平面直角坐标系

江门市杜阮华侨中学 杨清孟

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚 4s，已知各观测点到中心的距离都是 1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度 340m/s ，各相关点均在同一平面上）

思考 : 声响定位问题一．平面直角坐标系的建立

y

xB

A

C

o信息中心

思考：怎样建立直角坐标系才有利我们解决这个问题

P

以接报中心为原点 O ，以 BA 方向为 x 轴，建立直角坐标系 . 设 A 、 B 、 C 分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B( － 1020,0) C(0,1020) 设 P （ x,y ）为巨响声点，由 B 、 C 同时听到巨响声，得 |PC|=|PB| ，故 P 在 BC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为 y= － x ，因 A 点比 B 点晚 4s 听到爆炸声，故 |PA| － |PB|=340×4=1360

A

CP

OB

由双曲线定义知 P 点在以 A 、 B 为焦点的

双曲线 上，1

2

2

2

2

b

y

a

x

)0(13405680

34056801020

1020,680

2

2

2

2

222222

xyx

acb

ca

故双曲线方程为

用 y= － x 代入上式，得 ，∵ |PA|>|PB|,

5680x

10680),5680,5680(

,5680,5680

POP

yx

故即

答：巨响发生在接报中心的西偏北450 距中心 处 .m10680

A

CP

OB

解决此类应用题的关键：

1 、建系

2 、设点（点与坐标的对应）

3 、列式（方程与坐标的对应）

4 、化简

5 、说明

思考：我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点 P 的位置，这种方法与用直角坐标系刻画点 P 的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？

2. 已知△ ABC 的三边 a,b,c 满足 b2+c2=5a2,BE,CF 分别为边 AC,A

B 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系。

(A)

C

BF

E

O

y

x

你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？

建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（ 1 ）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（ 2 ）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（ 3 ）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

练习 P8 练习 2

二 .平面直角坐标系中的伸缩变换

思考：（ 1 ）怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=sin2x?

O 2

y=sinxy=sin2x

思考：从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来的 1/2” 的实质是什么？

y

x

在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y) ，保持纵坐标不变，将横坐标 x 缩为原来的 ，就得到正弦曲线 y=sin2x.

1

2

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：

设 P(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标 x 缩为原来 ，得到点 P’(x’,y’). 坐标对应关系为：

1

2

x’= x

y’=y

1

21

通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

1

坐标对应关系为：

（ 2 ）怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx? 写出其坐标变换。

O 2

y=sinx

y=sin3xy

x

设点 P （ x,y ）经变换得到点为 P’(x’,y’) x’=x

y’=3y2

通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。

2

在正弦曲线上任取一点 P （ x,y ），保持横坐标 x 不变，将纵坐标伸长为原来的 3 倍，就得到曲线 y=3sinx 。

（ 3 ）怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。

O 2

y=sinx

y=3sin2x

y

x

在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y) ，保持纵坐标不变，将横坐标 x 缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的 3 倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x.

1

2

设点 P （ x,y ）经变换得到点为 P’(x’,y’)

x’= x

y’=3y

1

23

通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

3

定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，在变换

' ( 0):

' ( 0)

x x

y y

的作用下，点 P(x,y) 对应 P’(x’,y’).称

为平面直角坐标系中的伸缩变换。

4

注 （ 1 ）

（ 2 ）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；

（ 3 ）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

0, 0

例 2 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

后的图形。(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1

2

3

x x

y y

思考：在伸缩 下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？

4