Статистический анализ внутригруппового планаЛекция №4

Вопросы для обсуждения

1. Статистические основы внутригруппового эксперимента. Однофакторный дисперсионный анализ с повторным измерением.

2. Структурные модели однофакторного дисперсионного анализа с повторным измерением.

ВОПРОС №1Внутригрупповой эксперимент…

Внутригрупповой план

• В отличие от межгруппового плана внутригрупповой экспериментальных план предполагает использование всего одной группы испытуемых

• Внутригрупповым называют экспериментальный план, в котором каждому испытуемому предъявляют все уровни независимой переменной

• Эксперимент, реализующий такую схему, принято называть экспериментом с повторным измерением, т.к. в ходе эксперимента измерение зависимой переменной у одно и того же испытуемого осуществляется более одного раза

Повторные измерения

Испытуемый Условие 1 ... Условие j ... Условие k Сумма

1 ... ... P1

...           ...

i ... ... Pi

...           ...

n ... ... Pk

Сумма T1 ... Tj ... Tk G

Среднее ... ...

Анализ дисперсии

Общая дисперсия

Дисперсия внутри испытуемых (within subjects)

Дисперсия экспериментального

воздействия (treatments)

Остаточная дисперсия (residual)

Дисперсия между испытуемыми

(between subjects)

Между испытуемыми

Суммарный квадрат (SS) Степени свободы (df)

GPSS ik

subjectsbetween

2

_

Внутри испытуемых

Суммарный квадрат (SS) Степени свободы (df)

i j

ijsubjectwithinPxSS

2

_

residualtreatmentsubjectwithin SSSSSS _

Экспериментальное воздействие

Суммарный квадрат (SS) Степени свободы (df)

treatment jSS n T G 2

Остаток

Суммарный квадрат (SS) Степени свободы (df)

residual ij iSS x P G 2

Всего

Суммарный квадрат (SS) Степени свободы (df)

SS X Gtotal ij 2

Оценка дисперсии

Источник дисперсии Суммарный квадрат (SS) Степени свободы (df)

Между испытуемыми (n-1)

Внутри испытуемых n(k-1)

Экспериментальное воздействие

(k-1)

Ошибка (остаток) (n-1)(k-1)

Общий kn-1

k P G2

X P2

n T G2

X P G 2

X G2

F-отношение

F [k −1 ,(k− 1)(n −1)]=MStreatment

MSresidual

ВОПРОС №2Структурная модель однофакторного дисперсионного анализа с повторным измерением

Структурная модель

• Будем предполагать, что результат измерения зависимой переменной может быть представлен через популяционную постоянную μ, эффект независимой переменной τj, специфичный и постоянный для каждого ее уровня, индивидуальную константу πi, выражающую эффект отдельного испытуемого (предполагается, что ее популяционное значение равно 0) и неконтролируемую экспериментальную ошибку εij

• . .: Т е

Допущения

• Экспериментальная ошибка представляет собой случайную величину, распределенную в соответствии с нормальным законом с математическим ожиданием равным нулю.

• Индивидуальная константа представляет собой также случайную величину, распределенную в популяции рассматриваемых данных в соответствии с нормальным законом с математическим ожиданием равным нулю.

• Эффект экспериментального воздействия представляет собой случайную величину, распределенную в соответствии с нормальным законом с заранее неизвестными параметрами

Модель I

• Будем предполагать, что эффект независимой переменной не взаимодействует с эффектом испытуемого

• Тогда:

Двухуровневый план

Испытуемый Уровень 1 (T1) Уровень 2 (T2) Среднее

1

... ... ... ...

i .

... ... ... ...

n

Среднее

Дисперсия ЗП для каждого уровня НП

• Поскольку величины μ, τ1 и τ2 постоянны, дисперсия внутри экспериментального условия определяется дисперсией экспериментальной ошибки σ2

ε и дисперсией индивидуального эффекта σ2

π. Таким образом, справедливы следующие соотношения:

2222

2221

Тогда…

• Величины σ2ε являются статистически независимыми

друг от друга в двух экспериментальных условиях, чего нельзя сказать о величинах σ2

π. По сути дела величина σ2

π определяет статистическую связь двух экспериментальных условий — T1 и T2. Иными словами,

• σ 2

12= σ2π, где σ

212 — ковариация T1 и T2, cov(T1, T2)

Следовательно…

E M S residual

12

22

122

2

E M S n n ntreatment T T T

1 2

2 2 2 2

E Fn

2 2

2

Модель I: гипотезы

Нулевая - H0

• τ1 = τ2

Альтернативная – H1

• τ1 ≠ τ2

1)(2

22

n

FE 1)(2

22

n

FE

Модель II

• Будем предполагать, что эффект независимой переменной взаимодействует с эффектом испытуемого

• . . Т е вернемся к начальному, предположению что

Тогда…

22

222

)(

)(

nMSE

nnMSE

residual

treatment

Модель II: гипотезы

Нулевая - H0

• τ1 = τ2

Альтернативная – H1

• τ1 ≠ τ2

1)(22

22

22

222

n

n

n

nnFE 1)(

22

222

n

nnFE

Многоуровневый план

1

)( 22

n

x jijx j

где μj – математическое ожидание значения

зависимой переменной на уровне j

Тогда ковариация значений зависимой переменной на уровнях j и j’ независимой переменной может быть найдена по формуле:

''' 1

))(( ''

jjjjjj xxxxjijjij

xx n

xx

Где ρ – корреляция значений зависимой переменной на уровнях j и j’

Однородность матрицы ковариаций

Поскольку, согласно предположению модели, эффект испытуемого не взаимодействует с эффектами независимой переменной, матрица ковариаций должна быть однородной, т.е.

2

2

2

...

......111

k

kjj

kj

xx

xxxx

'

2

jj xx

Тогда…

2 2 2 2 x x jj '

s

x T

nx2

2

1

Оценка дисперсии для одного экспериментального

условия

222

12 ...

xk

xk

ssEsE

22)cov( xsЕ

Наконец…

2residualMSE

E MS E

n T T

kntreatment

j j

'

2

2 2

1

Гипотезы

Нулевая - H0

• τ1 = τ2 = … = τj = .. = τk

• E(F) = 1

Альтернативная – H1

• τ1 ≠ τ2 ≠ … ≠ τj ≠ .. ≠ τk

• E(F) > 1

Оценка однородности ковариаций

• Для оценки однородности ковариационной матрицы используют тест сферичности Моучли (Mauchly).

• Если этот тест свидетельствует о значительной гетерогенности ковариационной матрицы, рекомендуется при статистической надежности анализе F-отношения, вычисленного по результатам эксперимента, уменьшить число степеней свободы

• Это обеспечивает большую степень консервативности при принятии решения о статистически надежных эффектах независимой переменной.

Уменьшение df

• Уменьшить число степеней свободы можно, исходя из следующего правила:

• для числителя• для знаменателя• Где θ принимается равной 1 в случае полной

гомогенности ковариационной матрицы и ˗ в случае наименьшей гомогенности.

www.ebbinghaus.ru