1 1

A partir de la unidad fraccionaria , representa en la recta real :3

1 4 6 2 , , ,

3 3 3 3

Solución:

2 Escribe en forma de fracción los siguientes números reales: a) 1,43000… b) -9,636363…. c) 1,010010001… d) 9,636363… Solución:

143a)

100

963 + 9 954b) =

99 99

c) No se puede porque es irracional.

963 9 954d) =

99 99

3 Realiza las siguientes operaciones:

·

2

2

4 2 4 2 5 1 3a) : + :

10 3 5 3 3 4 5

2 7 5 1 4 2 1b) + + +

3 2 6 4 3 3 6

Solución:

13a)

28

49b)

18

4 Expresa como radical:

15 46

11 34

45 32

21 53

a) 3

b) 3

c) 7

d) 5

Solución:

524 524

1

1212

20 103 106 3

215 215

a) 3 3

) 3 3

c) 7 7 7

d) 5 5

b

5 Escribe en forma de exponente fraccionario y simplifica los radicales.

12 16

5 15

11 33

) 8

) 3

) 4

a

b

c

Solución:

16 481612 16 3 412 1212

155 15 35

3311 33 311

) 8 8 2 2 2 16

) 3 3 3 27

) 4 4 4 64

a

b

c

6 Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales. a) (1,46 · 10

5) + (9,2 · 10

4)

b) (2,96 · 104) - (7,43 · 10

5)

c) (9,2 · 1011

) · (5,4 · 103)

d) (2,9 · 10-7

) : (1,4 · 10-5

) Solución: a) (1,46 · 10

5) + (9,2 · 10

4) = 2,38 · 10

5

b) (2,96 · 104) - (7,43 · 10

5) = -7,134 · 10

5

c) (9,2 · 1011

) · (5,4 · 103) = 4,968 · 10

15

d) (2,9 · 10-7

) : (1,4 · 10-5

) = 2,07 · 10-2

7 Resuelve utilizando la definición de logaritmo:

a

a

a

a) log 4 2

b) log 243 5

c) log 1 0

Solución: a) a = 2 b) a = 3 c) a puede ser cualquier número real positivo.

8 Calcula:

3

1

2

2

1a) log

9b) log 8

c) log 4

Solución:

a) 2

b) 3

c) 4

9 x xSi log a 2 y log 16a 4, deduce el valor de x.

Solución:

a16xa,x 42

Dividiendo obtenemos:

16a

a16x2

con lo que x = 4 (descartamos la solución negativa, pues la base debe ser positiva).

10 Ordena de forma decreciente los siguientes números:

a) 2 3

5b)

2

c) 3 2

d) 2 5

Solución: d > c > a > b

11 Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:

a) 3 x 0 b) 4 x 1 c) 0 x 3 d) 1 x 2

Solución:

a) Abierto ( 3,0)

b) Abierto por la izquierda ( 4, 1]

c) Abierto por la derecha [0,3)

d) Cerrado [ 1,2]

12 Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:

a) , 0 0,

b) , 0 0,

c) , 0 0,

d) , 3 7 4

Solución:

a) , 0 0, , 0

b) , 0 0, 0

c) , 0 0, 0

d) , 3 7 4 , 3

13 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) descritos más abajo, calcula:

a) p(x) + q(x)

b) p(x) q(x)

c) p(x) + q(x) r(x)

d) p(x) q(x) r(x)

2 2p(x) 4x 13x 20 ; q(x) 10x 7x 8 ; r(x) 5x 1.

Solución:

2

2

2

2

a) p(x) q(x) 14x 20x 28

b) p(x) q(x) 6x 6x 12

c) p(x) q(x) r(x) 14x 25x 29

d) p(x) q(x) r(x) 6x 11x 13

14 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) descritos más abajo, calcula:

a) p(x) + q(x)

b) p(x) q(x)

c) p(x) + q(x) r(x)

d) p(x) q(x) r(x)

3 3 3 2p(x) 4x 9x 8 ; q(x) 5x 3 ; r(x) 2x x 1.

Solución:

3

3

3 2

3 2

a) p(x) q(x) 9x 9x 11

b) p(x) q(x) x 9x 5

c) p(x) q(x) r(x) 7x x 9x 10

d) p(x) q(x) r(x) 3x x 9x 4

15 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) descritos más abajo, calcula: a) p(x) · q(x) b) p(x) · r(x) c) q(x) · r(x)

4 2 4 2 4p(x) 2x x 2 ; q(x) 2x x 4 ; r(x) 3x 15.

Solución:

8 4 2

8 6 4 2

8 6 4 2

a) p(x) · q(x) 4x 3x 6x 8

b) p(x) · r(x) 6x 3x 24x 15x 30

c) q(x) · r(x) 6x 3x 42x 15x 60

16 Calcula:

3

3

3

a) (a 2b)

b) (3x 2y)

c) ( 1 4h)

Solución:

3 2 2 3

3 2 2 3

2 3

a) a 6a b 12ab 8b

b) 27x 54x y 36xy 8y

c) 1 12h 48h 64h

17 Calcula:

2

3

3 3a) m 5h m 5h

2 2

3 4b) x y

7 5

c) 5h 2z

Solución:

2 2

2 2

3 2 2 3

3a) m 25h

49 24 16

b) x xy y49 35 25

c) 125h 150h z 60hz 8z

18 Calcula:

3

2

a) 3x 7y 3x 7y

2b) 5x y

5

c) 5x 3y

Solución:

2 2

3 2 2 3

2 2

a) 9x 7y

12 8b) 125x 30x y xy y

5 125

c) 5x 6 5 xy 9y

19 Obtén dos polinomios diferentes cuyas únicas raíces sean 6, 0, 1.

Solución: Por ejemplo:

x6x5x1)6)(xx(x 23

x6x5x1)6)(xx(x 23

20 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

3 2

3 2

3 2

a) 9x 8x 271x 30

b) x 5x 138x 792

c) x 2x 73x 70

Solución:

a) (9x 1)(x 6)(x 5)

b) (x 11)(x 12)(x 6)

c) (x 1)(x 10)(x 7)

Raíces:

1a) 5, ,6

9b) 12,6,11

c) 7, 1,10

21 Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:

4 3 2

5 4 3 2

6 5 4 3 2

a) x 3x x 4

b) x 3x 4x 4x 3x 1

c) x 6x 14x 18x 17x 12x 4

Solución:

22

32

2 22

a) x x 1 x 2

b) x 1 x 1

c) x 1 x 1 x 2

Raíces: a) 2 (doble) b) -1 (triple) c) -1 (doble), -2 (doble)

22 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

4 2

4 2

a) x 5x 4 0

b) x 25x 144 0

Solución: a) Realizando el cambio de variable x

2 = z queda la ecuación:

z2 - 5z + 4 = 0, cuyas soluciones son: z = 1 y z = 4.

Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas tenemos:

x = 1; x = 1; x = 2 y x = 2.

b) Realizando el cambio de variable x

2 = z queda la ecuación:

z2 - 25z + 144 = 0, cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16.

Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas tenemos:

x = 3; x = 3; x = 4 y x = 4.

23 Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con el

siguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos más pequeños. Solución: Se plantea la ecuación: Edad del más pequeño: x Entonces: x + (x + 1) + (x + 2) = 9 + x + (x + 1) Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + 2 = 9 años.

24 El área de un triángulo rectángulo es 6 m2 y sabemos que su hipotenusa mide 5 m. Calcula la longitud de

los dos catetos que forman la base y la altura. Solución: Del área del triángulo se tiene:

x

A2c

2

cxA

Del teorema de Pitágoras:

2

222222

x

A4xh cxh

Multiplicando ambos miembros por x

2 y pasándolo todo al primer miembro queda:

4 2 2 2

4 2

x x · h + 4 · A = 0

x 25x + 144 = 0

Realizando el cambio de variable x

2 = z queda la ecuación:

z2 - 25z + 144 = 0, cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16.

Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas tenemos:

x = 3; x = 3; x = 4 y x = 4

Las soluciones válidas son las positivas, una para cada cateto.

25 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.

x 2y 5a)

2x 4y 2

3x 2y 12b)

x 2y 8

Solución:

a) x = 3; y = 1

b) x = 2; y = 3

26 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción.

x 2y 5a)

2x y 7

2x 4y 10b)

2x y 7

Solución: a) Sustitución:

x 2y 5 x 5 2y

2x y 7 2(5 2y) y 7

10 4y y 7; 3y 3 y 1, x 3

Reducción

2 x 2y 5 2x 4y 10 2x y 72x y 7

3y 3 y 1; x 3

b) Sustitución

2x 4y 10 y 7 2x

2x y 7 2x 4(7 2x) 10

2x 28 8x 10; 6x 18 x 3; y 1

Reducción:

2x 4y 102x 4y 10 2x y 72x y 7

3y 3 y 1; x 3

27 El área de un triángulo rectángulo es 6 m2 y su perímetro 12 m. Calcula la longitud de los lados del

triángulo. Solución: Llamamos x e y a los catetos y escribimos las ecuaciones en función de éstos:

12yxyx

12yx

22

La segunda ecuación que tiene la forma de una radical la tratamos como tal elevándola al cuadrado:

2 2 2 2 2 2

2 2

x y 12 x y; x y 144 x y 24x 24y 2xy

1224x 24y 2xy 144 yxy 12 x

12 1224 24x 2 x 144; 24x 168x 288 0 x 7x 12 0 x 4, x 3

x x

Tomando x = 4 se tiene y = 3 y viceversa si se toma x = 3 será y = 4, que forman el mismo triángulo.

28 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 2x + 4 > x + 6

b) x + 1 < 2x + 4

c) x + 51 > 15x + 9

Solución:

a) x > 2

b) x > 1

c) x < 3

29 Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:

12

37

3

3x1

4

2x34x

Solución:

Multiplicamos por 12, que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:

48x + 9 6x > 4 12x 37

Se trasponen términos:

48x 6x +12x > 4 37 9

Se opera en cada miembro

42x > 42

Se divide por 42 ca

da miembro y se cambia el sentido de la desigualdad:

x < 1

30 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 2(x 3) > 1 3(x 1)

b) 2(x + 1) + 4 < 2(x + 3)

x 20 1 2x c) <

8 10

Solución:

a) x > 2

b) x < 3

c) x < 8

31 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

5 x 12a)

16 2x 3x 3

3x 2 7b)

5 x 1

Solución:

a) 17,

b) 4,

32 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

6 x 4x 5a)

1 2x 3

2x 6 0b)

x 4 5

Solución:

a)

b) 1,3

33 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

2 x 7

3 4 6a)

3 x1 0

2 4

x 1x 2

2b) 1

3x x 73

Solución:

a) , 2

10b) 3,

3

34 La razón de semejanza de los lados de dos cuadrados es 0,6. ¿Cuál es la razón de sus áreas? Solución: La razón de semejanza de sus áreas es:

0,360,6

l

l

l

l

S

S 22

2

2

35 Calcula cuántas veces es más grande una pizza familiar que una pequeña si el radio de la familiar es 40 cm y el de la pequeña es 25 cm. Solución:

2

2

Área familiar π · 40 1600 64 2,56 veces.

625 25Área pequeña π · 25

36 Dos ciudades situadas a 63 km están representadas en un mapa a una distancia de 4 cm. ¿A qué distancia se encontrarán dos ciudades que distan 233 km? Solución: Primero calculamos la escala del mapa pasando, previamente, los km a cm:

1.575.000:1 Escala1.575.0004

6.300.000

Con lo que si dos puntos distan 233 km, en el mapa se representan a:

cm 14,81.575.000

23.300.000

37 Dos triángulos rectángulos tienen uno de sus ángulos de 40º. ¿Podemos asegurar que dichos triángulos son semejantes?

Solución: Sí, pues ambos tienen los tres ángulos iguales: 40º, 90º y 50º.

38 Calcula x e y en los siguientes triángulos: a) b) c)

Solución: a) Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales, por lo que:

cm2x2

x

32

5

b) Los triángulos ABC y ABD son semejantes, pues comparten el ángulo B y ambos tienen un ángulo recto.

8,2 14 82 415,86m

10 14 7y

y

c) Los dos triángulos son semejantes, pues el ángulo opuesto por el vértice es igual y las bases son paralelas.

x 4 y 4x 10cm ; x 10cm

5 2 5 2

39 Encuentra los lados desconocidos: a) b)

Solución: a) Por el teorema de Pitágoras:

cm4,3619x109x 222

Los tres triángulos son semejantes, pues tienen los mismos ángulos. Entonces:

cm20,644,36

90z

z

10

9

4,36

y 9 81y 17,58cm

9 4,36 4,36

b) Los tres triángulos son semejantes, pues tienen los mismos ángulos. Entonces:

a' 10a' · b' 100

10 b'

Pero como b' = 27 - a', entonces a' · (27 - a') = 100. Resolviendo:

a' 4,43cm, b' 22,57cm ó viceversa.

Por otro lado:

cm10,94aa

27

4,43

a

cm24,69bb

27

22,57

b

40 Miara antes la teoría en el libro Halla el seno y el coseno de los ángulos B y C del dibujo. ¿Qué relación encuentras?

Solución: Por el teorema de Pitágoras:

cm8x106x 222

Por tanto:

6 3 8 4senB y cosB

10 5 10 58 4 6 3

senC y cosC10 5 10 5

. Observamos que senB = cosC y que cosB = senC.

41 ¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 12, 13 y 5 cm? En caso afirmativo determina el seno, coseno y tangente de los dos ángulos agudos. Solución: Sí es rectángulo, pues:

222 13125

Entonces:

12

5tgA ,

13

12cosA ,

13

5senA

12 5 12sen , cos , tg

13 13 5B B B

42 Calcula de manera razonada y exacta sen 45º. Solución: Tomemos un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura:

BC 1 2Aplicando el teorema de Pitágoras, sabemos que AB BC 2, por lo que sen45º

AB 22

43 3 4Si sabemos que senA , que cosA y que A está en el primer cuadrante, calcula

5 5las siguientes razones trigonométricas sabiendo que A está expresados en grados:

a) tg(90 A)

b) sen(90 A)

c) cos(180 A)

Solución:

sen(90 A) cosA 4a) tg(90 A)

cos(90 A) senA 3

4b) sen(90 A) cosA

54

c) cos(180 A) cosA5

44 5Si a es un ángulo del cuarto cuadrante y tg a = , ¿cuánto valen las otras dos

3razones trigonométricas?

Solución:

2

2

1 1 9 3cos a cos a 0,5145;

25 341 tg a 3419

3 5 5sen a cos a tg a 0,8575

334 34

45 Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre 2π y 2π se

verifica que tg A = 1.

Solución:

.rad4

π7 ó rad

4

π3 ó rad

4

π5 ó rad

4

π1arctgA

46 Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el

ˆcateto b = 11 cm y el ángulo A 56º.

Solución:

.cm16,30856ºtg11Atgbab

aAtg;cm19,671

34ºsen

11

Bsen

bc;34ºA90ºB

47 Halla el área de un hexágono regular de lado 10 cm. Solución:

2

perímetro apotemaÁrea

2lado

5 6 10 8,662tg30º a 8,66 Área 259,81 cm .apotema tg30º 2

48 Halla el área de un dodecágono regular de lado 16 cm. Solución:

.cm2866,2152

29,8561612Área

cm29,85615ºtg

8ap

ap

2lado

15ºtg;2

apotemaperímetroÁrea

2

49 Un faro tiene una altura de 20 m. Desde lo alto del faro el ángulo de depresión de un barco es 35º. ¿A qué distancia de la base del faro está el barco? Solución:

Como el ángulo de depresión (ángulo que forma la visual con la horizontal) es de 35º:

m28,5635ºtg

20x

x

2035ºtg

50 Un camión de mudanzas debe transportar un listón de 4,5 m de largo. Si la parte destinada a la carga tiene forma de ortoedro cerrado de dimensiones 3,5 x 2,5 x 2 m, ¿se podrá transportar el listón? Solución: Hay que calcular la diagonal x del ortoedro:

m4,7422,5x22,53,5x 2222

Por tanto, sí entra el listón de 4,5 m.

51 Desde un pico se ven dos pueblos A y B. Sabiendo que la distancia que los separa es 1400 m y las visuales desde la cumbre son las del dibujo, determina la altura del pico.

Solución: Llamando h a la altura del pico y x a la distancia de A a la proyección de la cumbre:

hh xtg27º35' tg27º35' 1400·tg15ºx h 770,13mh tg15ºh

1tg15º 1400 tg15º htg27º35'1400 x tg27º35'

52 Hallar la superficie de un triángulo conocidos los tres lados: 8 cm, 11 cm, 15 cm. Solución: Utilizando la fórmula de Herón:

2ABC cm 42,85

4

1812434

4

cbacbacbacbaA

53 Un agricultor quiere comprar un terreno a 135 euros el metro cuadrado. Calcula el precio del terreno sabiendo que tiene, en metros, las dimensiones siguientes:

100

60

40

75 Solución: Se trata de un triángulo y un trapecio coincidentes en la base mayor.

2TRAPECIOTRIÁNGULOTOTAL

22TRAPECIO

21TRIÁNGULO

m 725052502000AAA

m 52502

6075100

2

hbBA

m 20002

40100

2

hBA

El precio del terreno será:

22

€7250 m 135 978750 €m

54 Un satélite de observación cubre la superficie determinada por tres poblaciones A, B y C. En una fotografía se observa que las distancias entre dichos puntos son: AB = 20 cm, AC = 40 cm y BC = 55 cm. Si la fotografía está tomada a escala 1:1.000.000, ¿qué superficie estará observando? Solución: Calculamos el área por la fórmula de Herón:

ABC

AB 20 cm 1.000.000 20.000.000 cm 200.000 m 200 km

AC 40 cm 1.000.000 40.000.000 cm 400.000 m 400 km

BC 55 cm 1.000.000 55.000.000 cm 550.000 m 550 km

200 400 550 200 400 550 200 400 550 200 4A

2

00 550

4

1150 750 350 5030714,16 km

4

55 Calcula el área de un ortoedro de base cuadrada de 3 m de lado y arista lateral de 10 m. Solución: El ortoedro tiene dos bases y cuatro caras laterales:

2LATERALBASETOTAL

2LATERAL

2BASE

m 13830492A4A2A

m 30103A

m 9 33A

56 ¿Cuál es la superficie del Casquete polar ártico, sabiendo que el radio de la Tierra es 6,37·106 metros y,

suponiendo que su radio (rc) mide tres cuartas partes del Radio Terrestre y su altura (hc) es igual a la cuarta parte de dicho Radio? Solución: Calculamos el área de un casquete esférico de medidas:

21366ccCASQUETE

66Tc

66Tc

m 104,8 101,6104,77π2hrπ2A

m 101,6106,374

1R

4

1h

m 104,77106,374

3R

4

3r

57 Pepe quiere fabricar una tienda de campaña de 3 m de larga, 1,5 m de ancha y 2 m de alta. Si el metro cuadrado de lona está a 2,9 €, ¿cuánta tela necesitará Pepe? ¿Qué precio tendrá que pagar por ella? Solución: Se trata de un prisma con dos bases triangulares y tres lados rectangulares:

2TRIÁNGULO

m 1,5 2

21,5

2

alturabaseA

Para calcular el área del rectángulo necesitamos conocer el valor del lado menor:

2

2 2

2

RECTÁNGULO

1,5b 2 4,56 b 2,14 m

2

A B b 3 2,14 6,42 m

Por tanto:

2

TOTAL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

22

A 2 A 3 A 2 1,5 3 6,42 22,26 m

€Coste: 22,26 m 2,9 64,554 €m

58 Dados u (4,3), v ( 1,2) y w (7, 5), calcula:

a) u v

b) u v

c) u v w

Solución:

a) (3,5)

b) (5,1)

c) (10,0)

59 Halla para que los puntos A(6,y), B(5, 2) y C( 1,6) estén alineados.y

Solución:

7 6 y 10 10

AB ( 1, 2 y) ; AC ( 7,6 y) 14 7y 6 y y A 6,1 2 y 3 3

60

Halla las coordenadas de D(x,y) para que el cuadrilátero ABCD,

con A( 1,2), B(4, 3), C( 5,9), sea un paralelogramo.

Solución:

5 x 5 x 10

D(x,y) DC AB ( 5 x,9 y) 5, 5 D 10,149 y 5 y 14

Comprobación:

AD BC ( 9,12) ( 9,12)

61 1 1 2

Dados los puntos A 1, , B ,1 , C ,2 , halla las coordenadas de5 5 5

un punto D de modo que AB sea equipolente a CD.

Solución:

2 6 8

x x2 6 4 8 145 5 5D (x,y) CD x ,y 2 ; AB , D ,

4 145 5 5 5 5y 2 y

5 5

62 De entre los puntos A(2, 2), B(1,4) y C( 4,1), ¿cuál está más cerca del origen de

coordenadas?

Solución:

OA (2, 2) d(O,A) 8

OB (1,4) d(O,B) 17

OC ( 4,1) 17

A es el más cercano.

63 Comprobar métricamente si:

a) los puntos A( 1, 3), B(0, 5) y C(3, 1) forman un triángulo rectángulo.

b) los puntos A(0, 4), B(0, 8) y C(6, 5) forman un triángulo isósceles.

Solución: a)

2 2

2

AB (1,2) | AB | 1 4 5

AC (4, 2) | AC | 16 4 20 2 5 5 2 5 5

BC (3, 4) | BC | 9 16 25 5

El triángulo sí es rectángulo. b)

AB (0,4) | AB | 4

AC (6,1) | AC | 36 1 37

BC (6, 3) | BC | 36 9 45

No es un triángulo isósceles, pues todos los lados son distintos.

64 Halla el ángulo que forman u 5i 12j y v 2i 6j.

Solución:

5 i 12 j · 2 i 6 j 10 72 82

u,v arccos arccos arccos 175º48'54''25 144 4 36 169 40 13 40

65 Dados OA 2 i j, OB 5 i 5j, OC 3 i j y OD 6 i 5j, demostrar que ABCD es

un rectángulo y calcular su perímetro.

Solución:

AB (3,4), BC ( 8, 6), DC (3,4), AD ( 8, 6)

Por lo que como AB DC y BC AD, ABCD es un rectángulo.

Su perímetro es:

302·102·5366421692

66 Demostrar vectorialmente que u y v son perpendiculares si y sólo si |u v| |u v|.

Solución:

En primer lugar, supongamos que u y v son perpendiculares, es decir ,que u·v 0, y demostremos que | u v | | u v | :

22 2 2 2 2

22 2 2 2 2

| u v | u v u 2u·v v u v| u v | | u v |

| u v | u v u 2u·v v u v

En segundo lugar, supongamos que | u v | | u v | y demostremos que u y v son perpendiculares, es decir, que u·v 0:

2 2 2 2 2 2| u v | | u v | u 2u·v v u 2u·v v 4u·v 0 u·v 0

67 Indica si las rectas r : 2x + y + 1 = 0 y s : 4x 2y + 3 = 0 son secantes o paralelas. En caso

que sean secantes, averigua su punto de intersección.

Solución:

4 2

son secantes y se cortan en:2 1

4

1,

8

5P

3y2x4

1yx2

68 Escribe la ecuación general de la recta que pasa por A( 7,2) y B(1,6).

Solución:

y 2 6 2 y 2 1

2y 4 x 7 x 2y 11 0x ( 7) 1 ( 7) x 7 2

69 Sabiendo que la temperatura aumenta 1 ºC cada 32 m de profundidad y que en la superficie dicha temperatura es de 20 ºC, halla la ecuación de la recta que relaciona la profundidad (x en m) y la temperatura (y en ºC). ¿De qué profundidad procederá un agua que brote a 55 ºC? Solución:

1 1

m ; n 20 r : y x 2032 32

1 1y 55º x 20 55 x 35 x 32 35 1120m

32 32

70 De las siguientes gráficas, decir cuál de ellas son funciones, y en ese caso indicar el dominio y el recorrido.

a)

b)

c)

Solución: Aplicando el test de la línea vertical se observa que en a) y en c) se puede cortar la gráfica en más de un punto. Sólo es una función la correspondiente apartado b).

Dominio ( ,0)

Recorrido ( ,0)

71 1Dada la función f(x) indica su dominio y su recorrido y dibújala.

2x 1

Solución:

1Dom(f) = { }

2Rec(f) = {0}

Tomando algunos valores:

x -2 -1 0 1 2

f(x) -1/3 -1 1 1/3 1/5

72 El segundero de un reloj analógico avanza 6º cada segundo. Escribe una función que exprese el ángulo girado (en grados) en función del tiempo (en segundos) y dibújala. Solución:

α 6t

6

t 1

73 1Dadas f(x) x 2 y g(x) , calcula f + g indicando su dominio.

x

Solución:

2x 2x 1

(f g)(x) , Dom(f + g) = 0x

74 Calcula (f g)(x) y su dominio si f(x) x y g(x) 2x 1.

Solución:

1

(f g)(x) 2x 1, Dom(f g) ,2

75 Calcula, si es posible, la función recíproca de:

3

1 3xa) f(x)

67 x

b) g(x)x3

c) h(x)2 2x

d) i(x) x 2

Solución:

1

1

1

1 3

1 6 xa) f (x)

37

b) g (x)x 12x 3

c) h (x)2x

d) i (x) x 2

76 2Un movimiento tiene por ecuación de su distancia s(t) t t 1. Calcula:

a) La velocidad media en [0,3] b) La velocidad media en [3,6] Compáralas. Solución:

13 1a) 4

343 13

b) 103

La velocidad en el segundo intervalo es mucho más grande, por lo que el movimiento tiene una gran aceleración.

77 Al medir el índice de variación del número de nacimientos en España se ha observado que ha habido una

notable disminución. Tomando como valor 100 el correspondiente al año 1990 se tiene:

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Índice 100 93,3 90,3 85 82,9 79,9 76,8 73,7 72,8 70 68,7

¿Cuál fue la disminución durante el primer lustro? ¿En qué trienio hubo un mayor descenso? Interpreta el signo del resultado. Solución:

1990,1995

1990,1993 1991,1994 1992,1995

1993,1996

79,9 100 21,1TVM 4,22

1995 1990 585 100 82,9 93,3 79,9 90,3

TVM 5 ; TVM 3,47 ; TVM 3,471993 1990 1994 1991 1995 1992

76,8 85TVM 2,73 ; TV

1996 1993

1994,1997 1995,1998

1996,1999 1997,2000

73,7 82,9 72,8 79,9M 3,07 ; TVM 2,37

1997 1994 1998 199570 76,8 68,7 73,7

TVM 2,27 ; TVM 1,671999 1996 2000 1997

El trienio en el que hubo más descenso fue en 1990-1993. El signo negativo indica que es descenso en lugar de aumento.

78 Un móvil tiene por ecuación de su distancia s(t) = t2. Hallar la velocidad media en los intervalos [1, 2], [1,

1,9], [1, 1,8], [1, 1,5], [1, 1,1], [1, 1,01] y [1, 1,001]. ¿Hacia qué número se acercan? Solución:

1 2 3 4

5 6 7

4 1 3,61 1 3,24 1 2,25 1v 3 ; v 2,9 ; v 2,8 ; v 2,5

2 1 1,9 1 1,8 1 1,5 1

1,21 1 1,0201 1 1,002001 1v 2,1 ; v 2,01 ; v 2,001

1,1 1 1,01 1 1,001 1

Se acerca hacia el 2.

79 Estudia la siguiente gráfica, indicando: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, simetría, periodicidad crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

Solución:

Dominio: {0}

Recorrido: {0}

Corte eje OY: no tiene Eje OX: no tiene

Simetría: respecto del origen

Periodicidad: no tiene

Creciente: nunca Decreciente: en todo su dominio

Continuidad: la función

no es continua en x = 0

Máximos: no tiene Mínimos: no tiene

80 Dibuja una gráfica con las siguientes características:

Dominio: [ 5, 7]

Recorrido: ( , 4]

Ptos. de corte: ( 3, 0), (1, 0), (5, 0) y (0, 2)

Discontinuidad: x = 4

Máximo: (6, 4) Mínimos: no hay

No periódica y no simétrica

Solución:

Por ejemplo, la siguiente: y

x

81 Las siguientes funciones no son simétricas ni respecto al origen ni respecto al eje OY, pero lo son con respecto a otros ejes u otros puntos. Dibújalas y di con respecto a qué ejes o puntos son simétricas y sus zonas de crecimiento y decrecimiento.

2

2

a) y = x + 2x + 1

b) y = x + 6x 5

Solución:

a)

b)

a) Simétrica respecto a la recta x = 3

Creciente: x < 3

Decreciente: x > 3

b) Simétrica respecto al punto (0, 1)

Siempre decreciente

82 n n

4n 2 n 4Determina el límite de a y de b .

9n 5 7n 2

Solución:

n

n

4lim a

9

n

n

1limb

7

83 Calcula:

2

2n 1

n

n 62

2n

n 2a) lim

n 2

n 1b) lim

n 1

Solución:

2

2 2

2

4(2n 1)n-2 n 24

2n 1

8

n n

2(n 6)

n 1 n 1

2

n 6

2

2 2n n

4 1a) 1 lim 1 lim 1 e

n 2n 2

4

2 1b) 1 lim 1 lim 1 e

n 1 n 1

2

84 n

2n 3Demuestra que la sucesión a converge al número real 2.

n 1

Solución:

0 0 n

0

Dado > 0, hay que encontrar n , tal que si n > n , se cumpla que a 2 ε, es decir:

2n 1 2n 3 2n 2 1 1 12 ε n 1 n 1

n 1 n 1 n 1 ε ε

1Por tanto, n 1

ε

85 2x 1Consideremos f(x) , que no está definida para x 1. ¿Qué valor ha de tomar

x 1f en x 1 para ser continua?

Solución:

2

x 1 x 1 x 1

Como:

x 1 0 (x 1)(x 1)lim lim lim (x 1) 2

x 1 0 x 1

el valor que ha de tomar f en x 1 es f( 1) 2.

86 Indica para qué valores de x las siguientes funciones son continuas:

2

2

a) f(x) x 16

b) g(x) 9 x

Solución:

a) , 4 4,

b) 3,3

87 Hallar los puntos de discontinuidad de f(x) y su tipo:

|x| xa) f(x)

2b) f(x) x E(x)

Solución:

a) No tiene puntos de discontinuidad, pues es suma de funciones continuas en .

b) Es discontinua en todos los números enteros con una discontinuidad de salto finito igual a 1.

88 2Calcula, usando la definición, la derivada de f(x) x en x = 3.

Solución:

2 2

h 0 h 0 h 0 h 0

f(3 h) f(3) (3 h) 9 6h hf'(3) lim lim lim lim 6 h 6

h h h

89 Calcula la velocidad, para t = 1 segundos, de los movimientos dados por (unidades en metros):

2

2

3

a) e(t) 2t 3t

b) e(t) 3t 4t 3

c) e(t) t 2t

Solución:

2

ma) e'(t) 4 t 3 e'(1) 1 s

mb) e'(t) 6 t 4 e'(1) 2 s

mc) e'(t) 3 t 2 e'(1) 5 s

90 21

Halla un punto de la gráfica de y x 1 en el que la tangente2

sea paralela a la recta y x 1.

Solución:

La pendiente de la recta tangente es f'(x) y la recta es paralela a la recta y x 1 si tiene la misma pendiente, es decir, 1.

1 3 3f'(x) x 1 x 1 y 1 1,

2 2 2

91 Calcula las derivadas sucesivas, hasta orden 3, de:

5 4

8 6

a) f(x) 6x 3x

b) g(x) 2x 4x

Solución:

4 3 3 2 2

7 5 6 4 5 3

a) f'(x) 30x 12x f''(x) 120x 36x f'''(x) 360x 72x

b) g'(x) 16x 24x g''(x) 112x 120x f'''(x) 672x 480x

92 Hallar la función derivada y el dominio de derivabilidad de:

a) f(x) |x|

b) f(x) E(x)

Solución:

x si x 0 1 si x 0

a) f(x) f'(x)x si x 0 1 si x 0

En x = 0 no es derivable porque tiene derivadas laterales distintas (1 y 1).

b) Como E(x) es el número entero inmedi

atamente menor a , es constante en todos los intervalos n, n 1 con entero.

Por tanto, su derivada es 0 en los intervalos n, n 1 y no es derivable en los x enteros por no ser continua.

x n

93 Determina m con la condición de que la pendiente de la recta tangente

mx 1a la curva y en el punto x = 1 sea paralela a y x.

2x m

Solución:

La condición es equivalente a que f'(1) 1.

2

2 2

m· 2x m mx 1 ·2 m 2f'(x)

2x m 2x m

22 2

2

m 2f'(1) 1 m 2 4 m 4m m 1

2 m

94 Representa las siguientes parábolas por traslación de y = x2.

2

2

2

a) y (x 1)

b) y x 1

c) y (x 1) + 1

Solución:

a)

b)

c)

95 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las

siguientes funciones cuando x

a) f( ) x 4

1b) g(x)

x 42x 1

c) h(x)x 1

x

Solución:

a) Cuando x f(x)

b) Cuando x g(x) 0

c) Cuando x h(x) 2

96 Calcula las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

2

2

4x 1a) f(x)

3x 10

4x 6x 3b) g(x)

2x 1

Solución:

Una función tiene asíntota horizontal cuando al hacer tender la variable a la función tiende a un valor concreto:

4 4

a) Cuando x tiende a la función tiende a , por tanto la asíntota horizontal es y3 3

b) Cuando x tiende a la función tiende a 2, por tanto la asíntota horizontal es y 2

97 Dibuja y compara las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas a partir de las correspondientes

funciones exponenciales:

0,1

a) y log x

b) y log x

Solución: a)

-4 -2 2 4

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. b)

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

2

4

6

Son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

98 xPartiendo de una función exponencial de la forma y = a + b, encuentra los valores de a

y b sabiendo que pasa por los puntos (0, 2) y (1, 1).

Solución:

Como la igualdad de la función se tiene que cumplir para las dos parejas de valores, se obtiene un sistema de ecuaciones

que permite calcular los valores a y b:

a = 2, b = 3 entonces: y = 2x 3

99 Representa y sen x y, a partir de ella, y 2 sen 4x.

Solución:

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

100

Representa y cos x y, a partir de ella, y cos x 2.

Solución:

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1