Лекция №3 - school.mephi.ru · vt xt t tat vt x t t t() 2 1 2 22 1 1 /() () 3 4 32 42 4 /...

www.school.mephi.ru

ТЕМА

Производные функции. Задачи с производными

функции (часть №2)

Автор: Максим Игоревич Писаревский,

Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ.

Москва, 2017

Лекция №3

http://www.school.mephi.ru/

www.school.mephi.ru

1.

2.

3.

4.

5.

'( ) (sin 2 ) ' cos2 (2 ) ' 2cos2f x x x x x

2

1 1 1 1 1'( ) (cos ) ' sin ( ) ' sinf x

x x x x x

2 2 2'( ) ((1 )cos ) ' (1 ) 'cos (1 )(cos ) 'f x x x x x x x x x x 2(1 2 )cos (1 2 )sinx x x x x

2 2

2 2

1'( ) (c (1 3 )) ' (1 3 ) '

sin (1 3 )f x tg x x x x

x x

2 2

2 3

sin (1 3 )

x

x x

22

2 2

(1 3 ) ' 2 3'( ) ( 1 3 ) '

2 1 3 2 1 3

x x xf x x x

x x x x

Задача №1

Проверка домашнего задания


www.school.mephi.ru

6.

7.

8.

Задача №1 (продолжение)2 2

2

2 2 2

( 2 ) ' (2 ) ''( ) (ln( 2 )) '

2 2 2 2

x x x xf x x x

x x x x x x

22 2

(2 2 ) 1 1

2 22 2 2

x x

x x xx x x x

2 2

2 2

2 2 2 2

3( ) ' 6'( ) (3 ( )) ' 3( ( )) '

cos ( ) cos ( )

x xx x

x x

e ef x tg e tg e

e e

22 2

2

2'( ) ( ) ' (2 ) '

cos

tgxtgx tgx e

f x e e tgxx

Задача №23 2 3 2( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 /v t x t t t м с

2 2 2( ) ( ) ( ) 3 4 3 2 4 2 4 /a t v t x t t t м с



www.school.mephi.ru

Задача №3

Решение

Известно, что в точке вершины параболы достигается максимум или

минимум функции 2y ax bx c

Воспользуемся условием экстремума: 0( ) 0y x

Тогда:0 0( ) 2 0y x ax b или 0

2

bx

a

В задаче мы нашли, что производная параболической функции равна:

( ) 2y x ax b

Найдем производную от производной (вторая производная!):

( ) 2y x a

При а > 0 ветви параболы направлены вверх, т.е. в вершине

достигается минимум.

При а < 0 ветви параболы направлены вниз, т.е. в вершине

достигается максимум.



www.school.mephi.ru

Исследование функций.

С помощью производной возможно осуществить решение задач на

максимум и минимум функций. При этом используется необходимое

условие экстремума функции:

В точках, где производная равна нулю, функция может иметь

максимум или минимум. Если производная функции отрицательна, то

функция убывает, а если положительна – возрастает.

0'( ) 0f x

Определения и свойства

0'( ) 0f x

0'( ) 0f x

функция возрастает: 1 2 1 2 1 2, , : ( ) ( )x X x X x x f x f x

функция убывает: 1 2 1 2 1 2, , : ( ) ( )x X x X x x f x f x

Пусть f(x) определена на множестве X, тогда:


www.school.mephi.ru

Решение задач

Решение

Задача №1Найти наименьшее значение функции.

2 3( 2 3)y x x

Найдем область определения функции: ( ; )x

Найдем критические точки функции: 2 3 2 2 2 2' (( 2 3) ) ' 3 ( 2 3) (2 2) 6( 1) ( 3) ( 1)y x x x x x x x x

'y

yВозр. Возр.Убыв.Убыв.

3 1 1

2 3

min ( 1) (( 1) 2( 1) 3) 64y y x

Ответ: min 64y


www.school.mephi.ru


Решение

Задача №2Найти наибольшее значение функции.

2 2 3 24 5 4 4y x x x x

Найдем область определения функции:

24 0x (2 )(2 ) 0x x [ 2;2]x

2( ) 4g x x 2

2 2

2'( ) ( 4 ) '

2 4 4

x xg x x

x x

Возр. Возр. Убыв. Убыв.2 20

2

max ( 0) 4 0 2g g x 2

min ( 2) ( 2) 4 2 0g g x g x

'y

y


www.school.mephi.ru


Задача №2 (продолжение)

2 2 3 2 2 2 3 2 3 24 5 4 4 4 5 4 4 4 5y x x x x x x x x x x

Возр.

3 2 2' ( 4 5) ' 3 8 (3 8)y x x x x x x

Найдем критические точки функции:

(3 8) 0x x

0

8

3

x

x

Убыв.Возр. Возр.

8 / 3 0

'y

y

3 2

max ( 2) 2 4 2 5 29y y x

Ответ: max 29y


www.school.mephi.ru


Решение

Задача №3Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-6;8].

2100y x

Найдем область определения функции: 2100 0x [ 10;10]x

Найдем экстремумы функции: 2

2 2 2

(100 ) ' 2'

2 100 2 100 100

x x xy

x x x

0x Следовательно, -экстремум функции.

'y

y Возр. Убыв.

2

max ( 0) 100 0 10y y x

2

min ( 8) 100 8 6y y x

Ответ: , max 10y min 6y


www.school.mephi.ru


Решение

Задача №4Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

2

3

2 1

xy

x

Найдем область определения функции: 1 1

( ; ) ( ; )2 2

x

3[ ;2]4

Найдем экстремумы функции: 1 2 22 2 2 2 2 2

3 3 32

1 1 ( ) ' (2 1) (2 1) '' (( ) ) ' ( ) ( ) ' ( )

2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 (2 1)

x x x x x x x xy

x x x x x

2

2 22 2 2 2 33 3

42 2 2

3

1 2 (2 1) 2 1 2 2 1 (2 1) 2 ( 1)( ) ( )

3 2 1 (2 1) 3 2 1 (2 1) 3 (2 1)

x x x x x x x x x x

x x x x xx

4 4

3 3

1 1 433 3

1 1 2( 1) 2( 1) 2( 1)

3 3 (2 1)(2 1) 3 (2 1)

x x x

x xxx x x


www.school.mephi.ru



43

2( 1)0

3 (2 1)

x

x x

1x

'y

y Возр. Возр.Убыв. Убыв.

2

3min

1( 1) 1

2 1 1y y x

2

33max

3( )

3 44( )34 3

2 14

y y x

Ответ: , min 1y 3max

4

3y


www.school.mephi.ru


Решение

Задача №5Найти наибольшее значение функции на промежутке .

3(5 2 ) (5 4 )y x x


Найдем критические точки функции: 3 2 3' ((5 2 ) (5 4 )) ' 2 3 (5 2 ) (5 4 ) 4 (5 2 )y x x x x x

2 22(5 2 ) (3(5 4 ) 2(5 2 )) 2(5 2 ) (15 12 10 4 ))x x x x x x

2' 2(5 2 ) (25 16 )y x x

22(5 2 ) (25 16 ) 0x x

2,5x 0,64x

[2; )x


www.school.mephi.ru



0,64 2,5

Убыв. Убыв.Возр.

'y

y

3

max ( 2) (5 2 2) (5 4 2) 3y y x

Ответ: max 3y


www.school.mephi.ru


Решение


1(2 2 )

ln 2

x xy


[ 1;2]


1 1 1' ( (2 2 )) ' (2 2 ) ' (2 ln 2 2 ln 2) 2 2

ln 2 ln 2 ln 2

x x x x x x x xy

2 2 0x x

22 (2 1) 0x x

Следовательно, 0x - критическая точка

22 1x


www.school.mephi.ru



Возр.Убыв.

0 0

min

1 2( 0) (2 2 )

ln 2 ln 2y y x

2 2

max

1 17( 2) (2 2 )

ln 2 4ln 2y y x

Ответ: min

2

ln 2y

max

17

4ln 2y


www.school.mephi.ru


Решение


2

1 2 sin( )4

y

x

Найдем область определения функции:

[0; ]2

1 2 sin( ) 04

x

2

sin( )4 2

x

24 4

32

4 4

x k

x l

22

2

x k

x l

,k l Z

/ ({ 2 } { 2 })2

x R k l


www.school.mephi.ru



12' ( ) ' (2(1 2 sin( )) ) '

41 2 sin( )

4

y x

x


2

2

2 2 cos( )42(1 2 sin( )) ( 2 cos( ))

4 4(1 2 sin( ))

4

x

x x

x

4

22

2

x n

x k

x l

, ,n k l Z

cos( ) 04

x

4 2x n

4x n


www.school.mephi.ru



2

4

Возр.Убыв.

min

2 2 2( )

4 1 21 2 sin( ) 1 2 sin( )4 4 2

y y x

max

2 2 2( ) 1

32 21 2 sin( ) 1 2 sin( ) 1 22 4 4 2

y y x

max

2 2 2( 0) 1

21 2 sin(0 ) 1 2 sin( ) 1 24 4 2

y y x


www.school.mephi.ru

Задача 16.

Решение.


Найти наибольшее значение функции на отрезке

2;0

62

510cos210

xxy

Вычислим производную функции:

5(10 2 cos ) (10 ) ( ) (6) 10 2sin 10 0

2y x x x

1sin ; ( 1) ,

42

nx x n n

N

Отрезку принадлежит только одна критическая точка, полученная

при n = 0.

2;0

4

x

Теперь нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах

заданного отрезка:


www.school.mephi.ru

Задача 16 (продолжение).


.8,1362

56

2

5506

2

5

2

10

2cos210)

2(

;1662

5

2

5

2

12106

2

5

4

10

4cos210)

4(

;3,1262

52106

2

50cos210)0(

y

y

y

Таким образом, максимальное значение функции 62

510cos210

xxy

на отрезке

2;0

равно 16 .

Ответ: 16.


www.school.mephi.ru


Решение


2 7 12y x x

[ 4;3]

2

2

2

7 12, 07 12

7 12, 0

x x xy x x

x x x


2 7, 0'

2 7, 0

x xy

x x

2 7 0x

3,5x

2 7 0x

3,5x

'(0 0) 2 0 7 7y

'(0 0) 2 0 7 7y 0x


www.school.mephi.ru



3,5 3,50Убыв. Убыв.Возр.Возр.

2

min ( 0) 0 7 0 12 12y y x

2

max ( 3,5) ( 3,5) 7 3,5 12 0,25y y x

Ответ: min 12y

max 0,25y


www.school.mephi.ru


Решение

Задача №3Определить является ли заданная прямая касательной к графику

функции, если да, то указать точку касания.

2 1y x

- претендент на точку касания.

2( )f x x

'( ) 2f x x '( ) 2 2f x x k 0 1x

0 0 0( ) ( ) ( )y f x x x f x 0 0 0 0( ) ( ( ) ( ))y f x x f x x f x

0( ) 2f x 0 0 0( ) ( ) 2 1 1 1f x x f x

Проверяем:

(1;1)A

- точка касания.

Ответ: да, является. - точка касания.

(1;1)A


www.school.mephi.ru


Решение

Задача №3Определить является ли заданная прямая касательной к графику

функции, если да, то указать точку касания.

2 1y x

- претендент на точку касания.

( ) 4 3f x x

4 2'( )

2 4 3 4 3f x

x x

0 1x


0( ) 2f x 0 0 0( ) ( ) 2 1 1 1f x x f x

Проверяем:

Ответ: нет, не является.

22

4 3x

4 3 1x

0 0 0( ) ( )f x x f x b


www.school.mephi.ru


Решение

Задача №3Найти расстояние между касательными к графику, образующими угол в

с положительным направлением оси Ох.3

2

xy

x

045

2 2

3 ( 2) ( 3) 1' ( ) '

2 ( 2) ( 2)

x x xy

x x x

45 1 'k tg y 2

11

( 2)x

2( 2) 1x 2 4 3 0x x

1

2

1

3

x

x

1

2

( ) 2

( ) 0

f x

f x



www.school.mephi.ru


1 3y x 2 1y x 1 1x

1 1( ) 1 3 2y x

2 1( ) 1 1 2y x

x

x

c

45

2 2 2x x c

2 1 1 1( ) ( ) 4c y x y x

2 2x

Ответ: 2 2x



www.school.mephi.ru

Домашнее задание

1. Найти наименьшее значение функции на отрезке [-4,5;0]:8)5ln(8 xxy

2. Найти точку максимума функции: 42)11( xexy

3. Для функции найти точки, в которых угловой коэффициент

касательной к графику этой функции равен значению функции.

)6

cos(6

xy

4. Из начала координат к параболе поведены две

касательные. Найти площадь треугольника с вершинами в точках касания

и начале координат.

2 2 2y x x

5. Найти уравнение параболы, касающейся прямой

в точке М(1;6).

2 2y ax bx 7 3y x


www.school.mephi.ru

Спасибо за внимание!

(следующая лекция 27.02.2017 в 15.00)


Лекция №3 - school.mephi.ru · vt xt t tat vt x t t t() 2 1 2 22 1 1 /() () 3 4 32 42 4 /...

Documents

Transcript of Лекция №3 - school.mephi.ru · vt xt t tat vt x t t t() 2 1 2 22 1 1 /() () 3 4 32 42 4 /...