第五章 电磁感应和暂态过程

主要内容

1. 电磁感应的基本定律

2. 动生电动势和感生电动势

3. 自感与互感

4. 涡电流

5. 自感磁能与互感磁能

§ ５ . １　 电磁感应定律

　 1. 电磁感应现象

2. 法拉第定律

3. 楞次定律

5.1.1 电磁感应现象 电磁感应现象是电磁学中最重大的发现之一 , 它揭示了

电与磁互相联系和转化的重要方面。 1820 年 , 奥斯特的发现第一次揭示了电流能够产生磁 , 从而开辟了一个全新的研究领域。 1822-1831 年英国物理学家法拉第进行多次实验和研究在 1831 年发现电磁感应定律。

结论 : 不管什么原因使穿过闭合导体回路所包围面积内的磁通量发生变化（增加或减少），回路中都会出现电流，这种电流称为感应电流。在磁通量增加和减少的两种情况下，回路中感应电流的流向相反。感应电流的大小则取决于穿过回路中的磁通量变化快慢。变化越快，感应电流越大；反之，就越小。

5.1.2 法拉第定律

表述：当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，不　　　　　　论这种变化是什么原因引起的，回路中都会建　立　　　起感应电动势，且此感应电动势正比于磁通量　　　　　　　　　对时间变化率的负值。数学表达式：当采用国际单位制时，比例系数为 1 ，数学　　　　　　　　　表达式为：注意：（ 1 ）“—”号反映感应电动势的方向与磁通量变化　　　　　　　　　　之间的关系： 即选定回路 L 的绕行方向，　　　　　　　　　规定：与绕行方向成右手螺旋关系的磁通量　　　　　　正，反之为负。 （ 2 ）如果回路由 N 匝密绕线圈组成，则通过线圈　　　　　　　的磁通用磁链表示 :

dtdi /

N

则感应电流和感应电量： （ 1 ）感应电流 : 回路中的总电阻为 R ，则回路中的感应电流为 :

（ 2 ）感应电量 : 在 时间内，通过回路截面的感应电量为 : ,

感应电量仅与回路磁通量的变化量有关，而与磁通量变化的快慢无关；

dt

d

RI l

1

21 tt

)(1

21 R

q

5.1.3 楞次定律 两种表述 :

１ . 闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激 发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化２ . 感应电流的效果，总是反抗引起感应电流的原

因应用 :

　 判断感应电动势的方向 ; 楞次定律实际上是能量守恒定律的一种表现。

用 楞 次 定 律 判 断 感 应 电 流 方 向 的 步 骤 :（ 1 ）判断穿过闭合回路的磁通沿什么方向，发 生 什 么 变 化 （ 增 加 或 减 少 ） ；（ 2 ）根据楞次定律来确定感应电流所激发的磁场沿什么方向（与原来的磁场反向还是同向）；（ 3 ）根据右手螺旋法则从感应电流产生的磁 场 方 向 确 定 感 应 电 流 的 方 向 。

例１ ( 交流发电机的原理 ) 均匀磁场中 , 置有面积为 S 的可绕 OO’ 轴转动的 N 匝线圈。若线圈以角 速度作匀速转动 , 求线圈中的感应电动势。

解 : t 时刻，线圈外法线方向于磁感强度的夹角 为 ，

穿过线圈的磁通匝链为 : 　

线圈中的感应电动势为：

t

tNBSNBS coscos

sinsin mi tNBSdt

d

§ ５ . ２ 动生电动势和感生电动势

根据法拉第电磁感应定律：只要穿过回路的磁通量发生了变化，在回路中就会有感应电动势产生。而实际上，引起磁通量变化的原因不外乎两条：其一是回路相对于磁场有运动；其二是回路在磁场中虽无相对运动，但是磁场在空间的分布是随时间变化的，我们将前一原因产生的感应电动势称为动生电动势，而后一原因产生的感应电动势称为感生电动势。

5.2.1 动生电动势 表述：导体或导体回路在磁场中运动而产生的电 动势称为动生电动势。动生电动势的来源 :

运动导体内每个电子受到方向向上的洛仑兹力为： , 正负电荷积累在导体内建立电场 ；当 时达到动态平衡，不再有宏观定向运动，则导体 ab 相当一个电源， a 为负极（低电势）， b 为正极（高电势），洛仑兹力就是非静电力。

mf ev B

ef eE m ef f

动生电动势计算 :

　　 非静电力　克服静电力　作功，将正电荷由 a端（负极）通过电源内部搬运到 b端（正极）．则单位正电荷所受的非静电力即非静电场强为：为 : 　　　　　　　　 。

根据电动势定义，运动导体 ab 上的动生电动势为 :

　　　　

　　　 。

mf ef

( )mk

f e v BE v B

e e

( )l kl lE dl v B dl

（ 1 ）当 　　且 B 为恒矢量（均匀磁场 ) 时 注意到 　　　 ，可得 : 　 ，即动生电动势等于运动导体在单位时间内切割的磁感应线数。 （ 2 ）一般情况下，　　　　 ，积分是沿运动的导线段进行，积分路径上各点 v及 B 都可能不同，不一定能提出积分号外。　（ 3 ）当导体为闭合回路时 , 　　　　　　

0( )b L

l av B dl vBdl BLv

/Lv S t

( )lv B dl

( )il L Ld v B dl

lBSt t

v B

5.2.2 感生电动势

　感生电动势 :处在磁场中的静止导体回路，仅仅由磁场随时间变化而产生的感应电动势。

　感生电场 : 变化的磁场在其周围空间激发一种电场，称之为感生电场。

对感生电场 　有 : 　　　　，所以感生电场又称有旋电场，而产生感生电动势的非静电场正是感生电场。

　　　

kE i kLE

　 感生电动势 : 回路中磁通量的变化仅由磁场变化引起，则电动势为感生电动势 :

　　　　　　

　

若闭合回路是静止的，则上式亦可写成 :

　

在稳恒的条件下，一切物理量不随时间变化，则

l kl s

d dE dl BdS

dt dt

( ) ( )L S

BEdl dS

t

( )

0L

Edl

感生电场与变化磁场之间的关系(1) 变化的磁场将在其周围激发涡旋状的感生 电场，电场线是一系列的闭合线。(2)变化的磁场和它所激发的感生电场，在方 向上满足反右手螺旋关系——左手螺旋关 系。(3)感生电场的性质不同于静电场。

　

感生电场与静电场的比较

静电场 感生电场 场源 正负电荷 变化的磁场

场的性质 　　　　　有源场

　　　　　保守场

　　　　 无源场 　　　　

　　　　　 非保守场 力线 起源于正电荷，终止于

负电荷 不闭合曲线

作用力

0

1.

s

E dS q

. 0i

l

E dl ( ) ( )

k

L S

BE dl dS

t

F qE kF qE

( )

0L

Edl

§ ５ .３　自感与互感 5.3.1 自 感

自感现象：当线圈中的电流发生变化时，它所激发的磁场穿过该线圈自身的磁通量也随之变化，从而在该线圈自身产生感应电动势的现象，称为自感现象，这样产生的感应电动势，称之为自感电动势。　　自感系数： 设闭合回路中的电流强度为 i ，根据毕奥 -萨伐尔定律，空间任意一点的磁感强度 B 的大小都和回路中的电流强度 i 成正比，因此穿过该回路所包围面积内的磁通量也和 i 成正比，即 :

, 比例系数 L叫做回路的自感系数，简称自感。

m Li

自感系数 L的单位 :H，称为亨利，简称亨。从上式可见，某回路的自感系数 L在数值上等于这回路中的电流强度为 1安培时，穿过这回路所包围面积的磁通量。 注意：根据法拉第电磁感应定律可得，回路中所产生的自感电动势可用自感系数 L表示为 :

由此可知：自感系数与回路电流的大小无关，决定线圈回路自感系数的因素是：线圈回路的几何形状、大小及周围介质的磁导率。自感系数表征了回路本身的一种电磁属性。

L

diLdt

5.3.2 互感

　

　　　

　　　

　　　　　互感现象：设有两个邻近的导体回路 1 和 2 ，分别通有电流 i1 和 i2,

激发一磁场，这磁场的一部分磁感线要穿过回路 2 所包围的面积，用磁通量 φm21 表示。当回路 1 中的电流 i1 发生变化时， φm21也要变化，因而在回路 2 内激起感应电动势 ε21 同样，回路 2 中的电流 i2 变化时，它也使穿过回路 1 所包围面积的磁通量 φm12 变化，因而在回路 1 中也激起感应电动势 ε12 。上述两个载流回路相互地激起感应电动势的现象，称为互感现象。

互感系数 : 假设上面两个回路的形状、大小、相对位置和周围磁介质的磁导率都不改变，则根据毕奥 -萨伐尔定律，由 i1 在空间任何一点激发的磁感强度都与 i1 成正比，相应地，穿过回路 2 的磁通量φm21也必然与 i1 成正比，即： φm21 =M21 Ｉ 1 ；同理，有： φm12= M12

Ｉ 2 式中， M21 和 M12 是两个比例系数，它们只和两个回路的形状、大小、相对位置及其周围磁介质的磁导率有关，可以证明 : M12 = M21

=M,M 称为两回路的互感系数，简称互感。其大小： M= φm21 / Ｉ 1 =

φm12 / Ｉ 2 。 可知 : 两个导体回路的互感在数值上等于其中一个回路中的电流强度为 1 单位时，穿过另一个回路所包围面积的磁通量。

互感系数的单位 : 与自感相同，都是 H （亨利）。 互感系数的计 算 一 般 很 复 杂 ， 常 用 实 验 方 法 来 测 定 。

互 感 电 动 势 : 　　

　　　

即互感 M 的意义可理解为：两个线圈的互感 M ，在数值上等于一个线圈中的电流随时间的变化率为一个单位时，在另一个线圈中所引起的互感电动势的绝对值。式中的负号表示，在一个线圈中所引起的互感电动势，要反抗另一个线圈中电流的变化。

21 121

d dIM

dt dt

12 212

d dIM

dt dt

5.3.3 自互感现象预防和应用 在许多电器设备中，常利用线圈的自感起稳定电流的作用。例如，日光灯的镇流器就是一个带有铁芯的自感线圈。此外，在电工设备中，常利用自感作用制成自耦变压器或扼流圈。在电子技术中，利用自感器和电容器可以组成谐振电路或滤波电路等。 另一方面，在具有相当大自感和通有较大电流的电路中，当扳断开关的瞬时，在开关处将发生强大的火花 , 产生弧光放电现象，亦称电弧。

电弧发生的高温，可用来冶炼、熔化、焊接和切割熔点高的金属，温度可达2000℃以上，有破坏开关、引起火灾的危险。因此通常都用油开关，即把开关放在绝缘性能良好的油里，以防止发生电弧。

互感在电工和电子技术中应用很广泛。通过互感线圈可以使

能量或信号由一个线圈方便地传递到另一个线圈；利用互感现象的原理可制成变压器、感应圈等。

互感的害处：有线电话由于两路电话线之间的互感可能产生串音现象；收录机、电视机及电子设备中也会由于导线或部件间的互感而妨害正常工作。这些互感的干扰都要设法尽量避免。

§ ５ .４　涡 电 流 定义：在圆柱形铁芯上绕有螺线管，通有交变电流 i ，随着电流的变化，铁芯内磁通量也在不断改变，可以将铁芯看作由一层一层的圆筒状薄壳所组成，每层薄壳都相当于一个回路，由于穿过每层薄壳横截面的磁通量都在变化着，因此，在相应于每层薄壳的这些回路中都将激起感应电动势并形成环形的感应电流，这种电流叫做涡电流。涡电流还可以描述为 ：当大块导体放在变化着的磁场中或相对于磁场运动时，在这块导体中也会出现感应电流。由于导体内部处处可以构成回路，任意回路所包围面积的磁通量都在变化，因此，这种电流在导体内自行闭合，形成涡旋状，故称为涡电流，以 表示。i涡

5.4.1 涡电流的热效应 在金属圆柱体上绕一线圈，当线圈中通入交变电流时，金属圆柱体便处

在交变磁场中。由于金属导体的电阻很小，涡电流很大，所以热效应极为显著，可以用于金属材料的加热和冶炼。

　　理论分析表明，涡电流强度与交变电流的频率成正比，即 : ，涡电流产生的焦耳热则与交变电流的平方成正比 , 即 : ， 因此，采用高频交流电就可以在金属圆柱体内汇集成强大的涡流，释放出大量的焦耳热，最后使金属自身熔化。这就是高频感应炉的原理。

　　另一方面，导体中发生涡电流，也有有害的方面。在许多电磁设备中常有大块的金属部件，涡电流可使铁芯发热，浪费电能，这就是涡流耗损。

i v涡2Q v

5.4.2 涡电流的机械效应 (1)电磁阻尼 涡电流还可以起到阻尼作用。利用磁场

对金属板的这种阻尼作用，可制成各种电动阻尼器，例如磁电式电表中或电气机车的电磁制动器中的阻尼装置，就是应用涡电流实现其阻尼作用的。 (2) 电磁驱动 这是对 "电磁阻尼作用起着阻碍相对运动 "的另一种形式的应用。感应式异步电动机就利用了这一基本原理。

§ ５ . ５ 自感磁能 互感磁能 5.5.1 自感磁能　　　 当线圈通有电流时，在其周围建立了磁场，

所储存的磁能等于建立磁场过程中，电源反抗自感电动势所做的功

　　　　　　　　　　　　　 同理，自感为 L 的线圈 , 通有电流 I 所储存的

磁能应该等于这电流消失时自感电动势所做的功

2

0

1

2

I

L L L

diA dq L idt LI W

dt

0 21

2L L LIA idt Lidi LI W

5.5.2 互 感 磁 能　 先使线圈 1 电流从 0到 I1 , 电源做功，储存为线圈 1 的自感磁能： 　　

　　 , 合上开关 k2 电流 i2 增大时 , 在回路 1 中的互感电动势：　　　　　 ,

　线圈 1 的电源维持 I1 ，反抗互感电动势的功 , 转化为磁场的能量：　　　　　　　　

　线圈 2 的电流从 0到 I2 , 电源做功，储存为线圈 2 的自感磁能： 经过上述步骤电流分别为 I １和 I2 的状态，储存在磁场中的总磁能：　　　　　　　　

21 1 1

1

2W L I

212 12

diM

dt

2

12 12 1 12 1 2 12 1 20

IW I dt M I di M I I

22 2 2

1

2W L I

2 21 2 12 1 1 2 2 12 1 2

1 1

2 2mW W W W L I L I M I I

　同理，先合开关 k2 使线圈 2充电至 I2 ，然后再合开

关 k1保持 I2 不变，给线圈 1充电，得到储存在磁场中

的总能量为：

这两种通电方式的最后状态相同

　所以 : 　　　　　　 , 　　　　　

　其中， M I1 I2 为互感磁能 ,M 为互感系数 .

' 2 22 1 21 2 2 1 1 21 2 1

1 1

2 2mW W W W L I L I M I I

'm mW W 12 21M M M

5.5.3 磁场的能量密度 已知螺绕环的自感 : 　　　 　 ，

磁能 : 　　 ，又　　　　 ,

所以得螺绕环内的磁场能量 : 　　　　 　 ,

定义磁场的能量密度 : 　　　　 ，　

磁场所储存的总能量 :

2L n V2 2 21 1

2 2mW LI n VI B nI2

2m

BW V

2

2m

Bw

2

2m m

BW w dV dV

推广到一般情况 , 磁场所储存的总能量 :

　　

积分应遍及磁场存在的全空间。

各向同性介质中，电磁场的能量密度：

　　　　 ,

电磁场的总能量 :

2

2m m

BW w dV dV

2 21

2

E Bw

2 21

2V

E BW dV

本章小结一 . 电磁感应的基本定律 1. 法拉第电磁感应定律 2. 楞次定律二 . 动生电动势和感生电动势 根据磁通量的变化成因不同，感应

电动势可区分为动生电动势和感生电动势。

dtdi /

动生电动势和感生电动势的比较

动生电动势 感生电动势成因 磁场不变，导体与磁

感应线发生相对切割运动

导体回路不动，通过回路的磁场发生变化

大小方向 右手定则 楞次定律微观机理

洛仑兹力产生 磁场变化激发感生电磁场

( ) ( )

k

L S

BE dl dS

t

( )d v B dl

�������������������������� ��

三 . 自感与互感　　　自感与互感电动势定义：　

求解感生电动势的方法： 1. 利用法拉第定律 2. 利用导体“切割磁感应线”概念

21 121

d dIM

dt dt

12 212

d dIM

dt dt

12 12 1m M I 21 21 1m M I