第二部分 集合论（集合代数、二元关系、函数） 第六章 集合代数 一、集合的基本概念 (不可精确定义的概念 ) 1 、集合定义：具有某种特殊性质的个体的聚合 如： 方程 x2－ 1＝ 0的实数解集合； 26 个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 全体中国公民的集合； 论文中全部概念的集合； 宇宙中的全部星球； 1 ）集合一般用大写字母来标记： A,B,C……等 2 ）集合的成员或元素。集合的成员一般用小写字母标记： a,b,c…..x,y…. 3 ）集合的成员可以是另一个集合 4 ）元素和集合的关系是隶属关系 元素 b属于集合 S b∈S 元素 b不属于集合 S ┐（ b∈S） 2 、集合的表示形式 列举法：列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来 注： 1 ）集合的元素是无序的（无序性） 2) 重复的元素应该认为是一个元素（互异性） 3 ）集合中的元素可以是一个集合，但不能是该集合本身。

描述法（谓词表示法）：是用谓词来概括集合中元素的属性 3 、集合的元素个数 对于有限集合用 |A| 来表示该集合中的元素个数。 4 、常用的集合： 自然数集合 N(在离散数学中认为 0也是自然数 )， 整数集合 Z ，有理数集合 Q，实数集合 R，复数集合 C 素数集合 P 二、集合之间的关系 1 、包含关系 定义 1 设 A， B为集合，如果 B中的每个元素都是 A中的元素，则称 B

是 A的子集合，简称子集．这时也称 B被 A包含，或 A包含 B，记作 B⊆A

B⊆A ⇔ ∀x ( x ∈ B → x ∈ A ) 性质：（ 1）自反性 显然对任何集合 A都有 A⊆A． （ 2）传递性 若 A⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时

成立这两种关系． 如： A＝｛ a,{b,c ｝ ,d,{d} } 中的元素 例：判断下列问题是否正确：若 A ∈B 且 B⊆C 则 A∈C 正确若 A ∈B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C 例

若 A ⊆B 且 B∈ C 则 A ∈ C 例若 A ⊆B 且 B∈ C 则 A ⊆ C 例

2 、相等关系 定义 2 设 A， B为集合，如果 A ⊆ B 且 B⊆ A ，则称 A与 B相等， 记作 A ＝ B． 相等的符号化表示为： A ＝ B <=> A⊆B ∧ B⊆A 注：判断两个集合的相等应从相互包含来证明 3 、真包含关系 定义 3 设 A， B为集合，如果 B⊆ A 且 B ≠ A ，则称 B是 A的真子集， 记作 B⊂A 真子集的符号化表示为 B ⊂ A ⇔ B⊆A ∧ B ≠ A ⇔ ∀x ( x ∈ B → x ∈ A ) ∧∃x ( x ∈ A ∧ ┐x ∈B ) 4 、空集 （非常重要的集合） 定义 4：不含任何元素的集合称为空集，记为 Ø 可用 Ø＝｛ x | x≠x ｝ 表示 也可表示为｛ x | x∈R∧x 2 +1=0 ｝ 性质： |Ø | ＝ 0 空集是任何集合的子集 空集是唯一的 （反证法） 问题： Ø与 ｛Ø｝是什么关系？ ｛Ø ，｛Ø ｝｝的元素是多少？ 5 、全集 E 任何集合看成是全集 E的子集，∀ A ⊆ E 6 、集合的文氏图表示

例 :判断真假 1) a ∈{ {a}} 2){a}∈{ {a}}

例 :设 S＝｛ 2， a,{3},4 ｝ R={ {a},3,4,1 } 判断真假 1) {a,4,{3}}⊆ S 2) {a} ⊆ S 3) {a} ∈ R 4) {a} ⊆ R 5) Ø ∈ R 6){Ø} ∈ R 7 ） Ø ⊆ {a} 8) Ø ⊆ ｛ {a} ｝⊆ R ⊆E

三、集合的幂集 1 、 n 个元素集合 A的 m元子集 集合 A的所有子集个数 2 ．幂集 定义 5 设 A为集合，把 A的全体子集构成的集合叫做 A 的幂集， 记作 P(A)( 或 2A) 幂集的符号化表示为： P(A) ＝ { x | x ⊆ A }

注：幂集是以子集合为元素的集合 任何集合 A一定有二个平凡子集 ：Ø 和 A 例：设 S ＝｛ a,{a}, Ø ｝ 求 P(S) 3 、对于隶属关系和包含关系要明确 例：证明 A ⊆ B 的充要条件是 P（ A）⊆ P （ B）

例：设： A＝ ｛Ø ｝ B ＝ P （ P（ A）） 判断真假 : Ø ∈ B 、 Ø ⊆ B { Ø } ∈ B 、 ｛ Ø｝⊆ B { ｛ Ø ｝ } ∈ B 、 ｛ ｛ Ø｝ ｝⊆ B { ｛ Ø ｝，Ø } ⊆ B 、 ｛ ｛ { ｛ Ø ｝ } ，｛Ø｝ } }

⊆ B

§6.2 集合的运算（共定义 5种集合的运算及其运算律）1、交运算 1 ） 定义 1 任何两个集合 A和 B的 A∩B ，是由集合 A和 B所共有的全部元素

构成的集合，并可规定成 A ∩ B = {x| （ x ∈A）∧（ x ∈B） } 2 ）性质 （ a） A ∩ B = B ∩ A （ b）（ A∩B ）∩ C = A∩（ B ∩ C ） （ c） A ∩ A = A （ d） A ∩ Ø = Ø (e ) A ∩ B = Ø 表示 A与 B无公共元素 3) 交运算的文氏图表示2、并运算 1 ）定义 2 设 A和 B是两个任何集合。 A和 B的并集 A∪B ，是由那些或属于

A或属于 B或同时属于二者的所有元素构成的集合，并可规定成 A ∪ B = { x | （ x∈A）∨（ x∈B） } 2 ）性质 （ a） A ∪ B = B ∪A （ b）（ A ∪B ）∪ C = A ∪（ B ∪C ） （ c） A ∪A = A, A ∪ Ø = A , A ∪ E = E （ d） A ∪（ B ∩C ） =（ A ∪B ）∩（ A ∪C ） （ e） A ∩（ B ∪C ） =（ A ∩B ）∪（ A ∩C ） 3) 并运算的文氏图表示

3 、相对补集 1 ）定义 3 设 A和 B是任何两个集合。 B对 A的 A － B ，是由属于集合 A的但不属 于集合 B的所有元素构成的集合，并可规定成

A － B = { x | （ x∈A）∧（ x ∉ B ） } = { x| （ x∈A）∧ ┐（ x∈B） } 2 ）相对补集的文氏图表示 3 ）性质 （ a） A － ø = A （ b） A ∩（ B-A ） = ø （ c） A∪（ B－ A） = A∪B （ d） A－（ B∪C ） =（ A－ B）∩（ A－ C） （ e） A－（ B∩C ） =（ A－ B）∪（ A－ C） （ f） A － （ A∩B ） = A － B (g) A ⊆ B 的等价形式： A ∩B ＝ A 、 A∪B ＝ B、 A － B ＝ Ø

4 、补集 1 ）定义 4 给定全集 E。对于任何集合 A来说， A对 E的相对补集，称为 A的绝对补

集或简称为 A的补集，并记作～ A 。对于 E和 A所进行的差分运算通常称为求补。 ～ A ＝ {x | x ∉ A ） } = E -A = {x| （ x ∈E）∧ ┓（ x ∈ A ） } = {x | ┓（ x ∈ A ） } 2 ）补集的文氏图： 3 ）性质 （ a） A∪～ A=E （ b） A∩～ A = ø （ c）～（ A∪B ） =～ A∩～ B （ d）～（ A∩B ） = ～ A ∪ ～ B5 、对称差 1 ） 定义 5 设 A和 B是任何两个集合。 A和 B的是集合 A⊕B ，并可规定成 x∈A ⊕ B x∈{x| （ x∈A）∨（ x∈B） } 排斥或（异或） 或 A ⊕ B= （ A- B ）∪（ B - A ） 2 ）对称差的文氏图表示3）性质： （ a） A⊕B=B⊕A （ b）（ A⊕B ）⊕ C=A⊕（ B⊕C ） （ c） A⊕B= （ A∩～ B ）∪（ B∩～ A ） （ d） A⊕A= ø （ e） A⊕ ø = A

例：判断真假1、 x ∈{x}-{{x}}2 、 A-B=A ⇔ B= ø3 、 A-B=ø ⇔ B=A4 、 A⊕A=A5 、如果 A∩B ＝ B，则 A＝ E

6 、 A={ ｛ x｝ }∪{x}, 则 {x}∈A 且 {x}⊆A 设： S1＝｛ 1， 2， 3，… ,8,9｝ S2={2,4,6,8}

S3={1,3,5,7,9} S4={3,4,5} S5={3,5}

确定集合 A与哪个集合相等？

1、 若 A ∩ S5 ＝ ø

2 、 若 A ⊆ S4 ，但 A ∩ S2 ＝ ø

3 、若 A ⊆ S1 ，且 A 不是 S3 的子集

4 、若 A － S3 ＝ ø

5 、若 A ⊆ S3 ，且 A 不是 S1 的子集

A ＝ S2

A ＝ S5

A ＝ S4

A ＝ S5

不存在

二、有穷集合的计数问题 1、 例：求 1 － 1000内既不能被 5和 6及 8整除的数 设 S ＝｛ 1， 2….1000 ｝ A={x 可被 5整除 } ， B={x 可被 6整除 } ， C ={x 可被 8

整除 }2 、定理 设 S为有穷集合， P1， P2,P3,P4 是 4个性质，令 Ai表示 S中具有性质 Ai的

子集合，则 S中不具有性质 P1,P2,P3,P4 的元素为：｜ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4｜＝ | S | －｛ | A1 |＋ | A2 |＋ |A3 |＋ |A4

| ｝ ＋｛ |A1∩A2|＋ |A1∩A3|＋ |A1∩A4 |＋ |A2∩A3|＋ |A2∩A4|＋ |A3∩A4

| ｝ －（ | A1∩A2∩A3 |+| A1∩A2∩A4 |+| A3∩A2∩A4 |+| A1∩A3∩A4 | ） + | A1∩A2∩A3∩A4 |该公式可对有限个性质适用

§6.3 集合恒等式 集合运算的恒等式与命题公式的等值式有非常类同地方 即将： ∩看成 ∧ 、∪看成 ∨ 、 看成 ┓ ∼ 空集Ø看成 F 、全集 E看成 T 那么命题公式的等值式可表示为集合运算的恒等式一、下面给出对照的公式： 1 ）等幂律 A∪A= A [P∨P <=> P] A∩A= A [P∧P <=> P]2 ）结合律（ A∪B ）∪ C=A∪（ B∪C ） [（ P∨Q ）∨ R <=> P∨（ Q∨R ） ]（ A∩B ）∩ C=A∩（ B∩C ） [（ P∧Q）∧ R <=> P∧（ Q∧R） ]3 ）交换律 A∪B=B∪A [P∨Q <=> Q∨P] A∩B=B∩A [P∧Q <=> Q∧P]4 ）分配律 A∪（ B∩C ） =（ A∪B ）∩（ A∪C ） A∩（ B∪C ） =（ A∩B ）∪（ A∩C ） [P∨（ Q∧R） <=> （ P∨Q ）∧（ P∧R） ] [P∧（ Q∨R ） <=> （ P∧Q）∨（ P∨R ） ]

5 ）同一律 A∪=A [ P∨F <=> P ] A∩E=A [ P∧T <=> P ]6 ）零律 A∪E=E [ P∨T <=> T ] A∩ ø= ø [ P∧F <=> F ]7 ）补余律 A∪～ A=E [ P∨┐P <=> T ] A∩～ A= [ P∧┐P <=> F ]8）吸收律 A∪（ A∩B ） =A [ P∨（ P∧Q） <=> P ] A∩（ A∪B ） =A [ P∧（ P∨Q ） <=> P ]9）德·摩根定律 ～（ A∪B ） = ～ A∩～ B [ ┐（ P∨Q ） <=> ┐P∧┐Q ] ～（ A∩B ） = ～ A∪～ B [ ┐（ P∧Q） <=> ┐P∨┐Q ]10 ）双重否定律 ～（～ A ） =A [ ┐┐P <=> P ]11 ） ～ø = E [ ┐F <=> T ] ～ E = ø [ ┐T <=> F ]12 ） A∩B ⊆ A A∩B ⊆ B A ⊆ A∪B A-B ⊆ A13 ） A － B ＝ A ∩～ B A － B ⊆ A

二、证明方法介绍 集合部分的证明内容一般为：集合的包含关系

和集合的相等关系 A⊆B 和 A ＝ B 1 、常规方法 证明 A⊆B 任取 x ∈ A 利用所给的性质 ⇒ x∈B 或采用谓词演算方法 ∀ x(x∈A→x∈B ) 成

立 例：已知 A⊆B ，证明 ~B ⊆ ~A 证：∀ x x∈~B ⇔ ┐x∈B 因为∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) ┐x∈B → ┐x∈A ⇒ ┐x∈A ⇔ x∈~ A

2. 利用 A⊆B 的等价形式 A∪B ＝ B 、 A∩B ＝ A 、 A － B ＝ Ø

例： 证明： A ⊆ C 且 B ⊆ C 的充要条件是 A∪ B ⊆ C

证：必要性 利用 1 将（ A∪ B ）∪ C

＝ （ A∪ C )∪( B ∪ C ）＝ C ∪ C ＝ C

充分性：看 A∪ C 与 B ∪ C 是否是 C 的子集（ A∪ C ＝ ⊆ c ？）

A∪ C ⊆ （ A∪ C )∪ B ⊆ （ A∪ B )∪ C ⊆C∪ C ＝ C

B∪ C ⊆ （ B ∪ C )∪ A ⊆ （ A∪ B )∪ C ⊆C∪ C ＝ C

证明 :A－ B ＝ A

的充要条件是 A∩B ＝ Ø

充分性：用反证法 不空

必要性：相互包含

3.利用集合的运算和恒等式例：证明：已知 A ∪B ＝ A ∪ C 且 A∩B ＝ A∩C 则 B＝ C

利用恒等变形 B ＝ B∩(B ∪ A) 利用吸收律 ＝ B∩(A ∪B) ＝ B∩(A ∪ C) ＝ (B∩A)∪(B∩C) ＝ (A∩C)∪(B∩C) ＝ (A ∪ B)∩C ＝ (A ∪ C)∩C ＝ C

证明 (A － B) － C ＝（ A － C) － (B － C) 利用谓词演算∀x ∈ （ A － B ）－ C ⇔ x ∈ （ A － B ）∧ ┓ x ∈C⇔ （ x ∈A ∧ ┓x ∈B ）∧ ┓ x ∈C⇔ （ x ∈A ∧ ┓x ∈B∧ ┓x ∈C ）∨ F⇔ （ x ∈A ∧ ┓x ∈C ∧ ┓x ∈B ） ∨ （ x ∈A ∧ ┓x ∈C ∧ x ∈C ） ⇔ （ x ∈A ∧┓x ∈C)∧ (┓x ∈B ∨x∈C ⇔(x ∈A∧┓x∈C)∧┓(x ∈B∧┓x∈C ） ⇔ x ∈ （ A － C ）∧ ┓ x ∈ （ B － C ）⇔x ∈ （ A － C ）－（ B － C ） 所以等式成立

例：证明：已知 A∩C ⊆B ∩C A － C ⊆ B － C 则 A ⊆ B (A∩C) ∪( A － C) ⊆ (B ∩C) ∪ (B － C) A∩(C ∪ ~ C) ⊆ B ∩(C ∪ ~ C) A ∩E ⊆ B ∩E A ⊆ B

作业： P103 1 、 2（ 1，3， 5）、 4、（ 1， 3，5）、 5、 6 、 8（ 1， 3，5）、 9（ 2， 4， 5）、 13 （ 2， 4）、 19（ 1，3， 5）、 22、 23 （ 2，3）、 25（ 1， 3， 8）、28、 30、 40 （ 2）

第七章 二元关系 (特殊的集合）7.1 有序对与集合的笛卡尔积一、有序对 （序偶）1、定义：由两个元素 x和 y(允许 x ＝ y)按一定顺序排列成的

二元组叫做一个有序对或序偶，记作 <x ， y> ，其中 x是它的第一元素， y是它的第二元素。

注：序偶不是由两个元素组成的集合 二者间的差别在于：对于序偶来说，应该明确地规定元素

的排列次序：对于两个元素的集合来说，则不要求给元素规定任何排列次序。关键是有序关系

2、序偶的性质： 1 ）当 x ≠ y 时， <x ， y> ≠ <y ， x> 2 ） <x ， y> ＝ <u,v> 的充分必要条件是 x=u且 y ＝ v． 二个元素的集合不具有该性质 ｛ x,y ｝该集合的 x与 y

是无序的

二、笛卡儿积 1 ．定义： 设 A， B为集合，用 A中元素为第一元素， B中元素

为第二元素构成有序对．所有这样的有序对组成的集合叫做 A和 B的笛卡儿积，记作 AⅹB ．

笛卡儿积的符号化表示为 AⅹB ＝ { <x ， y> | x ∈A ∧ y∈B } 注：笛卡儿积是以序偶为元素的集合 （所有 第一成员取自于集合 A，第二成员取自于 B）2．有限集合的笛卡儿积的元素： 如果 |A| ＝ m ,|B| ＝ n，则 | A ⅹ B| ＝ m n3.笛卡儿积的性质 1 ） 对任意集合 A，根据定义有 A ⅹ ø ＝ ø ， ø ⅹ A ＝ ø 2 ）一般地说，笛卡儿积运算不满足交换律（有序的要求）

3)笛卡儿积运算不满足结合律，即 (A ⅹB)ⅹ C) ≠ A ⅹ(Bⅹ C) (当 ABC均不为空时 ) 4 ）笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A ⅹ(B∪ C) ＝ (A ⅹB)∪(A ⅹ C) (B∪ C)ⅹA ＝ (BⅹA)∪(C ⅹA) A ⅹ(B∩C) ＝ (A ⅹ B)∩(A ⅹ C) (B ∩ C)ⅹ A ＝ (Bⅹ A)∩(C ⅹ A) 5 ） A⊆C ∧ B ⊆ D ⇒ A ⅹB ⊆ C ⅹ D． 该命题的逆命题不成立 （如有空集时） 例：设 A＝ {1 ， 2} ，求 P(A)ⅹA ． 例：设 A， B， C， D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由．

(1) A ⅹ B ＝ A ⅹ C ⇒ B ＝ C 注： A 为空集时，推理不成立 (2) A 一 (Bⅹ C) ＝ (A 一 B)ⅹ(A—C) 集合 A的子集 序对的集合 (3) A ＝ B ∧ C ＝ D ⇒ A ⅹ C ＝ Bⅹ D (4) 存在集合 A，使得 A ⊆ A ⅹA 真（空集）

7.2 二元关系一、二元关系定义 1 、具有共同性质的序对的集合 朋友、同学、父子、上下级，数的整除、大于等于、平行、垂直等－－－ 抽象出来（内容去掉）－－－序对的集合－－有什么共同的性质、特征等 2 、定义 : 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空，且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系，记作 R． 二元关系也可简称为关系． 元素： 对于二元关系 R： 如果 <x， y> ∈R，可记作 xRy ；3、集合 A到 B 的二元关系 定义：设 A， B为集合， AxB 的任何子集所定义的二元关系叫做从 A到 B 的二元关系， 特别当 A ＝ B时则叫做 A 上的二元关系．

R={<x,y>| x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ P(x,y) } {<x,y>| <x,y>∈ AⅹB ∧ P(x,y) } 例

4 、关系的个数 设 ІAІ ＝ n ,ІBІ = m 那么从 A到 B 可定义多少关系？ 特殊的关系： 空关系 ø 、全域关系 E＝ A Χ B5 、常见的关系 A 上的恒等关系 IA＝｛ <x,x> |x ∈ A ｝ LA＝｛ <x， y> | x ， y∈A ∧x≤y } ， 这里 A⊆R，表示 A上的小于关系． DB＝｛ <x， y> |x ， y∈A ∧x整除 y } ， 这里 B⊆Z+, 表示 A上的整除关系 RE＝｛ <x， y>| x ， y∈E ∧ x ⊆ y} ， 这里 E 是集合族，表示集合的包含关系． 6．二元关系的定义域和值域 1 ） R中所有有序对的第一元素构成的集合称为 R的值域 ，记作 domR 符号化为 domR ＝ ｛ x |∃ y(<x ， y>∈R) } 2 ） R中所有有序对的第二元素构成的集合称为 R的值域，记作 ranR ． 形式化表示为： ranR ＝ { y | ∃ x(<x ， y>∈R) } 注：必须是 R中的序偶的第一成员和第二成员构成 例： P、 Q为 A到 B 的关系，证 ran(P ∩ Q) ⊆ ran(P) ∩ ran

(Q)

例： A = {1 ， 2， 3， 4 } R1 = {<x,y>| x 是 y的倍数 } R2 = {<x,y>| (x-y)2 属于 A } R3 = {<x,y>| x/y 是素数 } R4 = {<x,y>| x≠ y } R5 ＝ {<x,y>| 3／（ x-y) ∈ 整数 }R1={<4,4> ， <3,3> ， <2,2> ， <1,1> ， <2,1> ， <3,1> ， <4,1> ， <4,

2>}R2 = { <4,2>,<2,4>,<3,1>,<2,1>,<2,1>,<1,3>,<3,4> ， <4,3>}R3 = { <4,2> ， <3,1> ， <2,1> }R4 = E – IAR5 ＝｛ <4,1> ， <1,4> ｝ ∪ IA