応用空間統計学の二つの潮流: 空間統計学と空間計 …統計数理(2012) 第60 巻第1 号3–25 2012c 統計数理研究所 特集「時空間統計解析:新たなる分野横断的展開」
数理 統計学
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数理統計学
西 山
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問1統計学の定期試験を受験した 200 人の得点を集計したところ、平均点が 60 点、標準偏差が 15 点になった。以下の設問に回答しなさい。
①A 君の得点は 75 点だった。この得点を標準化すればいくらか。
②A 君の得点を偏差値にしたい。「偏差値」とは、平均が 50 、標準偏差が 10 である尺度をいう。 A 君の偏差値はいくらか。
③出題が難しすぎたため得点を修正することにした。元の得点を X としてから算出される Y点を小数点以下も含めて新たな得点とする。 A君の偏差値はどう変わるか。
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①A 君の得点は 75 点だった。この得点を標準化すればいくらか。
標準値=
標準化(=基準化)
75−6015
=1.0(シグマ)
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② A 君の得点を偏差値にしたい。「偏差値」とは、平均が 50 、標準偏差が 10である尺度をいう。 A 君の偏差値はいくらか。
偏差値=
偏差値
1.0
偏差値
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③ 出題が難しすぎたため得点を修正することにした。元の得点を X としてから算出される Y 点を小数点以下も含めて新たな得点とする。 A 君の偏差値はどう変わるか。
標準値はどう変わるか?
標準値=
元の値-平均値 =
標準偏差 =
A君の標準値は変わらない。故に、偏差値も元のままである。
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問2確率変数 Xは以下のように分布している。下の設問に回答しなさい。
値 確率36
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① 期待値を求めよ。
期待値= Σ値 ×確率
𝐸 [ 𝑋 ]=3× 13+6×
23=5
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② 分散を求めよ。
値 二乗 確率3 96 36
𝐸 [ 𝑋 2 ]=9× 13+36×
23=27
𝑉 [𝑋 ]=27−52=2
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③ Xを標準化した値を Zとおく。とを求めよ。
𝑍=𝑋−5√2
𝐸 [𝑍 ]=𝐸 [ 𝑋 −5√2 ]= 1
√2𝐸 [ 𝑋−5 ]=0
𝑉 [𝑍 ]=𝑉 [ 𝑋−5√2 ]=( 1√2 )2
𝑉 [𝑋 −5 ]=12𝑉 [𝑋 ]=1
標準化すると、常に平均が0、分散・標準偏差が1
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ある菓子メーカーが製造している商品の1袋の重さは、平均が 100グラム、標準偏差が 2グラムの状態に管理され、重さの分布には概ね正規分布が当てはまっている。この時、重さが 95グラム未満となる袋は全体の何パーセント程度あると思われるか。
問3
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100
2
標準値95
0 2.50
0.0062097
0.6%程度
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確率変数 Xは一様分布にしたがい、 0から1までの任意の値を等しい可能性でとりうる。いま変数 Yをと定義する。変数 Yがどう分布するか図で示したうえ、と、を求めよ。
問4
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Eと V、 SDはすぐに求まる
Xは0から1まで一様分布だ
12
12
1
XV
XE
授業の説明を覚えていれば・・・
𝐸 [𝑌 ]=𝐸 [2𝑋 ]=2𝐸 [𝑋 ]=1
𝑉 [𝑌 ]=𝑉 [2 𝑋 ]=22𝑉 [𝑋 ]= 412
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X が一様分布ということは
0 1
1
𝑥(任意のある値)
𝐹 (𝑥 )=𝑥
𝑓 (𝑥 )=𝐹 ′ (𝑥 )=1
X
𝐸 [ 𝑋 ]=12𝑉 [ 𝑋 ]= 1
12
期待値の計算をすると(例題17)
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問題はYの分布の形がどうなるか?
確率(=面積)に着目する
0 2
2
2
2
)2(
)()(
y
yF
yXP
yXP
yYPyG
2
1)(')( yGyg
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クイズ
確率変数 X は、一様分布に従い 0 から 1 までの任意の値を等しい可能性でとる。いま変数Y をと定義すると、はどんな分布に従い、期待値はいくらになるか?
6月 10日(火)授業までに提出(任意)。中間試験・問4の理解度判定の参考にする。