√ [n2
][
n+12
]∆)2
=
= nx2 +1n∆ = a2
1 − 2a2 .
Prin urmare∑
1≤i<j≤n
ri(f∗)rj(f∗) = a2 , si o demonstratie similara se poate face
pentru polinomul f∗ .
Teorema 52 [15]. Fie d : Pn(a1, a2) → [0, +∞) definita prin
d(f) = r1(f)− rn(f) = x1 − xn .
Pentru orice polinom f ∈ Pn(a1, a2)
√∆[
n2
] [n+1
2
] ≤ d(f) ≤√
2n∆ .
La stanga, cazul de egalitate are loc daca si numai daca f = f∗ , ın timp cemarginea superioara este atinsa numai daca f = f∗ .
156 Alexandru Lupas
Marginea superioara√
2n∆ a fost gasita ın [31] de catre J.v.Sz. -Nagy iar apoi
redescoperita de T.Popoviciu [22]. Dupa cum am vazut , numarul d(f) se numeste,, span”-ul polinomului f , ([?]-[19], [?]).Demonstratie. Sa demonstram ca
maxf∈Pn(a1,a2)
d(f) = d(f∗) =
√2n∆ .
In conformitate cu (4.2)
∆ = n(x1 − xn)2 + 2n(x− x1)(x− xn) + nn−1∑
k=2
(xk − x)2 .(4.4)
Observam ca (x− x1)(x− xn) ≥ −d2(f)4 cu egalitate numai daca
x = 12 (x1 + xn) . Astfel (4.4) implica
∆ ≥ n
2d2(f) , adica d(f) ≤
√2n∆ .
Daca f ∈ Pn(a1, a2) este de forma
f(x) = (x− x1)(x− xn)(x− x)n−2 ,
atunci , dupa cum am vazut , are loc egalitatea. Avand ın vedere ca Pn(a1, a2) continenumai un element de acest tip, anume f∗ definit ın (4.3), demonstratia este com-pleta .Marginea inferioara , existenta careia a fost enuntata sub forma unei conjecturi decatre T.Popoviciu [22], poate fi gasita ın urmatoarea maniera : din
∆ =∑
1≤i≤j≤n
(xi − xj)2
este evident ca∂∆∂xi
= 2n(xi − x) .
Presupunandx1 ≥ ... ≥ xk ≥ x ≥ xk+1 ≥ ... ≥ xn
gasim∆ ≤ k(n− k)(x1 − xn)2 .
Pe de alta parte
k(n− k) ≤[n
2
]·[n + 1
2
]d2(f)
cu egalitate daca si numai daca
k =[n
2
]sau k =
[n + 1
2
].
In fine , ın multimea Pn(a1, a2) toate elementele de forma
(x− x1)k(x− xn)n−k , k =[n
2
]sau k =
[n + 1
2
],
Metode Numerice 157
se rezuma la f∗ definit ın (4.3). In concluzie
minf∈Pn(a1,a2)
d(f) = d(f∗) =
√∆[
n2
] · [n+12
] .
O alta metoda de a gasi marginea inferioara consta ın utilizarea urmatoarei ,,variante discrete” a inegalitatii lui Gruss (vezi [?], 3.2.26 pag 205) :daca a ≤ ti ≤ A, b ≤ zi ≤ B(i ∈ 1, ..., n) , atunci
∣∣∣∣∣nn∑
k=1
tkzk −n∑
k=1
tk ·n∑
k=1
zk
∣∣∣∣∣ ≤ (A− a)(B − b)[n
2
]·[n + 1
2
](4.5)
cu egalitate pentru
t1 = t2 = ... = t[n2 ] = t, t[n+1
2 ] = ... = tn = T ,
(4.6)
z1 = z2 = ... = z[n2 ] = z , z[n+1
2 ] = ... = zn = Z ,
unde matricea ∥∥∥∥t Tz Z
∥∥∥∥
este una din urmatoarele∥∥∥∥
a Ab B
∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥A aB b
∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥a AB b
∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥A ab B
∥∥∥∥ .
Daca ın (4.5) alegem
tk = zk = xk − x , A = B = x1 − x , a = b = xn − x ,
rezulta ca
n
n∑
k=1
(xk − x)2 ≤[n
2
]·[n + 1
2
]d2(f) , adica d(f) ≥
√∆[
n2
] [n+1
2
] .
In conformitate cu (4.6) elementul minimal este f∗ definit ın (4.3).Un rezultat interesant este urmatorul :
Teorema 53 (J. von Sz.-Nagy [32])Fie f un polinom cu toate radacinile reale si distincte. Daca d(f) este span-ul luif , atunci
d(f)d
(f (n−k)
) ≤√
n(n− 1)k(k − 1)
, k ∈ 2, . . . , n− 1 .
158 Alexandru Lupas
4.1.3 Rezultatul lui Laguerre
Teorema 54 (E. Laguerre [12] )Daca rk : Pn(a1, a2) → R(k ∈ 1, ...n) sunt definite de
rk(f) = xk , f(xk) = 0 , x1 ≥ x2 ≥ ...xn ,
atunci
x− 1n
√(n− 1)∆ ≤ rk(f) ≤ x +
1n
√(n− 1)∆(k = 1, ..., n) .
A se vedea si 3.2.28 din [?]).In continuare ne propunem sa realizam un studiu mai amanuntit cu privire la com-portarea functionalelor rk , (1 ≤ k ≤ n) .
4.1.4 Delimitari optimale pentru radacini
Se verifica faptul ca polinoamele
fj(x) =
(x− x +
1n
√j
n− j∆
)n−j (x− x− 1
n
√n− j
j∆
)j
,
(1 ≤ j ≤ n− 1)
(4.7)
apartin clasi Pn(a1, a2) .
Teorema 55 vezi [15] .Daca f ∈ Pn(a1, a2) , atunci
x +1n
√∆
n− 1≤ r1(f) ≤ x +
1n
√(n− 1)∆,
x− 1n
√(n− 1)∆ ≤ rn(f) ≤ x− 1
n
√∆
n− 1,
x− 1n
√k − 1
n− k + 1∆ ≤ rk(f) ≤ x +
1n
√n− k
k∆, (k = 2, ...n− 1).
Aceste delimitari sunt optimale ın multimea Pn(a1, a2) . Mai precis
min r1(f) = r1(fn−1), min rj(f) = rj(fj−1), 2 ≤ j ≤ n,
max rn(f) = rn(f1), max ri(f) = ri(fi), 1 ≤ i ≤ n− 1,
unde f1, f2 ...fn sunt definite ın (4.7).
Demonstratie. Fie x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn radacinile unui polinoim arbitrar dinPn(a1, a2) . Exista un numar natural k0 , 1 ≤ k0 ≤ n− 1 , astfel ıncat
x1 − x ≥ x2 − x ≥ ... ≥ xk0 − x ≥ 0 > xk0+1 − x ≥ ... ≥ xn − x .(4.8)
Observam ca
∆ = n
k0∑
i=1
(xi − x)2 + n
[k0∑
i=1
(xi − x)
]2
− 2n∑
1+k0≤i<j≤n
(xi − x)(xj − x)
Metode Numerice 159
n(1 + k0)k0∑
i=1
(xi − x)2 ≤ nk0(1 + k0)(x1 − x)2 ≤ n2(n− 1)(x1 − x)2 .
Cu alte cuvinte
r1(f) ≥ x +1n
√∆
n− 1,
cu egalitate daca si numai daca x1 = x2 = ...xk0 , k0 = n− 1 .Aceasta ınseamna ca polinomul minimal trebuie ales astfel ca
f(x) = (x− C1)(x− C2)n−1 , C2 ≥ C1 .
Conditiile
C1(n− 1)C2 = −a1 , C21 + (n− 1)C2
2 = a21 − 2a2 , C2 ≥ C1 ,
ne conduc la
C1 = x− 1n
√(n− 1)∆ , C2 = x +
1n
√∆
n− 1.
Prin urmare
minf∈Pn(a1,a2)
r1(f) = r1(fn−1) = x +1n
√∆
n− 1.
Daca j ∈ 1, ..., k0 , atunci rj(f) ≥ 1n
√j−1
n−j+1∆ este verificata ın mod trivial.Sa presupunem ca p este un numar natural , 2 ≤ 1 + k0 ≤ p ≤ n . Atunci
mp =n∑
i=p
(xi − x) ≤ (n− p + 1)(xp − x) ≤ 0(4.9)
si(xp − x)2 ≤ (xp+1 − x)2 ≤ ... ≤ (xn − x)2 .
Avem
∆ =n
p− 1m2
p + n
p−1∑
i=1
(xi − x +
mp
p− 1
)2
+ n
n∑
i=1
(xi − x)2
≥ n(n− p + 1)2
p− 1(xp − x)2 + n(n− p + 1)(xp − x)2
adica |xp − x| ≤ 1n
√p−1
n−p+1∆ .
Din (4.9) constatam ca rp(f) ≥ x − 1n
√p−1
n−p+1∆ cu egalitate daca si numaidaca :
x1 = x2 = ... = xp−1 = a + x , (a ≥ 0),
xp = xp+1 = ... = xn = b + x , (b < 0).
Astfel, pentru k ∈ 2, ..., n
minf∈Pn(a1,a2)
rk(f) = rk(fk−1) = x− 1n
√p− 1
n− p + 1∆ .
160 Alexandru Lupas
Pana ın prezent s-a rezolvat numai problema de minim. Marginea superioara varezulta prin considerarea polinomului p(x) = (−1)nf(−x) care apartine claseiPn(−a1, a2) .
Observatie. Daca x1, x2, ...xn sunt radacinile unui polinom de clasaPn(0,−1/2) , adica xk , (k ∈ 1, ..., n) , sunt numere care verifica
n∑
k=1
xk = 0 ,
n∑
k=1
x2k = 1
atunci teorema de mai sus furnizezaa margini pentru asa numitele ,, statistici or-donate” 1 (vezi [?]-[5]).In [15], autorul demonstreaza urmatoarele.
Teorema 56 Daca m(f) = min1≤i<k≤n
(xi − xk) unde f ∈ Pn(a1, a2) si f(xi) =
0 , atunci
m(f) ≤ 2n
√3∆
n2 − 1
cu egalitate pentru
f(x) = p∗(x) =n∏
k=1
(x− x− n− 2k + 1
n
√3∆
n2 − 1
).
Demonstratie. Fie k0 , 1 ≤ k0 ≤ n− 1 , ales ca si ın (4.8). Notam
s =
k0 daca |xk0 − x| ≤ |xk0+1 − x|
1 + k0 daca |xk0 − x| > |xk0+1 − x|.
Pentru ınceput sa remarcam ca pentru i ≤ s
xi − x =s−1∑
j=1
(xj − xj+1) + (xs − x) ≥ (s− i)m(f) + (xs − x) .
Deoarece pentru i > s
xi − x = (xs − x)−i−1∑
j=s
(xj − xj+1) + (xs − x) ≤ (xs − x) + (s− i)m(f) ,
rezulta din inegalitatile de mai sus ca
∆n
=s∑
i=1
(xi − x)2 +n∑
i=s+1
(xi − x)2 ≥
≥s∑
i=1
((s− i)m(f) + (xs − x))2 +n∑
i=s+1
((xs − x) + (s− i)m(f))2 .
1 ın engleza order statistics
Metode Numerice 161
Aceasta poate sa fie scrisa sub forma
∆n2
≥ 6n2 − 6s(n + 1) + (n + 1)(2n + 1)6
m2(f)+
+(2s− n− 1)(xs − x)m(f) + (xs − x)2(4.10)
unde cazul de egalitate are loc daca si numai daca
xj − xj+1 = m(f) , (j ∈ 1, ..., n− 1) .
Tinand seama de (4.10) gasim
∆n2
≥ (n2 − 1)12
m2(f) sau m(f) ≤ 2n
√3∆
n2 − 1,
egalitatea avand loc daca si numai daca radacinile x1, ...xn , verifica
xs − x =n− 2s + 1
2m(f) , (s ∈ 1, ..., n) ,
deci numai daca f = p∗ . O alta demonstratie a acestei teoreme poate fi gasita ın[13].
4.2 Metode pentru rezolvarea ecuatiilor transcen-dente
4.2.1 Metoda lui Newton
Sa presupunem ca f : [a, b] → R este derivabila pe domeniul de definitie si ın plusca
f ′(x) 6= 0 , ∀x ∈ [a, b] .
De asemenea facem ipoteza ca ecuatia
f(x) = 0 , x ∈ [a, b]
are o singura solutie x ∈ (a, b) .Fie t0 , t0 ∈ [a, b] un ,,punct de start” . Din punctul din plan T0 ≡ (t0, f(t0)) , situatpe graficul functiei f sa trasam tangenta (t) la grafic. Existenta si unicitateaacesteia ne este asigurata de fptul ca functia este derivabila. Ecuatia explicita atangentei este
(t) y = f ′(t0)(x− t0) + t0 .
Fie t1 abscisa punctalui de intersectie dintre (t) si axa Ox . Cu alte cuvinte,rezolvand sistemul de ecuatii
(t) y = f ′(t0)(x− t0) + t0
(Ox) y = 0
gasim
t1 = t0 − f(t0)f ′(t0)
.
162 Alexandru Lupas
Se considera ca t1 este o prima aproximatie a solutiei x , deci x ≈ t1 . Procedeulde aproximare al solutiei x se repeta, deci se construiesc succesiv termenii sirului
t1, t2, ..., tn, tn+1, ..., tN , ...
unde
tn+1 = tn − f(tn)f ′(tn)
, n ∈ 0, 1, ... .(4.11)
Daca definim Nf : [a, b] → R prin
Nf (x) = x− f(x)f ′(x)
observam ca (4.11) devine
tn+1 = Nf (tn) , n ∈ 0, 1, ....(4.12)
Construirea acestor aproximatii , iteratii , succesive definesc metoda lui Newton sau, datorita interpretarii geometrice , ,,metoda tangentei ”.
4.2.2 Metoda coardei
Fie −∞ < a < b < ∞ si f ∈ C[a, b] . Presupunem ca ecuatia
f(x) = 0 , x ∈ [a, b](4.13)
are o singura solutie x , x ∈ (a, b) . Avem evident
f(a)f(b) < 0
ceea ce atrage dupa sine ın mod evident ca f(a) 6= f(b) .Sa consideram ın planul xOy punctele
A = (a, f(a)) si B = (b, f(b))
si fie (c) dreapta (AB) , adica dreapta pe care se afla situata ,,coarda” [AB] . Ecuatiaexplicita a acestei drepte este
(c) y =f(b)− f(a)
b− a(x− a) + f(a)
sau
(c) y =f(a)− f(b)
a− b(x− b) + f(b) .
Este clar ca ,,coarda” [AB] intersecteaza axa Ox ıntr-un singur punct c1 , c1 ∈(a, b) .Metoda coardei consta ın efectuarea aproximatiei
x ≈ c1 .
Din conditia c1 ≡ (c) ∩Ox , adica
y =f(b)− f(a)
b− a(x− a) + f(a)
y = 0
Metode Numerice 163
sau
y =f(a)− f(b)
a− b(x− a) + f(b)
y = 0
rezulta
c1 = a− f(a)(b− a)f(b)− f(a)
= b− f(b)(b− a)f(b)− f(a)
.(4.14)
In continuare acest reationament se repeta :
• se determina pe care dintre subintervalele [a, c1] sau [c1, b] se gaseste solutiax ;
• se repeta metoda : de exemplu, daca f(a)f(c1) < 0 , atuncix ∈ (a, c1) si avem x ≈ c2 unde
c2 = a− f(a)(c1 − a)f(c1)− f(a)
.
In cazul f(a)f(c1) > 0 ınseamna ca x ∈ (c1, b) si avem
c2 = b− f(b)(b− c1)f(b)− f(c1)
;
• se construiesc astfel termenii unui sir (cn)
c1, c2, ..., cn, cn+1, ..., cN , ...(4.15)
numit si sir iterativ, iar numerele din (4.15) se mai numesc iteratiile obtinutecu ajutorul metodei coardei.
Acest proces , procedeu , se opreste ın functie de ,,fantezia” programatorului.
4.2.3 Criterii de STOP
Presupunem ca parametrii de intrare un numar EPS ∈ (0, 1) care va ,,simulapreciza” si un numar natural N care va reprezenta ,,numarul maxim” de iteratiicare se vor calcula.Precizam urmatoarele posibilitati de STOP, adica de oprire a calculului :
• se poate , de exemplu ca
c19 = 0.123456789765312989797...c20 = 0.123456789765312312358...
Evident , ın realitate x20 6= x19 , dar datorita preciziei limitate a sistemuluide calcul , ,, ın calculator” s-ar putea sa avem
c19 = c20 = 0.123456789765312 .
Deci nu mai are rost sa trecem la calculul lui c21 .
164 Alexandru Lupas
• Astfel un criteriu de oprire ar putea sa fie
|cn+1 − cn| ≤ EPS ,
unde de exemplu EPS ∈ 10−3, 10−4, ..., 10−16, .. .Asemanator, ın cazul metodei lui Newton , se poate utiliza criteriul de oprire
|tn+1 − tn| ≤ EPS .(4.16)
Nota : In realitate , aceste criterii sunt eficiente numai daca
|x| , |cn| , |tn|sunt numere ,, mici” . Mai precis, pentru exemplificare , daca avem EPS =10−6 iar tn , tn+1 sunt de ordinul lui 10+60 , criteriul (4.16) nu va finiciodata sesizat ca ındeplinit de un sistem uzual de calcul .Este mult mai bine sa impunem ca eroarea relativa sa fie mica , ceea ce esteechivalent cu (ın cazul metodei lui Newton)
|tn+1 − tn| ≤ EPX
unde
EPX =
EPS , |tn| ≤ 1
EPS · |tn| , |tn| > 1 .
• Datorita continuitatii functiei f este de asteptat ca
cn ≈ x =⇒ f(cn) ≈ f(x) , f(x) = 0
deci f(cn) ≈ 0 . De exemplu, daca
|f(c11)| = 0.00000000000043125
s-ar putea considera ca aproximarea c11 ≈ x este ,,buna ”.Prin urmare, un alt criteriu de oprire ar putea sa-l constituie
|f(cn)| ≤ EPS .
Analog , la metoda tangentei (Newton) se poate impune ca
|f(tn)| ≤ EPS .
• Deoarece ın cazul metodei coardei cn+1 se poate scrie
cn+1 = w0 − f(w0)[cn, w0; f ]
, w0 ∈ a, b,(4.17)
unde prin [α, β ; f ] s-a notat diferenta divizata a functiei f pe puncteleα, β , adica
[α, β; f ] =f(β)− f(α)
β − α,
ınseamna ca daca [α, β; f ] ≈ 0 , atunci calculul lui xn+1 nu mai este posibil,operatia de ımpartire care intervine ın egalitatile din (4.17) conducand lanumere reale foarte mari (,, overflow”).In situatia ca aplicam metoda lui Newton, avem
tn+1 = tn − f(tn)f ′(tn)
.(4.18)
Metode Numerice 165
• In functie de ordinul de marime al constantelor reale admise de calculator,este foarte utila si impunerea unui criteriu de stop de forma
|[cn, b; f ]| ≤ 10−p sau |[cn, a; f ]| ≤ 10−p,
iar ın cazul metodei lui Newton
|f ′(tn)| ≤ 10−p ,
unde p este un numar natural , de exemplu
p ∈ −35,−40,−50.
In continuare, rezumandu-ne la metoda tangentei , sa retinem numaiurmatoarele variante de STOP :
(S0) Daca|f(tn0)| ≤ EPS si n0 ≤ N ;
(S1) In cazul ın care|f(tn0)| > EPS si n0 = N ;
(S2) ,, Cazul divergent ” , adica
|f ′(tk0)| ≤ 10−p si k0 ≤ N .
4.2.4 Cod de eroare
Este indicat de a introduce ca si parametru de iesire (OUTPUT) o variabila ıntreagaKOD , denumita ,,cod de eroare” care atat sa ilustreze precizia calculelor efectuatede catre sistemul de calcul cat si sa permita un dialog cu utilizatorul.De exemplu , daca programul s-a terminat ın situatia (S0) vom subıntelege ca,,precizia dorita ” a fost atinsa si declaram KOD = 0 . In cazul (S1) , prinexecutarea celor N pasi , iteratii , precizia nu s-a atins : vom atribui lui KODvaloarea 1 . In fine , ın situatia (S2) metoda lui Newton nu este convergenta siKOD := 2 .
4.2.5 Metoda ecuatiilor apropiate
Presupunem ca dorim sa rezolvam ecuatia
f(x) = 0 , x ∈ [a, b](4.19)
ın ipoteza ca (4.19) are ın intervalul [a, b] o singura solutie x .In acest scop aproximam functia f : [a, b] → R cu o functie ,, mai simpla” ( deexemplu cu o functie polinomiala de grad inferior ) Lf . Fie astfel
f(x) ≈ Lf (x) , x ∈ [a, b] .(4.20)
Inseamna ca ecuatiei (4.19) i se ataseaza ın mod natural ,,ecuatia apropiata” Lf (x) ≈0 . Facem ipoteza suplimentara ca ecuatia
Lf (x) = 0 , x ∈ [a, b](4.21)
166 Alexandru Lupas
are ın [a, b] o singura solutie l1 . Datorita simplitatii , s-ar putea ca aceasta solutiea lui (4.21) sa se poata determina efectiv. In aceasta situatie , tinandu-se seama deaproximarea (4.20) consideram
x ≈ l1 .
Desigur, acest rationament se poate ,,itera” , ajungandu-se astfel la termenii unuisir
l1, l2, ..., ln, ln+1, ..., lN , ... .
In final se considera x ≈ ln , urmand a se studia eroarea comisa, convergenta lui(ln) iar ın caz afirmativ existenta unui ordin de convergenta.Vom considera doua exemple.
• Metoda lui Newton . Notam prin
Tf (x) =1∑
k=0
f (k)(t0)k!
(x− t0)k = f(t0) + f ′(t0)(x− t0)
polinomul lui Taylor atasat functiei f presupusa derivabila si strict mono-tona, punctul t0 fiind ales ın [a, b] .Daca ın rationamentul de mai sus se considera Lf ≡ Tf obtinem l1 ≡t1 , deci metoda lui Newton sau metoda tangentei.
• Metoda coardei . Fie L(a, b; f |·) polinomul al lui Lagrange , de grad ≤ 1 careinterpoleaza functia f pe extremitatile intervalului [a, b] , cu alte cuvinte
L(a, b; f |x) = f(a)x− b
a− b+ f(b)
x− a
b− a.
Presupunem ca f(a)f(b) < 0 ın care caz aproximarea
f(x) ≈ L(a, b; f |x) x ∈ [a, b]
si substituirea ,, ecuatiei adevarate” (4.19) cu ,,ecuatiaapropiata” ( ,,ecuatia aproximativa”)
Lf (x) ≡ L(a, b; f |x) = 0 , x ∈ [a, b]
ne furnizeaza l1 ≡ c1 .Astfel am regasit ,, metoda coardei”.Aceasta este o justificare a denumirii ,, Regula Falsi” care se mai atribuiemetodei coardei.
4.2.6 Metoda lui Wegstein
Fie F : [a, b] → [a, b] o functie surjectiva. Se pune problema determinarii aproxi-mative a unui punct fix x al acestei functii adica rezolvarea ecuatiei F (x) = x . Seconsidera algoritmul
y0 = x0 , x1 = F (x0)
yn = F (xn) +F (xn)− xn
xn − yn−1
F (xn)− xn− 1
xn = F (yn−1)
, n ∈ N
unde x0 este un ,, punct de start” din [a, b] .Se demonstreaza ca lim
n→∞xn = x .
Capitolul 5
TESTE PENTRUVERIFICAREACUNOSTIINTELOR
5.1 Test Nr. 1
TA. 1 Ce ınseamna, din punct de vedere experimental, a interpola datele dintr-untabel ?
Indicatie : Din punct de vedere empiric, prin interpolare se poate ıntelege ,, citireaprintre randurile unui tabel” ; de exemplu aceasta ınseamna ca fiind date punctele(distincte) x0, x1, . . . , xm si valorile y0, y1, . . . , ym , deci tabelul
x x0 x1 . . . xk−1 x xk . . . xm
f(x) y0 y1 . . . yk−1 ? yk . . . ym,
sa ıncercam ca prin intermediul lui F sa atribuim lui f(x) ,xk−1 < x < xk , o anumita valoare aproximativa.In practica se efectueaza aproximarea
f(x) ≈ F (x) ,
urmand ulterior evaluarea restului f(x)−F (x) care exprima eroarea ce se comite.De obicei functiile F se aleg ca fiind reale si definite pe un interval [a, b] carecontine punctele distincte x0, x1, . . . , xm . Pentru ca ele sa fie usor de manuit vomconsidera ca sunt dintr-un subspatiu liniar, de dimensiune finita, al lui C[a, b] .
TA. 2 Care este definitia unui sistem Cebısev ? Enumerati cateva proprietati aleunui sistem Cebısev complet.
Indicatie : Un sistem u0, u1, . . . , um unde uj : [a, b] → R se numestesistem Cebısev (sau T-sistem) de ordinul m pe [a, b] daca orice combinatie liniaranenula a acestor functii
m∑
k=0
αkuk(t) ,
( m∑j=0
α2j > 0
)
167
168 Alexandru Lupas
are cel mult m zerouri pe [a, b]. Functiile
u0, u1, . . . , um ; uj ∈ C[a, b] ,
formeaza un sistem Cebısev complet, de ordinul m pe [a, b] , pe scurt unCT-sistem, daca multimile
u0, u1, . . . , ur , r ∈ 0, 1, . . . , m ,
sunt sisteme Cebısev pe [a, b] .Dintre proprietati amintim :Fie x1, x2, . . . , xm puncte distincte din [a, b] si u0, u1, . . . , umun CT-sistem. Atunci :
a) Exista ın ınvelitoarea liniara a CT-sistemului un elementnenul P0 cu proprietatea
P0(x1) = 0, P0(x2) = 0 , . . . , P0(xm) = 0 .(5.1)
In plus
P0(x) = ∆(
u0, u1, . . . , um
x, x1, . . . , xm
).(5.2)
satisface egalitatile (5.1).b) Daca
Q(x) = β0u0(x) + β1u1(x) + . . . + βmum(x) ,
m∑
k=0
|βk| > 0 ,
verificaQ(x1) = 0, Q(x2) = 0, . . . , Q(xm) = 0 ,
atunci exista C ∈ R \ 0 , astfel ıncat Q(x) = C · P0(x) , ∀x ∈ [a, b] .
TA. 3 Ce se ıntelege prin termenul de ,, polinom generalizat” ?
Indicatie : Daca u = u0, u1, . . . , um este un CT-sistem atunci
P (x) =r∑
k=0
αkuk(x) , αk ∈ R , 0 ≤ r ≤ m ,(5.3)
se numeste polinom generalizat sau u-polinom.
TA. 4 Enuntati problema interpolarii prin polinoame generalizate.
Indicatie : Presupunem ca u0, u1, . . . , um, um+1 este un CT-sistem pe [a, b] . Prinsistem de m + 1 puncte distincte
x0, x1, . . . , xm
din [a, b] vom ıntelege ca xi 6= xj pentru i 6= j , 0 ≤ i, j ≤ m. Notam
u = u0, u1, . . . , um .
Metode Numerice 169
Problema interpolarii prin polinoame generalizate se poate enunta astfel : Fiind datao functie f : [a, b] → R si sistemul de puncte distincte din [a, b]
x0, x1, . . . , xm(5.4)
se cere sa se studieze existenta si unicitatea unui polinom Lm = Lm(f ; .) , Lm ∈Πm(u), astfel ıncat
Lm(xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . ,m.
In cazul ın care Lm exista si este unic sa se gaseasca o expresie convenabila apolinomului generalizat Lm .
TA. 5 Ce se ıntelege prin notiunea de diferenta divizata relativa la un sistem Cebısevcomplet ?
Indicatie : Se arata ca exista un singur polinom Lm(f ; .) ∈ Πm(u) astfel ıncat
Lm(f ; xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . , m .
Polinomul Lm(f ; ·) cu proprietatile :1) Lm(f ; ·) ∈ Πm(u)2) Lm(f ; xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, . . . , mse numeste polinomul generalizat de interpolare al lui Lagrange atasat functiei f sinodurilor distincte x0, x1, . . . , xm. Diferenta divizata este coeficientul lui um(x) ınLm(f ;x) .
TA. 6 Scrieti polinomul de interpolare al lui Lagrange. Enumerati cateva pro-prietati ale acestui polinom de interpolare.
Indicatie : Amintim reprezentarea urmatoare : Se noteaza cu ϕk,m, k = 0, 1, ..., m,polinoamele fundamentale de interpolare ale lui Lagrange. Deci
ϕk,m(x) =(5.5)
=(x− x0)(x− x1)...(x− xk−1)(x− xk+1)...(x− xm)
(xk − x0)(xk − x1)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xm)sau
ϕk,m(x) =ω(x)
(x− xk)ω′(xk)
unde
ω(x) =m∏
j=0
(x− xj) .
Polinomul Lm(x0, x1, ..., xm; f |·) verifica egalitatile :1. (reprezentarea): daca f : [a, b] → R , atunci
Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) =m∑
k=0
ϕk,m(x)f(xk) ;
170 Alexandru Lupas
2. (liniaritatea): f, g ∈ D[a, b] , α, β ∈ R , implica
Lm(x0, x1, ..., xm; αf + βg|x) =
= αLm(x0, x1, ..., xm; f |x) + βLm(x0, x1, ..., xm; g|x) ;
3. (proprietatea de proiectie): daca h ∈ Πm, atunci
h = Lm(x0, x1, ..., xm; h|·) ;(5.6)
4. (relatia de recurenta) :
Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) =(5.7)
=x− x0
xm − x0Lm−1(x1, x2, ..., xm; f |x)− x− xm
xm − x0Lm−1(x0, x1, ..., xm; f |x)
5. (proprietatea de interpolare): daca f ∈ D[a, b], avem
Lm(x0, x1, ..., xm; f |xj) = f(xj) , j = in0, 1, ..., m;6. (reprezentarea restului): presupunand ca x 6= xj , avem
f(x)− Lm(x0, x1, ..., xm; f |x) = ω(x)[x, x0, x1, ..., xm; f ] .(5.8)
TA. 7 Scrieti polinomul lui Lagrange corespunzator diviziunii echidistante. Dar ıncazul nodurilor lui Cebısev ?
Indicatie : Fie
xk = x0 + kh , k ∈ 0, 1, ..., m ; h 6= 0 .
Atunci
ω(x) = hm+1m∏
j=0
(x− x0
h− j
)
ω′(x0 + kh) = (−1)m−khmk!(m− k)!.
Se obtineLm(x0, x0 + h, ..., x0 + mh; f |x) =
= (m + 1)( x−x0
h
m + 1
) m∑
k=0
(−1)m−k
(m
k
)f(x0 + kh)
x−x0h − k
=
m∑
k=0
(−1)m−k
(x−x0h
k
)(x−x0h − k − 1m− k
)f(x0 + kh)
Cazul nodurilor lui Cebısev. Daca
xk = tk = cos(2k − 1)π
2n, k ∈ 1, 2, ..., n , (m = n− 1)
atunci ω(x) = 12n−1 Tn(x) , Tn(x) = cos n(arccos x) si
ω′(tk) =n
2n−1· (−1)k−1
√1− t2k
.
Metode Numerice 171
Avem
Ln−1(t1, ..., tn; f |x) =1n
n∑
k=1
(−1)k−1 Tn(x)√
1− t2kx− xk
f(tk).
Notand ω0 =1π
, ωj =2π
, j ≥ 1 , are loc egalitatea
n∑
j=0
ωjTj(x)Tj(t) =1π
Tn+1(x)Tn(t)− Tn(x)Tn+1(t)x− t
.
Sa alegem ın aceasta identitate t = tk ; . Dupa efectuarea unor calcule, ın final seobtine
Ln−1(t1, t2, ..., tn; f |x) =π
n
n∑
j=0
ωjTj(x)n∑
k=1
f(tk)Tj(tk) .
Daca [f, g] =π
n
n∑
k=1
f(tk)g(tk) . Atunci
Ln−1(t1, t2, ..., tn; f |x) =n∑
j=0
ωj [f, Tj ]Tj(x).(5.9)
TA. 8 Daca P ∈ Πm siQ(x) = A(x − x0)(x − x1)...(x − xm), A 6= 0, xi 6= xj pentru i 6= j, se cere sa segaseasca coeficientii Ck din egalitatea
P (x)Q(x)
=m∑
k=0
Ck
x− xk.
Indicatie : Proprietatea de proiectie ne permite sa scriem
P (x) =m∑
k=0
Q(x)(x− xk)Q′(xk)
P (xk)
adica Ck =P (xk)Q′(xk)
.
TA. 9 Fie P ∈ Πm , xk = x0 + kh si presupunem ca
P (x) = a0xm + ...
verifica |P (x)| ≤ 1 , x ∈ [0, 1] .Gasiti o margine superioara a coeficientului a0 .
Indicatie : Folosim teoria interpolarii. Alegınd x0 = 0 si h = 1m gasim
P (x) =[0,
1m
,2m
, ..., 1; P]xm + ... ,
deci
a0 =m∑
k=0
(−1)m−kmm
k!(m− k)!P
(k
m
).
172 Alexandru Lupas
Prin urmare
|a0| ≤ mm
m!
m∑
k=0
(mk
)=
(2m)m
m!
ceea ce constituie o evaluare a coeficientului dominant.
TA. 10 Care este polinomul de interpolare al lui Newton ?
Indicatie : Folositi urmatoarea relattie de recurenta : daca Nm(x0, x1, .., xm; f |x) estesingurul polinom de grad ≤ m cu proprietatea de interpolare
Nm(x0, x1, .., xm; f |xj) = f(xj) , j ∈ 0, 1, .., m , xi 6= xj , i 6= j,
atunci Nk(x0, x1, .., xk; f |x)−Nk−1(x0, x1, .., xk−1; f |x) == (x− x0)(x− x1)...(x− xk−1)[x0, x1, ..., xk; f ] .
5.2 Test Nr. 2
TB. 1 Cum se definesc numerele lui Stirling ?
Indicatie : Sa consideram urmatoarele doua baze ale spatiului Πm :
B1 = 1, x, x2, ..., xmB2 = 1, , x, , x(x− 1) , ..., . . . , x(x− 1)(x−m + 1) .
Se impune de a studia ,, matricea de trecere de la baza B1 la B2” sau matricea detrecere de la baza B2 la B1. Intervin astfel ,, coeficientii de legatura” s(n, k) siS(n, k) din egalitatile
x[n] = x(x− 1)(x− n + 1) =n∑
k=0
s(n, k)xk , 0 ≤ n ≤ m,
si respectiv
xn =n∑
k=0
S(n, k)x(x− 1)(x− k + 1)︸ ︷︷ ︸x[k]
.
In literatura de specialitate, se utilizeaza terminologia:s(n, k) , k ∈ 0, 1, ..., n= numerele lui Stirling de speta ıntaia, S(n, k) =
numerele lui Stirling de speta a doua.Numerele S(n, k) se pot exprima elegant prin intermediul unei diferente divizate :alegand f(x) = xn , x0 = 0 , h = 1, gasim
xn =n∑
k=0
[0, 1, ..., k; en]x(x− 1) · · · (x− k + 1)︸ ︷︷ ︸=x[k]
ceea ce ınseamna caS(n, k) = [0, 1, ..., k; en] .
Metode Numerice 173
TB. 2 Fie A : D[a, b] → R o functionala liniara, de forma
A(f) =n∑
k=0
ckf(xk)(5.10)
unde ck este independent de f si xi 6= xj pentru i 6= j.Se cere sa se gaseasca coeficientii ak din egalitatea
A(f) =n∑
k=0
ak[x0, x1, ..., xk; f ]
Indicatie : Se gaseste ak =n∑
j=k
cj(xj − x0)...(xj − xk−1) = A(ψk) , unde
ψk(t) = (t− x0)...(t− xk−1) , k ≥ 1, ψ0(t) = 1.
TB. 3 Operatorul lui Bernstein este Bn : D[0, 1] → Πn unde
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−kf
(k
n
).
Se pune problema de a cerceta comportarea acestui operator pe subspatiul Πm , m ≤n . Aratati ca are loc implicatia
h ∈ Πm =⇒ Bnh ∈ (Πm) .
Indicatie : Folosind polinomul de interpolare al lui Newton, avem
n∑
k=0
ckf
(k
n
)=
n∑
k=0
ak
[0,
1n
,2n
, ...,k
n; f
]
unde
ak =k!nk
n−k∑
j=0
(j + k
k
)cj+k .
In particular, pentru ck =(nk
)xk(1− x)n−k
ak =n!
nk(n− k)!xk
n−k∑
j=0
(n− k
j
)xj(1− x)n−k−j =
k!nk
(n
k
)xk
ceea ce implica
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−kf
(k
n
)=
=n∑
k=0
k!nk
(n
k
)[0,
1n
, ..,k
n; f
]xk .
(5.11)
174 Alexandru Lupas
Daca ın continuare presupuem h ∈ Πm avem
[0,
1n
, ..,k
n; h
]= 0 pentru k ≥ m + 1
iar (5.11) atrage dupa sine Bnh ∈ Πm .
TB. 4 Cum se reprezinta restul ın interpolarea unei functii f ∈ Cn+1[a, b] cuajutorul polinomului lui Lagrange , sau Newton, construit pe un sistem de n +1 puncte distincte din [a, b] ?
Indicatie : f(x)− (Lmf)(x) = ω(x)f (m+1)(ξ)(m + 1)!
, ξ ∈ (a, b) .
TB. 5 Formulati problema interpolarii pe noduri multiple (Hermite).
Indicatie : Fie(∆) : x1 < x2 < . . . < xn(5.12)
un sistem de puncte distincte situate ıntr-un interval [a, b]. Sa consideram nu-merele naturale α1, α2, . . . , αn si fie α = (α1, α2, . . . , αn) . Se noteaza prin Dα[a, b]multimea tuturor functiilor f : [a, b] → R cu proprietatea ca exista derivatele
f (α1−1)(x1), f (α2−1)(x2), . . . , f (αn−1)(xn) .
Punctul α ∈ Nn este ,, vectorul de incidenta atasat diviziunii (∆)” .Problema interpolarii pe puncte distincte se poate extinde ın urmatoarea maniera :fiind data o submultime H din Dα[a, b] se cere sa se studieze existenta unui operator
H : Dα[a, b] → H
cu proprietatea ca oricare ar fi f din Dα[a, b] functia Hf sa aiba cu f pe punctelex1, x2, . . . , xn contacte de ordin α1 − 1, α2 − 1, . . . , αn − 1 . Aceasta va ınsemna capentru k ∈ 1, 2, . . . , n
(Hf)(j)(xk) = f (j)(xk) , 0 ≤ j ≤ αk − 1 .(5.13)
TB. 6 Daca prin HNf se noteaza polinomul de interpolare al lui Hermite core-spunzator nodurilor (), se cere sa se gaseasca expresia analitica a lui
(H2n−1f) (x) := H2n−1(x1, x1, x2, x2, . . . , xn, xn; f |x) .
Indicatie : (B) Cazul nodurilor duble : ın aceasta situatie
α1 = α2 = . . . = αn = 2 , N = 2n− 1 .
Daca w(t) =n∏
k=1
(t− xk) , din (1.68) obtinem
aj(k) =dj
dtj
(t− xk
w(t)
)2∣∣∣∣∣t=xk
,
Metode Numerice 175
adica a0(k) =1
w′2(xk), a1(k) = −w′′(xk)
w′3(xk).
Cu notatia φk(x) =[
w(x)(x−xk)w′(xk)
]2
se obtine
H2n−1(x1, x1, x2, x2, . . . , xn, xn; f |x) =n∑
k=1
φk(x)Ak(f ; x) ,
unde Ak(f ;x) := f(xk) + (x− xk)[f ′(xk)− w ′′(xk)
w ′(xk)f(xk)
].
TB. 7 In ipoteza ca se cunosc valorile unei functii f(x, y) pe punctele
M0,0 , M1,0 , M0,1 , M1,1 ,
?• •
• •
se cere sa se aproximeze valorile pe nodurile Mk,j ale retelei , astfel ca aproximareasa fie exacta pentru orice polinom de doua variabile de forma h(x, y) = axy + bx+cy + d .
Indicatie : Se poate considera o aproximare de forma
fk,j = αf0,0 + βf1,0 + γf0,1 + δf1,1 + r(f)
unde r(f) este restul aproximarii. Parametrii α, β, γ, δ se gasesc din conditia
r(h) = 0 , ∀ h = axy + bx + cy + d
ceea ce este acelasi lucru ca egalitatea
αf(x0, y0) + βf(x0 + h1, y0) + γf(x0, y0 + h2)++δf(x0 + h1, y0 + h2) = f(x0 + kh1, y0 + jh2)
sa fie verificata pentru
h0(x, y) = 1 , h1(x, y) = x , h2(x, y) = y , h3(x, y) = xy .
Se obtine solutia
(α∗, β∗, γ∗, δ∗) = ((1− k)(1− j), k(1− j), j(1− k), kj) .
Se va efectua aproximarea
f(Mk,j) ≈ (1− k)(1− j) · f(x0, x0) + k(1− j) · f(x0 + h1, y0)+
+j(1− k) · f(x0, y0 + h2) + kj · f(x0 + h1, y0 + h2).
176 Alexandru Lupas
5.3 Test Nr. 3
TC. 1 Descrieti algoritmul lui Aitken-Neville.
Indicatie : Fie x1, x2, . . . , xN un sistem de puncte distincte doua cate doua .Se pune problema implementarii formulei lui Lagrange. Mai precis, notam prinL(x) polinomul de interpolare de grad ≤ N − 1 atasat datelor experimentale dintabelul urmator
x x1 x2 . . . xN
f(x) y1 y2 . . . yn(5.14)
unde y1 = f(x1), y2 = f(x2), ..., yN = f(xN ) . Daca L(x) = LN−1 (x1, x2, . . . , xN ; f |x) iarpentru un x cunoscut, se noteaza
Pj = L0 (xj ; f |x)Pij = L1 (xi, xj ; f |x)
...Pi1i2...iν = Lν−1 (xi1 , x12 , . . . , xiν ; f |x) .
...
Cu aceste notatii , se constata ca
L(x) = P123...N ,
ceea ce reprezinta raspunsul dorit.Pe de alta parte , conform relatiei de recurenta pe care o satisfac polinoamele deinterpolare, avem
Recurenta (*)
Pi(i+1)...(i+m) =(x− xi+m)Pi(i+1)...(i+m−1) + (xi − x)P(i+1)(i+2)...(i+m)
xi − xi+m.
Algoritmul lui Aitken-Neville se bazeaza pe aceasta egalitate . De exemplu, pentruN = 4 , avem un singur descendent P1234 care se poate gasi dupa algoritmulurmator :
x1 y1 = P1
P12
x2 y2 = P2 P123
P23 P1234
x3 y3 = P3 P234
P34
x4 y4 = P4
(5.15)
Algoritmul lui Aitken- Neville este o modalitate recursiva de a completa numereleın acest tablou, cate o coloana de fiecare data, de la stanga la dreapta. Se bazeazape relatia de recurenta mentionata dintre un ,, fiu” Pi1i2...iν si cei doi ,, parinti” ailui
Pi1i2...iν−1 si Pi2i3...iν .
Metode Numerice 177
TC. 2 O aproximare a Laplacianului. Cunoscand f(x, y) pe punctele
M0,1
M−1,0 M0,0 M1,0
M0,−1
,
•
−•− −•− −•−
•
se cere sa se determine o valoare aproximativa Laplacianului
∇2f0,0 :=∂2f(x, y)
∂x2+
∂2f(x, y)∂y2
∣∣∣∣(x,y)=(x0,y0)
.
Indicatie : Se obtine
∇2f0,0 ≈ 1h2
(f1,0 + f0,1 + f−1,0 + f0,−1 − 4f0,0) .
TC. 3 Aproximati numarul ∇2f0,0 cu ajutorul valorilor lui f(x, y) pe punctelementionate ın figura alaturata
•
•
−•− −•− −•−−•−−•−
•
•
Gasim
∇2f0,0 ≈ 1h2
[−5f0,0 +
43
(f1,0 + f0,1 + f−1,0 + f0,−1) −
− 112
(f2,0 + f0,2 + f−2,0 + f0,−2)]
.
TC. 4 Fie a ≤ x0 < . . . < xn ≤ b si f : [a, b] → R . Sa se gaseasca o altaexpresie analitica a functiei ω(x)
[x0, . . . , xn; f(t)
x−t
]t, x ∈ R, x 6= xj unde ω(x) =
(x− x0) · · · (x− xn) .
Indicatie : Are loc egalitatea
Ln(x0, x1, . . . , xn; f |x) = ω(x)[x0, . . . , xn;
f(t)x− t
]
t
178 Alexandru Lupas
TC. 5 Daca a este un numar real diferit de un ıntreg nepozitiv, se cere sa se arateca [
0, 1, . . . , n ;1
a + t
]
t
=(−1)n
a(a + 1) · · · (a + n)=
(−1)nΓ(a)Γ(a + n + 1)
.
Indicatie : Utilizati problema TC.4.
TC. 6 Daca
Ln(x0, x1, . . . , xn; f |x) = [x0, x1, . . . , xn; f ] xn + Bn(f)xn−1 + . . .
aratati ca Bn poseda proprietatile :
Bn(f) = [x0, x1 . . . , xn; e1f ]− [x0, x1 . . . , xn; en+1] [x0, x1 . . . , xn; f ]
Bn(h) = 0, ∀h ∈ Πn−2 , Bn(en−1) = 1 .
Indicatie : Se va folosi exprimarea polinomului lui Lagrange ca si o combinatieliniara a valorilor functiei. Determinand coeficientul lui xn−1 , acesta ın realitateva coincide Bn(f) .
TC. 7 Fie Un(x) =arcsin ((n + 1) arccos x)
(n + 1)√
1− x2. Calculati Uk(x) pentru k ∈
0, 1, 2, 3, 4 . Aratati ca
Un(x) =2n
n + 1xUn−1x− n− 1
n + 2Un−2(x) .
Justificati ca Un(x) este un polinom de grad efectiv egal cu n .
Indicatie : U0(x) = 1, U1(x) = x, U2(x) = 4x2−13 , U3(x) = 2x3 − x, U4(x) =
15
(16x4 − 12x2 + 1
). Folositi formula sin(φ+ψ) = sin φ cos ψ+sin ψ cos φ , precum
si faptul ca cos(arccos x) = x .
5.4 Test Nr. 4
TD. 1 Care este forma generala a unei formule de derivare numerica destinatacalculului aproximativ al lui f ′(x0) ?
Indicatie : vezi (2.1).
TD. 2 Precizati conditii necesare si suficiente pe care trebuie sa le satisfaca restulformulei de cuadratura
f ′(x0) = Dn(x0; a, b; f) + Rn(f ; x0)
Dn(x0; a, b; f) :=1h
n∑
k=1
akf(x0 + hbk), (n ≥ 2),(5.16)
astfel ıncat sa aiba gradul de exactitate p .
Metode Numerice 179
Indicatie : Daca se noteaza
e0(x) = 1 , e1(x) = x− x0 , . . . , ep(x) = (x− x0)p ,
atunci polinoamele e0, e1, . . . , ep, constituie o baza a spatiului liniar Πp . Conditiaca (5.16) sa aiba gradul de exactitate p este
Rn(h, x0) = 0 , ∀h ∈ Πp.(5.17)
Dar (5.17) este echivalenta cu
Rn(ej ; x0) = 0 pentru j ∈ 0, 1, . . . , p .(5.18)
Prin urmare este necesar si suficient ca sa fie verificate egalitatile
Rn(e0;x0) = − 1h
n∑
k=1
ak
Rn(e1;x0) = 1−n∑
k=1
akbk
Rn(ej ;x0) = −hj−1n∑
k=1
akbjk, j ∈ 2, 3, . . .
(5.19)
TD. 3 Care sunt parametrii de control ai unei formule de derivare numerica deforma (5.16)? Cu ajutorul parametrilor de control, scrieti conditia necesara sisuficienta pe care acestia trebuie sa o verifice astfel ca restul formulei (5.16) sa seanuleze pentru price polinom h ∈ Πp .
Indicatie : Numerele σ0, σ1, . . . , σp , unde
σ0 =n∑
k=1
ak , σj =n∑
k=1
akbjk , j ∈ 1, 2, . . . , p
sunt parametrii de control corespunzatori unei formule de derivarenumerica de forma (5.16) , cu gradul de exactitate p . O conditie necesara sisuficienta pentru ca formula de derivare numerica (2.3) sa aiba gradul de exactitatep , p ≥ 2 , este ca
(σ0, σ1, σ2, σ3, . . . , σp) = (0, 1, 0, 0, . . . , 0) .(5.20)
TD. 4 Gasiti o conditie necesara si suficienta , exprimata matricial, pe care trebuiesa o verifice (5.16) astfe ca ea sa aiba gradul de exactitate p .
Indicatie : Formula de derivare numerica de forma (5.16) are gradul de exactitatep, p ≥ 2, daca si numai daca
1 1 . . . 1b1 b2 . . . bn
b21 b2
2 . . . b2n
...... . . .
...bp1 bp
2 . . . bpn
a1
a2
a3
...an
=
010...0
(5.21)
180 Alexandru Lupas
TD. 5 Sa consideram formula de derivare numerica (5.16) avand gradul de exac-
titate p , cu p ≥ n . Cum trebuie sa fie produsul P :=n∏
k=1
bk ?
Indicatie : P 6= 0 . Pentru demonstratie procedati prin reducere la absurd.
TD. 6 Care este gradul de exactitate maxim posibil, al unei formule de derivarenumerica de forma (5.16) ?
Indicatie : p = n . Problema mai dificila este de a justifica existenta formulelor cugrad maxim de exactitate, adica al formulelor optimale de derivare numerica. Pentruaceasta se apeleaza la inversarea matricei Vandermonde. In acest sens a se vedea(2.17) si (2.18).
TD. 7 Caracterizati multimea tuturor formulelor de derivare numerica de forma(5.16) care sunt optimale din punct de vedere al gradului de exactitate.
Indicatie : Singurele formule de derivare numerica de forma
f ′(x0) =1h
n∑
k=1
akf (x0 + h · bk) + Rn(f ; x0)
( n ≥ 2 , h 6= 0) )
care au gradul maxim de exactitate n sunt acelea ın care :(i) b1, b2, . . . , bn sunt diferite de zero, distincte doua cate doua,
astfel ıncat
(ii)n∑
k=1
1bk
= 0 , si
(iii) pentru k ∈ 1, 2, . . . , n
ak = l ′k(0)
lk(x) =ω(x)
(x− bk)ω ′(bk)
ω(x) =n∏
j=1
(x− bj) .
Acest rezultat se poate enunta si sub urmatoarea forma :Formulele de derivare numerica de forma (5.16) care au gradul maxim de exactitaten sunt
f ′(x0) = (−1)n−1 b1b2 · · · bn
h
n∑
k=1
f(x0 + h · bk)ω ′(bk)b2
k
+ Rn(f ; x0)(5.22)
unde bj 6= 0 , j = 1, 2, . . . , n , bi 6= bj pentru i 6= j si
n∑
k=1
1bk
= 0 .
TD. 8 Gasiti multimea formulelor de derivare , construite pe doua noduri, caresunt optimale.
Metode Numerice 181
Indicatie : Sa consideram
n = 2 si1b1
+1b2
= 0 , (b1, b2) ∈ Bh2 .
Deducem imediat ca formulele de derivare numerica pe doua noduri sunt de forma
f ′(x0) ≈ f(x0 + hb1)− f(x0 − hb1)2hb1
.
Notand ε = hb1 , ε 6= 0 va rezulta ca ın cazul a doua noduri ,singurele formuleoptimale de derivare numerica avand gradul maxim de exactitate p = 2 este
f ′(x0) =f(x0 + ε)− f(x0 − ε)
2ε+ r(f ;x0) ,(5.23)
unde, pentru ε 6= 0 fixat, r(f ; x0) reprezinta restul formulei de derivare numerica.Fara sa restrangem generalitatea, vom presupune ε > 0 .Daca I = [a, b] , x0 ∈ I , atunci pentru ca
x0 − ε ∈ [a, b] , x0 + ε ∈ [a, b]
este necesar si suficient sa fie verificate inegalitatile
0 < ε ≤ b− a
2−
∣∣∣∣x0 − a + b
2
∣∣∣∣ .
TD. 9 Daca f ∈ C3[a, b] scrieti o reprezentare a restului r(f ; x0) din formula(5.23).
Indicatie : Fie f ∈ C(3)[a, b] si
0 < ε ≤ b− a
2−
∣∣∣∣x0 − a + b
2
∣∣∣∣ , x0 ∈ [a, b] .
Daca
f ′(x0) =f(x0 + ε)− f(x0 − ε)
2ε+ r(f ;x0) ,
atunci exista cel putin un punct ξ = ξ(f, x0, ε), ξ ∈ (x0 − ε, x0 + ε), astfel ıncat
r(f ; x0) = − ε2 f ′′′(ξ)3!
.
TD. 10 Se considera formula de derivare numerica
f ′(x0) =32f (x0 + 3h)− 27f (x0 − 2h) + 5f (x0 + 6h)
120h+ R3(f ; x0)
unde x0 − 2h < µ < x0 + 3h iar R3(f ; x0) este restul. Care este gradul deexactitate al acestei formule ? Din punct de vedere computational, ce particularitateare formula ? Reprezentati restul pe spatiul C4[a, b] .
Indicatie : p = 3 , deci formula este optimala. Coeficientii formulei sunt numererationale. Restul admite reprezentarea
R3(f ; x0) =32h3f (4)(µ) .
182 Alexandru Lupas
5.5 Test Nr. 5
TE. 1 Ce se ıntelege printr-o pondere pozitiva pe un interval ? Prezentati exemplede ponderi pozitive.
Indicatie : O functie w :< a, b >→ [0, +∞) cu proprietatile
1) pentru orice k ∈ N , exista integralele
b∫
a
tkw(t) dt ;
2)
b∫
a
w(t) dt > 0 , se numeste pondere pozitiva pe intervalul (a, b) .
Exemple de ponderi
Conditiiw(t) Denumire impuse asupra Intervalul (a, b)
parametrilor
w1(t) = (b− t)p(t− a)q Jacobi p > −1 , q > −1 (a, b)
w2(t) = e−ttα Laguerre α > −1 (0, +∞)
w3 = e−t2 Hermite — (−∞, +∞)
w4(t) = e−t4 Freud — (−∞,∞)
TE. 2 Ce este o formula exacta de cuadratura , pe noduri simple ?
Indicatie :
b∫
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + Rn(f) . Numerele reale c1, ..., cn se
numesc coeficientii formulei de cuadratura, iar Rn(f) reprezinta restul formulei.
TE. 3 Definiti gradul de exactitate al unei formule de cuadratura de forma
b∫
a
f(t)w(t) dt =n∑
k=1
ckf(zk) + Rn(f) .(5.24)
Indicatie : O formula de cuadratura are gradul de exactitate m daca
Rn(e0) = 0 , Rn(e1) = 0 , ..., Rn(em) = 0 .(5.25)
Daca ın plus Rm(em+1) 6= 0 spunem ca formula de cuadratura are gradul deexactitate efectiv egal cu m .
Metode Numerice 183
TE. 4 Presupunem ca formula (5.24) are gradul de exactitate m . Ce legaturiexista ıntre m si n ?
Indicatie : Sa consideram nodurile z1 < z2 < ... < zn fixate. Daca m este unnumar natural m ≤ n− 1 , atunci
i) pentru m < n− 1 exista o infinitate de formule care au gradul deexactitate m ;
ii) ın cazul m = n− 1 exista o singura formula de cuadratura. De aseme-nea m ≤ 2n− 1 .
TE. 5 Indicati o modalitate de marire a gradului de exactitate al unei formule decuadratura de tip interpolator.
Indicatie : Consideram formulele
b∫
a
f(t)w(t)dt =p∑
k=1
akf(xk) + rp(f)
b∫
a
f(t)w(t)dt =q∑
k=1
bkf(yk) + εq(f)
Daca resturile rp si εq verifica conditiile
rp(h) = εq(h) = 0 ∀h ∈ Πm ,
∆ : = εq(em+1)− rp(em+1) 6= 0 ,
atunci formula de cuadraturab∫
a
f(t)w(t) dt = α
p∑
k=1
akf(xk) + (1− α)q∑
k=1
bkf(yk) + R(f)(5.26)
unde α =εq(em+1)
∆, are gradul de exactitate m + 1 . In plus
R(f) = αrp(f) + (1− α)εq(f)
TE. 6 Care este gradul de exactitate al formulei
b∫
a
f(t) dt = (b− a)f(
a + b
2
)+ r(f) ?(5.27)
Indicatie : m = 1 .
TE. 7 Considerand formulele exacte de cuadratura∫ b
a
f(t) dt = (b− a)f(a + b
2− λ
b− a
2
)+ r1(f)
si ∫ b
a
f(t) dt = (b− a)f(a + b
2+ µ
b− a
2
)+ ε1(f) ,
unde λ , µ ∈ (0, 1] , gasiti o formula de cuadratura pe trei noduri, avnd gradul deexactitate 5 .
184 Alexandru Lupas
Indicatie : Avemr1(e0) = ε1(e0) = 0
r1(e1) = λ(b− a)2
2, ε1(e1) = −µ
(b− a)2
2Aceasta ınseamna ca cele doua formule au gradul de exactitate efectiv egal cu m=0.Se obtine
α =µ
µ + λ.
Prin urmare formula de cuadratura∫ b
a
f(t) dt =(5.28)
=b− a
µ + λ
(µf
(a + b
2− λ
b− a
2
)+ λf
(a + b
2+ µ
b− a
2
))+ R(f)
are gradul de exactitate m = 1 . In plus
R(e2) =(b− a)3
12(1− 3µλ) .
Sa repetam procedeul descris anterior considerand ca si formule de referinta pe(5.27) si (5.28). In aceasta situatie
α =R(e2)
R(e2)− r(e2)= 1− 1
3µλ.
Formula (5.26) se scrie sub forma
∫ b
a
f(t)dt =(5.29)
b− a
3µλ(µ + λ)
(µf
(a + b
2− λ
b− a
2
)+ (µ + λ)(3µλ− 1)f
(a + b
2
)+
+λf(a + b
2+ µ
b− a
2
))+ R0(f)
iarR0(e0) = R0(e1) = R0(e2) = 0 ,
R0(e3) =(b− a)4
24(λ− µ) .
Rezulta ca daca λ 6= µ , atunci (5.29) are gradul de exactitate efectiv egal cudoi . Pentru λ = µ , deci ∫ b
a
f(t)dt =(5.30)
=b− a
6µ2
(f(a + b
2− µ
b− a
2
)+ 2(3µ2 − 1)f
(a + b
2
)+
Metode Numerice 185
+f(a + b
2+ µ
b− a
2
))+ R1(f) , µ ∈ (0, 1] ,
atunci gradul de exactitate al acestei formule este m = 3 . Prin efectuarea unorcalcule elementare se arata ca au loc si egalitatile
R1(e4) =(b− a)5
48
(35− µ2
).
In aceasta maniera constatam ca daca
µ ∈ R , |µ| =√
35
,
atunci gradul de exactitate al formulei (5.30) se va mari.Intr-adevar, formula de cuadratura
∫ b
a
f(t) dt =(5.31)
=5(b− a)
18
(f(a + b
2−
√35
b− a
2
)+
85f(a + b
2
)+
+f(a + b
2+
√35
b− a
2
))+ RG(f)
are gradul de exactitate m = 5 . Totodata
RG(e6) 6= 0 mai precis RG(e6) =(b− a)6
2800.
5.6 Test Nr. 6
TF. 1 Fie f(x) = x3 − 2x + 2 . Justificati faptul ca ecuatia
f(x) = 0 , x ∈ [−2, 1]
are o singura radacina . Aplicam metoda lui Newton
xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn)
, n ∈ 0, 1, ...(5.32)
aceste ecuatii. Alegeti ,, punctul de start” x0 = 0 .Este convergent sirul (xn)∞n=1 ?Dar ın cazul ın care x0 6= 0 si |x0| < 1
10 ?
Indicatie : Avem (sirul lui Rolle)
x −2 −√
23
√23 1
f ′(x) 0 0f(x) − + + +
186 Alexandru Lupas
si deci ecuatia are o singura radacina x ∈ [−2, 1] . Sirul din metoda lui Newton(5.32) se obtine din
xn+1 =2(x3
n − 1)3x2
n − 2, n = 0, 1, ... .
Daca x0 = 0 , atunci
xn =1− (−1)n
2ceea ce ınseamna ca sirul (xn) nu este convergent.Este interesant de a programa algoritmul si de a vedea ce se ıntampla daca alegempunctul de start x0 astfel ca x0 6= 0 , |x0| < 0.1 . O explicatie ale acestor chestiuniconsta ın faptul ca derivata f ′ se anuleaza ın intervalul unde cautam solutia.
TF. 2 Fie seria hipergeometrica a lui Gauss
2F1(a, b; c; z) =∞∑
k=0
(a)k(b)k
(c)k
zk
k!.
Alcatuiti un algoritm pentru determinarea primelor 10 zecimale exacte ale celei maimari radacini (reale) a ecuatiei
2F1(−5, 6 ; 1 ;1− x
2) = 0 .
Indicatie : Au loc egalitatile
2F1(−5, 6 ; 1 ;1− x
2) =
=5∑
k=0
(−1)k
(5k
)(6)k
k!
(1− x
2
)k
=
=1
25 · 5!
((x2 − 1
)5)(5)
= C · xg(x) ,
g(x) = x4 − 109
x2 +521
.
Ramane sa aproximam cea mai mare radacina a ecuatiei
g(x) = 0 .
Se constata ca aceasta se afla situata ın intervalul(
1721 , 1
).
In continuare aplicati o metoda iterativa.
TF. 3 Daca f(x) = x3 − 5x , x0 = 1 iar (xn) este sirul cu termenii generati de(5.32), aratati ca
x0 = x2 = x4 = ... = +1x1 = x3 = x5 = ... = −1 .
Indicatie : Gasim
xn+1 =2x3
n
3x2n − 5
, x0 = 1 .
Astfel x1 = −1 , x2 = 1 , x3 = −1 etc....
Metode Numerice 187
TF. 4 Rezolvati numeric ecuatia
xex − λ = 0 , x ∈ [0,∞)
pentru diverse valori ale lui λ , λ ∈ [3,∞) . Daca x = x(λ) este o solutie sa searate ca x : (0,∞) → R este o functie crescatoare si concava.
Indicatie : Daca f(x) = xex − λ atunci f(0) = −λ < 0 , f(+∞) = ∞ sif ′(x) = (x + 1)ex > 0 pe [0,∞) . Prin urmare ecuatia are o singura solutiex = x(λ) . ın tabelul de mai jos sunt trecute anumite valori ale functiei f
x 1 ln λf(x) e− λ︸ ︷︷ ︸
−λ (lnλ− 1)︸ ︷︷ ︸
+
Prin urmare , x(λ) ∈ (1, ln λ) iar ın continuare consideram ca f : [a, ln λ] →R . Avand ın vedere faptul ca f este crescatoare si concava, metoda tangentei cupunctul de start t0 = 1 ne va furniza un sir (tn) ,
tn+1 = N(tn) , N(t) =t2 + λe−t
t + 1,
termenii caruia aproximeaza prin lipsa solutia x(λ) .Metoda coardei genereaza un sir (cn) cu
cn+1 = C(cn) , C(t) =tet − λ− t(e− λ)
tet − e,
unde c0 = ln λ . Termenii sirului (cn) constituie aproximatii prin adaus ale solutieix(λ) . Avem
tn < x(λ) < cn
iar daca |cn − tn| ≤ EPS , unde EPS este un numar din (0, 1) care simuleazaprecizia, algoritmul se opreste si declaram x(λ) := (cn + tn) ∗ 0.5 .Derivand egalitatea x(λ)ex(λ) = λ gasim
x ′(λ) =x(λ)
λ (1 + x(λ))> 0
si
x ′′(λ) = − x2(λ) (2 + x(λ))λ2 (1 + x(λ))3
< 0
ceea ce implica faptul ca x este crescatoare si concava.
TF. 5 Descrieti un algoritm care sa furnizeze, cu cel putin 5 zecimale exacte , ceamai mare radacina a ecuatiei
x− cosx = 0 , x ∈ R .
Indicatie : Notam f(x) = x− cosx . Deoarece f ′ ≥ 0 pe R si
f(−∞) = −∞ , f(∞) = ∞ , f(0)f(1) < 0
188 Alexandru Lupas
ecuatia are o singura solutie x ∈ (0, 1) . Avand ın vedere faptul ca f ′′ > 0 pe(0, 1) , metoda coardei furnizeaza o aproximatie prin lipsa, iar metoda tangentei(cu punctul de start t0 = 1 ) o aproximatie prin adaus. Fie (cn) , (tn) sirurileiterative furnizate respectiv de cele doua metode.Avem
ck+1 = 1− f(1)(1− ck)f(1)− f(ck)
tk+1 = tk − f(tk)f ′(tk)
c0 = 0 , t0 = 1 .
Algoritmul poate consta din calculul simultan al numerelor
c1, c2, ..., cn, ...t1, t2, ..., tn, ...
,
criteriul de precizie si totodata de stop fiind
tk − ck = |tk − ck| ≤ 10−6 , k = 1, 2, ..., n .
Daca acest criteriu este verificat pentru k = n concludem cao aproximatie root a solutiei x este
root : = (cn + tn) ∗ 0.5 .
TF. 6 Daca f ∈ C1[a, b] , atunci sa se arate ca ecuatia
f(x)− f(a)− (b− x)f ′(x) = 0 , x ∈ (a, b)
are cel putin o solutie.
Indicatie : Fie F : [a, b] → R cu imaginile
F (x) =
x∫
a
f(t) dt− (x− a)f(a)−x∫
a
(b− t)f ′(t) dt .
Avem F (a) = F (b) = 0 ceea ce , pe baza teoremei lui Rolle, implica existenta unuipunct θ , θ ∈ (a, b) astfel caF ′(θ) = 0 . Pe de alta parte
F ′(x) = f(x)− f(a)− (b− x)f ′(x) .
Nota: Rezultatul este valabil pentru o clasa mai larga de functii reale : veziProblema 7.
TF. 7 Fie f ∈ C[a, b] cu proprietatea ca f ′ exista pe (a, b) . Atunci ecuatia
f(x)− f(a)− (b− x)f ′(x) = 0 , x ∈ (a, b)
are cel putin o solutie.
Indicatie : Se aplica teorema lui Rolle functiei H , unde
H(x) = (x− a)f(a)− (x− b)f(x) , x ∈ [a, b] .
Avem H(a) = H(b) = (b− a)f(a) si
H ′(x) = (b− x)f ′(x)− ( f(x)− f(a) ) .
Bibliografie
[1] Ahmad M., On polynomials with real zeros, Canad.Math.Bull . (1968) 237-240.
[2] Ash M.J. , Jones R.L. , Optimal Numerical Differentiation sing three FunctionEvaluation ,Mathematics of Commputation 37 (1981) 159-168.
[3] Ash M.J., Janson S., Johnson R.L., Optimal Numerical Differentiation usingn Evaluations ,Calcolo 21 (1984) 151-169.
[4] Beesack P.R., On bounds for the range of ordered variates,Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser.Mat.Fiz., nr.412-460 (1973) 93-96.
[5] Boyd A.V., Bounds for order statistics,Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser.Mat.Fiz., nr.357-380 (1971) 31-32.
[6] Brass H., Quadraturverfahren. Vandenhoeck&Ruprecht,Gottingen, 1977.
[7] Ghizzetti A., Ossicini A., Quadrature Formulae.Birkhauser Verlag Basel, Stuttgart, 1970.
[8] Ionescu D. V. Cuadraturi numerice. Editura Tehnica,Bucuresti, 1957.
[9] Kronrod A.S. , Nodes and weights of quadrature formulas .Consultans Bureau Enterprises , Inc. , 1965.
[10] Krylov V. I., Approximate calculation of integrals.Macmillan, New York, 1962.
[11] Lupas A., Teoreme de medie pentru transformari liniare si pozitive.Revista de Analiza Numerica si Teoria Aproximatiei 3(1974), 2, 121-140.
[12] Laguerre E.N., Oeuvres- I, Paris -1898.
[13] Lupas A., Problem 246, Math.Vesnik 8(23)(1971).
[14] Lupas A., A remark on the Schweitzer and Kantorovich inequalities,Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser.Mat.Fiz., No. 381 -No. 409 ( 1972)13-16 .
[15] Lupas A ., Inequalities for the roots of a class of polynomials,Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser.Mat.Fiz. , No. 577 -No. 598 ( 1977)79-85 .
[16] Lupas A., Numerical integration by means of Gauss-Legendre Formula.Mathematica-Revue d‘Analyse Numerique et de Theorie de l‘Approximation9, nr. 1 (1980) 81-92.
189
190 Alexandru Lupas
[17] Lupas A., An integral representation of the differentiation operator,Gazeta Matematica - seria A, Anul VI, nr.3-4 (1985) 188-192.
[18] Lupas A., Mache D., On the Numerical Differentiation,Revue d‘Analyse Numerique et de Theorie de l‘Approximation,tom XXVI , Nos.1-2 ,(1997) 109-115.
[19] A.Meir, A.Sharma : On zeros of derivaties of polynomials,Canad. Math.Bull. 11 (1968), 443-445.
[20] Ostrowski A.M. , Solutions of equations in euclidean and Banach spaces.Academic Press , New York , 1973.
[21] Peano G., Resto nelle formule di quadratura espresso con un integrale definito.Atti della Accademia dei Lincei, Rendinconti (Ser.5) 22(1913) 562-569.
[22] Popoviciu T., Sur les equations algebriques ayant toutes leurs racines reelles,Mathematica (Cluj) 9 (1935) 129-145.
[23] Popoviciu T. , Notes sur les fonctions convexes d‘ordre superiuer (IX) .Mathematica (Cluj) 43 , (1942) 85-141.
[24] Popoviciu T., Asupra restului ın formulele de derivare numerica ,Studii si Cercetari Matematice III (1952) 53-122.
[25] Popoviciu T. , Diferente divizate si derivate,Studii si cercetarii de matematica (Cluj) IX (1960) 119-145.
[26] Popoviciu Tiberiu, La simplicite du reste dans certaines formules de quadra-ture. Mathematica (Cluj) 6(29), (1964) 157-184.
[27] Salzer H.E. , Optimal points for numerical differentiation,Numerische Matematik 2 (1960) 214-227.
[28] Sard A., Linear Approximation.Amer. Math. Soc.,Mathematical Surveys nr.9, Rhode Island, 1963.
[29] Stroud A.H and Secrest. D. , Gaussian quadrature formulas ,Prentice Hall , Englewood Cliffs , N.J. , 1966.
[30] Szego G. , Orthogonal polynomials ,Amer.Math.Soc.Colloq.Publ. vol. XXIII , New York , 1959.
[31] Sz.-Nagy J.v ., Uber algebraische Gleichungen mit lauterreelen Wurzeln, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 27 (1918) 37-43.
[32] Sz.-Nagy J.v ., Wertverteilung bei Polynomen mit lauter reellen Nullstellenund Koefizienten, Acta.Math.Acad.Sci. Hung., 3 (1952) 269-274.
![Capitolul 2[1]Metode numerice](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/55cf9df2550346d033aff7bc/capitolul-21metode-numerice.jpg)
