Площади геометрических фигур
description
Transcript of Площади геометрических фигур
![Page 1: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/1.jpg)
Площади геометрических фигур
Творческий проект ученицы 8 класса школы при Посольстве РФ в
Великобритании Жаровой МиленыУчитель математики Щербакова В.Б.
![Page 2: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/2.jpg)
Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую
занимает многоугольник.
![Page 3: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Равные многоугольники имеют равные площади
Основные свойства площадей
![Page 4: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/4.jpg)
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
S1
S2
S3 S=S1+S2+S3
![Page 5: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/5.jpg)
Формулы для нахождения площадей геометрических фигур
![Page 6: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/6.jpg)
Площадь квадратаа
а
S=a2
![Page 7: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/7.jpg)
Доказательство:
1
a= 1nn
nПредположим, что S=a2
S большого кв.
=1S маленького кв. =1n2
1n2=(1
n2
)=а =S2
n– целое число
![Page 8: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/8.jpg)
Площадь прямоугольникаа
b
S=a∙b
![Page 9: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/9.jpg)
Доказательство:
a
a
a
a
b b
b
a2
b2
S
S
Проведём дополнительное построение
Sбольшого кв.=
=а +b +2S
2 2
Sбольшого кв.=
=(a+b)==a +2ab+b
2
S=ab2 2
![Page 10: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/10.jpg)
Площадь параллелограммаa
h
S=a∙h
![Page 11: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/11.jpg)
Доказательство:A B
C DH O
Проведём доп.
построения
ACH=BDOпо гипотенузе
и прилежащему
углуSACH+SAHBD=SABCD=SAHBO=AB∙AH
SAHBO=AB∙AH
S=AB∙AH
![Page 12: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/12.jpg)
Площадь треугольника
a
h
S= ah12
![Page 13: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/13.jpg)
Доказательство:A
B C
Проведём доп.
построения
D
H
ABCD - параллелограм
мSABCD=AH∙BCSABC=SADC
SABC= SABCD= AH∙BC12
12
![Page 14: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/14.jpg)
Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.A
BCS= AC ∙ BC1
2
![Page 15: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/15.jpg)
Следствие 2Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
h1
h2a
b
h1=h2
S1S2
h1h2
=
![Page 16: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/16.jpg)
Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
![Page 17: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/17.jpg)
A
B
C M
N
O
S1S2
AC ∙ BCMO ∙ NO=
![Page 18: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/18.jpg)
Доказательство:
M
N
O
B
CA H1
H2
BH1 – общ. высота BMC и ABC
Наложим ABC на MNO
SABC
SBMC
ACMO
=
MH2 – общ. высота BMC и MNOSBMC
SMNO
BCNO
=
SABCSMNO
AC ∙ BCMO ∙ NO=
![Page 19: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/19.jpg)
Площадь трапецииa
b
h
S= (a+b)∙h12
![Page 20: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/20.jpg)
Доказательство:A B
C DH1
H2
12SABD=
AB∙DH2
SACD= AH1∙CD
12
AH1=DH2
SABD= AB∙AH112
SABCD=SABD+SACD=0,5∙AH1∙CD+0,5∙
AB∙AH1=0,5∙AH1∙(CD+AB)
![Page 21: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/21.jpg)
Дано:ABCD-трапецияAB=21 см CD=17 см; BH=7см-высота Найти: S трапеции ABCDРешение:SABCD= BH×(AB+CD)÷2
SABCD= 7×(21+17)÷2=38×7÷2=19×7=133(см²)
Ответ:133 см²
C D
B
17 см
21 см
A
H
![Page 22: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/22.jpg)
Дано:ABCD-трапеция
AB=CD, B=135°KD=3,4 см; AK=1,4 см
BK-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
1)в ΔABK K=90º ABK=135º- KBC=45º
A=90º- ABK=45º
2) Проведём высоту СE,
тогда KBCE-прямоугольник и BC=KE,а ΔDCE-прямоугольный, D=45º
3) ΔABK=ΔDCE по гипотенузе и острому углу(AB=CD, A= D)
DE=AK=1,4 см, значит KE=2см, BC=2см
4) AD=AK+KD=1,4+3,4=4,8см
SABCD= BK×(BC+AD)÷2
SABCD= 1,4×(2+4,8)÷2=4,76(см²)
Ответ:4,76см²
B C
D1,4 см
3,4 см
A
135°
К E
![Page 23: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/23.jpg)
Площадь ромбаA
B
C
D
S=AC∙BD
![Page 24: Площади геометрических фигур](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022110213/568143a9550346895db032a8/html5/thumbnails/24.jpg)
Доказательство:A
B
C
DO
SABD= AO∙BD1212SBCD= CO∙BD
AO=COSBCD= AO∙BD1
2SABD=SBCD
SABCD=2∙SABD=AO∙BD