• 目的要求 掌握二元函数数值及判别法，会求无条件极值及有条件极值。

• 重点 求多元函数极值 • 难点 约束最优化问题。

7.5 多元函数的极值与最优化问题

一、二元函数的极值1 、极值定义 设函数 z=f(x,y) 在点（ x0 ， y0 ）的某个邻

域内有定义，若对该邻域内任一点（ x ， y ）都有 f(x,y) f(x0 ， y0), ( 或 f(x,y) f(x0 ， y0)),则称函数 z= f(x,y) 在点（ x0 ， y0 ）有极大 ( 或极小 ) 值 f(x0 ， y0) 。而称点 (x0 ， y0)

为函数 z= f(x,y) 的极大（或极小）值点。极大值点与极小值点统称极值点。

7.5 多元函数的极值与最优化问题

例子 : 函数 z=1-x2-y2

在（ 0 ， 0 ）有极大值 z=1. 函数 z=2x2+y2

在（ 0 ， 0 ）处有极小值 z=0.

2 、极值的检验法定理（必要条件）设函数 z=f(x,y) 在点（ x0 ， y

0 ）处有极值，且在该点的偏导数存在，则必有 fx(x0 ， y0)=0, fy(x0 ， y0)=0. 使 fx (x0 ， y0)=0, fy (x0 ， y0)=0 的点称为驻点 .说明 : 同一元函数一样，二元函数的极值点必然

是驻点或一阶偏导数不存在的点。

定理（充要条件）设函数 z=f(x,y) 在定义域内一点（ x0 ， y0 ）处有二阶连续偏微商，且

f x (x0 ， y0)=0, f y (x0 ， y0)=0.记 fxx(x0 ， y0)=A, fxy(x0 ， y0)=B, f yy(x0 ， y0)=C,

2BACCB

BA令

(1) 当 >0,A>0 时，函数 f(x,y) 在点（ x0 ， y

0 ） 有极小值 f (x0 ， y0) ； 当 >0,A<0 时，函数 f(x,y) 在点（ x0 ， y0 ）

有极大值 f （ x0 ， y0 ）；

(1) 当 >0,A>0 时，函数 f(x,y) 在点（ x0 ， y

0 ） 有极小值 f (x0 ， y0) ； 当 >0,A<0 时，函数 f(x,y) 在点（ x0 ， y0 ）

有极大值 f （ x0 ， y0 ）；(2) 当 < 0 时 , 函数 f(x,y) 在点（ x0 ， y0 ）无

极值；(3) 当 =0 时 , 函数 f(x,y) 可能有极值，也可能

没有极值，需另作讨论。

2BACCB

BA

记 fxx(x0 ， y0)=A, fxy(x0 ， y0)=B, f yy(x0 ， y0)=C,

例 求 z=3xy-x3-y3 的极值解：因 zx=3y-3x2, zy=3x-3y2, 由 zx = 0 ， zy=0 , 驻点 (0,0),(1,1).

A= zxx = -6x ,B= zxy=3 ,C= zyy= -6y. =AC-B2=36xy-9 , 在 (0,0) 处 = -9<0

不是极值点 . 在 (1,1) 处 =27 >0,A=-6<0, 在 (1,1) 处取极大值 z(1,1)=1.

在 D={(x, y)|x2+y2 1, x≥0, y≥0} 内的最大值。

解：

221),( yxxyyxf

01

122

222

yx

yxyxyf x由

01

122

222

yx

xyyxxf y由

故可化为0,0 yx

二、无约束最优化问题

例 求函数

1. 连续函数在有界闭域上的最值

,3

1

12

1222

22

yxyx

yx

13

2)

3

1()

3

1( 22

内唯一驻点。内部是）在，点（ DD3

1

3

1

内驻点和边界上达到。只可能在内是可微的，最大值函数在D

D

221),( yxxyyxf

在边界 x2+y2=1 上 : f (x,y)=0.在另两条边界 x=0, 或 y=0 上， f(x,y)=0.

033

1)

3

1,

3

1( f

。取最大值可见在33

1

3

1

3

1),(

221),( yxxyyxf

例 最大利润设某公司每天生产产品 I x 公斤与产品 II y 公斤

的成本为 C(x,y)=x2+2xy+2y2+2000

产品 I 的价格为 200 元 /kg ，产品 II 的价格为 300 元 /kg ，并假定两种产品全部售完，试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平，公司获得的最大利润是多少？

2. 实际应用问题

解 公司收益函数为 R （ x ， y ） =200x+300y

利润函数为 P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)= 200x+300y-x2-2xy-2y2-200 , 求驻点，令 Px=200-2x-2y=0 ， Py=300-2x-4y=0 ，

得 x=50 ， y=50 。 而 Pxx= -2 ， Pxy= -2 ， Pyy=-4 。 在（ 50 ， 50 ）处， A=-2 ， B=-2 ， C=-4

因为 =AC-B2=8-4=4>0可知当产品 I 的产量为 50 公斤，产品 II 的产量为 50 公斤时，公司可获得最大利润，且

P （ 50 ， 50 ） =10500 （元）。

三、约束最优化问题1 、直观描述 求函数 的最大值

求函数 在条件 下的最大值

224 yxz

224 yxz 12 yx

_________

_________

_______0

2 、约束最优化问题求目标函数 z=f （ x ， y ）满足约束条件 (x,y)=

0 的极值问题。也称为条件极值。条件极值的解法有两种：

（ 1 ）化条件极值为无条件极值 也就是说从约束条件中解出 y=y(x) ，并将它

代入目标函数，于是就转化为求一元函数的无约束最优化问题。

说明 : 这种方法有其局限性。因为从中求解 y 或x 并非易事。

例 立方米的有盖要制造一个体积为3

样的尺寸，才能长方体水箱，问设计怎

使所用材料最少。

解 .,, hyx为设水箱长、宽、高分别

求目标函数 )(2 yhxhxyS 之下的最小值。在条件 3xyh

)0,0(3

yxxy

h

)33

(2xyy

xyxxyS 得 ).

33(2

yxxy

0)3

(2 2 x

yS x令求驻点

0)3

(22

y

xS y

得唯一驻点， ,3,3 33 yx

.33h这时最小值。这是实际问题，一定有

时，故当长、宽、高都为3 3 所用材料最少。

立方米的有盖要制造一个体积为3样的尺寸，才能长方体水箱，问设计怎

使所用材料最少。

例

我们构造函数 ( 拉格朗日函数 ) L(x,y,)=f(x,y)+ (x,y), 称为拉格朗日乘数，则有如下方程组

.0),(),,(

0),(),(),,(

0),(),(),,(

yxyxL

yxyxfyxL

yxyxfyxL

yyy

xxx

(2) 拉格朗日 (Lagrange) 乘数法

为可称满足上方程组的点 ),( 00 yx 能极值点。

推导过程如下把求约束最优化问题转化成无约束的问题 .

则一元函数 z= f(x , y (x) ) 在 x= x0 取得极值，有

00xxdx

dz

求 z=f (x,y) 在 (x,y)=0 下的极值 .

若 z =f (x,y) 在 (x0,y0) 取得极值，则

(x0,y0)=0 如果在 (x0,y0) 邻域内 f (x, y ) ， (x,y) 有连续偏微商，且 y(x0,y0)≠0 ，

即 0),(),(00000 xxyx dx

dyyxfyxf

代入上式，得），（），（

所确定，所以），（）是由（而

yx

yx

dx

dy

yxxyy

y

x

0

0),(

),(),(),(

00

000000

yx

yxyxfyxf

y

xyx

。即 0)),(

),()(,(),(

00

000000

yx

yxfyxyxf

y

yxx

(*),

0),(

0),(),(

0),(),(

00

0000

0000

yx

yxyxf

yxyxf

yy

xx

则有令 ,),(

),(

00

00

yx

yxf

y

y

为可）的点称满足方程组（ ),(* 00 yx

能极值点。

。即 0)),(

),()(,(),(

00

000000

yx

yxfyxyxf

y

yxx

拉格朗日乘数法一般步骤 求 z=f (x,y) 在 (x,y)=0 下的极值 . (1) 构造拉格朗日函数

L(x,y,)=f(x,y)+ (x,y),(2) 求解下方程组得到驻点

.0),(),,(

0),(),(),,(

0),(),(),,(

yxyxL

yxyxfyxL

yxyxfyxL

yyy

xxx

(3) 结论 : 1) 这是实际问题 , 必有最值 ; 2) 惟一驻点 ; 3) 最值必在这惟一驻点上取得 .

例 上的点到直线求抛物线 xy 42 的最短距离。04 yx

解 的距离为到直线点 04),( yxyx

2

4

yxd

2

)4(),(

22

yxdyxf设

约束条件为 .042 xy

构造拉格朗日函数

)4(2

)4(),,( 2

2

xyyx

yxL

解方程组

2

( 4) 4 0 (1)

( 4) 2 0 (2)

4 0 (3)

x

y

L x y

L x y y

L y x

042)2()1( y得

上的点到直线求抛物线 xy 42 的最短距离。04 yx

2y ,13 x）得代入（ ).2,1(得驻点

，由于最短距离一定存在

为最小值点，所以 )2,1(

.22

3

2

421

d故

上的点到直线求抛物线 xy 42 的最短距离。04 yx

例 将正数12分成三个正数 zyx ,, 之和 使得zyxu 23 为最大.

解令 )12(),,( 23 zyxzyxzyxL ,

2 2

3

3 2

3 0

2 0

0

12 0

x

y

z

L x y z

L x yz

L x y

L x y z

解得唯一驻点 )2,4,6( ，

.6912246 23max u

则

故最大值为

解 . 20

20

20

2 )()()( zzyyxxd 即求

的极小值在 0 DCzByAx

)(

)()()(),,,( 20

20

20

DCzByAx

zzyyxxzyxL

0

0)(20)(2

0)(2

0

0

0

DCzByAxL

CzzLByyL

AxxL

z

y

x

解

0 0 0( , , )M x y z 0Ax By Cz D 求点 到平面 的距离例

求得代入解得 ,

2

2

2

0

0

0

Czz

Byy

Axx

222000 )(2

CBA

DCzByAx

222000 ||

CBA

DCzByAxd

0 0 0( , , )M x y z 0Ax By Cz D 求点 到平面 的距离例

小节

1. 二元函数的极值及检验法

2. 无约束最优化问题

3. 约束最优化问题—条件极值

作业 : P321 1, 2, 3, 4

拉格朗日 (Lagrange) 乘数法

下的极小值，

在条件求

)0,0,0,0(1111

),,(

rzyxrzyx

xyzzyxf

并证明不等式31)

111(3 abc

cba

（其中 a,b,c 为任意正实数）

)1111

(),,,(rzyx

xyzzyxL

lagrange

函数为：解：设

对 L 求偏导数并令他们都等于零，则有

补充 :

01111

,0

0,0

2

22

rzyxL

zxyL

yzxL

xyzL

z

yx

xyz

zyx111由前三式得：

4)3(,3

31

rrzyx

Lr

的稳定点为从而函数

将其代入第四式得：

3

3

22

2

2

2

2

3

2

,

,

),(),(

),(),,(),,(

1111

)3()3,3,3(

x

yzxyzyzyzF

yxz

xzFx

yzyzxyzyzF

y

zz

x

zz

yxzzfyxF

yxxyzzyxfyxzz

rzyx

rrrrf

xxxxxx

yxx

yx

如下：

来做出判断，为此计算就可应用极值充分条件的复合函数，这样，与看作

并把目标函数函数

看作隐极小值，我们可把条件

是否为所求条件为了判断

有不等式且是最小值点，这样就定点为极小值点，而由此可见，所求的的稳

时，当

027936

3,63

2

2

2222

3

3

322

rrrFFF

rFFrFrzyx

y

xzF

xyz

xz

yz

zxyzxzyzzF

xyyyxx

xyyyxx

yy

xyxxxy

0,0,0

)111

(3

])111

((3[:

)111

(,,,

)1111

,0,0,0()3(

31

31

1

3

cba

abccba

cbaabc

cbarczbyax

rzyxzyxrxyz

且

〈或

式有

代入上则令

且

例 最大利润 某农场计划在 100亩土地上种植甲、

乙两种农作物，种植这两种农作物所需费用每亩各需 1000元与 1900元。收获后，农场必须将作物储藏一段时间后再销售，甲种作物每亩平均产量为 1500kg，乙种作物每亩平均产量为 800kg，而投入资本最多 130000元，储藏量限制在80000kg。如果净利润（减去所有费用后）甲种作物 1.20元/kg，乙种作物 1.80元/kg，农场应怎样安排种植才能取得最大利润？

分析

如果 100亩都种植甲种作物，产量是 150 000kg ，利润 1.20× 150000=180000元，但收获 150000kg

无法储藏（储藏量只有 80000kg）；另一方面 ，如果 100亩都种植乙种作物，需要成本 190000元，但投资只有 130 000元，故必须混合种植。解 设种植甲种作物 x1亩，乙种作物 x2亩。求 P(x1，x2) =甲种作物利润+乙种作物利润

=1.20× 1500x1+1.80×800x2

=1800x1+1440x2的最大值。

约束条件

00 21 xx 和10021 xx 土地总量是 100亩。

13000019001000 21 xx

总费用不能超过 130000元。800008001500 21 xx

总产量不能超过储藏量 80000kg。

首先由约束条件中不等式画出可行解集 S,再求出

交点。

x1

x2

A

B0

C

10021 xx

800008001500 21 xx

13000019001000 21 xx

),0,0(O

直线:A13000019001000 21 xx

），轴交点（与 4.6802x

)0,3.53800008001500 121 轴交点（与xxx 直线:B

与直线 13000019001000: 21 xxC

).1.56,4.23800008001500 21 的交点（ xx

S

的值。检验交点处 ),( 21 xxP

,98496)4.68,0(,0)0,0( PP

.122904)1.56,4.23(,95940)0,3.53( PP

处取得，的最大值在 )1.56,4.23(P 即农场亩乙种农作物，亩甲种农作物，种植 1.564.23

最大利润。亩不计划种植，可取得剩下 5.20