Конструктивный подход к численному решению...
description
Transcript of Конструктивный подход к численному решению...
Конструктивный подход к численному решению квазилинейных
уравнений переноса
А.П. Фаворский1, А.М. Галанина2, В.А. Исаков3
_________________________________1 МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: [email protected] МГУ им. М.В. Ломоносова, аспирант, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: [email protected] МГУ им. М.В. Ломоносова, аспирант, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: [email protected]
Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова
Введение
Уравнения переноса:
• составляют неотъемлемую часть математического описания многих явлений;• оказываются ключевым моментом при рассмотрении и построении решения многих задач (например, перенос инвариантов Римана в газовой динамике);• уравнение переноса суть простой и содержательный представитель уравнений гиперболического типа, удобный для обсуждения методов численного решения, включая квазилинейный случай;
Требования, предъявляемые к построению численного решения:
• явность;
• сохранение монотонности профиля решения;
• приемлемая точность на «гладких» участках решения;
• соблюдение законов сохранения в потоковой форме;
• отсутствие специальных регуляризаторов (искусственной вязкости, например);
Постановка задачи
,0
xu
utu
Квазилинейное уравнение переноса
10 x (1)
Дивергентная потоковая форма уравнения переноса:
;0
xW
tu где потокuW 2/2 (2)
Проводится построение финитного решения на постоянном фоне в предположении отсутствия влияния граничных условий
Построение численного решения
Проводятся линии ,kuu параллельные фону.
Решение в начальный момент времени заменяется кусочно - линейной функцией где ,0,xuл .0,0, kkkл xuuxu Значения остаются постоянными, перемещаясь вдоль линий с постоянной характеристической скоростью
ku:kk ua
kkk uadtdx kuu
Свойства кусочно-линейной функции txuл ,
• Эволюция кусочно-линейной функции: воспроизводится точно;• Замена произвольной достаточно гладкой исходной функции
кусочно-линейной происходит с порядком при достаточно малых шагах по времени ;• Однозначное решение выстраивается до момента возникновения «градиентной катастрофы». В последующие моменты времени следует вводить разрыв функции исходя из условия Гюгонио на фронте волны.• Рассмотренный подход распространяется на квазилинейные уравнения более общего вида:
txuл , 22 hO kkk utxtxt 1 txuл ,
;0
xuF
tu
монотонная функция
txuxu лл ,0,
uF
Построение локального, линейного сплайна
ntt n
на отрезке hkxxhkxkk
2
12
12
12
1
на момент времени
2121 kk xxx ntt
:),( ntxy
kknknn xxyutxytxu ,,
Функция u(x,t) на отрезке
заменяется локально-линейным сплайном
при
где
huu
uh
uuu
uu
uuuuy
nk
nk
x
nk
nk
xxx
xxxxk
11 ,,
Такая кусочно-линейная функция не нарушает монотонности профиля на отрезке [1]. 2121 kk xxx
Величина ky характеризует собой наклон сплайна.
0ky соответствует построению схемы первого порядка
Расслоение сплайновой функцииДля вычисления необходимых при построении разностной схемы интегральных потоков на границах ячейки линейный сплайн заменяется структурой ступенчатых функций («малых возмущений»), расположенных последовательно одна на другой, отсчитывая от фона.
Скорость перемещения «кирпича» вдоль оси x определяется по формуле
2][][ 1 mm
k
km
yyuF
D
где my и 1my - значения на соответствующих слоях. ntxy ,«Малые возмущения» распространяются вдоль характеристики.
Если скорость , то соответствующий «кирпич» имеет возможность пересечь границу ячейки . В этом случае из ячейки в ячейку перейдёт интегральное количество функции равное
0mD21 kxx
k 1ku
211 ˆ kkmm xxyy
Вычисление интегральных потоков
Интегральный поток за время через границу расчетной ячейки , соответствующий перемещению «кирпичей» из ячейки в ячейку , равен
21 kxxt
k 1k
m
kkmm xxyykIW 211 ˆ21
Фоновый поток определяется по формуле
0,5.0
0,0221
ff
fфонk utu
uIW
Результирующий интегральный поток через границу равен
21kIW21 kxx
21212121
kkIWIW IWIWфонkk
21
kIW
Разностная схема
• имеет второй порядок точности на гладких решениях;• схема консервативна;• не нарушает монотонность профиля волны, включая разрывные решения;• является устойчивой при соблюдении условия Куранта:
• учёт задания граничных значений функции на границах не представляет затруднений;• схема не содержит искусственных регуляризаторов;
max2uh
t
h
IWIWuu kkn
knk
21211
u
Результаты численных расчетов
Квазилинейное уравнение переноса. Точное решение
Расчет по сплайн-схеме: синусоидальный импульс
Расчет по сплайн-схеме: ступенчатый импульс
Построение схемы для уравнений газовой динамики
Одномерные уравнения газовой динамики в дивергентной форме
0
xF
tf
где
f - любая из функций 2,, 2ueuq
F - потоки: upueWEpuqWQuWM ,,Система уравнений замыкается уравнением состояния
1p
где - показатель адиабаты.
Построение разностной схемы
Численное решение системы уравнений строится в классе сеточных функций , отнесенных к центрам ячеек равномерной по направлениям координат и прямоугольной сетки с шагами и .
Границы пространственных ячеек проходят через полуцелые точки .
Построение схемы проводится интегро-интерполяционным методом. Все уравнения системы последовательно интегрируются по прямоугольной пространственно-временной ячейке:
nkf
x tx t
k xkxk 2121
12121 ,, nnkk ttxx
Интегральные балансные соотношения
021211
nk
nk
nk
nk FIFIxff
Выражают законы сохранения массы, импульса и энергии газа.
Величины:
dxtxx
k
k
x
x
n
n
k
nk ,
1 21
21
- средняя по ячейке на момент времени объемная плотность;
k
ntt
- объемная плотность импульса;
dxtxutxx
qq n
x
x
n
n
k
nk
k
k
, ,1 21
21
-объемная плотность полной энергии;
dx
txutxtx
xee n
n
x
x
n
n
k
nk
k
k
2,
, ,1 221
21
dxtxutxx
uu n
x
x
nnk
n
k
nk
k
k
, , 1 21
21
- средняя по массе ячейки скорость;
dxtxtxx n
x
x
nnk
n
k
nk
k
k
, , 1 21
21
- средняя по массе ячейки внутренняя энергия;
nk
nk
nkp , - дискретный аналог уравнения состояния;
Величины
1
,2121
n
n
t
t
knk dttxFFI
равны интегральным по времени потокам F
в сечениях 21 kxx
Аппроксимация интегрального потокаЛокально-линейная сплайн-реконструкция функций
Величина
nkD
заменяем локально-линейным сплайном, моделирующим её поведение в пределах ячейки
на момент времени :
Функцию
f
21,21 kxkxk ntt
knk
nknk xxDftxxf ,;
где
, uf или
p характеризует угол наклона сплайна и вычисляется по формуле:
nix
nix
nix
nix
nix
nixn
kff
ffffD
,,
,,,,
где
xff
fx
fff
ni
nin
ix
ni
nin
ix
1
,1
, ,
Расслоение (разбиение) линейных сплайн-функций
Горизонтальное сечение, ближайшее к среднему между значениями сплайн-функций и на границе раздела ячеек и , назовём общим постоянным фоном .
nkk txxf ,;21 nkk txxf ,; 121
21 kxx k 1k
21kf
Акустическое приближение для малых возмущений
В течение времени от до каждое малое возмущение распадается на волны Римана, бегущие каждая по своему фону в соответствии с известным решением уравнений акустики:
t ntt 1 ntt txptxutx , ,, ,,
0
01
0
2
xu
cxp
utp
xp
xu
utu
xu
xu
t
где pс
Малые возмущения на каждом слое в соответствии с решением линеаризованной системы имеют следующий вид:
txptxutx , ,, ,,
00
2000000 111
2,
p
cp
cup
cu
сtx
0000 11
21
, pc
upc
utxu
0000 11
2, p
cup
cu
ctxp
где - соответствующие характеристики, а через обозначены отклонения плотности, скорости и давления от своих фоновых значений на момент времени .
tuxtcuxtcux 0 , , 000 , , pu
, , puntt
Вычисление интегрального потока 21kWQI
Интегральный по времени поток импульса через границу из ячейки в ячейку за время
равен
21kWQI
21 kxxk 1k nn ttt 1
Здесь - поток, обусловленный общим постоянным фоном с параметрами
tpu k 21
2. , , 212121 kkk pu
Вклад от послойных возмущений связан с вычислением интегралов от ступенчатых функций возмущений
M
mmkmkmkkk WQIWQIWQItpuWQI
1,21,21
0,2121
221
dtpc
uc
cuWQI
n
n
t
t
mmm
mm
mmmmk
12
1
002
,21
1
1
00
20020
,21
n
n
t
t
mm
mmmk dtξδpc
ξδρuWQI
Представление алгоритма в переменных Лагранжа
Алгоритм численного решения уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа не отличается от изложенного выше и даже несколько проще, поскольку число волн Римана сокращается с трёх до двух.
Результаты численных расчётов
Расчет задачи с гладким начальным профилем. Приводятся графики точного и приближенного решения (функция скорости) на последовательные моменты времени.
Пример расчета задачи о распаде произвольного разрыва
(a) – функция скорости в эйлеровых переменных на фиксированный момент времени при различных шагах и ;x t
(б) – функция давления в лагранжевых переменных в различные моменты времени при фиксированных шагах и .
xt
Расчёт цилиндрического взрыва
Распространение газовых струй от двигателей самолёта в отсутствие экрана
Взаимодействие струи с отбойником
экспериментатор И.К. Ермолаев
Расчет взаимодействия газовых струй, вылетающих из двигателя самолёта, с отражающим экраном
Свойства разностной схемы
• схема является явной;• не содержит искусственных регуляризаторов;• воспроизводит гладкие решения со вторым порядком точности на реальных сетках;• численное решение слабо зависит от числа Куранта при соблюдении условия устойчивости:
где ;
• схема монотонна на гладких решениях и квазимонотонна в окрестности разрывов, структура фронта которых занимает 2 – 3 интервала расчётной сетки;• схема допускает обобщение на случай двух и трёх пространственных измерений.
2maxmax xtuc
kk uucckk
max ,maxmaxmax
Список литературы
1. Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина Н.Н., Галанина А.М., Исаков В.А. Численное моделирование распространения гемодинамических импульсов // Мат. Моделирование. 2009. Т. 21 № 12. с. 21-34.
2. Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина Н.Н., Галанина А.М., Исаков В.А. Численное моделирование распространения акустических импульсов в гемодинамике // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45 № 8. с. 1179-1187.
3. Абакумов М.В., Галанина А.М., Исаков В.А., Тюрина Н.Н., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47 № 8. с. 1092-1098.
Спасибо за внимание!