질문 에너지벤드

5-1

질문 에너지벤드

5-2

1. Models for Describing Electrons

지금까지 고체내에 있는 전자를 해석하기 위하여 사용한 방법은 다음과 같다 . (1) clasical particles in a box (2) waves in free space (3) waves in an infinite potential (4) waves in a finite potential 이 모델들은 고체내에서 전자의 상태를 개략적 으로

이해하는 데는 유용하지만 , 고체내의 실제 상태와는 거리가 있다 . 고체내의 실제 전자들은 격자의 핵에 의하여 주기적인 에너지대로 이루어져 있어서 , 평평한 square-well potential 로는 묘사하기 어렵다 .

5-3

1.1 Electrons in a periodic potential

고체내의 실제조건과 거의 같게 하기 위하여 주기 에너지함수 (periodic potential) 모델을 사용한다 .

이 방법을 처음 시도한 사람은 Bethe 와 Brillouin 이었다 . 그들은 주기함수에 의한 전자의 파함수를

확장하였다 . 식을 푸는 과정은 우리가 앞에서 살펴 본 대로 (1) 경계조건을 대입하여 방정식을 세운다 . (2) 파동방정식을 푼다 . 와 같은 순서로 푼다 . 주기함수의 가장 단순한 형태를 다음 그림에 보인다 .

5-5

이 경우에 다음과 같이 3영역으로 나누어서 생각할 수 있다 .

주기에너지함수의 에너지 상태는 전자가 존재하는허용대와 전자가 존재하지 않는 금지대로 분리될 것이다 .

( )

( )

( )

a E V

b V E V

c E V

1

1 2

2

5-6

1.2 High-energy free electrons

인 경우는 전자가 에너지상자에 의하여 제한을 받지 않는 자유전자의 상태이다 . 이 상태의 전자는 파수 k의 값과 에너지 스펙트럼이 연속적이다 .

이 상태는 4.3.2절에서 인 경우와 유사한 경우이다 . 이 상태인 전자는 금속표면으로 방출 될 것이다 .

E V 2

E V 0

5-7

1.3 Low-energy bound electrons

인 경우는 폭 a인 유한 상자에너지가 여러개 존재하는 경우이다 .

이 상태의 전자는 국부주기 에너지 (local periodic potential) 내에 구속상태로 존재한다 . 이 상태는 4.3.2 절에서 인 경우와 같다 .

이 경우의 전자는 고체내의 격자에 있는 핵에 구속 되어 있어서 전류가 흐르는데 기여할 수 없다 . 그리고 전자들은 이산에너지상태로 존재한다 .

E V 1

E V 0

5-8

1.4 Intermediate energy conduction electrons

인 경우는 다음 그림에서와 같이 앞에서 해석이 안된 영역이다 . 경계는 각핵이 아니고 고체의 변두리이며 , 이 길이는

국부상자의 폭에 비해서 아주 크기 때문에 이 영역의 전자상태는 V1아래의 전자상태의 에너지 차에 비해서 적다 . 즉 상태 밀도가 촘촘히 거의 연속적으로 분포되어 있다 .

이 상태의 전자는 전류가 흐르는데 기여 한다 . 그리고 V1보다 높은 에너지를 가지고 있지만 주기함수에 의해서

영향을 받는다 . 영향의 정도는 주기함수의 폭 , 넓이 그리고 전자의

수에 따라 달라진다 . 이 영역에 있는 전자를 준자유전자(quasi free electron) 라고 부른다 .

V E V1 2

5-10

1.5 Comparison wih Sommerfeld free-electron model

앞절에서 살펴본 내용을 요약하면 다음과 같다 . (1) 금속외부로 방출이 가능한 에너지가 큰 완전 자유전자 상태 (2) 고체의 변두리에 의하여 구속되며 , 파수 k가 거의 연속적인 준자유전자상태 (3) 격자의 핵에 구속되어 있는 구속전자 (bound electron) 상태 두번째에 존재하는 전자는 전기적 또는 열적 도전에

기여한다 . 도체와 절연체의 차이는 도체는 준자유전자가 많지만 , 절연체에는 거의 없다 .

5-11

2. Solution of wave equation in periodic square-well potential

다음 그림과 같이 격자간격이 주기적인 에너지함수를 슈뢰딩거 파동방정식으로 해석한다 . 간단하게 하기위하여 1차원으로한다 .

5-12

b 는 에너지장벽의 폭이며 , a-b 는 에너지가 zero 인 대역의 폭이다 . 즉 주기는 a이다 .

에서

에서

이를 슈뢰딩거방정식을 써서 푼다 . 즉 ,

이며 , 각각 파동방정식의 해와 파수는 다음과 같다 .

주기함수이므로 이다 .

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) exp( ) exp( )

( )

( ) ( ) exp( ) exp( )

i b x V V

ii x a b V

V x a V x

m

d

dxx V x x E x

i b x x C x D x

m V E

ii x a b x A i x B i x

mE

o

V

o

0

0 0

2

0

2

0

2

2 2

2

5-13

에서는 파동함수이며 , 에서는 지수적으로감소하는 파임을 알 수 있다 .

( ) ( )( ) ( )

)

( ) ( ) exp( ) ( ) (( ) ( )

i xd

dx

d

dxii x b

x a x ika b bd b

dx

d b

dx

o VV

o VV

0 00 0

(0),

(

),

에서 양쪽을 대입하면

에서는 주기함수이므로 이 조건이 포함된 Bloch 함수

에서

이다 . 이 경계조건을 정리하면 다음과 같다 .

0

1111

)()(

)()(

D

C

B

A

eeeiei

eeee

ii

bbbaiikabaiika

bbbaiikabaiika

0 0 x a b b x

5-14

A,B,C,D 가 0 이외의 해를 갖기 위해서는 계수행렬식이 0 이어야 한다 . 그 조건을 풀면 , 다음과 같다 .

cos( ) ( ) sinh( ) sin( ( )) cosh( ) cos( ( ))ka b a b b a b

2 2

2

오른쪽 항에서 왼쪽항의 허용치는 +-1사이의 값이어야 함을 확인할 수 있다 .

5-15

2.1 Kronig-Penney approximation에너지장벽의 폭 b와 장벽전위크기 Vo 의 곱인 bVo 가 일정한 값이라고 할 때에 우리는 다음과 같이 가정할 수 있다 .

위 관계들을 대입하면 다음과 같다 .

여기서 , 라고 하고 이를 대입하면

이다 . 여기서 오른쪽항은 절대값이 1보다 작아야 한다 .

limsin ( ) sin , limcos ( ) cos

limsinh , limcosh

cos( ) sin cos

cos( ) sin cos

sin cos

b b

b b

o

o

a b a a b a

b b b

kamV b

a a

PmabV

kaP

aa a

P

aa a

0 0

0 0

2

2

1

1

5-18

Kronig-Penney model 의 결과를 분석한다 .

(1) P 가 무한대인 경우 포텐셜장벽이 무한대로 아주 큰 경우이므로 고립원자 처럼 모든 전자가 핵에 구속되고 , 허용대는 폭이 좁은 에너지준위이며 이산적이다 . 그리고 금지대는 아주 폭이 넓다 .

P a

aa

sincos

a+1

-1

5-19

(2) P=0 일 경우 , 즉 포텐셜 장벽이 전혀 없는 경우이다 . 앞 식에서

인 상태이다 . 이 상태의 전자는 파수 k와 에너지는 연속적인 값을 갖는 자유전자와 같으며 , 금지대는 없다 .

cos coska a

P a

aa

sincos

a

+1

-1

5-20

(3) (1) 과 (2) 의 사이인 경우

1. 전자의 에너지대가 몇개로 분리된다 . 2. 전자가 존재가능한 허용대 (allowed band) 와 금지대 (forbidden band) 로 구별된다 . 3. 대의 폭은 장벽의 크기 , 즉 P 의 크기에 따라 달라진다 . 4.x 축에서 멀수록 허용대의 폭이 넓어진다 .

5-23

2.2 The nearly free approximation

kn

L

Emk

m

n

L

n h

mL

k k k kLn n n

Emk k k

n

n

n x y z x y z

n x y z

22 2

2

22

2 2 2

2

2 2

2

2 2 2 22

22 2 2

22 2 2

2 2 8

2

( )

( )

P=0인 경우이다 . 격자간격 L인 길이에 n개의 핵이 있는 경우에 파수는 다음과 같다 .

이 관계를 이용하여 에너지를 구하면

이다 .

이 결과를 대입하면 에너지는 다음과 같이 표현된다 .

이 결과는 4.3.1 절의 솜머펠트모델과 같다 .

5-24

2.3 Density of states앞절에 이어 p=0 인 경우의 해석이다 .x,y,z성분의 n의 값이 양수이므로 전공간의 1/8이다 . 그리고앞절에서 n과 k 의 관계 그리고 k와 에너지의 관계를 정리하면

이다 . 전자의 상태수를 미분하여 전자의 상태밀도를 구한다 .

이 결과는 square-well potential에서 풀었던 4.4.7절의 결과와 같다 .

N E n nLk

E kk

m

L k Lm

E

D Ed

dEN E

L mE

V mE

o nn

n

o

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

/ /

/ / / /

1

8

4

3 21

6

1

6

2

4

2

4

2

32 2

23 3

23

23 2 3 2

3

2 23 2 1 2

2 23 2 1 2

, ,

5-25

3. The tight-binding approximation

앞에서 (3) 번째의 경우이다 . 이 경우에 P의 값에 따라 에너지대의 폭이 달라진다 .

전자상태의 수는 원자의 수와 같다 .

핵사이의 간격이 좁아지면 , 에너지대의 폭이 넓어진다 . 높은 에너지상태인 경우에 핵간격이 좁아지면 에너지대 폭이 크게 넓어지는데 반해서 낮은 에너지 상태에서는 폭이 적게 넓어진다 .

이는 에너지가 낮은 상태일 때에 핵이 보다 큰 영향을 미치기 때문이다 .

5-29Kcl 의 에너지대구조

5-31

실리콘의 에너지대구조

5-32구리의 에너지대구조

5-33

3.2 Transition from insulator to metal under pressure

압력의 변화를 주므로써 핵간의 거리를 줄일 수 있고 ,핵간거리가 변하면 에너지대의 폭이 달라져서 부도체에서 도체로 바꿀 수 있다 .

예를 들어 , Germanium 은 실온에서 반도체지만 , 120GPa (120kbar) 의 압력에서는 도체의 성질을 보이며 , 고체수소는 250GPa(2.5Mbar) 의 압력하에서 도체성질이 나타난다 .

5-35

4. Energy bands in a solid 원자의 이산적인 에너지대가 고체내부에서 서로의

간격이 변화함에 따라 허용대의 폭이 어떻게 변하는 지를 살펴보았다 .

주기에너지장벽보다 큰 에너지를 지닌 전자는 높은 에너지대에 존재하며 , 완전 자유전자상태에 있다 .

에너지가 그보다는 작지만 국부에너지장벽보다 높은 전자는 준자유전자상태에 있으며 , 고체의 경계에 의해서 구속된다 .

국부에너지장벽이하의 에너지를 지닌 전자는 핵에 의하여 구속되어 있으며 , 이를 구속전자라고 한다 .

솜머펠트모델과는 달리 국부이온에너지는 자유전자대 에 있는 전자에도 영향을 준다 .

5-36

4.1 Width of energy band gaps

에너지갭은 주기에너지함수에 의해서 달라진다 . 그리고 전자에너지대의 에너지갭은 결정에너지의퓨리에변환하여 계산한다 . 즉 , 주기함수를 퓨리에전개하여 계수들을 계산하는 방법으로 얻을 수 있다 . 왜냐하면 , 전자는 주기함수의 영향아래서 파와같은 성질을 보이기 때문이다 .

5-37

4.2 Electron band structure in conventional space

전자들이 실제공간 (real space) 에서 고체내부에 구속되어 있음을 다음 그림에서와 같이 묘사할 수 있다 .

낮은에너지를 갖은 구속전자는 외부 자극에 의한 에너지를 얻어 핵을 탈출하지 못하는 한 , 전류를 흘리는데 기여할 수 없다 .

비교적 큰 에너지를 갖은 준자유전자는 고체의 가장자리에 의해서만 구속되며 , 고체내부를 자유롭게 흘러다닌다 . 이 전자들은 주기에너지에 의한 영향을 거의 받지 않는다 .

전자의 분포에 의한 에너지를 실제공간으로 묘사하여

살펴봤는데 , 고체내부의 전자상태를 묘사하는데 편리한 다른 방법은 역공간 (reciprocal space) 을 이용하는 것이다 . 즉 파수 k를 써서 묘사하는 방법이다 .

5-39

4.3 The Fermi energy

절대온도 0[K]에서 전자가 점유할 수 있는 최고 에너지를 페르미에너지라고 정의한 바 있다 .

허용에너지대와 페르미에너지의 위치는 고체의 전기적 성질을 결정하는 데 중요한 요인이 된다 .

금속은 페르미에너지가 허용대의 중간부분에 위치하고 있다 . 그러므로 자유전자가 항상 부분적으로 채워져 있어서 전기적으로 도체상태에 있는 것이다 .

부도체나 반도체는 금지대사이에 페르미에너지가 위치하기 때문에 실온에서 도전율이 크지 않다 .

5-41

4.4 Nomenclature of electron bands

절대온도 0[K]에서 최외각전자의 에너지를 가전자대 (valence band) 라고 한다 . 그리고 준자유전자상태가 되는 에너지대 중에서 제일 낮은 에너지대를 전도대 (conduction band) 라고 정의한다 .

절연체와 반도체인 경우에는 두 에너지대 사이에 에너지갭이 존재한다 .

그러나 , 도체인 경우에는 페르미에너지가 전도대의 사이에 있으므로 항상 자유전자가 존재한다 .

5-44

4.5 Effective mass of electrons in bands

Feynman model 에 의해서 파수 k와 E의 관계가 왼쪽 그림과 같다 . 이는 4.1 절에서의 E-k 관계에 비해서 아주 차이가 있다 .

5-45

앞 그래프에서 Feyman model 의 E-k 관계식은

E E A ka

Emk

1

22

2

2

cos

이고 , 4.1절에서 얻은 그래프의 E-k관계식은

이다 . 두 식을 두번 미분하면

이며 , 양변을 정리하면 다음과 같다 .

mAa

kad E dk

2

2

2

2 22sec

( / )

d E

dk m

d E

dkAa ka

2

2

2 2

222

, cos

5-47

전자의 질량 m은 변화가 없는 값인데 이 식에 의하면 질량의 변화가 크게 나타남을 볼 수 있다 . 이는 실제의 질량은 변하지 않지만 격자와 전자의 상호 작용에 의하여 질량이 다른 것으로 표현되는 것이다 . 예를 들어 자유전자와 격자간의 충돌로 인하여 전자의 가속도가 적어지면 결과적으로 전자의 질량이 증가된 것으로 나타나게 되는 것이다 . 그래프에서 질량이 마이너스 값으로도 변하는 것을 볼 수 있다 .

이와 같이 전자의 질량이 변화하는 것을 고유질량과 구별하기 위해서 우리는 유효질량 (effective mass) 이라고 부른다 . 유효질량은 앞 식에서 다음과 같다 .

md E dk

2

2 2( / )

5-48

5. Reciprocal or wave vector k-space

4.2 절 부터 파벡터 (wave vector) 와 에너지의 관계를 묘사하여왔다 . 이 절에서는 고체에서 전기적인 성질을 묘사하는데 중요한 k에 대한 에너지의 관계를 좀 더 다루고자한다 . k 는

이므로 단위가 [1/m]이다 . 즉 , 길이의 역수이다 . k 에 대한 E의 그래프를 k의 단위가 길이의

역수이므로 역공간그래프라고 한다 . 전자가 고체내에 구속되었을 때에 격자간격이 전자의 E와 k의 관계에 영향을 준다 . 즉 , 전자와 격자간의 상호 작용은 유효질량이 달라지고 , E-k 관계가 변하게 된다 .

k 2

5-49

5.1 Brillouin zones

5.2.1 절과 Bragg 조건에서

이므로 두 조건을 만족시키는 경우는 다음과 같다 .

k 가 위의 값일 경우에 불연속 점이다 . 불연속점에서 에너지 갭 , 즉 금지대가 있고 그 폭은 전자에너지가 적은 부분 , 즉 핵 가까운 부분에서는 넓고 전자에너지 가 큰 부분에서는 좁아진다 . 5.2.1 절의 결과식과 4.2.1 절의 E-k 관계를 그래프로 그리면 다음 그림과 같다 .

cos sinka a n 1 2

kn

a

5-51

ak

a

ak

a ak

a

n

ak

n

a

n

ak

n

a

2 2

1 1

and

and

( ) ( )

그래프에서 영역을 다음과 같이 나눈다 .

제 1브릴리언 영역

제 2브릴리언 영역

제 n브릴리언 영역

5-52

5.2 The reduced-zone scheme

파벡터에 대한 에너지그래프의 모든 부분을 제 1브릴리언 영역에 합쳐서 그려 본다 .

k공간에 있는 모든 점을 대칭적으로 제 1영역에 투사해서 그래프를 그릴 수 있다 .

이 그래프를 함축영역도 (reduced-zone scheme) 이라고하며 , 이를 통해서 전 전자에너지대의 구조를 한 눈에 볼 수 있다 .

전자허용대의 부분을 빗금선으로 표시하였다 . 이것은 그림 5.4 와 완전히 일치함을 확인할 수 있다.

5-55

5.3 Band structure in three dimensions

파벡터를 각 방향에 따라 로 하고 3차원으로 브릴리언영역을 묘사하는 것은 까다롭다 . 표현할 수 있는 도구가 2차적이기 때문이다 . 관심있는 축을 중심으로 1차적으로 따로 그려서 사용하는 것이 편리하다 . 다음그림에 2차원으로 묘사한 브릴리언영역을 보인다 .

k k kx y z, ,

5-57

5.4 Brillouin zone of an fcc lattice5.5 Brillouin zone of a bcc lattice

격자벡터 와 역격자벡터 의 관계는

a b c a b c

ab c

a b cb

c a

a b cc

a b

a b c

, , , ,

, ,

2 2 2

와 같이 표시된다 .

이와 같이 변환하여 역격자로 격자구조를 나타내면 X 선 회절을 이용하여 고체구조를 분석할 경우나 브릴리언영역을 나타낼 경우등 편리하게 이용된다 .

5-58

격자와 역격자 사이의 관계를 그림으로 표현하면 다음과 같다 .

5-59

브릴리언영역은 두 역격자점 중간에서 법선방향인 면이다 .

5-61

체심입방체의 격자구조

5-62

체심입방체의 브릴리언 영역

5-64

0,0,0 [100]

H 1,0,0 [111]

P 1,1,1 D [001]

N 1,1,0 [110]

G [ 010]

체심입방체의 격자점과 격자방향

5-65

면심입방체의 공간격자구조

5-66

면심입방체의브릴리언영역

5-68

0,0,0 [100]

X 1,0,0 [111]

W 1,1

2,0 [110]

K 3

4,3

4,0

L 1

2, ,1

2

1

2

면심입방체의 격자점과 격자방향

5-69

6. Examples of band structure diagrams

구리의 대구조그래프

5-70

알루미늄의 대구조 그래프

5-72

7. Conclusions

1. 주기에너지함수에 의하여 전자의 상태는 금속외부 로 방출이 가능한 에너지가 큰 완전자유전자 상태 , 재료의 변두리에 의하여 구속되며 파수 k가 거의 연속적인 준자유전자상태 , 격자의 핵에 구속되어 있는 구속전자 상태의 3가지로 구별된다 .

2. 3 가지 전자상태가 국부주기함수에 의해서 각각 대폭이 결정되며 , 격자간격에 따라서도 전도대 , 가전자대 , 금지대등의 대폭이 달라진다 .

5-73

3. 실온에서 자유전자를 가지고 있는 재료가 도체 이며 , 구속전자들만 가지고 있는 경우는 절연체 이다 . 그리고 에너지갭이 좁은 절연체를 반도체 라고 부른다 .

4. 전기적인 성질이 재료마다 다른 이유는 이온 격자에 의해서 경계조건이 다르기 때문이며 , 그 내부에 있는 자유전자 보다 격자상태에 의해서 결정된다 .

5. 브릴리언영역 , 역격자 , 대구조 등을 소개하였다.

5-74

END of CHAPTER 5

질문 에너지벤드

Documents

Transcript of 질문 에너지벤드