รวมเนอหาคณตศาสตรหลก ม.ตน

สอการเรยนรครงนเปนสวนหนงของวชาคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 3/1 ปการศกษา 2556

เสนอ• นางนรสา คาพรกไทย

จดทำาโดยด.ญ.พรลดา ชยเจรญ เลขท 18 ชน ม.3/1

เลขยกกำาลงความหมายของเลขยกกำาลง

นยาม ถา a เปนจำานวนใดๆ และ n เปนจำานวนเตมบวกแลว an หมายถง a คณกบ ทงหมด n ตว โดยเรยก an วา เลขยกกำาลง อานวา "เอยกกำาลงเอน หรอ “ "เอกำาลงเอน “a = ฐาน ( base) n = เลขชกำาลง (Exponent )

การคณเลขยกกำาลงเมอเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวกหากเลขฐานเทากน นำาเลขชกำาลงมาบวกกนไดเลยเชน 32 x 34 = 36

หากเลขฐานไมเทากน เลขชกำาลงไมสามารถบวกกนได ใหคงคาไวเชนนน หรอหาคำาตอบออกมาเชน 32 x 53 = ( 3 x 3 ) x (5 x 5 x 5)

= 9 x 125 = 1125

ถาเลขฐานเปนจำานวนลบเลขยกกำาลงทเปนเลขค จะไดคำา

ตอบเปนบวกเลขยกกำาลงทเปนเลขค จะไดคา

ของคำาตอบทเปนลบ

สมบตของเลขยกกำาลง1.Am x An = A m + n

2.(Am)n = A mn

3.(AB)n = An . B n

4.(A/B)n = An / B n เมอ B ≠ 0

5. Am / An = Am-n เมอ A ≠ 0

6.A0 = 1 เมอ A ≠ 0

(Am)n มคาไมเทาก

บ Amn

นะจะ

การหารเลขยกกำาลงเมอเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก

Am ÷ An = Am-n เมอ A แทนจำานวนใดๆ โดย A ≠ 0 และ m , n แทนจำานวนเตมบวกเชน 117 ÷ 114 = 117-4 = 113

A-n = 1/an เมอ a ≠ 0 และ n เปนจำานวนเตม

การหาคาตวแปรจากเลขยกกำาลง พยายามจดฐานของเลข

ใหเทากน แลวสรปโดยใชหลกถาAx = Ay แลว x = y เมอ A

≠ 0 และ A ≠ 1

การจดจำานวนจรงบวกใหอยในรปสญญากรณวทยาศาสตรจำานวนจรงบวก n ทกจำานวนสามารถจดใหอยในรปสญญากรณทางวทยาศาสตรเปน N = A x 10n โดยท 1<= A < 10 และ N เปนจำานวนจรง

สำาหรบจำานวนทมคามากๆ เมอเลอนจด n จะเปนจำานวนบวก 3100 =

3.1 x103 จำานวนทมคานอยๆ เมอเลอนจด n จะเปนจำานวน ลบ 0.00034 = 3.4 x

104

จำานวนนบจำานวนนบม 2

กรณ 1 .การหาร

ลงตว2. การหารไม

ลงตว

ตวประกอบของจำานวนนบ

ใดๆ คอ จำานวนทหารจำานวนนบ

นนๆไดลงตวจำานวนนบม 2 ประเภท 1 .จำานวนค คอจำานวนนบทม 2 เปน

ตวประกอบ2. จำานวนค คอจำานวนทม 3 เปน

ตวประกอบ

ขอควรรเพมเตม1 . 1 เปนจำานวนนบทนอย

ทสด และไมสามารถเขยนเปนจำานวนนบทมากทสดได2. หลกการหารลงตวของ

จำานวนนบ มดงน2 หารลงตว เมอเลขตว

สดทายหารดวย 2 ลงตว3 หารลงตว เมอผลบวกของ

เลขโดดในแตละหลกหารดวย3 ลงตว4 หารลงตว เมอตวเลข 2

หลกสดทายหารดวย 4 ลงตว

5 หารลงตว เมอเลขโดดตวสดทายลงทาย ดวย 0 หรอ 5

8 หารลงตว เมอตวเลข 3 หลกสดทายหาร ดวย 8 ลงตว

9 หารลงตวเมอผลบวกของเลขโดดในแตละหลกหารดวย9ลงตว10 หารลงตว เมอเลขโดดตวสดทาย

ลงทายดวย 011 หารลงตว เมอผลบวกของเลขโดดในตำาแหนงคเทากบผลบวกของเลขโดดในตำาแหนงค

จำานวนเฉพาะ คอ จำานวนทมากกวา 1 และมเฉพาะ 1 กบตวมนเองเทานนเปนตวประกอบนกคณตศาสตรชาวกรกชอเอราทอสเท

นส(Eratosthenes) ไดคดวธหาจำานวนเฉพาะโดยใชตะแกรงของเอราทอสเทนส (The Sieve of Erathenes )

ตวประกอบเฉพาะและการแยกตวประกอบตวประกอบม 2 พวก1 .ตวประกอบทเปนจำานวน

เฉพาะ เชน 2 , 32. ตวประกอบทไมใชจำานวน

เฉพาะ เชน 1 , 6 การแยกตวประกอบหมายถงการเขยนจำานวนนบทไมใชจำานวนเฉพาะใหอยในรปการคณของตวประกอบเฉพาะทำาได 2 วธ1 .ใชวธตงหาร (สน)2. ใชแผนภาพ

การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.นยาม ห.ร.ม.

ถา a และ b เปนจำานวนนบ ห.ร.ม. ของ a และ b คอ จำานวนนบทมคามากทสดทหารทง a และ b ไดลงตว

นยาม ค.ร.น. ถา a,b เปนจำานวนนบ ค.ร.น. ของ a และ b คอจำานวนนบทมคานอยทสดททง a และ b หารลงตว ( หรอททง a และ b เปนตวประกอบ)

จำานวนเตมเตมลบ

ศนยเตมบวก

คาทมากทสดของจำานวนเตมลบคอ -1 สวนคาทนอยทสดไมสามารถกำาหนดได

คาทนอยทสดของจำานวนเตมบวกคอ 1 สวนคาทมากทสดไมสามารถกำาหนดได

คาสมบรณของจำานวนเตม

คาสมบรณของจำานวนเตมใดๆคอระยะหางของจำานวนเตมนนๆกบ 0 ซงจะเปนจำานวนบวกเสมอ ยกเวนคาสมบรณของ 0 ซงมคาเทากบ 0

22

22

22

การบวกจำานวนเตมบวก

การบวกจำานวนเตมบวกดวยจำานวนเตมบวกใหนำาคาสมบรณของแตละจำานวนมาบวกกนแลวคำาตอบเปนจำานวนบวก

การบวกจำานวนเตมลบดวยจำานวนเตมลบใหนำาคาสมบรณของแตละจำานวนมาบวกกนแลวคำาตอบตอบเปนจำานวนเตมลบ

วธลดการบวกจำานวนเตมบวกกบจำานวนเตมลบ

1 หาผลตางระหวาคาสมบรณของจำานวนเตมบวกและเตมลบ2 ผลลพธมคาตามขอ1แต-เปนจำานวนเตมบวกเมอคาสมบรณของจำานวนเตมบวกมากวา-เปนจำานวนเตมลบเมอคาสมบรณของจำานวนเตมลบมากกวา

ถาทงสองมคาสมบรณเทากน ผลลพธจะเทากบ 0

จำานวนเตมใดๆบวก 0 จะไดคาเทาจำานวนเตมนนๆเสมอ

การลบจำานวนเตมตวตง- ตวลบ = ตว

ตง + จำานวนตรงขามของตวลบ

การคณจำานวนเตม

ลบ ลบ = บวกบวก บวก = บวกบวก ลบ = ลบจำาเอาไวใชในหนาตอไป ดวยนะจะ

การหารจำานวนเตมตวหาร x ผลหาร

= ตวตงเครองหมายเหมอนกนเปนบวกเครองหมายตางกนเปนลบ

สมบตของการบวกและคณจำานวนเตมสมบตการสลบทของการบวก

a + b = b + aสมบตการสลบทสำาหรบการคณ a x b = a x b

สมบตการเปลยนหมสำาหรบการบวก (a + b)+c = a+(b=c)สมบตการเปลยนหมสำาหรบการคณ (a x b)x c = a x (b x c)

สมบตการแจกแจง a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

สมบตของ 1 เมอนำา 1 ไปคณกบจำานวนใดๆ จะไดจำานวน

นนA x 1 = 1 x A = A1 เมอนำาไปหารกบจำานวนใดๆจะไดจำานวนนนๆ a ÷ 1 = a/1 = a

÷ เปนตวหาร

สมบตของ 0

นำา 0 บวกจำานวนไหนไดจำานวนนน 0 เมอนำาไปคณกบ

จำานวนใดจะได 0เมอหารดวยจำานวนใดๆทไมใช 0 จะได 0ถาจำานวนสองจำานวนคณกนแลวมคาเทากบ 0 จะตองมจำานวนใดจำานวนหนงมคาเปน 0 หรอทง 2 จำานวนมคาเปน 0

พนฐานทางเรขาคณตจด (point) จดใชเพอแสดงตำาแหนง ไมมขนาด

ใชสญลกษณ แทนจด และเขยนตวอกษรไว•เมอตองการระบชอจด Ė แทนจด Eเสนตรง (Straight Line) มความยาวไมจำากดและไมคำานงถงความกวางของเสนตรง a bเรยกเสนตรง ab เขยนแทนดวย ab

สมบตของจดและเสนตรง- มเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานนทลากผานจดสองจดทกำาหนดใหได- เสนตรงสองเสนตดกนไดจดๆเดยวเทานน

สวนของเสนตรง(Line Segment) คอสวนของเสนตรงทมจดปลาย 2 จด

หมายถง สวนของเสนตรงทมความยาว b หนวย bรงส (Ray) คอสวนหนงของเสนตรงซงมจดปลายเพยงจดเดยว (มจดเรมตน A แตไมมจดสนสด B)

หนงสอบางเลม เรยกจด

ปลายของรงสวา จด

เรมตนของรงส

มม(Angle) คอ รงส 2 เสนทมจดปลายเปนจดเดยวกน จดนเรยกวา จดยอดมม และรงสทง 2 เสนเรยกวา แขนของมม เรยก A วาจดยอดมม(จดทเกดมม)

มมอาจเขยนแทนดวย

สมบตของมมในรปแบบตางๆมมแหลม เรยกอกอยางวามม

เฉยบ มขนาดมากกวา 0 องศา แตนอยกวา 90 องศา มมฉาก คอมมทมขนาด 90 องศาพอดมมปานเรยกอกอยางวามมทคอมมทมขนาดมากกวา 90 องศา แตนอยกวา 180 องศามมตรงคอมมทมขนาด 180 องศาพอด

มมกลบ คอมมทมขนาดากกวา 180 องศาแตนอยกวา 360 องศามมรอบจด คอมมทมขนาด 360 องศาหรอสเหลยมมมฉาก แขนทงสองขางของมมรอบจดจะทบกนมมประชด คอมม 2 มม ซงมจด

ยอดมมรวมกน และมแขนของมมรวมกน 1 แขน

มมประกอบหนงมมฉาก

มมประกอบสองมมฉาก

มมตรงขาม

เศษสวนนยาม เศษสวน(Fraction)

คอจำานวนทอยในรป a/b เมอ a และ b เปนจำานวนเตมท b ≠ 0 เรยก a วา เศษ (Numberator) และ b วา สวน (Denominator)

ถาเปรยบกบการหาร a คอตวตง

และ b คอตวหาร ปกะ ปกาจ

การสรางพนฐานการสรางรป

สามเหลยมถาโจทยกำาหนดความยาวของสวนของเสนตรงสามเสนให คอ a,b,c เมอ c มคามากทสดจะไดวาถา a + b นอยกวาหรอเทากบ c จะสรางรปสามเหลยมไมไดถา a + b มากกวา c จะสรางรปสามเหลยมได

การสรางรปสามเหลยมหนาจวถารปสามเหลยมหนาจว ABC ม BC เปนฐาน AB และ AC เปนดานประกอบมมยอด ซง AB = AC เสมอ จะไดวา-ถาดานประกอบมมยอด > 1/2 ของฐานแลว จะสรางรปสามเหลยมหนาจวได-ถาดานประกอบมมยอด <= 1/2 ของฐานแลว จะสรางรปสามเหลยมหนาจวไมได

ประเภทของเศษสวน

1. เศษสวนแทหรอเศษสวนสามญ (proper Fraction) คอเศษสวนทมคาสมบรณของเศษนอยกวาสวน เชน 1/22. เศษเกน (Improper Fraction) คอเศษสวนทมคาสมบรณของเศษมากกวาคาสมบรณของสวน เชน 3/23. จำานวนคละ (mixed Number) คอ เศษสวนทประกอบดวยจำานวนเตมและเศษสวนแทรวมกนอย เชน 2¼

การเปรยบเทยบเศษสวนเศษสวนทเทากน1. เศษสวนจำานวนใดกตาม ถาคณทงเศษและสวนดวยจำานวนทเทากนแลว เศษสวนทเกดขนใหมจะยงคงมคาเทากบเศษสวนจำานวนเดม2. เศษสวนจำานวนใดๆ ตงแตสองจำานวนขนไป ถาเอา ห.ร.ม. ของเศษและสวนไปทอนใหเศษสวนนน เปนเศษสวนอยางตำาแลว ทำาใหเศษสวนอยางตำาของจำานวนทงหมดมคาเทากน เรยกเศษสวนเหลานนวาเศษสวนทเทากน

เศษสวนทไมเทากน1. ใชวธหา ค.ร.น. ของสวนของเศษสวนทจะเปรยบเทยบ แลวพจารณาคามากและคานอยทตวเศษ

2. ใชหลกการคณไขว

-ถา ad = bc แลว a/b = c/d -ถา ad > bc แลว a/b > c/d-ถา ad < bc แลว a/b < c/d

ba

dc

การบวกและการลบเศษสวน1 .ทำาจำานวนคละใหเปนเศษเกน2. หา ค.ร.น. ของเศษสวนทกจำานวน3. ทำาสวนของเศษสวนทกจำานวนใหเทากน

ค.ร.น. ทหาไดในขอ 24. เอาเศษของเศษสวนทงหมดในขอ 3 มาบ

วก ลบกน–5. ทำาใหเปนเศษสวนอยางตำา และทำาเปน

จำานวนคละ

การคณเศษสวน1 .ถาเศษสวนเปนจำานวนคละ ใหทำาเปนเศษ

เกน2. นำาเศษของแตละจำานวนคณกน และนำา

เศษสวนของแตละจำานวนคณกนเปนเศษและสวนของผลคณตามลำาดบ แลวทอนผลคณทไดเปนเศษสวนอยางตำา (ถามเศษสวนและ ห.ร.ม.)

3. จำานวนทมเครองหมายเหมอนกน คณกนไดจำานวนบวก

4. จำานวนทมเครองหมายตางกนคณกนไดจำานวนลบ

การหารเศษสวนหลกการหารเศษสวน

1 .ถาเศษสวนเปนจำานวนคละใหเปลยนเปนเศษเกนเสยกอน

2. เปลยนเครองหมายหารเปนคณ3. เปลยนแปลงตวหารจากเศษเปนสวน และ

สวนเปนเศษ4. ขนตอไปดำาเนนตามหลกการคณเศษสวน

ทศนยมการอานทศนยม ตวเลขหนาจดคอจำานวนเตม และ ตวเลขหลงจด คอ ทศนยม 1 .อานตวเลขหนาจดเปน

จำานวนนบ2. อานตวเลขหลงจด เรยง

ลำาดบตวเลขไปทางขวามอตามคาของตวเลขแตละตว

3. ถาไมมจำานวนเตม จะเขยนเลข 0 แทนจำานวนเตมกได เพราะคาจะยงคงเดมอย

ตำาแหนงของทศนยม

จำานวนหนาจดเรยกตามจำานวนนบปกต สวนจำานวนหลงจดทศนยมเราเรยกทศนยมตวแรกวาทศนยมตำาแหนงทหนง และตอไปทางขวามอวา 2,3...

ความสมพนธระหวางเศษสวนกบทศนยม

การเปลยนทศนยมเปนเศษสวน1 .ตวเลขทศนยม

ตำาแหนงท 1 หารดวย 10

2. กลมตวเลขทประกอบดวยทศนยมตำาแหนงท 1 และ 2 หารดวย 100

… ... … …ฯลฯ … … … …

เปลยนเศษสวนเปนทศนยม1 .เอาสวนไป

หารเศษ2 .ใชวธทำาสวน

ใหเปน 10,100,1000,… จะไดคาของเศษเปนทศนยม

คาประจำาหลกของทศนยม1 .ในจำานวนจรงใดๆ จะไดวา 0 <

ทศนยม < 12. ทศนยมกบเศษสวนมความสมพนธ

กน สามารถเปลยนรปกนและกนได3. คาของเลขโดดทอยในทศนยม

ตำาแหนง 1,2,3… คอเลขโดดในตำาแหนงนนคณดวย 1/10 , 1/100 , 1/1000 ,…

การเปรยบเทยบทศนยมใหพจารณาเฉพาะเลขโดดในตำาแหนง

เดยวกนคแรกทไมเทากน ถาเลขโดดในตำาแหนงนนตวใดมคามากกวา ทศนยมทมเลขโดดตวนนจะมคามากกวาทศนยมอกจำานวนหนง

การบวก ลบ คณ หารทศนยม

การบวกลบทศนยม ใชหลกการเดยวกบการบวกลบจำานวนนบ เมอตวตงนอยกวาตวลบเราตองบวกกอนแลวลบทหลง

หลกการคณทศนยมดวยจำานวนนบ1 .ดำาเนนผลการคณ

เชนเดยวกบการคณจำานวนนบ

2. ผลลพธทไดจะมจำานวนตำาแหนงทศนยมเทากบจำานวนตำาแหนงทศนยมของตวตง

หลกการคณทศนยมดวยทศนยม1 .ดำาเนนการ

คณเชนเดยวกบการคณจำานวนนบ

2. ผลลพธทไดจะมจำานวนตำาแหนงทศนยมเทากบผลบวกของจำานวนตำาแหนงทศนยมของตวตงและตวคณ

การหารทศนยมดวยทศนยม1 .ทำาตวหารให

กลายเปนจำานวนนบ ดวยการเอา 10,100,1000,… คณทงตวตงและตวหาร

2. ดำาเนนการหารหาผลลพธโดยการตงหารยาว

การหารทศนยมดวยจำานวนนบ ทำาดวยการตงหารยาวดงรป

การแทนเศษสวนดวยทศนยม

เศษสวน = ทศนยมซำา / 9 (เทากบจำานวนตำาแหนงของทศนยมซำา)เศษสวน = ทศนยมทงหมด ทศนยมตวทไมซำา – / 9(เทากบจำานวนตำาแหนงของทศนยมซำา) 0 (เทากบจำานวนตำาแหนงทศนยมไมซำา)

คาประมาณของการวด

ความคลาดเคลอนแบงออกเปน 2

ประเภท

1 .ความคลาดเคลอนทเกดจากผวด

2. ความคลาดเคลอนทเกดจากเครองมอ

การปดเศษเปนจำานวนเตม

-การปดเศษของจำานวนจำานวนหนงปดเศษไดเพยงครงเดยวเทานน- การปดเศษจะทำาไดกตอเมอตวเลขนนแสดงปรมาณเทานน

การประมาณคาการประมาณคาเปนการหาผลลพธ ใหใกล

เคยงกบผลลพธจรง 1 .ตองประมาณจำานวนทโจทยใหกอนไปหา

ผลลพธจรง2. การประมาณคานไมมหลกเกณฑตายตว

แนนอนวาจะตองประมาณอยางไรทงนขนอยกบปญหาและสภาพความเปนจรง

คอนดบและกราฟ(x , y) อานวาคอนดบเอกซวาย โดย x เปนสมาชกตวท

หนง และ y เปนสมาชกตวทสอง ขอสงเกตเกยวกบแผนภาพแสดงการจบคหางลกศร แสดงวาเปนสมาชกตวทหนงหวลกศร แสดงวาเปนสมาชกตวทสอง

จำานวนสองเสนทกราฟตดกนเปนมมฉากทตำาแหนงของจดทแทน 0 เรยกวาจดกำาเนด (Origin) นยมแทนดวยจด o อานวาจดโอ-เสนจำานวนแนวนอน แกนนอน (x)-เสนจำานวนแนวตง แกนตง (y)

สมการชนเดยวสองตวแปร

หมายถง สมการใดๆทม 2 ตวแปรอยในรปผลบวก และเลขชกำาลงของตวแปรแตละตวเปน 1

คำาตอบของสมการชนเดยวสองตวแปร คอ คาของตวแปรทงสองททำาใหสมการเปนจรง

จากสมการ x + y = a เมอ a เปนจำานวนนบ จะไดกราฟดงน1 .ถาคาของตวแปรเปน

จำานวนนบ จะไดกราฟของคอนดบ

2. ถาคาของตวแปรเปนจำานวนใดๆ จะไดกราฟเปนสวนหนงของเสนตรง

กราฟของสมการชนเดยวสองตวแปรอาจเปนจดสวนของเสนตรง รงสหรอเสนตรงกไดทงนขนอยกบคาทงสองของตวแปรกำาหนด

สมการเชงเสนตวแปรเดยว ax + b

= 0สมบตของการบวกลบให a , b และ c แทนจำานวนใดๆ ถา a = bดงนน a + c = b + cหรอ a – c = b - c

สมบตของการคณและหารให a , b และ c แทนจำานวนใดๆ ถา a = b ดงนน a x c = b x cหรอ a/c = b/c เมอ c ≠ 0

การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว1 .คาคงตวทเปนคนละจำานวน

กบตวแปร ตองทำาใหอยคนละขางกบตวแปร โดยใชสมบตการบวกและการลบ

2. คาคงตวทเปนตวคณหรอตวหารของตวแปร ตองทำาใหเปน 1 ดวยการนำาคาคงตวนนไปหารหรอคณทงสองขางของสมการ

3. ใหนำาคาคงตวทเปนตวคณหรอตวหารของตวแปรทคลายกนมาบวกหรอลบ

รปเรขาคณตสองมตและสามมต

รปเรขาคณตเปนรปทประกอบดวย จด เสนตรง ระนาบ เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหนงอยาง

รปเรขาคณตสองมต เปนรปเรขาคณตทมเฉพาะดานกวางและดานยาว

รปเรขาคณตสามมต หรอทรงสามมต เปนรปเรขาคณตทมดานกวาง ดานยาวและดานสง หรอความหนา

อตราสวนและรอยละอตราสวน คอ ขอความท

แสดงถงการเปรยบเทยบปรมาณทเกยวของกน 2 ปรมาณม 2 แบบ1 .ปรมาณสองปรมาณทม

หนวยเหมอนกน2. ปรมาณสองปรมาณทม

หนวยตางกนอตราสวนทเทากน เราสามารถตรวจสอบได 2 วธ1 .ตรวจโดยการคณไขว2 .ตรวจโดยการตดทอนเปน

เศษสวนอยางตำา

ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตรา เรยกวา สดสวน

รอยละ หรอ เปอรเซนต คอ อตราสวนหรอปรมาณใดๆตอ 100

การวดความเปนมาของการวด

ตงแตศตวรรษท 15 มการใชนาฬกาแดดบอกเวลา ใน ค.ศ. 1790 สถาบนวทยาศาสตรแหงฝรงเศสไดพฒนาระบบเมตรกขน และใน ค.ศ. 1900 ประเทศตางๆมากกวา 35 ประเทศไดนำาระบบเมตรกมาใช ใน ค.ศ. 1960 ระบบเมตรกไดรบการพฒนา และรจกกนมากขนในนามของ SI(SI system) ซงยอมาจาก Systéme International d’ Unites และ ใน ค.ศ. 1975 ประเทศสหรฐอเมรกาเรมนำาระบบเมตรกมาใชเปนหนวยในการวด

ระบบความ

ยาวไทยกบระบบเมตรก

ระบบองกฤษกบ

ระบบเมตรก

1 คบ = 25 เซนตเมตร1 ศอก = 50 เซนตเมตร1 วา = 2 เมตร1 เสน = 40 เมตร

1 นว = 2.54 เซนตเมตร1 หลา= 90 เซนตเมตร1 ฟต = 30 เซนตเมตร1 ไมล = 1.6 กโลเมตร

การเปรยบเทยบพนทและปรมาณพน

ท1 ตารางเซนตเมตร = 100 ตารางมลลเมตร1 ตารางเดซเมตร = 100 ตารางเซนตเมตร1 ตารางเมตร = 100 ตารางเดซเมตร1 ตารางเดคาเมตร = 100 ตารางเมตร1 ตารางเฮกโตเมตร = 100 ตารางเดคาเมตร1 ตารางกโลเมตร = 100 ตารางเฮกโตเมตร

ปรมาตร1 ลกบาศกเซนตเมตร = 100

ลกบาศกมลลเมตร1 ลกบาศกเดซเมตร = 100 ลกบาศกเซนตเมตร1 ลกบาศกเมตร = 100 ลกบาศกเดซเมตร1 ลกบาศกเดคาเมตร = 100 ลกบาศกเมตร1 ลกบาศกเฮกโตเมตร = 100 ลกบาศกเดคาเมตร1 ลกบาศกกโลเมตร = 100 ลกบาศกเฮกโตเมตร

ระบบองกฤษพนท

1 ตารางฟต = 144 ตารางนว1 ตารางหลา = 9 ตารางฟต1 เอเคอร = 43,560 ตารางฟต1 ตารางไมล = 640 เอเคอร1 งาน = 400 ตารางเมตร1 ไร = 1,600 ตารางเมตร

ปรมาตร 1 ลกบาศกฟต = 1,728 ลกบาศกนว1 ลกบาศกหลา = 27 ลกบาศกฟต

หนวยการชงและการตวงหนวยการชางทนยมกน

ในระบบเมตรก1 กรม = 1,000 มลลกรม1 กโลกรม = 1,000 กรม1 ตน = 1,000 กโลกรม

หนวยการตวงเทยบกบหนวยปรมาตรในระบบเมตรก1 มลลลตร = 1 ลกบาศกเซนตเมตร1 ลตร = 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร1 กรม = 1 ลกบาศกเซนตเมตร1 กโลกรม = 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร

หนวยการตวงในระบบเมตรก1 ลตร = 1,000 มลลลตร1 กโลลตร = 1,000 ลตร

หนวยการซอเทยบกบหนวยการตวงในระบบของไทย1 ถง = 15 กโลกรม1 เกวยน = 100 ถง1 เกวยน = 1,500 กโลกรม

หนวยการตวงในระบบของไทย1 ถง = 20 ลตร1 เกวยน = 100 ถง

แผนภมรปวงกลม

การเขยนแผนภมรปวงกลมทำาไดโดยลากสวนของเสนตรงจากจดศนยกลายไปยงเสนรอบวง เพอแบงพนทในวงกลมออกเปนสวนๆ ตามสวนของขอมลในแตละรายการ1 .อานและวเคราะหขอมล2. คำานวณหาขนาดของมมทจดศนยกลาง(องศา) และ

เปอรเซนตจากขอมลแตละรายการ3. แบงพนทในวงกลมเพอใหแตละสวนแสดงขอมล

แตละรายการ ตามทคำานวณไดจากขอ 24. เขยนขอมลจรงกำากบไวแตละสวนของขอมล5. กรณทขอมลเปนปรมาณทมคามาก มกเขยนขอมล

กำากบไวในรปเปอรเซนตของขอมลทงหมด

การแปลงทางเรขาคณตรปแบบของการแปลงม 2 ลกษณะ คอ

1 .การแปลงทมการเคลอนทคงรป (Rigid motion) ไดแก -การสะทอน (Reflection) - การเลอนขนาน (Translation) - การหมน (Rotation)

2. การแปลงทเกยวกบการเปลยนขนาด (dilation) อาจยอหรอขยายภาพการแปลงแบบนสมพนธกบความคลาย

การสะทอนการสะทอนจะตองมเสนสะทอน การสะทอนเปนการแปลงแบบหนง ซงมลกษณะดงน1 .การสะทอนเปนการแปลงทมการจบคกน

แบบหนงตอหนง ทสมนยกนระหวาจดตางๆ บนรปตนแบบ และภาพทเกดจากการสะทอน

2. ระยะระหวางจดบนรปตนแบบถงเสนสะทอนกบระยะจากเสนสะทนถงจดบนภาพทเกดจากการสะทอนทสมนยกนกบจดบนรปตนแบบมความยาวเทากน

4. ภาพทเกดจากการสะทอน เหมอนรปตนแบบ และ เทากนทกประการ

5. เสนสะทอนจะแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบ กบจดแตละจดบนภาพทเกดจากการสะทอนทสมนยกน

6. จดตางๆ บนเสนสะทอน เปนจดคงทไมเปลยนตำาแหนง เมอทำาการสะทอน

การนำาการสะทอนไปใช1 .การตกอลฟ 2. การแทง

บลเลยด3. การสรางภาพ

การเลอนขนาน

1 .การเลอนขนานเปนการสะทอนสองครงทตอเนองกน โดยผานเสนสะทอนสองเสนทขนานกบรป

2. รปตนแบบกบภาพทเกดจากการเลอนขนานเทากนทกประการ

3. ระยะหางจากจดทสมนยกนของรปตนแบบกบภาพทเกดจากการเลอนขนานหรอขนาดของการเลอนขนาน

4. สวนของเสนตรงทสมนยกนของรปตนแบบกบภาพทเกดจากการเลอนขนานจะเทากนและขนานกน

5. การเลอนขนานจะตองมทศทาง

การหมนการหมน

เปนการสะทอนตอกนสองครง ผานเสนสะทอนสองเสนตดกน

ความเทากนทกประการ

บทนยามของความเทากนทกประการรปสองรปจะเทากนทกประการไดกตอเมอ นำารปหนงซอนทบบนอกรปหนงไดสนทพอด

มมตรงขามถาเสนตรงสองเสนตดกนจะเกดมมตรงขามทมขนาดเทากน

รปสามเหลยมทเทากนทกประการ

มทงหมด 4 ลกษณะ ไดแก1 .ดาน มม ดาน2. มม ดาน มม3. ดาน ดาน ดาน4. ฉาก ดาน ดาน

ทฤษฎบทพทาโกรส

พทาโกรสเปนนกคณตศาสตรชาวกรก เกดทเกาะซามอส (Samos)

แหงทะเลเอเจยน(Aegean) ใกลกบเอเชยไมเนอร เปนผสราง

สำานกพทาโกเรยน (Pythagorean)

ในรปสามเหลยมใดๆ พนทของรปสามเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก

ถา abc เปนสามเหลยม มดานยาว a,b และ c หนวย เปนดานทยาวทสดc < a + b

เสมอถา แลว abc เปนสามเหลยมทมดาน c ตรงขามมมฉาก ถา

แลว abc เปนสามเหลยมมมปาน

ถา แลว abc เปนสามเหลยมมมแหลม

จำานวนจรง (Real Number)จำานวนตรรกยะ

(Rational Number)เศษสว

น(Fracti

on)

จำานวนเตม

(Integer)

จำานวนอตรรกยะ(Irrational Number)

จำานวนตรรกยะ

จำานวนทสามารถเขยนในรปเศษสวน a/b โดยท a และ b เปนจำานวนเตม และ b ≠ 0สามารถเขยนตรรกยะในรปทศนยมซำาได

จำานวนอตรรกยะจำานวนทไม

สามารถเขยนในรปเศษสวนทมทงตวเศษและ

สวนเปนจำานวนเตมได

π และรากทสองของจำานวนบางจำานวน

รากทสองบทนยาม ให

m แทนจำานวนจรงบวกใดๆรากทสองของ m คอ จำานวนทยกกำาลงสองแลวไดเทากบ m

รากทสองของจำานวนจรงบวก จะเปนจำานวนตรรกยะ หรอจำานวนอตรรกยะกไดอยางใดอยางหนง

-การหารากทสอง หาโดยวธการแยกตวประกอบ-การหารากทสองโดยการเปดตารางรากทสองสมบตของรากท

สอง1 .ถา a เปนจำา

นวนใดๆ ท a => 0 แลว

2. ถา a และ b เปนจำานวนใดๆท a => 0 และ b => 0

รากทสามให a แทนจำานวนจรงใดๆ รากทสามของ a หมายถง จำานวนทยกกำาลงสามแลวได aเขยนแทนดวยสญลกษณ จะได = a

เสนขนาน

เสนตรงสองเสนขนานกนกตอเมอมระยะหางเทากนตลอด

มมภาพในบนขางเดยวกนของเสนตดเสนตรงค หนง มเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคนจะขนานกนกตอเมอ ผลบวกภายในของมมภายในบนขางเดยวกนของเสนตดรวมกนได 180 องศา

มมแยง เสนตรงคหนงมเสนตรง เสนหนงตดเสนตรงคนจะขนานกนกตอเมอมมแยงทเกดขนมขนาดเทากน

มมภายในและมมภายนอกบนขางเดยวของเสนตด เสนตรงคหนงมเสนตรงเสนหนงตด เสนตรงคนจะขนานกน กตอเมอ มมภายในและมมภายนอกทอยบนขางเดยวกนของเสนตดมขนาดเทากน

เสนขนานและรปสามเหลยม

ถามมของรปสามเหลยมสองรปใดๆ มขนาดของมมเทากนสองค แลวมมคทสามจะมขนาดเทากนดวย

ผลบวกมมภายในรวมกนได 180 องศา

ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป มมภายนอกทเกดขนจะมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชดของมมภายนอกนน

ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนสองค และมดานทอยตรงขามกบมมคทมขนาดเทากนคหนง แลวรปสามเหลยมนจะเทากนทกประการ

พนทผวและปรมาตร1.พนทสเหลยมจตรส = ดาน x ดาน หรอ 1/2 x ผล

คณของเสนทแยงมม2.พนทสเหลยมผนผา = กวาง x ยาว3.พนทสามเหลยม = 1/2 x ฐาน x สง4.สเหลยมขนมเปยกปน = ฐาน x สง หรอ 1/2 x ผลคณของเสนทแยงมม5.พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง6.พนทสเหลยมรปวาว = 1/2 x ผลคณของเสนทแยงมม

7.พนทสเหลยมดานไมเทา = 1/2 x เสนทแยงมม x ผลบวกของเสนกง8.พนทวงกลม = พาย x รศม29.ปรมาตรทรงลกบาศก = ดาน310.ปรมาตรทรงสเหลยมมมฉาก = กวาง x ยาว x สง11.ปรมาตรทรงกลม = 4/3 x พาย x รศม312.ปรมาตรทรงกระบอก = พาย x รศม2 x สง13.ปรมาตรทรงกรวย = 1/3 x พาย x รศม2 x สง14.ปรมาตรปรซม = พนทฐาน x สง*พายมคาเทากบ 22/7 หรอ 3.14

พนททรงกระบอก 2พาย rhพนทพระมด พนทหนาตด + พนทดานขางพนทกรวย2(พายrl)พนททรงกลม 4พายรศม2

กราฟสงนารเกยวกน a• a = 0 กราฟขนานกบ

แกน x• a > 0 กราฟทำามมแหลม

กบแกน x• a < 0 กราฟทำามมปาน

กบแกน x• lal ยงมากกราฟชนชน

ในสมการตงแต 2 สมการขนไป ถามคา a เทากนกราฟจะขนานกน

สงทนารเกยวกบ b

• b = 0 กราฟผานจด (0,0)

• b > 0 กราฟตดแกน y เหนอแกน x

• b < 0 กราฟตดแกน y ใตแกน x

• เมอ x = 0 กราฟตดแกน y ทจด (0,b) ในสมการตงแต 2 สมการขนไป ถา b มคาเทากนกราฟจะตดแกน y ทจดเดยวกน

Y = ax + b เมอ a,b เปนคาคงตว

กราฟของสมการตดกนทจดจดหนง ซงจดนนเปนคำาตอบของสมการโดยแสดงคา x และ yกราฟของสมการทงสองขนานกน ซงไมมคำาตอบของสมการกราฟของสมการทงสองทบกนเปนเสนตรงเดยวกน ซงคำาตอบของระบบสมการมมากมาย โดยคาของ x และ y ทอยบนเสนตรงนน

ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

การแกระบบสมการเชงเสน มดงน- การแทนคา1 .แกสมการโดยใหตวแปรตวหนงอยในรป

ตวแปรอกตวหนง (ถาเปนไปไดไมควรทำาในรปเศษสวน)

2. แทนคาตวแปรทไดจากขอ 1 ในสมการอกสมการหนง ทำาใหเหลอตวแปรเพยงตวเดยว

3. แกสมการทไดจากขอ 24. แทนคาคำาตอบทไดจากขอ 3 ลงในขอ 1 ก

จะไดคำาตอบทงหมดของระบบสมการ

การแกระบบสมการโดยวธทำาใหสมประสทธตวแปรเทากน1 .เขยนสมการทงสองใหอยในรป Ax + By =

C เมอ A, B และ C เปนจำานวนจรงใดๆ2. ถาจำานวนนนเปนเศษสวนหรอทศนยม ใหทำา

เปนจำานวนเตม โดยถาเปนเศษสวนจะตองคณดวย ค.ร.น. ของตวสวน และถาเปนทศนยมจะตองคณดวย 10 หรอ 100 หรอ 1000 , … เพอทำาใหเปนจำานวนเตม

3. ทำาสมประสทธของแตละตวใหเทากน โดยนำาจำานวนมาคณตวแปรแตละตว

4. ทำาสมประสทธของตวแปรแตละตวใหหมดไป โดยการบวกหรอการลบสมการทงสอง

5. เมอแกสมการไดคำาตอบของตวแปรตวหนงแลว ใหนำาคาของตวแปรนนไปแทนในสมการเพอใหไดคำาตอบของตวแปรอกตวหนง

ความรเพมเตมเกยวกบกระแสนำาเมอพายเรอตามนำาระยะทาง = เวลา x (อตราเรวของการพายเรอในนำานง + อตราเรวของกระแสนำา)เมอพายเรอทวนนำาระยะทาง = เวลา x (อตราเรวของการพายเรอในนำานง - อตราเรวของกระแสนำา)

ความคลายการนำาความคลายไปใช

ใชในการวดความสงหรอความยาวตางๆ

สถต

ความหมายของสถต มความหมายกวางๆ 2 ประการ1 .ตวเลขทแสดง

ขอเทจจรงทมลกษณะสรปรวบยอด

2. ศาสตรหรอหลกการทวาดวยการเกบรวบรวมขอมล การนำาเสนอขอมล การรวบรวมขอมล และการตความหมายของขอมล

ตารางแจกแจงความถ1 .พสยเปนคาความแตกตางระหวางขอมลทมคา

สงสด กบขอมลทมคาตำาสดนนคอพสย =Max.-Min.

2. จำานวนอนตรภาคชน = พสย/ความกวางของอนตรภาคชน

เมอหารกนแลวไมลงตว มเศษ ใหปดขนเปนจำานวนเตม แตถาหารลงตวใหบวกดวย 1

3.ขอบลาง = คานอยทสดในชนนน + คาทมากทสดในชนทตำากวาทตดกน / 2

4. ขอบบน = คามากทสดในชนนน + คานอยทสดในชนทสงกวาตดกน / 2

5. ความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน –ขอบลาง

6. จดกงกลางชน = คานอยสดในชน + คามากทสดในชนนนๆ / 2

คาเฉลยเลขคณต

4. คามธยฐาน (Median) เปนคาของขอมลทอยตรงกลางของขอมลทงหมด เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก(หรอ มากไปนอย) เขยนแทนดวยสญลกษณ Me หรอ Mdn

5. ฐานนยม (Mode) เปนคาของขอมลทมความถสง เขยนแทนดวยสญลกษณ Mo

อสมการ ประโยค

สญลกษณทแสดงถงความสมพนธของจำานวนโดยมสญลกษณ

 >  (มากกวา) ,  < (นอยกวา) , > (มากกวาหรอเทากบ) , < (นอยกวาหรอเทากบ) หรอ   ≠ (ไมเทากบ) แสดงความสมพนธของจำานวน เรยกวา อสมการ

กราฟแสดงคำาตอบo จดโปรง ไมเอาตวนน● จดทบ เอาตวนนดวย(=)

สมบตของการบวกไมเทากนนรวมสมบตของการลบของการไมเทากนดวย เพราะการลบดวย c กคอการบวก

ดวย - c นนเอง

การแก

สมบตของการบวกไมเทากน

สมบตของการคณไมเทากน

สมบตของการคณนรวมสมบตของการหารไมเทากนดวย เพราะการหารดวย c เมอ c ≠ 0 กเหมอนกบการคณดวย 1/c นนเอง

ความนาจะเปน

จำานวนทแสดงใหทราบวาเหตการณใดเหตการณหนง มโอกาสเกดขนมากหรอนอยเพยงใด

มการหาหลายแบบ เชน แบบตาราง แบบแผนภาพตนไม

เมอ   P (E)   คอ  ความนาจะเปนของเหตการณ  E    n (E)   คอ  จำานวนผลทจะเกดขนในเหตการณ  E    n ( S)  คอ  จำานวนผลทงหมดทอาจจะเกดขนได- จำานวนผลทจะเกดขนในเหตการณ  E     เรยกอกอยางหนงวา  เหตการณทสนใจ หรอสงทโจทยกำาหนดให- จำานวนผลทงหมดทอาจจะเกดขนได  S   เรยกอกอยางหนงวา  แซมเปลสเปซ  หาไดจากการทดลองสม

ขอสงเกต   ถา  E  เปนเหตการณใดๆ  จะพบวา1)      0  <  P(E)   <   12)    P(E)   =   0   เมอ   E   เปนเหตการณทเปนไปไมได3)    P(E)   =   1   เมอ   E   เปนเหตการณทแนนอน

จบการนำาเสนอแลวขอบคณคะ หากมขอผดพลาดประการใดกขออภยมา ณ ทนดวยด.ญ. พรลดา ชยเจรญ เลขท 18 ชน ม.3/1 ปการศกษา 2556