• 集合的概念和性质 , 以及集合之间的运算• 集合 { 所有课程全体 } 和集合 { 所有教室 } 这两个集

合之间就存在着某种联系。• 例： A={a,b,c} 为学生集合， B={x,y,z,w} 为课程集

合，则笛卡儿积 A×B 就是学生与课程所组成的有序对全体。

• A×B={(a,x),(a,y),(a,z),(a,w),(b,x),(b,y),(b,z), (b,w),(c,x),(c,y),(c,z),(c,w)}

• 若 (a,x) 表示学生 a 选修课程 x ，则当 a,b,c 三个学生选定课程，其情况是：

• (a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w) ，而 c 什么课也没选，• R={(a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)}• 反映了学生与课程的联系。• RA×B,即 R是 A×B 的子集。• 集合 A 到集合 B 的关系。

第二章 关系2.1 二元关系

定义 2.1:设 A 和 B 是任意两个集合,A× B 的子集 R 称为从 A 到 B 的二元关系。当 A=B时,称 R为 A上的二元关系。若(a,b)R,则称 a 与 b 有关系 R ,记为aRb。若(a,b)R,则称 a 与 b 没有关系R,记为 aR/b。若 R=,则称 R为空关系。若 R=A× B,则称 R为全关系。

R={(a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)}(a,y)R,aRy.(a,x)R, aR/x

• 定 义 2.2: 设 R 是 从 A 到 B 的 二 元 关系 ,A 的 一 个 子 集 {a| 存 在 b, 使 得(a,b)R} 称 为 R 的 定 义 域 , 记 为 Dom R 。 B 的 一 个 子 集 {b| 存 在 a, 使 得(a,b)R} 称 为 R 的 值 域 , 记 为 Ran R。 A 称为 R 的前域 ,B 称为 R 的陪域 ,并且 Dom RA,Ran RB 。

• 例 :A={1,3,5,7},B={0,2,4,6}, 定 义 关 系 R:(a,b)R 当且仅当 a<b

• 关系还可以用表格表示• R={(1,2),(1,4),(1,6),(3,4), (3,6),(5,6)}

• A={1,2,3,4}, 定义 A 上二元关系 :(a,b)R 当且仅当 (a-b)/3 为整数。称为模 3 同余关系。

• R={(a,b)|(a-b)/3 为 整 数 ， a,bA}={(1,1), (2,2),(3,3), (4,4),(1,4),(4,1)}

• Dom R=Ran R=A。• 进一步可定义整数集上的模 r 同余关系：• {(a,b)|(a-b)/r 为整数 ,a、 bZ,rZ+}

• 定义 2.3 ：设 A1,A2,…An是 n 个任意集合 ,定义 A1×A2×…×An 的子集 R 为 A1,A2,…An

的 n 元关系 ,当 A1=A2=…=An 时 ,R 称为 A上的 n 元关系。

2.2 关系的性质

• 定义 2.4 ：设 R 是集合 A 上的二元关系。• (1) 自反：如果对任意 aA,有 aRa, 则称

R 是自反的。• 自反的定义要求是对所有的 A 中元素，

因此讨论自反关系，应在一给定集合下• A={1,2,3,4}• R1={(1,1),(2,2),(3,3)} ?• R2={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)} ?• 对于自反 , 必须是对于每个 xA, 都去检

验是否有 xRx。

• (2) 反自反：如果对任意 aA, 有 (a,a)R , 则称 R 是反自反的。

• 反自反要求对任意的 A 中元素 a ，有(a,a)R。

• 不是自反的，不一定反自反• 不是反自反的，也不一定是自反的。• R3={(1,2),(3,2)} 是 A 上的反自反关系• 思考：非空集合 A 上的空关系是否自反？

反自反？• (3) 对称：对任意 a,bA , 如果 aRb 必有

bRa , 则称 R 是对称的。• A={1,2,3,4}• S1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} 对称• S2={(1,2),(2,1),(1,3)}• 因为 (1,3)S2, 而 (3,1)S2,• 所以 S2 不是对称的• S3={(1,2),(2,1),(3,3)} 对称

• (4) 对任意 a,bA, 如果 aRb且 bRa, 必有 a=b,则称 R 是反对称的。

• 该 定 义 实 际 上 表 明 ： 当 ab 时 ， 若 有(a,b)R, 则 (b,a)R。

• 不是对称，不一定是反对称的• 不是反对称的，也不一定是对称的。• 可以既是对称的，又是反对称的

• (5) 对任意 a,b,cA, 如果 aRb且 bRc, 必有aRc , 则称 R 是传递的。

• 注意：传递要求是：只要有 aRb,bRc, 则必须有 aRc

• 但若没有 aRb,bRc ，当然也就不需要讨论是否有 aRc 。

• 例： A 上的非空关系 R 是对称的和反自反的，则 R 不是传递的。

• 证明 : 反证法 . 假设 R 传递 .• 注意，当导出 (a,a)R 时，千万不能说 R 自反。• 因 为 自 反 的 要 求 是 ： 如 果 对 任 意 aA, 有

aRa。

• A到 B 的关系是 A×B 的子集。• 关系的表示，可以用集合的表示方法• 对于有限集 , 关系还可以用矩阵或图形来表示• 定义 2.5 ：设 A和 B 是两个有限集 A={a1,a2,…,

am},B={b1,b2,…,bn}， R 是从 A到 B 的二元关系 ,称m×n 阶矩阵 MR=(mi,j)为 R 的关系矩阵 , 其中

Rba

Rbam

ji

jiij ),(0

),(1

当 A=B 时 ,A 上的二元关系 R 可以用方阵来表示。

• 例 :A={1,2,3,4} 上模 3 同余关系 R={(1,1),(2,2),(3,3), (4,4),(1,4),(4,1)}, 其关系矩阵为

1001

0100

0010

1001

4

3

2

1

4321

RM

• 例： A={2,3,4},B={1,3,5,7},A 到 B 的 < 关系 R={(2,3),(2,5), (2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7)}, 其关系矩阵为

• MR 怎样表示？• 规定 MR 上方 B ，左方为 A, 此时 R与MR

唯一对应。

1100

1100

1110

4

3

2

7531

RM

• 设 R是 A 上的二元关系 ,

• 若 R 是自反的 ,则MR 中的对角线元素均为 1

• 若 R 是反自反的 ,则MR 中的对角线元素均为 0 。

• 若 R 是对称的 ,则MR 是对称矩阵。• 若 R 是反对称的 , 则在 MR 中对于 i<j, 由mij=1 可推出 mji=0。

• 集合 A 到集合 B 的二元关系个数• 集合 A 到集合 B 的二元关系是集合 A×B

的子集，因此应考察 A×B 有多少个不同的子集，也就是考察 A×B 的幂集的元素个数。

• 因为 |A×B|=|B||A|, 故 |P(A×B)|=2|A||B| ，因此集合 A 到集合 B 的二元关系个数是 2|

A||B|

• A 上的二元关系个数有多少个？• 设 |A|=n ，则 A 上的二元关系个数有 2n2

• A 上有多少个自反关系？• A={a1,a2,, an}

• A×A=?

• 用矩阵形式表示：

• 自反关系一定包含 {(a1,a1), (a2,a2) ,, (an,an)},

• 余下的共有 n2-n 个元素，可组成 2n2 -n 个不同的关系。

• 故不同的自反关系有 2n2 -n 个。

• 有限集 A 上的二元关系除用方阵表示外 , 还可用关系图来表示。这种图称为有向图。

• 设 A={ a1,a2,…,an},R 是 A 上 的 二 元 关系。 A 中每个元素 ai 用一个点表示 , 称该点为顶点 ai 。如果 aiRaj, 则画一条从顶点 ai

到顶点 aj 的带箭头的线 , 称该线为弧。如果 aiRai, 则画一条从顶点 ai 到顶点 ai 的带箭头的封闭弧 , 称该弧为自环。对于关系 R中每个有序对都可对应地画一条带箭头的弧 , 从而得到关系 R 的图形 , 称为 R 关系图。

• 例 :设 A={1, 2, 3, 4, 5},A 上的模 3 同余关系R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,4),(4,1),(2,5), (5,2)}, 画出它的关系图

• A到 B 的关系是 A×B 的子集 , 即关系也是一个集合 , 因此有关集合的并、交、差、补运算以及相应的性质同样适用于关系。

• 其中补运算

逆运算和复合运算

RBAR

2.3 关系的运算• 一、逆运算• R={(a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)} 反 映 了 学 生 选 课

情况• 要求了解课程被选修情况。• {(x,b),(y,a),(y,b),(w,a),(w,b)}

• 定义 2.7 ：设 R 是从 A到 B 的二元关系 ,则从 B到 A 的二元关系记为 R-1, 定义为：R-1 ={(b,a)|(a,b)R} 称为 R 的逆关系。

• 例如实数集上“ <” 关系的逆关系是“ >” 关系。• R={(1,2),(2,3),(1,3)}• 则 R-1={(2,1),(3,2),(3,1)}

• 定理 2.1 ：设 R,R1,R2 是从 A 到 B 的二元关系 , 则

• (1)(R-1)-1=R;• (2)(R1 R∪ 2)-1=R1

-1 R∪ 2-1;

• (3)(R1∩R2)-1=R1-1∩R2

-1;

• (4)(A×B)-1=B×A;• (5)-1=;

(7)(R1-R2)-1=R1-1-R2

-1;(8)若 R1R2则 R1

-1R2-1。

11)6( RR

11)6( RR

.: 法采用证明集合相等的方证明

(8)若 R1R2则 R1-1R2

-1。

• 定理 2.2 ：设 R是 A 上的二元关系 ,则R 是对称的当且仅当 R=R-1。

• (1)R 对称 , 要证明 R=R-1。• RR-1。• R-1R。• R=R-1。• (2)R=R-1, 证明 R 对称• 对任意 (a,b)R, 目标是 (b,a)R

• 二、复合运算• 定义 2.8 ：设 R1 是从 A到 B 的二元关系 ,R2

是从 B到 C 的二元关系 , 则从 A到 C 的二元 关 系 记 为 R1R2, 定 义 为 ： R1R2={(a,c)|aA, cC, 且 存 在 bB 使 (a,b)R1, (b,c)R2} ，称为 R1和 R2 的复合关系。

• 注意 :(1)R1和 R2 复合的前提是 : R1 是从 A到B 的二元关系 ,R2 是从 B到 C 的二元关系

• (2) 复合运算不满足交换律

• R1={(a1,b1), (a2,b3), (a1,b2)}

• R2={(b4,a1), (b4,c1), (b2,a2), (b3,c2)}

• R1R2={(a1,a2), (a2,c2)}

• R2R1={(b4,b1), (b4,b2), (b2,b3)}

• R1R2 R2R1

• 结合律是否成立 ?

• 即对于 R1A×B, R2B×C, R3C×D

• 是否有 R1(R2R3)=(R1R2)R3

• 它们都是 A×D 的子集 .

• 对 任 意 (a,d)R1(R2R3), 目 标 是 证 明(a,d)(R1R2)R3,

• R1(R2R3)(R1R2)R3

• 类似可以证明 (R1R2)R3R1(R2R3)

• 因此有 R1(R2R3)=(R1R2)R3

• 定 理 2.3 ： R1 是 从 A 到 B 的 二 元 关系 ,R2 是从 B到 C 的二元关系 ,R3 是从 C到 D 的 二 元 关 系 , 则 有R1(R2R3)=(R1R2)R3( 结合律 )

• 三、幂运算• 设 R是 A 上的一个二元关系 , RR 记为

R2,RRR 记为 R3,…

• 定 义 2.9: 设 R 是 A 上 的 二 元 关系 ,nN,R的 n 次幂记为 Rn, 定义如下：

• (1)R0是 A 上的恒等关系 ( 即 R0={(a,a)|aA}), 记为 IA,又 R1=R;

• (2)Rn+1=RnR。

• 定理 2.4: 设 R 是 A 上的二元关系 , 设m,nN, 则

• (1)RmRn=Rm+n

• (2)(Rm)n=Rmn

• 证明留作习题 , 用归纳法证明。• 由关系的并 , 交 , 逆和复合运算得到新

的关系都可以用关系矩阵来表示。

• A={a1,a2,,an},B={b1,b2,,bm}

• 关系 R1和 R2 都是 A到 B 的二元关系• MR1

=(xij), MR2=(yij)

• MR1 R∪ 2=(xijyij)

• MR1∩R2=(xijyij)

0 1 0 1• 0 0 1 0 0 0• 1 1 1 1 0 1

• 例 :A={2,3,4},B={1,3,5,7}

• R1={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7)}

• R2={(2,5),(3,3),(4,1),(4,7)}

• R 的 逆 关 系 R-1 的 关 系 矩 阵 MR-

1=MRT,MR

T是MR 的转置。• 象上例中 R1 的逆关系 R1

-1 的关系矩阵为

2 3 4

111

111

001

000

7

5

3

1

11

1

TRR MM

• A={a1,a2,,an},B={b1,b2,,bm}, C={c1,c2,,cr},

• R1是 A到 B 的二元关系 , 其关系矩阵为MR1=(xij)mn,R2是 B到 C 的二元关系 , 其关系矩阵为 MR2=(yij)nr,则 R1和 R2 的复合关系 R1R2 的关系矩阵为 :

rmkjik

n

kRR yxM

))((

121

• 作业 :p41-44

• 2(2),4,5,7,9(2),18(1)