第六章 定积分及其应用第六章 定积分及其应用第二节　定积分的性质第二节　定积分的性质

一、定积分的性质一、定积分的性质

.d)(d)( a

b

b

axxfxxf

每一个定积分如果都按照定义那样计算显然太麻烦 , 为了得到简便的计算方法 , 先学习定积分的性质 . 为了方便起见 , 作一些合理的规定 : 积分的上下限对换，则积分变号，

即

当 a = b 时，则有

.0)( a

axxf d

　　性质 1 两个函数的代数和的积分等于它们的积分的代数和，即

b

axxfxf d)()( 21

b

a

b

axxfxxf .d)(d)( 21

证 根据定积分的定义有

b

axxfxf d)()( 21

i

n

iii xff

121

0)()(lim

n

i

n

iiiii xfxf

1 12

01

0)(lim)(lim

b

a

b

axxfxxf .d)(d)( 21

　　推论 1 有限多个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即

b

a n xxfxfxf d)()()( 21

.d)(d)(d)( 21 b

a n

b

a

b

axxfxxfxxf

性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外 , 即若 k 为常数 ,

则.d)(d)(

b

a

b

axxfkxxkf

证 根据定积分的定义， 有

b

axxkf d)( i

n

ii xkf

10

)(limλ

i

n

ii xfk

10

)(limλ

.d)(b

axxfk

　　性质 3 　 ( 定积分对区间的可加性 ) 　如果积分区间 [a, b] 分成两个区间 [a, c] 和 [c, b] ，那么

b

axxf d)( .d)(d)(

b

c

c

axxfxxf

当点 c 不介于 a 与 b 之间，　　　　　　　　　　　　　 即 c < a < b 或 a < b

< c 时，结论仍正确 .

这个性质只用几何图形说明．

o

y

( )y f x

a b

ABC

c x

1A 2A

o

y( )y f x

a b

AB

C

c x

1A 2A

性质 4 如果在区间 [a, b] 上恒有 f (x)=1

则

即 : 一的定积分等于上限与下限之差

性质 5 如果在区间 [a, b] 上恒有 f (x) ≥0

.dd1 abxxb

a

b

a

b

adxxf 0)(

推论 如果在区间 [a, b] 上有 f (x) ≤ g (x) ，那么

b

axxf d)( .d)(

b

axxg≤

证　由定积分的定义，可知

b

a

b

axxgxxf d)(d)(

b

axxgxf d)()(

,)()(lim1

0i

n

iii xgf

　　由题设得知 f (i) ≤ g (i) ，即 f (i) - g (i) ≤ 0 ，且 xi > 0 (i = 1, 2, · · ·, n) ，

移项，得,0d)(d)(

b

a

b

axxgxxf ≤

.d)(d)( b

a

b

axxgxxf ≤

　所以上式右端的极限值非正，从而有

性质 6 　 ( 估值定理 ) 如果存在两个数 M ， m

使函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上有 m ≤ f (x) ≤ M ，那么

该性质的几何解释是：曲线 y = f (x) 在 [a, b] 上的曲边梯形面积 介于与区间 [a, b] 长度为底， 分别以 m 和 M 为高的两个矩形面积之间 .

m (b - a) ≤ M (b - a) ．b

axxf d)(≤

y = f (x)

y

xa b

m

M

O

B

A

　　性质 7 　 ( 积分中值定理 ) 如果函数 f (x) 在

区间 [a, b] 上连续，

b

axxf d)( = f () (b - a) ．

那么在区间 [a, b] 上至少存在

一点 ，使下面等式成立：

证　因为 b – a > 0 ，由估值定理得

由闭区间上连续函数的介值定理知道 在 [a, b]

上至少存在一个点 ，

b

axxf

abf ,d)(

1)(

于是得

当 b < a 时，

上式仍成立 .

使

b

abaabfxxf ).())((d)( ≤ ≤

b

aMxxf

ab.d)(

1≤m ≤

该性质的几何解释是：

恰好等于以区间 [a, b] 为底边，以曲线 y = f (x) 为曲边的曲边梯形面积．

y

xO

f ()

y = f (x)

a b

B

A

　在区间 [a, b] 上至少存在一点 使使使 f() 为高 b - a 为底的矩形面积 .

例 1 　比较下列各对积分值的大小：

;dd)1(1

0

1

0

33 xxxx 与

.d)1ln(d)2(1

0

1

0 xxxx 与

　　

解　 (1) 根据幂函数的性质，在 [0, 1] 上，有

由性质 4 ，得

33 xx ≥

;dd1

0

1

0

33 xxxx ≥

(2) 令 f (x) = x - ln(1 + x) ，

f (x)x

1

11 0

1

x

x

函数 f (x) 在区间 [0, 1] 上单调增加，所以，

f (x) ≥ f (0) = [x - ln(1 + x)]|x = 0 = 0 ，

从而有 x ≥ ln(1 + x) ，由性质 4 ，得

.d)1ln(d1

0

1

0 xxxx ≥

知

由在区间 [0, 1] 上

解

,2

1d)1(

1

0 xx从图可以出：

例 2 　用定积分的几何意义及性质说明.0d)1(

2

0 xx

,2

1d)1(

2

1 xx

因此 2

0d)1( xx .0d)1(d)1(

2

1

1

0 xxxx

xo

y

1

1

1

2

1y x