§6.3 定积分在物理学上的应用§6.3 定积分在物理学上的应用

一 变力沿直线所作的功一 变力沿直线所作的功

四 小结 思考题四 小结 思考题

二 水压力二 水压力三 引力三 引力

高等数学高等数学六六③③高等数学高等数学六六③③

★★2/122/12

由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为 sFW . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直

“接使用此公式，而采用 微元法” 思想.

一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功

例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么

电场对它的作用力的大小为 2rq

kF （k是常数），当该单位正

电荷在电场中从 ar 处沿 r 轴移动到 br 处时，计算电场力 F 对它所作的功．

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★★3/123/12

解解取r为积分变量，ro

q a

b

1

r],,[ bar

drr

取任一小区间 ],[ drrr ,功元素 ,2 drrkq

dw

所求功为 drrkq

wb

a 2

b

arkq

1.

11

bakq

如果要考虑将单位电荷移到无穷远处

drrkq

wa

2

arkq

1.

akq

一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功

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★★4/124/12

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例 2 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为 3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？

解解 建立坐标系如图

x

ox

dxx

取x为积分变量， ]5,0[x

5

取任一小区间 ],[ dxxx ,

一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功

这一薄层水的重力为 .38.9 2 kNdx功元素为 ,2.88 dxxdw

dxxw 2.885

0

5

0

2

22.88

x

3462 ( 千焦 ) ．

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★★5/125/12

解解 设木板对铁钉的阻力为 ,)( kxxf 第一次锤击时所作的功为

1

01 )( dxxfw ,2k

h

h dxxfw0

)(

例 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入 1 厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？

设 n 次击入的总深度为 h 厘米次锤击所作的总功为n

一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功

hkxdx

0,

2

2kh

依题意知，每次锤击所作的功相等． 1nwwh 2

2kh,

2k

n

,nh

.1 nn

次击入的总深度为n

第 次击入的深度为n

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★★6/126/12

由物理学知道，在水深为h处的压强为 hp ，这里是水的比重．如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为 ApP ．

如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此

“公式，而采用 微元法” 思想．

二、水压力二、水压力

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★★7/127/12

例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．

解 在端面建立坐标系如图

x

o

取x为积分变量， ],0[ Rx

取任一小区间 ],[ dxxx

x

dxx 小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为 .2 22 dxxR

,xp

二、水压力二、水压力

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★★8/128/12

小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222

端面上所受的压力

dxxRxPR 22

02

)( 22

0

22 xRdxRR

R

xR0

322

32

.

32 3R

二、水压力二、水压力

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★★9/129/12

例 5 将直角边各为a及 a2 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．

解 建立坐标系如图

x

oa2

a2a面积微元 ,)(2 dxxa

dxxaaxdP 1)(2)2(

dxxaaxPa

))(2(20

.37 3a

二、水压力二、水压力

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★★10/1210/12

由物理学知道，质量分别为 21 ,mm 相距为r的两

个质点间的引力的大小为 221

rmm

kF ，其中k为引

力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．

如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算．

三、引力三、引力

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★★11/1211/12

例 6 有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，计算该棒对

质点M的引力． 2l

2l

x

y

oMa

解解 建立坐标系如图，取y为积分变量取任一小区间 ],[ dyyy

,2

,2

lly

，将它近似看成质点，其质量为 ,dy

ry

dyy

三、引力三、引力

小段与质点的距离为 ,22 yar

引力 ,22 yadym

kF

水平方向的分力元素：

,)( 2

322 ya

dyamkdFx

23

2

2 )( 22 ya

dyamkF

l

lx

,)4(

22122 laa

lkm

由对称性知，引力在铅直方向分力为 .0yF

故水平分力为：

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★★12/1212/12

　　利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．

（注意熟悉相关的物理知识）

四、小结四、小结

作业：Ｐ 287-288 2;4;6 ;10 ;12 ．作业：Ｐ 287-288 2;4;6 ;10 ;12 ．

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★★13/1213/12

思考题

一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？

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★★14/1214/12

思考题解答

该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．

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★★15/1215/12

一、 直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强

为 310厘米牛 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽

体积缩小一半，问需要作多少功？

二、 一物体按规律 3tcx 作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 0x 移至 ax时，克服媒质阻力所作的功 .

三、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 610米和米，高为20米，较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力 .

练 习 题

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★★16/1216/12

四、 半 径 为 的球沉r 入 水 中 ， 球 的 上 部 与 水 面 相 切 ，球 的 比 重 与 水 相 同 ， 现 将 球 从 水 中 取 出 ， 需 要 作多少功？

五、 一块 a高为 ， b底为 的等 腰三角 形薄板 ，垂直 地沉 没 在 水 中 ， 顶 在 下 ， 底 与 水 面 相 齐 ， 试 计 算 薄板每面所受的压力 .

六、 设有 一 半 R径为 ， 中心 角为 的圆 弧 形细 棒 ， 其线密度为 常数 ，在圆心处有一质 的量为 m 质点M ，试求这细棒对质 M点 的引力 .

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★★17/1217/12

七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流 与速v 流处到管子中心的距 之间离r 有关系式 )( 22 rakv ,其中为比例k 常数，为油管a 半径.求通过油管的流量（注：当流速为常量时，流量 = 流速截面积） .

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★★18/1218/12

一、 2ln800 (焦耳).

二、 3

7

3

2

7

25akc (其 为中k 比例常数) .

三、14373(千牛) . 四、 gr434 . 五、 ba2

6

1.

六、引力的大小为2

sin2 R

km,方向 指为M 向圆弧

的中心 .

七、 4

2ak

.

练习题答案