Fakultet inženjerskih nauka u Kragujevcu

Katedra za mašinske konstrukcije i mehanizaciju

Predmet: Lake konstrukcije

Primena metode konačnih elemenata u proračunu lakih

konstrukcija

Student: Predmetni nastavnici:

Marko Ristić 391/2012 Dr Ružica Nikolić, red. prof

Dr Vesna Marjanović, docent

Kragujevac, 2013

2

Sadržaj

1.Uvod ............................................................................................................................................................................. 3

2. Metode proračuna lakih (rešetkastih) konstrukcija ................................................................................ 6

2.1 OSNOVI METODE KONAČNIH ELEMENATA ........................................................................................ 8

2.2 OPŠTA TEORIJA MKE .................................................................................................................................. 10

2.3 Tipovi elemenata .......................................................................................................................................... 14

2.4 Tipovi opterećenja ....................................................................................................................................... 16

2.5 Opterećenja po elementima ..................................................................................................................... 16

2.6 Ograničenja ..................................................................................................................................................... 17

2.7 Postprocesiranje ........................................................................................................................................... 17

3. Matrica Krutosti ................................................................................................................................................... 18

3.1 Pojam matrice krutosti .............................................................................................................................. 18

3.2 Izbor tipa elementa ...................................................................................................................................... 19

3.3 Izbor funkcije pomeranja .......................................................................................................................... 20

3.4 Definicije veza izmedju deformacije i pomeranja i napona i deformacije .............................. 21

3.5 ODREDJIVANJE ELEMENATA MATRICE KRUTOSTI ....................................................................... 21

3.6 SABIRANJE JEDNAČINA ELEMENATA POSTAVLJANJE GLOBALNIH JEDNAČINA I

UVODJENJE GRANIČNIH USLOVA ................................................................................................................. 22

3.7 RAČUNANJE ČVORNIH POMERANJA .................................................................................................... 23

3.8 RAČUNANJE SILA .......................................................................................................................................... 23

3.9 FORMIRANJE UKUPNE MATRICE KRUTOSTI (DIREKTNA METODA) ..................................... 25

3.10 GRANIČNI USLOVI ..................................................................................................................................... 26

4. Zaključak ................................................................................................................................................................. 30

5. Literatura ................................................................................................................................................................ 31

3

1.Uvod

Kao rezultat želje da se dobiju nosači uz minimalan utrošak materijala, nastali su rešetkasti nosači. Sa stanovišta utroška materijala, rešetkasti nosači su povoljniji od saćastih i punih nosača. Sastoje se od međusobno povezanih pojasnih štapova i štapova ispune (dijagonale i vertikale) koji formiraju trougaonu strukturu. Kako su štapovi rešetkastih nosača aksijalno napregnuti, dijagram normalnih napona je konstantan, pa se može ostvariti bolje iskorišćenje- napona nego kod punih nosača, kod kojih se, u oblasti elastičnog ponašanja, normalni naponi linearno menjaju po visini poprečnog preseka. Otuda proističe manji utrošak materijala kod rešetkastih u odnosu na ekvivalentne pune nosače. Osim toga, rešetkasti nosači propuštaju više svetlosti i omogućavaju nesmetano provođenje instalacija. Međutim, izrada rešetkastih nosača zahteva veći broj radnih operacija, pa je jedinična cena rešetkastih nosača viša od cene punih nosača. Prijem momenta savijanja kod rešetkastih nosača ostvaruje se pomoću pojasnih štapova, a štapovi ispune prihvataju samo smičuće sile. Uglavnom se primenjuju za prijem teških opterećenja i premošćavanje većih raspona, jer su u tim slučajevima puni nosači teški i neracionalni. U metalnim konstrukcijama rešetkasti nosači se veoma često koriste i to kako u zgradarstvu tako i u mostogradnji. Brojni su primeri primene rešetkastih nosača. U zgradarstvu se koriste kao: rožnjače, krovni nosači, podvlake, podni nosači, kranski nosači u industrijskim halama, spregovi itd. Krovni nosači u rešetkastoj izradi primenjuju se u gotovo svim tipovima objekata, od industrijskih hala, preko objekata visokogradnje do sportskih i kongresnih dvorana i izložbenih paviljona. Izborom oblika rešetkaste strukture i poprečnih preseka štapova mogu se dobiti rešetkasti nosači veoma atraktivnog izgleda, tako da čelična konstrukcija postaje sastavni deo enterijera, a da ni na koji način ne narušava arhitektonsku celinu. Rešetkasti podni nosači se primenjuju kada potreban slobodan prostor bez stubova diktira nosače većih raspona. Posebno su pogodni jer omogućavaju provođenje instalacionih cevi između štapova ispune, pa se na taj način izbegava povećanje visine međuspratne konstrukcije. U mostogradnji se rešetkasti nosači koriste kao glavni nosači kod drumskih, železničkih i transportnih mostova u industrijskim objektima. Osim toga, kao i u zgradarstvu i u mostogradnji je veoma česta primena spregova za stabilizaciju, kojima se obezbeđuje prijem horizontalnih sila (vetar, seizmika,...) i prostorna stabilnost konstrukcije. Na slici 1.1 prikazano je nekoliko karakterističnih rešetkastih nosača koji se primenjuju u zgradarstvu i mostogradnji. Jedna industrijska hala sa rešetkastim krovnim nosačima i stubovima prikazana je na slici (1.1a). Krovni nosač karakterističan za objekte visokogradnje dat je na slici (1.1b). Primer međuspratne konstrukcije koju sačinjavaju rešetkasti podni nosači i podvlake prikazan je na slici (1.1c). Na slici (1.1d) prikazana je konstrukcija železničkog mosta sa rešetkastim glavnim nosačima. Osim glavnih nosača, rešetkaste konstrukcije su i spregovi za prijem vetra i spreg za bočne udare. Na slici (1.1e) prikazan je hangar sa rešetkastim krovnim nosačima koji se oslanjaju na podvlaku sistema rešetkastog nosača. Primer vertikalnog sprega za ukrućenje jedne visoke zgrade prikazan je na slici (1.1f) Na osnovu prikazanih primera može da se uoči raznolikost dimenzija, oblika i prostornog položaja rešetkastih nosača. Imajući u vidu ove, ali i druge razlike koje se, pre svega, odnose na konstrukcijsko oblikovanje, izvršena je podela rešetkastih nosača kako bi se omogućila izvesna sistematizacija. Podela rešetkastih nosača može da se izvrši na osnovu više kriterijuma: -prema broju pojaseva, -prema prostornom položaju, -prema intenzitetu naprezanja, -prema načinu oblikovanja čvorova. Prema broju pojaseva rešetkasti nosači se mogu podeliti na: dvopojasne i višepojasne.

4

Dvopojasni rešetkasti nosači (slika 1.2a) se sastoje, kao što sam naziv kaže, od dva pojasa (gornjeg i donjeg) koji su međusobno povezani štapovima ispune. Višepojasni rešetkasti nosači imaju više od dva pojasa. Najčešće se primenjuju rešetkasti nosači sa tri (tropojasni rešetkasti nosači) ili četiri pojasa (četvoropojasni rešetkasti nosači), mada ima primera i sa više od četiri pojasa (npr. šest). Tropojasni rešetkasti nosači imaju trougaoni poprečni presek, što zapravo znači da je gornji ili donji pojas udvojen (slika 1.2b). Štapovi ispune se nalaze u dve kose ravni, a u ravni udvojenih pojasnih štapova obavezno se nalazi podužni spreg koji obezbeđuje prostornu stabilnost. Četvoropojasni rešetkasti nosači su uglavnom kvadratnog, rombičnog ili trapezastog poprečnog preseka (slika 1.2c). U zavisnosti od oblika poprečnog preseka štapovi ispune leže u dve ravni (kod kvadratnih i trapezastih preseka), odnosno četiri ravni (kod rombičnih preseka). S obzirom na prostorni položaj rešetkasti nosači se mogu podeliti na: ravanske i prostorne. Ravanski rešetkasti nosači (slika 1.3a) su nosači kod kojih sistemne linije svih štapova leže u jednoj ravni. Prema tome, ravanski rešetkasti nosači imaju dva pojasa, pa se takođe mogu svrstati u dvopojasne nosače.

Slika 1.1 Primeri primene rešetkastih nosača

a) Industrijska hala sa rešetkastim nosačima i stubovima, b) Krovni nosač u visokogradnji, c)

Rešetkasti podni nosači, d) Konstrukcija železničkog mosta sa rešetkastim nosačima, e) Hangar

sa rešetkastim krovnim nosačima, f) Vertikalni spreg za ukrućenje visoke zgrade

5

Prostorni rešetkasti nosači su nosači kod kojih sistemne linije štapova ne leže u jednoj ravni već formiraju prostornu strukturu. Sa statičkog stanovišta prostorni rešetkasti nosači se mogu podeliti na linijske i površinske nosače. Linijski prostorni rešetkasti nosači (slika 1.3b) imaju jasno izražen pravac pružanja, odnosno jednu dimenziju (dužinu) koja je dominantna u odnosu na druge dve (širinu i visinu poprečnog preseka).

Slika 1.2 Podela rešetkastih nosača prema broju pojaseva

a) Dvopojasni rešetkasti nosač, b)Tropojasni rešetkasti nosač, c) Četvoropojasni nosač Površinski prostorni rešetkasti nosači (slika 1.3c) predstavljaju diskretizaciju ploča, odnosno ljuski i u globalnom smislu ponašaju se slično površinskim nosačima. Kao i kod punih površinskih nosača i kod rešetkastih površinskih nosača dve dimenzije su dominantne u odnosu na treću - visinu rešetkastog nosača. Momenti savijanja, koji se kod ploča javljaju u dva pravca, prihvataju se mrežom aksijalno napregnutih pojasnih štapova, dok se smičuće sile i kod ovakvih nosača prihvataju štapovima ispune. Osnovne "ćelije" mreže prostornih rešetkastih nosača uglavnom su tetraedar i oktaedar, čijim se višestrukim ponavljanjem obrazuje prostorna struktura. Prema intenzitetu opterećenja rešetkasti nosači se dele na: lake, srednje teške i teške.

Slika 1.3 Podela rešetkastih nosača prema prostornom položaju

Laki rešetkasti nosači (slika 1.4a) se koriste uglavnom u zgradarstvu, kada su opterećenja mirna i umerenog intenziteta. Izrađuju se najčešće od valjanih L, T, U i eventualno I profila ili hladno oblikovanih profila otvorenog i zatvorenog poprečnog preseka. Srednje teški rešetkasti nosači (slika 1.4b) se primenjuju za veće raspone i opterećenja značajnog intenziteta, i to uglavnom kao krovni i podni nosači, ili kao kranski nosači u industrijskim objektima. Kao štapovi ovakvih rešetkastih nosača koriste se pretežno teški valjani profili (U, I, IPE, HEA, HEB...) jednodelnog ili višedelnog poprečnog preseka. [3]

6

Slika 1.4 - Podela rešetkastih nosača prema intenzitetu naprezanja

2. Metode proračuna lakih (rešetkastih) konstrukcija

Metodama analize, u fazi projektovanja mašina i opreme traže odgovori o njihovim

svojstvima otpornosti, pouzdanosti, nosivosti, kinematskom ponašanju, dinamičkom

ponašanju, to jest skup svih zahvata traženja odgovora o svojstvima fizičke forme. Na bazi

kriterijuma koje struktura mora da zadovolji u pogledu mehaničkih i funkcionalnih

karakteristika, analizom se ocenjuje posmatrana struktura i traže njeni nedostaci. Očigledno,

metode analize usavršavaju strukturu po sistemu "korak po korak" i one kao takve i danas

zadovoljavaju konstruktorske zahteve. Primena matričnih metoda za analizu struktura, rešila

je zahteve sistematskog predstavljanja kontinuuma, uvodjenja polja spoljašnjih

koncentrisanih sila, polja površinskih opterećenja kakva se javljaju kod brodskih struktura,

aviostruktura, struktura vozila, toplotne turbine i nuklearne reaktore. Pogodnost matričnih

metoda analize pokazala se dobro pri rešavanju zadataka iz oblasti plastičnosti, puzanja i

ojačanja elemenata, kao i kod uvodjenja istorije prethodnog opterećenja strukture. Važan

elemenat primene metoda analize, je brzina izvodjenja procedura, čime se u ranom periodu

razvoja strukture, identifikuju posmatrane (prognozirane) osobine. Shodno tome, vrši se

korekcija do postizanja zadovoljavajućih osobina. Dovoljnim brzinom analiza, moguće je

istovremeno razvijati više konstruktivnih varijanti i odabrati najpovoljnije rešenje. Ideja

analize dakle govori da se nizom iteracija dolazi do rešenja. Taj opšti koncept definisan je na

slici 2.1. Prema ovom konceptu, na bazi postavljenih ciljeva, formiraju se kriterijumi za ocenu

svojstava strukture. Pri tome je iskustvo osnovna sprega izvedenih strukture i očekivanih

osobina traženog rešenja. Sama analiza (prikazana zatamnjenim poljima), izvodi se izabranom

teorijskom metodom. Na osnovu dobijenih rešenja ocenjuje se polazno pretpostavljeno

rešenje. Ocena dobijenih osobina vodi modifikaciji strukture delimično ili u celosti. Posle

korekcije, obnavlja se procedura analize modela i analize osobina, dok postavljeni ciljevi ne

budu dostignuti.

7

Slika 2.1 Koncept korišćenja metoda analize u projektovanju

METODE STRUKTURNE ANALIZE, dele se na analitičke i numeričke. Primena analitičkih

metoda je ograničena na jednostavne slučajeve za koje je moguće naći rešenje u zatvorenom

obliku. Rešenja se kod analitičkih metoda traže preko redova ili specijalnih funkcija. Realne

strukture se u praksi tretiraju numeričkim metodama i one se mogu odnositi na kontinualne i

diskretne sisteme. Slika 2.2 pokazuje klasifikaciju danas aktuelnih numeričkih metoda

strukturne analize.

Slika 2.2 Pregled numeričkih metoda za analizu struktura

METODA KONAČNIH RAZLIKA je numerička metoda pogodna za rešavanje raznovrsnih zadataka. Bazira se na matematičkoj diskretizaciji diferencijalnih jednačina prevodjenjem na jednačine sa konačnim razlikama. Uspešno se može primeniti na tankozidim nosačima, na problemima plastično deformabilnih konstrukcija. Efikasnost metode se smanjuje sa složenošću unutrašnjih veza posmatranog mehaničkog sistema.

METODA NUMERIČKOG INTEGRISANJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA se koristi široko u mnogim zadacima. Metoda se svodi na rešavanje zadatka Košija (Cauchy) s obzirom na postojanje dobrih matematičkih procedura za integraciju sistema diferencijalnih jednačina. Za rešavanje se dosta dobro mogu upotrebiti Ojlerova(Euler) ,Runge-Kutta i druge metode.

METODA KONAČNIH ELEMENATA - (Finite Element Method - FEM), koristi različite tipove varijacionih metoda, primenjenih na diskretnom modelu za strukturnu analizu kontinuuma. Kontinuum se diskretizuje konačnim brojem elemenata i stepeni slobode kretanja. Uspeh primene metode je u kvalitetu izabranih aproksimacija konačnih elemenata postavljenog modela. Pogodnost metode je u vrednostima varijacione metode. Zadatak se opisuje sistemom diferencijalnih jednačina koje se formiraju iz uslova minimuma funkcionala konstrukcije. Rešavanje sistema diferencijalnih

8

jednačina se radi matričnim metodama, i neophodan je računar. Tačnost izračunavanja je definisana kvalitetom izabranih funkcija oblika (interpolacionih funkcija), mrežom i tipom konačnih elemenata. Zavisno od izabranih nezavisno-promenljivih veličina i načina formiranja jednačina, postoje četiri osnovne metode: metoda pomeranja (metoda deformacija), metoda sila, mešovita i hibridna metoda. Formiranje jednačina se izvodi primenom osnovnih zakona mehanike. Na primer, kod metode pomeranja koristi se princip o minimumu funkcionala (pune energije sistema). Kod metode sile, koristi se princip o minimumu komplementarne energije sistema. Mešovita metoda koristi princip Vašic-a i Reissner-Hellinger-a.

METODA GRANIČNIH ELEMENATA je specifična metoda prelaza iz sistema parcijalnih diferencijalnih jednačina i zadatih graničnih uslova ka njihovoj integralnoj analogiji na granici oblasti koja se posmatra. Postupak se sastoji u diskretizovanju granične oblasti strukture graničnim elementima, primenom različitih vrsta aproksimacija geometrije granica i graničnih funkcija. Iz integralnih odnosa, diskretnom analogijom, formira se sistem algebarskih jednačina. Rešavanjem sistema dolazi se do traženih veličina na granicama oblasti.

SLOŽENE METODE PRORAČUNA STRUKTURA. Inženjerski zahtevi proračuna složenih struktura, uslovili su razvoj metode konačnih elemenata. Naime, pokazalo se da je moguće grupisanje elemenata u velike makro-elemente da bi se analizirale osobine na njihovim granicama. Ova metoda poznata je kao METODA SUPER-ELEMENATA (MSE). Metoda se koristi naročito u aviogradnji, brodogradnji gde super-elementi predstavljaju sekcije struktura koje se ponavljaju. Prednost metode je što isključuje unutrašnje nezavisno - promenljive, pa preostaju samo nepoznate na granicama super-elemenata. Na ovaj način je značajno smanjen računski obim problema te je realizacija brža i uspešnija. Pri tome se formiraju algebarski sistemi koji se rešavaju metodama Gauss-a, Holeckog, Crout-a, frontalnom metodom i drugim iteracionim metodama. U grupu metoda za statičku NELINEARNU analizu struktura spadaju metoda prostih iteracija, Newton-Raphson metoda, metoda tangentne krutosti i druge. Modeliranje često uslovljava aproksimacije problema. Aproksimacija posmatranih parametara kod nelinearnog problema, može biti izvršena razvijanjem u Taylor-ov red. Ukoliko se izvrši linearizacija, problem se može rešavati metodama linearnog programiranja. To je koncept sekvencijalnog linearnog programiranja (SLP). U okviru metoda za analizu struktura pri nestacionarnim DINAMIČKIM DEJSTVIMA, primenjuju se metoda centralnih razlika prvog i trećeg reda (metoda Houbolt-a), metoda Newmarka, Wilson-ova teta metoda i druge. Savremene metode efikasno se primenjuju kroz profesionalne PROGRAMSKE PAKETE. Softver je modularnog tipa i svaka kategorija zadatka je nezavisna programska celina. Tako se zadaci analize rešavaju programskim modulom – solverom, zadaci geometrijskog modeliranja – modulom preprocesora, zadaci prikaza rezultata – postprocesorom, zadaci generisanja konačnih elemenata – modelerom mreže, zadaci optimizacije – modulom optimizacije, zadaci dinamike – odgovarajućim modulom dinamičke analize i tako dalje. [2]

2.1 OSNOVI METODE KONAČNIH ELEMENATA

Metoda konačnih elemenata (MKE) spada u savremene metode numeričke analize.

Njena primena prvo je počela u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija. Osnovna ideja o

takozvanoj, fizičkoj diskretizaciji kontinuma, na kojoj se zasniva MKE je vrlo stara. Kao primer

za ilustraciju može se navesti problem određivanja opsega ili površine kruga, na osnovu

njegove podele na manje delove pravilnog oblika. Grčki matematičar i fizičar Arhimed,

računao je broj π, odnosno granice između kojih se nalazi numerička vrednost ovog broja na

9

taj način što je konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim poligonom sa

konačnim brojem stranica. Sa povećanjem broja stranica poligona, odnosno sa smanjivanjem

njihove dužine, smanjivala se i razlika između granica u kojima se nalazi broj π, a povećavala

tačnost njegove numeričke vrednosti. Otprilike u isto vreme, na sličan način, u starom Egiptu

je računata zapremina piramide i površina sfere, a u Kini je dat dokaz poznate Pitagorine

teoreme. Sa ovim prvim jednostavnim primerima, otvorena su neka fundamentalna pitanja,

kao što su: tačnost rešenja, gornja i donja granica aproksimacije, monotonost i brzina

konvergencije i dr., koja su i danas u MKE veoma aktuelna i značajna sa teoretskog i

praktičnog stanovišta.

Razvoj metode konačnih elemenata počeo je polovinom prošlog veka. U početnoj fazi on se

odvijao kroz dva međusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski, a odmah zatim

matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim proračunima zamenjivane su

diskretnim sistemima koji su se sastojali od štapova i koji su računati po poznatim postupcima

statike linijskih nosača. Od strane matematičara, tražena su približna rešenja određenih

graničnih zadataka pomoću diskretnih modela uz primenu varijacionih postupaka. Ova dva

prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od ogromnog značaja za

dalji brži razvoj i široku primenu MKE.

Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od ostalih

numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnih

problema, MKE se zasniva na fizičkoj diskretizaciji razmatranog područja. Umesto elementa

diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva proučavanja predstavlja deo područja konačnih

dimenzija, manje područje ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednačine pomoću kojih

se opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formuliše i problem u celini,

umesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske.

Sa stanovišta fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područje, kao kontinuum sa

beskonačno mnogo stepeni slobode, zamenjuje diskretnim modelom međusobno povezanih

konačnih elemenata, sa konačnim brojem stepeni slobode. S obzirom na to da je broj

diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se

izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem.

Analiza i rešavanje problema mehanike kontinuma po MKE uvek se svode na tzv.

proces korak po korak, što je od ogromnog praktičnog značaja za primenu računara u

efektivnom proračunu. U tom procesu koji se može prikazati kao jednostavan algoritam,

izdvaja se sledećih šest najvažnijih koraka:

1. diskretizacija kontinuma

2. izbor interpolacionih funkcija

3. računanje karakteristika elemenata

4. formiranje jednačina za mrežu konačnih elemenata

5. rešavanje sistema jednačina

10

6. proračun potrebnih uticaja.

Od navedenih šest koraka, prva tri su naročito važna. Način diskretizacije, izbor oblika

elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode problema koji se rešava i

potrebne tačnosti traženog rešenja. Pored broja i oblika elemenata važan je i izbor čvorova,

osnovnih nepoznatih u njima i interpolacionih funkcija. Pomoću interpolacionih funkcija se

definiše polje promenjivih u svakom elementu. Od njihovog izbora neposredno zavisi i

kontinuitet na granicama između pojedinih elemenata, a samim tim i tačnost aproksimacije.

Promenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili tenzorske veličine.

Karakteristike pojedinih elemenata određuju se nezavisno od mreže elemenata kao

celine. Matrica krutosti se formira autonomno za pojedine elemente, a potom na osnovu njih,

sasvim jednostavno, formira se matrica za sistem u celini. S obzirom na to da je geometrija

elemenata po pravilu jednostavna, to praktično znači da se kompleksan problem razbija na niz

jednostavnih.

Posljednja tri koraka, iako su za praktične proračune od velikog značaja, danas spadaju u

okvire rutinskog posla, koji je prilagođen automatskom radu računara. [1]

2.2 OPŠTA TEORIJA MKE

Osnovni princip na kome se zasniva MKE, sastoji se u podeli razmatranog područja na

konačan broj manjih područja, odnosno elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata,

uz pretpostavku o njihovoj međusobnoj povezanosti, analizira celina. Ovaj pristup u analizi,

gde se od posebnog ide ka opštem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se analizom

delova zaključuje o celini, je poznati induktivni pristup, koji se primenjuje u mnogim

područjima nauke. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opšta rešenja ne mogu

dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog značaja.

U okviru MKE, razmatrano područje zamenjuje se velikim brojem malih delova

konačnih dimenzija, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka. Na ovaj način,

područje sa beskonačno mnogo stepeni slobode, zamenjuje se diskretnim sistemom sa

konačnim brojem stepeni slobode i analizira metodama diskretne analize. U matematičkoj

formulaciji, ovo znači da se razmatrani problem prevodi iz područja analize u područje

algebre. MKE se može shvatiti kao metoda numeričke analize o okviru koje se definiše način

prevođenja kontinuiranih fizičkih sistema u diskretne, odnosno način formiranja sistema

algebarskih jednačina pomoću kojih se aproksimira određeni konturni zadatak.

Na slici 2.3 prikazano je područje D elastičnog kontinuma, koji je ograničen konturom

S, tako da su na delu konture S zadati konturni uslovi po silama, a na delu uS

konturni uslovi

po pomeranjima. U području D deluju zapreminske sile F ( xF ,zy FF , ), a na konturi S

površinske sile p (zyx ppp ,, ).

Za pomeranja u području D se pretpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata,

odnosno:

11

),,( zyxuu , ),,( zyxu , ),,( zyxu ( 2.1)

Slika 2.3 Područje D elastičnog kontinuuma

Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formuliše po pomeranjima, odnosno po

metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomeranja, koje zadovoljavaju uslove

ravnoteže i uslove na konturi, odnosno diferencijalne jednačine i konturne uslove. Granični

zadatak koji je formulisan na ovaj način, u kinematičkom smislu, predstavlja sistem s

beskonačnim brojem stepeni slobode. Zadatak je da se odredi rešenje ovog graničnog

problema pomoću odgovarajućeg diskretnog sistema sa konačnim brojem stepeni slobode,

odnosno kao rešenje odgovarajućeg sistema algebarskih jednačina

Razmatrano područje D deli se na konačan broj malih delova – konačnih elemenata, koji su

međusobno povezani u određenom broju tačaka, koje se nazivaju čvorovi (Slika 2.4)

Slika 2.4 Područje D podeljeno na konačan broj elemenata

Ako se pretpostavi da se pomeranja u bilo kojoj tački konačnog elementa mogu, na

određeni način, prikazati u zavisnosti od pomeranja u čvorovima, onda se problem

određivanja polja pomeranja u području D svodi na određivanje pomeranja u čvorovima, a

broj pomeranja u čvorovima je konačan. Pomeranja u čvorovima u području D i na konturi S

određuju se iz sistema jednačina, koji predstavljaju uslove ravnoteže u čvorovima, uslove

kontinuiteta u čvorovima i konturnih uslova na konturi S .

12

Na slici 2.5 prikazan je konačni element, koji je izdvojen iz sistema elemenata sa slike

2.4. Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao dvodimenzionalni, ograničen pravolinijskim

konturama.

Slika 2.5 Konačni element izdvojen iz sastava elemenata

Na elementu je usvojen određeni broj tačaka na konturi, koje se nazivaju čvorne tačke

ili čvorovi. Čvorovi su obeleženi brojevima 1,2, … K, gde je K ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi

se nazivaju spoljašnji čvorovi, da bi se razlikovali od čvorova koji mogu biti usvojeni u

elementu i koji se nazivaju unutrašnji čvorovi. Ukupan broj unutrašnjih čvorova obeležen je sa

R.

U čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veličine, usvajaju se parametri

pomeranja. Pod pomeranjima, ovde se podrazumevaju pomeranja u generalnom smislu, tj.

komponente pomeranja, njihove kombinacije i sl. Broj parametara pomeranja u čvorovima

zavisi od prirode razmatranog problema. Na primer. kod trodimenzionalnih problema u

svakom čvoru, za parametre pomeranja se usvajaju po tri komponente pomeranja (u, v, w)

kod dvodimenzionalnih po dve (u, v), kod savijanja ploča najmanje po tri (w, θx=w,y, θy=w,x) i

tako dalje. Parametri pomeranja u čvorovima često se nazivaju stepeni slobode, po analogiji sa

značenjem koje ove veličine imaju u statici linijskih sistema. Ako je u svakom čvoru usvojeno

po S parametara pomeranja, element ima SxK spoljašnjih stepeni slobode i SxR unutrašnjih

stepeni slobode.

Suština aproksimacije kontinuma po MKE, sastoji se u sledećem:

1. Razmatrano područje kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, deli se na

određeni broj manjih područja konačnih dimenzija. Pojedina manja područja se

nazivaju konačni elementi, a njihov skup za celo područje sistem ili mreža konačnih

elemenata.

2. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom broju

tačaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te tačke se nazivaju čvorne tačke ili

čvorovi.

3. Stanje u svakom konačnom elementu (na primer. polje pomeranja, deformacija, napon,

prostiranje temperature i slično) opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i

13

konačnog broja parametara u čvorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veličine

u MKE.

4. Za analizu i proračun sistema konačnih elemenata važe svi principi i postupci koji važe

za klasične diskretne sisteme.

Osnovna ideja analize metodom konačnih elemenata je modeliranje problema

podrazumevajući da je prostorni domen problema podeljen – diskretizovan na poddomene na

koje se primenjuju opšta znanja i iskustva iz mehanike kontinuma i numeričke matematike.

Poddomeni o kojima je reč terminološki se označavaju kao konačni elementi. Analiza sistema

spregnutih konačnih elemenata, dobijenih diskretizacijom kontinuma, omogućava numeričku

simulaciju odziva kontinuma na zadate pobude. Fizičke veličine koje su obuhvaćene modelom

dobijaju se u diskretnom obliku, to jest. u tačkama koje proizilaze iz diskretizacije. Ove tačke

se zovu čvorne tačke, ili jednostavno čvorovi. Najčešće korišćeni konačni elementi su 2D i 3D

konačni elementi kontinuma. Modeliranjem realnog objekta uz pomoć ovih elemenata, zatim

definisanjem ograničenja i opterećenja, kao i svih potrebnih mehaničkih osobina materijala od

koga su sačinjeni, i konačno rešavanjem problema numeričkim metodama, dovodi do željenih

rezultata. Da bi se došlo do konkretnih vrednosti za čvorove, odnosno da bi se oni na pravilan

način definisali u prostoru, kao i da bi se odredila sva ograničenja i opterećenja, potrebno je

posedovati softverski paket koji se bazira na vizuelnom pristupu.

Tokom čitavog procesa modeliranja potrebno je omogućiti korisniku da interaktivno kreira

objekat, i da u svakom trenutku može da vidi prikaz elemenata. Kada se na ovaj način problem

definiše, generiše se datoteka konačnih elemenata koja sadrži sve potrebne podatke za

njegovo rešavanje (slika 2.6). Kada se dobiju rezultati, odnosno fizičke veličine u diskretnom

obliku, koje predstavljaju odziv kontinuma na zadate pobude (opterećenja), one se ponovo

smeštaju u datoteke za postprocesiranje koje u sebi sadrže sve rezultate. Ovakve datoteke je

potrebno vizuelizovati, tako da se prikaže i geometrija problema, ali i vrednosti datih fizičkih

veličina u svim tačkama tela. Proces vizuelizacije je u opštem slučaju vrlo kompleksan proces

čija složenost zavisi od zahteva krajnjeg korisnika. Moguće je napisati aplikaciju koja

prikazuje samo osnovne elemente, dok se rezultati analiziraju nekim jednostavnim alatom

(čak i običnim editorom teksta). Sa druge strane, može se zahtevati da se prikazuju i

opterećenja, ograničenja, deformisana stanja, vektori pomeranja, brzina, gradijenti polja, kao i

da je sve to moguće animirati. U aplikaciji se mogu naći i mnoge specijalizovane funkcije koje

se koriste samo kod malog broja problema. Takođe je moguće da programski paket poseduje

određene osobine otvorenog sistema, tako da se može koristiti i u nekim usko

specijalizovanim problemima bez potrebe za prepravkama na samom programu. Međutim,

bez obzira na složenost zahteva, sve ove aplikacije imaju neke zajedničke elemente.

14

Slika 2.6 Ulazna datoteka

2.3 Tipovi elemenata

Kolekcija elemenata koji se najčešće koriste za modeliranje objekata. Sastoji se od

različitih 2D i 3D elemenata, i otvorena je za dalju nadogradnju novim elementima.

Trodimenzionalni elementi

Ovi konačni elementi se koriste za modeliranje trodimenzionalnih tela opšteg oblika

(3D kontinuma). Element može imati različit broj čvorova – uobičajen je broj od 8 do 21.

Ovakav elemenat se naziva osnovnim i ograničen je sa šest površi. Od ovakvog elementa se

mogu formirati i drugi prostorni oblici, kao što su prizma, tetraedar ili četvorostrana

piramida. Ovakvi elementi nastali poklapanjem nekih čvorova osnovnog elementa nazivaju se

degenerisani 3D elementi. U aktuelnim softverskim paketima kao što su (FEMAP, NASTRAN,

NENASTRAN, PAK, i ostali) podržani su sledeći elementi:

1. Tetraedar

2. Tetraedar sa međučvorovima

3. Prizma

4. Prizma sa međučvorovima

5. Osnovni 3D element

6. Osnovni 3D element sa međučvorovima.

Na slici 2.6 dat je prikaz ovih elemenata i način na koji se definišu uz pomoć čvorova

(elementi sa međučvorovima, u opštem slučaju imaju krivolinijske ivice).

15

Slika 2.7 Tipovi konačnih elemenata

(a) Tetraedar; (b) Prizma; (c) Osnovni 3D element; (d)Tetraedar sa međučvorovima; (e) Prizma

sa međučvorovima; (f) Osnovni 3D element .

Dvodimenzionalni elementi

U slučaju 2D elemenata, kao i kod 3D elemenata, postoji više vrsta, tako da oni čine

familiju 2D konačnih elemenata za modeliranje kontinuma. Prethodno navedenim softverima

su podržani sledeći 2D elementi:

1. Trougao

2. Trougao sa međučvorovima

3. Četvorougao

4. Četvorougao sa međučvorovima.

Na slici 2.8 dat je prikaz ovih elemenata i način na koji se definišu uz pomoć čvorova.

Slika 2.8 Dvodimenzionalni tipovi konačnih elemenata

(a)Trougao; (b)Trougao sa međučvorovima; (c)Četvorougao; (d)Četvorougao sa

međučvorovima.

16

2.4 Tipovi opterećenja

U rešavanju realnih problema, može postojati više vrsta opterećenja. Opterećenja

predstavljaju pobudu fizičkog sistema i u inženjerskim problemima su to uglavnom sile,

momenti, pritisak i slično. Opterećenja koja se najčešće mogu sresti u MKE mogu se podeliti u

tri grupe:

1. Globalna opterećenja: a) Ubrzanje, b) Brzina, c) Temperatura.

2. Opterećenja u čvorovima: a) Sila/Moment, b) Pomeranje, c) Brzina, d) Temperatura, e)

Izvor toplote (Toplotna energija/Jedinična zapremina), f) Toplotni fluks (Toplotna

energija/Jedinična površina).

3. Opterećenja po elementima: a) Kontinualno, b) Pritisak, c) Temperatura, g) Izvor

toplote (Toplotna energija/Jedinična zapremina), d) Toplotni fluks (Toplotna

energija/Jedinična površina), e) Konvekcija, f) Radijacija, Sve tri vrste opterećenja se koriste

za statičke/stacionarne, nelinearne i dinamičke/nestacionarne analize.

Globalna opterećenja se primenjuju na čitavo telo i iz tog razloga se za jedan set opterećenja

definišu samo jednom. Ovakva opterećenja se najčešće koriste da simuliraju uticaj gravitacije,

ili da definišu temperaturu okoline i tela za termičke proračune. Opterećenja u čvorovima i

opterećenja po elementima su uglavnom sile, momenti, pritisak itd. Najčešće se sve sile

definišu u jednom setu, momenti u drugom i slično.

2.5 Opterećenja po elementima

U slučaju pritiska, potrebno je znati na koje strane elementa pritisak deluje. Iz tog

razloga uvodi se numerisanje strana kao na slici 2.9.

Slika 2.9 Numerisanje strana kod trodimenzionalnih elemenata

(a) Tetraedar, (b) Prizma, (c)Osnovni 3D element.

17

2.6 Ograničenja

Onemogućavanje pomeranja po nekom od šest stepeni slobobe: translacija duž X, Y i Z, kao i

rotacija oko X, Y i Z osa, naziva se ograničenje. Ograničenja se dele na globalna (ona koja važe

za svaki čvor mreže konačnih elemenata) i na lokalna ograničenja u određenim čvorovima. Na

ovaj način se modeliraju slučajevi uklještenja, oslanjanja, razne veze između tela i slično.

Ograničenja se mogu definisati u globalnom koordinatnom sistemu, gde važe u pravcima osa

globalnog koordinatnog sistema, ali i u lokalnim koordinatnim sistemima. Na ovaj način se

olakšava modeliranje realnih uslova, kao i rešavanje simetričnih problema posmatranjem

samo nekih njihovih delova. Kada ne bi bilo moguće definisati ograničenja u lokalnim

koordinatnim sistemima, definisanje svih ograničenja u globalnom koordinatnom sistemu

predstavljalo bi veliki problem. Često postoji mogućnost definisanja graničnih uslova uz

pomoć jednačina, tako da se pomeranje u nekom pravcu ne izjednačava sa nulom, već sa

nekom vrednošću dobijenom iz jednačine. Uz pomoć ovakvih ograničenja još se više

približavamo realnim uslovima.

2.7 Postprocesiranje

Postprocesiranje predstavlja proces vizuelizacije dobijenih rezultata. Prvi korak u

postprocesiranju predstavlja dobavljanje rezultata. Rezultati su smešteni u datotekama koje

predstavljaju izlaz iz solvera-a, odnosno programa koji na osnovu definicije problema

izračunava vrednosti fizičkih veličina u čvorovima i elementima mreže konačnih elemenata.

Najčešće se prikazivanje rezultata vrši na jedan od sledeća tri načina:

1. Deformacijom tela.

2. Konturnim prikazom.

3. XY graficima.

Prva dva načina se mogu kombinovati u jednom prikazu, tako da se telo može

posmatrati kao deformisano, sa konturnim prikazom, recimo, napona. Pored ova tri načina,

koji predstavljaju grafičko postprocesiranje, često je moguće i formiranje izveštaja koji

predstavljaju formatiran tekstualni izlaz spreman za štampanje.

18

3. Matrica Krutosti

Ovo poglavlje obuhvata osnove metoda pomeranja, to jest, osnovni koncept MKE. Bez obzira

što još ima vidova MKE ovaj je najjasniji i na ovom konceptu može se naučiti procedura

metode konačnih elemenata. Osim toga dat je niz primera koji će pomoći da se shvati kako se

primenjuje MKE.

Svi primeri uradjeni su za linearnu elastičnu oprugu ili sistem opruga Prvo je izvedena

matrica krutosti elemenata. a onda udruživanjem matrica izvedena je ukupna matrica krutosti

struktura. Metoda pomeranja može se i često se naziva direktna metoda jer se direktno dobija

matrica krutosti.

Posle postavljanja ukupne matrice strukture postavljaju se granični uslovi. Oni mogu biti

homogeni i nehomogeni, to je objašnjeno u ovom poglavlju i pokazano na primeru. Jednačina

strukture povezuje vektor sila i vektor pomeranja pomoću matrice krutosti strukture.

Rešenja za nepoznata pomeranja iii sile dobijaju se iz jednačine strukture kada se napiše u

obliku sistema jednačina.

Drugi način dobijanja matrice krutosti je primena principa minimuma potencijalne energije.

Postupak se svodi na traženje funkcionala a posle toga mimimizacije po mogućim

pomeranjima. Kao i u slučaju direktnog pristupa sve je primenjeno na oprugu a zatim na

sistem opruga sa malim brojem stepeni slobode. Isti koncept je primenljiv i na sistem sa

velikim brojem stepeni slobode.

3.1 Pojam matrice krutosti

Metoda pomeranja predstavlja osnovu za razumevanje metoda konačnih elemenata. Osnovno

u metodi pomeranja je da se shvati šta je to matrica krutosti i kako se ona formira. Svaki

konačni element ima svoju matricu krutosti koja se označava sa [k]. Pri tome vazi jednačina da

je:

}]{[}{ dKF (3.1)

U jednačini 3.1 [k] zavisi od koordinata lokalnog koordinatnog sistema (x, y, z), čvornih

pomeranja {d) i vektora sila {f} u lokalnom koordinatnom sistemu.

Struktura na koju se primenjuje metoda konačnih elemenata sastoji se od niza medjusobno

povezanih konačnih elemenata. Ukupna matrica krutosti strukture označava se sa [K] i nije

jednaka prostom zbiru matrica krutosti pojedinih elemenata. Matrica krutosti strukture

definiše se u globalnom koordinatnom sistemu. Pomeranja čvorova i sile su takodje definisani

u globalnom koordinatnom sistemu.

Postupak dobijanja matrice krutosti za element opruge

Za pojašnjenje kako se dobija matrica krutosti nekog elementa najbolje je koristiti

jednodimenzionalnu linearnu oprugu koja se ponaša po Hooke-ovom zakonu, a sile deluju

samo u pravcu opruge. Takva opruga data je na slici 3.1

19

Slika3.1 Opruga u lokalnom koordinatnom sistemu

Tačke 1 i 2 na krajevima opruge ograničavaju element i zovu se Čvorovi. Sile xf1 i xf2 su sile

koje deluju u čvorovima 1 i 2 na oprugu u pravcu ose x lokalnog koordinatnog sistema i u

pozitivnom smeru te ose. Pošto sile deluju duž ose x i pomeranja opruge će se dešavati duž

iste ose i to su pomeranja d1x i d2x. Pomeranja čvorova zovu se stepeni slobode. Čvorovi 1 i 2

imaju po jedan stepen slobode.

Oznakom k obeležava se konstanta odnosno krutost opruge. Po analogiji sa oprugom moze se

napisati da je krutost grede L

AEk gde je A-poprečni presek, E-module elastičnosti, L-dužina

prizmatične grede.

Za štap kružnog poprečnog preseka krutost je data izrazom L

JGk , pri čemu je štap

opterećen na uvijanje, gde su: J-polarni moment inercije, G-modul klizanja,.

Postavljanje izraza za matricu predstavlja uspostavljanje veze izmedju sila koje deluju u

čvorovima i pomeranja tih čvorova.

Za element opruge, dat na slici iznad, veza matrice sila u čvorovima i pomeranja dati su

izrazom

x

x

x

x

d

d

kk

kk

f

f

2

1

2221

1211

2

1 (3.2)

gde su ijk elementi matrice krutosti koje treba odrediti. Postavljanje matrice krutosti

ostvaruje se kroz nekoliko koraka koji će ovde biti ukratko opisani.

3.2 Izbor tipa elementa

Slika 3.2 Delovanje sila na oprugu

20

Na krajevima opruge u čvorovima deluju sile kako je prikazano na slici 3.2 duž ose x lokalnog

koordinatnog sistema. Pre deformacije nastale usled delovanja sila opruga je bila duzine L, sile

T(tension) su istežuće sile.

3.3 Izbor funkcije pomeranja

Prethodno je uočeno da se opruga ponaša po Hukovom (Hook) i da je veza nakon deformacije

linearna. Tone mora uvek biti linearna relacija.

Bez obzira kakva je funkcija “u” ona se može nazvati funkcijom pomeranja u lokalnom

koordinatnom sistemu.

Pomeranje čvornih tačaka se ostvaruje duž ose x opruge i smatra se linearnom funkcijom sa

navedenim krajnjim tačkama i može se opisati, u lokalnom koordinatnom sistemu, funkcijom

pomeranja:

xaau 21 (3.3)

U opštem slučaju broj koeficijenata “a” jednak je ukupnom broju stepeni slobode jednog

elementa. Ukupan broj stepeni slobode opruge na slici 3.1 iznosi 2 to jest, po jedno aksijalno

pomeranje u svakom čvoru. Jednačina 3.3 može se napisati u matričnom obliku:

2

11}{

a

axu (3.4)

Funkcija pomeranja (3.4) može se izraziti kao funkcija čvornih pomeranja xd1 i xd2 . To se

može postići izračunavanjem pomeranja “u” u svakom cvoru i nalaženjem 1a i 2a .

Za vrednost x=0 funkcija pomeranja u čvoru 1 je:

110 adu x (3.5)

Za vrednost x=L funkcija pomeranja u čvoru 2 je data izrazom:

L

dda

dLadLu

xx

xx

12

2

122

(3.6)

Kada se dobijene vrednosti koeficijenata uvrste u jednačinu pomeranja (3.3) dobija se

xaau 21

xL

dddu xx

x

121 (3.7)

I jednačina (3.7) predstavlja pomeranje tačaka dato u lokalnom koordinatnom sistemu.

Jednačina (3.7) moze se napisati u matričnom obliku:

21

x

x

d

d

L

x

L

xu

2

11}{ (3.8)

x

x

d

dNNu

2

1

21}{

L

xNi

L

xN 21 1 su funkcije oblika zato što iN izražavaju oblik razmatrane funkcije

pomeranja nad domenom elemenata kada i-ti stepen slobode elemenata ima jediničnu

vrednost a svi ostali stepeni slobode su nula. N1 i N2 predstavljaju linearne funkcije takvih

osobina da je N1=1 u čvoru 1 i, N1=0 u čvoru 2, a da je N2=1 u čvoru 2 i N2=0 u čvoru 1.

Takodje je N1+N2=1 za aksijalnu koordinata due grede. Ove funkcije se često zovu

interpolacione funkcije, zato sto se vrednost funkcije izmedju čvorova dobija interpolacijom

vrednosti funkcija u čvorovima.

3.4 Definicije veza izmedju deformacije i pomeranja i napona i deformacije

Sile istezanja T proizvode ukupno izduženje δ opruge. Za linearnu oprugu T i δ su vezani

Hukovim zakonom.

kT (3.9)

δ je ukupna dilatacija opruge.

)0()( uLu

xx dd 12 (3.10)

Slika 3.3 Pomeranje čvornih tačaka opruge

Iz jednačine (3.10) vidi se da ukupno pomeranje predstavlja razliku pomeranja čvorova u

pravcu x.

Ukupna dilatacija δ prikazana je na slici 3.3. xd1 ima negativnu vrednost jer se pomeranje

čvora 1 vrši u suprotnom smeru od pozitivnog smera ose x, dok xd2 ima pozitivnu vrednost.

3.5 Odredjivanje elemenata matrice krutosti

Odredjivanje ukupne matrice krutosti počinje odredjivanjem članova matrice krutosti

elemenata. Prvo se usvoji konvencija o znaku sila u čvorovima. Za sile u čvorovima na slici 3.1

uzima se da je

22

TfTf xx 21 (3.11)

Sila u opruzi u čvoru 1 je:

)( 121 xxx ddkfkT (3.12)

A sila u opruzi u čvoru 2 je:

iliddkfkT xxx )( 122 (3.13)

)( 211 xxx ddkf (3.14)

)( 122 xxx ddkf (3.15)

Jednačine (3.14) i (3.15) mogu se napisati u matričnom obliku:

x

x

x

x

d

d

kk

kk

f

f

2

1

2

1 (3.16)

Jednačina (3.16) važi za oprugu sa slike 3.1 duž x ose. Osnovni oblik matrice krutosti za

linijski element dat je izrazom:

kk

kkk][ (3.17)

Matrica krutosti za element linearne opruge ima članove k. To je lokalna matrica krutosti ili

matrica krutosti da odredjeni element. Ako se posmatra matrica (2.16) vidi se da je k

simetricna kvadratna matrica to jest jiij kk .

3.6 Sabiranje jednačina elemenata postavljanje globalnih jednačina i uvodjenje

graničnih uslova

Ako struktura ima više elemenata za svaki se odredi matrica krutosti i vektor sila u

čvorovima. Globalna matrica krutosti se dobija prema izrazu (3.18).

Globalna matrica krutosti i globalna matrica sila se povezuju pomoću jednačina ravnoteže sila

u čvorovima elemenata. To se ostvaruje vezom sila i deformacija i jednačinama

kompatibilnosti opisanim u direktnoj metodi. Ova procedura se odnosi na strukturu koja ima i

više elemenata.

Izrazima (3.18) opisane su matrice krutosti cele strukture i vektor sila:

N

e

eN

e

fkFikK1

)(

1

][}{][][ (3.18)

[K] i {F} u izrazu (3.18) predstavljaju krutost elemenata i sile u globalnom koordinatnom

sistemu.

Znak ne znači prosto sabiranje pojedinačnih matrica krutosti u ukupnu(globalnu) matricu,

nego udruživanje matrica pojedinih elemenata.

23

3.7 Računanje čvornih pomeranja

Matrica krutosti [K] strukture je singularna jer je njena determinanta jednaka nuli. Da bi se

izračunala pomeranja uvode se granični uslovi i rešava sistem jednačina:

}]{[}{ kKF (3.19)

3.8 Računanje sila

Ukoliko su zadata pomeranja, nepoznate veličine su sile koje se odrede iz sistema jednačina.

Primer 3.1

Kao ilustracija sprovodjenja prethodno opisane procedure razmatra se sistem opruga.

Elementi nekog sistema koji su medjusobno povezani zajedno čine jednu strukturu. Za

potrebe analize struture mora se odrediti ukupna matrica krutosti sistema elemenata. Pre

razmatranja greda i okvira kao složenijih struktura analiziran je sistem dve opruge dat na slici

3.4. Opruge 1 i 2 su vezane u čvoru 3.

Slika 3.4 Sistem od dve opruge

Čvor 1 je fiksiran, a sila xF3 deluje u čvoru 3, i sila xF2 u čvoru 2. Krutosti opruga su 21 ,kk . Osa

x je istovremeno i osa lokalnog koordinatnog sistema za obe opruge, ali i globalna osa.

Za element 1 opruge, može se napisati matrična jednačina (3.20) koja daje vezu izmedju sila i

pomeranja.

x

x

x

x

d

d

kk

kk

f

f

3

1

11

11

3

1

(3.20)

Za element 2 se moze napisati slična jednačina:

x

x

x

x

d

d

kk

kk

f

f

2

3

22

22

2

3

(3.21)

Elementi 1 i 2 moraju za vreme pomeranja ostati povezani u čvoru 3. Ova činjenica predstavlja

kontinuitet strukture, odnosno kompatibilnost, to jest da, pomeranje čvora 3 na element 1

mora biti isto kao pomeranje čvora 3 na element 2 ili

xxx ddd 3

2

3

1

3 (3.22)

Relacija (3.22) predstavlja kompatibilnosti pomeranja.

Prethodno je rečeno da su jednačine ravnoteze sila u čvorovima 3, 2 i 1 date izrazom:

24

xF3 = sila u opruzi 1- sila u opruzi 2

xF2 =sila u opruzi 2 (3.23)

xF1 = sila u opruzi 1

Slika 3.5 Ravnoteža čvorova

Sila xF1 predstavlja reakciju fiksnog oslonca. Kada se primene uslovi ravnoteže sila u

čvorovima 3,2 i 1, dobijaju se jednačine.

xxxxx

xxx

xxx

dkdkdkdkFx

dkdkFx

dkdkFx

2232311133

223222

311111

;0

;0

;0

(3.24)

gde je: xxxx

xxxx

dkfdkf

kfdkf

222313

33111

U matričnom obliku jednačine (3.24) su:

x

x

x

x

x

x

d

d

d

kk

kk

kkkk

F

F

F

1

2

3

11

22

1221

1

2

3

0

0

(3.25)

Kada se preuredi jednačina (3.25) može se napisati u obliku (3.26) i (3.27):

x

x

x

x

x

x

d

d

d

kkkk

kk

kk

F

F

F

3

2

1

2121

22

11

3

2

1

0

0

(3.26)

}]{[}{ dKF (3.27)

gde su:

{F}- globalni vektor sila u čvorovima

{d}- globalni vektor čvornih pomeranja

[K]- globalna ili totalna matrica krutosti

2121

22

11

0

0

][

kkkk

kk

kk

K (3.28)

25

Iz prethodno navedenog sledi da se za postavljanje matrice krutosti za skup opruga koriste

relacije:

-sila/pomeranje

-jednačine kompatibilnosti

-ravnoteža sila u čvorovima

3.9 Formiranje ukupne matrice krutosti (direktna metoda)

Direktna metoda predstavlja praktičniju metodu od prethodno navedenog. Zasniva se na

superpoziciji matrice krutosti elemenata koje su sastavni delovi posmatranog sistema.

Matrica krutosti elemenata 1: xx dd 31

11

111

kk

kkk (3.29)

Matrica krutosti elemenata 2 xx dd 23

22

222

kk

kkk (3.30)

Oznake ixd napisane iznad kolona matrica predstavljaju oznake za stepene slobode

pridružene elementima opruge na slici 3.4. Znači da je element 1 odredjen čvorovima 1 i 3, a

element 2 čvorovima 2 i 3. Matrice krutosti dva elementa matrice ne povezuju iste stepene

slobode. Tako je elementu 1 pridruženo aksijalno pomeranje čvorova 1 i 3, a element 2

pomeranja čvorova 2 i 3. Zato se ni matrice ne mogu direktno sabirati. Da bi se se proširila

matrica krutosti da bude reda totalne matrice jednostavno se dodaje vrsta i kolona nula za

pomeranje koje nije pridruženo posmatranom elementu. Na primer, za element 1 se prepiše

matrica krutosti u prširenom obliku.

1

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1

1

101

000

101

x

x

x

x

x

x

f

f

f

d

d

d

k (3.31)

Vidi se da 1

2xd 1

2xf nisu pridruženi matrici krutosti elemenata 1. Slično je i za element 2 i dato

jednačinom:

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

2

110

110

000

x

x

x

x

x

x

f

f

f

d

d

d

k (3.32)

Ravnoteža sila u svakom čvoru je

26

x

x

x

x

x

x

x

F

F

F

f

f

f

f

3

2

1

2

3

2

2

1

3

1

1 0

0

(3.33)

Kada se saberu jednačine za sistem opruga dobije se sledeće:

1

3

1

2

1

1

1

101

000

101

x

x

x

d

d

d

k +

2

3

2

2

2

1

2

110

110

000

x

x

x

d

d

d

k =

x

x

x

F

F

F

3

2

1

(3.34)

Dalje je

x

x

x

x

x

x

F

F

F

d

d

d

kkkk

kk

kk

3

2

1

3

2

1

2121

12

11

0

0

(3.35)

Oznake elemenata u vektoru {d}, (3.35) nisu navedene jer je xx dd 1

1

1 , xx dd 2

2

2 i

xxx ddd 3

2

3

1

3 . Ova metoda udruživanja pojedinačnih matrica krutosti u ukupnu matricu

krutosti strukture zove se Direktna metoda. Ovo je najvažniji korak u metodi konačnih

elemenata. U jednostavnijem slučaju matrica se moze prosiriti do reda ukupne matrice

krutosti bez obzira koliki on bio. Može se koristiti i skraćeni postupak direktne metode da se

dobije ukupna matrica odgovarajućim stepenima slobode koji se javljaju u problem koji se

rešava.

xx dd 31 xx dd 23

11

111

kk

kkk

22

222

kk

kkk (3.36)

Ukupna matrica krutosti (3.37) strukture se dobije direktnim sabiranjem članova matrice

][][ 21 kik

2121

22

11

321

0

0][

kkkk

kk

kk

ddd

K

xxx

(3.37)

333231

232221

131211

][

kkk

kkk

kkk

K

3.10 Granični uslovi

Za svaku razmatranu strukturu, pa i za sistem opruga, slika 3.4, moraju se uvesti odgovarajući

granični uslovi. Bez graničnih uslova [K] ce biti singularna tako da joj je determinanta jednaka

27

nuli i inverzna matrica ne postoji. U fizickom smislu bez odgovarajućih graničnih uslova;

kinematičkih ograničenja ili uslova oslanjanja struktura bi se kretala kao kruto telo.

Granični uslovi mogu biti:

Homogeni koji kompletno sprečavaju svako kretanje,

Nehomogeni gde su date i poznate vrednosti za pomeranja različita od nule.

U opštem slucaju, jednačine ravnoteže se dobijaju iz matrične jednačine:

2

1

2

1

2221

1211

F

F

d

d

KK

KK (3.38)

Neka je 1d slobodno ili neograničeno pomeranje a 2d zadato pomeranje. U prvoj jednačini 1d

je nepoznata koju treba odrediti, a u drugoj je to sila 2F .

22212122222121

21211111212111

dKdKFFdKdK

dKFdKFdKdK

(3.39)

Sila 1F je poznata sila u čvoru, a 2F je nepoznata sila u čvoru u kome je poznato pomeranje 2d .

Prvo se odredi pomeranje 1d iz prve jednačine, zatim se uvrsti u drugu i izračuna nepoznata

sila 2F .

Smatra se da 11K matrica nije singularna pa se može odrediti pomeranje 1d . Da bi se prikazala

dva osnovna tipa graničnih uslova posmatra se sledeća jednačina,

x

x

x

x

x

F

F

F

d

d

kkkk

kk

kk

3

2

1

3

2

2121

22

11 0

0

0

(3.40)

u koji su uneti homogeni granični uslovi. Granični uslovi su takvi da su pomeranja u čvoru

unete vrednosti xd1 =0, to jest, čvor je fiksiran.

Iz matrične jednacine (3.40) dobijaju se tri algebarske jednačine:

xxx

xxx

xxx

Fdkkdkk

Fdkdk

Fdkdk

3321221

23222

13121

)()0(

)0(0

)0()0(

(3.41)

Izdvojene jednačine pišu se u obliku:

x

x

x

x

F

F

d

d

kkk

kk

3

2

3

2

212

22 (3.42)

Na opisani način izvršena je u stvari samo particija matrice. Za homogene granične uslove

prethodna jednačina se može dobiti direktno brisanjem odredjene vrste i kolone koja

28

odgovara nultom pomeranju. Brišu se prva vrsta i kolona jer je xd1 =0. xF1 ne mora biti nula i

može se naći na način koji sledi. Posle izračunavanja xF1 odrede se xd 2 i xd3 iz (3.43):

x

x

x

x

x

x

F

F

kk

kkk

F

F

kkk

kk

d

d

3

2

11

112

3

2

1

212

22

3

2

11

111

(3.43)

Iz jednačine (3.41) kako je navedeno izračunava se xF1 (prva od tri jednačine).

xx dkF 311 (3.44)

xF1 je nepoznata sila u čvoru 1, to jest reakcija veze i može se izraziti preko ostalih sila koje

sve zajedno čine ravnotežu sistema

xxx FFF 321 (3.45)

Za sve homogene granične uslove mogu se brisati vrste i kolone koje odgovaraju nultim

stepenima slobode u osnovnom, prvobitnom sistemu jednačina. Tada se reše nepoznata

pomeranja. Na opisani način bi se radilo kada se problem rešava korak po korak bez

korišćenja računara za slučaj homogenih graničnih uslova.

U slučaju nehomogenih graničnih uslova neka od datih pomeranja su različita od nule. Neka je

xd1 poznato to jest xd1 . Jednačina tada ima oblik kao (3.46)

x

x

x

x

x

F

F

F

d

d

kkkk

kk

kk

3

2

1

3

2

2121

22

11

0

0

(3.46)

xxx

xxx

xxx

Fdkkdkk

Fdkdk

Fdkdk

3321221

23222

13121

)(

0

0)(

(3.47)

Posmatraju se druga i treća jednačina u kojima su sile xF2 i xF3 poznate i xd1 poznato, a

xF1 nepoznata sila.

1332122

23222

)( kFdkkdk

Fdkdk

xxx

xxx

(3.48)

U matričnom obliku:

xx

x

x

x

FF

F

d

d

kkk

kk

33

2

3

2

212

22

(3.49)

Kada se koriste nehomogeni granični uslovi, ne može se na početku brisati prva vrsta i kolona

kao što je to bilo u prethodonom slučaju. Ako bi se to uradilo član 1k će se zanemariti i javiće

se greška u rezultatima pomeranja.

29

Za homogene granične uslove u opštem slučaju treba članove u koji sadrže poznata

pomeranja, prebaciti tako da se pojave na desnoj strani u matrici sila. To se radi pre rešavanja

nepoznatih čvornih pomeranja. Ako se pogleda poslednja matrična jednačina (3.49) vidi se da

je član 1k koji sadrži pomeranje pridružen sili xF3 na desnoj strani.

Posle toga mogu se izračunati xd2 i xd3 na isti način kao i u slučaju homogenih graničnih

uslova. [2]

30

4. Zaključak

Pojava računara u inženjerskoj praksi izazvala je prelazak sa analitičkih na numeričke metode proračuna. Od svih numeričkih metoda, najveću upotrebnu vrednost je pokazala metoda konačnih elemenata. Razvojem metode konačnih elemenata u drugoj polovini XX veka i početkom XXI veka postignut je ogroman napredak tako da ista postaje opšta prihvaćena metoda u tehničkoj praksi. Metoda konačnih elemenata traži rešenja za pomeranja i napone preko diskretizacije kontinuuma konstrukcije. Svakako, kvalitet rešenja diskretizovanog sistema zavisi od kvaliteta same diskretizacije. Očigledno je da treba težiti ka što finijoj disktretizaciji, to jest modeliranju što sitnijim elementima da bi se tačno opisala geometrija problema. Praktično, upotrebljivost MKE analize je pored tačnosti uslovljena mogućnostima računara i troškovima korisnika. Primena metode konačnih elemenata u analizi lakih konstrukcija je veoma velika, to se odnosi na skraćivanje vremena i smanjivanje troškova pri samom proračunu i analizi, koja je vrlo komplikovana ako bi se radio analitički proačun. U ovom slučaju analiza se vrši samo na najkritičnije delove konstrukcije. U zavisnosti od softvera koji se koristi, rezultati dobijeni, približni su rezultatima dobijenim eksperimentalnim metodama, zbog toga se najčešće koriste specijalizovani sfotverski paketi kako bi se ta razlika dovela na minimum.

31

5. Literatura

[1] M. Živković., Snežana V., M.Milovanović,.: Primena metode konačnih elemenata u

proračunima tankozidnih nosača, Mašinski fakultet Kragujevac, 2003.

[2] Zaimović-Uzunović, Nermina; Lemeš, Samir: "Metod konačnih elemenata", "Dom štampe",

Zenica, 2002.

[3] Budjevac D.,: Metalne konstrukcije, Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1997.