ベクトルの外積 -...
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ベクトルの外積
第4回
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S
ba
ベクトルの外積
の長さは、平行四辺形の面積ba
S に等しい
b
a
y
Z
X
a
向きは、平行四辺形の面に垂直で から へねじを回したときねじの進む方向である
b
ba
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平面の法線ベクトル
の長さは、平行四辺形の面積ba
S に等しい
S
ba
b
a
baS
ba,
が作る平行四辺形を含む面に
垂直で、長さが1のベクトルを法線ベクトルといい、
ba
ba
S
ban
n
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2つのベクトルの外積
sinbaba
ba
からは平行四辺形の面積だ
の外積とba
a
b
sina
とするとき、
ba
, のなす角を 0
方向は 紙面の手前から奥に向かう方向
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平行なベクトルまたはゼロベクトルとの外積
sinbaba
•平行→ →0sin 0
,0sin
ba
baba
•どちらかが0
,00sin0,0
ba
bbaa0
→
特に 0,00sin
aaaaaa
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外積の基本性質
bababaIII
acabacb
cabacbaII
abbaI
.
.
.
反可換
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基本ベクトルの外積
について321,, eee
基本ベクトル
0
,,
332211
213132321
eeeeee
eeeeeeeee
1 2
3
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外積の成分表示
333323231313
323222221212
313121211111
332211332211
332211
332211
eebaeebaeeba
eebaeebaeeba
eebaeebaeeba
ebebebeaeaeaba
ebebebb
eaeaeaa
の外積
3
2
1
3
2
1
,
b
b
b
b
a
a
a
a
=0
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外積の成分表示つづき
1 2
3
231123312
213132321
,,
,,
eeeeeeeee
eeeeeeeee
23231313
32321212
31312121
eebaeeba
eebaeeba
eebaeeba
123322311331221
ebabaebabaebaba
123123123123123123123…
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外積の成分表示つづき
123322311331221
ebabaebabaebaba
312212311312332
ebabaebabaebaba
1
0
0
0
1
0
0
0
1
122131132332babababababa
1221
3113
2332
baba
baba
baba
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覚え方
あとでやる行列式の形で覚えるのが楽でしょう
321
321
321
bbb
aaa
eee
ba
+
-
黄色線上の成分を掛けて符号+をつけ橙色線上の成分を掛けて符号-をつけ全部を加える
213123123
123132321
eabebaabe
abebaebae
(1)
(1) (2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(4)
(5)
(5)
(6)
(6)
31221
2131312332
eabba
eabbaebaba
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行列式2x2
bcaddc
ba
3
21
21
2
13
13
1
32
32
321
321
321
ebb
aae
bb
aae
bb
aa
bbb
aaa
eee
ba
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外積の計算1
321
1
0
0
0011
0100
1000
0
1
0
0
0
1
eee
3213321
321
21000100
010
001 eeeeeee
eee
ee
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外積の計算1
の外積
2
4
1
,
5
3
2
3
2
1
3
2
1
b
b
b
b
a
a
a
a
31221
2131312332
eabba
eabbaebababa
3
21
21
2
13
13
1
32
32e
bb
aae
bb
aae
bb
aa
3213215926
41
32
12
25
24
53eeeeee
5
9
26
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2つのベクトルの交角
ある座標系で空間のベクトル
3
2
1
3
2
1
,
b
b
b
b
a
a
a
a
に対しても、
1221
3113
2332
baba
baba
baba
ba
そして、ba
baba
sin0,0
特に、 0 のとき、 ba
, は平行といい ba
// と表す
ba
ba
1sin
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外積を用いた計算例
平行四辺形の面積 sinbabaS
a
b
sinb
a
222
babaS
の面積を求めよ問 OABbOBaOA
0
4
0
,
0
0
3
1,
1
0
0
,
0
1
1
,
0
0
1
1221
3113
2332
ba
baba
baba
baba
baba
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外積を用いた計算例
平行六面体の体積
cosch
cbacbabacV
三重積
グラスマンの記号
,productbox
Sb
a
c
ba
hSV
coscba
cba
bac
bacc
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三重積についての性質
cbacba
a
b
c
acbbaccba
cbabac
acbcba
内積の可換性(対称性)
cbacba
を示せばよい
cbaacbacb
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の証明cbacba
312212311312332
ebabaebabaebababa
332211ecececc
312212311312332
cbabacbabacbabacba
312212311312332
acbcbacbcbacbcbacb
cba
312212311312332
cbabacbabacbaba
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実は
312212311312332
ebabaebabaebababa
332211ecececc
312212311312332
cbabacbabacbabacba
321
321
321
bbb
aaa
ccc
321
321
321
bbb
aaa
eee
ba
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結局三重積の性質は
acbbaccba
a
b
c
321
321
321
321
321
321
321
321
321
aaa
ccc
bbb
bbb
aaa
ccc
ccc
bbb
aaa
1行目に
行1 行2
行3
サイクリックに入れ替えないと符号が変わる
cabbcaabccba
0,0
aaetccaa
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問題
とする
2
1
0
,
3
2
1
,
0
1
1
cba
求めよる平行四辺形の面積をと平行な線分で作られba
, 2.
を求めよba
1.
を求めよcba
3.
面体の体積を求めよで作られる原点と 4,, 4. cba
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外積計算に便利な記号
3階完全反対称テンソル
)(0
)3,2,1,,(1
)3,2,1,,(1
の場合上記以外。例えば
ではないの
の
ji
cyclicikkjji
cyclicikkjji
kji
0
1
1
111331122113
213132321
231312123
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外積計算に便利な記号
3階完全反対称テンソルを使うと
kjkji
kjkjkji
j kkjkjii
babababa
3
1,
3
1
3
1
和の記号の省略
省略した場合は2回同じ添え字が出てきたら、その添え字について和をとる約束とする
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外積計算に便利な記号
232313232111
babababakjkj
1,1231321
23321
bababa
などに注意,0,0221311
同様に
3113312131313222
babababababakjkj
1221123212131233
babababababakjkj
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3つのベクトルの外積 cba
mljmlkkjimlmlkjkji
kjkjii
cbacba
cbacba
ljmimjlimlkjikmlkkji を使うとここで、公式
iiijjjij
mljljmimljmjli
mljljmimjli
mljmlkkjii
cbabaccbacba
cbacba
cba
cbacba
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3つのベクトルの外積 cba
iii
cbabaccba
cbabaccba
を計算しなさいcba
.1
を計算しなさいdcba
.2
問題