51

АЛГЕбАРСкИ ИЗРАЗИ

1. Запиши пет произвољних бројевних израза.

2. Израчунај вредност израза:

а) 5 34

: 2 12

+ 1 16

∙ 2 34

; б) 5 34

: (2 12

+ 1 16 ) ∙ 2 3

4;

в) (5 34

: 2 12

+ 1 16 ) ∙ 2 3

4; г) 5 3

4 : (2 1

2 + 1 1

6 ∙ 2 3

4 ).

3. Одреди бројевну вредност израза a ∙ b – c ако је:

а) a = –6, b = 3, c = –2; б) a = 2, b = – 56

, c = 23

;

в) a = 0,5, b = –2,7, c = –3,41; г) a = –√2, b = √8, c = √5.

4. Попуни дату табелу:

а b c a + b ∙ c a ∙ c – b a ∙ (b – c) (a – c) ∙ (a + b) b – a : c

–2 9 825

– 310

– 14

–4,3 7,7 –0,5

5. Запиши три произвољна алгебарска израза у којима учествује променљива х.

6. Запиши пет произвољних алгебарских израза. 7. Одреди бројевну вредност алгебарског израза:

а) а2 – 2а3 + 5 за а = 2; б) 13

а3 – а2 + 2а + 5 за а = –3;

в) аb2 + а2b + 4ab за а = 12

, b = –2; г) а5 – а4 + а3 – а2 + а за а = – 1;

д) 23

а3 – 34

b4 – 12

c 2 за а = 2, b = –2, c = –4.

8. Израчунај вредност алгебарског израза:

а) 10a2 + 0,9a

за а = 0,1; б) 4a2 + 3a2 – 3

+ 12

за а = – 1;

в) (2х + 3)2 – 4 ∙ (х2 + 3х) за х = 2 14

; г) 2x4 + 3x2 – 15x2 – 1

за х = √3;

д) (a + 2)2 – (4a – 1)2

4 за а = –0,5.

52

9. Одреди бројевну вредност алгебарског израза:

а) 0,5a2b3 – (ab)2 + 1ab

за а = 0,1, b = 10;

б) за x = –√3, y = –3, z = 3.

ПОЛИнОМИ

1. Који су од следећих алгебарских израза полиноми:

а) аb + c; б) a3b2c – xy2; в) 2x2 – 3y3

5; г) a + b

c – d;

д) x3 – 2x2 + 3x – 4; ђ) 3zx2

2y; е) 3c – 2b + a

2ab2 + c?

2. Израчунај бројевну вредност полинома: а) 5а2 – 2а + 3 за а = –4; б) х4 + 2х3 –3х2 – 4х + 5 за х = –1.

3. Израчунај бројевну вредност полинома: а) 2аb – 3bc + 4ac за а = –1, b = –2, c = 4; б) x2y + х2y2 – хy2 + 5х за х = –1, y = –1.

4. Међу датим изразима издвој мономе:

а) a; б) b2; в) 5; г) 2c; д) – 12

x4;

ђ) a3b2c; е) a3 + b2 + c; ж) 1xy

; з) 3xy3z6

10.

5. Напиши пет различитих монома.

6. За дате мономе одреди коефицијенте:

а) 2a; б) –10b2; в) 37

xy; г) – 12

; д) ef 2g5.

7. Одреди бројевну вредност монома:

а) 5х2 за х = –10; б) –4а70 за а = 1; в) 23

у2009 за у = –1;

г) –0,3х2у за х = 5, у = –4; д) 5a3b2c72

за а = –2, b = 3, c = 8.

8. Међу датим мономима издвој пет група сличних монома: 5x, – 12

y, –2x, x2y, 4xy, 4xy2,

– 38

xy, 29

x2y, 12y и –19xy2.

53

9. Напиши четири пара сличних монома.

10. Напиши четири слична монома.

11. Запиши три различита бинома.

12. Од монома –2а и 3b састави и запиши све могуће биноме. Колико их има?

13. Од монома x3, 2x2, 3x и –4 запиши неколико бинома.

14. Одреди бројевну вредност бинома: а) 2а2 – 3а за а = 7; б) х1000 – х1001 за х = 1; в) х1000 + х1001 за х = –1.

15. Одреди бројевну вредност бинома:а) 5а + 4b за а = 8, b = –7;

б) 20x2 – 5xy за x = 12

, y = –10;

в) а3b2c – 2ab2c3 за а = –3, b = 5, c = 2.

16. Од монома 12

, а, –2а2, 3а4 запиши неколико тринома.

17. Одреди бројевну вредност тринома: а) x3 + 2x2 – 3x за x = 3; б) y50 + y100 – y150 за y = 1; в) z99 – z100 – z101 за z = –1.

18. Одреди бројевну вредност тринома: а) x3 + 3xy – 5y за x = –2, y = 6; б) ab2 – 3ac2 + 5bc за а = 8, b = –3, c = –4.

19. Запиши формуле помоћу којих израчунавамо обим геометријске фигуре, а затим закључи да ли је то моном, бином, трином или полином.

Геометријска фигура Обим

Квадрат 4а моном

Правоугаоник

ТроугаоЈеднакостранични троугаоЈеднакокраки троугао

Ромб

Паралелограм

Трапез

Једнакокраки трапез

54

САбИРАњЕ ПОЛИнОМА

1. Израчунај збир монома:

а) 2а + 3а; б) 9b – 7b; в) 3ab – 6ab; г) 12

x + 4x;

д) 27

y2 – 57

y2; ђ) 13,5abc – 6,8abc; е) – 34

ax + 56

ax; ж) 2 35

x2y – x2y;

з) –2,8ab2c3 + 7 25

ab2c3.

2. Упрости изразе:а) а + 2а + 3а; б) 2b + 4b – 5b; в) 5c – 7c + 12c – 10c;

г) 5ab – (–2ab) –9ab; д) 23

abc + 14

abc – (– 16

abc); ђ)4xyz – (2 xyz – 12

xyz);

е) 9x + (–4x) – (2x – 12x); ж) (5yz – 9yz) – (2yz + 4yz).

3. Одреди супротан моном монома М ако је:

а) M = 5x; б) M = –2аb; в) M = 0,7xyz2; г) M = –5 23

p3q2r.

4. Одреди супротан бином бинома Р ако је: а) Р = 2а + b; б) Р = 4x – 5y2; в) Р = mn – 6a; г) Р = –5,5xy + 2y2.

5. Одреди супротан полином полинома Р ако је: а) Р = 2а; б) Р = –3b; в) Р = 5x2 + 4x; г) Р = 3x2 – 2x + 1; д) Р = 8аb2 + 9ab – 6a2b; ђ) Р = –7y2x2 – 8yz + 9xy2 – 10x2y.

6. Који су од датих полинома сређени: А = 2а – 3b, B = 5x2 – 3x + 1, C = 2y – 3y2 + 4y, D = 4a + ab + 5b и E = 5x2 – 2x2y2 + 6x2y2 – 3y2?

7. Одреди степен монома: а) 8а2; б) –4х5; в) ab; г) xy2; д)xy2z3. (Када моном има једну променљиву, његов степен је одређен степеном те променљиве, а када има више променљивих, његов степен одређујемо тако што сабирамо степене тих променљивих).

8. Одреди степен бинома:

а) x2 – 4x; б) b + 12

; в) c4 – c3; г) x2y + y2; д) x2y 3z4 + x4y4.

9. Среди полиноме, па им одреди степен: а) 5а – 3а + 4; б) 4x + x – 7 – 3; в) 5b2 – 7b + 4b2 – 2 + 8b; г) –2a + 5a + b – 4a – 7b; д) y2 – 2y – y2 – 2y +3; ђ) 15a – (6a + 4a); е) (3xy + 5y) – (2x + 5xy); ж) (5x + 3y – 6) – (x – 7) + (–5y + 4x); з) 9a3 + 5a2 – 6a + 2a3 – 1 + 6a + 12a2.

55

10. Среди полином Р, па одреди њему супротан полином –Р: а) Р = x3 – 2x2 + 3x2 – 6x – 2x + 1; б) Р = 3a2b2 + 5a2b – 2ab + 8a2b – 7ab + 4ab2; в) Р = (5abс – 7ab) – (3aс + 5ab – 2abс); г) Р = (–11a5 – 9a3 + a – 1) – (a2 + 4а3 – 5a5). Упореди степен сваког полинома са степеном њему супротног полинома. Шта закључујеш?

11. Одреди збир полинома и степен збира полинома А и В ако је: а) А = 2а – 3 и В = 3а + 7; б) А = 4а2 + 8 и В = 2а – 9; в) А = 5а2 + 6а + 7 и В = –2а2 + а; г) А = –2а3 + 3а2 + 5а – 2 и В = 2а3 – 7а2 + 2а + 9.

12. Среди полиноме А и В, па одреди њихов збир ако је А = 5x2 – 3x – 7x2 + 2 + 6x и В = 4x2 – 2x2 + 5x – 6 + 2x2 – 5x + 18.

13. За дате полиноме A и В напиши њихову разлику А – В у сређеном облику ако је: а) А = 3x + 2 и В = 2x + 3; б) А = –5x + 4 и В = 2x2 – 7; в) А = 2x2 – 3x – 4 и В = 2x2 – 1; г) А = x3 – 2x2 + 3x – 4 и В = 5x3 – 6x2 – 7x + 8. Одреди степен полинома А – В.

14. Ако је А = 3у + 1, В = 4у – 2 и С = –5у + 3, напиши сређени облик полинома: а) А + В + С; б) А + В – С; в) А – В + С; г) А – В – С. Одреди степен добијених полинома.

15. Ако је А = 5x2 – 4x + 1, В = –2x2 – 2x + 1 и С = 4 – 3x + 8x2, напиши сређени облик полинома: а) А + В + С; б) C – A + B; в) В + А – С; г) А – (В + С); д) C – (A + B); ђ) В – (А + С).

16. Дати су полиноми А = 2x5 – 3x3 + 2x, В = 5x5 + 2x4 – 7x и С = 9x4 – 7x3 + 3x. Запиши у сређеном облику полиноме: а) А + В + С; б) А – В – С; в) –А – (В – С); г) (А – С) – (В + С); а затим одреди њихове степене.

17. Од полинома А = –3abc + 4аb –5c одузми полином В = –9abc + 3ab + 8c, па добијеној разлици додај полином С = –2abc – 6ab + 3c.

18. Од збира бинома 2а – 3 и 5а + 2 одузми збир бинома –2а – 1 и 4а + 1.

19. Од разлике бинома 3х + 4у и 2у – 5х одузми разлику бинома 7х – 2у и 4х – 4у.

20. Од тринома 5а2 – 3а + 1 одузми збир бинома 10а + 2 и 2а2 – 7а.

21. Покажи да вредност израза 3х2 + 5х – 2 – (2х2 + х) – (х2 + 4х – 6) не зависи од х.

22. Покажи да вредност израза 5х – 2у – 6 – (7х – 3у) – (8 + у – 6х) не зависи од у.

23. Среди полином 3а3 – 2а2 + 2а + 1 – (3а3 – 2а2 + 5а + 6), па израчунај његову вредност за а = 7.

24. Среди полином –4а2 – (2а2 – 7а + 8) – (4а + 1), па израчунај његову вредност за а = –1.

56

25. Среди полином 5ху – 2х2 – 7 + 3у2 – (9у2 – 3ху + 6 – х2), па израчунај његову вредност за х = –2 и у = 1.

26. Одреди полином Р ако за њега важи да је: а) Р + 2x2 – 3x + 1 = 7x2 – 2x + 3; б) Р – (x2 + 7x + 3) = x2 – 2x – 1; в) 3x2 – 4x + 5 – Р = 2x2 – 9.

27. Одреди полином Р и његов степен ако је: а) 3x2 – 6x + 5 + Р = 7x2 + 2x – 3; б) 6x2 + 4x – 2 – Р = 6x2 – 7х + 3.

28. Један сабирак је а2 + аb – b2, a збир 2а2 – аb – 5b2. Одреди други сабирак.

29. Збир три узастопна природна броја је 186. Одреди те бројеве.

30. Збир четири узастопна парна броја је 84. О којим бројевима је реч?

31. Збир четири броја од којих је сваки за три већи од претходног је 158. Одреди те бројеве.

32. Дужине страница неког троугла су а = 4х + 1, b = 6х – 2 и c = 2х + 5, где је х R и х > 34

.

a) Одреди обим тог троугла; б) Израчунај обим тог троугла за х = 3.

33. За коју вредност променљиве х бројевни израз 3х + 1 – 2х + 5 има вредност 13?

34. Реши једначине: а) 2х + 3х – 4х + 5х = 18; б) 3х – (5 – 4х) = 2; в) 2х – 7 – (3х + 1) = –2; г) 10х – (7 – 3х) – 14 = 5; д) (4х – 3) – (7 – 2х) = 2; ђ) 4х – (2х + 5) – (4 – 3х) = –9; е) 4 – х – (– 4 – (2х – 3)) = 11; ж) 3,2 + 0,4х – (2,7х – 4) – 0,2х = 4,8;

з) 34

x – ( 12

+ 56

x) – ( 23

x – 14 ) = 5

12.

35. Одреди вредност променљиве х за коју троугао са страницама х + 4, 2х + 3 и 3х + 1 има обим једнак обиму квадрата странице х + 3.

МнОЖЕњЕ ПОЛИнОМА

1. Одреди производ монома А и В ако је:

а) А = 5а, В = 3; б) А = –2b, В = 4b; в) А = 5а2, В = 15

a;

г) А = –7аbc, В = 27

a2b; д) А = 0,6а3bc2, В = 2,2a2b3c4.

2. Одреди производ А ∙ В ∙ С монома ако је:

а) А = –2, В = 3х, С = 4х2; б) А = 34

y3, В = – 23

y2, С = 25

y;

в) А = –2ху2, В = 8хуz, С = –3х3z; г) А = 49

xyz, В = – 35

x5y3z, C = 1516

xy2z4.

57

3. Одреди А2 и А3 ако је:

а) А = 3ab; б) А = –2ab2c3; в) А = – 34

a4bс2.

4. Одреди:

а) (2х2у)3; б) (–5хy2z3)2; в) (– 12

a2b3c5)3

; г) (3x5y3z2)4.

5. Упрости изразе:

а) 9а2 · (– 13

b3); б) –4а · (–а)2 · (–а2); в) 12а2 · (–2а3) · (–а)3;

г) –7xy2z3 · (–2xz) · 27

y2z5; д) ( 13

ab2)2

· 6a2b5; ђ) (– 12

ab2c4)3

· (8a3b2c)2.

6. Упрости изразе:а) 5х · (–2у) + 3ху; б) –8х2у – 2ху · 4х;

в) 2х2 · (– 12

y2) – 12

ху · 8ху; г) 3х2 · (–2х2) – х3 · 4х – 5х · (–7х3).

7. Одреди производ полинома Р и монома М ако је:а) Р = 2х + 3, М = 4х; б) Р = 3p – 2q, М = –2p2;

в) Р = 2a – 3b + 5c, М = 5abc; г) Р = –4ab + 16ac – 8bc, М = 12

bc.

8. Помножи и среди добијене полиноме:а) (х4 – 2х2 – х) · (–7х2); б) –3abc · (2ab – 4abc + 6a2b3c4);

в) – 27

xy2 · (14x2 – 7xy + 21xy3); г) (2x3y3 – x2y2 – 3xy) · 9x2y3;

д) 4xy · (– 38

x2y4 + 14

x4y8 + 916

x8y6); ђ) (2 14

a3b2c – 0,75a3bc3 + 3ab2c3) ∙ 1 13

ab2c3.

Одреди степен сваког од добијених полинома.

9. Среди полиноме и одреди њихов степен: а) 5х3 + 2х · (х2 – 3); б) (2х – 3у) · 5х + 12ху; в) (–2х + у) · 3у – 4х · (5х – 2у); г) 2 · (х2 + у2) – 3х · (х – у) + 6х2; д) х2 · (2х – 7) – х · (5х + 4х2) + 7 · (х3 – х); ђ) 4х2 · (3х2 – 7х + 1) – 2х · (5х2 + 4х – 3); е) 3х · (–3х3 + 2х2 + 9х – 1) + 7х2 · (х2 – 2х + 1).

10. Дати су полиноми А = 2а 2 – 3а + 7, В = –а2 и С = 9а2 – 5а + 4. Одреди полином 4А – 3ВС и утврди његов степен.

11. Провери тачност једнакости: (а2 – 3а + 2) · (–3а2) – (2а + 3а2 – 2а3) · 2а = а4 + 3а3 – 10а2.

12. Одреди производ бинома: а) х + 2 и 2х – 1; б) 3х + 5 и 2 – 4х; в) 4х2 + 1 и 3х – 7; г) 2а – 3b и 3a + 2b.

58

13. Одреди производ полинома А и В ако је: а) А = 5х – 3у и В = 2х + у; б) А = а2 + 5а и В = 4а – 1; в) А = 3а – 5 и В = 4а2 + а – 3; г) А = –2а2 + 3а – 1 и В = 5а2 + 4а; д) А = а – b и В = а2 + аb + b2; ђ) А = а2 – аb + b2 и В = а + b; е) А = x – 1 и В = x3 + x2 + x + 1; ж) А = x3 – x2 + x – 1 и В = x + 1.

14. Упрости изразе: а) а2 · (а + 2) + (2а2 – 1) · (3 – 2а); б) (х – 2) · (х + 1) + (2х + 3) · (х – 4); в) (8х + 5) · (–2х – 1) + (4х – 3) · (4х + 3); г) (х + 3) · (2х – 1) + (3х + 1) · (х – 2); д) (2х – 5х2) · (2 – 3х) – (4х + 3х2) · (1 – 2х); ђ) (2х + 3х2) · (4 – х) – (4 – 2х) · (х2 –1).

15. Упрости изразе: а) х2 · (х – 1) · (2х – 1); б) (5х2 – 4) · (3х – 2) · (6х + 1) · х3.

16. Ако је А = 2а + 3, В = а2 – 4 и С = 3 – 4а, одреди и среди полиноме: а) А ∙ В ∙ С; б) А ∙ В – С; в) А + В ∙ С; г) А ∙ С – В ∙ С.

17. Дати су полиноми: A = x2 + 1, B = –4x + 5, C = –4x2 – 5x + 1. Одреди: a) A − B + C; б) A − C − B; в) C − A ∙ B; г) B ∙ (A − C). Утврди који је степен сваког од добијених полинома.

18. Упрости изразе: а) (3а2 + 2а – 6) · (2а2 – 4а + 7) – 5а · (4а4 – 3а3 + 2а2 –а + 10); б) 10b4 – 3b3 · (b2 + 2b – 1) + (b – 1) · (b + 5).

19. Покажи да вредност израза (2х – 6) · (5 – 2х + 3х2) – 6х · (х2 – 4х + 4) – 2х2 + 2х не зависи од х.

20. Покажи да вредност израза 2а · (15а – 11b) – (b – 3a) · (4b – 10a) + 4b2 – 7 не зависи од а и b.

21. Биному 2х2 + 4х додај производ бинома 3х – 1 и 5 – 4х.

22. Од тринома 3а2 – 2а + 1 одузми производ бинома 2а + 3 и 3а – 9.

23. Производу бинома х – у и х + у додај производ монома 2ху и тринома х2 + ху – у2.

24. Од производа бинома ху2 + 1 и 2х – 3у одузми разлику тих бинома.

25. Производу збира и разлике монома 2а и 3b додај разлику квадрата тих монома.

26. Одреди моном М тако да важи: а) М · (3х2 – 4х + 5) = 6х3 – 8х2 + 10х; б) М · (2а2b2 + 5ab3 – 7ab) = – 8а3b4 – 20a2b5 + 28a2b3; в) (–4аb2c3 + 10ac2 – 3b2c) · М = 12а4b3c5 – 30a4bc4 + 9a3b3c3.

27. За коју вредност променљиве х полином 2х2 – 2х · (х – 2) – 3 има вредност 9?

59

28. Реши једначине: а) 3х – 2 · (5 – 4х) = 12; б) х2 + (х – 1) · 2х – 3х · (х + 2) = 16; в) 5 · (х – 2) – 7х + 4 = –4; г) (х – 5) · (х – 2) – (х – 1) · (х + 4) = 14; д) (3х – 1) (2х + 5) – 6х2 = 8; ђ) (2х – 3) · (2х + 1) – 4х2 = 1.

29. Упрости израз, па израчунај његову вредност: а) (а3 – 5а + 4) · (а – 5) – а4 за а = 3; б) (а3 – 3) · (а + 3) · (а + 1) за а = –1; в) (b – 2) · (b + 3) – (b + 1) · (b – 3) за b = 2; г) 6с4 – 3с3 · (с2 + 2с – 1) + (с + 4) · (с – 2) за с = –2; д) (2х – у) · (3у + 4) – (ху + 2) · (–3ху) за х = –5, у = 2;

ђ) 10ху · (–3х2 + 5ху – 2у2) – (х2у – 2ху2) · (2х + у) за х = –3, у = 13

.

кВАДРАТ бИнОМА

1. Заокружи једнакости које су тачне за свако х: а) (3х + 1)2 = 9х2 – 3х + 1; б) (3х + 1)2 = 9х2 + 6х + 1; в) (3х + 1)2 = 9х2 + 1; г) (3х + 1)2 = 9х2 + 3х + 1; д) (3х – 1)2 = 9х2 – 6х – 1; ђ) (3х – 1)2 = 9х2 – 3х + 1; е) (3х – 1)2 = 9х2 – 6х + 1; ж) (3х – 1)2 = 9х2 – 1.

2. Одреди квадрат бинома Р ако је: а) Р = х + 3; б) Р = 2х + 5; в) Р = 5х + 1; г) Р = х – 1; д) Р = 3х – 4; ђ) Р = 9х – 8.

3. Одреди квадрат бинома:

а) 2а + 3b; б) 5х – 3у; в) 4х + у; г) 12

+ a;

д) 12

x – y; ђ) 6ab + 5; е) 4abc – 3; ж) 3x2 – 7y.

4. Одреди:

а) (1 12

– 2x)2

; б) (–2a – 12

x)2

; в) (–0,2а – 5а2)2;

г) (√3x + √5y)2; д) (0,5а – 0,3b)2; ђ) (0,1 – 5a3)2;

е) (√2a – √8b)2; ж) (–3a – 7) ∙ (–7 – 3a); з) (– 12

a + 2) ∙ (2 – 12

a).5. Дате триноме запиши као квадрате бинома:

а) 1 – 10х + 25х2; б) 49а2 + 28аb + 4b2; в) 9a2b2 + 3ab + 14

;

г) 125

x4 – 15

x2yz + 14

y2z2; д) 3x2 +18xy +27y2.

60

6. Упиши у квадрате одговарајуће мономе тако да једнакост буде тачна:

а) ( 12

+ )2

= + х + ; б) ( – 11b)2

= 64a2 – + ;

в) ( – 2xy)2

= – хy + ; г) ( + )2

= + 13

cd + 19

d2.

7. Упрости изразе: а) (5х – 2)2 – 5х ∙ (5х + 2); б) (х + у)2 + (х – у)2; в) (а – 2)2 + (а + 2)2; г) (2а + 5)2 + (3а – 1) ∙ (–2а); д) (3х + 5) ∙ (2 – х) – (4х – 1)2; ђ) (3b + 8)2 – (2b – 7)2.

8. Упрости изразе: а) (7х + 5)2 – (9х + 11) (4х – 3); б) (2х – 3)2 – (3х – 2) (2x + 3) + 12x; в) (3х – 2y)2 – (2x – 3y)2 – 2x(–3х); г) 5 (а – 2)2 + 2a (а – 2) – 4 (а + 2); д) 2a (2а – 1)2 + (а – 2a2) ∙ (–6a); ђ) 3 (3b – 4)2 – 15 (3b + 2)2 + 17; е) (а – b)2 – a2 – (а + b)2 + 2ab – b2; ж) 5 (5 – 3а)2 – 11 (1 – 3a) – 45a2 + 7.

9. Упрости израз (4x – 3y)2 – (2x – y) ∙ (8x – 9y), па израчунај његову вредност за x = –1,5 и y = 0,2.

10. Упрости израз (3x – 9y) ∙ (6x – y) – (5x – 3y)2, па израчунај његову вредност за x = – 17

и

y = 19

.

11. Покажи да је бројевна вредност израза рационалан број: а) (√5 + 4)2 + (4 – √5)2; б) (√2 – 12)2 – (6 – √8)2.

12. Триному 2х2 + 5х – 7 додај квадрат бинома 2х – 4.

13. Од полинома 4х3 – 3х2 + 2х – 1 одузми квадрат бинома х – 6.

14. Од квадрата бинома 5х – 9 одузми квадрат бинома 2х + 7.

15. Од квадрата збира монома 5а и 8b одузми квадрат разлике тих монома.

16. Од полинома 16x2 – 11x + 1 одузми квадрат бинома 4x – 1. Одреди бројевну вредност добијеног полинома за x = –4.

17. Од полинома 9x2 – 23x + 8 одузми квадрат бинома 3x – 4. Одреди бројевну вредност добијеног полинома за x = 2 009.

18. Користећи квадрат бинома израчунај: а) 1012; б) 982; в) 1062; г) 952; д) 892; ђ) 1122.

19. Реши једначине: а) (х + 5)2 – (х2 – 4х + 1) = 6; б) (3х – 2) (3х + 4) – (3х – 5)2 = 3; в) (2х – 1)2 – (2х + 3) (2х – 4) = 5; г) (4х – 2)2 – (4х – 3)2 = – 21.

61

20. Дати су полиноми A = 2x – 3 и B = 3 – 4x. Одреди: a) A ∙ B; б) A – B2; в) A2 – 2 ∙ B.

21. Ако је А = 3х + 1, В = 2х – 3 и С = 2 – х, одреди и среди полиноме: а) А2 + В2 + С2; б) А2 – В2 + А ∙ С; в) (А + С)2 – В2; г) (В – С)2 + А2; д) (А – В)2 – (В – С)2.

22. Дијагонала правоугаоника је х + 1, а једна страница х – 2. За коју вредност х је друга страница тог правоугаоника 9cm?

23. Ако је а = 3х – 1, b = 4x +3 и c = 5x + 2, за коју вредност х дужи a, b и c могу бити странице правоуглог троугла (с је хипотенуза).

24. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 24cm, а хипотенуза је за 16cm дужа од друге катете.

25. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 12cm, а друга катета је за 4cm краћа од хипотенузе.

26. Дужина једне странице правоугаоника је 15cm, а друга је за 9cm краћа од дијагонале тог правоугаоника. Одреди обим и површину тог правоугаоника.

27. Дужина једне катете правоуглог троугла је 18cm, а збир дужина друге катете и хипотенузе је 54cm. Одреди површину тог троугла.

28. Телефонски стуб који је био висине 25m преломљен је услед невремена и врхом додирује земљу на удаљености 5m од подножја. На којој висини је преломљен стуб?

29. Странице два квадрата се разликују за 2cm, а њихове површине за 40cm2. Одреди дужине страница тих квадрата.

30. Израчунај површину ромба ако је дужина његовог обима 60cm, а збир дужина дијагонала 42cm.

РАЗЛИкА кВАДРАТА

1. Разлику квадрата запиши у облику производа: а) х2 – 9; б) 25х2 – 16; в) 4а2 – 49b2;

г) c2 – 3; д) a2b2– 36; ђ) –4у2 + 14

.

2. Трансформиши производ користећи једнакост (А – В)(А + В) = А2 – В2: а) (2 – х) (2 + х); б) (а – 10) (а + 10); в) (– b + 4а) (4а + b); г) (3а – 8b) (3а + 8b); д) (10x + y) (10x – y); ђ) (c2 + 1) (c2 – 1);

е) (0,7а – 2b) (2b + 0,7а); ж) ( 34

a – 1)( 34

+ 1); з) ( 49

x + 58

y)( 49

x – 58

y).

62

3. Трансформиши производ користећи једнакост (А – В)(А + В) = А2 – В2: а) (4аb – 3c) (4аb + 3c); б) (5xyz + 2abc) (5xyz – 2abc);

в) (1,2mn – 2,5pq) (1,2mn + 2,5pq); г) ( 910

a2b – 511

c) ( 910

a2b + 511

c); д) (–2x + y) (2x + y); ђ) (x2 – 9) (x2 + 9); е) (a2 – 16b2) (a2 + 16b2); ж) (а – 5) (а + 5) (a2 + 25); з) (12 – b2) (b2 + 12); и) (z – 1) (z + 1) (z2 + 1) .

4. Користећи разлику квадрата израчунај: а) 912 – 92; б) 262 – 242; в) 872 – 772;

г) 1752 – 252; д) 5,32 – 4,32; ђ) (7 34 )

2

– (2 14 )

2

.

5. Израчунај:

а) 992 – 149

; б) 6132 – 472 ; в) 452 – 252

572 – 432 ;

г) 192 – 812

412 – 212 ; д) 8,122 – 1,882

40,62 – 9,42 ; ђ) 2,72 – 17,32

2,32 – 12,32 .

6. У квадрате упиши моном тако да добијеш тачну једнакост:

а) (а – ) (а + ) = – 36; б) (5 – ) (5 + ) = – х2;

в) (2а – ) ( + 3b) = 4a2 – ; г) ( – 14

y) ( + ) = 916

x4 – .

7. Дати производ трансформиши у разлику квадрата, па израчунај: а) 102 ∙ 98; б) 1 005 ∙ 995; в) 55 ∙ 45; г) 24 ∙ 16; д) 81 ∙ 79; ђ) 49 ∙ 31; е) 5,1 ∙ 4,9; ж) 1,01 ∙ 0,99.

8. Упрости изразе: а) (а – 1) (а + 1) + 5а (2а – 1); б) (6а – 5) (6а + 5) + (2а + 1) (5 – 18а); в) (3х + 7у) (2у – 9х) – (4х – 3у) (4х + 3у); г) 4 ∙ (а – 5) (а + 5) – (2а – 3) (2а + 3); д) 9 ∙ (5 – 4х) (5 + 4х) – 4 ∙ (3х + 7) (3х – 7) + 27х.

9. Реши једначине:а) (x + 3) (x – 3) – (x2 – 4x) = 9; б) (2 +y)(2 – y) – (2y – 1) + y2 = 5; в) (3x – 2)(3x + 2) – (3x – 5)2 = 1; г) (2x – 3)(2x + 3) – (4x2 – 5x + 1) = 15;д) (2 – y) (2 + y) – (6y – y2) = 4; ђ) (x – 2)(x + 2) – (x + 3)2 = –1.

10. Реши једначине: a) (x + 2)2 – (x – 3) (x + 3) = 1; б) (2x – 1)2 – (2x + 3) (2x – 3) = 2; в) (2x + 1) (2x – 1) – (2x – 3)2 = 2; г) (4x + 7)2 – (4x – 3) (4x + 3) = 114; д) (3x – 5)² – (2x + 3)2 – 5 ∙ (x – 2) (х + 2)= –132.

11. Дати су полиноми P = a + 2b, Q = a + b, R = a – b. Одреди Q ∙ R – P2.

12. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 43. Који су то бројеви?

63

13. Разлика квадрата два узастопна парна природна броја је 68. О којим бројевима је реч?

14. Производ два узастопна непарна природна броја је 143. Који су то бројеви?

15. Дужине страница правоугаоника су а = 2х – 5 и b = 2х + 5. Ако је површина тог правоугаоника 119cm2, одреди његов обим.

16. Докажи да је разлика квадрата два узастопна природна броја увек непаран број.

17. Докажи да је разлика квадрата два узастопна непарна броја дељива са 8.

18. Упрости изразе: а) (3x – 5)(3x + 5) + 3x2 ∙ (5x – 2); б) (5x + 11)(2x – 1) – (3x + 4)( 3x – 4); в) (2x – 3)2 – (3x + 2)(3x – 2); г) (5x + 2)2 – (2x – 5)(2x + 5);

д) 4 ∙ (y – 12

x)(y + 12

x) – 9 ∙ (y – 13

x)2

; ђ) 4 ∙ ( 12

+ 2x)2

– 9 ∙ ( 13

x + 1)( 13

x – 1).

19. Упрости изразе, па израчунај њихове вредности: а) (р – 2)2 – (р – 3)2 + (р – 4) (р + 4) за р = –1; б) (q + 4)2 – (q + 2) (q – 2) – (q – 6)2 за q = 2.

20. Израчунај:

а) ; б) .

21. Израчунај А2 ако је А = .

РАСТАВљАњЕ нА чИнИОЦЕ

1. Издвој заједнички чинилац испред заграде: а) 3x – 3y; б) 12a + 12b; в) 5xy – 15yz; г) ab – b2; д) –7a2 + 21a; ђ) 10ab2 – 5b3.

2. Дати полином Р трансформиши у производ, па реши једначину Р = 0: а) х2 – 7х; б) 2х2 + 8х; в) 12х – 2х2; г) х2 + 10х; д) 3х2 – 6х; ђ) 4х3 + 12х 2.

3. Реши једначине: а) 7х2 – 14х = 0; б) 25х2 + 100х = 0; в) 2х2 – 5х = 0; г) 4х – 3х2 = 0; д) 3х – 5х2 = 0; ђ) 6х3 – 8х2 = 0.

4. Растави на чиниоце: а) 2ab + 2bc + 2ac; б) 12a – 20b + 16ab; в) x5 + x3 – x; г) 10a2 – 15a + 35a3.

64

5. Растави на чиниоце: а) 10x2 – 6y 2 – 8xy; б) a5 + a4 – a3 + a2; в) 4a3b2c + 10a2b + 20ab2c3; г) 9x3y2 – 18x2y + 12x2y3.

6. Полином Р растави на чиниоце груписањем чланова: а) Р = 2х + 2у + 3 (х + у); б) Р = ах + ау + bх + bу; в) Р = 4a + 4b + a2 + ab; г) Р = x3 – x2 + x – 1; д) Р = x2 – 6x + xy – 6y; ђ) Р = x2y + 3xy + 2x + 6.

7. Растави на чиниоце разлику квадрата: а) 9 – х2; б) а2 – 25; в) х2 – 4у 2; г) 16а2 – 1; д) 4а2 – 9b 2; ђ) 49x2 – 9y 2; е) 64x2 – 1; ж) с2 – 81d 2.

8. Растави на чиниоце разлику квадрата:a) 16a2b2 – 49c2; б) x2 – 9y4; в) 121m2 – 144n2; г) 16a4b2 – 25c 2d2;

д) x2

36 – 1; ђ) 1

9 x2 – 16

25 y2; е) 81

121 – 4

25 x2; ж) 0,09а2 – 0,25у2;

з) 0,81х2у2 – 0,25z2; и) 6 14

a2 – 5 49

b2.

9. Растави на чиниоце: а) a4 – b4; б) 1 – c4; в) х4 – 16; г) 16а4 – 81b4; д) 5а2 – 5; ђ) a2b – b; е) 7a – 7ax2; ж) ах2 – 9а;

10. Растави на чиниоце:а) 5a2b2 – 45a 2; б) ap2 – aq 2; в) m4 – m 2; г) 12а2 – 3; д) 8a – 8a 3; ђ) 8ax2 – 50ay2; е) a3bc – abc3; ж) 27а3 – 3ab2.

11. Растави на чиниоце:

а) 1681

x4 – k4; б) 2r4 – 32s4; в) 3a6b2 – 3a2b6; г) 5x7y2 – 80x3y6.

12. Растави на чиниоце: а) (х – 1)2 – 9; б) (х + 1)2 – 16; в) (х + 2)2 – х2; г) (х + 2)2 – (х – 1)2.

13. Реши једначине: а) x2 – 9 = 0; б) x2 – 25 = 0; в) 16 – x2 = 0; г) 81у2 – 1 = 0; д) 4x2 = 49; ђ) 36у2 – 121 = 0.

14. Реши једначине:

а) 17

x2 = 7; б) 34

x2 = 43

в) x2 – 15 = 0;

г) 16x2 – 3 = 0; д) 4x2 – 5 = 0; ђ) 2у2 = 9.

15. Реши једначине: а) 5x2 = 12; б) 8х2 – 1 = 0; в) (х – 1)2 – 4 = 0; г) (х + 1)2 – 25 = 0; д) (х + 3)2 – х2 = 0; ђ) (2х + 1)2 – (х – 2)2 = 0.

65

16. Реши једначине: а) 2x2 – 32 = 0; б) 8x2 – 200 = 0; в) 45x2 – 20 = 0; г) х3 – 49х = 0; д) 49х – 4x3 = 0; ђ) 27х – 48х3 = 0.

17. Дати трином трансформиши у квадрат бинома: а) х2 + 2ху + у2; б) х2 + 6х + 9; в) а2 + 8а + 16; г) у2 + 2у + 1; д) 9а2 + 6а + 1; ђ) 1 + 10m + 25m2; е) 16х2 + 8х + 1; ж) b2 + 16 + 8b; з) 49 + х2 + 14х.

18. Растави на чиниоце: а) х2 – 12х + 36; б) a2 – 14a + 49; в) 81а2 – 36аb + 4b2; г) 36 – 96а + 64a2; д) 49а2 – 42а + 9; ђ) 0,01b2 – bc + 25c2; е) a2 – a + 0,25; ж) 16x2 – 24xy + 9y2; з) 25a2 – 40ab + 16b2.

19. Растави на чиниоце:

а) 0,25х2y2 – 0,1хy + 0,01; б) 0,09a2 + 0,12ab + 0,04b2; в) 14

– x + x2;

г) a2

81 + 8ab

9 + 16b2; д) c4 – 8c2 + 16; ђ) c4 – 2c2d2 + d4.

20. Растави на чиниоце: а) 3х2 + 6х + 3; б) x3 + 12x2 + 36x; в) 5х2 – 30х + 45; г) x4 – 2x2 + 1; д) 100a2 + 600a2b2 + 900b2; ђ) 2a2b2 – 12abc + 18c2; е) –11 – 66а2 – 99а4; ж) –5у2 + 20у – 20; з) 5х3у2 + 10х2у + 5х; и) 27х3 – 90х2 + 75х; ј) 242а2х + 308ах + 98х; к) 5b3 – 60b2 + 180b.

21. Реши једначине: а) х2 + 10х + 25 = 0; б) y2 – 6y + 9 = 0; в) х2 – 12х + 36 = 0; г) a2 + 4a + 4 = 0; д) 1 – 8х + 16х2 = 0; ђ) 4х2 + 20х + 25 = 0; е) 36 – 96х + 64х2 = 0; ж) 8х2 + 16х + 8 = 0; з) 27а2 + 18а + 3 = 0.

22. Дати израз трансформиши у квадрат бинома, па израчунај његову вредност: а) 892 + 2 ∙ 89 ∙ 11 + 112; б) 372 + 2 ∙ 37 ∙ 13 + 132; в) 1232 – 2 ∙ 123 ∙ 43 + 432; г) 392 – 2 ∙ 39 ∙ 14 + 142.

23. Испитај тачност једнакости: а) (x – 2b) (x2 – 5bx + b2) + (2b – x) (x2 – 6bx + b2) = bx (x – 2b); б) (a – 3c) (2a2 – 7ac – c2) – (3c – a) (c2 + 7ac – a2) = a2 (a – 3c).

24. Ако су у троуглу АВС странице а = х2 – у2, b = 2xy и c = х2 + у2, х > у, докажи да је тај троугао правоугли.