Введение в математическую логику и теорию алгоритмов
description
Transcript of Введение в математическую логику и теорию алгоритмов
121.04.23
Введение в математическую логику и теорию
алгоритмов
Алексей Львович Алексей Львович СеменовСеменов
План Место математической логики и теории алгоритмов в
современном мире Анализ математической деятельности средствами
математики. Программа Гильберта Базовый инструмент современной математики –
теория множеств Примеры аксиом теории множеств
221.04.23
Математическое описание некоторых видов человеческой коммуникации и деятельности:
Доказательство теорем и определение математических понятий Описание отношений между математическими объектами Получение следствий из экспериментально установленных
утверждений, из гипотез и т. п. Проектирование устройств (механических, электронных и т. д.)
с заданными свойствами и функциями. Создание и выполнение формальных предписаний (описание и
применение алгоритмов и программ) Установление соответствия между описанием требуемого
результата и алгоритмом, предназначенным для достижения этого результата (доказательство правильности)
Математическая логика и теория алгоритмов дают (математические, точные) критерии правильности
3
МЛиТА: Результаты, относящиеся к: Множествам и отношениям, которые можно описать на том или
ином языке Множествам доказуемых формул Множествам истинных формул (имеется фундаментальная
разница с п.2) Множествам математических структур, в которых истинны
формулы из заданного множества Классам функций, которые вычисляются алгоритмами Существованию алгоритма, выясняющего истинность или
доказуемость формул Сложности вычислений Сложности объектов и т. д.
421.04.23
Развитие цивилизации
Обработка материи Получение и использование энергии Переработка информации (XX век)- Становится основной деятельностью- Результаты, понятия, построения МЛиТА –
фундамент
521.04.23
История
621.04.23
вопросы: Что значит, что математическое
утверждение доказано? Что значит определить
математическое отношение? Что значит, что
математическая функция вычислима?
Давид Гильберт (23.01.1862 — 14.02.1943)
Второй международный математический конгресс, Париж, 1900
23 Проблемы Гильберта
I, II, X проблемы относятся к математической логике и теории алгоритмов
Из семи Проблем тысячелетия первая также относится к нашему предмету (ее не было среди проблем Гильберта)
721.04.23
Первые ответы:Конец XIX в.:Готлоб Фреге (8.11.1848 — 26.07.1925)., Давид Гильберт и др.:Математическое доказательство
– текст (цепочка формул), построенный по заданным,математически определяемым правилам
Георг Кантор (3.03.1845 — 6.01.1918): Первичная система понятий математики
- теория множеств
Начало XX в. Эрнст Цермело (27.7.1871 ‒ 21.5.1953)аксиоматическая теория множеств (1908)
В курсе будет дано определение математического доказательства
821.04.23
Организационные замечания http://lpcs.math.msu.su/vml2013/ Н. К. Верещагин, А. Шень, Лекции по
математической логике и теории алгоритмов, изд. МЦНМО (mccme.ru)
И. А. Лавров, Л. Л. Максимова, Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов
Математическая деятельность Консультации Экзамен Просеминар
921.04.23
Задания множеств:
{2, 14, 5.4}
{x| x – действительное число и sin(x)>0}. принадлежность элемента множеству , ∊ пустое множество Ø,
включение множеств (нестрогое, допускающее совпадение) , ⊂объединение ∪, пересечение ∩, разность \,.
Упорядоченная пара < x; y > :
< x; y >=< x′; y′> → ( x = x′ и y = y′) Произведение X X Y – множество всех упорядоченных пар
< u; v >, где u ∊ X и v ∊ Y . n-ая степень Xn множества X. X1 – это X. Отношение между множествами X, Y – любое подмножество их
произведения X X Y. n -местное отношение на множестве X– любое подмножество Xn.
Построение математики. Неформальная теория множеств
1021.04.23
Отношение f между X и Y называется функцией из X в Y если из совпадения первых компонентов f вытекает совпадение вторых. Обозначения f (x)=y , f: x ├→ y
Областью определения функции называется множество первых ее компонентов.
Если область определения совпадает с X, то функция отображает X в Y; f : X → Y. XY - множество всех функций, отображающих Y в X.
биекция между X и Y (из X в Y), изоморфизм X и Y, если: f : X → Y из совпадения вторых компонентов элементов f вытекает
совпадение первых, вторые элементы f образуют все множество Y .
Изоморфные множества - равномощные.
1121.04.23
Множество называется счетным, если оно равномощно натуральному ряду.
Конечные множества можно сравнивать по величине. Вложение – изоморфизм подмножеству.
Как быть с бесконечными? Задача. Доказать, что всякое подмножество натурального
ряда равномощно или его начальному отрезку, или всему натуральному ряду.
Часть может быть изоморфна целому, Одно из первых открытий теории множеств.
Галилео Галилей (15.02. 1564 — 08.01.1642)
Галилей
1221.04.23
Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению,
синьора
Галилео Галилея Линчео, философа и первогоматематика светлейшего великого герцога тосканского
1321.04.23
Сальвиати. …количество всех чисел вместе — квадратов и не квадратов — больше, нежели одних только квадратов; не так ли?
Симпличио. Ничего не могу возразить против этого. Сальвиати. квадратов столько же, сколько существует корней, так как каждый
квадрат имеет свой корень и каждый корень свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень более одного квадрата…
Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам.
Поэтому, когда синьор Симпличио предлагает мне неравные линии и спрашивает меня, как может быть, чтобы в большей из них не содержалось большего количества точек, чем в меньшей, то я отвечаю ему, что их там не больше, не меньше и не одинаковое количество, но бесконечное множество в каждой.
1421.04.23
Теорема Кантора – Бернштейна. Пусть существует биекция между множеством A и подмножеством множества B, а также биекция между множеством B и подмножеством множества A. Тогда множества A и B – равномощны.
Задача. Доказать Теорему Кантора – Бернштейна. Задача. Бывают ли разные бесконечности? (Галилей) Задача. Можно ли сравнить любые множества по
мощности, то есть верно ли, что для любых A и B, или A равномощно подмножеству B, или B равномощно подмножеству A?
1521.04.23
Логика.Логические константы B={0,1}Свойства – функции, принимающие только значения 0 и 1. Всякое свойство задает отношение – множество элементов, на которых ее значение = 1. Любая функция f : X → B называется характеристической (на X) B X Задача. Построить изоморфизм между множеством характеристических функций на X и множеством подмножеств множества X .
1621.04.23
Задача. Доказать, что множество подмножеств любого множества ему не изоморфно.
Идея решения [Диагональ Кантора]. Для счетного случая
Аргумент № функции
0 1 2 3 4 ……..
01 0 0 1 0
1 1 1 0 1 0
2 1 0 0 1 1
3 0 0 0 1 0
4 0 1 0 1 0 ……………………………………………………………………………Функция, которой нет в таблице – это 1- t(i,i), то есть не t(i,i), нули заменили на единицы, единицы – на нули.
Диагональ несчетности
1821.04.23
Программа Гильберта построения математики и математического исследования математической деятельности
Математика представляется как система аксиом – утверждений, которые мы принимаем за истинные и правил доказательства – получения новых утверждений.
Практика математической деятельности должна убеждать нас в том, что, выбранная система позволяет строить все нужные доказательства. В идеале всякое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть (полнота).
Некоторые математические доказательства являются «особенно надежными и убедительными» (например, арифметические вычисления). Используя только их, можно убедиться в том, что выбранная система не позволяет получить противоречий. (непротиворечивость)
1921.04.23
Полнота – желательна Гильберт: «Это убеждение в разрешимости каждой
математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не существует Ignorabimus!»
Непротиворечивость - обязательна Противоречие – нельзя «локализовать» в обычных системах
рассуждения Могло бы оказаться, что и полноту математики можно также
доказать с помощью простых, понятных и убедительных рассуждений.
Полнота и непротиворечивость
2021.04.23
Программа Гильберта1. Успешно реализована
Аксиоматическая теория множеств является основанием современной математики
Н. Бурбаки – середина XX в. (1930-е, в основном 1950 – 60-е гг.)
2. Провалилась Математика – не полна Непротиворечивость
невозможно установить Курт Гедель (28.04.1906 – 14.01.1978)
1930-е гг.
2121.04.23
Теория множеств. Элементы аксиоматического построения (неформальное введение)
Логические символы и их смысл (семантика) Логические константы: символы И (истина), Л (ложь),
или символы 0, 1. Множество из двух символов 0 и 1 будем обозначать B.
Логические операции: (не, отрицание), (и, конъюнкция), (или, дизъюнкция), → (следует, импликация), ≡ (эквивалентность), применяются к константам 0 (Л) и 1 (И)
Кванторы x (существует x ), y (для любого y)
2221.04.23
Таблица логических операций
Кванторы: многоместные (в том числе – «бесконечноместные») конъюнкция и дизъюнкция
A B A AB AB A→B A≡B
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1
2321.04.23
2421.04.23
Аксиомы теории множеств
Существование множествx y ( y∊x)
[Аксиома пустого множества.]uv sw (w ∊ s ≡ (w = u w = v))
[Аксиома пары]Пример: {Ø} – непустое множествоСуществование объединения множества
∪ {{1,2,4},{4,5},{8,7, {9}}} = {1,2,4,5,8,7,{9}}
2521.04.23
Один из способовПостроение каждого отдельного числа:
0 – это Ø
1 – это {0}
2 – это {0,1}= {0,{0}}
……Операция S (x) = x ∪ {x}Существование множества всех натуральных чисел – аксиомаЗадача. Написать аксиому существования натуральных чисел
Построение натуральных чисел
2621.04.23
Какие еще аксиомы нужны? Существование множества всех
подмножеств данного множества usv(w(w ∊ v →w ∊ u) ≡ v ∊ s) [Аксиома степени]
Что нужно для существования множества действительных чисел?
Что нужно для доказательства свойств («аксиом») действительных чисел?
2721.04.23