1

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Відділ освіти , молоді та спорту

Герцаївської райдержадміністрації

Відділення :математика

Секція: математика

СИМЕТРІЯ — СИМВОЛ КРАСИ , ГАРМОНІЇ І

ДОСКОНАЛОСТІ

Виконала:

Герман Наталія Дорінівна,

учениця 10 класу

Молницької ЗОШ І-ІІІ ст.

Керівник:

Герман Тетяна Іванівна

вчитель математики

вищої категорії

Молницької ЗОШ І-ІІІ ст.

Рецензент:

Доцент кафедри

математичного аналізу ЧНУ

доктор фізико-математичних

наук Маслюченко О.В.

Чернівці – 2013

2

Симетрія — символ краси, гармонії і досконалості

Герман Наталія Дорінівна

Герцаївський відділ освіти , молоді та спорту райдержадміністрації

Молницька ЗОШ І-ІІІ ступенів 10 клас ,

с. Молниця , Герцаївський район , Чернівецької області,

Герман Тетяна Іванівна , вчитель математики Молницької ЗОШ І-ІІІ ступенів

Метою даної роботи є : формування знань про перетворення симетрії в

просторі ; в будівництві, музиці , літературі, в рослинному та тваринному світі;

розвиток просторової уяви ; формування вміння класифікувати різні види

симетрії.

Основні завдання роботи : зібрати та описати приклади як підтвердження її

існування в природі ; значимість симетрії у навколишньої середовищі.

Запропоноване дослідження складається зі вступу, трьох розділів, загальних

висновків , списку використаних джерел та додатків (2).

Як висновок зауважимо , що симетрія, проявляється в найрізноманітніших

об'єктах природного світу, безсумнівно, відбиває найбільш загальні її властивості.

Тому вивчення симетрії в різноманітних природних об'єктах і зіставлення її

(вивчення) результатів є зручним і надійним інструментом пізнання гармонії

світу. Принципи симетрії відіграють важливу роль у фізиці і математиці, хімії і

біології, техніці й архітектурі, живописі й скульптурі, поезії й музиці. Закони

природи, які керують явищами, у свою чергу, теж підпорядковуються законам

симетрії.

Ми живемо серед симетричних предметів, наше тіло симетричне і ми здатні

відчувати красу всього симетричного, що нас оточує.

Форми сприйняття і вираження у багатьох галузях науки і мистецтва

спираються на симетрію.

3

ЗМІСТ :

ВСТУП……………………………………………………………………......…4

РОЗДІЛ І. СИМЕТРІЇ В ШКІЛЬНОМУ КУРСІ ГЕОМЕТРІЇ .

1.1. Симетрія відносно точки……………...………………………..6

1.2 . Осьова симетрія……………………...…………………………7

1.3. Дзеркально-поворотна симетрія.

Симетрія відносно площини………………..…………………..7

РОЗДІЛ ІІ. ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ - ГАРМОНІЧНА ПРОПОРЦІЯ.

2.1. З історії золотого перерізу …………………………………….9

2.2.Золота пропорція в живій природі………………….…………13

2.3 . Золота пропорція в архітектурі……………………..………..13

РОЗДІЛ ІІІ. СИМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС.

3.1 . Дзеркальне відображення та симетрія в літературі...............14

3.2 . Симетрія в архітектурі…………………………………...…...15

3.3 . Симетрія в музиці………………………………………….......16

3.4 . Симетрія в побутті ………………………………………...….16

3.5 . Симетрія у фізиці……………………………………………....17

3.6 . Симетрія в хімії…………………………………………...........18

3.7 .Симетрія в природі…………………………….…………...18

ВИСНОВКИ………………..………………………………………………….21

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ …………………...…………......23

ДОДАТКИ ……………………………...……………………………….........24

4

ВСТУП.

На уроках геометрії ми вивчали тему «Симетрія», на неї відвели обмаль

часу, а мені здалася ця тема цікавою, і вирішила взяти її на дослідження. Мені

захотілося побільше дізнатися про симетрію , бо я вже не раз чула про цей

термін на інших предметах й у побуті. Розпочавши дослідження, я помітила, що

симетрія як математичне поняття, вона проявляється чимось прекрасним у

живій і неживій природі та творах людини. Тому я поставила собі такі

проблемні питання:

Як проявляється гармонійність симетрії у природі?

Які види симетрій зустрічаються у природі?

Як застосовують красу симетрії у різноманітних видах мистецтва та у

науці?

Тому тему свого дослідження я назвала «Симетрія — символ краси,

гармонії і досконалості».

Основною метою роботи є :

формування знань про перетворення симетрії в просторі :

в будівництві, музиці , літературі, в рослинному та тваринному світі;

розвиток просторової уяви;

формування вміння класифікувати різні види симетрії.

Основні завдання наукового дослідження :

Зрозуміти, що таке симетрія.

Зібрати та описати приклади як підтвердження її існування в

природі.

Яка значимість симетрії у навколишньої середовищі ?

Поняття симетрії проходить через всю багатовікову історію людської

творчості. Численні народи з давніх часів володіли уявленням про симетрію в

широкому сенсі - як еквіваленті врівноваженості і гармонії.

Слово «симетрія» знайоме нам з дитинства, і здавалося б, нічого

загадкового в цьому понятті бути не може. Адже ми живемо серед симетричних

предметів, наше тіло симетричне і ми здатні відчувати красу всього

5

симетричного, що нас оточує. Але слід визнати, що існує явище

несиметричності, яке відіграє важливу роль у сприйнятті навколишнього

середовища.

Симетрія — властивість об’єкта відтворювати себе при певних

трансформаціях, які називаються операціями симетрії.

В давнину це слово використовували як “ гармонія”, “краса”. А й справді з

грецької мови воно означає «відповідність, пропорційність, подібність в

розташуванні частин».

Ідея симетрії зустрічається у гіпотезах і теоріях учених минулих років, які

вірили в математичну гармонію.

Оскільки вимірюваннями, обчисленнями і відношеннями між числами

займається математика, то я спробую описати особливості красивого саме з її

допомогою.

Людина може створювати красу. Але у неї теж був творець. Тому

пошукаємо елементи математики в діяннях цього творця – живій природі.

Я тепер хочу, поспостерігавши і вивчивши спеціальну літературу,

подивитися, де знайде своє відображення симетрія. Чому ми бачимо одні речі

гарними, а інші ні? Чому оцінювати симетричні зображення приємніше, а ніж

асиметричні?

Краса у природі не створюється, а лише фіксується, виражається.

Форми сприйняття і вираження у багатьох галузях науки і мистецтва

спираються на симетрію.

6

РОЗДІЛ І. СИМЕТРІЇ В ШКІЛЬНОМУ КУРСІ ГЕОМЕТРІЇ .

1.1 Симетрія відносно точки

Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо О -

середина відрізка АА1.Точка О вважається симетричною самій собі(рис.1.1)[10].

Рис.1.1

Перетворення, при якому кожна точка даної фігури відображається на

точку, симетричну їй відносно т. О називається симетрією відносно точки, або

центральною симетрією. Застосуємо перетворення симетрії до відрізка АВ. Biн

перейде у А 1В1 (рис. 1.2) .

В

А1

А

О

В1

Рис.1.2

Якщо симетрія відносно деякої точки відображає дану фігуру АВС на ту

саму фігуру А1В1С1 (рис.1.3), то її називають центрально - симетричною, а

точку О - її центром симетрії, АО=А1О , ВО=В1О , СО=С1О.

Приклади симетрії відносно точки – рис . 1.4;1.5.

Рис. 1.3

7

1.2 Осьова симетрія.

Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому кожна її точка переходить

в точку, симетричну щодо даної прямої, називається перетворенням симетрії

відносно прямої а. Пряма а називається віссю симетрії (рис.1.6)[10]. А

перетворення ще називають осьовою симетрією.

a

F F1

Рис. 1.6

Приклади осьової симетрії – рис. 1.7; 1.8.

1.3 Дзеркально-поворотна симетрія. Симетрія відносно площини.

Якщо всередину квадрата вписати з поворотом інший квадрат (рис. 1.9),

то це й буде приклад дзеркально-поворотної симетрії [5] .

У давнину філософи казали, що перш ніж пізнати світ, варто пізнати

самого себе. Проведемо експеримент — погляньмо на себе у дзеркало. Дія для

нас звична, але маймо на увазі, що настільки знайоме нам обличчя, яке

дивиться звідти, — це не ми. Ми примружуємо праве око, а воно — ліве; ніс

трішки вигнутий, як і наш, але в інший бік; крім того, людина із задзеркалля, на

відміну від нас, шульга .

Приклад дзеркально-поворотної симетрії – рис. 1.10.

Точки А і А1 називаються симетричними відносно площини, якщо ця

площина перпендикулярна до відрізка АА1 та ділить його пополам (рис.1.11).

8

А

АО=ОА1

О

А1

Рис. 1.11

Перетворення, при якому кожна точка даної фігури відображається на

точку симетричну відносно площини називається симетрією відносно

площини [10].

Симетрію відносно площини широко застосовували у різні віки у

різноманітних будівельних стилях . Приклади – фото 1.1 – 1.3 .

9

РОЗДІЛ ІІ. ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ - ГАРМОНІЧНА ПРОПОРЦІЯ.

2.1 З історії золотого перерізу .

В давнину числам приписували магічний зміст. Приміром, одиниця

вважалася символом єдності всього сущого, якимось абсолютом. Двійка

відбивала подвійність світу: матерія - дух, чоловік - жінка, день - ніч... До

містичних результатів призводило також і застосування запозиченого в

математиці поняття пропорції (числове співвідношення між частинами одного

цілого). І найзагадковіший, найбільш легендарний й найчарівніший серед них -

золотий переріз, що вплинув також і на сучасне мислення. Суть його в тому, що

більша частина відноситься до меншої, як все ціле - до більшої [9].

У грубому, побутовому варіанті пропорція золотого перерізу - це

приблизно 8:5, а ще точніше - 13:8. Математиками підраховано більш точно:

десяткове розкладання числа "фі" (числа золотого перерізу) має вигляд

1,61803398... Цікаво те, що це єдине позитивне число, що переходить у

зворотне йому при відніманні одиниці. Воно має й масу інших дивних

властивостей.

Золотий переріз використовувався ще у Вавілоні й Древньому Єгипті [11]

(фото 2.1). Цю пропорцію знаходимо в піраміді Хеопса, у предметах побуту із

гробниці Тутанхамона, у барельєфах й інших творах мистецтва тієї пори. В VІ

столітті до н.е. Піфагор заснував філософську школу, де був гурток, у якому

учні, вивчаючи ідеї матемпсихози (переселення душ), прилучалися до вищих

таємниць. Піфагор учив, що увесь світ - не що інше, як гармонія й арифметика.

Все складається із однієї й тієї ж матерії, всі елементи якої створюють

непорушний порядок, абсолютну гармонію, установлену верховним божеством.

Вона виражається в числах. Виявляє у всьому гармонію й золотий переріз.

Давньогрецькі архітектори і скульптори свідомо використовували цю

пропорцію у своїх творах [11]. Прикладом може служити Парфенон. (Не

випадково американський математик Марк Барр запропонував називати

відношення двох відрізків, що утворюють золотий перетин, числом "фі" -

першою літерою в імені великого скульптора Фідія, що враховував золоту

10

пропорцію у своїх скульптурах). Таємниці золотого перерізу в античну епоху

ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці й були відомі тільки

обраним.

Інтерес до золотого перетину посилився в епоху Відродження серед вчених

і художників. Цей термін став популярним починаючи з XІ століття. Найбільше

чудових властивостей золотого перерізу зібрав у своєму ілюстрованому

трактаті 1509 року італійський чернець Лука Паччолі [9]. Серед багатьох

достоїнств золотої пропорції він назвав також її "божественну суть" як

вираження триєдності : Син (малий відрізок) , Батько (більший відрізок) , Бог-

Святий дух (ціле).

Художник Альбрехт Дюрер встановив, що зріст людини ділиться в золотих

пропорціях лінією поясу, а також лінією, проведеною через кінчики середніх

пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Талія ділить

ідеальне людське тіло відносно золотого перетину (рис.2.1;2.2). Такими є,

наприклад, знамениті статуї Аполлона Бельведерського - роботи Леохора й

Зевса Олімпійського - скульптора Фідія (фото 2.2). Пропорції чоловічого тіла

коливаються в межах середнього відношення 13:8 і трохи ближче підходять до

золотого перерізу, ніж пропорції тіла жінок (8:5), які змушені "урівнювати"

фігуру за рахунок підборів [9] .

Астроном Іоганн Kеплер назвав золотий переріз одним зі скарбів геометрії.

Він перший звернув увагу на значення золотої пропорції в ботаніці (ріст рослин

й їхня будова).

В XІ столітті німець Адольф Цейзинг довів: із всіх пропорцій саме ця дає

найбільший художній ефект і є найбільш приємною при сприйнятті. Учений

опублікував свою працю "Естетичні дослідження", оголосивши пропорцію

універсальною для всіх явищ природи й мистецтва. Інший німець - фізіолог

Густав Фехнер практично обґрунтував погляди Цейзинга. Він зробив масу

вимірів, починаючи із гральних карт, книг і хрестів і закінчуючи будинками, і

виявив, що в більшості випадків отримані ним пропорції мало відрізняються від

золотого перерізу [9].

11

В XX столітті "таємниця золотого перерізу" продовжувала хвилювати

дослідників. Зроблено чимало відкриттів. Наприклад, в 1946 році француз

Карбюз'є відкрив у ньому ключ до серійного будівництва й винайшов модулор -

золотий модуль. Це система гармонійних величин, заснована на пропорціях

людського тіла. Він запропонував золотий модуль як вихідні розміри для

масового будівництва. З розвитком дизайну й технічної естетики чинність

закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів й інші

сфери.

Золотий переріз розкрив далеко не всі свої таємниці. Зовсім недавно його

знайшли, наприклад, у медицині й фізіології. Скажімо, установлено, що для

кожного виду живих істот є частота серцебиття, при якій тривалість усього

кардіоциклу і його складових співвідносяться між собою по пропорції золотого

перерізу. Для людини ця частота дорівнює серцевому ритму здорових, фізично

активних організмів у спокої: майже 63 удари на хвилину. Ця пропорція

"присутня" й у судинах, і в крові. Словом, золотий переріз є гарантом

нормального, оптимального функціонування всієї кровоносної системи

організму [2].

Деякі сучасні фізики вважають, що золотий переріз повинен "працювати"

також й у мікросвіті, навіть на самому елементарному, кварковому рівні. Не

дивно, що дотепер тривають суперечкі між ідеалістами, теологами й

матеріалістами про те, ким же створений золотий перетин - вищим розумом чи

це, як висловлюються фізики-теоретики, усього лиш один з наслідків

динамічної рівноваги у Всесвіті.

В останні роки модно будувати спеціальні лабіринти. У їхній геометрії

застосовують "божественну пропорцію", запозичуючи приклади давнини. Вони

вже є в багатьох західних університетах, у лікарнях, парках, навіть в'язницях.

Вважається, що проходження таких лабіринтів заспокоює, допомагає

вирішувати проблеми, учить розуміти суть речей, свого місця у світі . [9]

Американський фізик, лауреат Нобелівської премії Фейнман прийшов до

висновку, що наука не дає дійсної картини світу, тому що являє собою набір

12

різних дисциплін, не пов'язаних одна з одною. Дехто впевнений: настав момент,

коли золотий переріз повинен зайняти своє лідируюче місце в єдиній науці

майбутнього.

Й. Кеплер говорив , що геометрія володіє двома скарбами -

теоремою Піфагора та золотим перерізом , і якщо перший з цих скарбів можна

порівняти з мірою золота , то другий з дорогоцінним каменем – діамантом [9].

Вважають, що поняття золотого перерізу ввів Піфагор (фото 2.3) та

його учні (VІ ст. до н.е.).

Сам термін «золотий переріз» увів Леонардо да Вінчі (фото 2.4).

Леонардо да Вінчі був одним з перших на Заході, хто вивчив кількісні

характеристики в живій природі, і представлені ним анатомічні пропорції

дотепер вивчають в школах мистецтва у всьому світі. В своєму описі

"божественних пропорцій" у Вінчи в подробицях приводить співвідношення

між різними частинами людського тіла. Відстань від підборіддя до носа рівно

відстані від брів до лінії зростання волосся, а також рівно висоті вуха: ці три

інтервали розділяють особу на три рівні частини. Відстань між очима повинна

бути рівний довжині ока, а ніздрі не повинні виступати за вертикальні лінії,

проведені з внутрішніх кутів очей. Рот ідеальної красуні не повинен виходити

за вертикальну лінію, проведену від внутрішнього краю веселкової оболонки

ока. Інші ідеальні пропорції передбачають, що висота особи повинна бути

рівний довжині кисті, а очі повинні розташовуватися в центрі голови, якщо

виміряти її висоту від верхньої точки черепа до підборіддя [11].

Тіло людини побудоване за принципом двосторонньої симетрії (рис.2.3).

Починаючи з Леонардо да Вінчі, багато художників свідомо

використовували пропорції «золотого перерізу» (Фото 2.5) [11].

a:b = b : c або с : b = b : а ( рис. 2.4 )

Рис. 2.4

13

2.2 Золота пропорція в живій природі ( рис.2.5;2.6 ) [3] .

Рис. 2.5

Рис. 2.6

2.3 Золота пропорція в архітектурі .

Голицинська (нині 1-а міська) лікарня в Москві. 1796—1801. Архітектор

М. Ф. Казаков (фото 2.6) [4] .

Храм Василя Блаженного в Москві (фото 2.7).

«Тайна вечеря» С. Далі (фото 2.8) [11] .

14

РОЗДІЛ ІІІ. СИМЕТРІЯ НАВКОЛО НАС .

3.1 Дзеркальне відображення та симетрія в літературі.

Ми в нашому щоденному житті так звикли до симетрії відносно площини,

зокрема до дзеркальних відображень, що впевнені, ніби чудово їх розуміємо.

Багатьох хвилює питання: чому дзеркало міняє місцями праве i ліве, а не

перевертає верх i низ? (подивіться на свою праву руку в дзеркалі - там вона

буде лівою). До речі, ще Платон в своїх „Діалогах", Лукренцій в трактаті „Про

природу речей" описав дзеркало, зроблене з трохи ввігнутого полірованого

металевого прямокутника. Машинописний текст, якщо читати його в такому

дзеркалі, читається звичайним чином, без перешкод [1] .

Симетричною, відносно площини, називається така структура, яка не

змінюється при відображенні у дзеркалі. Вона може бути накладена точка в

точку на свого дзеркального двійника.

Вважається, що мова і література не ма­ють нічого спільного з

математикою. Чи так це? В алфавіті є літери, які мають вертикальну вісь

симетрії: А, М, Т, Ш, П; горизонтальну — С, Є, В, Е. А літери Ж, Н, О, Ф, X —

мають дві осі симетрії.

Симетрію ми бачимо не лише навколо себе або в дзеркалі, її можна знайти

навіть у словах, Існують слова паліндроми типу „РАДАР", „ОКО", „МАДАМ", які

читаються однаково в обох напрямках.

Існують навіть слова, які симетричні не просто відносно середньої букви

(„ОКО", „АДА"), а й мають саму справжню горизонтальну чи вертикальну вісь

симетрії.

І, нарешті, існують симетричні вірші, у яких пое­ти використовують

властивості симетрії — це чергування рим, наголосів у складах — тобто

ритмічність.

Відомий німецький поет Гете стверджував, що будь-яка композиція

побудована на прихованій симетрії. Володіти законами композиції — означає

володіти законами симетрії.

15

Якщо глянути на дзеркальне відображення слів „QUALITY CHOICE"

(якість найкраща), надрукованих на бічній поверхні американських сигарет

„Кemеl" тримаючи пачку паралельно підлозі так, щоби верхній кінець дивився

вправо, то можна побачити, що слово „QUALITY" зовсім незручно читається, а

слово „CHOICE" залишиться без найменших змін. Причина схована тому, що

слово „CHOICE" має горизонтальну вісь симетрії, тому його можна накласти на

дзеркальне відображення, перевернувши вверх ногами.

Інші слова, наприклад „ томат, Наташа", асиметричні у горизонтальному

запису, але написані по вертикалі, набувають вісь симетрії.

Симетрія так тісно вплелася у наше життя, що відомий поет сучасності

Ваншейкін присвятив їй такі рядки:

Ти хитаєш головою,

З посмішкою кажеш ти:

Симетричне все довкола –

Квіти, звірі й навіть ми.

3.2 Симетрія в архітектурі

Властивості симетрії використовуються людством і в будівництві, що

надає спорудам величності та краси.

У чотирьох кілометрів від міста Герца знаходиться одне з найбільш

незвичайних місць на Буковині Свято Вознесенський Банченський чоловічий

монастир (фото 3.1 ;3.2). Його куполи видно навіть з Чернівців , до яких не

менше 25 кілометрів.

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича (фото 3.3).

Театральна площа м. Чернівці (фото 3.4).

Ватикан (фото 3.5).

Колесо огляду «Лондонське Око» (фото 3.6). Висотою в 135 метрів.

Лондонске Око є найбільш видовищною визначною пам'яткою, яка з'явилася у

світі за останній час. Колесо огляду - проект, що переміг на конкурсі проектів

споруд на честь настання нового тисячоліття. Втілення проекту в життя зайняло

шість років і залучило в процес сотні людей з п'яти європейських країн.

16

Ейфелева вежа (фото 3.7).

Великі піраміди в Гизі (фото 3.8).

3.3 Симетрія в музиці

Виявляється, багато народних пісень і танців побудовані симетрично. У 15

ст. було модно складати паліндромі музичні канони, в яких другорядна тема

лише повторювала з кінця до початку головну тему. Канон - це послідовне

повторення однієї і тієї ж теми різноманітними музичними інструментами , що

вступають по черзі один за одним [1].

Багато композиторів використовували відображення мелодій для створення

контрапунктних ефектів, але , як правило , перевернуті мелодії "ріжуть" слух.

3 допомогою магнітофона можна провести багато забавних експериментів

по музичному відображенню. Фортепіанна музика, яку грають у зворотньому

напрямку звучить, як органна, тому що кожна нота звучить спочатку ледь чутно,

а лише потім досягає повного звучання. У кімнаті з сильним відбиванням звуку

можна досягти надзвичайного ефекту, якщо крутити плівку з кінця i записувати

музику на другий магнітофон, тоді , перевернувши цей запис ми почуємо

початкову мелодію.

Відображену мелодію можна отримати i якщо б піаніст грав на іоніці не з

переднього боку, а підійшов би до апаратури ззаду. Мелодія була б не впізнаною,

а мажорний лад змінився б на мінорний. Цей прийом також використовували в

канонах композитори епохи Відродження.

Моцарт якось написав канон, в якому другорядною темою є головна тема,

яка читається з кінця. Цей твір два музиканти могли грати по одним i тим же

нотам, але один з них читав би їх з права на ліво, а другий зліва на право.

3.4 Симетрія в побутті .

Симетричним є й виконання наших національних візерунків на одязі та

предметах вжитку. Обов'язковою умовою в орнаменті було його повторення,

зображення з протилежного боку такої самої вишивки. У цьому вбачали щось

містичне . Симетрію ми бачимо у вишивці, у малюнку на килимі, у piзьбі по

дереву, кам’яній плитці на подвір’ї та в творіннях геніальних художників

17

(рис.3.1-3.4) [4]. Дивлячись на ці чудові витвори людських рук, важко не

погодитись з давньогрецькою мудрістю: „ Впорядкованість і симетрія це і є

краса”.

Симетрія орнаменту – рис.3.5-3.7.

3.5 Симетрія у фізиці.

Поняття симетрії відіграє велику роль у фізиці. Перш за все слід

відзначити просторову симетрію, якою можуть характеризуватися фізичні

об’єкти. Тут слід розрізняти симетрію щодо трансляції, симетрію щодо

дзеркального відображення, симетрію щодо поворотів, гвинтову симетрію

тощо. Особливим видом симетрії є ізотропність — незалежність властивостей

фізичної системи від напрямку, однорідність — незалежність властивостей

фізичної системи від точки простору [7].

Аристотель казав, що коли ліве і праве настільки однакове, що не можна

віддати перевагу ні тому, ні другому, то ми маємо справу із симетрією. Отож

знання властивостей симетрії важливі.

Принципи симетрії у фізиці є інструментом для пояснення законів

природи. До числа цих принципів відноситься принцип відносності Галілео

Галілея і Альберта Ейнштейна.

Нехай маємо дві системи відліку, одну з них будемо вважати нерухомою,

а іншу — такою, що рухається поступально по відношенню до першої системи.

Першу систему будемо пов'язувати із Землею, а другу — з платформою, що

рухається по рейках. Тоді платформа рухається по рейках паралельно до Землі,

і ми можемо говорити про симетрію перенесення [ 3].

Специфічним для фізики видом симетрії є інваріантність фізичних законів

щодо вибору системи відліку, яка лежить в основі теорії відносності. Іншим

видом симетрії, який зустрічається в фізиці , є симетрія щодо заміни напрямку

координатних осей, що лежить в основі принципу парності.

Симетрія властивостей квантовомеханічної системи щодо перестановки

частинок місцями лежить в основі принципу нерозрізнимості частинок.

18

Відомий німецький математик Герман Вейль сказав: "Наскільки я

можу стверджувати, вci попередні ствердження фізики, мають своїм

джерелом симетрію".

У взаємно перпендикулярних площинах симетричним є розповсюдження

електромагнітних хвиль (рис.3.8) .

Симетрія проявляється в різноманітних структурах та явищах

неорганічного світу і живої природи. У світ неживої природи чарівність

симетрії вносять кристали. Кожна сніжинка-це маленький кристал замерзлої

води (рис.3.9). Форма сніжинок може бути дуже різноманітною, але всі вони

володіють симетрією - поворотною симетрією 6-го порядку і, крім

того,дзеркальною симетрією [7].

3.6 Симетрія в хімії.

Симетрія спостерігається також і на молекулярному рівні вивчення

речовини. Вона спостерігається у недосяжних для безпосереднього

спостереження геометрично впорядкованих атомних структурах молекул.

Молекула води має площину симетрії (пряма вертикальна лінія)

(рис.3.10;3.11). Нічого не зміниться, якщо поміняти парні атоми в молекулі;

такий обмін є еквівалентним операції дзеркального відображення [13].

А що таке кристал? Тверде тіло, що має природну форму багатогранника

(рис.3.12;3.13). Характерна особливість того чи іншої речовини полягає в

сталості кутів між відповідними гранями і ребрами для всіх образів кристалів

однієї й тієї ж речовини.

Симетрія зовнішньої форми кристала є наслідком його внутрішньої

симетрії - упорядкованого взаємного розташування в просторі атомів

(молекул)[13].

3.7 Симетрія в природі.

Далі я розглянула прояв симетрії на живу природу (фото 3.9). Майже

всі живі істоти побудовані за законами симетрії, недарма у перекладі з

грецького слово «симетрія» означає «домірність».

Явище симетрії в живій природі зацікавило людство ще у V ст. до н. е. [6].

19

У тварин відомі такі типи симетрії:

1. Сферична або шароподібна, що має велику кількість осей симетрії.

Симетрії тіла тварин та їх формування. які пересікаються в одній точці – центрі

симетрії. Це колоніальні променеві.

2. Променева або радіальна симетрія, що має ділянки тіла, які симетрично

повторюються навколо головної осі. Це кишковопорожнинні тварини: гідри,

медузи, коралові поліпи.

3. Двохстороння або білатеральна симетрія, при якій одна поздовжня

площина ділить тіло на дві дзеркально подібні половини. Таку симетрію мають

більшість тварин, починаючи із типу Плоскі черви.

4. Асиметрія – це відсутність вказаних типів симетрії. Її мають черевоногі

молюски, раки-самітники [12].

Мені було запропоновано дослідити — чи є симетрія в живій природі?

Де шукатимемо?

Серед тварин, птахів та риб.

Серед дерев та квітів.

За допомогою чого будемо шукати?

Справжніх прикладів.

Внаслідок проведених досліджень було встановлено:

В світі тварин її можна знайти завжди (рис.3.14-3.18).Проте в світі рослин

вона ... може бути (рис.3.19;3.20)... ...а може і не бути (рис.3.21). В рослинах

симетрію не скрізь вдалося знайти.

Формування різних видів симетрії тіла пов’язане із певним типом

живлення, характером руху тварини та середовищем існування. Сферичні та

симетрічні тіла тварин та їх формування , радікально- симетричні форми

пов’язані із середовищем, однорідним за трьома вимірами та з нерухливим,

малорухливим або пасивним характером руху.

Двохстороння симетрія виникла у зв’язку з активним направленим

переміщенням по поверхні твердого субстрату чи водного середовища [3]. У

таких тварин виникла диференціація на спинну та черевну сторони, так як ці

20

частини тіла потрапляють в різні умови по відношенню до факторів

середовища. Один кінець тіла стає переднім і до нього зміщаються ротовий

отвір та органи чуттів, оскільки цей кінець першим зустрічає джерела

подразнення. Сюди ж переміщається і центр нервової системи «мозок». Таким

чином формується головний відділ тіла. Тому єдину площину симетрії

можна провести вздовж головної осі тіла, яка поділяє його на ліву і праву

половини [3].

21

ВИСНОВКИ.

Вивчивши і дослідивши тему «Симетрія — символ краси, гармонії і

досконалості» я дізналася, що крім осьових , дзеркальних й центральних

симетрії, які ми вивчаємо в шкільному курсі, є й інші види симетрії.

Отже, вивчаючи симетрію законів природи, рано чи пізно вдається глибше

поринути у сутність живого, пояснити хід еволюції і дати можливість людині

частіше застосовувати дані закони симетрії у житті.

Розглядаючи архітектуру будинків, предмети прикраси і побуту, технічні

винаходи, ми бачимо в них присутність центральної, поворотної , переносної,

осьової і дзеркальної симетрії, що дають відчуття спокійної впевненості і

естетичної привабливості.

Симетрія, проявляючись в найрізноманітніших об'єктах природного світу,

безсумнівно, відбиває найбільш загальні її властивості. Тому вивчення симетрії

в різноманітних природних об'єктах і зіставлення її (вивчення) результатів є

зручним і надійним інструментом пізнання гармонії світу . Симетрію можна

знайти майже скрізь. Творчість людей в усіх власних проявах тяжіє до симетрії.

За допомогою симетрії людина завжди намагалася, за словами німецького

математика Германа Вейля , «осягнути та створити порядок, красу та

досконалість» [2]. Г.Вейль під симетрією розумів «незмінність будь-якого

об'єкта, при певного, роду перетвореннях; предмет є симетричним у разі, що

його можна піддати який-небудь операції, після якого він виглядатиме як і до

перетворення».

Принципи симетрії відіграють важливу роль у фізиці і математиці, хімії і

біології, техніці й архітектурі, живописі й скульптурі, поезії й музиці. Закони

природи, які керують явищами, у свою чергу, теж підпорядковуються законам

симетрії.

Симетрія є фундаментальною властивістю природи, уявленням яке , як

зазначав академік В. І. Вернадський (1863-1945), «складалося протягом

десятків, сотень, тисяч поколінь ". Вивчення археологічних пам'яток показує,

22

що людство на зорі своєї культури вже мало уявлення про симетрії і

здійснювало її в малюнку і в предметах побуту [4].

Первинне поняття про геометричну симетрію як про гармонію пропорцій,

як про «пропорційність», що й означає в перекладі з грецького слово

«симетрія», з плином часу набула універсальний характер і було усвідомлено як

загальна ідея інваріантності (тобто незмінності) щодо деяких перетворень.

Таким чином,геометричний об'єкт або фізичне явище вважаються

симетричними, якщо з ними можна зробити щось таке, після чого вони

залишаться незмінними.

Симетрія має величезне значення :

в побуті;

в поезії ;

у природі ;

в мистецтві ;

в архітектурі ;

в науці.

Сьогодні ми занурилися у світ математики — величної та прекрасної

цариці наук. І знову впевнилися, що навколишній світ побудований на основі

математичних законів, які вносять у життя не лише порядок та чіткість, але й

гармонію та красу.

О симетріє! Гімн тобі співаю!

Тебе завжди в природі пізнаю.

Ти в ялинці, що в лісний доріжці.

З тобою в дружбі на кожному кроці.

Нічого випадкового в цьому світі немає. Все підпорядковується логічним

поясненням та математичним закономірностям.

23

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. А.Г.Конфорович « Математика служить людині» , К.,

Рад.шк., 1984. 47-55с.

2. А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии», М. , «Школа-пресс»

1998 , 18-24с.

3. В.В.Очинский «Циклические процессы в природе и обществе» ,

Ставрополь , 1994 ,161-167с.

4. Г.Грубе, А. Кучмар „Путеводитель по архитектурным формам”, М., 1990,

23-89с., 139с.

5. Д.Гильберт ,С.Кон – Фоссен «Наглядная геометрия» , М.,

2006, 297-304с.

6. И.И. Шафрановский „Симметрия в природе”, Л., „Недра”, 1985, 78-95с.

7. И.Кеплер «О шестиугольных снежинках», М.,1982 , 112с.

8. М.Гарднер ”Математические головоломки и развлечения”, М., „Мир”,

1971, 39с.

9. Н.Н.Васюткинский «Золотая пропорція» , м.,1990 , 156-180с.

10. О.М. Роганін „Сучасний урок математики. Геометрія 10 клас”, Харків,

в-во ”Ранок”, 2003, 186-190с.

11. Ф.В.Ковалев « Золотое сечение в живописи» , к.,В.Ш..1989 ,44-62с.

12. Ф.Патури „Растения - гениальные инженеры природы”,

М.,”Прогрес”1982, 243с.

13. О.Г.Ярошенко Хімія : Підручник для 10 кл. загальноосвіт.навч.закл.-К.:

Грамота , 2010, 17с.

24

Додаток 1

Ілюстративний матеріал - рисунки

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Рис. 1.7 Рис. 1.8

25

Рис.1.9 Рис.1.10

Рис. 2.1 Рис.2.2

26

Рис.2.3

Рис.3.1 Рис.3.2

Рис.3.3

27

Рис. 3.4 Мотив Богині Мокош

Рис.3.5

Рис. 3.6

28

Рис.3.7

Рис. 3.8 Рис.3.9

Рис.3.10

29

Рис.3.11

Рис.3.12 Рис.3.13

Рис.3.14

30

Рис.3.15 Рис.3.16

Рис.3.17

Рис. 3.18

31

Рис.3.19 Рис.3.20

Рис.3.21

?

32

Додаток 2

Фото матеріали

Фото 1.1 Симетрія відносно площини

Фото 1.2 Симетрія відносно площини

33

Фото 2.1 Храм Артеміди

Фото 1.3 Тадж-Махал

34

Фото 2.2 Статуя Аполлона Бельведерського

Фото 2.3 Піфагор

35

Фото 2.4 Леонардо да Вінчі

Фото 2.5 Джоконда

Фото 2.4 Леонардо да Вінчі.

36

Фото 2.5 Джоконда

Фото 2.6 Голицинська (нині 1-а міська) лікарня в Москві

Фото 2.7 Храм Василя Блаженного в Москві

37

Фото 2.8 «Тайна вечеря» С. Далі

.

Фото 3.1 Молницький дитячий будинок

38

Фото 3.3 Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича

Фото 3.2 Свято Вознесенський Банченський чоловічий монастир

39

Фото 3.4 Театральна площа м. Чернівці

Фото 3.5 Ватикан

40

Фото 3.6 Колесо огляду «Лондонське Око»

Фото 3.7 Ейфелева вежа

41

Фото 3.8 Великі піраміди в Гизі

Фото 3.9 Симетрія в природі