４次元変分法を用いた初期値とパラメータの同時最適化

伊藤耕介海洋研究開発機構

データ同化ワークショップ2014/01/08

■ 謝辞：石川洋一先生、淡路敏之先生、杉浦望実様、　　　　川畑拓矢様、本田有機様、加藤輝之様

数値予報の誤差要因• 初期値の誤差• 境界値の誤差• モデルの不完全性

( 必要な要素の欠如， パラメタリゼーションスキーム , 固定パラメータの値など )

今日のメッセージ

重要な固定パラメータに不確定性があるのなら、制御すべき。

発表内容• 4 次元変分法における初期値の最適化• 初期値と固定パラメータの同時最適化

理論的な話台風状況下の海面交換係数の最適化Frequently Asked Question

• ( 余裕があれば )Hybrid EnKF-4DVAR※ 簡単のため、今日の話は擾乱の時間発展に線形を仮

　定し、観測演算子は線形であるとします。また、　内積が要素の単純積の和である標準内積を考えます。

4 次元変分法における

初期値の最適化( まずは固定パラメータに誤差がないと仮定す

る )

典型的な４次元変分法• 評価関数 J を定義

• 解いている問題ある固定区間 ( 同化ウィンドウ ) で、 x

がモデルの時間発展に従うという条件のもと、 J を最小化する初期値 x0 を求める

+

観測値がない所で同化結果が第一推定値から離れないように

観測値と同化結果が近づくように

• 評価関数 J の分布は事前に分からない• 方法１ : x0 の値を変えて予報を繰り返す . ⇒ 単純明快だが変数が多いと実行不可能• 方法２ : ∂J/∂x0 を求める　⇒効率的に最適な x0 にたどり着く

x0

J

xoptimal★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

xb xupdate★ ★

評価関数 J を最小にする x0 を探索

∂J/∂x0 の計算方法• xの摂動の時間発展を dδx/dt=Mδxと書く• 勾配に関し以下の式が得られる ( 導出は

略 )

• 同化ウィンドウを t=0 から t=T(>0) まで , ∂J/∂x=0(t=T) として、逆向きに時間積分

• これで∂ J/∂x0 が計算できる！

𝑑𝑑 (−𝑡) ( 𝜕 𝐽𝜕𝐱 )=𝐌❑

𝑇 ( 𝜕 𝐽𝜕𝐱 )+𝐅アジョイント行列( 転置行列に等しい）

観測値とモデル結果のミスフィット等

非線

形モ

デル

接線

形モ

デル

アジ

ョイ

ント

モデ

ル

t

x

δxo

𝑑𝑥𝑑𝑡 =−𝜎 (𝑥−𝑦 )

𝑑𝑦𝑑𝑡 =−𝑦−𝑥𝑧+𝑟𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 =𝑥𝑦−𝑏𝑧

𝑑𝐱𝑑𝑡 =𝑀 (𝐱)

𝑑𝛿𝑥𝑑𝑡 =−𝜎 (𝛿𝑥−𝛿 𝑦)

𝑑𝛿 𝑦𝑑𝑡 =−𝛿 𝑦−𝑥 𝛿𝑧− 𝑧 𝛿𝑥+𝑟 𝛿𝑥𝑑𝛿 𝑧𝑑𝑡 =𝑥 𝛿 𝑦+𝑦 𝛿𝑥−𝑏𝛿 𝑧

𝑑𝛿𝐱𝑑𝑡 =𝐌𝛿 𝐱

𝐌=( −𝜎 𝜎 0− 𝑧+𝑟 −1 − 𝑥𝑦 𝑥 −𝑏)

𝑑𝑑 (−𝑡) ( 𝜕 𝐽𝜕𝑥 )=−𝜎 𝜕 𝐽

𝜕 𝑥 − (𝑧−𝑟 ) 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 + 𝑦 𝜕 𝐽𝜕 𝑧 +𝐹 𝑥

𝑑𝑑 (−𝑡) ( 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 )=𝜎 𝜕 𝐽

𝜕 𝑥 − 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 +𝑥 𝜕 𝐽𝜕 𝑧 +𝐹 𝑦

𝑑𝑑 (−𝑡) (𝜕 𝐽𝜕𝑧 )=−𝑥 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 −𝑏 𝜕 𝐽𝜕 𝑧 +𝐹 𝑧

𝑑𝑑 (−𝑡) (𝜕 𝐽𝜕𝐱 )=𝐌𝑇 ( 𝜕 𝐽𝜕𝐱 )+𝐅

𝐌𝑇=(−𝜎 − 𝑧+𝑟 𝑦𝜎 −1 𝑥0 −𝑥 −𝑏)

𝐱≡(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )𝑇

〇 真の初期値〇 第一推定値の初期値〇 同化結果の初期値

第一推定値からちゃんと真値に近づく

σ=10.0, r=28.0, b=8/3x0t=10.0, y0t=14.0, z0t=24.0, x0f=11.0, y0f=13.0, z0f=25.0同化ウィンドウ： t=0-1, ⊿tobs=0.1

真値・同化結果

第一推定値

初期値と固定パラメータの同時最適化

固定パラメータにも誤差• ここまでは、固定パラメータに誤差がないとしていた。

• Lorenz63 モデルで、固定パラメータ r にも誤差があるのに、初期値だけを最適化するとどうなる？(他の固定パラメータは真値とする )

〇 真の初期値〇 第一推定値の初期値〇 同化結果の初期値

𝑟 𝑡𝑟𝑢𝑒=28.0𝑟𝑏=𝑟 𝐷𝐴=26 .0真値

同化結果

第一推定値

うまくいかなかった• 初期値と固定パラメータの両方に

誤差があるのに、初期値だけを制御してもうまくいかない。

• 固定パラメータにも誤差があることをちゃんと考慮しよう。

• J を定義し直して、∂ J/∂r を計算。 +

接線

形モ

デル

アジ

ョイ

ント

モデ

ル

𝑑𝛿𝑥𝑑𝑡 =−𝜎 (𝛿𝑥−𝛿 𝑦)

𝑑𝛿 𝑦𝑑𝑡 =−𝛿 𝑦−𝑥 𝛿𝑧− 𝑧 𝛿𝑥+𝑟 𝛿𝑥+𝑥 𝛿𝑟𝑑𝛿 𝑧𝑑𝑡 =𝑥 𝛿 𝑦+𝑦 𝛿𝑥−𝑏𝛿 𝑧

𝑑𝑑𝑡 (𝛿𝐱𝛿𝐜)=(𝐌 𝐒

𝟎 𝟎)(𝛿 𝐱𝛿𝐜)𝐌=( −𝜎 𝜎 0

− 𝑧+𝑟 −1 − 𝑥𝑦 𝑥 −𝑏)

𝑑𝑑 (−𝑡 ) ( 𝜕 𝐽𝜕𝑥 )=−𝜎 𝜕 𝐽

𝜕 𝑥 − (𝑧−𝑟 ) 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 +𝑦 𝜕 𝐽𝜕 𝑧 +𝐹 𝑥

𝑑𝑑 (−𝑡) ( 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 )=𝜎 𝜕 𝐽

𝜕 𝑥 − 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 +𝑥 𝜕 𝐽𝜕 𝑧 +𝐹 𝑦

𝑑𝑑 (−𝑡 ) (𝜕 𝐽𝜕𝑧 )=−𝑥 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 −𝑏 𝜕 𝐽𝜕 𝑧 +𝐹 𝑧

𝑑𝑑 (−𝑡 ) (

𝜕 𝐽𝜕𝐱𝜕 𝐽𝜕𝐜 )=(𝐌

𝑇 𝟎𝐒𝑇 𝟎)(

𝜕 𝐽𝜕𝐱𝜕 𝐽𝜕𝐜 )+𝐅

𝐱≡(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)𝑇𝐜≡(𝑟 )𝑇𝑑𝛿𝑟𝑑𝑡 =0

𝑑𝑑 (−𝑡) ( 𝜕 𝐽𝜕𝑟 )=𝑥 𝜕 𝐽𝜕 𝑦 +𝐹 𝑟

𝐒=(0 , 𝑥 , 0)𝑇

𝐌𝑇=(−𝜎 − 𝑧+𝑟 𝑦𝜎 −1 𝑥0 −𝑥 −𝑏)

𝐒𝑇=(0 , 𝑥 , 0 )∂J/∂x, ∂J/∂y, ∂J/∂z は変更なし＆∂ J/∂r は既知の∂ J/∂y から計算可

𝑟 𝑡𝑟𝑢𝑒=28.0𝑟𝑏=26 .0𝑟 𝐷𝐴=27 .7

〇 真の初期値〇 第一推定値の初期値〇 同化結果の初期値

今度はうまくいった！

位相空間での概念図

初期値

固定

パラ

メー

タの

値

★★

★

★

J の極小値

現実問題における固定パラメータ• 固定パラメータと言ってもいろいろ

重力加速度のように、精密に値が観測されており不確定性が小さいもの。

パラメタリゼーションを行うにあたり、素過程のモデル化に現れる係数

• 後者の場合、観測と照らし合わせることになるが、そのような観測に基づいた値は往々にして、ユニバーサルに適用可能でなかったり、観測の困難さから不確定性が高くなっている。

• もちろん、良いパラメタリゼーションと十分な観測が望ましいが、それが完璧でないときには不確定性があることも考慮に入れておいたほうがよい。

台風状況下の海面交換係数の最適化への応用

National Hurricane Center の予報結果

1990年2008年

進路

予報

の誤

差

最大

風速

予報

の誤

差(k

t)

2008年1990年24 時間予報

24 時間予報

48 時間予報48 時間予報

72 時間予報 72 時間予報

96 時間予報120 時間予報

96 時間予報120 時間予報

最大

風速

予報

の誤

差(m

/s)

RSMC Tokyo – Typhoon Center の予報結果

(沢田雅洋博士提供）進路

予報

の誤

差

1982年 2010年

24 時間予報

48 時間予報

72 時間予報

WISHE: 台風の最大風速の理論式 (Emanuel, 1986)

眼 壁雲

■ Ck: 熱交換係数 (～ CE: 潜熱交換係数 ), CD: 摩擦係数

～ k

CE潜熱交換係数

CD摩擦係数

波浪や波しぶきに依存する係数

2003年以降に提案された摩擦係数と水蒸気交換係数の風速依存性

・依然として、強風速域の海面交換係数は　観測が難しく、不確定性が大きい

軸対称台風モデルを用いた最大風速の強風速域における CD, CE に対する依存性

0.0⊿CD

⊿CE

0.0

100

20

( 伊藤 , 2011)

水蒸気交換係数に対する勾配

• モデル最下層の比湿の時間発展

•水蒸気交換係数に対する勾配

𝑑𝑞𝑙

𝑑𝑡 =⋯−∨𝑉 𝑙∨(𝑞𝑙−𝑞𝑠𝑒𝑎 )𝐶𝐸

𝑑𝑑 (−𝑡)

𝜕 𝐽𝜕𝐶𝐸

=−|𝑉 𝑙|(𝑞𝑙−𝑞𝑠𝑒𝑎 ) 𝜕 𝐽𝜕𝑞𝑙+𝐹

水蒸気交換係数モデル最下層の比湿

物理空間における模式図4次元変分法による海面交換係数の最適化（簡単のため，定常な移流過程だけを考えています）

軸対称台風モデルを用いた双子実験■ ある数値実験の結果を「真値」とみなし，「誤った

初期値・交換係数」から開始した数値計算に対して観測値を同化し、真値に近い値を復元できるか確認する．

■ 本研究で行った双子実験の構成要素

NoAsm 「誤った」 CD, CE と初期値を与えた実験

Asm_NoCoef NoAsm から出発。初期値のみを最適化

Asm_Coef NoAsm から出発。 CD, CE と初期値を最適化

True 「真の」 CD, CE と初期値を与えた実験

Observation True の計算結果 + ガウシアンノイズ

DA

DA

双子実験の主な設定

同化ウィンドウ Day 6.0 から Day 10.0

観測物理量・時間間隔12 hごと ( 動径風速 , 接線風速 , 水蒸気量 , 混合層の運動

量 )

観測量 r<100 km, z<5 km の全グリッド

強風時の交換係数 [ 誤った値 ] CD, CE: Large and Pond (1981) (V 30m/s), V>30 m/s≦では一定． ( 誤差は近年提案された値のばらつき程度の大きさ )

背景誤差共分散行列 B既知とする : 典型的影響半径をフーリエ解析から決め、大きさは” TRUE” の時間変動の分散のスケール．同じ物理量のみ

観測誤差共分散行列 O 既知とする : 対角成分のみ。大きさは Bの対角成分の 1/20

制御変数 ◆Asm_NoCoef: 初期値　◆ Asm_Coef: 初期値 & CD & CE

最適値の探索手法 最急降下法（探索回数は 40回）

NOAA/HRD による台風の集中観測の一例(Montgomery et al., 2006)

0 60r(km)0

4

z(km

)r(km

)

NoAsm:「誤った」 CD, CE による実験 CD と CE の復元

値

「真の」CD と CE

～データ同化

真の CD

真の CE

誤った CD

誤った CE

CD と CE の最適化の結果

データ同化後の CD

データ同化後の CE真の CD

誤った CD

真の CE

誤った CE

擬似的に生成したドロップゾンデ観測

(Ito et al. 2010)

真値からの平均二乗誤差　　“ NoAsm”: 7.3 m/s　　“ Asm_NoCoef” 6.3 m/s　　“ Asm_Coef” 2.1 m/s

“NoAsm”や” Asm_NoCoef”　 では，台風が系統的に弱い。

“Asm_Coef” では真値に近い。潜熱交換係数 CE が大きくなり，摩擦係数 CD が小さい場合に，台風が強くなるという WISHE メカニズムと整合的．

最大接線風速の再現性

観測値

(Ito et al. 2010)

風速・温位・水蒸気場の誤差（同化期間平均）NoAsm AsmNoCoef AsmCoef

陰影⊿ v, ベクトル (⊿u,⊿w) 陰影⊿ v, ベクトル (⊿u,⊿w) 陰影⊿ v, ベクトル (⊿u,⊿w)

コンター⊿ θ, 陰影⊿q

コンター⊿ θ, 陰影⊿ q

コンター⊿ θ, 陰影⊿q ⊿θ<-4K

⊿θ<-2K

⊿θ<-2K⊿θ<-4K

⊿θ<-2K

壁雲域での水蒸気不足

壁雲域での水蒸気不足

接線風速の弱まり

接線風速の弱まり

非静力学メソ 4 次元変分法 (JNoVA)への適用• 2010年台風第 14号 (Chaba)• 計算機資源の制約から最盛期の 1 日間のみ

海面交換係数の補正量 ( 第一推定値 =1)• 摩擦係数は強風速域で小さく、水蒸気交

換係数で大きくするような修正。

Ito et al. 2013

摩擦係数 水蒸気交換係数

海面交換係数の風速依存性• NoCoef ：初期値のみを最適化• Coef ：初期値及び海面交換係数を最適化

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

T T 110 0

1) ( )2

( b b p pcJJ H H J x x B x x y x R y x

Jobs: 第一推定値と観測値のミスフィット（主要項で全体の 90% 以上を占める）

サイクル数

ミスフィット項の変化率 (%)

　バルク係数を制御変数に加えることで，　ミスフィットは 5-20%程度低下した．

1 2 3 4 5 6 7

JobsNoCoef

JobsNoCoefJobs

Coef

評価関数

TC Chaba の構造の変化：軸対称モデルと整合的

Psrf, (Usrf, Vsrf) ⊿Psrf, (⊿Usrf, ⊿Vsrf)[Coef - NoCoef]

気圧が低下し、中心位置はベストトラックに近く

200 km200 km

[Coef]

Wind field [Coef] Wind field [Coef - NoCoef]

海面付近での接線風速に大きな差が出た

強度と中心位置のずれの改善• 解析場における台風強度の再現性が向上し

たほか、解析時刻の中心位置のずれも改善。

1 2 3 4 5 6 720.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

55.0

同化サイクル

最大

風速

(m

/s)

ベストトラック

初期値と海面交換係数の同時最適化

初期値のみ最適化

1 2 3 4 5 6 70.05.0

10.015.020.025.030.035.040.045.050.0

同化サイクル

ベス

トト

ラッ

クか

らの位

置ず

れ(k

m)

初期値のみ最適化

初期値と海面交換係数の同時最適化

最大風速 (m/s) 中心位置のずれ (km)

台風の進路予報精度向上初期値と海面交換係数の同時最適化を施した結果、進路予報の精度も向上した。

FAQ

FAQ 1:チューニングと同じ？

• 非常に効率的なチューニングと言える。

→ 5個の固定パラメータを 10種類ずつ試すと 10^5回の実験が必要。本手法は既存の 4DVAR システムとほぼ同じ計算量

x

J

xa★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

xb xupdate★ ★

FAQ 2: 固定パラメータの不確定性をどのようにして与えればよいか？

• 物理的にあり得ない固定パラメータにならないように、評価関数の定義で制約をかけておくべきである。

• 台風状況下の海面交換係数については、 2003年以降に提案された値を集め、そのばらつきを不確定性を代表する値として用いた。

FAQ 3: 固定パラメータの値にその他の誤差を押し付ける可能性は？

• 現実的なデータ同化において、その可能性は十分にある。

• 提案されたモデルと手に入る観測値の範囲内で最適な固定パラメータを探そうとしている。

• ただし、固定パラメータに誤差があることを全く想定せずに初期値に押し付けてしまうよりは、一歩前進している。

• 問題によるが、一般的に

☆相対的に長い時間スケールを扱う☆固定パラメータの不確定性が大☆固定パラメータの場に対する影響が大きい

ときには固定パラメータの制御が重要になるだろう。

FAQ 4: 初期値と固定パラメータどちらの制御が大事か？

FAQ 5: アジョイントモデルは難しそう

• 示した通り、固定パラメータに対する勾配は、アジョイントモデル MT の出力結果だけを使って計算できる。

• グリーン関数法や EnKF を通した固定パラメータ推定法など、アジョイントモデルを使わないパラメータ推定もある。

(Menemenlis, 2005； Ruiz et al. 2013)

まとめ• 気象学におけるデータ同化では、初期値

を制御するのが一般的であった。• しかし、不確定性が高く、場に大きな影響を与える固定パラメータについては、最適化を図るのが自然。

• その例として、台風状況下の海面交換係数を制御変数に加えることにより、同化システムの性能が改善することを示した。

(Ito et al. 2010, 2013)

第一推定値と同化結果のずれ 観測値と同化結果のずれ

Model

Obs.Analysis

EnKF Cycle

It is used for B.

4D-Var

4DVAR では、第一推定値の誤差共分散 B を事前に仮定しておく必要がある。

• 通常は、気候値的な B が使われるが、アンサンブル計算の出力を使って B を作ることで、よりもっともらしくなる。

2011年台風 12号における 1点疑似観測実験

NMC-based B (Typical) Hybrid B

・同化ウィンドウ： t=0-1h, Obs: U (t=0,z=20m)・ベクトル：水平風の修正量 (⊿U, ⊿V) (t=0h)

基本場西風

基本場東風

渦の構造とあまり関係のない修正

渦を南偏させる水平風の修正

■EnKF の結果は気象研究所国井勝氏に提供していただいた。

U, V の修正量