第十二章 波和粒子第十二章 波和粒子 第十二章 波和粒子第十二章 波和粒子

第十二章 波和粒子

§12—1 量子论的出现 §12—2 物质波 不确定关系 *§12—3 波函数 薛定谔方程及简单应用

•本章主要内容：•1 、普朗克能量子假设•2 、爱因斯坦光子理论•3 、康普顿效应的解释•4 、玻尔氢原子理论•5 、实物粒子的波粒二象性。•6 、不确定关系•7 、薛定谔方程

基 本 要 求• 1 、理解普朗克能量子假设 , 理解爱因斯坦光子理论对有关实验规律的解释 ,并会做有关计算 .

• 2 、理解氢原子光谱的实验规律 , 理解玻尔氢原子理论 , 并能进行有关计算 .

• 3 、了解德布罗意的物质波假设。• 4 、了解物质波的统计解释 , 了解实物粒子的波粒二象性。

• 5 、了解不确定关系 ,并会作简单估算。• *6 、了解一维定态薛定谔方程。

• 1 、理解爱因斯坦光子理论对有关实验的解释 , 并能进行有关计算 。

• 2 、理解玻尔氢原子理论 , 并能进行有关计算 。• 3 、了解德布罗意的物质波假设。 • 4 、了解不确定关系,并会作简单估算.

重 点 与 难 点

§12—1 量子论的出现

回顾所学 :

1. 什么是光电效应 ?

2. 光子说的内容是什么 ?

一 . 黑体辐射和普朗克能量子假说

热辐射

任何物体在任何温度下都在不断地向外发射各种波长的电磁波 .

物体辐射电磁波的同时，也吸收电磁波。物体辐射本领越大，其吸收本领也越大。

辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再变化，此时物体的热辐射称为平衡热辐射。

室温 高温

吸收 辐射

白底黑花瓷片

例如 :

绝对黑体 (黑体 )：能够全部吸收各种波长的辐射且不反射和透射的物体。

1. 黑体 黑体辐射实验规律1.黑体 黑体辐射实验规律

不透明的材料制成带小孔的的空腔 ,可近似看作黑体。

黑体模型

研究黑体辐射的规律是了解一般物体热辐射性质的基础。

1700K

1500K1300K

1100K

)/()( 120

mcmWTM

0 1 2 3 4 5 m /

绝对黑体的辐出度按波长分布曲线

实验曲线

黑体辐射实验规律

40 )( TTM

黑体的辐出度与黑体的绝对温度四次方成正比：

（ 1 ） 斯特藩 - 玻耳兹曼定律

根据实验得出黑体辐射的两条定律：

热辐射的功率随着温度的升高而迅速增加。

斯特藩常数 )KW/(m1067.5 428

bT m

Kmb 310897.2

对于给定温度 T ，黑体的单色辐出度 有一最大值 ,其对应波长为 。

0Mm

热辐射的峰值波长随着温度的增加而向着短波方向移动。

（ 2 ） 维恩位移定律

维恩经验公式维恩经验公式

问题：如何从理论上找到符合实验曲线的函数式 ?

2. 经典物理的困难 普朗克能量子假设2. 经典物理的困难 普朗克能量子假设

),()(0 TfTM

TC

eCTM

25

10 )(

这个公式与实验曲线波长短处符合得很好，但在波长很长处与实验曲线相差较大。

瑞利瑞利 ---- 金斯经验公式金斯经验公式TCTM 4

30 )(

这个公式在波长很长处与实验曲线比较相近，但在短波区，按此公式， 将随波长趋向于零而趋向无穷大的荒谬结果，即“紫外灾难”。

0M

维恩公式和瑞利 - 金斯公式都是用经典物理学的方法来研究热辐射所得的结果，都与实验结果不符，明显地暴露了经典物理学的缺陷。黑体辐射实验是物理学晴朗天空中一朵令人不安的乌云。

为了解决上述困难，普朗克利用内插法将适用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利 - 金斯公式衔接 起来，提出了一个新的公式：

1

12 52

0

kThc

e

hcM

sJh 34106260755.6 普朗克常数

这一公式称为普朗克公式。它与实验结果符合得很好。

o

实验值

/μm

)(0 TM

维恩线

瑞利 --金斯线

紫外灾难

普朗克线

1 2 3 4 5 6 7 8

普朗克公式还可以用频率表示为：

1

12)( 2

3

0

kTh

ech

TM

普朗克得到上述公式后意识到，如果仅仅是一个侥幸揣测出来的内插公式，其价值只能是有限的。必须寻找这个公式的理论根据。他经过深入研究后发现：必须使谐振子的能量取分立值，才能得到上述普朗克公式。

能量子假说：辐射黑体分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。但是这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不象经典物理学所允许的可具有任意值。相应的能量是某一最小能量 ε （称为能量子）的整数倍，即： ε, 1ε, 2ε, 3ε, ... nε. n 为正整数，称为量子数。

对于频率为 ν的谐振子最小能量为

能量

量子经典 h

振子在辐射或吸收能量时，从一个状态跃迁到另一个状态。在能量子假说基础上，普朗克由玻尔兹曼分布律和经典电动力学理论，得到黑体的单色辐出度，即普朗克公式。

能量子的概念是非常新奇的，它冲破了传统的概念，揭示了微观世界中一个重要规律，开创了物理学的一个全新领域。由于普朗克发现了能量子，对建立量子理论作出了卓越贡献，获 1918年诺贝尔物理学奖。

伏安特性曲线

1. 光电效应的实验规律

饱和电流 iS

遏止电压 Ua

iS ∝ 光电子数

am Um e221 v

I ∝

（ I, v)

AK

U

iS3

iS1

iS2

I1

I2

I3

Ua U

iI1>I2>I3

Ua

0

光电子最大初动能和 成线性关系

截止频率 0

即时发射迟滞时间不超过 10-9 秒 遏止电压与频率关系曲线

和v 成线性关系

i

二 . 光电效应和爱因斯坦光量子理论

经典物理与实验规律的矛盾

• 电子在电磁波作用下作受迫振动，直到获得足够能量(与 光强 I 有关 ) 逸出，不应存在红限 0 。

•当光强很小时，电子要逸出，必须经较长时间的能量积累。

• 只有光的频率 0 时，电子才会逸出。

• 逸出光电子的多少取决于光强 I 。• 光电子即时发射，滞后时间不超过 10–9 秒。

总结

• 光电子最大初动能和光频率 成线性关系。

• 光电子最大初动能取决于光强，和光的频率 无关。

2. 爱因斯坦光子理论1). 爱因斯坦光量子假说 (1905)1）一束光是一束以光速运动的粒子流， 这些粒子称为光子（光量子）2）每个光子的能量

νh

3）光的强度决定于单位时间内通过单位面积的光电子数 n

νnhI

Amvh m 2

21

2) 爱因斯坦光电效应方程

爱因斯坦对光电效应的解释：

光强大，光子数多，释放的光电子也多， 所以光电流也大。

电子只要吸收一个光子就可以从金属表面 逸出，所以无须时间的累积。

爱因斯坦

由于爱因斯坦提出的光子假说成功地说明了光电效应的实验规律 ,荣获 1921年诺贝尔物理学奖。

从光电效应方程中，当初动能为零时，可 得到红限频率 .

从方程可以看出光电子初动能和照射光的 频率成线性关系。

3. 光子

00m光子静止质量 :

nhp

光子的能量：

mcp cc

hν2

chν

hp

光子的能量、质量与动量

光子的动量：

hν2mc c

h

c

hνm 2

3. 康普顿效应3. 康普顿效应

康普顿研究了 X射线经物质散射的实验 , 进一步证实了爱因斯坦的光子概念。

康普顿 吴有训

X 光管

光阑

0

散射

物质

康普顿实验装置示意图康普顿实验装置示意图

X 光检测器晶体

康普顿发现 ,在散射光中除了有与入射光波长 λ0 相同的射线之外，同时还出现一种波长 λ大于 λ0 的射线。这种改变波长的散射称为康普顿效应。

我国物理学家吴有训在与康普顿共同研究中还发现：(1) 波长的偏移 随散射角 而异 ;当散射角增大时 , 波长的偏移也随之增加 , 而且随着散射角的增大 , 原波长的谱线强度增大。

0

(2) 在同一散射角下，对于所有散射物质 ,波长的偏移 都相同 ,但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加 ,新波长的谱线强度随之减小。

康普顿散射与角度的关系

(a)

(b)

(c)

(d)

相

对

强

度

. ............. . .

.. . ..

... ..

..

...

.. . ........

. .

. . .. .

.. ...

.. .. . .......

. . .. . ... . ...

..

....... .

0.700 0.750 波长 (Å)

.. .. 00

045

090

0135

光子理论的解释光子理论的解释

根据经典电磁波理论，当电磁波通过物质时，物质中带电粒子将作受迫振动，其频率等于入射光频率，所以它所发射的散射光频率应等于入射光频率。光的波动理论无法解释康普顿效应。

1 ） 光子理论对康普顿效应的解释

光子理论认为康普顿效应是光子和自由电子作弹性碰撞的结果，具体解释如下：

因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。

若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子 ,散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长。

若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，光子将与整个原子交换能量 ,由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变。

*2 ） 康普顿效应的定量分析

由能量守恒 :

由动量守恒 :

2200 mchcmh

cos))((2)()()( 02202

ch

ch

ch

ch

mv

n

ch

v

mθXXe

φX

0hh

00 n

ch

em

em

φθ

Y Y Y

最后得到：

此式说明：波长改变与散射物质无关 ,仅决定于散射角；波长改变随散射角增大而增加。

2sin2

2sin

2 22

00

ccmh

m10432 12

0

.cm

hc 电子的康普顿波长。

计算的理论值与实验值符合得很好。

X 射线的散射现象，理论与实验的符合，不仅有力地证实了光子理论，而且也证实了能量守恒和动量守恒两条定律，在微观粒子相互作用的基本 过程 中，也同样严格地遵守。

例 波长为 1.000Å 的 X 射线在碳块上作康普顿散射实验 ， 散射角 =60 度。 求（ 1 ）散射的 X 射线的波长 . （ 2 ）反冲电子的动能 .

解：（ 1 ）由012

00

012.0102.1)cos1( Amcmh

00

012.1012.01 A

（ 2 ）由碰撞过程中能量守恒

hνhνEk 0hchc

0

0

hc

J171036.2

三 . 玻尔的氢原子理论三 . 玻尔的氢原子理论1. 氢原子光谱的实验规律1. 氢原子光谱的实验规律 原子发光是重要的原子现象之一， 光谱学的数据对物质结构的研究具有重要意义。

氢原子谱线的波长可以用下列经验公式表示：

)11

(1

22 nmR

,3,2,1m

,3,2,1 mmmn

1-m710096776.1 R 里德伯常量

1

波数

3,2,1 nm 赖曼系，紫外区

,4,3,2 nm 巴尔末系，可见光区

,5,4,3 nm 帕邢系，红外区

布拉开系，红外区,6,5,4 nm

普丰德系，红外区,7,6,5 nm

其他元素的光谱也有类似的规律性。

原子光谱线系的规律性深刻地反映了原子内部的规律性

卢瑟福原子模型（原子的有核模型）

问题：原子的稳定性问题？

原子分立的线状光谱？

玻尔（ 1885-1962）

2. 玻尔的氢原子理论2. 玻尔的氢原子理论（ 1）定态假设 原子系统只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状态中，电子虽然作加速运动，但并不辐射电磁波，这些状态称为原子的稳定状态（简称定态），相应的能量分别为 。,,, 321 EEE

（ 2）频率条件 当原子从一个能量为 的定态跃迁到另一能量为 的定态时，就要发射或吸收一个频率为 的光子。

nEkE

kn

h

EE knkn

玻尔频率公式

（ 3）量子化条件 在电子绕核作圆周运动中， 其稳定状态必须满足电子的角动量 等于 的整数倍的条件。

L2h

,3,2,1,2

nh

nL

角动量量子化条件

为量子数n氢原子轨道半径和能量的计算氢原子轨道半径和能量的计算

根据电子绕核作圆周运动的模型及角动量量子化条件可以计算出氢原子处于各定态时的电子轨道半径。

,3,2,1),( 2

202 nmeh

nrn

玻尔 半径

m101 10529.0 r

电子处在半径为 的轨道上运动时，可以计算出氢原子系统的能量 为

nrnE

,3,2,1),8

(1

220

4

2 nh

men

En 能量是量子化的。

eV6.13,1 1 En 基态能级；

1n 的各稳定态称为受激态；

nr 0nEn 时

能级趋于连续。

En ( eV)

氢原子能级图

莱曼系 巴耳末系 帕邢系 布拉开系-13.6

-1.51

-3.39

0

21

nE

En h

EE knnk

光频

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4n = 5

n = 6

根据氢原子的能级及玻尔假设，可以得到氢原子光谱的波数公式

)11

(8 2232

0

4

nmch

me

与氢原子光谱经验公式是一致的。

1-m7

320

4

100973731.18

ch

meR

R 理论值与实验值符合得很好。玻尔的创造性工作对量子力学的建立有着深远的影响。

玻尔理论的缺陷玻尔理论的缺陷

玻尔理论仍然以经典理论为基础，定态假设

又和经典理论相抵触。●

量子化条件的引进没有适当的理论解释。●

对谱线的强度、宽度、偏振等无法处理。●