Динамический хаос

В.П. Крайновкафедра теоретической физики

МФТИ

19 октября 2005 г.

Содержание

• Обычный хаос: броуновское движение пылинки в воздухе

• Движение пылинки под действием стоячей звуковой волны в резонаторе

• Разреженный газ в сосуде со стенкой, дрожащей с высокой частотой

• Маятник Капицы в стохастическом режиме

1. Обычный хаос:броуновское движение пылинки в воздухе

( )xx

dum ku F tdt

k – коэффициент трения от сопротивления воздуха,F(t) – хаотическая сила от ударов быстрых молекул,ux – скорость пылинки вдоль оси X направления удара

2

( ) 0;

( ) ( ') ( ').

F t

F t F t F t t t

t – время корреляции (продолжительность одного удара)

0

1( ) exp ( ') ( ') '

t

xu t k t t F t dtm

Аналитическое решение:

22

0 0

22

2

( ) 0;

1( ) ' "exp 2 ' " ' " ;

( ) 1 exp 2 .2

x

t t

x

x

u t

u t dt dt kt k t t F t F tm

F tu t kt

km

Средние значения:

Пределы

Малые времена kt << 1:

Большие времена kt >> 1:

22

2( ) 2 ; ;

2x

F tu t D t D

m

D – коэффициент диффузии

22

2( ) const

2x

F tu

km

- стационарное броуновское движение

2. Движение пылинки под действием стоячей звуковой волны в резонаторе

Пылинка движется из-за давлениязвуковой волны вдоль оси X

Частота волны

Волновое число k

Система единиц:

m = k = = 1

x

резонатор

Возбуждение продольного звука в резонаторе

2

2cos sin ;

( 0) 0;

( 0) 0.

d xF x t

dtx t

dxt

dt

Уравнение Ньютона:

F – безразмерная амплитуда силы давления звука

0 100 200 300 400 500

100

200

300

400

x t( )

t

.

F = 0.5

(в периодах волны)

(в еди

ниц

ах дл

ины

вол

ны)

0 100 200 300 400 500

80

60

40

20

20

40

x t( )

t

.

F = 20

0 100 200 300 400 500

100

50

50

x t( )

t

.

F = 200

0 100 200 300 400 500

500

400

300

200

100

100

x t( )

t

.

F = 2000

3. Разреженный газ в сосуде со стенкой, дрожащей с высокой частотой

un

2a

L

Нет столкновений молекулдруг с другом

0( ) sinV t V t

0VL a

1 02 sinn n nu u V t

un+1

11

2n n

n

Lt t

u

Отображение Пуанкаре

1 0

11

2 sin ;

;

2 mod(2 ).

n n n

n nn

u u V

t

L

u

Возникновение динамического хаоса

1 1

1

n n n n

n n

K

- Коэффициент растяжения фазы;K < 1 – регулярное движениеK > 1 – хаотическое движение

02

2

n

LVK

u

Для примера газа в объеме с колеблющейся стенкой:

Диффузия скорости молекулы

22 2 2 21 0 04 sin 2n n nu u u V V

2Lt

u

2

20

( ) ;

( )

u D u t

VD u u

L

D – нелинейный коэффициент диффузии

20

0( ) ; 12

Vu t u t K

L max 0 02u LV V

3/ 2 1/ 2

0 max 0

1 2 2 1 2 1D

L L Lt

V u V

Время диффузионного набора скорости молекулы (нагрева газа)

t > tD – регулярное движение с прекращением набора скорости (K < 1)

0

0

0max

2;

2 sin ;

sin ;

( ) exp cos

Ldt

udu V t

V udut

dt LV

u t u tL

4. Маятник Капицы в стохастическом режиме

cosa t

L

0

0 /

a L

g L

Уравнение Ньютона в неустойчивом режиме:

22

2sin sin cos

dmL mg ma t

dt

Умножаем на d/dt и интегрируем по времени, получаем изменение энергии маятника

2 sin cosd

E MaL t dtdt

0

0

2

cosh

td

dt t

0 2L a

верхнееположениемаятникаустойчиво к малымколебаниям!

0 2L a

1

4

20 0

10 1

sin ;

4exp ;

2

1 32ln .

| |

n n n

n nn

E E E F t

MaLF

MgLt t

E MgL

0

tn

E MgL

∙

Изменение энергии за одно колебаниеэкспоненциально мало:

Отображение Пуанкаре

1

10 1

sin ;

32ln ;

| |

n n n

n nn

n n

E E F

MgL

E MgL

t

Условие стохастического режима для коэффициента растяжения фазы:

0 1

1.| |n

FK

E MgL

Диффузия энергии маятника

2

20

( ) 2 ;

.32

4ln| |

E D t

FD

MgLE MgL

Вывод: в окрестности верхней точки неустойчивого равновесия с течением времени маятник Капицы медленно уходит от нее(по диффузионному закону, а не равномерно!)либо в сторону колебаний, либо вращений – в зависимости отначального значения энергии E < MgL или E > MgL.

Заключение

• Для реализации динамического хаоса при классическом движении свободной или связанной в потенциале частицы под действием периодического возмущения необходимы два условия:

• 1. Суммарная сила, действующая на частицу, должна быть нелинейной

• 2. Амплитуда возмущения должна быть достаточно сильной