第四节 定积分的计算第四节 定积分的计算第四节 定积分的计算第四节 定积分的计算

• 定积分的换元

• 分部积分

一、换元法

例例 1. 1.

解解 : : Newton-Leibniz 公式 , 若 F' (x) = f (x),

则

2

0d

2

xxex求

b

a

b

axFaFbFxxf )()()(d)(

2

0

22

0d

2

1d

22

xexxe xx2

0

2

21 xe

)1(21 4 e

对于第一换元法 , 直接求出原函数 , 用 N-L 公式 .

关于第二换元积分法有

定理定理 1.1. 设 i) 函数 f (x) 在 [a, b] 上连续 ,

ii) 函数 x=(t) 在区间 [, ] 上有一个连续导数 ; iii) 当 t , a (t) b, 且 a =

() , b =()

则

tttfxxf

b

ad)())((d)( (1)

(1) 的含意 : 用新的变量的新的积分代替原积分限 , 无需将原函数代回原变量 .

证明 : (1) 式右、左均代表一个数 , 我们验证这两个数相等 .

由 i) 知 f (x) 在 [a, b] 上有原函数 . 设为 F(x),

又由复合函数求导法则 . 和 ii) 知 F((t)) 是 f ((t))'(t) 在 [, ] 上的一个原函数 .

由 Newton-Leibniz 公式有

)()(d)( aFbFxxfb

a

及 ))(())((d)())((

FFtttf )()( aFbF

从而 (1) 式成立 .

例例 2. 2.

解解 : : 令 x = asint.

a

xxa0

22 d求

20 , 0

tax 时当

,0 0 tx且

,2

tax

0 t

a

2

x = asintx

0 t

a

x

a

22 xay x = asint

0 t

a2

xtay 22 cos

2

曲线下方图形面积相等

tataxa cossin1 222

ttax dcosd

2

0

22

0

22 d cosd

ttaxxaa

2

0

22

0

22 dcosd

ttaxxaa

2

0

2

d)2cos1(2

tta

2

0

2

22sin

2

tt

a

2

4a

注意定理 1 中条件 iii) 的要求1 (t) 的值域 : a (t) b

2 端点对应 : a = () , b =()

x = a t = x = b t =

这两个要求不能分割 .

定理定理 11. 设 i) 函数 f (x) 在 [a, b] 上连续 ,

ii) 函数 x=(t) 在区间 [, ] 上有一个连续导数 ; iii) 当 t , a (t) b, 且 a =

() , b =()

则

tttfxxf

b

ad)())((d)( (1)

.sin ,d,20

22 taxxxaa

变换计算中在例

,0 0 tx

,2

tax

注意到若取这个点,,2

2 tax

–a asint a,

值域不在区间 [0, a] 之内 ,

22

0

22

0

22 dcosd

ttaxxaa

t

a

a

22 xay a

a

a

2

23

22

2

tay 22 cos

例例 3. 3.

解解 ::

43

41 d

)1(arcsin

xxxx求

,sin,arcsin 2 txtx 令

3

622

4

3

4

1 d)sin1(sin

cossin2 d

)1(

arcsin

ttt

tttx

xx

x

3

6

d2

tt 3

6

2

t12

2

,6

4

1 tx

3

4

3 tx

例例 4. 4. 证明设 ]),,([)( aaRxf

(i) 若 f (x) 为偶函数 , 则

aa

axxfxxf

0d)(2d)(

(ii) 若 f (x) 为奇函数 , 则

0d)( a

axxf

a a

aa

证证 : : (i)

a

a

a

axxfxxfxxf

0

0d)()d(d)(

在第一个积分中

tx 令

a

axxfttf

0

0d)()(d)(

aa

xxfttf00

d)(d)( a

xxf0

d)(2

(ii) 由 (i) 的证明过程可知

aaa

axxfttfxxf

00d)(d)(d)(

.0d)(,)( a

axxfxf 故为奇函数而

例例 5. 5. 若 f (x) 为定义在 (, ) 上、周期为 T 的周期函数 , 且在任意有限区间上可积 , 则

aR, 有

TTa

axxfxxf

0d)(d)(

y=cosx

x

y

0

2

证证 :: ,d)(d)(d)(

Ta

T

T

a

Ta

axxfxxfxxf由于

而 aTa

TtTtfxxf

0d)( d)( Ttx

a

xtf0

d)( a

T

Tttfttf d)( d)(

0

T

a

Txxfxxf d)( d)(

0

故等式成立 .

例例 6. 6. 则设 ]),1,0([)( Cxf

2

0

2

0d)(cosd)(sin

xxfxxf

证证 :: 则作变换 ,2

tx

0

2

2

0)d)((cosd)(sin

ttfxxf 2

0d)(cos

xxf

特别地有

2

0

2

0dcosdsin

xxxx nn

二、分部积分法二、分部积分法

定理定理 2.2. 设 u(x), v(x) 在 [a, b] 上可导 , 且 u'(x),

v'(x) R([a, b]), 则有分部积分公式

b

a

ba

b

axxvxuxvxuxxvxu d)()(')()(d)(')( (2)

证 : 由已知可得 u(x)v'(x), u'(x)v(x)R([a, b]), 而

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

对上等式从 a 至 b 积分得

由此即得公式 (2).

b

a

ba

b

axxvxuxvxuxxvxu d)()(')()(d)(')(

例例 7. 7. 2ln

0dxxe x求

解解 : : 由公式得

2ln

0

2ln

0)(dd xx exxxe

2ln

0

2ln

0dxexe xx

2ln

02ln

21 xe

2ln

21 e

例例 8. 8. e

e

xx1 dln求

解解 : : e

e

e

e

e

e

xxxxx 111 d|lndln

)1

(1

ee

ee

e

2

例例 9. 9. 2

0dsin

xxI nn计算

解解 : : 2

0dsin

xxI nn

2

0

1 )cosd(sin

xxn

2

0

2220

1 dcossin)1(cossin

xxxnxx nn

2

0

22 d)sin1(sin)1(

xxxn n

nn InIn )1()1( 2

则 2

1

nn In

nI

而易求得

1dsin ,2

d 2

012

00

xxIxI

则当 n 为偶数时

,2!!

!)!1(21

43

231

0

n

nI

nn

nn

In

则当 n 为奇数时

,!!

!)!1(21

43

231

1 nn

Inn

nn

In

值得注意的是由例 6 可知

.,

!!!)!1(

,,2!!

!)!1(

dcos2

0

为奇数当

为偶数当

nn

n

nn

n

Ixx nn

例例 10. 10. ,0)()(]),,([)( 1 bfafbaCxf 且若

解解 : : 由已知及分部积分公式得

,1d)(2 b

axxf

b

a

b

axfxxfxxfxxf )( d)(d)()(

b

a

b

axxfxfxxf )](d[)()(2

b

axxxfxfxf d)](')()[(

b

a

b

axxfxxfxxf d)(')(d)(2

.d)()( b

axxfxxf试求

由此即得

b

a

b

axxfxxfxxf d)(

2

1d)()( 2

21