Задачи на нахождение площади сечения многогранника
description
Transcript of Задачи на нахождение площади сечения многогранника
![Page 1: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/1.jpg)
Задачи на нахождение площади сечения многогранника
Подготовка к решению задач ЕГЭ
Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна,учитель математики,МОУ «СОШ № 6» г. Луга
![Page 2: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/2.jpg)
А
В
С
А1
С1
В1
Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины A, B и C1. Построим плоскость сечения, проходящее через вершины A, B и C1.
Проведем высоту КC1.
1
.
;
;
;
:
2
2
11
1
21
2221
21
221
1
BÑ
BÑ
BÑ
ÑÑBÑBÑ
ÂÑÑÈç
К
.
;
;
;
:
2
7
4
31
2
12
1
21
222
1
221
21
1
ÊÑ
ÊÑ
ÊÑ
ÂÊÂÑÊÑ
ÂÊÑÈç
1
2
2
1
4
7
2
71
2
1
2
1
1
1 1
ÀÂÑ
ÀÂÑ
S
ÊÑÀÂS
Ответ. 4
7
АС = СВ; СС1 - общаяΔ АСС1 = Δ ВСС1 (по двум катетам)Значит АС1 = ВС1
Δ АВС1 - равнобедренный
![Page 3: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/3.jpg)
ABCD – правильная треугольная пирамида все ребра которой равны 1. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ.
М
Построим плоскость сечения, проходящее через точки D, C и М.
Н
4
2
3
2
2
3
2
1
2
1
DÑÌ
DÑÌ
S
DHÑMS
Δ АВС - равносторонний
3
1
3
2 CMÑÍ
.
;
;
;
:
3
2
3
2
3
11
2
2
22
222
DÍ
DÍ
DH
CÍDCDH
DÍCÈç
2
3
2
3
ABÑM
Ответ. 4
2
Н – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СН : НМ = 2 : 1. Вся медиана СМ – это 3 части.
СН = СМ (2 части)
НМ = СМ (1 часть)
3
2
3
1
![Page 4: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/4.jpg)
Ответ. 6
2
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BB1 и DD1.
1
к
м
Построим плоскость сечения, проходящее через вершину A и точки К и М.
КМ = BD = АС =
.
;
;
;
:
5
5
12
1
21
2221
21
221
1
ÀÑ
ÀÑ
ÀÑ
ÑÑÀÑÀÑ
ÀÑÑÈç 2
2
623
2
1
2
1
1
1 1
ÌÀÊÑ
ÌÀÊÑ
S
ÊÌÀÑS
АКС1М – параллелограмм
ðîìáÌÀÊÑÇíà÷èò
ACKMBDKM
ACBDACCBDCCBD
ACBD
1
1
111
)(
![Page 5: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/5.jpg)
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на ребрах A1В1 и В1C1 соответственно, если В1E = 5A1E и C1F = 5В1F.
FE
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F.
Δ ВEF - произвольный
6
1
6
5
6
26
36
26
6
1
6
522
21
21
21
EFFBEBEFEFÂÈç :
6
37
36
37
6
11
222
121
21
BFFBBBBFFBÂÈç :
6
61
36
61
6
51
222
121
21
BEEBBBBEEBÂÈç :
962
1
2cos
cos2222
222
EFBF
BEEFBFBFE
BFEFEBFEFBFBEПо теореме косинусов:
962
31
962
11cos1sin 2 BFEBFE
72
31
962
31
6
26
6
37
2
1
sin2
1
BEF
BEF
S
BEFEFBFS
Ответ. 72
31
![Page 6: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/6.jpg)
Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC.
мК
N
Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М.
Р
КМ= АВ =1, PN= DC=2
1
2
1
2
1
2
1КР= МN= AS =
м
NР
КH
4
1
2
11
2
1
2
1
)( PSKMÊÍ
2
1
4
1 .
;
;
;
:
4
3
16
3
4
1
2
1
2
222
222
ÐÍ
ÐÍ
ÐÍ
ÊÍÊÐÐÍ
ÊÐÍÈç
16
33
4
31
2
1
2
1
2
1
KPNM
KPNM
KPSM
S
S
PHKMPSS
КPSМ – равнобедренная трапеция
MNKPíèìèìåæäó
óãëóèñòîðîíàìäâóìïîMCNKDP
PSDP
SCDëèíèÿñðåäíÿÿPNNSCN
CDPN
PNKMSCDKMCDKM
)
(
)(
Ответ. 3 3
16
![Page 7: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/7.jpg)
Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и D1.
Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D1.
.
;
;
;
:
2
2
11
1
21
2221
21
221
1
ÀF
ÀF
ÀF
FFÀFÀF
ÀFFÈç
3AC
62311
11 1
FÀÑD
FÀÑD
S
AFÀÑS
Ответ. 6
íèêïðÿìîóãîëüFÀÑDÇíà÷èò
AFACFAAACAAAC
AFAC
ðàììïàðàëëåëîãFÀÑD
11
1
1
11
)(
![Page 8: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/8.jpg)
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2CM.
мК
3
1
3
2
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D1 и M.
Сечением является параллелограмм BMD1K.
3
10
9
10
3
11:
22222
BMMCBÑÂÌÂMCÈç
3
13
9
13
3
21: 1
222
1211
2111
MDMÑDCÌDDMCÈç
3
По теореме косинусов:
130
2cos
cos2
1
1121
221
BMD
BMDMDBMMDBMBD
65
63
130
41cos1sin 1
21 BMDBMD
3
14
65
63
3
13
3
10
sin
1
1 11
KBMD
KBMD
S
BMDMDBMS
Ответ. 3
14
![Page 9: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/9.jpg)
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.
Построим плоскость сечения, проходящее через указанные точки.
Сечением является пятиугольник EFGD1H.
ADCFE – проекция сечения на плоскость ABCD
SADCFE =SABCD - SBEF = ;8
7
8
11
17
3
11
1
RD
DRDRDCOS
DRDÈç
А
D C
F
BE
R
4
23
4
3 DBDR
.
;
;
;
:
4
34
16
34
14
23
1
21
2
2
21
21
221
1
RD
RD
RD
DDDRRD
DRDÈç
24
177
11
DRDCOS
SS ADCFE
HEFGD Ответ. 24
177
По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника
Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника:Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
ïðîåêöèèåãîïëîñêîñòüþè
ñå÷åíèÿïëîñêîñòüþìåæäóóãîëãäå
ñå÷S
ïðS
cos
![Page 10: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/10.jpg)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
![Page 11: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/11.jpg)
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, B, C1.
Ответ. . 2
![Page 12: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/12.jpg)
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 , проходящее через середины ребер AB, BC, A1B1.
Ответ: 2
2
![Page 13: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/13.jpg)
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер CD, C1D1.
Ответ. .5
2
![Page 14: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/14.jpg)
Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и SC.
Ответ. 0,25.
![Page 15: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/15.jpg)
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AA1, BB1, CC1.
Ответ. 0,5.
![Page 16: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/16.jpg)
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины B, B1 и середину ребра AC.
Ответ. . 3
2
![Page 17: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/17.jpg)
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и C1.
Ответ. . 3
![Page 18: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/18.jpg)
1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершины C1 и В и точку E на ребре A1В1, если В1E = 0,4 А1E.
Е
Ответ. 7
116
![Page 19: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/19.jpg)
В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.
Ответ. 28
![Page 20: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/20.jpg)
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1.
Ответ. 2
6
![Page 21: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/21.jpg)
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, C и середину ребра С1D1.
Ответ: 8
11
![Page 22: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/22.jpg)
Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC.
Ответ: 16
113
![Page 23: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/23.jpg)
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AB, BC и CC1.
Ответ: 3 7
16
![Page 24: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/24.jpg)
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, D и C1.
Ответ:3 7
4
![Page 25: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/25.jpg)
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD1.
Ответ: 16
213
![Page 26: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/26.jpg)
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.
Ответ. 3 3
4
![Page 27: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/27.jpg)
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, B и D1.
Ответ: 3
![Page 28: Задачи на нахождение площади сечения многогранника](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050713/56815b20550346895dc8dc30/html5/thumbnails/28.jpg)
Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.
Ответ. 4
213