Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию

Российский государственный университет нефти и газа

им. И.М. Губкина

Кафедра физики http://physics.gubkin.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 144 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ

ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Москва

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №144

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Цель и содержание работы

Целью работы является изучение гармонических колебаний физического маятника.

Содержание работы состоит в опытном определении ускорения силы тяжести методом

оборотного маятника.

Краткая теория

Среди разнообразных физических явлений широко распространены колебательные

явления, обладающие, общими чертами и подчиняющиеся общим закономерностям, не-

смотря на различную природу колебательных процессов (например, механические и элек-

трические колебания). Общая черта всех колебательных движений состоит в том, что они

представляют собой движения, многократно повторяющиеся или приблизительно повто-

ряющиеся через определенные промежутки времени.

Простейшим среди колебательных движений является гармоническое колебатель-

ное движение. Характер такого движения рассмотрим при помощи следующей кинемати-

ческой модели. Допустим, что точка M равномерно вращается по окружности радиуса A с

постоянной угловой скоростью ω (рис. 1).

Рис. 1. Пример гармонического движения

Проекция этой точки N на диаметр (ось X ) будет совершать колебательное дви-

жение между крайними положениями 1N и 2N . Колебание точки N и будет гармониче-

ским колебанием. Чтобы его описать, найдем координату x точки как функцию времени

t . Из рис. 1 видно, что

O N N2

M

X ϕ+ωt

N1

( )0cos ϕ+ω= tAx (1)

где 0ϕ – угол, который образовывал в начальный момент времени 0=t радиус OM с осью

X .

Формула (1) описывает аналитически гармоническое колебательное движение.

Величина A дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения

равновесия O. Она называется амплитудой колебания. Величина ω называется цикличе-

ской частотой. Величину 0ϕ+ωt называют фазой колебания, а ее значение при 0=t , то

есть величину 0ϕ – начальной фазой. По истечении времени

ω

π=

2T (2)

фаза получает приращение 2π, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное поло-

жение. Время T называется периодом колебаний.

Простым колебанием называется движение точки от одного крайнего положения до

другого. Время простого колебания равно

2

T=τ

Мы привели кинематическое определение гармонического колебательного движе-

ния. Выясним теперь физические условия, при которых происходят гармонические коле-

бания. Для этого рассмотрим физический маятник, т.е. твердое тело, укрепленное на не-

подвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести, и способное совер-

шать колебание относительно этой оси (рис. 2).

Обозначим через J момент инерции маятника относительно такой оси O . Пусть

точка C является центром тяжести.

Применим второй закон динамики для вращательного движения (относительно го-

ризонтальной оси O )

∑=ε zMJ (3)

к движению физического маятника.

Момент силы реакции опоры равен нулю. Момент силы тяжести

α= sinmglM , (4)

где l – расстояние от оси вращения до центра тяжести, α – угол отклонения мятника от

положения равновесия (угол между прямой OC и вертикалью).

Угловое ускорение равно

2

2

dt

d α=ε . (5)

Рис.2. Физический маятник/

Подставив (4) и (5) в (3), получим следующее дифференциальное уравнение движе-

ния маятника:

α−=α

sin2

2

mgldt

dJ .

Знак “минус” выбран потому, что момент силы тяжести сообщает маятнику угловое

ускорение, обратное угловому отклонению. Если угол α мал (α ≤ 5º), то α≈αsin , и после

преобразований уравнение примет вид:

02

2

=α+α

J

mgl

dt

d. (6)

Решение уравнения (6) имеет вид:

( )0sin ϕ+ωα=α tm , (7)

где циклическая частота колебаний

J

mgl=ω (8)

mα – амплитуда, а 0ϕ – начальная фаза колебаний; mα и 0ϕ определяются начальными

условиями.

Покажем, что (7) удовлетворяет уравнению (6). Действительно, продифференциро-

вав α по времени два раза, получим

O

С

O′

α

mgr

O'

O

C

( )0

2

2

2

sin ϕ+ωωα−=α

tdt

dm . (9)

Подставив (9) и (8) в (6), получим, что левая часть уравнения (6) тождественно об-

ращается в нуль.

Использовав формулу (2) и выражение для частоты колебаний (8), найдем период

гармонических колебаний физического маятника:

mgl

JT π= 2 . (10)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так

называется колебательная система, состоящая из материальной точки, прикрепленной к

концу нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой закреплен неподвижно.

Примером математического маятника может служить тяжелый шарик малых размеров,

подвешенный на длинной тонкой нити.

Момент инерция математического маятника относительно точки подвеса равен:

2mlJ = . (11)

( l – длина маятника).

Период колебаний математического маятника определяется тогда, согласно (10) и

(11), следующим выражением1:

g

lT π= 2 . (12)

Сравнивая выражения (10) и (12), заключаем, что физический маятник колеблется с

тем же периодом, что и математический маятник с длиной

ml

Jl =0 , (13)

которая называется приведенной длиной физического маятника.

Точка O′ , находящаяся на расстоянии 0l от оси вращения по линии, проходящей

через центр тяжести (рис.2), называется центром качания физического маятника. Центр

качания имеет следующее свойство. Если ось вращения O маятника поместить в центр

качания, то его период не изменится, и прежняя ось вращения станет новым центром ка-

чания. Это можно доказать, если использовать теорему Гюйгенса-Штейнера: момент

1 Формулы (10) и (12) справедливы лишь для малых углов. Более точная формула для определения периода

колебаний математического маятника:

α+π=

2sin

4

112

2

g

lT

инерции тела J относительно какой-либо оси равен моменту инерции 0J , этого тела от-

носительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести, сложенному с

величиной 2ma :

2

0 maJJ +=

где a – расстояние между осями, m – масса тела.

На основании этой теоремы с учетом la = при точке подвеса O имеем:

lml

J

ml

Jl +== 0

0 . (14)

Отсюда находим

( )llm

Jl

−=

0

0 . (15)

Приведенная длина перевернутого маятника будет равна

( )( )ll

llm

Jl −+

−=′

0

0

0

0 .

Воспользовавшись (15), получаем требуемый результат:

000 lllll =−+=′

Зная приведенную длину маятника l , и определив период колебаний физического

маятника, можно найти величину g в данном месте Земли. Таким образом, могут быть

произведены наиболее точные измерения ее в различных точках земной поверхности.

Приборы и принадлежности, необходимые для восполнения работы

1.Оборотный маятник (рис. 3). Он состоит из однородного металлического стерж-

ня с делениями, нанесенными на его поверхность через 10 мм.

Опорные призмы A и B жестко закреплены на определенных местах. Расстояние 0l

между ребрами призм указано на установке. Два тяжелых груза в форме чечевиц D и C

также закреплены на стержне. Груз M в форме чечевицы можно перемещать вдоль стерж-

ня.

2. Частотомер-хронометр, предназначенный для измерения среднего полупериода

колебаний оборотного маятника в миллисекундах (mS). Усреднение производится по 10

простым колебаниям.

3. Электронная схема включает в себя фотодиод ФД-3 и служит для преобразова-

ния световых импульсов в электрические.

Рис. 3. Оборотный маятник

4. Осветительная установка, служащая для освещения фотодиода. Осветительная

установка и фотодиод смонтированы на стойке, на которой укреплен оборотный маятник.

5. Источник питания, служит для питания электронной схемы и осветительной ус-

тановки.

Порядок выполнения работы

В данной работе нужно найти такое положение груза M, при котором период про-

стого колебания (полупериод) оборотного маятника при последовательных подвесах его

на призмах A и B будет одним и тем же. В этом случае расстояние между ребрами опор-

ных призм будет равно приведенной длине маятника. Измерив полупериод τ можно, вос-

пользовавшись формулой (12), определить ускорение свободного падения

02

2

lτ

π=g . (16)

Измерения проводятся в следующей последовательности:

1. Включить в сеть источник питания. При этом загорается лампочка осветительной

установки.

2. Включить в сеть частотомер-хронометр.

3. Подвесить оборотный маятник на призму A. Опустить груз M в нижнее положе-

ние.

4. Отвести рукой нижний конец маятника так, чтобы размах колебаний его не пре-

вышал 8–10 см и отпустить.

5. Нажать кнопку “сброс”, расположенную на передней панели частотомера. Часто-

томер-хронометр начинает измерять время колебаний после того, как загорится на его пе-

редней панели белая лампочка “измерение”.

6. Записать показания частотомера в таблицу 1. При одном и том же положении

груза M, измерения повторить 3 раза. Перед каждым измерением необходимо нажимать

кнопку “сброс”.

7. Проделать измерения (пп. 4 – 6) для различных положений груза M, который пе-

ремещают, начиная от нижнего конца через каждые 2 см до призмы B. (В данной работе

перемещается только груз M).

Таблица 1

Положение груза 1 2 3 4 5 6 7 8

1.

2. Средний полупериод

на призме A 3.

Среднее значение

из 3-х измерений

1.

2. Средний полупериод

на призме B 3.

Среднее значение

из 3-х измерений

8. По данным таблицы 1 на миллиметровой бумаге построить график зависимости

среднего полупериода τ колебаний маятника от положения груза M. На оси абсцисс от-

кладывают деления шкалы, соответствующие различным положениям груза M, а на оси

ординат средний полупериод τ. Масштаб по осям удобно выбирать следующим образом: 1

см на оси абсцисс соответствует расстоянию между двумя делениями на стержне; 1 см на

оси ординат – 20 mS (0,02 с).

9. Перевернуть маятник и подвесить его на призму B. Следуя пп. 4 – 6, измерять

среднее время простого колебания. При этом груз M следует перемещать через каждые 2

см от самого верхнего положения до призмы B. Результаты измерений занести в таблицу

1.

10. На той же миллиметровой бумаге достроить второй график (при положении ма-

ятника на призме B), следуя указаниям п. 8. Точка пересечения 2-х кривых определяет по-

ложение груза М, при котором полупериоды колебаний имеют одинаковые значения.

Установить груз M в найденное из графиков положение и измерить средний полу-

период (следуя п.п. 4, 5) при подвесе маятника на каждой из призм. Результаты измерений

завести в таблицу 2. Записать значение приведенной длины маятника 0l (указано на уста-

новке).

Таблица 2

Приведенная длина маятника 0l = ……… м

Средний полупериод на призме A Aτ , с Средний полупериод на призме B Bτ , с

1.

2.

3.

1.

2.

3.

Среднее значение τ (с)

Обработка результатов измерений

1. Рассчитать τ по формуле:

6

3

1

3

1

∑∑==

τ+τ

=τ iBi

iAi

2. Вывести формулу для расчета относительной и абсолютной погрешностей g (см.

“Обработка результатов измерений”)

=∆

=εg

gg =∆g

и рассчитать эти ошибки.

После расчета относительной ошибки gε определить необходимое число значащих

цифр в числе π

10

gε≤επ

по таблице, приведенной в “Обработке результатов измерений”

3. По формуле (16) рассчитать g . Окончательный результат записать в виде

ggg ∆±= (м/c2)

Контрольные вопросы

1. Что такое физический маятник?

2. Что такое оборотный маятник? Что называется приведенной длиной физического маят-

ника?

3. Какие колебания называются гармоническими?

4. При каком условии физический маятник можно считать математическим?

5. Вывести дифференциальное уравнение движения маятника.

6. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

7. Какое практическое значение имеет измерение ускорения силы тяжести?

8. В чем заключается метод определения g оборотным маятником?

9. Выведите формулу для вычисления абсолютной и относительной погрешности измере-

ния g в данной работе.

10. Что называется амплитудой, частотой и фазой колебания?

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1.

Сивухин Д.В. Курс общей физики. Т. 1.